理论力学

第2,3章中常见的平面运动刚体，通常就是这种情形。
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例 题 7-3
§7
动力学基础
均质细杆BD，长度为 l ，质量为 m， 与铅垂轴z轴焊 接，试求杆BD对z轴的转动惯量 J z 。 z 解：利用转动惯量的定义 A x l m x sin 60 D J z ( x sin 60) 2 dx dx 60 l 0 B
2)注意解题时综合运用基本原理,并结合运动学关系
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一、质点系质量分布的特征量
在动力学中，质点系的运动特征除用运动学量 (速度、角速度)描述外，还和质点系的质量和质 量分布的特征量有关。 质点系质量分布的 两个主要特征量： 质心C(质量中心)
转动惯量J(质量的分布特点)
质心C(质量中心)：与质点系平移的动力学特性有关； 转动惯量J：与质点系转动的动力学特性相关。
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8. 惯量主轴，主转动惯量 如果直角坐标系Oxyz中与z轴有关的两个惯性积J yz , xz J 均等于零,称z轴为刚体对点O的惯量主轴(惯性主轴)。 主转动惯量——刚体对惯量主 轴的转动惯量。 中心惯量主轴——过质心 的惯量主轴。 中心主转动惯量——刚体对 中心惯量主轴的转动惯量。
z1
x x1
平行轴定理
y yC b
z zC c
2
J z J zC md
(7-8)
其中 J zC 为对质心轴 zC 的转动惯量。 d为
z z ，C 两平行轴间的距离 d 2 a 2 b2 z
C
zC
(a,b,c) yC
某刚体对一系列相互平行之轴的 转动惯量中，对过质心的质心轴 的转动惯量数值最小。
O z l D A l
x
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3 1 8 2 BD 2 2 J z 2m(2l ) 2ml ml 12 3
OA z
例 题 7-2
J zB m( 2l ) 2 2ml 2
J z J zOA J zBD J zB 5ml 2
法1： 仅适用于有限个质点组成的质点系 —§7 列出各质点牛顿运动方程+质点间约束方程+初始条件 法2： 适用于无限多质点组成的质点系—刚体及刚体系 建立质点系整体运动学特征量与质点系 整体所受力系作用的特征量之间的关系
质点系的动量 和动量矩等
力系的主矢和 力系的主矩等
—§8,§9
本课程的重点
3
质点系动力学的基础： 仍为Newton第二定律 列动力学方程时的参考系： 取惯性系：即运动学量应取为绝对速度、绝对加速 度、绝对角速度、绝对角加速度
2 J z m z
(7-9)
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7.刚体对某点的转动惯量矩阵 yz d m
m
J xz xz d m (7-10)
m
称它们为对相应二直角坐标轴的惯性积，也是表 征刚体在直角坐标系Oxyz中质量分布状况的一种 物理量。显然它们的值可正可负可为零。 令
还可求出系统整体 Jz 5ml 2 5 2 l J z m总 z z m总 4m 2 对z 轴的回转半径：
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例 题 7-2
§7
动力学基础
(2) 均质圆环板, 内半径 r , 外半径 R, 圆环板的质量为 m y z’ r
z
解：设半径R的实心大圆板质量为mR 半径r的实心小圆板质量为mr
i
4
质点系的整体
运动学特征量
动力学三大 基本定理
动量 p ，动量矩 动能 T ，
动能 定理 动量 定理
LO
(对某点)
LOz (对某轴)
动量矩 定理
外力系作用 的特征量
力系的 功 W
力系的 主矢 FR
力系的主矩
M O , M Oz
刚体动力学部分的学习要点:
1)严密完整的理论框架,典型的“演绎”研究方法
Jx [ J ] J xy J xz J xy Jy J yz J xz J yz Jz
z (7-11)
O
称为刚体对点O的惯量矩阵，
为实对称矩阵。
x
y
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例 题 7-1
§7
动力学基础
两根均质细杆AB和BC,长度为 l ,质量分别为 m和2m,焊接 为一体，求对过B点垂直于杆的轴的转动惯量。 解：利用转动惯量的平行轴定理 1 l 2 1 2 AB AB 2 2 J B J C1 m( BC1 ) ml m ( ) ml 12 2 3 1 l 2 2 2 BC BC 2 2 J B J C2 2m( BC2 ) 2m l 2m ( ) ml 12 2 3
JB J
7l /6
AB C1
J
BC C2
ml
2
A
m C1
2m B C C2
C
思考：该杆对过其质心 垂直于杆的轴转动惯量 为多少？
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§7 动力学基础 1.求以下刚体对 z 轴的转动惯量 (1) 均质细杆OA和BD,已知:OA杆长l,质量m,BD杆:长2l, 质量2m,两杆呈直角焊接,并在B端焊接了一个质量 m的小球。 B J z J zOA J zBD J zB 解:转动惯量的叠加原理 l y 根据平行轴定理 J z J zC md 2
理论力学 B
(10-1-j7a)
北京理工大学宇航学院力学系
韩斌
22/II
§7 动力学基础
刚体动力学研究的基本问题： ——已知力求运动 ——已知运动求力 ——已知部分力和运动, 求另一部分力和运动 解动力学问题的基本出发点——Newton第二定律 (在惯性系中成立)
2
动力学问题的研究步骤和求解方法： 质点动力学: 用Newton第二定律 (见大学物理) 质点系动力学(本课程讨论的内容):
Jx
m
z可视为将刚体的全部质量都集中于距z轴距离为 z
y
2
z 2 dm

Jy
m
z
2
x 2 dm

Jz
m
x
2
y 2 dm
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（均质规则形状体的J 见附录II）
(7-7)
3.常见的几种均质物体的转动惯量(见附录II) 应牢记！
y’
A
y
z’
C m l
细直杆AB，C为杆的中点
D1
l轴
J l m
D2
2
(7-3)
n

m
定义:质点系对l 轴的转动惯量:
i Di m ri i
O
J l mi i2
i 1
(7-4)
刚体对l 轴的转动惯量: l y
x
J l d m (7-5)
2 m
dm
O
转动惯量的特点：与运动状态无关，仅 与质量分布有关，恒大于或等于零。
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1.质点系及刚体的质量和质心 C 设质点系由n个质点 Di i 1,2,, n 组成， 第i个质点的质量为 mi ；位于 ri ( xi , yi , zi ) 质点系的总质量 m mi
rC mi ri
i 1 n
n
i 1
质点系的质心 z
D1
(7-1)
m
Di ( x , y , z ) xC m m m m C C C (7-2) ri i 对刚体,将以上式中求和改为积分
例如,对质点
Fi maa
i
若取非惯性系：即将运动学量用复合运动方法表示,将 惯性系中的方程移项后为相对运动学量的关系式
Fi maa m(ae ar aC ) i Fi mae maC mar i Fi Fe FC mar
x
y
8
刚体在平行于xy的平面内做平面运动时， y l 轴常取为垂直于运动平面, 如：


x
J l J Oz J O
z
Z
O
l 定义：回转半径（惯量半径） z m 若某刚体对z轴的转动惯量为Jz ,则有
z
O
x
y
Jz
2 m z
(7-6)
的某一点时，该质点对z轴的转动惯量为Jz 。 刚体对直角坐标3个轴的转动惯量：
O
C D2
mi xi
i 1
n
yC
mi yi
i 1
n
zC
mi zi
i 1
n
rC
x
注意：质心只是空间中的一个几何点, y 不一定与质点系中某个质点重合;各质 点位置变化时,质心的位置一般也改变。
7
2. 质点系及刚体对某 l 轴的转动惯量 Jl (即质量对某轴的二次矩) 定义:质点对l 轴的转动惯量: l轴 z
xC
x
O
d
a
by
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5.刚体系转动惯量的叠加原理
刚体系对某轴的转动惯量符合叠加原理，
复杂形状物体的可分解为形状简单的几部分，
分别求对同一轴的转动惯量后再相加。 6.实际工程构件(多为非规则或非均匀物体)
的转动惯量
可由回转半径和总质量计算: 若已知刚体对某z轴的回转半径（惯量半径） z 则刚体对z轴的转动惯量Jz 为
z
C O
y
y1
刚体上(或刚体的延拓部分)的任一点，都存在该点的 3根惯量主轴，对应的有3个主转动惯量。
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刚体上(或刚体的延拓部分)的任一点，都存在3根惯 量主轴，对应的有3个主转动惯量。 3个主转动惯量即惯量矩阵的3个特征值,3根惯量 主轴的方向即惯量矩阵的3个特征向量的方向。 一般,物体的质量对称轴就是一根惯量主轴 y O x z1