伪度量空间的Baire纲定理

BA IRE THEO REM O F CATEGO RY IN PSEUDO - M ETR IC SPACE
He Gang
(M ath Departm ent, Zunyi Normal College, Guizhou Zunyi 563002, China) ATBTRACT Baire Theorem of Category, which can make comp lete metric spaces become Baire spaces and have good p roperties as well, is a very important result in comp lete metric space. The author in this paper attemp ts to give Baire Theorem of Category in p seudo - metric space to set up the frame of the general p roperties in these R inds of weak conditional spaces . KEY W O RD S Baire Theorem of Category . Comp lete metric space. Pseudo - metric space
xm +k | < ε , 即 xm 是 Cauchy序列 , 设 lim xm = p。 容 m →∞
易证明对所有 m , p: Cm , 因而对任意的 m , p: ∩ Cm ,
m →∞
即 ∩ Cm ≠ <.
m →∞
〔 3〕 Kenderov P S and R ibarska N K, Generic un iquene ss
32
贵 州 科 学 23 卷
B ( xi+1 ,ε i+1 ) B ( xi+1 ,ε i+1 )
i: Z + ε i z+
义 ,并给出相关结论 . 定义 1: 设 X 是一个集合 , ρ ∶X × X →R, 如果对 于任何 x, y, z : , X, 有 ( 1 )ρ( x, y ) ≥0. ( 2 )ρ( x, y ) =ρ( y, x ) . ( 3 )ρ( x, z) ≤ ρ( x, y ) +ρ( y, z) 则称 ρ 是集合 X 的伪度量 , 称 ( X, ρ) 是一个 伪 度量空间 . ) 是一个伪度量空间 , X 中的序 定义 2: 设 ( X,ρ 列 xi i: Z + , 如果对于任意给定的 ε > 0, 存在正整 数 N > 0, 使得当 i, y > N 时有 ρ( xi , xj ) <ε , 则称序 列 xi i: Z + 是一个 Cauchy序列 . 如果 X 中的每一个 Cauchy 序列都收敛 , 且极 限点在 X 中 , 则称伪度量空间 ( x, ρ) 是一个完备 伪 度量空间 . 定理 1: (完备伪度量空间的闭集套定理 ) 设 ( x,ρ )是一个完备伪度量空间 , 如果 X 中的闭子集 序 列 Cm 满 足 Cm + 1 < Cm , 对 所 有 的 m , 并 且
of the So lution of ‘ m ‘ inim ax’ ’ p roblem s, L ec tu re No tes in Econom ics and M athem a tica l System s 〔 J〕 . Vo l . 304, Sp ringe r - V erlag, B e rlin
1 引言
B aire纲定理是完备度量空间中一个十分重要
) 。最近 , 运用通有性 的代表之作 (参见 〔 1 〕- 〔 5〕 质的方法 ,一些学者还在非线性分析 、 最优化理论和 对策论的研究领域取得不少的结果 (参见 〔 5 〕)。 〔 8〕
的结果 , 通过这一定理除了能够推出如 B anach Steinhaus定理 ,并由此推出一系列重要的结果之外 。
( 2 ) B ( xi +1 , i + 1 )
通有性质的取得 ,很大程度上依赖于完备度量空 间的 Baire纲定理 ,这一结果确保了至多可数个开稠 集的交的稠密性 ,也就是 G δ 集是非空稠密的 (参见
) 。鉴于 Baire纲定理所取到的重要作用 ,本文将 〔 9〕
更重要的是通过 Baire 纲定理 , 可以将完备度量空 间中的子集分为第一纲和第二纲 ,并且 ,由第二纲集 合的性质 ,我们可以认为第二纲的集合较之第一纲 的集合是占绝大多数的 。这也就是拓扑意义下的绝 大多数的由来 ,或者称之为所谓通有性质 。 围绕通有性质 ,已经拥有了许多经典的结果 ,无 限维形式的 Sard 定理 , 微分拓扑中著名的横截定 理 ,最优化问题的解的通有唯一性等都是这一方面
摘 要 Baire纲定理是完备度量空间中一个十分重要的结果 ,该定理使得完备度量空间成为 Baire 纲空间 ,并 具有很好的性质 。本文将尝试在伪度量空间给出 Baire纲定理 ,从而能够在这一类条件较弱的空间中建立通有 性质的框架 。 关键词 Baire纲定理 ; 完备度量空间 ; 伪度量空间 中图分类号 O189 文献标识码 A 文章编号 1003 2 6563 ( 2005 ) 02 2 0031 - 02
收稿日期 : 2004 - 10 - 22
尝试在伪度量空间给出 Baire 纲定理 ,从而能够在这 一类条件较弱的空间中建立通有性质的框架 。
2 主要结果
以下给出伪度量空间和完备伪度量空间的定
作者简介 : 何 刚 ( 1963 - ) 男 ,贵州遵义人 ,遵义师范学院数学系讲师 ,主要从事概率论和拓扑学的教学工作 。
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〔 6 〕 Xiang S W and Xiang S H, Generic stability on weight
-1 -′ -′ 1 集 , 根据定理 2, Y = ∩i: Z + Fi = ( ∪i: Z + Fi ) 是 X的 一个稠密子集 , 然而 U I Y = < , 矛盾 .
lim d iam ( Cm ) = 0, 则 ∩ Cm ≠ <.
m >1
∞
Байду номын сангаас
证明 : 对任意的 m , 取 xm : Cm , 得一序列
第 23 卷 第 2期 2005 年 6 月
贵 州 科 学 Vol. 23 , No. 2 June. 2005 GU IZHOU SC IENCE
伪度量空间的 Baire纲定理
何 刚
(遵义师范学院数学系 ,贵州 遵义 563002 )
注 : ∩ Cm 不一定是单点集 .
m →∞
定理 2: (伪度量空间的 B a ire 纲定理 ) 设 X 是 一个完备伪度量空间 , 如果 G1 , G2 ……是 X 中的可 数个稠密的开集 , 则交集 ∩i: z+ Gi 是 X 中的一个稠 密子集 . 证明 :令 G = ∩i: z + Gi , 要证 G是 X中的一个稠密 子集 , 只须证对于 X 中任何一个非空开集 U 有 U ∩ G ≠ < 即可 。 设 U 是 X 中的一个非空开集 , 对于每一个 i: Z + , 定义一个球形邻域 B ( xi ,ε i ) 如下 : 任意选取 x1 : X 和 ε 1 < 1 于是有 B ( x1 ,ε 1 ) . 对于 i ≥ 1, 假设 ( ε ) B xi , i 已经定义 。 由于 Gi 是一个稠密的开集 , 故 U ∩ Gi 是 X 中的一个非空开集 . 任取 xi +1 和 0 <εi+1 <
KK M 〔 J〕 . po ints, Non linear A nalysis, 2003, 54, 839 ～ 844
< U ∩ Gi. 据此有 ( 1 ) 0 <εi <
B ( xi ,ε i); ( 3)
1
i
〔 9 〕 熊金诚 . 点集拓扑讲义 - 第 3版〔 M〕 . 北京 : 高等教育 出版社 . 2003
m →∞
xm ,
由于 lim d iam ( Cm ) = 0, 所以对于任意的 ε > 0, 存 在 N : z+ 使得 : 当 m > N 时有 : d iam ( Cm ) < ε ,即 sup x - y < ε 而对任意的 k, xm +k , xm : Cm , 故 | xm x, y : C
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1
i +1 < , 使得 ; B ( xi +1 ,ε i+1 )
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m →∞
< U ∩ Gi. 根 据 定 理 1 有 : ≠ <. 根据上述 ( 3 ) 有 :
i: z +
i: z +
∩
i: z +
∩ B ( xi+1 ,εi +1 )
< ∩ ( U ∩ Gi ) = U ∩ ( ∩ Gi ) = U ∩ G, 所以 U ∩
G ≠ <.
定义 3: 设 X 是一个拓扑空间 . 如果 X 的子集 A -o 的闭包的内部是空集 , 即 A = < , 则称 A 为 X 的一 个无处稠密子集 . X 的子集 F 如果可以表示为 X 中 可数个无处稠密的子集之并 , 则称 F 为第一纲 ; X 的子集 , 如果不是第一纲 , 则称为第二纲 . 定理 2: (伪度量空间的 B a ire 纲定理 ) 完备伪 度量空间中的任何一个非空开集都是第二纲 . 证明 :设 X 是一个完备伪度量空间 , U 是 X 中的 一个非空开集 . 用反证法 , 设 U 是第一纲 , 令 U = -o Yε = i Z + F i , 其中每一个 F i 都是无处稠密的 , 即 F i < , 因此 U < Yε i Z + F i , 显然 , F i 是 X 中的稠密开