二次函数abc判定
二次函数abc判定
3. （2014•XX威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）
A． 1 B．2C． 3 D． 4
考点：二次函数图象与系数的关系．
分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确；
该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，故②正确；
当x=1时，y=2a+b+c，
∵对称轴是直线x=﹣1，
∴，b=2a，
又∵c=0，
∴y=4a，故③错误；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
∵b=2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．
故选：C．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．5. （2014•XXXX，第11题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
考点：二次函数的图象与性质．
解答：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c ＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；
二次函数求abc公式
二次函数求abc公式
我们要找出二次函数的一般形式 y = ax^2 + bx + c 的系数 a、b 和 c。
首先，我们需要理解二次函数的一般形式，并知道如何从给定的三个点来求解 a、b 和 c。
二次函数的一般形式是 y = ax^2 + bx + c。
根据题目，我们知道三个点 (x1, y1), (x2, y2) 和 (x3, y3) 在这个二次函数上。
我们可以使用这三个点来建立三个方程，从而求解 a、b 和 c。
根据二次函数的定义，我们有以下三个方程：
1) y1 = a × x1^2 +b × x1 + c
2) y2 = a × x2^2 + b × x2 + c
3) y3 = a × x3^2 + b × x3 + c
通过解这三个方程，我们可以找到 a、b 和 c 的值。
计算结果为： [{a: 0, b: 1, c: 1}]
所以，二次函数 y = ax^2 + bx + c 的系数 a 为：0，b 为：1，c 为：1。
二次函数中的abc
课题由二次函数y=ax2+bx+c的图像判断a、b、c的符号授课类型微课
教材分析
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）的系数a,b,c的符号和它的图像之间有着相辅相成的关系.由二次函数的图像位置可以得到a,b,c（或者含有的a,b,c的代数式）的符号;反之,由a,b,c（或者含有的a,b,c的代数式）的符号也可以确定图像的位置.这是一种由形到数、由数到形的转换,是数形结合思想的很好的诠释.也是一种等价、同一的关系。
学情分析
学生已经学习了二次函数的概念图像和简单性质，能够简单运用函数知识解决方程和不等式问题。从中考命题要求和课程标准的角度来看，关于二次函数的a、b、c的试题主要包括：简单结论型、结论综合型、结论组合导出型。要学好二次函数内容、从容应对二次函数中考题，熟悉二次函数的a、b、c与图像的关系，必须深刻领会数形结合思想，能够用函数的观点看方程与不等式（组）。
教学目标
知识与技能1.会根据二次函数的图像判断a,b,c的符号以及与a,b,c有关的代数式的符号；
2.能够根据a,b,c的符号，判断二次函数的图像.
过程与方法1.利用几何画板演示，让学生感受函数图像与系数a,b,c的关系，体会数形结合的思想方法.
情感态度与价值 1.在学习过程中，培养学生的探究精神，合作能力.
教学重点探究二次函数的图像与系数a,b,c的关系.
教学难点根据二次函数的图像判断与a,b,c有关的代数式的符号.
教学方法几何画板演示教学法、引导分析法、合作探究法.
教学过程
教学环节教师活动学生活动设计意图
二次函数abc10条口诀
二次函数abc10条口诀
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。当抛物线对称轴在y 轴左侧时a，b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a，b异号。c>0时，抛物线与y轴交点在x轴上方；c<0时，抛物线与y轴交点在x轴下方。a=0时，此图像为一次函数。b=0时，抛物线顶点在y轴上。c=0时，抛物线在x轴上。当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a，b异号。
二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c，a≠0。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax²+bx+c且a≠0，它的定义是一个二次多项式。如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学和实际问题中都有广泛应用。二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。本文将总结二次函数与a、b、c之间的关系。
1. a的影响：
a决定了二次函数的开口方向和大小。当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的值随着自变量的增大而增大；当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的值随着自变量的增大而减小。a的绝对值越大，抛物线的开口越大。
2. b的影响：
b决定了二次函数抛物线的平移方向和程度。当b>0时，抛物线向右平移；当b<0时，抛物线向左平移。b的绝对值越大，抛物线平移的水平距离越大。
3. c的影响：
c决定了二次函数抛物线的纵向平移。当c>0时，抛物线向上平移；当c<0时，抛物线向下平移。c的绝对值越大，抛物线平移的垂直距离越大。
4. a、b、c之间的综合关系：
a、b、c之间的关系可以通过顶点坐标来描述。对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。通过顶点坐标可以判
断抛物线的开口方向和顶点的位置。
综上所述，二次函数与a、b、c之间存在着密切的关系。通过a、b、c的取值可以确定二次函数的形状、平移和开口方向。理解和掌握这些
关系对于解决二次函数相关问题具有重要意义。
二次函数在数学中的应用非常广泛，包括几何、物理和经济等领域。在几何中，二次函数可以描述抛物线的形状和轨迹；在物理中，二次
二次函数abc判断正负口诀
二次函数abc判断正负口诀
从高中数学学习开始，提到二次函数就再也不可能没有被提及。而一、二次函数的正负口诀则是一个让学生在学习数学的过程中极为重要的基础知识，也是学生必须掌握的课外知识点。
那么，什么是二次函数abc判断正负口诀呢？abc判断正负口诀是指a＞0时函数为正，a＜0时函数为负；b＞0时函数左边为负，b＜0时函数左边为正；c＞0时函数右边为正，c＜0时函数右边为负。
举个例子：y=2x^2+4x-3的abc判断正负口诀：a>0，所以函数为正；b>0，所以函数左边为负；c<0，所以函数右边为负。通常用口诀记忆这个判断规律，“a上正，b左负，c右正”。
由此可以看出，abc判断正负口诀是二次函数中不可缺少的一部分，它用英语来概括是“What goes up must come down”，你可以把它作为数学记忆的口头禅来帮助你理解这部分知识。
因此，学习二次函数中不可缺少的abc正负口诀，并以正确的态度来复习，用“a上正，b左负，c右正”口诀来铭记规则，将会是你学习数学的良好助力。
二次函数abc判定
合用标准文案
3. 〔 2021? 山东威海，第 11 题 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，那么以下说法：
2
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当 x=1时， y=2a；④ am+bm+a＞0〔 m≠﹣1〕．其中正确的个数是〔〕
A．1B．2C．3D．4
考点：二次函数图象与系数的关系．
解析：由抛物线与y 轴的交点判断 c 与0的关系，尔后依照对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：抛物线与y 轴交于原点， c=0，故①正确；
该抛物线的对称轴是：，直线 x=﹣1，故②正确；
当 x=1时， y=2a+b+c，
∵对称轴是直线 x=﹣1，
∴， b=2a，
又∵ c=0，
∴y=4a，故③错误；
2
x=m对应的函数值为y=am+bm+c，
∵b=2a，
2
∴am+bm+a＞0〔 m≠﹣1〕．故④正确．
应选： C．
谈论：此题观察了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．5. 〔 2021? 山东烟台，第 11 题 3 分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠ 0〕的局部图象如图，图象过
点〔﹣ 1， 0〕，对称轴为直线x=2，以下结论：
①4a+b=0；② 9a+c＞3b；③ 8a+7b+2c＞ 0；④当x＞﹣ 1 时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有〔〕
A．1 个B．2个C．3个D．4个
考点：二次函数的图象与性质．
解答：依照抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，那么有 4a+b=0；观察函数图象获适合x=﹣3时，
二次函数与abc的关系
a对二次函数的影响
当a为正数时，二次函数开口朝上；当a为负数时，二次函数开口朝下。a的绝对值越大，曲线越陡峭。
b对二次函数的影响
当b为正数时，二次函数图像向左平移；当b为负数时，二次函数图像向右平移。b的绝对值越大，平移的距离 越远。
c对二次函数的影响
c决定了二次函数图像与y轴的交点，即二次函数的纵向平移。
求解二次函数的图像及其特征
二次函数图像是一条抛物线，具有顶点、对称轴、开口方向等特征。通过研究图像，我们可以了解二次函数的 性质和变化。
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求解二次函数的极值点和最值
二次函数的极值点是曲线上的点，对应函数的最大值或最小值。通过求解极 值点，我们可以找到二次函数的最值。
二次函数的对称轴方程
对称轴是二次函数图像的镜像轴，可以通过求解对称轴方程找到对称轴的位 置。
二次函数的单调区间
二次函数的单调区间是指函数在该区间内的增减情况。通过研究单调区间， 我们可以了解二次函数的增减趋势。
二次函数的交点
二次函数可以与其他函数、直线或曲线相交，通过求解交点，我们可以获得二次函数与其他图形的交点坐标。
二次函数的点坐标
二次函数的点坐标是指函数图像上的特定点的横纵坐标值。通过求解点坐标， 我们可以了解二次函数的具体图像。
水平方向伸缩对二次函数的影 响
水平方向伸缩是改变二次函数图像形态的一种变换。通过伸缩，我们可以调 整二次函数图像在x轴上的宽度。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数与a、b、c的关系总结
二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表二次函数的系数。在本文中，我们将总结二次函数与a、b、c之间的关系。
1. 二次函数的图像特点
二次函数的图像为抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
当二次项系数a的绝对值较大时，抛物线的开口较宽；当a的绝对值较小时，抛物线的开口较窄。
2. a的作用
二次项系数a的取值对图像的变化有重要影响。当a>0时，随着a 的增大，抛物线开口变得更加宽阔；当a<0时，随着a的增大，抛物线的开口变得更加狭窄。
当a的绝对值较大时，抛物线的曲率较大，图像呈现出比较陡峭的形状；当a的绝对值较小时，抛物线的曲率较小，图像呈现出比较平缓的形状。
3. b的作用
一次项系数b决定了抛物线的位置。当b>0时，抛物线向右平移；当b<0时，抛物线向左平移。
当b的绝对值较大时，抛物线的平移程度较大；当b的绝对值较小时，抛物线的平移程度较小。
4. c的作用
常数项c决定了抛物线和y轴的交点。当c>0时，抛物线与y轴的交点在原点的上方；当c<0时，抛物线与y轴的交点在原点的下方。
当c的绝对值较大时，抛物线与y轴的交点距离原点较远；当c的绝对值较小时，抛物线与y轴的交点距离原点较近。
综上所述，二次函数与a、b、c之间存在以下关系：
- a的正负和绝对值影响抛物线的开口和曲率。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结
在数学的领域中，二次函数是一个非常重要的概念。它的一般式为
y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0）。这看似简单的表达式，其中的 a、b、c 却蕴含着丰富的信息，对二次函数的图像和性
质起着决定性的作用。
首先来看看 a 的作用。a 决定了二次函数抛物线的开口方向和开口
大小。当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
a 的绝对值越大，抛物线的开口就越窄；a 的绝对值越小，抛物线的开
口就越宽。比如说，函数 y ＝ 2x²的抛物线开口比 y ＝ 05x²的开口要窄。
接下来聊聊 b 的影响。b 与 a 共同决定了抛物线的对称轴位置。对
称轴的方程是 x ＝ b ／（2a) 。当 b ＝ 0 时，对称轴就是 y 轴。如果 a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧；如果 a、b 异号，对称轴在 y 轴右侧。举
个例子，对于函数 y ＝ x² 2x 3，其中 a ＝ 1，b ＝－2，因为 a ＞ 0 且
b ＜ 0，所以对称轴在 y 轴右侧。
再说说 c。c 代表了抛物线与 y 轴的交点纵坐标。当 x ＝ 0 时，y ＝c，所以抛物线与 y 轴的交点为(0, c)。比如，函数 y ＝ x²＋ 2x ＋ 1 与
y 轴的交点就是(0, 1)。
当我们知道了 a、b、c 的作用，就可以通过它们来分析二次函数的
最值。如果 a ＞ 0，函数有最小值，其值为（4ac b²) ／（4a)；如果 a
＜ 0，函数有最大值，同样为（4ac b²) ／（4a) 。
二次函数abc的关系
二次函数abc的关系
二次函数是高中数学中常见的一个函数形式，它的一般形式为
y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a不等于0。这篇文章将探讨二次函数abc的关系，通过分析a、b、c的取值对二次函数的图像、性质以及解的情况产生的影响，帮助读者更好地理解二次函数。我们来讨论a的取值。当a大于0时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个U型，称为正向开口的二次函数。当a小于0时，二次函数的图像开口向下，形状类似于一个倒置的U型，称为负向开口的二次函数。因此，a的取值决定了二次函数图像的开口方向。接下来，我们来考虑b的取值。b的正负决定了二次函数图像的对称轴的位置。当b大于0时，二次函数图像向右平移；当b小于0时，二次函数图像向左平移。此外，b的绝对值越大，平移的距离越远。因此，b的取值决定了二次函数图像的位置和平移的程度。
我们来讨论c的取值。c的正负决定了二次函数图像与y轴的交点位置。当c大于0时，二次函数图像与y轴的交点在原点的上方；当c小于0时，二次函数图像与y轴的交点在原点的下方。此外，c 的绝对值越大，交点与原点的距离越远。因此，c的取值决定了二次函数图像与y轴的交点位置和距离。
通过分析a、b、c的取值对二次函数的影响，我们可以得出一些总结性的结论。首先，当a不等于0时，二次函数必然存在一个顶点，
该顶点的横坐标为-x=b/2a，纵坐标为f(-x)=c-b^2/4a。其次，当a 的取值相同时，二次函数的图像形状相似，只是整体大小和位置有所不同。最后，当a、b、c的取值不同时，二次函数的图像、顶点、对称轴和与y轴的交点位置都会有所不同。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结
二次函数是一种由二次项、一次项和常数项构成的函数，其一般形
式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表函数的系数。
二次函数的系数a决定了函数的开口方向和开口的大小。当a>0时，二次函数的抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。a的绝对值
越大，抛物线的开口越大；a的符号决定了抛物线的开口方向。
系数b影响函数图像的位置和形状。b表示二次函数在x轴方向上
的整体平移。当b>0时，函数图像向左平移；当b<0时，函数图像向
右平移。
常数项c对函数图像的位置也有影响。c决定了抛物线与y轴的相
交点，即函数的纵向平移。当c>0时，函数图像向上平移；当c<0时，函数图像向下平移。
同时，abc三个系数之间还存在一些关系。
首先，二次函数的顶点坐标可以通过系数b和c的值来确定。对于
一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c的二次函数，它的顶点横坐标为x = -
b/2a，纵坐标为y = f(-b/2a) = -D/4a，其中D = b^2 - 4ac为函数的判别式。
判别式D可以进一步帮助我们判断二次函数的图像特征。当D>0
时，函数图像与x轴有两个交点，抛物线开口朝上或朝下；当D=0时，函数图像与x轴有一个交点，抛物线开口朝上或朝下，且顶点在该交
点上；当D<0时，函数图像与x轴无交点，抛物线开口朝上或朝下，
且顶点在上方或下方。
另外，a和c的符号也对函数的图像产生影响。当a和c同号时，抛物线开口朝上；当a和c异号时，抛物线开口朝下。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结
二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、物理学等
领域中有广泛的应用。通过研究二次函数的一般形式，我们可以发现
与系数a、b、c之间存在一些有趣的关系。本文将对二次函数的一般形式以及与系数abc的关系进行总结和探讨。
1. 二次函数的一般形式
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且
a不等于0。下面我们将分别分析a、b、c在二次函数中的作用。
- 系数a：二次函数的开口方向与a的正负有关。当a>0时，二次函
数开口向上，形如一条“U”；当a<0时，二次函数开口向下，形如一个
倒置的“U”。另外，|a|的值越大，二次函数的开口越窄。
- 系数b：系数b决定了二次函数图像的平移。当b>0时，图像向左平移；当b<0时，图像向右平移。同时，|b|的值越大，平移的幅度越大。
- 系数c：系数c表示二次函数的y轴截距，即二次函数与y轴的交点。当c>0时，交点在y轴上方；当c<0时，交点在y轴下方。
综上所述，a决定了开口方向和开口的大小，b决定了图像的平移
方向和幅度，c决定了图像与y轴的交点的位置。
2. a、b、c之间的关系
在二次函数的一般形式中，a、b、c三个系数之间存在一定的联系。
- a与二次函数的对称轴有关。对称轴的公式为x = -b / (2a)，即与a 和b有关。当二次函数的对称轴与y轴平行时，b=0。当b≠0时，对称轴与y轴有倾斜关系。
- 二次函数的顶点坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))，即与a和b有关。顶点是二次函数图像的最高点或最低点，其横坐标将会影响图像的对称中心。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结
二次函数是高中数学中一个重要的概念，它的一般形式为f(x) =
ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。在二次函数中，a、b、c的值与函数的图像特点有着密切的关系。本文将对二次函数中的abc系数与图像形态、零点以及顶点等方面的关系进行总结，以便更好
地理解和应用二次函数。
1. a系数与图像开口方向的关系
二次函数的图像开口方向与a系数的正负有关。当a大于0时，图
像开口向上，形状为抛物线的一侧向上开口；当a小于0时，图像开口向下，形状为抛物线的一侧向下开口。因此，a系数的正负决定了二次
函数的图像形态。
2. c系数与图像与y轴的交点关系
二次函数的图像与y轴的交点称为y轴截距，可以通过c系数来确定。当c大于0时，二次函数与y轴有两个交点，一个在上方，一个在下方；当c等于0时，二次函数与y轴只有一个交点，即原点；当c小
于0时，二次函数与y轴无交点，图像完全位于y轴的一侧。
3. 二次函数的零点
二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，表示函数的根。要确
定二次函数的零点，可以使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。通过
求解该方程的根，即可得到二次函数的零点。对于二次函数，它的零
点有可能是实数，也有可能是虚数。
4. 顶点与对称轴
二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其x坐标为-h/2a，其中h = b^2-4ac。顶点的y坐标可以通过将x坐标代入二次函数中求得。对称轴是通过顶点的一条直线，该直线将二次函数图像分为两个对称的部分。
二次函数中abc的符号问题
16
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个 交点，则a可取的值为 ；
3.(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，0）， 且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③
二次函数中的符号问题
精选2021版课件
1
回味知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是（0、c）.
b
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
X=-
2a
.
精选2021版课件
2
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
y
根据图像可得： 1、a＜0
b
2、-
＜0
2a
3、a+b+c＝0 4、C＝1
精选2021版课件
M B
1
O
Ax 1
14
再想一想：
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结
二次函数是高中数学中的重要内容之一，它以一般式y = ax^2 + bx
+ c的形式呈现。其中，a、b、c分别是二次函数的系数，它们对于函
数的图像特征有着重要的影响。本文将总结二次函数与系数a、b、c之间的关系，并探讨它们对函数图像的影响。
1. 系数a的影响
系数a决定着二次函数的开口方向和抛物线的开口程度。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
当a的绝对值较大时，抛物线的开口程度较大，曲线较为陡峭；当
a的绝对值较小时，抛物线的开口程度较小，曲线较为平缓。
2. 系数b的影响
系数b决定了抛物线的位置。当b>0时，抛物线右移；当b<0时，
抛物线左移。
抛物线与y轴的交点是顶点，它的横坐标为-x轴系数b的一半。
3. 系数c的影响
系数c决定了抛物线与y轴的截距。在二次函数图像上，当x=0时，y的值即为c。
当c>0时，抛物线在y轴上方与其相交；当c<0时，抛物线在y轴
下方与其相交。
综上所述，系数a、b、c分别对二次函数的图像形状、位置和与y
轴的关系产生重要影响。通过调整这些系数的取值，可以获得各种不
同的二次函数图像。下面是一些例子，用以说明不同系数取值的效果。
1. a>0,b>0,c>0
当系数a、b、c均大于0时，抛物线开口向上，位置在y轴上方，
与y轴相交于正值的位置。
2. a<0,b<0,c<0
当系数a、b、c均小于0时，抛物线开口向下，位置在y轴下方，
与y轴相交于负值的位置。
3. a>0,b>0,c<0
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3. （2014•山东威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
考点：二次函数图象与系数的关系．
分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确；
该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，故②正确；
当x=1时，y=2a+b+c，
∵对称轴是直线x=﹣1，
∴，b=2a，
又∵c=0，
∴y=4a，故③错误；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
∵b=2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．
故选：C．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．5. （2014•山东烟台，第11题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．
其中正确的结论有（）
A．1个B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点：二次函数的图象与性质．
解答：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3
时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．
解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，
而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵对称轴为直线x=2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错误．故选B．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7. （2014•山东聊城，第12题，3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：
①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，
其中正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
考点：二次函数图象与系数的关系．
分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
解答：解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
b=2a，
∴b﹣2a=0，∴①正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），
∴把x=﹣2代入得：y=4a﹣2b+c＞0，∴②错误；
∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，
又∵b=2a，
∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，
∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，∴③正确；
∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），
∵（，y2），1＜，
∴y1＞y2，∴④正确；
即正确的有①③④，
故选B．
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的9. (2014年贵州黔东南9．（4分）)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0
其中正确结论的有（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
考点：二次函数图象与系数的关系．
分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；
把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；
故选B．
点评：本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．