2021届四川省成都市高新区高三第三次阶段性考试数学(理)试题(解析版)

2021届四川省成都市高新区高三第三次阶段性考试数学（理）试题
一、单选题
1．复数 满足 ， 为虚数单位，则 （）
A．1B． C．2D．
【答案】B
【分析】根据复数除法运算法则即可求解.
【详解】 ，
.
故选：B.
2．已知集合 ， ，则 中元素的个数为（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】采用列举法列举出 中元素的即可.
①该多面体是六面体；②点 到棱 的距离为 ；
③平面 平面 ；④该多面体外接球的直径为 ，
其中所有正确结论有（）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用图形翻折，结合勾股定理，可确定该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，利用线面垂直，判定面面垂直，即可得出结论.
【详解】结论①中，长、宽分别为 ， ，
长方体的外接球直径是长方体的体对角线，
设长方体的三边长分别为 ，则
，可得 ，
该多面体外接球的直径为 ，故④正确.
所以结论②③④正确，共3个.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够根据题意，得出折叠之后的几何体，并依托于一个长方体画出其图象，再进行位置关系的证明，以及求值.
二、填空题
13．已知函数 ， 的最小正周期是___________.
200
使用共享单车情况与年龄列联表
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量 ，求 的分布列与期望．
参考数据：独立性检验界值表
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中， ，
【答案】（1）列联表见解析，有 的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为 ．
A，B，C，D分别是其四条边的中点，则由勾股定理可得
，
， ， ， 四点重合为一点 ，
从而得到一个多面体，如图，
该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，故①错误；
结论②中， ， ，
是等腰直角三角形，
点 到棱 的距离为 ，故②正确；
结论③， ， ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，故③正确；
结论④，三棱锥扩展为长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
因为 与 互为反函数，图象关于直线 对称，
由直线 与直线 垂直，两直线的交点为 ，
所以点 ， 关于点 对称，
所以 ， ， ，且
所以 ，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求出 ， ， ，且 ，这个结论的得到涉及到反函数的图象和性质.
12．如图，一张矩形纸的长、宽分别为 ， ，四条边的中点分别是 ， ， ， ，现将其沿图中虚线折起，使得 ， ， ， 四点重合为一点 ，从而得到一个多面体，关于该多面体有下述四个结论：
， ，
.
故选：D.
9．已知 ， ，则 的最大值为（）
A． B．2C．4D．
【答案】B
【分析】由两点的距离公式表示 ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值.
【详解】∵ ， ，
∴
.
∵ ，∴ .
故选B.
【点睛】本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.
10．命题 ：函数 的最小正周期为 的充要条件是 ；命题 ：定义域为 的函数 满足 ，则函数 的图象关于 轴对称.则下列命题为真命题的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先判断命题 的真假性，再判断复合命题的真假.
【详解】 函数周期 ，解得： ，所以命题 是真命题；
若满足定义域为 的函数 满足 ，函数是偶函数，偶函数关于 轴对称，故命题 也是真命题，所以 是真命题.
对于C，若 ， ，可得 或 ，故C错误;
对于D，若 ，由线面平行的性质定理可得过m的平面β与α的交线1与m平行，又 ，可得 ，则 ，故D正确.
故选：D
8．已知 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数和正弦函数的单调性求出 的范围即可判断.
【详解】 ， ，
， ，
20
80
合计
160
40
200
于是 ， ， ， ，
∴ ，
即有 的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．
（2）由（1）的列联表可知，
经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为 ，
即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，
∵ ，
∴ ，
， ，
∴ 的分布列为
0
1
2
3
0.729
0.243
故选：C.
6．已知 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为（）
A．2B．3C．4D．
【答案】D
【分析】首先画出不等式组表示的可行域，再利用目标函数表示的几何意义求最值.
【详解】首先画出可行域，当 时，画出初始目标函数表示的直线 ，平移目标函数后，当直线过点 时，取得最大值 ，
故选：D
7．已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（）
【答案】（Ⅰ）存在 的中点 满足条件.证明见解析；（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）取 的中点 ，连接 ， ，根据平行的传递性，证明 ，即可证明四点共面；
（Ⅱ）取 的中点 ，连结 ，以点 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.
【答案】
【分析】先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.
【详解】由题得 ，
所以函数的最小正周期为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14．已知数列 的前 项和 ，则 ______.
【答案】
【分析】分 ， 两种情况，由 求解.
故y′＝ ≥0，解得0<x≤e，
故t的最大值是e.
故答案为： ．
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，解题关键是把问题转化为新函数 在 上递增，方法是构造法．
16．已知双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，若双曲线的左支上存在一点P，使得 与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且 ，则此双曲线的离心率为______.
0.027
0.001．
∴ 的数学期望 ．
【点睛】本题主要考查了 列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题.
19．如图，在四棱锥 中， 底面 ， 是直角梯形， ， ， ，点 是 的中点．
（Ⅰ）线段 上是否存在一点 ，使得点 ， ， ， 共面，存在请证明，不存在请说明理由；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值．
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】D
【分析】由线面的位置关系可判断A，B；由线面垂直的性质和线面平行的判定可判Hale Waihona Puke BaiduC；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断D.
【详解】对于A，若 ， ，可得 或 ，故A错误;
对于B，若 ， ，可得 或 ，或m与α相交，故B错误;
故选:A
11．已知 ，若直线 分别 与 的交点横坐标为 ， ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直线 分别与 与 的交点分别为 ， ，由反函数图象关于直线 对称，推出 ， ， ，且 ，再由基本不等式，即可得出答案．
【详解】根据题意可得，设直线 分别与 与 的交点分别为 ， ，
【答案】 .
【分析】设出双曲线的焦点和一条渐近线方程，求得 到渐近线的距离，可得 ， ，由直角三角形的锐角三角函数和三角形的余弦定理，化简可得 ，再由离心率公式可得所求值.
【详解】设双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为：
， ，
一条渐近线方程为 ，
可得 到渐近线的距离为 ， ，
则 ， ，
在直角三角形 中， ，
【分析】（1）补全的列联表，利用公式求得 ，即可得到结论；
（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量 取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.
【详解】（1）补全的列联表如下：
年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车
100
20
120
不常使用共享单车
60
【详解】当 时， ，
当 时， ，
而 适合上式，
所以
故答案为：
15．若对任意a，b满足0<a<b<t，都有blna<alnb，则t的最大值为________.
【答案】e
【分析】不等式变形为 ，只要 在 上为增函数即可．
【详解】因为0<a<b<t，blna<alnb，
所以 ，
令y＝ ，x∈(0，t)，则函数在(0，t)上单调递增，
∴ ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，所以 ，不妨取 ，则 ，
所以 ；
设 为平面 的一个法向量，
则 ，所以 ，取 ，则 ， ，所以
∴ ，
又因为所求二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】方法点睛：
立体几何体中空间角的求法：
（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；
（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.
20．如图，抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线上一定点 ．过焦点 的直线（不经过点 ）与抛物线交于 ， 两点，与准线 交于点 ．
【详解】证明：（Ⅰ）存在 的中点 满足条件；
连接 ， ，
因为点 是 的中点，则 是三角形 的中位线，
所以 ，又由已知 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面；
（Ⅱ）取 的中点 ，连结 ，以点 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ， ，
则 ， ， ， ， ，
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ，然后分别表示出 ， 及 ，然后联立直线 与抛物线方程，得出 ， ，假设 成立，将 ， 及 的表达式代入，再将 ， 的值代入求解 的值.
在 中，可得
，
化为 ，即有 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查三角形的余弦定理和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题.
三、解答题
17．在 中， ， ， .
（1）求 ；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）直接利用正弦定理求出结果.
故选：A．
【点睛】考查二项展开式中指定项的系数，记住展开式的通项公式是关键，基础题.
4．在等差数列 中， 为前 项和， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 .
故选：A.
5．已知 是边长为2的正方形 的边 中点，则 的值是（）
A．2B．3C．4D．
【答案】C
【分析】由 即可求出.
【详解】 .
（1）若 ，求直线 的斜率；
（2）记 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，问是否存在常数 ，使得 成立？若存在 ，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， .
【分析】（1）先将 代入抛物线方程，求解抛物线的方程，设 的中点为点 ，直线 的倾斜角为 ，根据题意可得 ， ，得 ，得 的斜率为 ；
（2）直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果.
【详解】（1） 中， ， ， .
所以： ，
利用正弦定理得： ，
解得： ，
由于 ，
所以： ，
利用三角形内角和，
所以： ；
（2）利用余弦定理： ，
解得： .
所以： .
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查计算能力，属于基础题型.
18．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有 是“年轻人”．
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列 列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
120
不常使用单车用户
80
合计
160
40
【详解】由题意， 中的元素满足 ，且 ，
由 ，得 ，
所以满足 的有 ，
故 中元素的个数为4.
故选：C.
【点晴】
本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
3． 的展开式中，第4项的系数为（）
A． B．80C．40D．
【答案】A
【分析】用二项式展开式的通项公式代入计算即可.
【详解】解： ，