九年级数学《弧长及扇形的面积》复习知识点浙教版

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九年级数学上册3.8弧长及扇形的面积圆的知识点小结素材浙教版(new)

圆的知识点小结（3）“等弧对等角"“等角对等弧”；(4)“直径对直角"“直角对直径"；(如图）（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图)（1) (2）(3) (4）(2) ∵ AB是直径∴ ∠ACB=90°(3) ∵ ∠ACB=90°∴ AB是直径（4) ∵ CD=AD=BD∴ ΔABC是RtΔ5．圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。

几何表达式举例：∵ ABCD是圆内接四边形∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180°几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题)一基本概念:圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、扇形、圆锥不、侧面积、全面积二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆。

2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三公式：1．有关的计算:（1)圆的周长C=2πR；（2）弧长L=180Rn π;(3）圆的面积S=πR 2。

（4)扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5)弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.(如图）2．圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h ：圆柱高)(2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形。

2．圆心角的度数等于它所对弧的度数。

3．三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心；三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心.7．关于圆的常见辅助线:O CAB已知弦构造弦心距.OA BC已知弦构造RtΔ. OABC已知直径构造直角.OAB已知切线连半径，出垂直.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

九年级数学上册3.8弧长及扇形的面积课件5新版浙教版 (2)

九年级数学上册3.8弧长及扇形的面积课件5新版浙教版 (2)
欢迎来到九年级数学上册3.8弧长及扇形的面积课件！在本课件中，我们将学习关于弧长和扇形面积的概念和计算方法。
一、弧长
弧长的定义和计算公式
掌握如何计算弧长，并了解弧长的定义以及计算公式。
弧度制和角度制的转换
学习弧度制和角度制之间的转换方法，以实现弧度和角度的相互换算。
二、扇形的面积
1 扇形的定义和面积计
算公式
了解扇形的定义，并掌握计算扇形面积的公式。
2 弧度制和角度制下扇 3 扇形、弧长和圆心角
形面积公式的推导
之间的关系
推导出扇形面积公式在弧度制和角度制下的表达式，加深理解。
探究扇形、弧长和圆心角之间的联系，理解它们之间的重要关系。
三、实例演练
1
计算弧长和扇形面积的实例
五、思考拓展
1
进一步探究弧长和扇形面积的应用
引导学生进一步探索和研究弧长和扇形面积在更复杂问题中的应用。
2
学生自主思考与讨论，拓展数学知识和思维
鼓励学生进行自主思考与讨论，培养他们的数学思维和创新能力。
通过实例计算弧长和扇形面积，加强对式的掌握。
通过练习巩固弧长和扇形面积的计算方法，提高问题解决能力。
四、综合应用
利用弧长和扇形面积计算相关物体的尺寸
学习如何利用弧长和扇形面积的计算方法来测量和计算相关物体的尺寸。
将数学知识与实际问题相结合
探讨如何将数学知识与实际问题相结合，培养学生的探究和解决问题的能力。

弧长及扇形的面积浙教版

38弧长及扇形的面积浙教版文章标题：38弧长及扇形的面积浙教版一、引言在浙教版初中数学中，弧长及扇形的面积是重要的知识点。

这一部分内容在几何学中具有基础地位，对于学生理解圆的性质、掌握几何证明方法具有重要意义。

本文将详细介绍如何计算弧长和扇形的面积，以帮助学生更好地掌握这一知识点。

二、弧长的计算首先，我们需要理解什么是弧长。

弧长是圆上两点之间的部分，其长度可以用数学公式表示。

在浙教版初中数学中，我们通常用垮领域公式计算弧长，公式如下：弧长 = 圆的半径×弧度角其中，弧度角是圆心角对应的弧长与半径的比值。

通过这个公式，我们可以计算出给定半径和圆心角的弧长。

下面是一个具体的例子：例题：已知一个圆的半径为5厘米，圆心角为90度，求弧长。

解：根据垮领域公式，可得弧长为：弧长 = 5 cm × (π/2) = 2.5π cm ≈ 7.85 cm所以，圆的半径为5厘米，圆心角为90度的弧长约为7.85厘米。

三、扇形面积的计算扇形是圆的一部分，其面积可以用数学公式表示。

在浙教版初中数学中，我们通常用以下公式计算扇形面积：扇形面积 = 圆的面积×扇形圆心角 / 360度其中，扇形圆心角是扇形所对应的圆心角的度数。

通过这个公式，我们可以计算出给定半径和圆心角的扇形面积。

下面是一个具体的例子：例题：已知一个圆的半径为5厘米，扇形圆心角为90度，求扇形面积。

解：根据公式，可得扇形面积为：扇形面积 = π× 5²× (90/360) ≈ 19.63 cm²所以，圆的半径为5厘米，扇形圆心角为90度的扇形面积约为19.63平方厘米。

四、总结通过本文的介绍，我们了解了如何计算弧长和扇形的面积。

这些知识点在几何学中非常重要，不仅对于学生理解圆的性质有帮助，还可以应用于实际生活中。

例如，在建筑设计、工程绘图、机械制造等领域，都需要精确计算弧长和扇形面积。

希望本文能够帮助读者更好地掌握这一知识点，为今后的学习和工作打下坚实的基础。

浙教版初中九年级上册数学：3.8 弧长及扇形的面积

巩固练习
如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，以B为圆心，以 AB为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结DE。求图中阴影分布的面积。
[来源
知识
扇形的面积公式知二求二面积计算
思想
类比方程转化
丽水市实验学校施伟
如何求扇形的面积？
A
R
n0 ⌒
O
B
图形
1°
n°
度数
360° 180° 60° 1°
S(扇形面积）
R2
R2
R2
2
6
360
n°
nR 2
360
1.已知扇形的圆心角为120o，半径为2，求这个扇形的面积．
2.已知扇形的积为3π，圆心角为30o，求这个扇形的半径．
3.已知半径为3的扇形，面积为6π，求这个扇形圆心角的度数．
例4 我国著名的引水工程的主干线输水管的直径为2m，
设计流水量为12m3/s.如果水管截面中水面面积如图所示,
其中∠AOB=120°,那么水的流速达到每秒多少米?
(精确到0.1m/s)
E 弓形
B
CA
O
1.水的流速、流量与什么有关？流速×截面积=流量
2.图中截面有水的部分是扇形吗？
3.这个阴影部分的面积如何计算？ S阴影=S扇形+ S△
4.已知半径为5的扇形，弧长为6π，求这个扇形面积．
实际应用
例3 如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的
骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问哪一把扇子扇面的面积大？
a
a
1a 2
当一个图形的面积计算无直接公式可用时,可以把问题归结为若干个图形的面积的和与差来计算.

数学浙教版九上弧长及扇形面积 2

弧长和扇形面积
圆的周长公式 C=2πr
or
圆的面积公式 S=πr2
弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧
问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．
（１）1°圆心角所对弧长是多少？
2π R ＝π R 360 180
（２）n°圆心角所对的弧长
是1°圆心角所对的弧长的多
少倍？n倍
n0
（３）n°圆心角所对弧长是多少？
已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积?
（1）圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的Leabharlann 扇形的面积？360°
1π R 2
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少? 360
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为
1°的扇形的面积的多少倍？ n倍
nπ R 2 （4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?360
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积
3．已知如图所示，扇形所在圆的半径为R， AB的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求 ⊙O′的周长．
课本 P122页 1、2
答：管道的展直长度为2970mm．
例：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01m2）。
0
AD
B
C
1、已知圆弧的半径为30厘米，圆心角为60°，则此圆弧的长度为_1_0_∏
2、已知半径为2的扇形，面积为
4π 3
，
则它的圆心角的度数为_1_2_0．°
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m•的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？

3.8 弧长及扇形的面积九年级上册数学浙教版

第3章圆的基本性质
3.8 弧长及扇形的面积
学习目标
1.通过复习圆的周长、面积公式，探索的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式.
2.能应用弧长及扇形的面积公式解决问题.
3.能计算不规则图形的面积.
知识点1 弧长公式重点
半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为 . 表示圆心角的倍数和180都不带单位，为弧所在圆的半径说明在弧长公式中， , , 三个量，可以知二求一：， , .
示例1
弧长公式的推导过程
辨析“两条弧相等”“两条弧的度数相等”以及“两条弧的长度相等”之间的区别与联系
两条弧相等
两条弧的度数相等
两条弧的长度相等
区别
两条弧能够完全重合，只在同圆或等圆中出现.
两条弧对应的圆心角的度数相等，与圆弧所在圆的半径无关.
与圆弧的形状无关.
联系
（1）如果两条弧相等，那么两条弧的度数和长度都相等；（2）若两条弧的度数相等，或者两条弧的长度相等，则这两条弧不一定相等；（3）只有在同圆或等圆中，“两条弧的度数相等”或“两条弧的长度相等”与“两条弧相等”才是等价的.
链接教材本题取材于教材第113页第21题，问题的背景一致，条件稍做了变动，教材习题是利用等积变换法求阴影部分的面积，而中考真题则是利用面积的差求阴影部分的面积.两题都考查了扇形的面积公式.
，，， .易知为的中位线， . .
中考常考考点
难度
常考题型
考点1：弧长公式的应用.
★★★
选择题、填空题
考点2：求阴影部分的面积.主要考查利用扇形面积公式求不规则图形的面积，这也是中考的热点问题，有一定的综合性.
★★★
选择题、填空题、解答题

九年级数学上册3.8弧长及扇形的面积1课件新版浙教版

（2）内圈弯道与外圈弯道的长相差多少米
（精确到0.1m）？
2 3.8 1 5 2 3.8 1
（3）相邻两圈的长度之间有什么规律？
100
2
1. 弧长与哪些因素有关？（1）与圆心角的大小有关（2）与半径的长短有关
2. 弧长公式：
l nR
180
l弧＝
n 360
C圆
3. 弧长单位：弧长单位与半径单位一致
圆心角的度数为___9 _0 _0 __，该弧的度数为__9 _0 _0 ____
3、已知弧的长度为 2 cm，圆心角度数为400，则圆
的半径为__9_c_m___
4、直径为100cm的圆弧的度数为20030'.这条弧的长
约为1__7_._9_c_m_
例1:如图,BM是⊙O的直径,四边形ABMN是矩形， D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，已知 AC＝15，⊙O的半径为Ｒ＝30，求⌒BD的长。
拓展：如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l 上，
按顺时针方向转动一次,使它转到ABC 的位置
。若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A
经过的路线长。
再转动一次呢？
A′
C
A
B C′
l A″
3.8弧长及扇形的面积(1)
知识回顾
o rp
圆的周长公式
C=2πr
圆的面积公式
S=πr2
已知圆的半径为10cm,求 (1)半圆的弧长 (2)90度圆心角所对的弧长 (3)1度的圆心角所对的弧长
B
n° 弧
O A
在(4半)n径度的为圆心R角的所对圆的中弧长，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：
l n 2 R n R

九年级数学上册(浙教版)课件：3.8 弧长及扇形的面积第2课时扇形的面积

面积分为三等份，即OD，OE同时经过点B，C为其中一种特殊情
况，∴∠DOE＝120°
积是(
)
A．6π cm2 B．8π cm2 C．12π cm2 D．24π cm2
2．⊙O的半径为9 cm，弧AB的长是5πcm，则扇形OAB的面积是( A )
A．22.5π cm2 B．25π cm2 C．45π cm2 D．100π cm2
3．钟面上的分针的长度是 6 cm，经过 25 分钟，分针在钟面上扫过的面积是(
B
)
10．如图，已知菱形 ABCD 的边长为 1.5 cm，B，C 两点在扇形︵︵ AEF 的EF上，求BC的长度及扇形 ABC 的面积．
解： ∵四边形 ABCD 是菱形且边长为 1.5 cm， ∴AB＝BC＝1.5 cm. ︵又∵B，C 两点在扇形 AEF 的EF上，∴AB＝BC＝AC＝1.5 cm，︵ 60π×1.5 ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC＝60°.BC的长 l＝＝ 180 π 1 1 π 3 (cm)，S 扇形 ABC＝ lR＝ × ×1.5＝ π(cm2) 2 2 2 2 8
解： (1) 先证△ABF≌△CBE 得∠FAB ＝∠ECB ， AF ＝ EC ，再证 ∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，AF＝FG，∴EC∥FG，EC＝FG，得四 1 边形 EFGC 是▱， EF∥CG (2)∵△ABF≌△CBE， ∴FB＝BE＝ AB 2 ＝1，∴AF＝ 5，再证△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S 5 π ＝S 扇形 BAC＋S△ABF＋S△FCG－S 扇形 FAG＝－ 2 4
6．半圆的直径 AB＝10，P 为 AB 上一点，点 C，D 为半圆的三等分 25π 点，则图中阴影部分的面积等于____. 6

九年级上册数学《圆》弧长和扇形面积-知识点整理

弧长和扇形面积一、本节学习指导本节中我们巩固几个公式，都比较复杂，我们需要用心记忆。

对于弦切角定理，切割线定理一定要先理解，总结中都有配图说明，希望能借此帮助大家理解。

二、知识要点1、弧长公式n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180rn l π=2、扇形面积公式lR R n S 213602==π扇，其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积rl r l S ππ=•=221，其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

4、弦切角定理弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。

如下图，切线AB 和弦AC 的夹角∠2等于弧AC 所对的圆周角，即：∠BAC=∠ADC5、切割线定理PA 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线，则PC PB PA •=2例：（2004•宿迁）如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA⊥OB，P 是OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于点Q ，过点Q 的⊙O 的切线交OA 延长线于点R ．（Ⅰ）求证：RP=RQ ；（Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ 的长解：（1）证明：连接OQ∵RQ 是⊙O 的切线， ∴∠OQB+∠BQR=90° ∵OA ⊥OB ， ∴∠OPB+∠B=90° 又∵OB=OQ ， ∴∠OQB=∠B ∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ ∴RP=RQ（2）作直径AC ∵OP=PA=1 ∴PC=3 由勾股定理，得BP=22125+=由相交弦定理，得PQ•PB=PA•PC 即PQ×5=1×3∴PQ=355三、经验之谈：上面这个例题是对弦切角的运用，也考察了同学们的综合解题能力。

这种题涉及的知识点很广，因此需要我们大量的经验，平时一定要多练习。

尤其是初三我们要多练习这种综合类型的题目,达到把零碎的知识系统穿透起来。

第二十一讲弧长及扇形面积-2021年新九年级数学(浙教版)(解析版)

第二十一讲弧长及扇形面积3.8弧长及扇形面积【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【基础知识】一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积2360lS rlππ=扇n=，圆锥的全面积.要点：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【考点剖析】例1．正五边形的中心角等于（）A．18°B．36°C．54°D．72°【答案】D【解析】解：正五边形的中心角为．故选D.【点睛】本题考查正多边形的中心角，根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为360 n︒.例2．边长为a的正六边形的边心距等于（）A．32a B．2aC．a D．232a【答案】A【解析】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=16×360°=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=a，∵OM⊥AB，∴AM=BM=12a，在△OAM中，由勾股定理得：OM=22OA AM-=a．故选A．【点睛】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM 的长是解此题的关键．例3．⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则这个正n 边形的中心角是60°，360606÷︒=n 的值为6，故选C 【点睛】考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.例4．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A ．3:2B ．3C ．1:2D 23【答案】C 【解析】如图所示，在圆内接正六边形ABCDEF 中，，AOB 为正三角形，则内接正六边形的边长为R ，如图所示，在圆内接正方形ABCD 中，OA OD R ==，1360904AOD ∠=︒⨯=︒，则内接正方形的边长为2sin 45RR =︒，∴内接正六边形与内接正方形的边长之比为：2，故选：C ．【点睛】此题考查了圆内接正方形和圆内接正六边形的半径和边心距之间的关系，将问题转化为关于三角形的问题来解答是解题的关键．例5．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72 ，则该正多边形的边数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】解：设正多边形的边数为n ．由题意=72°， ∴n =5，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=．例6．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( ) A ．23B 32C ．1:2:3D ．3:2:1【答案】A 【解析】解：设圆的半径为R ，则正三角形的边心距为R×cos60°．四边形的边心距为R×cos45°，正六边形的边心距为R×cos30°． ∴346::r r r 等于23．故选A ．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．例7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是CD上的任意一点，则∠APB的大小是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】解：连接OA、OB、如图所示：∵∠AOB＝＝60°，∴∠APC＝12∠AOC＝30°，故选：B．【点睛】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．例8．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（）A5B．3C．5D．3【答案】B【解析】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∴AG＝BG，BH＝CH，∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，连接OA，OB角AC于N，则OB⊥AC，∠AOB＝60°，∵OA＝15cm，∴AN＝OA＝（cm），∴AC＝2AN＝153（cm），∴GH＝13AC＝53（cm），故选：B．【点睛】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题关键．例9．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环共需要的正五边形个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】如图，圆心角为∠1，∵五边形的内角和为：（5-2）×180°=3×180°=540°，∴五边形的每一个内角为：540°÷5=108°，∴∠1=108°×2-180°=216°-180°=36°，∵360°÷36°=10，∴要完成这一圆环共需10个全等的五边形，故选C．【点睛】本题考查了正五边形与圆的有关运算，解题的关键是正确的构造圆心角.例10．如图，在正五边形中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画弧交AC于点F，连接DF，则FDC∠的度数是()A．18︒B．30C．36︒D．40︒【答案】C【分析】根据正五边形每条边相等，每个内角相等可以证出四边形AEDF是平行四边形，从而可求出FDC∠的度数．【解析】解：在正五边形中， AB=BC=CD=DE=EA ，，所以180108362BAC ACB ︒-︒∠=∠==︒，所以，因为，所以，又因为以点A 为圆心，AB 为半径画弧交AC 于点F ，所以AF= AB =DE ，所以四边形AEDF 是平行四边形，所以，所以．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形、正五边形和圆的性质知识点，证出四边形AEDF 是平行四边形，求出EDF ∠的度数是解题的关键．例11．如图，PQR ∆是O 的内接正三角形，四边形ABCD 是O 的内接正方形，//BC QR ，则QOB ∠的度数是（）A ．30B ．20︒C ．18︒D ．15︒【答案】D 【分析】连接OA ．利用正多边形的性质以及垂径定理求出∠AOP ，∠AOB ，∠POQ 即可解决问题．【解析】解：连接OA ．∵△PQR 是等边三角形，∴PQ=PR，∴OP⊥QR，∵AD∥CB∥QR，∴OP⊥AD，∴PA=PD，∴∠AOP=45°，∵△PQR是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠POQ=120°，∠AOB=90°，∴∠AOQ=120°-45°=75°，∴∠BOQ=∠AOB-∠AOQ=90°-75°=15°，故选：D．【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，正方形的性质，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．、、、、是O上的5等分点，连接，得到一个五角星图形和五边形例12．如图，A B C D E⊥，②，③．其中正确的结论是（）MNFGH．有下列3个结论：①AO BEA．①B．①②C．②③D．①②③【答案】B【分析】根据圆的性质得到AO⊥BE，故①正确；由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，得到弧CD的度数，求得∠COD=72°，根据圆周角定理得到∠CAD=36°；连接CD求得∠CGD=108°，于是得到∠CGD=∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】解：A、B、C、D、E是O上的5等分点，，AO BE∴⊥，故①正确；A、B、C、D、E是O上的5等分点，CD的度数360725︒==︒，，，36CAD∴∠=︒；连接CDA、B、C、D、E是O上的5等分点，AB DE BC CD===，，，，故②正确；连接AB，AE，则，AB AE=，()ABM AEN ASA∴≅△△，，36MAN∠=︒，AM MN∴≠，③错误．故选：B．【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．如果一个扇形的弧长是43π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（）A．40°B．45°C．60°D．80°【答案】A【解析】试题分析：∵弧长，∴圆心角()4180180l 3n 40r 6πππ⨯===︒⨯．故选A ． 2．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（） A ．12π B ．14π C ．18πD ．π【答案】A 【分析】∵从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°， ∴分针在钟面上扫过的面积是：.故选A. 考点：钟面角，扇形面积的计算．【解析】请在此输入详解！3．如果一条弧长等于l ，它的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1，则它的弧长增加（） A ．l nB ．C ．D ．360l 【答案】B 【解析】试题分析：直接根据弧长公式计算即可得到结果．由题意得，它的弧长增加，故选B.考点：本题考查的是弧长公式点评：解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式：，运用公式解题时，需注意公式中n 的值在代入计算时不能带有度数．4．如图，ABC 内接于⊙O ，65,70B C ∠=︒∠=︒．若32BC =BC 的长为（） A ．34π B ．32π C ．92π D ．32π【答案】B【分析】连接，OC ，可证得OBC ∆是等腰直角三角形，求出，利用弧长公式即可求得结果．【解析】解：连接，OC ．180180657045AABCACB，，3BC =3OB OC ∴==，BC 的长为，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，熟悉相关知识点是解题的关键． 5．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（） A ．4π B ．6πC ．8πD ．12π【答案】D 【分析】根据正多边形内角和公式求出∠F AB ，利用扇形面积公式求出扇形AB F 的面积计算即可．【解析】解：∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠F AB =，AB =6，∴扇形ABF 的面积=2120612360，故选择D ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键． 6．如图，点,,A B C 在O 上，若45,2BAC OC ∠=︒=，则图中阴影部分的面积是（）A ．B ．4π-C ．82π-D ．182π-【答案】A 【解析】．7．如图，在扇形AOB 中，，C 为AB 靠近点B 的三等分点，CD OB ⊥于点D ，则图中阴影部分的面积为（） A ．4π B ．2π C ．D ．π【答案】C 【解析】如图，连接OC ，∵，∴CDOA ，∴ADCODC SS=．∵C为AB 靠近点B 的三等分点，∴30BOC ∠=︒．∴230333604BOCS S ππ⨯===阴影扇形．8．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，连结,AC BC ，若半圆O 的半径为4，，则BC 的长为（） A ．45π B ．85πC ．125π D ．【答案】B 【分析】连接OC ，根据圆周角定理得到，根据，OA OC =得到∠COB ，从而利用弧长公式计算．【解析】解：如图所示，连接OC ， ∵AB 是半圆O 的直径， ∴，又， ∴，∵OA OC =， ∴，又，∵半圆O 半径为4， ∴4OB OC ==， ∴47285180BC ππ⨯⨯==．故选B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等边对等角，解题的关键是根据AB 是直径得到∠ACB =90°． 9．如图，在ABC 中，，分别以点B 、C 为圈心，BC 长为半径在BC 右侧画弧，两弧交于点D ，与AB AC 、的延长线分别交于点E 、F ，则弧DE 和弧DF 的长度和为（） A ． B ．C ．73πD ．2π【答案】B 【分析】在△ABC 中利用三角形内角和求得∠ABC +∠ACB ，然后根据△BCD 是等边三角形求得∠BDC 和∠BCD 的度数，则∠EBD +∠DCF 即可求得，再根据弧长公式即可求解．【解析】解：在△ABC 中，∠ABC +∠ACB =180°-40°=140°， ∵BC =BD =CD ，∴△BCD 是等边三角形， ∴∠DBC =∠DCB =60°，∴∠EBD +∠DCF =360°-60°-60°-140°=100°，则弧DE 和弧DF 的长度和是：，故选：B ．【点睛】本题考查了弧长的计算公式以及等边三角形的判定与性质，求得是解题的关键． 10．如图，在C 中，弦AB BC ⊥，6AB =，8BC =，D 是BC 上一点，弦AD 与BC 所夹锐角度数是72︒，则BD 的长为（） A ．12π B ．πC ．2πD ．5π【答案】B 【分析】由题意可得，△ABC 为直角三角形，AC =10，∠DAB =18°；又由圆周角定理，可得∠BOD =36°，即可求解BD 的弧长；【解析】如图：连接AC 、OB 、OD ；又AB ⊥BC ，弦AD 与BC 所夹锐角为72°；∴ ∠DAB =18°、AC =10；∴ 圆的半径为：5，周长为：10π；依据圆周角定理－－同弧所对圆周角是圆心角的一半；又∠DAB 和∠BOD 为弧BD 所对的圆周角和圆心角； ∴ ∠BOD =36°； ∴ 弧BD 的长为圆周长的110； ∴125=10BD ππ=⨯⨯；故选：B 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，重点熟练理解应用圆周角定理；11．如图，AB 是半圆O 的直径，以O 为圆心，OC 长为半径的半圆交AB 于C ，D 两点，弦AF 切小半圆于点E ．已知OA ＝2，OC ＝1，则图中阴影部分的面积是（） A ．＋3πB ．＋2π C ．＋2π D ．＋3π【答案】A 【分析】连接OE 、OF ，求出圆心角度数，再利用面积和差计算即可．解：连接OE、OF ，∵弦AF切小半圆于点E．∴OE⊥AF，∴AE=EF，∵OC＝OE＝1，OA＝2，∴∠OAE=30°，∴∠EOD=120°，∠FOD=60°，EF==，扇形EOD的面积为：，扇形FOD的面积为：26022 3603ππ⨯=，△FOE的面积为：112=，阴影部分的面积是：+23π-3π=＋3π，故选：A．【点睛】本题考查了切线性质，垂径定理，勾股定理，扇形面积，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力，题目综合性比较强，有一定的难度．12．如图，以AB为直径的半圆圆心为O，AB=10，折叠半圆使点A，点B都与圆心O重合，折痕分别为CD，EF，连接DF，则图中阴影的面积为（）A．B．4C．D．【答案】C【分析】根据题意先证明△DAO、△FOB、△DOF为等边三角形，然后根据S阴=S长方形CDFE-(S半圆-S长方形CDFE)+（S扇形ODF-S△DOF）即可求得.∵AB是直径，且AB=10∴OA=OB=5∵使点A和点B落在点O处，折痕分别为CD和EF∴AC=OC=OE=EB=5 2连接OD，OF，AD，BF则OD=OF=OA=OB=5，易知DCEF为矩形∴DC=在直角三角形DOC中，CO=12DO∴∠CDO=30°，∠COD=60°又OA=OD∴△DAO是等边三角形同理可证△FOB也为等边三角形∴∠DOC=∠FOE=60°∴∠DOF=60°∴△DOF为等边三角形∴S阴=S长方形CDFE-(S半圆-S长方形CDFE)+（S扇形ODF-S△DOF）=2S长方形CDFE-S半圆+S扇形ODF-S△DOF =故选C．【点睛】此题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是熟知翻折变换的性质．二、填空题13．若O的半径为2，则100︒的圆心角所对的弧长是_______．【答案】10 9π【分析】直接利用弧长公式解题．【解析】解：由弧长公式得，，故答案为：109π．【点睛】本题考查弧长公式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．已知圆锥的母线长为8cm ，侧面积为224πcm ，则这个圆锥的底面圆半径为______cm ．【答案】3 【分析】利用圆锥侧面积为πrl ，代入可求解．【解析】解：设圆锥的底面半径为r cm ，∵圆锥的母线长是8cm ，侧面积是224πcm ， ∴24π＝π•r •8， ∴r ＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．15．菱形ABCD 中，4AB =，30C ∠=︒，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则DE 的弧长为______．【答案】23π 【分析】连接OE ，由菱形性质得出，AB ＝BC ＝CD =4，从而得知OA ＝OD ＝2，再利用圆周角定理求出∠DOE 的度数，再由弧长公式求解即可．【解析】解：连接OE ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝BC ＝CD =4， ∴OC ＝OD ＝OE =2，∵∠C＝30°，∴∠OED＝2∠C＝60°，∴DE的长＝．故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了菱形性质，圆周角定理与弧长公式的综合运用，熟练掌握基本概念是解题关键．16．如图所示，在矩形ABCD中，扇形ABE的弧AE与扇形CDF的弧CF相切于点O，且点在矩形的中心上．若AB=，则图中阴影部分的面积是______．【答案】π【分析】连接BD，根据题意可知线段BD经过点O，且O点为其中点，由此即得出，从而求出BD=在Rt ABD△中，利用勾股定理即可求出AD的长，最后根据即可求出答案．【解析】如图，连接BD，∵点O在矩形的中心上，且四边形ABCD为矩形，∴线段BD经过点O，且O点为其中点．∴，∴BD=∴在Rt ABD△中，．∴故答案为π．【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理以及扇形的面积公式等知识．理解题意得出结论线段BD经过点O，且O 点为其中点是解答本题的关键．17．如图，在等边ABC中，4BC=，以BC为直径画半圆，交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为_______（结果保留π）．【答案】43π-【分析】连接O D 、OE ，利用△ABC 为等边三角形，即可证得△DOB 和△EOC 为等边三角形，然后根据扇形的面积公式，利用S 阴影=S 半圆-S 扇形ODE -2S △ODB 进行计算．【解析】解：如图，设BC 的中点为O ，连接O D 、OE ， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B =∠C =60°，∴∠BOD =60°，∠COE =60°，∴∠DOE =60°，△DOB 和△EOC 为等边三角形， ∵BC =4，∴OB =OC =OD =OE =2， ∴S 阴影=S 半圆-S 扇形ODE -2S △ODB ==43π-故答案为：43π- 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，D 为边AB 的中点，以点A 为圆心，以AD 的长为半径画弧与腰AC 相交于点E ，以点B 为圆心，以BD 的长为半径画弧与腰BC 相交于点F ，则图中的阴影部分图形的面积为_____．（结果保留π）．【答案】22π-【分析】由图可分析出阴影部分的面积等于ABC 的面积减去两个扇形的面积，由此计算即可．【解析】由题可知，ABC 为等腰直角三角形， ∴，AB == ∵D 为边AB 的中点，∴AD BD == ∴， ∵122ABCSAC BC ==， ∴22242ABCAED BFD S S S S ππ=--=-⨯=-阴影扇形扇形，故答案为：22π-．【点睛】本题考查扇形面积计算相关问题，灵活结合题意分析出求扇形面积需要的相关数据，利用规则图形表示不规则图形的面积是解题关键．19．如图，ABC 是直角三角形，AC 长为4cm ，BC 长为2cm ，以AC 、BC 为直径画半圆，两个半圆的交点在AB 边上，则图中阴影部分的面积为________2cm ．【答案】【解析】设各个部分的面积为1S 、2S 、3S 、4S 、5S ，如图所示，∵两个半圆的面积和是，ABC 的面积是345S S S ++，阴影部分的面积是124S S S ++，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即．20．如图，在ABC ∆中，，，以AC 的中点O 为圆心，为半径作半圆．若，OM 与ON 分别交半圆于点E 、F ，则图中阴影部分的面积是___________．【答案】 cm 2，【分析】作OL ⊥AB 于L ，ON ⊥BC 于N ，证明△OLG ≌△ONH ，则S 四边形OGBH =S 四边形OLBN ，求得扇形FOE 的面积，则阴影部分的面积即可求得．【解析】解：作OL ⊥AB 于L ，ON ⊥BC 于N ．∵AB =CB =6cm ，∠ABC =90°，点O 为AB 的中点，∴AC ==，四边形OLBN 是矩形，∴12OB AC ==，则扇形EOF 的面积是：，∵AB =CB ，∠ABC =90°，点O 为AC 的中点， ∴OB 平分∠ABC ，又∵OL ⊥AB ，ON ⊥BC ， ∴OL =ON =3cm ， ∴矩形OLBN 是正方形， ∵∠GOH =∠LON =90°， ∴∠GOL =∠HON ，在△OLG 和△ONH 中，，∴△OLG ≌△ONH （AAS ），∴S 四边形OGBH =S 四边形OLBN 339=⨯=cm 2，则阴影部分的面积是： cm 2，故答案为： cm 2．【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△OLG ≌△ONH ，得到S 四边形OGBH =S四边形OLBN是关键．三、解答题21．已知,一条弧长为cm,它所对的圆心角为120°,求这条弧所对的弦长. 【答案】9cm. 【解析】试题分析：先根据弧长公式求得扇形的半径，再根据锐角三角函数的概念即可求得结果.设其半径为R，则，解得则可求弦长为考点：弧长公式，锐角三角函数点评：计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.22．如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求该圆锥的侧面积和圆锥的高．（结果保留π）【答案】圆锥的高为215，侧面积为16πcm2．【解析】试题分析：利用扇形的弧长公式可得圆锥侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥的高，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．试题解析：：∵扇形的弧长为cm，∴圆锥底面的周长为4πcm，∴圆锥底面的半径为4π÷（2π）=2cm，22-=cm）82215圆锥的侧面积=π×2×8=16π（cm2），答：圆锥的高为215，侧面积为16πcm2．考点: 1.圆锥的计算；2.扇形面积的计算.23．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．（1）求∠ABC的度数；（2）若AB＝4，求阴影部分的面积．-【答案】（1）∠ABC＝45°；（2）4π【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解析】解：（1）∵AB 为半圆⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝45°；（2）∵AB ＝4，∴BC=∴阴影部分的面积=(24514242360ππ⨯⨯⨯⨯-=-．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．24．如图，AB 是O 的弦，4AB =，点P 是AmB 上一点，且，求图中阴影部分的面积．【答案】83π-【分析】证明△OAB 是等边三角形，再根据S 阴=S 扇形OAB -S △OAB 计算即可．【解析】解：∵∠AOB =2∠APB ，∠APB =30°， ∴∠AOB =60°， ∵OA =OB ，∴△OAB 是等边三角形， ∴OA =OB =AB =4，∴S 阴=S 扇形OAB -S △OAB =226044360π⋅⋅=83π- 【点睛】本题考查扇形的面积，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．如图，已知等边ABC 的边长为6，以AB 为直径的O 与边AC ，BC 分别交于D ，E 两点，连结，OE ．（1）求DOE ∠的度数．（2）求劣弧DE 的长．【答案】（1）=60DOE ∠︒；（2）劣弧DE 的长为π 【分析】（1）由题意易得，3OA OB OE OD ====，然后问题可求解；（2）根据弧长计算公式可直接进行求解．【解析】解：（1）∵ABC 是等边三角形， ∴， ∵6AB =，∴3OA OB OE OD ====， ∴△AOD 、△OBE 都为等边三角形， ∴，∴=60DOE ∠︒；（2）由（1）及弧长计算公式可得：．【点睛】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．26．如图，以正三角形ABC 的AB 边为直径画☉O ，分别交AC ，BC 于点D ，E ，6AB =cm ，求弧DE 的长及阴影部分的面积．【答案】293+32cm π【分析】连接OD ，OE ，AE ，根据等边三角形的性质先求的圆的半径和弧ED 对应的圆心角∠DOE=60°，再分别求出弧DE 的长，根据S 阴影=S △OBE +S △AOD +S 扇形ODE 求出阴影部分的面积．【解析】连接OD ，OE ，AE ，∵△ABC 是等边三角形，AB 是直径， ∴AE ⊥BC ，BE=OB ，∠B=60°， ∴OE 平行且相等AD ，OA=OE ， ∴四边形OAED 是菱形， ∴∠DOE=∠AOD=∠OBE=60°， ∵AB=6cm ， ∴OD=OE=BE=3cm ，∴cm ），∴△OBE 中底边BE 上的高以及△AOD 中底边OD cm ，∴S 阴影=S △OBE +S △AOD +S 扇形ODE =2116033322360π⨯⨯⨯2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及扇形的面积计算，运用各部分面积之间的和差关系求解阴影部分面积，求出小等边三角形和扇形的面积是解题关键．27．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且BC ＝2cm ，AC ＝4cm ，∠ABD ＝45º．（1）求弦BD 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）BD =2）【分析】（1）先添加辅助线连接，由AB 是O 的直径可得，再由勾股定理求得AB 、，即可得到等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求得答案；（2）根据即可求得结论．【解析】解：（1）连接，如图：∵AB 是O 的直径 ∴∵2BC =，4AC =∴AB =∴OB =∵且OB OD == ∴∴在Rt BOD 中，．（2）∵，OB OD ==∴522OBDOB OD S⋅==，29053604OBD S ππ︒⋅⋅==︒扇形∴5542OBDOBD S S S π-=-=阴影扇形．【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、扇形的面积、三角形的面积，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．28．如图，在ABC 中，，以AB 为直径的O 分别交AC BC 、于点D E 、，过点B 作直线BF ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：BE CE =；（2）若6AB =，求DE 的长（结果保留π）．【答案】（1）证明见解析；（2）910π 【分析】（1）连接AE ，如图，根据圆周角定理得∠AEB ＝90°，然后根据等腰三角形的性质得到BE ＝CE ；（2）根据等腰三角形的性质得到得到∠CAE ＝12∠BAC ＝27°，再利用圆周角定理得到∠DOE ＝54°，然后根据弧长公式可计算出弧DE 的长．【解析】（1）证明：连接AE ，如图， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴AE ⊥BC ， ∵AB ＝AC ， ∴BE ＝CE ；（2）解：连接,,OD OE,,AB AC AE BC =⊥AE ∴平分,BAC ∠115427,22CAE BAC ︒︒∴∠=∠=⨯= 222754DOE CAE ︒︒∴∠=∠=⨯=．【点睛】此题属于圆的综合题型，解题的关键是熟知圆周角定理、弧长公式的运用． 29．如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长BD 到点C ，使DC BD =，连结AC 交O 于点F ．（1）求证：AB AC =．（2）若8,45AB BAC =∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）连接AD ，根据圆周角定理可以证得AD 垂直且平分BC ，然后根据垂直平分线的性质证得AB ＝AC ；（2）连接OD 、过D 作DH ⊥AB ，根据扇形的面积公式解答即可．【解析】解：（1）AB ＝AC ．理由如下：连接AD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ，又∵DC ＝BD ， ∴AD 垂直平分BC ， ∴AB ＝AC ；（2）连接OD 、过D 作DH ⊥AB ． ∵AB=AC ，AD ⊥BC ， ∴2∠BAD=∠BAC ＝45°， ∴∠BOD ＝2∠BAD =45°， ∵AB ＝8， ∴OB ＝OD ＝4，∴DH ＝∴△OBD 的面积＝12×4×又∵扇形OBD 的面积＝2454360π⨯⨯＝2π，∴阴影部分面积＝【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形的面积公式以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和对应圆心角的度数的关系是关键．30．如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆上有一点C ，且，点D 为AO 上一点．将DBC △沿直线DC 对折得到DB C '，点B 的对应点为B '且B C '与半圆相切于点C ，连接B O '交半圆于点E ．（1）求证：B D AB '⊥；（2）当2AB =时，求图中阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）48S π-=阴影【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到，根据等边三角形的性质、翻转变换的性质计算，得到，证明结论；（2）求出，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．【解析】解：（1）连接OC ，∵B C '与半圆相切于点C ∴．∵OC OB =，， ∴OBC 是等边三角形． ∴60OCB ∠=︒，．．∵DBC △沿直线DC 对折得到DB C ' ∴111507522DCB B CB '∠=∠=⨯︒=︒．在DBC △中，． ∴，∴B D AB '⊥．（2）∵2AB =，OBC 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴21452360B OC EOCOC S S S B C CO π'⋅⋅'=-=⋅-形阴扇影△ 2145141123608ππ⋅⋅-=⨯⨯-=．【点睛】本题考查了圆的综合题型，切线、扇形面积等，注意运用圆的性质，属于中考常考题型． 31．阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的面积为S 1，正方形ABCD 的面积为S 2．以圆心O 为顶点作∠MON ，使∠MON ＝90°．将∠MON 绕点O 旋转，OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，分别与正方形ABCD 的边交于点G 、H ．设由OE 、OF 、及正方形ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积为S ．（1）当OM 经过点A 时(如图①)，则S 、S 1、S 2之间的关系为： (用含S 1、S 2的代数式表示)；（2）当OM ⊥AB 于G 时(如图②)，则(1)中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当∠MON 旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论任然成立吗：请说明理由.【答案】（1）121()4S S S =-；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）结合正方形的性质及等腰直角三角形的性质，容易得出结论；（2）仍然成立，可证得四边形OGHB 为正方形，则可求出阴影部分的面积为扇形OEF 的面积减去正方形OGBH 的面积；（3）仍然成立，过O 作OR ⊥AB ，OS ⊥BC ，垂足分别为R 、S ，则可证明△ORG ≌△OSH ，可得出四边形ORBS 的面积=四边形OGBH 的面积，再利用扇形OEF 的面积减正方形ORBS 的面积即可得出结论．试题解析：（1）当OM 经过点A 时由正方形的性质可知：∠MON=90°，∴S △OAB =14S 正方形ABCD =14S 2，S 扇形OEF =14S 圆O =14S 1， ∴S=S 扇形OEF -S △OAB =14S 圆O -14S 正方形ABCD =14S 1-14S 2=14（S 1-S 2），（2）结论仍然成立，理由如下： ∵∠EOF=90°， ∴S 扇形OEF =14S 圆O =14S 1 ∵∠OGB=∠EOF=∠ABC=90°， ∴四边形OGBH 为矩形， ∵OM ⊥AB ， ∴BG=12AB=12BC=BH ， ∴四边形OGBH 为正方形， ∴S 四边形OGBH =BG 2=（12AB ）2=14S 2， ∴S=S 扇形OEF -S 四边形OGBH =14S 1-14S 2=14（S 1-S 2）；。

201x年秋九年级数学上册 3.8 弧长及扇形的面积第1课时弧长公式导学浙教版

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3.8 弧长及扇形的面积
筑方法
类型一弧长的相关计算
例1 [教材补充例题] 2017·安顺如图3－8－1，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 A′B′C′的位置，若BC＝12 cm，则顶点A从开始到结束所经过的路径长为___1_6_π___cm.
图3－8－1
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3.8 弧长及扇形的面积
勤反思
小结
弧长公式
l＝n1π8R0
弧相等
度数相等半径相等
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3.8 弧长及扇形的面积
反思
学完了本节课，你对“两条弧相等”“两条弧的度数相等”“两条弧的长度相等”之间的关系有何新的认识？
【答案】从弧长公式可以看到：弧长和弧所对圆心角的度数、半径有关. “弧相等”与“弧长相等”是不等价的. 具体地说，若两条弧相等，则两条弧的度数和长度都相等. 反过来，若两条弧的度数或长度相等，则两条弧不一定相等. 只有在同圆或等圆的条件下，“弧相等”与“弧长相等”才等价．
图3－8－2
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3.8 弧长及扇形的面积
[解析] 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2AC＝2，∴∠ABC＝30°，则A︵A1所在圆的半径为 2，所对的圆心角为 150°，弧长 l1＝1501π80×2＝53π，A︵1A2所
90×π×1 π 对的圆心角为 90°，所在圆的半径为 1，弧长 l2＝ 180 ＝ 2 ，则点 A 所经过的路径的长度为53π＋π2 ＝163π.
第3章圆的基本性质
3.8 弧长及扇形的面积
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第3章圆的基本性质
第1形的面积
学知识
知识点弧长公式
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为 __l＝__n1_π8_R0__． 1．在半径为6的⊙O中，60°的圆心角所对的弧长是( B ) A．π B．2π C．4π D．6π 2．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为 ____3____．

201x年秋九年级数学上册 3.8 弧长及扇形的面积第2课时扇形的面积公式导学浙教版

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3.8 弧长及扇形的面积
【归纳总结】两类弓形面积的求法 (1)小于半圆的弧与弦组成的弓形，如图3－8－5①，用扇形的面积减去三角形的面积；
图3－8－5 (2)大于半圆的弧与弦组成的弓形，如图3－8－4②，用扇形的面积加上三角形的面积．
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3.8 弧长及扇形的面积
勤反思
小结
扇形面积公式
nπR2 S= 360
1 S=2lR
S弓形＝S扇－S三角形（弓形小于半圆时） S弓形＝S扇+ S三角形（弓形大于半圆时）
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3.8 弧长及扇形的面积
反思
学了本节课，你知道解决与弧有关的不规则图形的面积问题应如何添加辅助线吗？
【答案】通常作弧两端的半径，将问题转化为扇形与三角形等规则图形的面积的和或差的问题来解决．
类型二弓形面积的计算问题
例2 [教材例4针对练] 如图3－8－4，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12 cm，截面中有水部分弓形的高为6 cm，则截面中有水部分弓形的面积为多少？(结果精确到1 cm2)
图3－8－4
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3.8 弧长及扇形的面积
解：如图，连结 OA，OB，过点 O 作 OD⊥AB，交 AB 于点 E， ∵弓形的高为 6 cm，截面半径为 12 cm，∴OE＝OD－DE＝12－6＝6(cm)．在 Rt△AOE 中，AE＝ OA2－OE2＝ 122－62＝6 3(cm)， ∴AB＝2AE＝12 3 cm. 在 Rt△AOE 中，∵OE＝12OA，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°， ∴∠AOB＝2∠AOE＝2×60°＝120°，∴S 弓形＝S 扇形 AOB－S△AOB＝1203π6×0122－12×12 3×6 ＝1434π－36 3≈1434×3.14－36×1.73≈88(cm2)．

九年级数学弧长及扇形的面积圆锥的侧面积和全面积一周强化浙教版

弧长及扇形的面积圆锥的侧面积和全面积一周强化一、一周知识概述1. 圆周长：，圆面积：．2、因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πr，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是可得半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式：．3、扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．如图所示，在⊙O中，由半径OA，OB和所构成的图形是扇形；由半径OA，OB 和所构成的图形也是扇形．4、扇形的面积扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大.如图所示，阴影部分的面积就是半径为r，圆心角为n°的扇形的面积．显然扇形的面积是它所在的圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积πr2，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式一：①．因为扇形的弧长，扇形面积可以写成．所以又得到扇形面积的计算公式二：S扇形=②．5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的.其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形.如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点.圆锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的.也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥.其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面.另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等.母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.6. 圆锥的性质由图可得（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；（2）圆锥的母线长都相等7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长.圆锥侧面积是扇形面积.如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系：同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是：圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积：说明：(1)圆锥的侧面展开图是以母线长为半径的扇形．(2)圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长等于圆锥底面的周长．(3)圆锥的表面积等于圆锥的侧面积加上圆锥的底面积．二、重难点知识1、弧长公式的应用注意几点(1)在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”．(2)问题中若没有标明精确度，则弧长可用π表示．(3)在弧长公式中，已知，n，r中任意两个量，都可以求出第三个量．(4)在用弧长公式求n时，要注意与r的单位要统一，且所求的n值一定要小于或等于360．2、扇形面积公式的应用注意几点(1)扇形面积公式①中的n与弧长公式中的n一样，应理解为1°的倍数，不带单位，如圆心角为10°，n就是10．(2)扇形面积公式S扇形=与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，可与三角形面积公式类比理解，把弧长看成底，r看成底边上的高．(3)当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用公式①；当已知半径r和弧长求扇形面积时，应选用公式②．(4)根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，，n，r四个量中的任意两个量，都可以求出另外两个量．三、典型例题讲解例1、如图⑴、⑵、…、(m)是边长均大于2的三角形，四边形…凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧、n条弧.①图⑴中3条弧的弧长的和为______；图⑵中4条弧的弧长的和为______；②求图(m)中n条弧的弧长的和(用n表示).分析：欲求图⑴、⑵、…、(m)中3条弧，4条弧、…、n条弧的弧长之和，由弧长公式L=可知，关键是找各个弧所对的圆心角的度数，因为半径都是1，而找每个圆心角的大小困难很大，几乎是不可能的.但仔细分析可得，求的是各段弧的弧长之和，而对于图⑴来说，三段弧所对圆心角的度数之和为18O°，对于图⑵来说四段弧所对圆心角的度数之和为36O°，它们的半径均是1，从而使问题得到解决.解：①π、2π②方法一：∵凸n边形的内角和为(n－2)·180°，而n条弧的弧长的和恰好为=(n－2)个以某定点为圆心，以1为半径的圆的周长.∴n条弧的弧长的和为2π×1×(n－2)=(n－2)π方法二：设∠A1、∠A2、…、∠A n的度数分别为、、…、，弧长分别为L1、L2、…、L n，∴L1＋L2＋…＋L n =＋＋…＋=而＋＋…＋=(n－2)·180°∴L1＋L2＋…＋L n =π=(n－2)π．故n条弧的弧长的和为(n－2)π．点评：通过观察图形，结合弧长公式，联想到求等半径的各段弧长之和就是求半圆、圆、(n－2)个圆的周长问题.从而使问题得到解决.或者是把这些等半径的弧长集中起来，实际上就是这些弧所在圆的圆心角集中起来，再利用n边形内角和公式，使问题可解. 例2、解答下列各题：(1)如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为（）(2)如图，已知扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P与Q的大小关系是（）A．P=Q B．P＞QC．P＜Q D．不能确定分析：题(1)中，三个阴影部分均为扇形，但圆心角的大小不明确，不可能直接求解．此时应从整体上观察∠A、∠B、∠C的特点； (2)中阴影部分P、Q的面积直接求出十分困难，得另辟蹊径．解：(1)由图可知∠A＋∠B＋∠C=180°，即阴影部分的面积等于半径为0.5的半圆的面积．∴，故选B．(2)设两个半圆的另一个交点为C，扇形OAB的半径为R，则故选择A．点评：本题中的解法都具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键，如第(1)题揭示了求解与圆有关的阴影部分面积问题的基本方法与思路，将不规则图形的面积用规则图形的面积表示．(2)巧妙地避开了计算两部分的阴影面积，利用转化思想，直接推出P=Q．例3、如图，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于__________.分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图）.解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图.设切点为H，连结OH、OB，由垂径定理，知. 又AB切小半圆于点H，故，故点评：本题中的解法采用的一种特殊法，即阴影部分面积与小半圆位置无关，可将小半圆确定在便于求解的特殊位置.具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键．例4、从一个半径为3 cm的圆形纸片上取圆周的剪下一个扇形，将它围成一个圆锥(接缝处不重叠)，这个圆锥的高为________cm．分析：本题考查圆锥的侧面展开、剖面及扇形弧长等知识，利用图形进行分析．如图所示，因为圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，所以，解得r=1cm(r为圆锥底面圆半径)．在Rt△POA中，由勾股定理，得圆锥高．答案：例5、一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的高为，(1)求圆锥的侧面积；(2)画圆锥的侧面展开图．分析：(1)圆锥的轴截面是等边三角形，则底面圆半径是母线长的一半，利用这个关系及勾股定理求出底面半径，母线长，即可求出圆锥的侧面积和表面积；(2)画圆锥的侧面展开图时，由于圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，故求其圆心角的度数即可．解：(1)如图，已知△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且，则．设DC=r，则AC=2r．在Rt△ADC中，，解之得r=2cm∴S侧=πr·2r=2πr2=8πcm2S表=S侧＋S底=πr·2r＋πr2=3πr2=12π；(2)∵圆锥的侧面展开图为扇形．设其圆心角为n°．∴，∴n=180∴此时圆锥的侧面展开图是个半圆．如图所示．。

九年级数学弧长与面积浙江版知识精讲

初三数学弧长与面积某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：弧长与面积二. 内容概要：1. 半径为R 的圆中，设圆心角为n °，则其弧长为l ，扇形面积扇形S 的计算公式为：lR 21360nR S ,180R n l 2===ππ扇形。

lhhR2. 圆锥可看成直角三角形以它的一条直角边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而围成的几何体。

3. 圆锥的轴截面是等腰三角形，它的侧面展开图是个扇形。

圆锥的侧面积lR S π=，表面积为ππ2R lR S +=。

（其中l 为母线，R 为底面半径）【典型例题】例1. 如图所示，扇形AOB 中，∠AOB=60°，AD=3cm ，cm 3CD π=⋂，求图中阴影部分的面积。

解：要求图中阴影部分的面积，只需求扇形OAB 与扇形OCD 的面积之差即可。

∵︒=∠=⋂60AOB ,3CD π ∴OD=9又∵AD=3，∴OA=12 ∴S 扇形OAB =)cm (242π，)cm (227S 2OCD π=扇形 ∴OCD OAB S S S 扇形扇形阴影-=)cm (221227242ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=例2. 如图所示，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，求图中的阴影部分面积。

解：可用割补法求面积，不妨连接AD ∵AD=BD∴把弓形BmD 割下正好能补全弓形AnD ∴ACD S S △阴影=∵AB=AC ，AD ⊥BC ，且AB 为直径 ∴BD=CD ∴1S 21S ABC ACD ==△△ ∴1S =阴影例3. 一块等边三角形的木板△ABC ，边长为1，现将它沿着一条水平线翻滚（如图所示）。

那么，点B 从开始到结束时共走过的路径长度为多少？AB C B解：∵R=1，∴利用弧长公式计算点B 经过的路径长度的关键是确定圆弧的圆心角大小。

从翻滚的规律看，点B 从开始到结束共经过了两个圆心角均为120°的圆弧长。

浙教版数学九年级上册3.8 弧长及扇形的面积

3.8 弧长及扇形的面积一、选择题（共10小题；共50分）1. 一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是 ( )A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 180∘2. 如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD=OA=1，则图中阴影部分的面积为 ( )A. √34B. √34+π6C. √32−π6D. √33. 一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ( )A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 180∘4. 若扇形的面积为3π，圆心角为60∘，则该扇形的半径为 ( )A. 3B. 9C. 2√3D. 3√25. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是 ( )A. 64π−12√7B. 16π−32C.16π−24√7D. 16π−12√76. 若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是 ( )A. 90∘B. 120∘C. 150∘D. 180∘7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30∘，CD=2√3，则S阴影= ( )A. πB. 2πC. 23√3 D. 23π8. 如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90∘，以AB为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为 ( )A. 14π B. π−12C. 12D. 14π+129. 如图，水平地面上有一面积为30π cm2的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6 cm，且OA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点A再一次接触地面，如图（乙）所示，则O点移动了 ( ) cm．A. 11π+√3B. 10π+2√3C. 12πD. 11π10. 如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 ( )A. √32π B. √33π C. √34π D. √36π二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30∘后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积是．12. 如图所示，三角板ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=6，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点Aʹ落在AB边上时即停止转动，则点B转过的路径长为．13. 某班同学在圣诞节前要为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞纸帽，已知圆锥的母线长为30 cm，底面圆直径为20 cm，则这个纸帽的表面积为．14. 如图所示，从半径为9 cm的圆形纸片上剪去1圆周的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝3处不重叠），那么这个圆锥的高为cm．15. 如图所示，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60∘，设扇形OAC，△COB，弓形BmC的面积分别为S1，S2，S3，则它们之间的关系是．16. 如图，将一个三角形纸板ABC的顶点A放在⊙O上，AB经过圆心，∠A=25∘，半径OA=2，则在⊙O上被遮挡住的DE的长为．（结果保留π）17. 已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于．18. 圆锥的底面半径是2 cm，母线长6 cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为度．19. 如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=√3，∠ACB=90∘，∠A=30∘．若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为（结果用含π的式子表示）．20. 某厂接到为雅安地震灾区赶制无底帐篷的任务，帐篷表面由防水隔热的环保面料制成，样式如图所示，则赶制这样的帐篷3000顶，大约需要用防水隔热的环保面料（拼接处面料不计）m2．（π取3.1，√5≈2.2）三、解答题（共5小题；共65分）21. 如图，在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∠A=90∘，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1，把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2．求S1:S2的值．22. 如图①，半径为R，圆心角为n∘的扇形面积是S扇形=nπR2360．由弧长l=nπR180，得S扇形=nπR2 360=12⋅nπR180⋅R=12lR．通过观察，我们发现S扇形=12lR类似于S三角形=12×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．Ⅰ设扇环的面积为S扇环，AB的长为l1，CD的长为l2，线段AD的长为ℎ（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=12×(上底+下底)×高，用含l1，l2，ℎ的代数式表示S扇环，并证明．Ⅱ用一段长为40 m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长ℎ为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少?23. 小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB=3 cm，高OC=4 cm，求这个圆锥形漏斗的侧面积．24. 如图所示，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120∘，AB长为30 cm，贴纸部分中BD的长为20 cm，求贴纸部分的面积．25. 如图，有一块圆形铁皮，BC是⊙O的直径，AB=AC，在此圆形铁皮中剪下一个扇形（阴影部分）．Ⅰ当⊙O的半径为2时，求这个扇形（阴影部分）的面积（结果保留π）．Ⅱ当⊙O的半径为R(R>0)时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由．答案第一部分1. B2. A3. D4. D5. D6. D7. D8. C9. D 10. B第二部分11. π612. 2π13. 300π cm214. 3√515. S2<S1<S316. 59π17. 120∘18. 12019. 4π+√3π20. 203670第三部分21. 在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∠A=90∘，∴BC=√AB2+AC2=√32+42=5．∴绕AC旋转一周圆锥的表面积S1=π×32+π×3×5=24π；绕AB旋转一周圆锥的表面积S2=π×42+π×4×5=36π．∴S1:S2=24π:36π=2:3．22. （1）S扇环=12(l1+l2)ℎ．证明如下：S扇环=S扇形OAB−S扇形ODC=nπR2360−nπr2360=nπ360(R2−r2)=12⋅nπ180(R+r)(R−r)=12(nπR180+nπr180)⋅ℎ=12(l1+l2)ℎ.（2）由l1+l2+2ℎ=40，得l1+l2=40−2ℎ．∴S扇环=12(l1+l2)ℎ=12(40−2ℎ)⋅ℎ=−ℎ2+20ℎ=−(ℎ−10)2+100(0<ℎ<20).∴当ℎ=10时，S扇环有最大值为100．∴当线段AD的长为10 m时，花园的面积最大，最大面积为100 m2．23. 根据题意，由勾股定理可知BC2=BO2+CO2．∴BC=5 cm．∴圆锥形漏斗的侧面积=π⋅OB⋅BC=15π cm2．24. 设AB=R，AD=r，∴S贴纸=13πR2−13πr2=13π(R2−r2)=13π(302−102)=8003π(cm2).答：贴纸部分的面积为8003π cm2．25. （1）∵BC是⊙O的直径，AB=AC，∴∠BAC=90∘，AB=AC，AF⊥BC．当⊙O的半径为2时，AC=AB=2√2，∴S阴影=90π⋅8360=2π．（2）不能．理由如下：当⊙O的半径为R(R>0)时，AC=AB=√2R．阴影部分扇形的弧长为√2Rπ，EF=2R−√2R．2以EF为直径作圆，是剩余材料③中所作的最大的圆，其圆周长为(2−√2)Rπ．∵√2Rπ>(2−√2)Rπ，2∴不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥．初中数学试卷。