例说分块矩阵的应用
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Ａｌ
０
Ｂ Ａ
一
ｆ ｌ Ａ ＿ — Ａ ］ ： ｏ Ｅ Ｊ 一 Ｉ ａ ｏ 一 ２ Ａ Ｉ 一 — Ｅ Ｅ ］ Ｊ 一 — ［ Ｉ ０ ｏ Ａ ４ Ｌ Ｅ ｉ 争 Ｅ 一 Ｅ ］ ｝
Ａ Ｏ Ｏ Ａ
０ …
Ａ， － ． ・
例 １ 、 求矩阵 Ｔ －
在线性代 数中 ， 矩阵分块 的方法 是一种很 实用 ， 很 高 效 的 方 法 。适 当地 对 矩 阵 进 行 分 块 ， 把 一 个 大 型 矩 阵 分成 若 干 子 块 ． 把每个子块矩阵看成是一个元素 ， 从 而构 成 分 块 矩 阵 。这 样 能 使 一 个 复 杂 或是 特殊 矩 阵 的 内 部本 质 结 构关 系 变 得更 清 楚 ， 不 仅非常简洁 ， 而且方法也很统一 ， 具 有 较 大 的优 越性 ， 是 处 理 阶
摘要 ： 本 文论 述 了分 块 矩 阵 的概 念 ， 举 例 说 明 和 分 析 了分 块 矩 阵在 线 性 代 数 中 的应 用 ， 包括 利 用 分 块 矩 阵求 逆 矩 阵 、 求高阶行列式、
证 明矩 阵的 秩 、 解 决矩 阵 的 特 征值 计 算 和有 关矩 阵证 明 等 问题 中的应 用 。利 用 分 块 矩 阵 可 以使 阶数 比较 高 ， 比较 复 杂 的 矩 阵和 抽 象
所以 ｒ ｒ ＝
】 ９ －３ ０
—
３ — ５
ｌ ２
７
１ ｌ
ａ
ｂ
ｄ
—
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ｂ
ｄ
用 若 干 纵 线 条 将 它 分 成 ｓ块 ， 于是 ， 我 们 就 得 到 了一 个 有 ｒ × ｓ块 Ａ Ｃ ’ ＝ 一 一 ｆ ＡＩ ｌ… Ａｌ ］
２ １ ｌ ０ Ｏ １ ０ ０
故 肝 ：
１
Ｃ
川 Ｔ 丽 Ｊ Ｌ Ｊ ｄ
Ｃ
一＿ ｆ ） 一ｄ
０ 一 Ｃ
ｂ
一（ ｊ
３ 利 用分 块 矩 阵 求 高 阶 行 列 式
在 计算 高 阶 行 列式 时 ， 如果直接去计算的话 ， 计 算 量 不 仅 很 大， 而且 很 容易 出错 。 利 川 阵 分块 的方 法将 高阶 行 列 式 化 成 几
３ —
一
解 ： 令 Ａ ＝ ［ ： 。 ： ］ ， 贝 ｕ Ｍ ＝ ［ 三 一 三 ］ ， 由 ｎ ｄ ＋ ｂ ｃ ≠ 。 知 Ａ 可 逆 ， 易 求 得 Ａ 。 ＝ — ～ ［ ： － ｂ 。 ］ ， 利 用 分 块 矩 阵 的 初 等 行 变 换 ：
到解 决 。
以下 给 出两 个 常 用 的结 论 ｌ ｌ ｌ ： 设 Ａ （ ｊ ＝ １ ， ２． …， Ｓ ） 都 是Ｃ 可 逆 矩 阵， 则有 ：
第１ １ １卷 ４期 Ｖｏ ． １ １ 第 Ｎｏ ． ４
读 与 写 杂 志
Ｒｅ ａ ｄ ａ ｎｄ Ｗｒ ｉ ｔ ｅ Ｐｅ ｒ ｉ ｏ ｄｉ ｃ ａ ｌ
２ ０ １ ４年 ４月 Ａｐｒ ｉ ｌ ２ ０１ ４
例 说 分 块 矩 阵 的应 用
蔡 鸣 晶
（ 南京信息职业技术学院 江苏 南京 ２ １ ０ ０ ０ ０ ）
矩 阵的 特 征 值 问题 的 解 决 变得 简 明 而清 晰 。
关键词 ： 分 块 矩 阵 逆 矩 阵 行 列 式 矩 阵 的 秩 矩 阵 的 特 征 值
中 图分 类号 ： Ｇ６ ４ ２
文 献标 识 码 ：Ａ
文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — １ ５ ７ ８ （ ２ ０ １ ４ ） ４ — ０ ０ ５ ２ — ０ ２
０
０
Ａ， Ｏ
０
…
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『 ｛
４， ～ ． － ・
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Ｆ ０ ： 乏 １ 一 １ １ Ａ ～ １
０ Ｅ 一１ 一 一ｌ
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…
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所 以
：ｑ １
数 较 高 的 矩 阵 时 常用 的方 法 。 １ 分块 矩 阵 的概 念 Ｉ ｌ ＿ 将 一 个 矩 阵用 若 干 条 横 线 和 竖 线 分 成 许 多 个 小 矩 阵 ， 将 每
一
１ １
一ｌ ２
Ｏ ０
０ ０
个 小 矩 阵称 为 这 个矩 阵 的 子 块 ， 以子块为元素 ２ 的形 的矩∞ 阵 式上 求 易 一 ¨ 称 为分 块 矩 阵 。 得 设 Ａ 是～ 个 ｍ Ｘ Ｂ矩 阵 ．若 用 若 干 横 线 条 将 它 分 成 Ａ ｒ 块， 再 则
８ 一 一
求 矩 阵逆 常 用 方 法 有 定 义 法 、伴 随矩 阵法 和 初 等 变 换 法 。 但 对 于 高 阶矩 阵 ， 这 些方法运算 较麻烦 ， 如 果 我 们 对 高 阶 矩 阵
２ 进 行 适 当 的分 块 ， 并 利 用 一 定 的结 论 可 以 使 问题 更 加 ５ 轻松 的 得
－
ｆ Ａ
一
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㈤ ［ 三 ］ － １ ： ｉ ｏ Ａ ２ － １ ］
２ 【 Ａ
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ｄ 一 ＿ ｂ
Ｃ
㈩ （ 。 ［ Ｉ ｃ Ａ Ｂ ］ ｊ ＝ Ｉ Ａ ；－ ． １ ］ ｊ
以上 三个 结 论 在 利 用 分 块 矩 阵 求 逆 矩 阵 时 经 常 用 到 ， 下 面 举 儿 个例 子 来 说 明 用 分 块矩 阵来 求 逆 矩 阵 。
例 ２、 求 矩 阵
—ｃ
ａ
—
ｂ
ｄ
一
０ 一＿ ｂ
ｃ
（ ａ ｄ ＋ ｂ ｃ ≠０） 的逆矩阵。
的分块矩 阵， Ａ ＝ ｝ ； ’ ． ；』 ， 其 中 Ａ表示一个矩阵。 １ ● ●Ｊ １
ｌ Ａ ｌ… Ａ源自文库 Ｊ
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在线性代 数中 ， 矩阵分块 的方法 是一种很 实用 ， 很 高 效 的 方 法 。适 当地 对 矩 阵 进 行 分 块 ， 把 一 个 大 型 矩 阵 分成 若 干 子 块 ． 把每个子块矩阵看成是一个元素 ， 从 而构 成 分 块 矩 阵 。这 样 能 使 一 个 复 杂 或是 特殊 矩 阵 的 内 部本 质 结 构关 系 变 得更 清 楚 ， 不 仅非常简洁 ， 而且方法也很统一 ， 具 有 较 大 的优 越性 ， 是 处 理 阶
摘要 ： 本 文论 述 了分 块 矩 阵 的概 念 ， 举 例 说 明 和 分 析 了分 块 矩 阵在 线 性 代 数 中 的应 用 ， 包括 利 用 分 块 矩 阵求 逆 矩 阵 、 求高阶行列式、
证 明矩 阵的 秩 、 解 决矩 阵 的 特 征值 计 算 和有 关矩 阵证 明 等 问题 中的应 用 。利 用 分 块 矩 阵 可 以使 阶数 比较 高 ， 比较 复 杂 的 矩 阵和 抽 象
所以 ｒ ｒ ＝
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用 若 干 纵 线 条 将 它 分 成 ｓ块 ， 于是 ， 我 们 就 得 到 了一 个 有 ｒ × ｓ块 Ａ Ｃ ’ ＝ 一 一 ｆ ＡＩ ｌ… Ａｌ ］
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故 肝 ：
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３ 利 用分 块 矩 阵 求 高 阶 行 列 式
在 计算 高 阶 行 列式 时 ， 如果直接去计算的话 ， 计 算 量 不 仅 很 大， 而且 很 容易 出错 。 利 川 阵 分块 的方 法将 高阶 行 列 式 化 成 几
３ —
一
解 ： 令 Ａ ＝ ［ ： 。 ： ］ ， 贝 ｕ Ｍ ＝ ［ 三 一 三 ］ ， 由 ｎ ｄ ＋ ｂ ｃ ≠ 。 知 Ａ 可 逆 ， 易 求 得 Ａ 。 ＝ — ～ ［ ： － ｂ 。 ］ ， 利 用 分 块 矩 阵 的 初 等 行 变 换 ：
到解 决 。
以下 给 出两 个 常 用 的结 论 ｌ ｌ ｌ ： 设 Ａ （ ｊ ＝ １ ， ２． …， Ｓ ） 都 是Ｃ 可 逆 矩 阵， 则有 ：
第１ １ １卷 ４期 Ｖｏ ． １ １ 第 Ｎｏ ． ４
读 与 写 杂 志
Ｒｅ ａ ｄ ａ ｎｄ Ｗｒ ｉ ｔ ｅ Ｐｅ ｒ ｉ ｏ ｄｉ ｃ ａ ｌ
２ ０ １ ４年 ４月 Ａｐｒ ｉ ｌ ２ ０１ ４
例 说 分 块 矩 阵 的应 用
蔡 鸣 晶
（ 南京信息职业技术学院 江苏 南京 ２ １ ０ ０ ０ ０ ）
矩 阵的 特 征 值 问题 的 解 决 变得 简 明 而清 晰 。
关键词 ： 分 块 矩 阵 逆 矩 阵 行 列 式 矩 阵 的 秩 矩 阵 的 特 征 值
中 图分 类号 ： Ｇ６ ４ ２
文 献标 识 码 ：Ａ
文章 编 号 ： １ ６ ７ ２ — １ ５ ７ ８ （ ２ ０ １ ４ ） ４ — ０ ０ ５ ２ — ０ ２
０
０
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所 以
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数 较 高 的 矩 阵 时 常用 的方 法 。 １ 分块 矩 阵 的概 念 Ｉ ｌ ＿ 将 一 个 矩 阵用 若 干 条 横 线 和 竖 线 分 成 许 多 个 小 矩 阵 ， 将 每
一
１ １
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个 小 矩 阵称 为 这 个矩 阵 的 子 块 ， 以子块为元素 ２ 的形 的矩∞ 阵 式上 求 易 一 ¨ 称 为分 块 矩 阵 。 得 设 Ａ 是～ 个 ｍ Ｘ Ｂ矩 阵 ．若 用 若 干 横 线 条 将 它 分 成 Ａ ｒ 块， 再 则
８ 一 一
求 矩 阵逆 常 用 方 法 有 定 义 法 、伴 随矩 阵法 和 初 等 变 换 法 。 但 对 于 高 阶矩 阵 ， 这 些方法运算 较麻烦 ， 如 果 我 们 对 高 阶 矩 阵
２ 进 行 适 当 的分 块 ， 并 利 用 一 定 的结 论 可 以 使 问题 更 加 ５ 轻松 的 得
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以上 三个 结 论 在 利 用 分 块 矩 阵 求 逆 矩 阵 时 经 常 用 到 ， 下 面 举 儿 个例 子 来 说 明 用 分 块矩 阵来 求 逆 矩 阵 。
例 ２、 求 矩 阵
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ａ
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一
０ 一＿ ｂ
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（ ａ ｄ ＋ ｂ ｃ ≠０） 的逆矩阵。
的分块矩 阵， Ａ ＝ ｝ ； ’ ． ；』 ， 其 中 Ａ表示一个矩阵。 １ ● ●Ｊ １
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２ 利 用 分 块 矩 阵 求 逆 矩 阵