人教版初中数学九年级上册期末考点大串讲点和圆的位置关系含解析新版

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九年级数学上学期期中考点大串讲(人教版)：圆

弦，但弦不一定是直径.
B
知识大全
B
3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，
(
简称弧．以A、B为端点的弧记作 AB ，
读作“圆弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
·O
C
A
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成
两条弧，每一条弧都叫做半圆．
B
·O
➢劣弧与优弧
(
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
(
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.
人教版九年级上册
第24章圆
【十二大考点串讲+素养提升】
思维导图
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考点一、与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
A
C
·
O
注意
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的
2
2
∴ OE=OF
又∵ AB=CD，
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考点五、圆周角及其定理、推论
1.概念：在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的
顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
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2.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
AB=CD
(3)如果∠AOB=∠COD，那么_______，_______.
(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
OE与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF.理由如下： ∴ AE=CF

圆(20个考点)-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲(人教版)(解析版)

专题04圆（20个考点）【知识梳理+解题方法】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．八．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．九．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十一．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十二．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十三．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十四．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十五．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十六．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．十七．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．十八．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．十九．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积＝×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．【专题过关】一．圆的认识（共3小题）1．（2022•南山区校级模拟）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”【分析】根据两点确定一条直线，圆的认识，菱形的性质以及矩形的性质进行判断即可．【解答】解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性”，故本选项错误，不合题意；B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故本选项正确，符合题意D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了圆的认识，中心对称图形的概念，直线的性质，菱形的性质，矩形的性质等知识点，熟记相关的性质或定理即可．2．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A．B．8C．6D．5【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．【解答】解：如图，连结CD，∵CD是直角三角形斜边上的中线，∴CD＝AB＝×10＝5．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．3．（2022春•广饶县期末）画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A．直径B．半径C．周长D．面积【分析】画圆时，圆规两脚分开的距离，即圆的半径，据此解答即可．【解答】解：画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的半径．故选：B．【点评】本题主要考查了圆的认识，认识平面图形，解答本题关键是抓住圆规画圆的方法．二．垂径定理（共2小题）4．（2022•香坊区校级模拟）如图，在⊙O中，OD⊥AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB 的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】直接根据垂径定理得AB＝2AD＝6cm．【解答】解；∵OD⊥AB，AD＝3cm，∴AB＝2AD＝6cm．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．5．（2021秋•肇源县校级期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．4B．4C．3D．5【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM 的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长．【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝CD，∵BE＝1，AE＝5，∴OC＝AB＝＝＝3，∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，∴OM＝OE＝×2＝1，在Rt△OCM中，∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2，∴CD＝2CM＝2×2＝4．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解．三．垂径定理的应用（共2小题）6．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）A．B．2m C．D．3m【分析】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，得出该拱门的半径为m，即可得出答案．【解答】解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD＝AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，∴该拱门的半径为m，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的关键．7．（2022•白云区二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（）cm．A．10B．14C．26D．52【分析】设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解方程可得半径，进而可得直径．【解答】解：如图所示：由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，所以2r＝52，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意构造出直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）8．（2022•武汉模拟）如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝5，则的值为（）A．B．C．D．【分析】连接OC，先证明△AOC≌△BOC，得到∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，从而证得△DBC∽△DCO，根据相似三角形的性质求出DO，进而求出OB，计算面积比即可．【解答】解：连接OC，∵点C为弧AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC，OA＝OC＝OB，∴△AOC≌△BOC，∴∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，又∠DBC＝∠DCO，∴△DBC∽△DCO，∴，∵BD＝4，CD＝5，∴，解得：DO＝，∴OB＝OD﹣BD＝，∴，∴，∴．故选：B．【点评】本题结合相似考查了圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是熟练运用性质解题，三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．9．（2022•南岗区校级模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为．【分析】过O作OF⊥CD于F，OQ⊥AB于Q，连接OD，由AB＝CD，推出OQ＝OF 根据正方形的判定，推出正方形OQEF，求出OF的长，在△OFD中根据勾股定理即可求出OD．【解答】解：过O作OF⊥CD于F，OQ⊥AB于Q，连接OD，∵AB＝CD，∴OQ＝OF，∵OF过圆心O，OF⊥CD，∴CF＝DF＝2，∴EF＝2﹣1＝1，∵OF⊥CD，OQ⊥AB，AB⊥CD，∴∠OQE＝∠AEF＝∠OFE＝90°，∵OQ＝OF，∴四边形OQEF是正方形，∴OF＝EF＝1，在△OFD中，由勾股定理得：OD＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查对垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，正方形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质求出OF和DF的长是解此题的关键．五．圆周角定理（共2小题）10．（2022•邯郸二模）在一次海事活动中，⊙O所在区域是活动区域，其中弦AB与优弧AB 所围成的区域是声呐需要探测的区域．现在A处安装一台声呐设备，其探测区域如图1阴影所示，再在B处安装一台同型号声呐设备，恰好能完成所有区域的探测，如图2阴影所示．如图3，现将声呐设备放置位置改为圆O上D、E、F点，设计三个方案：①在D点放两台该型号的声呐设备②在D点、E点分别放一台该型号的声呐设备③在F点放两台该型号的声呐设备）A．①③B．①②③C．②③D．①②【分析】由声呐探测的视角，画出图形观察可得答案．【解答】解：①在D处放置2台该型号的声呐设备，如图：声呐探测的视角为∠CAB，∠CBA，∵∠CAB＝∠CDB，∠ADC＝∠CBA，∴在D处放置2台该型号的声呐设备，能完成所有区域的探测；②在D，E处各放置1台该型号的声呐设备，如图：∵∠CDB＝∠CAB，∠AEC＝∠ABC，∴在D，E处各放置1台该型号的声呐设备，能完成所有区域的探测；③在F处放置2台该型号的声呐设备，如图：∵∠CFB＝∠CAB，∴由图可知，在F处放置2台该型号的声呐设备，不能完成所有区域的探测．故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，借助图形解决问题．11．（2022•杏花岭区校级模拟）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（）A．85°B．75°C．70°D．65°【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°可知∠CAB＝60°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，由AB是直径求出∠ACB＝90°是解题的关键．六．圆内接四边形的性质（共2小题）12．（2022•南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由圆周角定理可求解∠AOC的度数，再利用平行线的性质可求解．【解答】解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠COD＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，求解∠AOC的度数是解题的关键．13．（2022•牡丹江二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（）A．25°B．30°C．32.5°D．35°【分析】连接BE，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD＝180°，根据题意求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BED＝∠BAD＝60°，∠EBD＝90°，根据直角三角形的性质求出∠BDE．【解答】解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．七．点与圆的位置关系（共2小题）14．（2022•汉阳区校级模拟）如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O 上，则OD的长是（）A．4B．C．D．【分析】设OC＝x，根据圆上的点到圆心的距离相等，得＝，进而求得x＝1，再根据勾股定理解决此题．【解答】解：设OC＝x．由题意得，OA＝OF．∴＝．∴．∴x＝1．∴OD＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查勾股定理、圆的性质，熟练掌握勾股定理以及圆的性质是解决本15．（2022•蓬江区一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA＝10，BC＝16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（）A．B．C．D．【分析】取BC的中点O'，连接AO′、AC．在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，当O′、M、A共线时，AM的值最小，最小值为O′A﹣O′M，利用勾股定理求出AO′即可解决问题．【解答】解：如图，取BC的中点O'，连接AO′、AC、O′M．∵CM⊥BD，∴∠BMC＝90°，∴在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，∴CO'＝O′M＝BC＝8，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，BC＝16，AB＝2OA＝20，∴AC＝＝＝12，在Rt△ACO′中，AO′＝＝＝4，∵O′M+AM≥O′A，∴当O′、M、A共线时，AM的值最小，最小值为O′A﹣O′M＝4﹣8，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等E的运动轨迹是以BC为直径的圆上运动．八．确定圆的条件（共2小题）16．（2021秋•日喀则市月考）下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧是等弧B．直径是最长的弦C．三点确定一个圆D．相等的圆心角所对的弦相等【分析】根据等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及圆心角、弧、弦之间的关系定理判断即可．【解答】解：A、弧长相等的弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、直径是最长的弦，本选项说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是圆的概念和有关性质，熟记等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及圆心角、弧、弦之间的关系是解题的关键．17．（2021秋•龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．九．三角形的外接圆与外心（共3小题）18．（2022•蜀山区校级三模）在锐角△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（）A．∠AMB＝120°B．ME＝MDC．AE+BD＝ABD．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA＝60°，推出∠AMB＝120°；②正确，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理解决问题；③正确．在AB上取一点T，使得AT＝AE，利用全等三角形的性质证明BD＝BT，可得结论；④错误，无法判断∠M′与∠ABC互补．【解答】解：如图，∵∠C＝60°，∴∠CAB+∠CBA＝120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝60°，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝120°，故①正确，∵∠EMD＝∠AMB＝120°，∴∠EMD+∠ECD＝180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE＝∠MCD，∴，∴EM＝DM，故②正确，在AB上取一点T，使得AT＝AE，在△AME和△AMT中，，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME＝∠AMT＝60°，EM＝MT，∴∠BMD＝∠BMT＝60°，MT＝MD，在△BMD和△BMT中，，∴△BMD≌△BMT，∴BD＝BT，∴AB＝AT+TB＝AE+BD，故③正确，∵M，M′关于AC对称，∴∠M′＝∠AMC，∵∠AMC＝90°+∠ABC，∴∠M′与∠ABC不一定互补，∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故④错误，故选：D．【点评】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．19．（2022•兴庆区校级三模）如图，⊙O外接于△ABC，延长B0交⊙O于点D，过点C作CE⊥BD交BD于点E．（1）求证：∠BAC＝∠BCE．（2）若∠BAC＝60°，BC＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接CD，由圆周角定理可得∠BCD＝90°，利用直角三角形的性质及余角的定义可证得∠BCE＝∠BDC，进而可证明结论；（2）利用直角三角形的性质可得∠CBD＝30°，即可得BD＝2CD，再利用勾股定理可求解BD的长，进而可求解．【解答】（1）证明：连接CD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠CDE+∠BCE＝90°，∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BCE＝∠BDC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC＝∠BCE；（2）解：∵∠BAC＝60°，∴∠BDC＝∠BCE＝60°，∵∠BCD＝90°，∴∠CBD＝30°，∴BD＝2CD，∵BC＝2，BD2﹣CD2＝BC2，∴（2CD）2﹣CD2＝（2）2，解得CD＝2，。

九年级数学考点大串讲(人教版)：第24章圆(知识清单)(解析版)

第24章圆（知识清单）（20个考点梳理+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦）【知识导图】【知识清单】考点1.圆（重点）(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.【变式】（2022秋·黑龙江大庆·七年级统考期中）在一张长12厘米，宽6厘米的长方形纸中，最多可以剪（）个直径为3厘米的圆．A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】B【分析】沿长方形的长可以剪出1234 个，沿宽可以剪出632 个，据此解答【详解】 12363 42=8故选B【点睛】此题考查长方形，圆，抓住在长方形内剪切圆的方法是解题关键考点2.圆的有关概念1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.2.直径：经过圆心的弦叫做直径.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB ≥CD.3.弧的有关概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A 、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.5.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.④面积相等的两个圆是等圆．【答案】①③④【分析】根据圆的基本定义判断即可．【详解】解：①直径是圆中最大的弦，故正确；②同圆或等圆中，长度相等的两条弧一定是等弧，故错误；③半径相等的两个圆是等圆，故正确；④面积相等的两个圆半径相等，则两个圆是等圆，故正确；故答案为：①③④．【点睛】此题考查了圆的基本定义的掌握，正确理解圆的基本定义是解题的关键．考点3.垂直于弦的直径（难点）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的逆定理1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的逆定理2平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

人教版九年级上册数学《点和圆的位置关系》圆培优说课教学复习课件

l2
B
平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，
C
l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有
一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同
一条直线上的三点不能作圆．
24.2.1 点和圆的位置关系
要点归纳
反证法的定义
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常
与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设
C
A
24.2.1 点和圆的位置关系
要点归纳
在同一个平面内,点与圆有三种位置关系:
点在圆外、点在圆上和点在圆内.
点P与☉O的位置关系如图所示.
24.2.1 点和圆的位置关系
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在
点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
根据d与r的数量关系能得到对应的位置关系吗？
(2) 若以C为圆心作⊙C，使点A，B，M中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆
外，求⊙C的半径 r 的取值范围.
解：(1) 因为CA=2 cm< 5 cm，所以点A在⊙C内.
因为BC=4 cm> 5 cm，所以点B在⊙C外.
由勾股定理，得AB= 2 + 2 = 42 + 22 =2 5 (cm) ，
何计算的吗？
合作探究
观察下图中点和圆O的位置关系有哪几种？
.. o. . .
.. .
B
A
C
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆有三种不同位置关
系时，d与r有怎样的数量关系？
P
o
d
r

人教版九年级上册数学《点和圆的位置关系》圆说课教学复习课件

情景引入
同时投掷两个质地均匀的骰子,观察向上一面的点数,求下列事件的概率.
1.两个骰子的点数相同，
2.两个骰子点数的和是9，
3.至少有一个骰子的点数为2。
【分析】当一次试验是掷两枚骰子时，为不遗漏可能
出现的结果，通常使用列表法。
解：通过表格，我们得到了投掷两枚骰子可能出现的36种结果，并且它们出现的概率是相同的。
所有可能的结果有四种，每种结果出现的可能性相同。
1
1.满足条件的可能有1种，P(两枚硬币正面朝上)=4
1
4
2.满足条件的可能有1种， P(两枚硬币反面朝上)=
3.满足条件的可能有2种，即“正反”“反正”
2 1
P(两枚硬币正面和反面朝上各一枚)= 4= 2
观察这两个问题，抛掷方法改变后，
试验产生的结果一样吗？
2 1
P(两枚硬币正面和反面朝上各一枚)= 4= 2
情景引入
先后两次抛掷同一枚硬币，求下列事件的概率：
1.两枚硬币全部正面朝上；
第一次
2.两枚硬币全部反面朝上；
第二次
正
正
反
第一次
反
第二次
正
反
3.一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
解：根据题意可以画出如下树状图，他们的结果是：
正正、正反、反正、反反，
重点难点
重点：能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率。
难点：不重复不遗漏的列出所有可能的情况。
情景引入
【分析】在一次试验中，如果可能出现的结
掷两枚硬币，求下列事件的概率：
果只有有限个，且各种结果出现的可能性大
1.两枚硬币全部正面朝上；
小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，

人教版数学九年级上册说课稿24.2.1《点和圆的位置关系》

人教版数学九年级上册说课稿24.2.1《点和圆的位置关系》一. 教材分析《点和圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二节内容。

本节主要介绍点和圆之间的位置关系，包括点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况。

通过学习，使学生能够理解并掌握点和圆的位置关系，为后续学习圆的性质和应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的性质和概念有一定的理解。

但对于点和圆的位置关系，可能还存在一定的模糊认识。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、思考、交流等方式，自主探索点和圆的位置关系，提高他们的空间想象能力和思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握点和圆的位置关系，能够判断一个点在圆内、圆上还是圆外。

2.过程与方法：通过观察、思考、交流等，培养学生自主探索和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于尝试、积极思考的良好学习习惯。

四. 说教学重难点1.重点：点和圆的位置关系的判断。

2.难点：理解和掌握点和圆位置关系的内在联系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔、几何模型等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的圆形象，如硬币、篮球等，引导学生关注圆的特点，激发学生学习兴趣。

2.自主探索：让学生观察和思考，通过动手画图、讨论等方式，探索点和圆的位置关系。

3.引导发现：教师引导学生发现点和圆位置关系的规律，总结出点和圆的判断方法。

4.巩固练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。

5.课堂小结：教师和学生一起总结本节课的主要内容和收获。

6.布置作业：设计一些拓展性的作业，让学生课后继续思考和探索。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。

可以采用流程图、图示、列表等形式，展示点和圆的位置关系。

八. 说教学评价教学评价可以从学生的学习态度、课堂表现、练习成绩等方面进行。

【精品整理】2019-2020学年人教版九年级数学上册期末考点大串讲：点和圆的位置关系

点和圆的位置关系知识网络重难突破知识点一点和圆的位置关系典例1（2018·满城县期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4，以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB 的中点O与⊙C的位置关系是（）A.点O在⊙C外B.点O在⊙C上C.点O在⊙C内D.不能确定【答案】B【详解】解：连接OC，由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，可得：AB=2=r，故点O在⊙C上,OC=12故选B.【名师点睛】要确定点与圆的位置关系, 主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系, 本题可直角三角形斜边上的中线为斜边的一半算出点与圆心的距离d, 则d>r时, 点在圆外; 当d=r时, 点在圆上; 当d<r时,点在圆内.典例2（2016·邯郸市期末）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（）A.点D在⊙A外B.点D在⊙A上C.点D在⊙A内D.无法确定【答案】A【解析】根据勾股定理求得斜边AB=√4+16=2√5，则AD=√5，∵√5>2，∴点在圆外.故选A.典例3（2019·雨花台区期末）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是（）A．r ＜ 6 B．r ＞ 6 C．r ≥ 6D．r ≤ 6【答案】B【详解】∵点A在半径为r的⊙O内，∴OA小于r，而OA=6，∴r>6.故选：B.【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.知识点二三点定圆的方法1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．三点定圆的画法：1）连接线段AB,BC。

人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-；外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=；外离⇔21r r d +>；内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长．【中考连接】一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为（）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图第4题图第5题图第6题图第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由．第3题图第6题图第7题图第8题图第10题图第11题图第12题图第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=．（1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。

人教版九年级数学与圆有关的位置关系讲义 (含解析)

第11讲与圆有关的位置关系知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。

本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。

知识梳理讲解用时：25分钟与圆有关的位置关系（1）点与圆的位置关系点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：⊙点P在圆外⊙d＞r⊙点P在圆上⊙d=r⊙点P在圆内⊙d＜r注意：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。

课堂精讲精练【例题1】到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）。

A ．圆的外部B ．圆的内部C ．圆D ．圆的内部和圆【答案】D【解析】此题考查圆的认识以及点与圆的位置关系，根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．故选：D ．讲解用时：3分钟解题思路：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决。

教学建议：理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：盱眙县校级月考年份：2016秋【练习1】已知Rt⊙ABC 中，⊙C=90°，AC=3，BC=7，CD⊙AB ，垂足为点D ，以点D 为圆心作⊙D ，使得点A 在⊙D 外，且点B 在⊙D 内，设⊙D 的半径为r ，那么r 的取值范围是。

人教版九年级数学上册24.2.1 点和圆的位置关系

A B
2. 作线段AB、BC的垂直平分线,
其交点O即为圆心; 3. 以点O为圆心，OC长为半径
C O
作圆.
⊙O即为所求.
巩固练习
如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的
工具找到圆形工件的圆心．
解: ∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两 A
B C
点的距离相等，
O
又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在
巩固练习
如图,已知直角坐标系中,A(0,4), B(4,4), C(6,2). (1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标. (2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.
解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0). (2)圆的半径 AM 22 42 2 5.
课堂检测
能力提升题
1. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三
点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ B ）
A．点P C．点R
B．点Q D．点M
A
B
C
PQR M
课堂检测
2. 画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.
1
2cm
· O
课堂检测
拓广探索题
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
线段DM 5 22 2 02 13 2 5，所以点D在圆M内.
探究新知
素养考点 2 考查三角形的外接圆的有关知识
例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到 BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．

人教版九年级上册数学《点和圆的位置关系》圆研讨复习说课教学课件

A．点A在圆上
B．点A在圆内
C．点A在圆外
D．无法确定
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数学·九年级（上）·配人教
3．如图，AC、BE 是⊙O 的直径，弦 AD 与 BE 交于点 F，下列三角形中，外心不是点 O 的是( B )
A．△ABE C．△ABD
B．△ACF D．△ADE
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数学·九年级（上）·配人教
这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好．
例题
已知⊙O 的半径为10cm，A，B，C 三点到圆心O 的距离分别为8cm，10cm，12cm，则点A，B，C 与⊙O 的位置关点A系在是_：_圆__内_____．点B在__圆___上____．点C在__圆___外____．
(2)点 C 在⊙M 上．理由：∵C(1,7)．M(4,3)，∴CM＝ 4－12＋3－72＝5，∴ 点 C 在⊙M 上．
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点和圆的位置关系
课件
我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的．你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
最大值是( C )
A．3
B．
41 2
C．72
D．4
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10．在△ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2 成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE＝4，EF＝3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2＋PG2 的最小值为( D )

九年级数学上册与圆有关的位置关系讲义 (新版)新人教版

精品-O C与圆有关的位置关系（讲义）知识点睛1. 点与圆的位置关系d 表示的距离，r 表示．①点在圆外； A②点在圆上； ③点在圆内．三点定圆定理：．B注：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．2. 直线与圆的位置关系d 表示的距离，r 表示．①直线与圆相交； ②直线与圆相切； ③直线与圆相离．切线的判定定理：；切线的性质定理：． *切线长定理：．注：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． *3.圆与圆的位置关系d 表示的距离，R 表示，r 表示．①圆与圆外离； ②圆与圆外切； ③圆与圆内切； ④圆与圆内含； ⑤圆与圆相交．4.圆内接正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的 .正多边形的中心：；O OOO 1 O 2O 1O 2O 1 O 2O 1O 2O 2O 1与圆有关的位置关系，关键是找 d ．和．r ．只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形．5 正多边形的半径：；正多边形的中心角：；正多边形的边心距：．精讲精练1. 矩形ABC D 中，AB =8，BC 3，点P 在AB 边上，且BP =3AP ，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A ．点B ，C 均在圆 P 外B ．点 B 在圆 P 外、点C 在圆 P 内C ．点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外D ．点 B ，C 均在圆P 内2. 如图，在 5×5 的正方形网格中，一条圆弧经过 A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是点．第 2 题图第 3 题图3. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块A4. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，BC =4 cm ，以点 C 为圆心，以 3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与 A B 的位置关系是．CB5. 在 R t △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．以 C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边 A B 有且只有一个公共点，则 R 的取值范围是． 6. 在△ABC 中，∠C =90°，AC =3 cm ，BC =4 cm ．若⊙A ，⊙B 的半径分别为 1 cm ，4 c m ，则⊙A ，⊙B 的位置关系是．A BC P Q R M②① ③④O7. 若有两圆相交于两点，且圆心距为 13 cm ，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（）A ．25 cm ，40 cmB ．20 cm ，30 cmC ．1 cm ，10 cmD ．5 cm ，7 cm8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠CDB =20°，过点 C 作⊙O 的切线，交 A B 的延长线于点 E ，则∠E =．AP第 8 题图第 9 题图9. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点，若∠P =40°，则∠ACB =．10. 如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是 ⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A =．AE DF ECFBC第 10 题图第 11 题图1. 如图，O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，⊙O 与边 AB ，BC 都相切，点 E ，F 分别在边 AD ，DC 上．现将△DEF 沿着 EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE =2，则正方形 A BCD 的边长是．12. 如图，在⊙O 中，FC 为直径，长为 8．分别以 F ，C 为圆心，以⊙O 的半径 R 为半径作弧，与⊙O 相交于点 E ，A 和 D ，B ，则 A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，顺次连接 AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA ．过点 O 作 O G ⊥BC ，垂足为 G ，则 O G长为．3 3 AF O MCD，，， 13. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，半径为 4，则这个正︵六边形的边心距 O M 和BC 的长分别为（）A ． 23 B ． 2 3 ，C ． 2 3D ． 2 4BE314. 如图，⊙O 的直径为 AB ，点 C 在圆周上（异于 A ，B ）， A D ⊥CD ．（1）若 BC =3，AB =5，求 AC 的长；（2）若 A C 是∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是⊙O 的切线．DCAOB15. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的⊙O 交 A B 于点 D ，BD 的垂直平分线交 BC 于点 E ，交 BD 于点 F ，连接 DE ．（1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AC =6，BC =8，OA =2，求线段 DE 的长．CEO ADFB【参考答案】知识点睛1.点到圆心；圆的半径；d r ；d r ；d r ．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2.圆心O 到直线l；圆的半径；d r ；d r ；d r ．经过半径的外端且垂直于该半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3.圆心之间；大圆半径；小圆半径．d R r ；d R r ；d R r ；0≤d R r ；R r d R r ．4.顶点都在同一圆上的正多边形；外接圆．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．精讲精练1.C2.Q3.B4.相交5. 3 R ≤4或R 12 56.外切7.B8. 50°9. 110°10. 99°11. 212. 2 313. D14. （1）AC=4；（2）证明略15. （1）直线DE与⊙O相切，理由略；（2）D E 1942。

九年级数学上册期末考点大串讲(人教版)专题14 直线和圆的位置关系(知识点串讲)(原卷版)

专题13 直线和圆的位置关系知识网络重难突破知识点一直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：典例1（2018·朝阳区期末）如图,以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A．以PA为半径的圆B．以PB为半径的圆C．以PC为半径的圆D．以PD为半径的圆典例2（2018·无锡市期中）⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是（）A．B．C．D．典例3（2019·中山市期末）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(3，4)，半径为5，那么y轴与⊙P 的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．以上都不是典例4（2013·贵州中考真题）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（）A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm知识点二切线的性质及判定性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．典例1（2019·辽宁中考真题）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A=25°，则∠C的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°典例2（2019·福建中考真题）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )A．55°B．70°C．110°D．125°典例3（2018·周口市期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P=66°，则∠C=（）A．57°B．60°C．63°D．66°典例4（2019·洛阳市期末）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA=12，CD切⊙O于点E，交PA，PB 于点C，D两点，则△PCD的周长是()A．12 B．18 C．24 D．30典例5（2017·南阳市期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A.5B.7C.8D.10知识点三三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。

九年级数学上册期末考点大串讲圆和圆的位置关系(含解析)(新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年

圆和圆的位置关系知识网络重难突破知识点一圆和圆的位置关系（基础）设⊙O1、⊙O2的半径分别为O、O（其中O>O），两圆圆心距为O，则两圆位置关系如下表：【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．【圆和圆的位置关系小结】圆与圆位置关系--外离（练习）【图示】典例1（2018·昌平区期末）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径O>1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含B．内切C．外离D．相交【答案】C【详解】解：∵r＞1，∴2＜3＋r，∴这两个圆的位置关系不可能外离．故选：C．【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R＋r；②两圆外切⇔d＝R＋r；③两圆相交⇔R−r＜d＜R＋r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R−r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R−r（R＞r）．典例2已知两圆的半径是方程x2－7x＋12＝0两实数根，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是( )A．内切 B．相交 C．外离 D．外切【答案】C【详解】∵方程x2-7x+12=0，∴可转化为（x-3）（x-4）=0，解得x1=3，x2=4．∵两圆半径之和为7，两圆半径之差为1；∵圆心距d=8，＞两圆半径之和为7；∴两圆外离．故选C．【名师点睛】考查用因式分解法解一元二次方程和由数量关系来判断两圆位置关系的方法．典例3（2017·余杭区期末）已知线段AB＝7cm．现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A和⊙B的位置关系是( )A．内含 B．相交 C．外切 D．外离【答案】D【解析】依题意，线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm 为半径画⊙B，∴R+r=3+2=5，d=7，所以两圆外离．故选D．圆与圆位置关系—内含（练习）【图示】典例1（2017·虹桥区期末）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（）A．11； B．6； C．3； D．2．【答案】D【解析】∵圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，∴当d>4+7或d<7-4时，这两个圆没有公共点，即d>11或d<3，∴上述四个数中，只有D选项中的2符合要求.故选D.典例2（2017·通州区期末）已知⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为5，如果⊙A与⊙B 内含，那么圆心距AB的长度可以为（）A.0；B.3；C.6；D.9.【答案】A【详解】∵⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为5，⊙A与⊙B内含，∴AB＜5-2=3，A选项符合，故选：A．圆与圆位置关系—内切/外切（练习）【图示】典例1（2017·阳高县期末）已知⊙O1与⊙O2相切，若⊙O1的半径为1，两圆的圆心距为5，则⊙O2的半径为（）A．4 B．6 C．3或6 D．4或6【答案】D【解析】解：∵⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为1，两圆的圆心距为5，若⊙O1与⊙O2内切，则⊙O2的半径为：5-1=4，若⊙O1与⊙O2外切，则⊙O2的半径为：5+1=6，∴⊙O 2的半径为4或6．故选D ．典例2（2017·雨花台区期末）已知两圆的直径分别为7和1，当它们相切时，圆心距为（） A ．8 B ．6 C ．8或6 D ．4或3 【答案】D【解析】试题解析：∵直径分别为7和1， ∴两圆半径分别为3.5和0.5，∴当两圆外切时，圆心距为3.5+10.5=4； −0.5=3. 故选D.典例3（2018·某某县期末）两个圆的半径分别为5和9，两圆的圆心距为d ，当两圆相切时， d 的值是（）A ．14B ．6C ．6或14D ．4或14 【答案】D【解析】根据两圆相切的定义得：当d R r =+ 或d R r =-时，两圆相切.易得D.圆与圆位置关系—相交（练习）【图示】典例1 如图，圆与圆的位置关系没有（） A ．相交 B ．相切C ．内含D ．外离【答案】A【详解】解：圆与圆相交有两个交点,但是图像中没有两个交点的情况,所以圆与圆的位置关系没有相交, 故选A.【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,属于简单题,熟悉位置关系的辨析方法是解题关键.典例2 ⊙O 1和⊙O 2半径分别是x 2－7x ＋12＝0两根．O 1O 2＝2，则二圆位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．外切【答案】A【详解】解方程x 2－7x ＋12＝0得x 1＝3，x 2＝4，∵O 1O 2＝2，x 2＋x 1＝7，x 2－x 1＝1，∴x 2－x 1＜O 1O 2＜x 2＋x 1，∴⊙O 1与⊙O 2相交，故答案选A.【名师点睛】此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断，解题的关键是正确的解一元二次方程.典例3 （2018·眉山市期末）已知两圆的半径满足方程220x -+=，圆心距为2，则两圆位置关系是（）【答案】A【详解】解方程220x -+=.则两半径相减=0＜2，两半径相加=＞2，因此两圆的位置关系是相交的.故选：A.【名师点睛】设两圆半径为R ，r,圆心距为p. R-r ＜p ＜R+r 时，两圆相交.典例4 （2019·某某市期末）已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，如果以A 为圆心r 为半径的⊙A 和以BC 为直径的⊙D 相交，那么r 的取值X 围（） A.313r << B.517r <<C.713r <<D.717r <<【答案】D【详解】由题意得：BD=DC=5， AB=AC=13，由勾股定理得：AD=12，设⊙A 的半径为r ，根据两圆相交得：r-5＜12＜r+5，解答：7＜r＜17，故选D．典例5 （2019·肃宁县期末）已知两圆半径分别为3OO，5OO，圆心距为7OO，则这两圆的位置关系为（）A．相交 B．外切 C．内切 D．外离【答案】A【解析】试题分析：根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）.因此，∵两圆半径分别为3OO，5OO，圆心距为7OO，∴，即两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差.∴这两圆的位置关系为相交.故选A.巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2019·滨海县期末）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）√3√2√3√2【答案】A【解析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．解：如图所示，设OA与BC相交于D点.∵AB=OA=OB=6，∴△OAB是等边三角形.又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD=√62−32=3√3所以BC=2BD=6√3.故选A.2．（2019·某某市期末）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值X围是（）A.5＜OB＜9B.4＜OB＜9C.3＜OB＜7D.2＜OB＜7【答案】A【详解】设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值X围是：5＜OB＜9，故选A．【名师点睛】本题考查了两圆间的位置关系，分两圆内切与外切分别画出符合题意的图形进行讨论是解题的关键.3．（2019·某某市期末）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l 与⊙O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】B【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切，故选B．【名师点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．4．（2019·宝山区期末）已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与⊙A 、⊙B 都内切，且AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，那么⊙C 的半径长是（）【答案】C【详解】设⊙A 的半径为X,⊙B 的半径为Y,⊙C 的半径为Z.{O +O =5O −O =6O −O =7解得{O =9O =3O =2故选：C【名师点睛】此题考查相切两圆的性质，解题关键在于列出方程5．（2018·某某中考真题）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O 1O 2=4cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【解析】详解：∵⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O 1O 2为4cm ，又∵2+3=5，3-2=1，1＜4＜5， ∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是相交．故选：C ．6．（2018·虹口区期末）如图，在Rt OOOO 中，∠O =90°，OO =4，OO =7，点O 在边OO 上，OO =3，⊙O 的半径长为3，⊙O 与⊙O 相交，且点O 在⊙O 外，那么⊙O 的半径长O 的取值X 围是（）A.2<O <4B.28r <<C.28r <<D.【答案】A【详解】试题分析：由勾股定理，得：AD ＝5，⊙O 与⊙O 相交，所以，r ＞5－3＝2，BD ＝7－3＝4，点O 在⊙O 外，所以，r ＜4，故有2<O <4．故选A ．7．（2018·宝山区期末）已知圆O 1的半径长为6cm ，圆O 2的半径长为4cm ，圆心距O 1O 2=3OO ，那么圆O 1与圆O 2的位置关系是( )B.外切【答案】C【解析】详解：圆O 1的半径长为6cm ，圆O 2的半径长为4cm ，圆心距O 1O 2=3OO ，6−4<3<6+4,圆O 1与圆O 2的位置关系是相交. 故选C.8．（2019·汶上县期末）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(O ,0)，半径为5.如果两圆内含，那么O 的取值X 围为（）A ．−2≤O ≤2B ．−2<O <2C ．0<O <5D ．0<O <3【答案】B【详解】根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a-0|=|a|，因为两圆内含时，圆心距＜5-3，即|a|＜2，解得-2＜a＜2．故选B．【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，注意圆和圆内含的条件；当两圆圆心同在x轴上时，圆心距等于两点横坐标差的绝对值．9．（2018·某某中考真题）已知⊙O1的半径为3OO，⊙O2的半径为2OO，圆心距O1O2= 4OO，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）【答案】C【解析】详解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．10．（2019·某某市期末）已知两圆的半径R 、r 分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为 7，则两圆的位置关系是（）A．外离B．相交C．外切D．内切【答案】C【详解】解：∵x2-7x+10=0，∴（x-2）（x-5）=0，∴x1=2，x2=5，即两圆半径R 、r分别是2，5，∵2+5=7，两圆的圆心距为7，∴两圆的位置关系是外切．故选：C．【名师点睛】本题考查圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解题的关键．二、填空题（共5小题）11．（2018·某某中考模拟）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是一元二次方程O 2−2O +89=0的两根，且O 1O 2=1，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是________. 【答案】相交【解析】详解：∵x 2-2x+89=0，解得：x=23或x=43，又∵⊙O 1和⊙O 2的半径分别是一元二次方程x 2-2x+89=0的两根， ∴⊙O 1和⊙O 2的半径分别是23与43， ∵23+43=2，43-23=23，且O 1O 2=1， ∴⊙O 1和⊙O 2的位置关系是相交．故答案为：相交．12．（2018·某某中考模拟）如图，⊙A 、⊙B 的圆心A 、B 在直线l 上，两圆半径都为1cm ，开始时圆心距AB=10cm ，现⊙A 、⊙B 分别沿直线l 以每秒2cm 和每秒1cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙B 运动的时间为_________秒【答案】103【详解】本题所说的两圆相切，应分为两圆第一次相遇时的相切和两圆继续移动，即将相离时的相切两种情况．第一种情况两圆所走的路程为10-2=8cm ，8÷3=83秒，第二种情况两圆所走的路程为10+2=12cm ，12÷3=4秒，故答案为83或4.【名师点睛】本题考查了两圆间的位置关系、行程问题，熟练掌握行程问题中的时间、路程、速度三者间的关系以及运用分类讨论思想解答本题是关键.13．（2017·某某中考模拟）如图，⊙A 和⊙B 的半径分别为5和1，AB ＝3，点O 在直线AB上，⊙O 与⊙A 、⊙B 都内切，那么⊙O 半径是________．【答案】32或92．【解析】当点O 在点A 左侧时，⊙O 半径r=10−12=92 ,当点O 在点B 右侧时，⊙O 半径r=10−72=32 .故填92或32.14．（2018·乌鲁木齐市期末）已知：关于x 的一元二次方程x 2﹣（R+r ）x+14 d 2=0没有实数根，其中R 、r 分别为⊙O 1和⊙O 2的半径，d 为此两圆的圆心距，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系为_____．【答案】两圆外离．【解析】详解：根据题意，得：△=（R +r ）2﹣d 2=（R +r +d ）（R +r ﹣d ）＜0，∴R +r ﹣d ＜0，即d ＞R +r ，则两圆外离．15．（2019·静安区期末）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．【答案】4．【详解】∵两圆外切，圆心距为7，若其中一个圆的半径为3 ∴另一个圆的半径＝7﹣3＝4．故答案为：4．【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，本题的解题关键是掌握当两圆外切时圆心距为两圆半径之和，两圆内切时，圆心距为大圆半径-小圆半径.三、解答题（共2小题）16．实践探索题：在生产、生活中，我们会经常遇到捆扎圆柱管的问题．下面，我们来探索捆扎时，所需要的绳子的长度(不计接头部分)与圆柱管的半径r 之间的关系． (1)当圆柱管的放置方式是“单层平放”时，截面如图所示：请你完成下表：(2)当圆柱管的放置方式是“两层叠放(每一个圆都和至少两个圆外切)”时，截面如图所示：请你填写下表：【答案】(1)4O+2πO，8O+2πO；(2)6O+2πO，8O+2πO，10O+2πO，12O+ 2πO.【分析】（1）随着圆柱管的增多，弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多4个半径长；（2）以3个圆柱管为基础，随着圆柱管的增多，弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多2个半径长.【详解】（1）根据弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多4个半径长，得4r+2πr，8r+2πr；（2）根据弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多2个半径长，得6r+2πr，8r+2πr，10r+2πr，12r+2πr.【名师点睛】解决本题的关键是观察分析得到每类圆柱管的放置规律．17．（2019·河间市期末）如图，若⊙O的周长为20O cm，⊙A、⊙B的周长都是4O cm，⊙A 在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？【答案】与原题意相符【解析】解：∵圆O的周长为20πcm，∴圆O的半径=10cm，∵圆A圆B周长都是4πcm，∴圆A圆B周长半径都是2，∴圆A在圆O内沿圆O滚动半径是10﹣2=8，圆B在圆O外沿圆O滚动半径是10+2=12∴要回到原来的位置，圆B转动的周数=12÷2=6，圆A转动的周数=8÷2=4．。

九年级数学上册期末考点大串讲直线和圆的位置关系(含解析)(新版)新人教版-(新版)新人教版初中九

直线和圆的位置关系知识网络重难突破知识点一直线与圆的位置关系设⊙O的半径为O，圆心O到直线O的距离为O，则直线和圆的位置关系如下表：典例1（2018·某某区期末）如图,以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A．以PA为半径的圆B．以PB为半径的圆C．以PC为半径的圆D．以PD为半径的圆【答案】B【详解】∵PB⊥l于B，∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．故选B．【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．典例2（2018·某某市期中）⊙O的直径为10，圆心O到直线O的距离为3，下列位置关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：∵⊙O的直径为10，∴⊙O的半径为5，圆心O到直线O的距离为3，∵5>3，即：O<O，∴直线O与⊙O的位置关系是相交.故选：B.【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是能熟练地运用直线与圆的位置关系的性质进行判断.典例3（2019·某某市期末）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(3，4)，半径为5，那么y轴与⊙P 的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．以上都不是【答案】C【详解】解：∵⊙P的圆心坐标为(3，4)，∴⊙P 到y 轴的距离d 为3 ∵d＝3＜r ＝5 ∴y 轴与⊙P 相交故选：C ．【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟练运用直线与与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键．典例4（2013·某某中考真题）Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若圆C 与直线AB 相切，则r 的值为（） A ．2cm B ．2.4cm C ．3cm D ．4cm 【答案】B【解析】试题分析：Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ；由勾股定理，得：AB 2=32+42=25， ∴AB=5；又∵AB 是⊙C 的切线， ∴CD⊥AB， ∴CD=R；∵S △ABC =12AC•BC=12AB•r； ∴r=2.4cm，故选B ．知识点二切线的性质及判定性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．典例1（2019·某某中考真题）如图，CB 为⊙O 的切线，点B 为切点，CO 的延长线交⊙O 于点A ，若∠A=25°，则∠C的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】D【详解】解：如图：连接OB，∵OB=OA，∴∠A=∠OBA，∵∠A=25°，∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°．故选：D．【名师点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB的度数，然后在三角形中求出∠C 的度数．正确作出辅助线是解题的关键．典例2（2019·某某中考真题）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )A．55°B．70°C．110°D．125°【答案】B【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．故选：B．【名师点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．典例3（2018·某某市期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P=66°，则∠C=（）A．57°B．60°C．63°D．66°【答案】A【详解】连接OA，OB．∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣66°=114°，由圆周角定理得：∠C=1∠AOB=57°．2故选A．【名师点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．典例4（2019·某某市期末）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA=12，CD切⊙O于点E，交PA，PB 于点C，D两点，则△PCD的周长是()A．12 B．18 C．24 D．30【答案】C【详解】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=12，AC=EC，BD=ED，∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=12+12=24，即△PCD的周长为24，故选：C．【名师点睛】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA=PB、AC=CE和BD=ED是解题的关键．典例5（2017·某某市期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）【答案】D【详解】解:∵PA、PB为圆的两条相交切线,∴PA=PB,同理可得: CA=CE, DE=DB.∴△PCD的周长=PC+CE+ED+PD,∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,∴△PCD的周长=8,故选C.【名师点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用.知识点三三角形内切圆1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2、内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。

人教版九年级数学上册课外辅导专题：与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系【考点总汇】一、点与圆的位置关系OP=。

则：点P在圆外⇔；点P在圆上1.设圆O的半径为r，点P到圆心的距离为d⇔；点P在圆内⇔。

2.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定圆。

3.三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三边的的交点。

微拨炉：1.共线的三点不能确定圆。

2.三角形的外心可能在三角形内部或外部或边上，且到三个顶点的距离相等。

二、直线与圆的位置关系1.三种位置关系：、、。

2.切线的定义、性质与判定：（1）定义：和圆有公共点的直线。

（2）性质：圆的切线过切点的直径。

（3）判定：经过半径的外端，并且于这条半径的直线是圆的切线。

3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的夹角。

微拨炉：1.判定圆的切线，有切点时，用判定定理，无切点时，用数量关系。

2.切线长是指连接圆外一点和经过这点所作的切线的切点的线段的长度。

三、三角形的内切圆1.定义：与三角形各边都的圆。

2.三角形的内心：三角形的圆心，是三角形三条的交点。

微拨炉：1.三角形的内心一定在三角形的内部，且到三角形三边的距离相等。

2.正确区分三角形的内心与外心。

高频考点1、与圆有关的位置关系【范例】已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法判断得分要领：直线与圆的三种位置关系：设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d 。

①直线与圆相交r d <⇔；②直线与圆相切r d =⇔；③直线与圆相离r d >⇔。

【考题回放】1.已知⊙O 的半径3=r ，设圆心O 到直线的距离为d ，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m ，给出下列命题：①若5>d ，则0=m ；②若5=d ，则1=m ；③若51<<d ，则3=m ；④若1=d ，则2=m ；⑤若1<d ，则4=m 。

其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.52.如图，在矩形ABCD 中，8=AD ，E 是边AB 上一点，且AB AE 41=，⊙O 经过点E ，与边CD 所在直线相切于点G （GEB ∠为锐角），与边AB 所在直线相交于另一点F ，且2:5:=EF EG 。

第二十四章与圆有关的位置关系讲义人教版九年级上册数学

人教版九年级上册数学第二十四章与圆有关的位置关系知识点一点和圆的位置关系1．点和圆的位置关系示意图点和圆的位置关系点和圆的位置关系有：点在圆内, 点在圆上，点在圆外三种点和圆的位置关系由这个点到圆心的距离与半径的数量大小关系决定．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：(1)点P在圆外d＞r；(2)点P在圆上d＝r；(3)点P在圆内d＜r．如图，点A在园内，点B在圆上，点C在圆外．容易看出：OA＜r，OB＝r，OC＞r．例1：①在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，以点A为圆心，以2cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系（）A．点C在⊙A上B．点C在⊙A外C．点C在⊙A内D．不能确定（针对练习1）①已知⊙O的半径是4cm，OP＝2cm，则点P与⊙O的位置关系是在⊙O．（填“内”、“上”、“外”）②已知圆的半径为6，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是．③已知⊙O的半径是5cm，OA＝12cm，P为OA的重点，则点P与⊙O的位置关系是．④若圆的半径为8cm，如果一个点和圆心的距离为8cm，那么这个点和这个圆的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．点在圆内或圆外例2：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，2．4为半径画⊙C，则点D在（）A．⊙C上B．⊙C内C．⊙C外D．以上都有可能（针对练习2）在等腰△ABC中，B、C为定点，AC＝AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D．(1)顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？(2)顶角A等于多少度时，点A在⊙D内部？(3)顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？知识点二三角形的外接圆示意图过一点可以作圆；过两点可以作例3：①如图，若等腰△ABC ，AB ＝AC ＝BC ＝8，则它的外接圆的半径为． ②如图，已知等腰△ABC 的外接圆的半径为5，底边BC 为8，求△ABC 的面积.图1 图2 图3 图4（针对练习3）①如图3，△ABC ＝120°，AB ＝6，则它的外接圆的半径为． ②如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则其外接圆的半径是 .示意图如图，直线和圆有位置关系．OBCAOBCAOBCA125例4：①已知RT △ABC 人直角边AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，为半径作圆，则⊙C 与斜边AB 的位置关系是___________________②等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若直线BC 与⊙A 相切，则⊙A 的半径为___________________（针对练习4）①⊙O，直线l 和点O 距离为dcm，如果直线l 与⊙O 有公共点，那么（）A. d B ．d C ．d D 0≤d ②△ABC 中，∠C ＝900，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，BC ＝8cm ，BD ＝10cm ，以D 为圆心，5cm 为半径的圆与AB 的位置关系是（）A. 相交 B ．相切 C ．相离 D 不能确定示意图如图，在⊙O 中，经过半径OA 的外短点切线的证明方法：①切点已知：连半径，证垂直；②切点未知：做垂直，证半径．例5：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 与BC 交于点D ，DE ⊥AB 于E ，求证：DE 是⊙O 的切线．（针对练习5）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝A C．求证：PA是⊙O的切线．例6：如图，△ABC中，AB＝AC，O为BC中点，以O为圆心的圆与AB相切于点E，求证：AC 与圆O相切．（针对练习6）如图，已知O是正方形ABCD的对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的圆O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．求证：CD与圆O相切．例7 如图，BD为圆O的直径，A为BC弧的中点，AD交BC于点E，过点D作圆O的切线，交BC的延长线于F．(1)求证：DE＝EF；(2)AE＝2，DE＝4，求DB的长．（针对练习7）如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D 作DF⊥AC于F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC长．例8 如图，PA、PB、DE分别切⊙于A、B、C，若＝10，求⊙的半径．（针对练习8）梯形ABCD中，AB∥CD，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AD、CD、BC 都相切．已知AD＝6，BC＝4，求AB的长．知识点六三角形内切圆与内心示意图例9如图1，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，AB、BC、CA的长分别是c、a、b，其中a＞0，b＞0，c＞0．(1)用a、b、c表示AF、BD、CE的长．(2)如图2，若∠ABC＝90°，用a、b、c表示⊙I的半径r．（针对练习9）如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于点D、E、F．AB＝13，BC ＝14，CA＝11，求AD、BE、CF的长．【精练习题】1.已知AB为⊙O的直径，P为⊙O上的任意一点，则点P关于AB的对称点P'与⊙O的位置关系为（）A在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.无法确定2.在直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径做圆，下列各点，一定在圆上的是（）A（2，3） B.（4，3） C.（1，4） D.（2，﹣4）33.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝5，∠APO＝30°，则⊙O的半径长为．第3题图第4题图第5题图4．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A＝36°，则∠C 的度数是．5．如图，⊙O中，AO为半径，AB为弦，BC为切线，且OA＝AB＝BC，OC交⊙O于点E，AC 交⊙O于点D，则∠BAC的度数是，∠ACO的度数是．6．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，且BD＝OB，若CD切⊙O于点C，则∠CAB＝．第6题图7.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC交于D、E 两点，过D作DF⊥AC，垂足为F（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AG的长。

2019-2020学年人教版九年级数学上册期末考点大串讲：圆的有关性质

圆的有关性质知识网络重难突破知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）典例1（2017费县期末）下列命题中正确的有( )①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．典例2（2019汕头市期末）已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．A.2B.4C.8D.16【答案】B【详解】∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选：B.【名师点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．典例3（2018大庆市期末）下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧【答案】B【解析】试题解析：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．故选B．典例4 下列命题中正确的是（）A．过圆心的线段叫做圆的直径 B．面积相等的两个圆是等圆C．大于半圆的弧叫劣弧 D．平分弦的直径垂直于这条弦【答案】B【详解】A、直径是经过圆心的弦，两端点要在圆上，错误；B、圆的面积相等，则它们的半径相等，是等圆，正确；C、大于半圆的弧叫优弧，错误；D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，错误；故选B．【名师点睛】本题考查了直径，等圆，优弧，劣弧的概念及垂径定理．典例5（2019余杭区期末）已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】D【详解】因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．故选:D．【名师点睛】考查圆的性质，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键.知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．典例1（2019·广东铁一中学初三期中）将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，则∠AOB 的度数为（）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°【答案】B 【详解】过O 点作OC ⊥AB ，垂足为D ，交⊙O 于点C ，由折叠的性质可知，OD =12OC =12OA ，由此可得．在Rt △AOD 中，∠OAD =30°，同理可得∠OBD =30°．在△AOB 中，由内角和定理，得：∠AOB =180°﹣∠OAD ﹣∠OBD =120°．故选B ．【名师点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．典例2（2019赣州市期中）下列说法正确的是（）A ．平分弦的直径垂直于弦B ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C ．相等的弧所对弦相等D ．长度相等弧是等弧【答案】C【详解】解：A .错误．需要添加此弦非直径的条件；B .错误．应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；C.正确．D.错误．长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；故选C．【名师点睛】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．典例3（2018·山东胜利一中初三期末）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m，拱高CD=4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（）A.6 mB.8 mC.10 mD.12 m【答案】C【解析】【详解】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连接OA．根据垂径定理，得AD=8，设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=82+（r-4）2，解得r=10m．故选C．【名师点睛】本题考查了勾股定理及垂径定理．解题的关键是构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．典例4（2018寿光县期末）已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（）A.4cmB.5cmC.4√2cmD.2√3cm【答案】B【详解】连结OA，如图，设O的半径为R，∵CD⊥AB，∴∠APO=90°BP⏜，在Rt△OAP中，∵OP=OD−PD=r−2，OA=r，AP=4，∴(r−2)2+42=r2，解得r=5，即O的半径为5cm.故选B.【名师点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理、勾股定理.知识点三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

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点和圆的位置关系知识网络重难突破知识点一点和圆的位置关系典例1（2018·满城县期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4，以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB 的中点O与⊙C的位置关系是（）A.点O在⊙C外B.点O在⊙C上C.点O在⊙C内D.不能确定【答案】B【详解】解：连接OC，由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，可得：dd=2=r，故点O在⊙C上,OC=12故选B.【名师点睛】要确定点与圆的位置关系, 主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系, 本题可直角三角形斜边上的中线为斜边的一半算出点与圆心的距离d, 则d>r时, 点在圆外; 当d=r时, 点在圆上; 当d<r时,点在圆内.典例2（2016·邯郸市期末）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（）A.点D在⊙A外B.点D在⊙A上C.点D在⊙A内D.无法确定【答案】A【解析】根据勾股定理求得斜边dd=√4+16=2√5，则dd=√5，∵√5>2，∴点在圆外.故选A.典例3（2019·雨花台区期末）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是（）A．r ＜ 6 B．r ＞ 6 C．r ≥ 6D．r ≤ 6【答案】B【详解】∵点d在半径为d的⊙d内，∴dd小于d，而dd=6，∴d>6.故选：d.【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.知识点二三点定圆的方法1）经过点d的圆：以点d以外的任意一点d为圆心，以dd的长为半径，即可作出过点d的圆，这样的圆有无数个．2）经过两点d、d的圆：以线段dd中垂线上任意一点d作为圆心，以dd的长为半径，即可作出过点d、d的圆，这样的圆也有无数个．3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点d、d、d共线时，过三点的圆不存在；情况二：若d、d、d三点不共线时，圆心是线段dd与dd的中垂线的交点，而这个交点d是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．三点定圆的画法：1）连接线段AB,BC。

2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。

两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．典例1（2017·天桥区期末）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块【答案】B【详解】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.【名师点睛】本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.典例2（2019·慈溪市期末）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）A.勾股定理B.直径所对的圆周角是直角C.勾股定理的逆定理D.90°的圆周角所对的弦是直径【答案】B【解析】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．故选：B ．【考点】作图—复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理．知识点三三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. 3）外接圆圆心和三角形位置关系：1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.典例1（2018·滨河新区期末）边长为1的正三角形的外接圆的半径为（） A ．12 B ．√32C ．√33D ．√36【答案】C【详解】如图所示，连接OB ，OC ，过O 作OD⊥BC；∵BC=1, ∴BD=12,图3图2图1BCC∵△ABC是正三角形，∴∠BOC=360°3=120°，∵OB=OC，∴∠BOD=120°2=60°，∴∠OBD=30°，OB=ddddd30°=12√32=√33．故选C．【名师点睛】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形．典例2有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选B．典例3（2019·重庆市期中）如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=()A.60∘B.75∘C.90∘D.105∘【答案】C【详解】如图，∵dd=dd，∴∠3=∠4，同理，∠1=∠5，∠2=∠6，∵∠3+∠4+∠1+∠5+∠2+∠6=180∘，∴∠1+∠2+∠3=90∘，故选C．【名师点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．知识点四反证法反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

典例1（2018·古田县期中）已知：在△ddd中，dd≠dd，求证：∠d≠∠d.若用反证法来证明这个结论，可以假设()A．∠d=∠d B．dd=dd C．∠d=∠d D．∠d=∠d【答案】C【详解】已知：在△ddd中，dd≠dd，求证：∠d≠∠d.若用反证法来证明这个结论，可以假设∠d=∠d,由“等角对等边”可得AB=AC,这与已知矛盾，所以∠d≠∠d.故选：C【名师点睛】本题考核知识点：反证法. 解题关键点：理解反证法的一般步骤.典例2（2019·乳山市期末）用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（）A.a≤bB.a≠bC.a<bD.a=b【答案】C【详解】解：根据题意，判定与a≥b相矛盾的判断是a<b，故答案为C.【名师点睛】此题主要考查对反证法的概念的理解，熟练掌握内涵，即可解题.巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2019·临清市期末）⊙O的半径为5cm，A是线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定【答案】A【详解】∵OP=7cm，A是线段OP的中点，∴OA=3.5cm，小于圆的半径5cm，∴点A在圆内．故选A．【名师点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据OP的长和点A是OP的中点，得到OA=3.5cm，小于圆的半径相等，可以确定点A的位置．2．（2019·合肥市期中）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长为（）A．5m B．4m C．3m D．2m【答案】B【详解】解：连接OA，交半圆O于E点，在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，所以OA=√dd2+dd2=10；又OE=OB=6，所以AE=OA-OE=4．因此选用的绳子应该不大于4m，故选：B．【名师点睛】本题考查勾股定理的应用，确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．3．（2018·海口市期末）设P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O的半径为（）A．3 B．2 C．4或10 D．2或5【答案】B【详解】解：∵P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，∴⊙O的直径为：7-3=4，∴⊙O的半径为2，故选：B．【名师点睛】本题考查点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．（2019·重庆市期中）已知⊙d的直径为10，点A在圆内，若OA的长为a，则a应满足()A．0≤d<5B．d<5C．0≤d<10D．d<10【答案】A【详解】∵⊙d的直径为10，∴⊙d的半径长为5，∵点A在圆内，∴dd的长a的取值范围为：0≤d<5，故选A．【名师点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．5．（2019·连云港市期末）如图，在矩形dddd中，dd=4，dd=3，若以d为圆心，4为半径作⊙d.下列四个点中，在⊙d外的是( )A．点d B．点d C．点d D．点d【答案】C【详解】解：如下图,连接AC,∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,∴由勾股定理可知对角线AC=5,∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,故选C.【名师点睛】本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC的长是解题关键. 6．（2018·降化县期末）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A.（0，0）B.（﹣2，1）C.（﹣2，﹣1）D.（0，﹣1）【答案】C【解析】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．故选C．7．（2019·湖州市期中）抢凳子是小时候常玩的游戏，人围成圈将凳子放在中间，主持人开始敲鼓，此时人围着凳子按同一方向转圈.当敲击声停止时，就要抢坐在凳子上，因为凳子数量少于玩游戏的总人数，未抢坐到凳子上的玩家淘汰下场.现在甲、乙、丙3位同学准备玩抢凳子的游戏，谁先抢坐到凳子上谁获胜如图，三人已站定，主持人要在他们中间放一个凳子，为使游戏公平，凳子应放在图中三角形的( )A．三条高的交点B．重心C．内心D．外心【答案】D【详解】要使游戏公平，那么凳子应该到三角形三个顶点的距离相等，所以凳子应该放在图中三角形的外心.故选D．【名师点睛】本题考查了三角形外心的意义，三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.8．（2018·福州市期中）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外接圆半径为（）A．5 B．2.5 C．8 D．10【答案】B【详解】∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB=√dd2+dd2=5 cm．∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的斜边为它的外接圆的直径，∴它的外接圆的半径为2.5 cm．故选B．【名师点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键．9．（2018·福州市期末）若正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝…（）A．1:1:√2B．1:√2:2C．1:√2:1D．√2:2:4【答案】B【详解】作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．在中心的直角三角形的角为360°÷4÷2=45°，∴内切圆的半径为d2，外接圆的半径为2，∴d：d：d=1：√2：2．故选B．【名师点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表示出来．10．（2018·眉山市期中）如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【详解】一个三角形三边垂直平分线的交点是这个三角形外接圆的圆心，如果在外部，则这个三角形是钝角三角形．故选C.【名师点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，解题关键是画出图形即可求解．二、填空题（共5小题）11．（2018·路北区期末）已知平面上点P到圆周上的点的最长距离为8，最短距离为4，则此圆的半径为_____．【答案】2或6【详解】①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为4，最长距离为8，∴圆的直径为8﹣4＝4，∴该圆的半径是2；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为4，最长距离为8，∴圆的直径＝8+4＝12，∴圆的半径为6，故答案为2或6．【名师点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．12．（2019·惠山区期末）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A ，B ，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是__________．【答案】3<d <5.【解析】根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内,点A 与点D 的距离最近，点A 应该在圆内，所以r>3，三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆外，点B 与点D 的距离最远，点B 应该在圆外，所以r<5，所以r 的取值范围是3<d <5.13．（2019·台东市期中）若圆O 的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P 的坐标是（－4，3），则点P 与⊙O 的位置关系是 ________．【答案】点P 在圆上【详解】∵点P 的坐标是（-4，3），∴OP=√32+42=5，∵OP 等于圆O 的半径，∴点P 在圆O 上．故答案为点P 在圆O 上．【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．14．（2018·路北区期末）如图，⊙d 是dddd 的外接圆，∠d =45∘，4BC ，则⊙d 的直径．．为__________．【答案】【解析】如图，连接OB，OC．∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形．又∵BC=4，∴BO=CO=BC•cos45°=2√2，∴⊙O的直径为4√2．故答案为：4√2．15．（2018·阳谷县期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，⊙O为△ABC的外接圆．如果BC=2√3，那么⊙O 的半径为_____．【答案】2【详解】解：连接OC、OB，作OD⊥BC，∵∠A=60°，∴∠BOC=120°，∴∠DOC=60°，∠ODC=90°，＝∴OC=√32，22故答案为：2．【名师点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是利用圆心角与圆周角的关系得出∠BOC=120°．三、解答题（共3小题）16．（2018·路北区期末）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】解：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC。