【同步检测】广东省潮州市2019-2020学年度第二学期高一期中考试数学试题

2019～2020学年度第二学期高一级数学科期中考试卷 考试时间：120分钟一．选择题（共12小题，每小题5分）1．若函数f(x)＝a x ＋1－3(a ＞0，a ≠1)的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则tan θ的值等于( )A ．2 B.12C ．－2 D.－122．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则2019cos()2πα-的值为( )A. -B.C ．2- D.－123．已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t)，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 4．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.23 B.－23 C.13 D.－135．下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f(x)＝|cos2x|B ．f(x)＝|sin2x|C ．f(x)＝cos|x|D ．f(x)＝sin|x|6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．27．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB→＋(1－x)AC →，则x 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，238．函数y ＝2|x|sin2x 的图象可能是( )9．已知|a|＝|b|＝2，a ·b ＝0，c ＝12(a ＋b)，|d －c|＝2，则|d|的取值范围是( )A ．[0,22]B ．[0,2]C ．[0，2]D ．[0,1]10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP →·BP →的最小值为( )A ．－12B ．0C ．4D ．－111．已知函数f(x)＝sinx －sin3x ，x ∈[0,2π]，则f(x)的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π12．已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A(－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6二．填空题（共4小题，每小题5分）13．设向量a ＝(3，－4)，a ＋b ＝(t,8)，c ＝(－1，－1)，若b ∥c ，则t ＝________. 14．已知函数f(x)＝1＋2sin(2x －π3)，x ∈[π4，π2]．若不等式f(x)－m<2在x ∈[π4，π2]上恒成立，则实数m的取值范围为 .15．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)＝f(2π3)＝－f(π6)，则f(x)的最小正周期为 .16.已知函数f(x)＝2sin(2x＋π6)，记函数f(x)在区间[t，t＋π4]上的最大值为M，最小值为m，设函数h(t)＝Mt －mt.若t∈[π12，5π12]，则函数h(t)的值域为 . 三．解答题（共70分）17．（本小题10分）某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2 )在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．18（本小题12分）（1）已知tan α＝－43，求sin 2α＋2sin αcos α的值．（2）在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ与CP 的交点为M ，又CM ―→＝t CP ―→，求实数t 的值．19．（本小题12分）已知向量a ＝(mx 2，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1mx －1，x (m 是常数)，且f(x)＝1a ·b .(1)若f(x)是奇函数，求m 的值；(2)设函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x2，讨论当实数m 变化时，函数g(x)的零点个数．20．（本小题12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)，(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．21．（本小题12分）已知a>0，函数f(x)＝－2asin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a ，b 的值； (2)设g(x)＝f(x ＋π2)且lg[g(x)]>0，求g(x)的单调区间．22. （本小题12分）已知圆22:()()1(0)C x a y b a -+-=>关于直线320x y -=对称，且与直线3410x y -+=． （1）求圆C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与圆C 交于M ，N 两点，是否存在直线l ，使得6OM ON ⋅=u u u u r u u u r（O 为坐标原点）若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2019～2020学年度第二学期高一级数学科期中考试卷答案一．选择题ABCBA CCDAA CA二．填空题13. 15 14. (1，＋∞) 15. π 16.[1,22] 三．解答题17 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f(x)＝5sin(2x －π6)．……………………5分(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x －π6)，则g(x)＝5sin(2x ＋2θ－π6)．因为函数y ＝sinx 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z. 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z. ……………………8分 由于函数y ＝g(x)的图象关于点(5π12，0)成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z. ……………………9分由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.……………………10分18(1)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825.……………………6分 （2）因为CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，所以3CP ―→＝2CA ―→＋CB ―→，即2CP ―→－2CA ―→＝CB ―→－CP ―→，所以2AP ―→＝PB ―→.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM ―→＝λAQ ―→.所以CM ―→＝AM ―→－AC ―→＝λAQ ―→－AC ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋12 AC ―→－AC ―→＝λ2AB ―→＋λ－22AC ―→，又CM ―→＝t CP ―→＝t(AP ―→－AC ―→)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→－AC ―→＝t 3AB ―→－t AC ―→.故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.……………………12分19解：(1)由题意知，a ·b ＝mx 2mx －1－x ＝x mx －1，所以f(x)＝mx －1x ＝m －1x.由题设，对任意的不为零的实数x ，都有f(－x)＝－f(x)，即m ＋1x ＝－m ＋1x恒成立，所以m ＝0. ……………………6分(2)由(1)知，g(x)＝m －2x －x2，则g(x)＝0⇔x 2－2mx ＋4＝0，Δ＝4(m 2－4)．………………9分所以当m>2或m<－2时，函数g(x)有两个零点； 当m ＝±2时，函数g(x)有一个零点；当－2<m<2时，函数g(x)没有零点．……………………12分20解：(1)∵AB →＝(cos θ－1，t)，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t.①……………………1分又∵|AB→|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②……………………3分由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. ……………………4分 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B(－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．……………………6分 (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15，∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.……………………12分21解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]． ∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，……………………2分 又∵a>0，∴－2asin(2x ＋π6)∈[－2a ，a]． ∴f(x)∈[b,3a ＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. ……………………5分 (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f(x)＝－4sin(2x ＋π6)－1， g(x)＝f(x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，……………………7分又由lg[g(x)]>0，得g(x)>1，∴4sin(2x ＋π6)－1>1， ∴sin(2x ＋π6)>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，……………………9分其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g(x)单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g(x)的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z.又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g(x)单调递减，即k π＋π6<x<k π＋π3，k ∈Z.∴g(x)的单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z. ……………………11分综上，g(x)的递增区间为(k π，k π＋π6](k ∈Z)；递减区间为(k π＋π6，k π＋π3)(k∈Z)．………12分22【解】…5分（2）假设存在直线l ，使得6=⋅ON OM ，设M （x 1，y 1）N （x 2，y 2），由⎩⎨⎧=-+-+=1)3()2(222y x kx y 得（1+k 2）x 2﹣（2k+4）x+4=0，……………………7分 由△=（2k+4）2﹣16（1+k 2）＞0得340<<k ，……………………8分 22:()()1(0)C x a y b a -+-=>22(2)(3)1x y -+-=且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+14142221221k x x k k x x ，……………………9分 ON OM ⋅=x 1x 2+y 1y 2=（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=（1+k 2）142+k +2k 1422++k k +4=6， 解得k=﹣1或31-=k ，不满足△＞0，所以不存在直线l ，使得6=⋅ON OM ．……………………12分。