二随机变量

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概率论-二维随机变量

P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
称上式为二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布律, 或称
为随机变量 ( X , Y ) 的分布律.
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
Y X
y1
y2 …
yi
…
x1 x2 . . xi
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . . . . . . . . . . . . . pi1 pi2 … pij …
一、二维随机变量和联合分布函数定义3.1: 设E是一个随机试验,它的样本空间是 {}. 设X = X (ω)与Y = Y(ω)是定义在Ω上的两个随机变量, 由它们构成一个向量(X, Y), 叫做的二维随机向量或二维随机变量。定义3.2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x, y,
在几何上 z f ( x, y ) 表示空间的一张曲面。由性质（2）知，介于该曲面和 xOy 平面之间空间区域的体积为 1 ，由性质（4）知，概率 P{( X , Y ) D} 的值等于以 G 为底，以曲面 z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体
的体积。
例1 设
0, x y 1, F ( x, y ) 1, x y 1,
对于任意的y, F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
对于任意的x, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0
y
x
F (, ) lim F ( x, y ) 0，
F (, ) lim F ( x, y ) 1.
P{ X 2, Y 0} C / C

数学期望(二维)

求随机变量函数 Y X 2的数学期望 .
解 : (法一 ) 先求 Y的分布律为
E(Y )
4
y p
k 1 k k
0 0.25 1 0.40 4 0.25 9 0.10
2.30
(法二 )
E(Y )
E( X
2)
x p 6
k 1
2 k
k
(2) 2 0.10 (1)2 0.10 02 0.25
)]
k
1
g
(
x
k
)
pk
（2）设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x).
若
广
义
积
分
g(x)
f
(x)dx绝
对
收
敛
，
则
E ( Y ) E [ g ( X )] g ( x ) f ( x ) d x
Note：此定理简单易用！若先求出Y的分布,很多题目要复杂的多．
例 2 设随机变量 X的分布律为
数学期望（二维）
二维随机变量的数学期望
定义1 对二维随机变量（ X , Y ） , 它的数学期望为
E（X ,Y） E ( X ), E ( Y )
离散型 P { X xi , Y y j } pij ,
E ( X ) x i p i•
xi p ij ,
i1
i1 j1
连续型（ X ,Y）, f ( x , y )
i, j 1, 2,
哦 E ( Y )
j 1
y j p j
该公式可y p接i 应1 用j 1
直
ij
！j

概率论之二维随机变量及其分布

2
arctan
y 4
(2) P(3<<+，0<4)
=F(+，4)-F(+，0) -F(3，4) +F(3，0)
1. 16
3、二维随机变量的概率分布
1）离散型随机变量
如果二维随机变量(，)是在有限个或无限可列个点(xi，yj)上取值（i，j=1，2，…）。则称(，)为
离散型随机变量。并称
P{ =xi， =yj}=pij i，j=1，2，… 为二维离散型随机变量(，)的概率分布或分布律，或称二维型离散随机变量(，)的联合分布律。
2）性质
二维分布函数F(x，y)具有下述性质：
(1) F(x，y)是x、y的单调不减函数.即对任意固定的y，当x2>x1时，F(x2，y) ≥F(x1，y)，对任意固定的x，当y2>y1时，F(x，y2)≥F(x，y1)；
(2)F(x，y)关于x、y均是右连续的，即
F(x，y)=F(x+0，y)，F(x，y)=F(x，y+0)；
j 1,2,
例5 一盒中装有三只正品和两只次品的某种产品，现随机地抽取两次，每次抽取一种产品，记
1, 0,
第一次取出的是正品，第一次取出的是次品。
1, 0,
第二次取出的是正品，第二次取出的是次品。
试就有放回、无放回情形考察(，)的分布。
(1) 有放回情形
的分布
0
1
pi
0 22 32
2
55 55 5
xy
F ( x, y)
p(u, v)dudv
则称(，)是连续型二维随机变量，函数p(x，y)称为二维随机变量(，)的概率密度，或称随机变量

第05章二维随机变量

第五章二维随机变量第一节二维随机变量及其分布一、二维随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 、Y 均为S 上的一维随机变量，称二维向量X ),(Y X =为S 上的二维随机变量.2、X 的分布：}{B P ∈X , 2B ∈B . 其中可证：=∈}{B X F ∈∈∈},))(),((|{S e B e Y e X e .若取},|),{(2121y y y x x x y x B ≤<≤<=，那么},{}{2121y Y y x X x P B P ≤<≤<=∈X},{22y Y x X P ≤≤=},{21y Y x X P ≤≤- },{},{1112y Y x X P y Y x X P ≤≤+≤≤-.3、分布函数(1)定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量,R ∈∀y x ,,规定：},{),(y Y x X P y x F ≤≤=. 称),(y x F 为),(Y X 的分布函数.显然: },{2121y Y y x X x P ≤<≤<),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=.(2)性质① R ∈∀y x ,,1),(0≤≤y x F .② ),(y x F 关于y x ,均为单调不减函数.③ 0),(=-∞y F ,0),(=-∞x F ,0),(=-∞-∞F ,1),(=+∞+∞F . ④ ),(y x F 关于y x ,均为为右连续函数.⑤ R ∈<<∀2121,y y x x ,0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F .注：①~⑤为分布函数的特征性质.反之亦然.例1掷硬币三次，X 表示出现正面的次数，|)3(|X X Y --=，求),(Y X 的分布函数),(y x F .解:(1) X 的所有可能取值为3,2,1,0,依次记为4321,,,x x x x ,Y 的所有可能取值为3,1,依次记为21,y y .列表如下X样本点Y0 (反反反)3 1 (正反反) (反正反) (反反正) 1 2(正正反) (正反正) (反正正)13 (正正正)3(2) 概率情况列表 81},{21===y Y x X P ，83},{12===y Y x X P ， 83},{13===y Y x X P ,81},{24===y Y x X P ，其他0},{===j i y Y x X P .(3)求分布. 记}2,1 ,3,2,1|),{(===j i y x A j i ,YX1 3 0 0 8/1 1 8/3 02 8/3 0 38/1A B BA B +=, 显然φ=∈}),{(A B Y X ，那么}),{(}),{(}),{(A B Y X P BA Y X P B Y X P ∈+∈=∈∑∈===∈=By x j i j i y Y x XP BA Y X P )(,},{}),{((4)求分布函数. ∑≤≤===≤≤=yy x x j i j i y Y x XP y Y x X P y x F ,},{},{),(.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥<≤<≤≥≥<≤<≤<≤≥<≤<<<<=.3 ,3 1, ,3 ,32 ,8/7 ;31 ,3 ,8/6 ;3 ,21 ,8/4 ;31 ,21 ,8/3 ;3 ,10 ,8/1;3 ,1 1 0 0,),(y x y x y x y x y x y x y x y x y x F 或或二、边缘分布1、),(Y X 关于X 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F x X P x F y X +∞→=≤=.证明：取}{},{},{x X Y x X n Y x X A n ≤=+∞<≤→≤≤=不减,由①②知),(lim y x F y +∞→存在,故)(}{)lim ()(lim ),(lim ),(lim x F x X P A P A P n x F y x F X n n n n n y =≤====∞→∞→∞→+∞→.2、),(Y X 关于Y 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F y Y P y F x Y +∞→=≤=. (略)三、随机变量相互独立、定义：设),(y x F 为),(Y X 的分布函数，X 、Y 的分布函数分别为 )(x F X 、)(y F Y ，若R ∈∀y x ,，恒有=),(y x F )(x F X )(y F Y ，则称X 与Y 相互独立.2、X 与Y 相互独立⇔R ∈<<∀2121,y y x x ，恒有}{}{},{21212121y Y y P x X x P y Y y x X x P ≤<≤<=≤<≤<.证明：“⇐” R ∈∀y x ,，由于},{},{y Y x X y Y n x X n ≤≤→≤<-≤<-, }{}{x X x X n ≤→≤<-, }{}{y Y y Y n ≤→≤<-均不减,则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=},{lim y Y n x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{}{[lim y Y n P x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{lim }{lim y Y n P x X n P n n ≤<-≤<-=∞→∞→)()(}{}{y F x F y Y P x X P Y X =≤≤=.“⇒”R ∈<<∀2121,y y x x ,有 },{2121y y x x P ≤<≤<ηξ ),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=)()()()()()()()(11122122y F x F y F x F y F x F y F x F Y X Y X Y X Y X +--= )]()()][()([1212y F y F x F x F Y Y X X --= }{}{2121y y P x x P ≤<≤<=ξξ.3、X 与Y 相互独立⇔R ⊂∀21,B B ，恒有}{}{},{2121B Y P B X P B Y B X P ∈∈=∈∈.第二节二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量 1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量，若),(Y X 的取值为有限个或可数个(至多可数)，称),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量. 显然：),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量⇔X 与Y 均为S 上的一维离散型随机变量.2、概率分布：设),(Y X 所有可能取的值为),(j i y x ，令 },{j i ij y Y x X P p ===,称其为二维随机变量),(Y X 的概率分布(分布率)。

二维随机变量及其分布

第三章二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。

§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。

第二章随机变量(二)

1/2
1/4
解: 由概率的有限可加性，得所求分布函数为
15/22
0 x 1 1 1 x 2 4 即 F ( x) 1 1 2 x3 42 1 1 1 x3 4 2 4
0 1 F ( x) 4 3 4 1
例2.2
20/22
泊松定理设npn=λ(λ>0是一常数，n是任意整数)，则对任意一固定的非负整数k，有
定理的条件npn=λ,意味着n很大时候pn必定很小.因此当n很大,p 很小时有近似公式
其中λ=np。时用的近似值效果很好。（λ=np）
的值有表可查。
在实际计算中，当作为
而当
时效果更佳。
xk x
即F ( x )
xk x
p
k
这里的和式是所有满足xk≤x的k求和的。分布函数F(x) 在x=xk(k=1,2,…)处有跳跃，其跃跳值为pk=P{x=xk}。
13/22
②已知随机变量X的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。例如，求事件｛X∈B｝（B为实轴上的一个区
间）的概率P{ X∈B}时，只需将属于B的X的可能取值
17/22
二项分布
若离散型随机变量X的分布律为
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
18/22
在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那么由二项概率公式得X的分布律为：
即X服从二项分布。
当n=1时，二项分布化为： P{X=k}=pk(1-p)1-k k=0,1 即为（0－1）分布
P{ X xk } F ( xk ) F ( xk 0)

二维随机变量函数的分布

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例1 设随机变量 ( X, Y ) 的联合分布列如下
Y
X0
1
2
3
4
5
0
0
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
1
0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.08
2
0.01
0.03
0.05
0.05
0.05
0.06
3
0.01
0.02
0.04
0.06
0.06
0.05
试求 ZXY 的分布列．
解 Z 所有可能的取值显然为 0，1，2, ···, 8 . 在联合分布列中对使 Z 可取同一值的X 与Y的取值概率进行归并, 即得Y 的分布律如下
退出
退出
退出
Z = X＋Y
1. 离散变量之和的分布列可用归并法求之
在离散量的分布列中, 对X , Y 所有能使函数 Z 取同一值的全部取值概率进行归并 ( 例如, 固定一个变量的取值, 然后寻找另一变量与其之和为同一值的取值概率), 所得之和即是函数 Z 在同一可取之值上的取值概率.
那么, 其和变量 Z = X1 + X2 + … + X k
也是泊松量，且有
k
Z ~ P ( i ) i1
返回
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例2-4 两[ 0 ,1 ]上的均匀量 X 与Y 相互独立, 试求和变量
ZXY的概率密度.
解 Q X ~ R ( 0 , 1 ) ,Y ~ R ( 0 , 1 ) , 且相互独立 , ∴概率密度
x ty z
[ f(ty,y)d t]d y

概率论第三章二维随机变量

取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布分布律２. 边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布可列的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法求联合分布的步骤与方法分布先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.

概率论二维随机变量

联合概率密度函数法
对于连续型随机变量，可以通过联合概率密度函数积分计算边缘分布的概率密度函数。
边缘分布的应用场景
统计推断
在统计分析中，常常需要利用边缘分布来推断另一个随机变量的统计性质，如均值、方差等。
概率模型简化
在复杂概率模型中，可以通过计算边缘分布来简化模型，便于分析和计算。
数据处理
在处理多维数据时，可以利用边缘分布来提取单维数据，进行进一步的分析和处理。
条件概率与条件期望
条件概率
在概率论中，条件概率是指在某个条件下的概率。对于二维随机变量，条件概率是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的概率分布。
条件期望
条件期望是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的期望值。在二维随机变量中，条件期望是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的加权平均值。
05
例如温度和压力的联合分布。
02
二维随机变量的定义与性质
二维随机变量的定义
1 2
定义
二维随机变量是两个随机变量的组合，通常表示为 (X, Y)，其中 X 和 Y 都是随机变量。
定义域
二维随机变量的定义域是 X 和 Y 的取值范围的组合，通常表示为 D，D 是实数域 R 的子集。
3
概率空间
二维随机变量是概率空间的一个元素，概率空间由样本空间、事件域和概率函数组成。
联合概率分布满足概率的基本性质，即非负性、归一性和可加性。
03
二维随机变量的期望与方差
二维随机变量的期望
01
02
03
定义
二维随机变量的期望是所有可能取值的概率加权和。
计算公式
E(X,Y)=∫−∞∞∫−∞∞(x,y )f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是联合概率密度函数。

第一节二维随机变量及其分布

x y
xi x y j y
F （4）二维离散随机变量的分布函数为： x , y px i , y j
对单变量 x 或 y 来说都右连续的。二维连续随机变量的分布函数 F(x , y)是连续函数。
4
几何意义 F(x, y)表示随机点(X, Y)落在以(x, y)为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。
解（1 ） f ( x, y ) dxdy 1
0

0
ce
( x y )
dxdy c 0 (e
y

( x y )
)
0
dy
c e dy c(e ) 0
y 0
c1
c 1
（ 2）P ( X Y 1)
x y 1
f ( x, y ) dxdy
17
P ( X Y 1)

1 0
1 y
0
e
( x y ) 1
dxdy
y
x y1
e dy
1 y 0
1 y
0
e
x
dx e y (1 e y 1 )dy
0 y x
x
1 (e y e 1 )dy 1 2e
XY
1
0
1 3
2
1 3 1 3
1
2
7
例3.2 设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律. 解由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知3，4，j取不大于 i的正整数，且
11 P X i, Y j P Y j | X i P X i , i 4 i 1, 2,3, 4, j i.

《二维随机变量》课件

详细描述
二维随机变量是概率论中的一个概念，它由两个随机变量组成，每个随机变量都可以取不同的值，这些值之间有一定的概率分布关系。
性质
总结词
二维随机变量具有独立性、对称性、可加性等性质。
详细描述
独立性是指两个随机变量之间没有相互影响，一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量的取值。对称性是指两个随机变量的取值概率相同，即P(X=x, Y=y) = P(X=y, Y=x)。可加性是指两个随机变量的和仍然是一个随机变量，其概率分布可以通过两个随机变量的概率分布计算得出。
CHAPTER 03
二维随机变量的函数
Z变换
定义
Z变换是数学中的一种变换方法，用于将离散信号或序列转换为复平面上的函数。在二维随机变量的背景下，Z变换可以用于分析两
个随机变量之间的关系。
应用
通过Z变换，我们可以研究两个随机变量之间的依赖关系，例如相关性、条件概率等。此外，Z变换还可以用于信号处理、控制系统
线性变换在统计学、概率论和数据分析等领域有广泛应用，例如在回归分析和主成分分析中常用到线性变换。
标准化变换
标准化变换的定义
标准化变换是将二维随机变量的每个分量分别减去其均值并除以其标准差，从而将原始变量转换为标准正态分
布的随机变量。
标准化变换的性质
标准化变换将原始变量的均值为0、标准差为1的标准正态分布，保持了变量的方差、协方差等统计特性不变。
03
当相关系数为0时，协方差也为0，表示两个随机变量之间没有线性相关性。
CHAPTER 06
二维随机变量的函数变换
线性变换
01
线性变换的定义
线性变换是二维随机变量的变换方式之一，它通过一个线性方程组将原始变量转换为新的变量。

二随机变量及其分布工科

第二章随机变量及其分布习题2.1 P732. 一颗骰子抛两次,以X 表示两次中所得的最小点数. (1) 试求X 的分布列;(2) 写出X 的分布函数, 并作图.4. 有3个盒子,第一个盒子装有1个白球,4个黑球; 第二个盒子装有2个白球,3个黑球; 第三个盒子装有3个白球,2个黑球. 现任取一个盒子,从中任取3个球. 以X 表示所取到的白球数.(1) 试求X 的概率分布列;(2) 取到的白球数不少于2个的概率是多少?6. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.6,1;63,2/1;31,3/1;10,4/1;0,0)(x x x x x x F试求X 的概率分布列及P(X<3),P(X ≤3),P(X>1),P(X ≥1).11. 如果X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x x x p试求P(X ≤1.5).13. 设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(2x x Ax x x F试求 (1) 系数A;(2) X 落在区间(0.3,0.7)内的概率;(3) X 的密度函数.15. 设随机变量X 和Y 同分布,X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 已知事件A={X>a}和B={Y>a 独立, 且P(A ∪B)=3/4,求常数a.16. 设连续随机变量X 的密度函数p(x)是一个偶函数,F(x)为X 的分布函数, 求证对任意实数a>0, 有(1);)(5.0)(1)(0⎰-=-=-adx x p a F a F(2);1)(2)|(|-=<a F a X P (3))].(1[2)|(|a F a X P -=>习题2.2 P811.设离散型随机变量X 的分布列为试求E(X)和5. 用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个盘中), 现有三组砝码(甲)1,2,2.5,10(g); (乙)1,2,3,4,10(g); (丙)1,1,2,5,10(g), 称重时只能使用一组砝码. 问:当物品的质量为1g, 2g, …, 10g 的概率是相同的, 用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少?7. 对一批产品进行检查, 如查到第a 件全为合格品, 就认为这批产品合格;若在前a 件中发现不合格品即停止检查,且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大, 可认为每次查到不合格品的概率都是p, 问每批产品平均要查多少件?11. 设随机变量X 的分布函数如下, 试求E(X).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤<=--.1,211;10,21;0,2)()1(21x ex x e x F x x12. 某工程队完成某项工程的时间X(单位:月)是一个随机变量,它的分布列为(1) (2) 设该工程队所获利润为Y=50(13-X),单位为万元. 试求工程队的平均利润; (3) 若该工程队高速安排,完成该项工程的时间1X (单位:月)的分布为13. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0;0,2cos 21)(其他πx x x p 对X 独立重复观察4次,Y 表示观察值大于π/3的次数,求Y 2的数学期望. 习题2.3P884. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤<=--,1,211;10,21;0,2)()1(21x ex x e x F x x试求Var(X).5. 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-+=,,0;10,1;01,1)(其他x x x x x p试求Var(3X+2).7. 设随机变量X 仅在区间[a,b]上取值,试证.)2()(,)(2a b X Var b X E a -≤≤≤9. 设g(x)为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数,且E(g(X))存在,证明:对任意的ε>0,有.)())(()(εεg X g E X P ≤>11. 已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3×109,标准差是0.7×109. 试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2×109至9.4×109之间的概率的下界. 习题2.4P1013. 某优秀射手命中10环的概率为0.7, 命中9环的概率为0.3. 试求该射手三次射击所是的环数不少于29环的概率.5. 设随机变量X~b(n,p),已知E(X)=2.4, Var(X)=1.44, 求两个参数n 与p 各为多少?7. 一批产品的不合格品率为0.02, 现从中任取40件进行检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率:(1)用二项分布作精确计算;(2)用泊松分布作近似计算.9. 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为λ的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率为p,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为λp 的泊松分布.12. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{X ≤1/2}出现的次数,试求P(Y=2).13. 某产品的不合格品率为0.1,每次随机抽取10件进行检验,若发现其中不合格品数多于1, 就去调整设备.若检验员每天检验4次,试问每天平均要高速几次设备. 习题2.5P1153. 设K 服从(1,6)上的均匀分布,求方程012=++Kx x 有实根的概率.6. 设某种商品每周的需求量X 服从区间(10,30)上均匀分布,而商店进货数为区间(10,30)中的某一整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.10. 某种设备的使用寿命X(以年讲)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元,而调换一台设备制造厂需花费300元.试求每台设备的平均利润.11. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min 计)服从指数分布,其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,0;0,51)(5其他x e x p x某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开,他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试求P(Y ≥1).13. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x λλ(λ>0) 试求k,使得P(X>k)=0.5.20. 设X~N(3,22),(1)求P(2<X ≤5);(2)求P(|X|>2);(3)确定c 合得P(X>c)=P(X<c). 23. 从甲地飞往乙地的航班,每天上午10:10起飞,飞行时间X 服从均值是4h,标准差是20min 的正态分布.(1) 该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少? (2) 该机在下午2:20以前到达乙地的枝率是多少? (3) 该机在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率是多少?24. 某单位招聘员工,共有10000人报考.假设考试成绩服从正态分布,且已知90分以上有359人,60分以下有1151人.现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人,试问被录用者最低分为多少?30. 设随机变量X~N(μ,σ2),求E|X-μ|. 习题2.6P1231. 已知离散随机变量X 的分布列为试求Y=X 2与Z=|X|3. 设随机变量X 服从(-1,2)上的均匀分布,记⎩⎨⎧<-≥=.0,1;0,1X X Y 试求Y 的分布列.7. 设随时机变量X 服从区间(1,2)上的均匀分布,试求Xe Y 2=的密度函数.8. 设随机变量X 服从区间(0,2)上的均匀分布,(1)求Y=X 2的密度函数.(2)P(Y<2).13. 设),(~2σμN X ,求Xe Y =的数学期望与方差.15. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x 若若试求以下Y 的密度函数(1) Y=2X+1; (2)Xe Y =; (3)2X Y =.17. 设),(~2σμLN X ,试证:).,(~ln 2σμN X Y =。

二维随机变量

同理FY y F , y
二. 离散型边缘分布律
a. 定义：
FX x F x, pij p ij Pi , i 1,2,
xi x j 1 j 1
FY y pij P j , j 1,2,
问X和Y是否独立？
0

xe
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
0
( x y )
dx e ,
y >0
即： xe x , x 0 f X ( x) 0, 其它
e y , y 0 fY ( y ) 0, 其它
若(X,Y)的概率密度为

由
[ cy (2 x)dy ]dx
0 0 1 2 0
1
x

f ( x, y)dxdy 1
确定C
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
c =24/5
例2 设(X,Y)的概率密度是 cy (2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 注意积分限 0 , 其它求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 . 解: (2)
f ( x , y) 1 21 2 1 x 1 2 exp{ [( ) 2 2 2(1 ) 1 1
2 (
x 1
其中
1, 2 , 1, 2 ,
1
)(
y 2
2
)(
y 2
2
)2 ]}
均为常数,且
则称（ X,Y）服从参数为 1, 2 , 1, 2 , 的二维正态分布. 记作（ X,Y）～N( 1, 2 , 1, 2 , )

二维随机变量及分布

二维随机变量及其概率分布复习资料内容摘要一、二维随机变量设随机试验的样本空间为Ω，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量（X ，Y ）为二维随机变量或二维随机向量。

1．联合分布函数设（X ，Y ）是二维随机变量，y x ,是任意实数，函数F （x ,y ）=P{X ≤x ,Y ≤y}称为（X ，Y ）的分布函数，或称随机变量X 与Y 的联合分布函数. 2．联合分布函数的性质（1） 0≤F （x ,y ）≤1;（2） F(x ,- ∞)= F(-∞,y)= F(-∞,- ∞)=0F(+∞,+ ∞)=1;（3） F(x ,y)对x 和y 分别是不减的.即对于固定的y ，若x 1<x 2,则F （x 1，y ）()，y x F 2≤；对于固定的x ，若y 1<y 2，则F(x ，y 1)≤F(x ，y 2)；（4） F （x ，y ）关于x 右连续，关于y 右连续，即 F （x +0，y ）=F （x ，y ），F （x ，y+0）=F （x ，y ）。

（5）对于任意的点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1<x 2，y 1<y 2，有 F(x 2,y 2)-F(x 2,y 1)-F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1)≥0. 3.二维离散型随机变量如果二维随机变量(X ，Y)所有可能取的数对为有限个或可数个，则称（X ，Y ）为二维离散型随机变量．并且称Ｐ｛Ｘ＝i , Y=y j ｝=ij p ,i ,j=1,2…为（Ｘ，Ｙ）的分布律，或称做Ｘ与Ｙ的联合分布律．分布律也可用表格列出：分布律满足下列３条性质：４．二维连续型随机变量设（Ｘ，Ｙ）的分布函数为Ｆ（x，y），如果存在非负函数f（x，y），使得对任意实数x，y都有则称（Ｘ，Ｙ）为二维连续型随机变量，函数f（x，y）称做（Ｘ，Ｙ）的概率密度，或Ｘ，Ｙ的联合概率密度．f（x，y）具有下列性质：（１）f(x,y)≥0,（２）⎰+∞∞-⎰+∞∞- f(x,y)d x dy=1（３）若f（x，y）在点（x，y）连续，则有（４）设Ｄ为x Oy平面上的区域，则f(x,y)d x dyP{(x,y)∈D}=⎰⎰D二、边缘分布１．边缘分布函数设Ｆ（Ｘ，Ｙ）是Ｘ与Ｙ的联合分布函数，则ＦX（x）＝Ｐ｛Ｘ≤x，Y＜+∞｝=F(x,+∞)F Y(y)=P{ X＜+∞，Y≤y } =F（+∞）分别称为（Ｘ，Ｙ）关于Ｘ与Ｙ的边缘分布律。

二维随机变量的定义、分布函数综述

F(x2,y2)
-F(x2,y1)
x1 , y1
x1

x2 , y1
x2
-F(x1,y2)
+F(x1,y1)
P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
二维随机变量的联合分布函数的性质
性质（1） F(x,y)分别关于X和Y 性质（2） 0 单调不减； . ≤ F(x,y) ≤ 1 . F(x, － ∞)= 0 ；F(－ ∞,y)= 0 . F(－ ∞, － ∞)= 0 ；F(+ ∞, + ∞) = .1 F(x,y)分别关于X和Y 右连续； .
P{ X 0, Y 1} 10 2
12 11
P{ X 1, Y 0} 2 10
12
11
P{ X 1, Y 1} 2 1
12 11
(X,Y)的联合分布律 X 0 1
Y
0
15 22 5 33
5 33 1 66
1
例2.设随机变量 X 在 1,2,3 中等可能地取值,
X 1 2 3
Y
1
1/3 1/6 1/9
2
0 1/6 1/9
3
0 0 1/9
=++ =2/ 3
例：(X,Y)的联合分布律如下：
Y X
-1
0
求（1）k=?; (2) F(x,y)=?
1 2

k
+ + +k=1
k =
Y X
-1
0
1 2
当 x1 或
Y

二项随机变量计算公式

二项随机变量计算公式在概率论和统计学中，二项随机变量是一种离散随机变量，表示在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。

二项随机变量的概率分布可以通过二项分布来描述，而计算二项分布的概率可以通过特定的公式来实现。

二项随机变量的计算公式主要涉及两个参数：试验的次数（n）和成功的概率（p）。

通过这两个参数，我们可以得到在n次试验中成功k次的概率。

计算这个概率的公式如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功k次的概率，C(n,k)表示组合数，即从n次试验中取k次成功的组合数，p表示成功的概率，(1-p)表示失败的概率，^表示乘方运算。

在实际应用中，二项随机变量的计算公式可以帮助我们计算出在一系列独立试验中成功的次数的概率，从而进行风险评估、市场营销策略制定、医学研究等方面的决策。

举个例子来说，假设有一个硬币，正面朝上的概率为0.5，我们进行了10次抛硬币的试验，想要计算在这10次试验中正面朝上出现3次的概率。

根据二项随机变量的计算公式，我们可以得到这个概率值，从而进行相应的决策。

除了计算概率之外，二项随机变量的计算公式还可以用于计算均值和方差。

二项分布的均值可以通过以下公式计算：E(X) = np其中，E(X)表示随机变量X的均值，n表示试验的次数，p表示成功的概率。

通过这个公式，我们可以得到在n次试验中成功的平均次数。

而二项分布的方差可以通过以下公式计算：Var(X) = np(1-p)其中，Var(X)表示随机变量X的方差。

通过方差的计算，我们可以了解随机变量X的离散程度，从而评估风险和不确定性。

总的来说，二项随机变量的计算公式是概率论和统计学中非常重要的内容，可以帮助我们计算在一系列独立试验中成功的次数的概率，进而进行决策和分析。

同时，通过计算均值和方差，我们还可以了解随机变量的平均情况和离散程度，为实际问题的解决提供参考。

第五章二维随机变量及其分布

x −∞ −∞
∫
y
p(u, v )dudv .
则称（则称（X,Y）为二维连续型随机变量,p(x,y)称为为二维连续型随机变量, （X,Y）的联合密度（函数）。的联合密度（函数）。偏导存在的点处有：注：在F(x,y)偏导存在的点处有： ∂2 p( x, y) = F( x, y). ∂x∂y
1 1 2 + P ( X = 2,Y = 2) = 0 + + = . 3 3 3
2011-11-8 皖西学院数理系 13
一口袋装有3个球分别标有数字1，2，2，个球，例2 一口袋装有个球，分别标有数字从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球。从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球。
变量分成离散型、连续型及混合型，变量分成离散型、连续型及混合型，主要研究离散型和连续型的随机变量。散型和连续型的随机变量。
2011-11-8 皖西学院数理系 3
二、二维随机变量的分布函数定义：设有二维随机变量( X ,Y ), 对∀x, y ∈ R, 称概率 P( X ≤ x,Y ≤ y)为随机变量( X ,Y )的联合分布函数。记概率作：F ( x, y), 即 F ( x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y).
概率论与数理统计
x1 < x2 ⇒ F ( x1 , y) ≤ F( x2 , y);
y1 < y2 ⇒ F ( x, y1 ) ≤ F ( x, y2 ) .
有界性: 有界性:
0 ≤ F ( x, y) ≤ 1; F (−∞, y) = 0, F ( x, −∞) = 0, F (+∞, +∞) = 1.
xi
M

二随机变量

解：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和Y，则 X~ N(1100,502)，Y~ N(1150,802),依题意要比较概率的大小。两个概率如下：
比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。
第四节
随机变量函数的分布
设y=g(x)为一个通常的连续函数，X为定义在概率空间上的随机变量，令Y=g(X)，那么Y也是一个定义在概率空间上的随机变量。设X是离散型随机变量，Y是X的函数Y=g(X)。那么 Y也是离散型随机变量。
对任意一固定的非负整数k，有
证明
从而定理的条件npn=λ，意味着n很大时候pn必定很小。因此当n很大，p很小时有近似公式其中λ=np。在实际计算中，当作为而当时用的近似值效果很好。时效果更佳。的值有表可查。（λ=np）
例5：有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？解：设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知 X~(300,0.01)，若配备N位维修人员，所需解决的问题是确定最小的N，使得：P{X>N}<0.01 （λ=np=3）
当 y 时FY(y)=0，当 y 时，FY(y)=1；当时 FY(y)=P{Y≤y}= P{g(X)≤y} = P{ X≤h(y)}= Y的概率密度为
了求出Y的概率密度fY(y)，可以先求出Y的分布函数
FY(y)
由FY(y)便可求出Y的概率密度fY(y)=F’Y(y)。计算的关键是给出上式的积分区间。即将事件转化为用X表示的事件。其中。这种方法称之为分布函数法。
例2: 设连续型随机变量X具有概率密度

随机变量二次型的方差

随机变量二次型的方差随机变量二次型是数学和统计学中的重要概念之一。

它描述了随机变量的方差，是一种用来度量随机变量分布的离散程度的数值指标。

在本文中，我们将探讨随机变量二次型的概念、计算方法以及其应用。

首先，让我们来了解一下什么是随机变量二次型。

随机变量二次型是描述随机变量方差的一种数学工具，它由随机变量的取值和其概率分布函数共同决定。

具体而言，给定一个随机变量X及其概率分布函数，我们可以计算出X的二次型，从而得到X的方差。

方差是描述随机变量取值与其期望值之间离散程度的数值，方差越大，表示随机变量的分布越分散。

其次，让我们来看一下计算随机变量二次型的方法。

随机变量的二次型通常使用数学公式进行计算。

对于离散型随机变量，其二次型计算公式为σ^2=∑(x_i-μ)^2P(x_i)，其中σ^2表示方差，x_i表示随机变量的一个取值，μ表示随机变量的期望值，P(x_i)表示随机变量取值为x_i的概率。

对于连续型随机变量，二次型计算公式为σ^2=∫(x-μ)^2f(x)dx，其中f(x)表示随机变量的概率密度函数。

通过这些公式，我们可以计算出随机变量的方差。

随机变量二次型在统计学中有着重要的应用。

它可以帮助我们理解随机变量的分布情况，从而进行更准确的统计分析和预测。

例如，在金融领域，随机变量二次型常常被用来计算股票价格的波动情况。

通过计算随机变量的方差，我们可以了解股票价格的风险程度，并且可以采取相应的投资策略。

此外，在工程领域，随机变量二次型也被广泛应用于信号处理和图像处理等领域，可以帮助我们对信号和图像的质量进行评估和改进。

总结起来，随机变量二次型是一个用来描述随机变量方差的数学工具，通过计算随机变量的二次型，我们可以了解随机变量的分布情况和离散程度。

随机变量二次型在统计学和其他领域中有着重要的应用，可以帮助我们进行更准确的分析和预测。

通过深入研究和理解随机变量二次型，我们可以更好地应用它来解决实际问题。

二随机变量

概率论-二维随机变量

数学期望(二维)

概率论之二维随机变量及其分布

第05章 二维随机变量

二维随机变量及其分布

第二章 随机变量(二)

二维随机变量函数的分布

概率论第三章二维随机变量

概率论二维随机变量

第一节 二维随机变量及其分布

《二维随机变量》课件

二随机变量及其分布工科

二维随机变量

二维随机变量及分布

二维随机变量的定义、分布函数综述

二项随机变量计算公式

第五章 二维随机变量及其分布

二随机变量

随机变量二次型的方差

第05章二维随机变量

第二章随机变量(二)

第一节二维随机变量及其分布

第五章二维随机变量及其分布