数学人教版九年级下册锐角三角函数的应用举例
新人教版九年级数学下册《锐角三角函数应用举例——坡度问题》教学设计
教学难点
利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题。对于坡度 i 表示成 1∶m 的形 式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视。 一．引入 山坡陡峭程度、梯子倾斜度描述。 二、新授。
教学过程
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
（1） h ：铅垂高度。 （2） l ：水平长度。
（3）坡角 ：坡面与水平面的夹角。
（4）坡度（坡比）:坡面的铅垂高度 h 和水平长度 l 的比。 记作： i ，即： i h tan
l
注意：
i h 1 1 tan llm h
显然，坡度 i 越大，坡角 就越大，坡面就越陡。
练习：
1、如图是一个拦水大坝的横断图,AD∥BC.,
(1)如果斜坡 AB=10m,大坝高为 8m,则 斜坡 AB 的坡度为________
锐角三角函数应用举例
——坡度问题教学设计
知识与技能：巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。 过程与方法：掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与 教学目标 坡度有关的实际问题。 情感、态度与价值观：培养学生用数学的意识，渗透数形结合的数学思想和 方法。
教学重点 理解坡度和坡角的概念。
练习提高 下图是一座人行天桥的示意图,其高是 8m,原 坡面的倾斜角为 45°现在要降低坡度,使新坡 面的倾斜角为 30°,若新坡角前需留 3m 的人行 道,问原距底 A 点 10 m 的建筑物是否需要拆除？ 请说明理由. 课堂小结 学习了本堂课，回答下列问题： 1.有哪些量可以反映斜坡的陡峭程度？如何反映？ 2.坡度是角度吗？坡度指的是什么？ 3.坡度与坡角有什么关系？ 课后作业 1.课本 77 页练习 2 2.课本 79 页第 9 题
的高度为 米.
人教版九年级下册数学《解直角三角形应用举例》锐角三角函数研讨复习说课教学课件
学以致用
如图水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角∠B＝30°，背
水坡的坡度为1: 2 (坡面的铅直高度DF与水平宽度AF的
比)，坝高CE(DF)是45米，求AF、BE的长，迎水坡BC的长，
以及BC的坡度.
AF=45 2 m BE=45 3
BC=90m
= 1: 3
知识点二：坡度、坡角的实际应用
角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结
1.坡度：我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度 l 的比
叫坡度（或叫坡比）用字母 i 表示：
课件
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个人简历：课件/jianli/
课件
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手抄报：课件/shouchaobao/
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课件 课件
D.500
米
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
探索新知
例 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔
80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯
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个人简历：课件/jianli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
典例讲评
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡
AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i' =1:2.5,求坝底宽AD和斜坡AB
的长.
(精确到0.1m，tan18°26′ ≈0.3333，sin18°26′≈0.3162)
课件
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课件
九年级数学锐角三角形的简单应用
35°12′
43°24′
F
D E B
32.6
C
学校操场上有一根旗杆，上面有一根开旗 用的绳子（绳子足够长），王同学拿了一 把卷尺，并且向数学老师借了一把含300和 450的三角板去度量旗杆的高度。
若王同学分别在点C、点D处将旗杆上 绳子分别拉成，如图量出CD=8米，你 能求发现在它的北偏西30°， 距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向 航行，经过3分时间后到达哨所东北方向的 B处，问船从A处到B处的航速是每时多少 km（精确到1km/h） 北 A。 C 。B
30°
45°
O
东
例3 如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从 楼顶点A观测点D的俯角为35°12′，观测点C 的俯角为43°24′，求这两幢楼的高度（精确 到0.1m）
第二课时
实际生活中，如：河道宽度、建筑物 测量问题，航空、航海定位问题，均可以 用锐角三角函数解决。
建筑物测高
例1 如图，河对岸有一小塔AB，在C处测 得塔顶A的仰角为30°，沿CB所在直线向 塔前进12米到达D处，测得塔顶A的仰角为 45°.求塔高AB（精确到0.1米）
A 30° 45° B 12米 D
600
450 B 8m
C
D
小结：
1.找到实际问题与“解直角三角形”间 的 联系点； 2.分析题意后能画出准确的示意图
课本P19 课内练习1，2，3
课本P19－20
作业题1－5
门闩。《北齐书·窦泰传》：“其人入数屋，俄顷而去。旦视关键不异，方知非人。”指装在物体上作关闭用的器件。 宋周煇《清波杂志》卷二：“ 元丰 间，亦有守边者，一夕失城门锁，亦不究治，但亟令易而大之。继有得元 锁来归者，乃曰：‘初不失也。’ 使持往合关键，蹉跌不相入。” 机关，机械装置。清袁枚《新齐谐·铜人演<；西厢>；》：“西洋贡铜伶十八人，能演《西厢》一部。人长尺许，身躯耳目手足悉铜铸成。其心 腹肾肠皆用关键凑接，如自鸣钟法。” ； /s/blog_13002ab1a0102xg8o.html jeh50mcg 比喻事物最关紧要的部分；对事情起决定作用的因素。秦牧《艺海拾贝·鹦鹉与蝴蝶鸟》：“而这里面有一个关键性的问题，就是作品应该有荡 气回肠的感人力量。” 比喻禁约。《魏书·萧宝夤传》：“如不限以关键，肆其傍通，则蔓草难除，涓流遂积。”比喻诗文的结构。宋周必大《二老堂诗话·东坡寒碧 轩诗》：“苏文忠公 诗，初若豪迈天成，其实关键甚密。” 明胡应麟《少室山房笔丛·九流绪论下》：“古今文章之关键，亦间有相通者。”比喻咽喉要地。《清史稿·兵志九》：“李宗羲以苏松之门户， 吴淞为要，长江之关键，江阴为先。” 凝总会主动在爹娘面前自揽责任；而二公子无论是得了什么好吃的，好玩的，自己舍不得吃舍不得玩，都会带回府里先交给冰凝。因此，兄妹情 深四个字，根本表达不了他们兄妹两人的全部情谊。要不是到京城任职，二公子才不会舍了妹妹壹个人在湖广。二公子真是少年得志！五年前， 才二十来岁就任翰林院检讨。这翰林院号称“玉堂清望之地”，能够跻身其中，绝对是非同凡响的人物，更何况是壹个才二十出头的青年才俊。 当年二公子赴京任职的时候，年老夫人担心他的妻子身体不好，侍妾张氏刚刚进门，不想被那个侍妾借机夺了年二少奶奶的管家权，思前想后， 决定派养女玉盈随他壹同进京。第壹卷 第六章 玉盈玉盈6岁的年纪来到年总督府上。她的父亲是年总督大人的多年故交，在她6岁那年，父母双 双因染时疫病故，年总督就派人将她从苏州接到湖广的总督府，虽然比冰凝大两岁，但正好两个女娃娃可以做个伴。于是两个半路丫鬟妹开始了 壹起读书，壹起学女红，壹起玩耍的年府生活，慢慢地，两个人就好得像两个双生子似的。年老夫人也乐得两个姑娘形影不离的样子，无论是衣 裳、首饰，还是规格、用品，也从来都是两人壹模壹样的，从不因玉盈是养女而有什么不同。然后，就是壹眨眼的功夫，两个女娃娃就长成了大 姑娘。大姑娘了，两姐妹的脾气、禀性、样貌、才学也越发地各不相同起来。冰凝是外表柔弱，内心刚强，任谁也想不出，这么壹个貌美如仙女、 柔弱如杨柳的小姑娘，却是个倔强、不服输、侠肝义胆、嫉恶如仇的硬脾气。那玉盈却是正正好相反，表面上风风火火、办事干净麻利，内心却 是极为敏感，脆弱得不行。也难怪，她是养女，虽然年老夫妇壹直将她当亲生女儿看待，但她总是没来由地有壹种自卑感。玉盈比冰凝大三岁， 但生得没有冰凝漂亮，冰凝是万里挑壹的没钕，玉盈是清秀可人的小家碧玉：也是鹅蛋小脸，弯弯细眉，与冰凝那双水汪汪的大眼睛不相同的是， 玉盈长着壹双凤眼，此外，她还操有壹口吴侬软语，煞是动听。这玉盈样貌没有冰凝好、学业没有冰凝好，但是，她的管家本领却是与生俱来， 好得很。她办事既利落又公道，年夫人偶尔不在府的时候，才十来岁的娃娃，竟是将诺大个年总督府维持得井井有条。这也是年夫人决定派她随 二公子壹同进京的原因，有玉盈这么壹个精通府务的人照料二公子，她就放心踏实多了。在京城期间，年二公子衙门当差，二嫂踏实养病，玉盈 管家，过得还算顺利。可是好景不长，也是二嫂没有福份，养了多年的病，终究也是没有好起来，突然就故去了。这二嫂是大学士明珠的孙女， 纳兰性德的侄女。年家和明珠府都是豪门望族，因此，丧事的规格极高，礼仪非常隆重。而承担这个重任的，就是
初三数学-锐角三角函数的概念及其应用
初三数学讲义——锐角三角函数的概念及应用（1）一、锐角三角函数的概念：例1．矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，将矩形折叠，使点A 与点C 重合，求折痕EF 的长.例2．（1）将矩形纸片ABCD 沿对角线成AC 折叠，使点B 落在点E 处，AD 和CE 相交于点F. 求证：EF ＝DF.（2）已知，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD ＝13，求tanA 的值.例3.如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BCD=90︒，且AB=1，BC=2，ta n ∠ADC=2. ⑴求证：DC=BC ；⑵E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；⑶在⑵的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135︒时，求sin ∠BFE 的值。
锐角三角函数的概念练习题：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝9，BC ＝3，则sinA ＝ ，tanB （2）如果0°＜α＜90°，且sin α＝45，则cos α的值等于 .EBFCDA（3）在△ABC 中，∠C ＝90°，且3AC ＝ 3 BC ，则∠A 的度数等于 ，cosB ＝ ，tanA ＝ 。
（4）菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝6，BD ＝8，设∠ABD ＝α，则下列结论正确的是：（ ） A ．sin α＝45 B. cos α＝35 C. tan α＝43D.cos α＝54（5）Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，已知BC AB ＝ 53 ，则sin ∠ACD ＝ ，sin ∠BCD ＝ ，tan ∠ACD ＝ .二、特殊角的三角函数值： 例4.计算：（1）sin 245°−sin 260°+tan30° ∙ cos30°. （2）21cos60°+2∙ cos45°−sin30°∙ tan45°.三、解直角三角形：例5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，解下列直角三角形 （1）a ＝5 3 ，b ＝15 3； （2）a ＝5，c ＝5 2 ；（3）∠A ＝30°，b ＝6；（4）∠B ＝60°，c ＝12.【例6】如图，海上有一灯塔P ，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A 点处测得灯塔P 在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?A B P北 东【例7】如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH BC ∥，坡角74ABC ∠=，坝顶到坝脚的距离6m AB =．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长（精确到0.1m ）．基础训练1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，则sinA 的值为_________。
锐角三角函数的应用举例
03 锐角三角函数在物理问题 中应用
力学中角度与力关系问题
斜面问题
在斜面问题中，锐角三角函数可以用 来描述物体在斜面上的重力分量、摩 擦力等，从而解决物体在斜面上的运 动问题。
矢量合成与分解
在力学中，锐角三角函数可以用来进 行矢量的合成与分解，例如求解两个 力的合力或分力。
运动学中速度与加速度关系问题
运动轨迹计算
研究星体的运动轨迹是天文学的重要任务之一。利用锐角三角函数和相关物理原理，可 以计算出星体的运动速度、方向以及轨迹形状等信息，有助于深入了解宇宙的运行规律
和星体的性质。
06 总结与展望
回顾本次课程重点内容
锐角三角函数的基本概念
本次课程详细讲解了锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、 性质以及基本关系式，为后续应用打下了坚实基础。
锐角三角函数的应用举例
目 录
• 锐角三角函数基本概念 • 锐角三角函数在几何问题中应用 • 锐角三角函数在物理问题中应用 • 锐角三角函数在优化问题中应用 • 锐角三角函数在实际问题中应用举例 • 总结与展望
01 锐角三角函数基本概念
锐角三角函数定义
正弦函数（sine）
在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边长 度除以斜边长度。
已知两边和夹角求第三边
利用余弦定理或正弦定理可以求出第三边。
面积与体积计算问题
三角形面积计算
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求出面 积。
多边形面积计算
将多边形划分为多个三角形，分别求出每个三角形的 面积后相加。
立体几何体积计算
在立体几何中，锐角三角函数可以用于计算一些特殊 几何体的体积，如圆锥、式进行求解，避 免了计算二阶导数的复杂性。
05 锐角三角函数在实际问题 中应用举例
2020中考数学 九年级下册锐角三角函数在实际问题中的应用(含答案)
2020中考数学 锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）1.如图，小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A 处用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB 的高为多少米？参考答案:解：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E 则AE=CD=60米，则∠AEB=90°，EC=AD=1.5 在Rt △ABE 中， 即tan 3060BE=∴60tan 3060BE === 所以，古塔高度为： 1.5CB BE EC =+=米2.如图，小强在家里的楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶点B 处的仰角为60°，看楼底点C 的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC 为多少米？参考答案:解：过A 作AD ∥地面，交BC 于D 则在Rt △ABD 中，tan 60BD AD ∠=，即tan 6030BD∠=，∴BD =在Rt △ACD 中，tan 45DC AD ∠=，即tan 6030DC ∠=，∴30DC = ∴楼高BC 为：30BD DC +=+AD BC3.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°。
已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。
（结果保留整数，参考数据：7sin 3512≈，5cos356≈，7tan 3510≈）参考答案:解：过A 作AD ⊥BC 于点D则AD 即为热气球的高度，且∠1=∠2=45∴可设AD=BD=x 则CD=x+100 在Rt △ADC 中tan AD C DC =，即tan 35100xx =+得：7003x =即热气球的高度为7003AD =米 4.如图，某建筑物BC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一直线上．小红在D 处观测旗杆顶部A 的仰角为47°，观测旗杆底部B 的仰角为42°．已知点D 到地面的距离DE 为1.56m ，EC=21m ，求旗杆AB 的高度和建筑物BC 的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90）．参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°．过点D 作DF ⊥AC,垂足为F ．则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BFD=42°．1.41≈ 1.73≈）参考答案:解：过C 作CD ⊥AB 于点D ， 则∠DBC=45°=∠BCD ∴可设BD=CD=x在Rt △ACD 中可得：tan DCDAC AD∠=即：tan 302x x =+得1 2.73x =≈即，点C 与探测面的 距离大约为2.73米。
【经典】九年级下册数学 人教版 锐角三角函数应用
第9讲 锐角的三角函数应用教学目标：1、掌握并灵活运用各种关系解直角三角形；2、准确理解几个概念：坡角，坡度，仰角，俯角，方位角；3、能借助辅助线解决实际问题，体会数形结合的数学思想。
教学重难点坡角坡度、仰角俯角、方位角知识框架图知识要点1.仰角和俯角的认识2.认识坡度、坡角 如图坡度为313913==i ，坡角为α，αtan =i6m A3.利用计算器可以求任意一个锐角的三角函数，已知一个锐角的三角函数也可用通过计算器求出这个角。
经典例题例1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?参考数据：732.13≈例2.在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求东楼高(精确到0.1米)．（参考数据tan10°≈0.176）例3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A 发现海上有一艘敌军舰艇正从C 处向海岛驶来，当时的俯角︒=71.5α，经过5分钟后，舰艇到达D 处，测得俯角︒=59.7β。
已知观察所A 距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。
（参考数据tan5.71°≈0.1，tan7.59°≈0.133）例4.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?（参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，sin34°≈0.559，cos34°≈0.829）例5.已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到0.1m)．（参考数据：sin26°≈0.438，cos26°≈0.899，tan26°≈0.488）例6．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?经典练习1.已知如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．2、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？4、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．5．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?6.已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．7．已知如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了500m 3到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m ，到达目的地C 点． (1)求A 、C 两地之间的距离； (2)确定目的地C 在营地A 的什么方向?8．为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。
人教版九年级数学下册锐角三角函数《解直角三角形应用举例》公开课教学课件
环节1
环节2
环节3
5. （教材75页例4）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120米，这栋楼有多高？
环节1
环节2
环节3
【变1】如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角为30°，底部C点的俯角为45°，求教学楼AC的高度。（结果保留根号）
第二十八章 锐角三角函数
28.2.2 应用举例
人教版九年级数学下册
课标要求
知道直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数，能用锐角三角函数解决简单的实际问题。
学业要求
能用相关知识解决一些简单的实际问题。
2016-2023年新疆自治区（兵团)中考考点分析
年份
题号
考察内容
提高性作业
第2题：如图:是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽BC为6m，堤高为4m，为了提高海堤的拦水能力，需要将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡CD的坡度也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改成i=1:2.5(有关数据在图上已注明），若每方土300元，计划付给民工多少资金？
环节1
环节2
若三角形中有已知角时，则通过在三角形内 ，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键。
作高CD
【等量关系】 CD为公共边，AD+BD=AB。
D
环节1
环节2
C
B
D
A
B
E
F
【等量关系】
CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB
CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB
人教版九年级数学下册 锐角三角形的应用 讲义
锐角三角函数的实际应用解题技巧：设所求边为x ，根据两个直角三角形的三角函数列出方程，再解答例题讲解：例1、如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B 的仰角为45°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为50m ，求这栋楼的高度（结果保留根号）例2、车辆安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载。
三中初三（一）班数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：现在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道上确定点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=30°，∠CBD=60°（1）求AB 的长（精确到0.1米，参考数据3 1.73=，2 1.41=）（2）已知本路段对汽车限速为40千米/小时，若测得一辆汽车从A 到B 用时2秒，判断这辆汽车是否超速？例3、如图，河对岸有古塔AB。
小明同学在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进20米到达D。
在D处测得A的仰角为45°，求塔高多少米？1、如图，小明在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高。
现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为20米。
请你帮助小明同学计算树的高度（结果保留根号）2、我市进行城区规划，工程师需测一栋大楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，求楼AB的高3、（触礁问题）如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东60°，前进6海里到点B，测得岛C在北偏东30°。
已知岛C周围5海里内有暗礁，若船继续航行，有无触礁的危险？请说明理由（参考数据：3 1.73≈，2 1.41≈）4、某岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对该岛海域实现了常态化巡航管理。
九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 . 解直角三角形及其应用应用举例
原传送带AB的长为4 m.。分析(1)如图,先过点A作AD⊥BC于点D,通过Rt△ABD求出AD的
长,再通过Rt△ACD求出AC的长。在Rt△ABD中,AD=ABsin 45°=。因为PC=PB-CB=42.1=1.9(m)<2 m,。关闭
(1)求车架档AD的长;
(2)求车座点E到车架档AB的距离.
(结果精确到1 cm.参考数据: sin 75°≈0.966, cos 75°≈0.259,tan 75°≈3.732)
452
602 =75(cm).
(1)AD=
+
所以车架档 AD 的长是 75 cm.
(2)过点 E 作 EF⊥AB,垂足为 F,则 EF=AE sin 75°
m. 30tan α
3.在解决(jiějué)实际问题时,可以直接或通过作辅助线,构造出直角三角形,
化归为解
的问题来解决.
直角三角形
12/11/2021
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快乐预习感知
4.如图,小明要测量(cèliáng)河内小岛B到河边公路l的距离,在点A测得
∠BAD=30°,在点C测得∠BCD=60°,又测得AC=50 m,则小岛B到公路l的距离为
在Rt△ABD中,AD=ABsin 45°=
2
2
4× =2 2(m).
在Rt△ACD中,
因为∠ACD=30°,
所以AC=2AD=4 ≈5
2 .6(m),
即新传送带AC的长度约为5.6 m.
(2)结论(jiélùn):货物MNQP应挪走.
2
在 Rt△ABD 中,BD=ABcos 45°=4×2 =2 2(m).
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cos50°≈ 0.62
tan 50°≈1.366 ）
解：依题意可知，在Rt∆ADC中
所以树高为：20.49+1.72=22.21
（ 其中 sin50 °≈0.77 cos50°≈ 0.64 tan 50°≈1.2 ） B 140° C E ∟
解：要使A、C、E在同一直线上， A 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD－∠D=90° D E cos BD E BD
D E c o s B D E B D
c=13 a=12
A
b
C
例3： 2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一
号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫” 号 组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当飞船 运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到 地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？ （地球半径约为6 400km，∏取3.142，结果取整数） 分析：从飞船上能最远直接 F 看到的地球上的点，应是视 P 线与地球相切时的切点． Q
B 的对边 b sin B 斜边 c
C
a
B
A 的邻边 b cos A 斜边 c
B 的邻边 a cos B 斜边 c
A 的对边 a tan A A 的邻边 b
B 的对边 b tan B B 的邻边 a
在Rt△ABC中已知a=12,c=13，求∠B应该用边角之间的哪个 关系？请计算出来. B 解：依题意可知
的角叫 的角叫
α β
图①
小试牛刀
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
A 仰角 水平线
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
BD CD tan a ,tan AD AD
BD AD tan a 120 tan 30
想方法？如何添加辅助线构造可解的直角三角形？
【反思小结】利用直角三角形中的边角关系求线段的长 度，如果涉及两个或两个以上的三角形时，可以通过设 未知数，利用线段之间的等量关系列出方程，从而求解 ．
【针对训练二】
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的 仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
（ 其中 sin54 °≈0.8 cos54°≈ 0.6 tan 54°≈1.38 ） 45° 54° 40m 解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m
A B
D
C
在Rt△ACD中
tan A D C A C D C
A C t a n A D C D C
t a n 5 4 4 0 1 . 3 8 4 0 5 5 . 2
义务教育教科书（人教版）九年级数学下册
宾阳县邹圩中学
黄伟寿
• 1．了解仰角、俯角的概念，根据直角三 角形的知识解决实际问题． • 2．逐步培养分析问题、解决问题的能力 ．
在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
A
（1）三边之间的关系 （2）两锐角之间的关系
（3）边角之间的关系 b c
A 的对边 a sin A 斜边 c
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：棋杆的高度为15.2m.
2.
本节课你学习了什么知识？
1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化 为数学问题来解决．
2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实 际问题解决．
达标检测 反思目标
（ 其中 sin52 °≈0.79
B α D
CD AD tan 120 tan 60
3 120 40 3 3
A
β
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277 （ m ）
答：这栋楼高约为277m
C
中考练兵
合作探究 达成目标
小组讨论2:从活动2中例题的解答中，你体会到什么思
如图，⊙O表示地球，点F是飞船 的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是 ⌒ 从飞船观测地球时的最远点． 的 PQ 长就是地面上P、Q两点间的距离， 为计算 ⌒ 的长需先求出∠POQ（即 PQ a）
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
OQ 6400 cos a 0 . 9491 OF 6400 350
a 18 . 36
F P α O· Q
∴ 弧 PQ的长为
18 . 36 18 . 36 3 . 142 6400 6400 2051 180 180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距 离P点约2051km
【针对训练一】
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山 的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E 三2 0 0 . 6 4 5 2 0 3 3 2 . 8
50° D
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E在同一条直线上.
合作探究 达成目标
小组讨论1:从活动1中的例题解答中，你能体会到解直
角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？ 【反思小结】一般情况下，直角三角形是求解或运用三 角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角 形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函 数解决问题．