高中数学课时跟踪检测(二十)从力做的功到向量的数量积北师大版必修4
2020-2021学年北师大版高中数学必修4《从力做的功到向量的数量积》课时练习及解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修四§5 从力做的功到向量的数量积课时目标1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3．掌握向量数量积的运算律．1．两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个____________a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是__________． ②当θ＝0°时，a 与b________． ③当θ＝180°时，a 与b________． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是________， 则称a 与b 垂直，记作________． 2．射影的概念____________叫作向量b 在a 方向上的射影．____________叫作向量a 在b 方向上的射影．3．向量的数量积的定义已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则把__________________叫作a与b的__________(或________)，记作________，即____________________________________．4．数量积的基本性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔__________；(2)当a与b同向时，a·b＝__________，当a与b反向时，a·b＝____________；(3)a·a＝__________或|a|＝a·a＝a2；(4)cos θ＝__________________(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤__________(当且仅当a∥b时等号成立)．5．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．一、选择题1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的射影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a|＝2，|b|＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32D ．13．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a －b|等于( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．84．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于( ) A ．－32 B ．0 C ．32D ．35．若非零向量a ，b 满足|a|＝|b|，(2a ＋b)·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°6．若向量a 与b 的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，则向量a 的模为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12二、填空题7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b ·(2a ＋b)的值为________． 8．给出下列结论：①若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；②若a ·b ＝b ·c ，则a ＝c ；③(a ·b)c ＝a(b ·c)；④a ·[b(a ·c)－c(a ·b)]＝0．其中正确结论的序号是________．9．设非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________． 10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b)＝0，则|b|的取值范围是________．三、解答题11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ； (3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．12．已知|a|＝|b|＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b|，|a －b|．能力提升13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．§5 从力做的功到向量的数量积答案知识梳理1．(1)非零向量∠AOB ①[0，π] ②同向③反向(2)90°a⊥b2．|b|cos θ|a|cos θ3．|a||b|cos θ数量积内积a·ba ·b ＝|a||b|·cos θ4．(1)a ·b ＝0 (2)|a||b| －|a||b| (3)|a|2(4)a ·b|a||b|(5)|a||b|作业设计1．D [a 在b 方向上的射影是 |a|cos θ＝2×cos 120°＝－1．] 2．A [∵(3a ＋2b)·(λa －b) ＝3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0． ∴λ＝32．]3．B [|2a －b|2＝(2a －b)2＝4|a|2－4a ·b ＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b|＝22．] 4．A [a ·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12．同理b ·c ＝－12，c ·a ＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32．]5．C [由(2a ＋b)·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0， 设a 与b 的夹角为θ， ∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．∴cos θ＝－|b|22|a||b|＝－|b|22|b|2＝－12，∴θ＝120°．]6．C [∵a ·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|， ∴(a ＋2b)·(a －3b)＝|a|2－6|b|2－a ·b ＝|a|2－2|a|－96＝－72． ∴|a|＝6．] 7．0解析 b ·(2a ＋b)＝2a ·b ＋|b|2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0． 8．④解析 因为两个非零向量a 、b 垂直时，a ·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a ·b ＝b ·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a ·b)c 与c 共线，a(b ·c)与a 共线，故③不正确；④正确，a ·[b(a ·c)－c(a ·b)] ＝(a ·b)(a ·c)－(a ·c)(a ·b)＝0． 9．120°解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c|2＝|a ＋b|2＝a 2＋2a ·b ＋b 2． 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a ·b ＝－b 2， 即2|a||b|cos 〈a ，b 〉＝－|b|2． ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°． 10．[0,1]解析 b ·(a －b)＝a ·b －|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b|≤1．11．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向， 则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12． 若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°， ∴a ·b ＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12． (2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°， ∴a ·b ＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0． (3)当a 与b 的夹角为60°时， ∴a ·b ＝|a||b|cos 60°＝4×3×12＝6．12．解 a ·b ＝|a||b|cos θ＝5×5×12＝252．|a ＋b|＝(a ＋b )2＝|a|2＋2a ·b ＋|b|2＝25＋2×252＋25＝53．|a －b|＝(a －b )2＝|a|2－2a ·b ＋|b|2＝25－2×252＋25＝5．13．解 (2a －b)·(a ＋b)＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12．|a ＋b|＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1． ∴|2a －b|cos 〈2a －b ，a ＋b 〉 ＝|2a －b|·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b|·|a ＋b|＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b|＝12．∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影为12．14．解 ∵|n|＝|m|＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m ·n ＝|m||n|cos 60°＝1×1×12＝12．|a|＝|2m ＋n|＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m ·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b|＝|2n －3m|＝(2n －3m )2 ＝4×1＋9×1－12m ·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a ·b ＝(2m ＋n)·(2n －3m) ＝m ·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72． 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b|＝－727×7＝－12．又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3．。
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从力做的功到平面向量的数量积
a b 4
2
2
1 2
2 1 当且仅当a b 2时, S有最大值, 此时 cos a b 2 2 2
0 180 60 注意两个向量夹角的取值范围
a b 1 4 16 4 2 2
2
进行向量数量积 计算时,既要考 2 虑向量的模,又 或 AB CD AB 16 要根据两个向量 3. AB与AD的夹角是60 , AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。 1 AB DA AB DA cos120 4 3 6 2
特别地, a a a 或 a a a
2
设非零向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则a b x1 x2 y1 y2 0
内积为零是判定两向量垂直的充要条件
用于计算向量的模 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1 , y1 , x2 , y2 , 那么
PM PN
1点P的轨迹是什么曲线? 2若点P坐标为x0 , y0 , 记为PM与PN的夹角, 求 tan .
1 x0 2 y02 1 x0 2 y02
1
2 4 x0
0
0
2 2 2 2 2 2 x0 y0 2 x0 1 x0 y0 2 x0 1 16 4 x0 2 4 x0
cos
PM PN PM PN
2
0
tan sin cos 1 1 2 4 x0
2 3 x0 y 0
1 sin 1 cos 1 2 4 x0
1 2 4 x0
2019-2020年高中数学 第2章 5从力做的功到向量的数量积课时作业 北师大版必修4
2019-2020年高中数学 第2章 5从力做的功到向量的数量积课时作业 北师大版必修4一、选择题1．下列命题不正确的是( )A ．若a ·b ＝|a ||b |，则向量a 与向量b 同向B ．若a ·b ＝－|a ||b |，则向量a 与向量b 反向C ．若a ·b ＝0，则向量a 与向量b 垂直D ．若a ·b >a ·c ，则b >c [答案] D[解析] 由向量数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ易知，选项A ，B ，C 正确． 2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( ) A ．[0，π2]B ．[π2，π)C ．[π2，π]D ．(π2，π][答案] D[解析] 由ab ＝|a ||b |cos θ知，若a ·b <0，则cos θ<0. 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈(π2，π]．3．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，则|a －b |的值为( ) A ．1 B ．3 C ．2 3 D ．32[答案] C[解析] |a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22＋22－2×2×2×cos120°＝12. ∴|a －b |＝12＝2 3.4．(xx·重庆理，6)若非零向量a ，b 满足|a|＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π[答案] A[解析] 设a 与b 的夹角为θ，根据题知(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，所以3|a|2－a·b －2|b|2＝0,3|a|2－|a|·|b|cos θ－2|b|2＝0，再由|a|＝223|b|得83|b|2－223|b|2cos θ－2|b|2＝0，cos θ＝22，即θ＝π4. 5．若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于( )A ．1B ．－4C ．－72D ．72[答案] C[解析] a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22＝－6|e 1|2＋|e 1||e 2|cos π3＋2|e 2|2＝－6×12＋1×1×12＋2×12＝－72.6．若向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，则有( ) A ．c ⊥a B ．c ⊥b C ．c ∥b D ．c ∥a [答案] A[解析] ∵c ·a ＝(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos120°＝12＋1×2×cos120°＝0，∴c ⊥A ． 二、填空题7．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝______.[答案] 1[解析] 考查了向量的数量积，垂直等问题． 由a ＋b 与k a －b 垂直知(a ＋b )·(k a －b )＝0， 即k a 2－a ·b ＋k a ·b －b 2＝0，又由|a |＝|b |＝1知(k －1)(a ·b ＋1)＝0，若a ·b ＝－1，则a 与b 夹角180°，与a ，b 不共线矛盾， ∴k －1＝0，k ＝1.8．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b方向上的射影为________．[答案] 52[解析] 本题考查了平面向量的数量积的运算． 由已知|a |＝13，|b |＝2，a ·b ＝5.∴|a |cos<a ，b >＝|a |×a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝52.三、解答题9．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． [解析] (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b|a ||b |＝121×22＝22， ∴θ＝45°.∴a 与b 的夹角为45°. (2)|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×12＋12＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝a ＋b a －b |a ＋b ||a －b |＝12102×22＝55.10．已知|a |＝2，|b |＝4. (1)当a ⊥b 时，求|a ＋b |； (2)当a ∥b 时，求a ·b ；(3)若(a ＋2b )与(3a －b )垂直，求向量a 与b 的夹角． [解析] (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋16＝20， ∴|a ＋b |＝2 5.(2)∵a ∥b ，当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |＝8； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |＝－8.(3)由(a ＋2b )与(3a －b )垂直，得(a ＋2b )·(3a －b )＝0，即3a 2＋5a ·b －2b 2＝0，∴5a ·b ＝2b 2－3a 2，∴a ·b ＝4. 设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝42×4＝12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 一、选择题1．已知a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B ．2－2 C ．－1 D ．1－2[答案] D[解析] 本题考查数量积的运算．设a ＋b 与c 的夹角为θ，则 (a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －c ·b ＋c 2 ＝0－(a ＋b )·c ＋1＝1－(a ＋b )·c ＝1－|a ＋b |·|c |cos θ ＝1－2·1·cos θ∴最小值为1－2，即a ＋b 与c 同向共线时取得最小值． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 [答案] B[解析] 解法一：要求AB →·BC →的值，需知|AB →|，|BC →|及AB →与BC →夹角θ的余弦值，由图不难发现θ＝π－B ，∴cos θ＝cos(π－B )＝－cos B ＝－|AB →||BC →|.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝|AB →||BC →|(－|AB →||BC →|)＝－|AB →|2＝－12＝－1.解法二：从射影的角度，|BA →|＝1即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos B ，而|BC →|cos B ＝|BA →|，∴AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1.二、填空题3．(xx·湖北理，11)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝_______. [答案] 9[解析] 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝|OA →|2＋OA →·AB →＝|OA|2＝32＝9.故本题正确答案为9.4．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． [答案]10[解析] 本题考查了向量的运算．∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0， ∴2α·β＝α2＝|α|2，∴|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝6α2＋β2＝6|α|2＋|β|2＝6＋4＝10.三、解答题5．若O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，判断△ABC 的形状．[解析] OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →. ∵|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， ∴|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，∴AB →·AC →＝0，∴AB ⊥AC ，故△ABC 为直角三角形．6．已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3B ． (1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？[解析] (1)假设向量c 与向量d 垂直，得c·d ＝0， 而c·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b ) ＝3m a 2＋(5m －9)a·b －15b 2 ＝27m ＋3(5m －9)－60， ∴42m －87＝0，∴m ＝2914，即当m ＝2914时，c 与d 垂直．(2)假设c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ， ∴3a ＋5b ＝λ(m a －3b )，即3a ＋5b ＝λm a －3λB ．又a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λm ＝3，－3λ＝5，解得⎩⎨⎧λ＝－53，m ＝－95，即当m ＝－95时，c 与d 共线．7．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，求k 的取值范围． [解析] (1)证明：∵|a |＝|b |＝|c |＝1， 且a ，b ，c 之间夹角均为120°，∴(a －b )·c ＝a·c －b·c ＝|a ||c |cos120°－|b ||c |·cos120°＝0，∴(a －b )⊥C ． (2)解：∵|k a ＋b ＋c |>1， ∴(k a ＋b ＋c )·(k a ＋b ＋c )>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c >1. ∵a·b ＝a·c ＝b·c ＝cos120°＝－12，∴k 2－2k >0，解得k <0或k >2， 即k 的取值范围是{k |k <0或k >2}．.。
高中数学 2.5 从力做的功到向量的数量积课时训练 北师
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.5 从力做的功到向量的数量积课时训练 北师大版必修4一、选择题1．(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b【解析】 因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即a·b ＝0，故a ⊥b .【答案】 B2．|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b 且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 c ⊥a ，设a 与b 的夹角为θ，则(a ＋b )·a ＝0，所以a 2＋a ·b ＝0，所以a 2＋|a ||b |cos θ＝0，则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－12，所以θ＝120°.故选C. 【答案】 C3．|a |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的射影等于( )A ．2B ．120°C ．－1D ．由向量b 的长度确定【解析】 |a |co s 120°＝2×(－12)＝－1. 【答案】 C4．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 0＝AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.【答案】 A5．(2012·浙江高考)设a ，b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |【解析】 由|a ＋b |＝|a |－|b |知(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，∴a ·b ＝－|a ||b |.∵a·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝－1，∴〈a ，b 〉＝π，此时a 与b 反向共线，因此A 错误．当a ⊥b 时，a 与b 不反向也不共线，因此B 错误．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ＝－1，使b ＝－a ，满足a 与b 反向共线，故C 正确．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a ＋λa |＝|1＋λ||a |，|a |－|b |＝|a |－|λa |＝(1－|λ|)|a |，只有当－1≤λ≤0时，|a ＋b |＝|a |－|b |才能成立，否则不能成立，故D 错误．【答案】 C二、填空题6．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【解析】 设AB 的长为a (a >0)，因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0， ∴a ＝12，即AB 的长为12. 【答案】 127．已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋m b ＋7c ＝0，其中a ，b＝60°，则实数m＝________.【解析】 ∵3a ＋m b ＋7c ＝0，∴3a ＋m b ＝－7c ，∴(3a ＋m b )2＝(－7c )2，化简得9＋m 2＋6m a ·b ＝49.又∵a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12， ∴m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8.【答案】 5或－88．(2012·课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 【解析】 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10， ∴|b |＝3 2.【答案】 3 2三、解答题9．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |.【解】 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12， 又∵|a |＝1，∴|b |2＝1－12＝12，即|b |＝22， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4. (2)|a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋2×12＋12＝102. 10．已知向量a 与b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则|a ||b |的值为多少？ 【解】 由c ⊥a 可得c ·a ＝0，则c ＝a ＋b 两边同时与a 求数量积可得a 2＋a ·b ＝0，所以|a |2＋|a ||b |cos 120°＝0，所以|a ||b |＝12. 11．已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．【解】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0.∴k ＝14(t 2－3t )＝14(t －32)2－916(t ≠0)． 故当t ＝32时，k 取最小值－916.。
北师大版数学高一必修4试题 2.5从力做的功到向量的数量积
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
课后巩固作业（二十）(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2011·宝鸡高二检测)已知a=(a,1),b=(1,b),若a b⊥,则a,b符合的关系为( )(A)a-b=0 (B)a+b=0 (C)ab-1=0 (D)ab+1=02.(2011·广东高考)若向量a,b,c满足a∥b且a c⊥,则+)=( )c·(a2b(A)4 (B)3 (C)2 (D)03.已知向量+则|b|等于a与b的夹角为120°,|a|=3,|a b( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)14.设a,b是非零向量,若函数()＋的图像是一条直线,f x(xa b)(a xb)=-则必有( ) (A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)|a|≠|b|二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2011·安徽高考)已知向量a、b满足(a2b-)=-6,且+)·(a b|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为_________.6.(2011·新课标全国高考)已知向量a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a b-垂直,则k=_______.+与向量ka b三、解答题(每小题8分,共16分)7.(2011·南通模拟)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a b-|=2.(1)求a·b的值；(2)求|a+b|的值.8.已知：|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c a2b=+ ,=-(m∈R).d ma6b(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)若c d∥,求|c+d|.【挑战能力】(10分)对于任意向量a、b,定义新运算“※”：a※b=|a|·|b|·sin θ(其中θ为a与b所成的角).利用这个新知识解决：若|a|=1,|b|=5,且a·b=4,求a※b的值.答案解析1.【解析】选B.由题意可知a ·b =0,即a+b=0.2.【解析】选D.∵a ∥b 且a c ⊥,∴b c ⊥,从而c b c a 0==,∴()c a 2b c a 2c b 0+=+=.故选D.3.【解析】选B.∵|a |=3,|a b +∴222|a b |(a b)a 2a b b 13+=+=++=, 即2|b |2a b 40+-=,又3a b |a ||b |cos120|b |2=︒=-,∴2|b |3|b |40--=,∴|b |=4.4.独具【解题提示】()f x (xa b)(a xb)=-＋的图像是一条直线,则f(x)是一次函数.【解析】选B.∵()222f x a bx (a b )x a b =--＋＋为直线方程,∴必有a ·b =0.由于a 、b 为非零向量,因此有a ⊥b .5.独具【解题提示】(a 2b +)·(a b -)=-6可以求出a ·b ,再利用夹角公式可求夹角.【解析】(a 2b +)·(a b -)=-6,即12+a ·b -2×22=-6, 则a ·b =1,所以a b 1cos a,b 2|a ||b |==〈〉, 所以〈a ,b 〉=60°.答案：60°6.【解析】由题意可知(a b +)·(ka b -)=0,即()22+--=.ka k1a b b0又|a||b|1==,∴(k-1)+(k-1)a·b=0,∴k=1.答案：17.【解析】(1)由|a-b|=2,得22-+=,a2a b b4∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.2(2)222+=++=,|a b|a2a b b6∴|a b|6+=.8.【解析】a b|a||b|cos a,b32cos603〈〉,==⨯⨯︒=(1)22=+-=+--c d(a2b)(ma6b)ma(2m6)a b12b =9m+3(2m-6)-48=15m-66=0,解得22=.m5(2)∵c d∥,∴1×(-6)-2×m=0,解得m=-3,∴d3a6b=--,+=--,c d2a4b∴222+=--=++|c d|(2a4b)4a16a b16b===【挑战能力】【解析】a·b=1×5×cos〈a,b〉=4,∴cos〈a,b〉4=，5∴sin〈a,b〉3=,5a※b3=⨯⨯==.1535独具【方法技巧】数学中“信息迁移题”问题解题技巧：所谓“信息迁移题”是指：设计一个陌生的数学情景(即：定义一个概念,约定一种运算,提供一串数据等)在阅读理解的基础上运用所学的数学知识和方法进行求解的一类问题.这是因为它不仅具有知识性、心理性测试的功能,还具有背景公平、有利于竞争的特点.解答此类问题的技巧有：①紧扣定义：由定义导致了“陌生情景”,显然定义是关键.解题时紧扣定义,深入分析定义的特点、认真领会定义的实质,尤其是定义中隐含的或特殊的情形.通过对定义的仔细推敲和概念的全面认识使问题获解.②借助图像：面对信息迁移题的众多数据及这些数据间错综复杂的制约关系,倘若能通过变量将它们联系起来,再在直角坐标系中画出图像,借助图像问题会渐趋明朗.③逐一验证：涉及多个方案选取最优方案问题,往往可以对各方案单独进行求解.在每个方案结果产生以后进行比较,结论不宣自明.④解析法：涉及确定曲线的信息迁移题,往往需要建立直角坐标系,利用二次曲线的有关知识进行求解.⑤构建模型：很多信息迁移题实际上也是应用题,求解思路：首先分析题意,然后建立数学模型,通过数学模型使问题获解.信息迁移题由于来源广、范围大,又加上新概念、新信息的引入及长长的文字叙述等,都给求解增添了很多困难.面对一个新的问题,往往不是某一种策略可以解决的,可能要综合运用多种策略构建模型方能奏效.。
高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积课时作业 北师
从力做的功到向量的数量积一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·黄山高一检测)已知|b |=3,a 在b 方向上的投影是,则a ·b 为 ( ) A. B. C.3 D.2【解析】选D.设a 与b 的夹角为θ,则a 在b 方向上的射影|a |cos θ=,所以a ·b =|a ||b |cos θ=×3=2.2.(2014·西安高一检测)已知|a |=3,|b |=5,且a ·b =12,则向量a 在向量b 上的投影为 ( ) A. B.3 C.4 D.5【解析】选A.设向量a 与b 的夹角为θ,则向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ=|a |||||g a b a b =||g a b b =.【举一反三】在本题的条件下,试求向量b 在向量a 方向上的投影.【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ,则cos θ=||||g a b a b ==,向量b 在向量a 方向上的投影为|b |cos θ=5×=4.3.(2014·郑州高一检测)下列命题中,正确的是 ( )A.若a ·b =0,则a =0或b =0B.若a ·b =0,则a ∥bC.若a ⊥b ,则a ·b =(a ·b )2D.若|a |>|b |,则a >b【解析】选C.对A,a ·b =0,a 与b 有可能为非零的垂直向量,故A 错误.对B,a ·b =0,则a ⊥b ,故B 错误.对C,若a ⊥b ,则a ·b =0,所以a ·b =(a ·b )2,故C 正确.对D,|a |>|b |,由于a 与b 为向量,不是数量,不能比较大小,故D 错误.4.设e 1和e 2是夹角为60°的单位向量,且a =3e 1+2e 2,b =-3e 1+4e 2,则a ·b 等于( )A.-2B.-1C.1D.2【解题指南】先求e1·e2,再计算a·b.【解析】选D.因为|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1||e2|cos60°=1×1×=,所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×=2.5.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|等于( )A.23B.35C.D.【解析】选C.|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=22+52+2×(-3)=23.所以|a+b|=,应选C.【误区警示】求a+b的模时,需先求|a+b|2=(a+b)2,再开方.求解时,易忘记开方,而误选A.6.(2013·宜春高一检测)关于菱形ABCD的下列说法中,不正确的是( )A.∥B.(+)⊥(+)C.(-)·(-)=0D.·=·【解析】选D.如图所示,对于选项A,∥正确,对于选项B,+=,+=,由菱形对角线互相垂直知(+)⊥(+).对于选项C,因为-=,-=,又因为⊥,所以(-)·(-)=0,所以C正确.显然D不正确,因此选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·平顶山高一检测)已知向量a 与b 的夹角为120°,且|a |=|b |=4,那么|a -3b |等于 . 【解析】|a -3b |=222(3)69-=-+g a b a a b b ==4.答案:4 8.向量a ,b 满足(a -b )·(2a +b )=-4,且|a |=2,|b |=4,则a 与b 的夹角等于 .【解析】设a 与b 的夹角为θ,因为|a |=2,|b |=4,(a -b )·(2a +b )=-4,所以2|a |2-|a ||b |cos θ-|b |2=-4,即8-8cos θ-16=-4,所以cos θ=-.又θ∈[0,π],所以θ=π.答案:π 9.(2014·宝鸡高一检测)已知非零向量a 与b 的夹角为120°,若向量c =a +b ,且c ⊥a ,则||||a b 的值为 .【解析】因为c =a +b ,又c ⊥a ,所以c ·a =0,即(a +b )·a =0,所以a 2+a ·b =0,|a |2+|a ||b |cos120°=0,所以|a |-|b |=0,所以||||a b =. 答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·合肥高一检测)已知a ,b 是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,求a 与b 的夹角.【解析】设a 与b 的夹角为θ,由(a -2b )⊥a ,得(a -2b )·a =0,即a 2-2a ·b =0,由(b -2a )⊥b ,得(b -2a )·b =0,即b 2-2a ·b =0,所以a 2=b 2,即|a |=|b |,a ·b =a 2, c os θ=||||g a b a b =21||2||||a ab =, 又因为θ∈[0,π],则得θ=.【变式训练】已知a ⊥b ,且|a |=2,|b |=1,若对两个不同时为零的实数k,t,使得a +(t-3)b 与-k a +t b 垂直,试求k 的最小值.【解析】因为a ⊥b ,所以a ·b =0,又由已知得[a +(t-3)b ]·(-k a +t b )=0, 所以-k a 2+t(t-3)b 2=0,因为|a |=2,|b |=1,所以-4k+t(t-3)=0, 所以k=(t 2-3t)=-(t ≠0).故当t=时,k 取最小值-. 11.(2013·南昌高一检测)已知非零向量a ,b 满足|a |=1,且(a -b )·(a +b )=.(1)求|b |.(2)当a ·b =-时,求向量a 与a +2b 的夹角θ的值.【解析】(1)因为(a -b )·(a +b )=,即a 2-b 2=.所以|b |2=|a |2-=,所以|b |=.(2)因为|a +2b |2=(a +2b )2=|a |2+4a ·b +|2b |2=1-1+1=1.所以|a +2b |=1.又因为a ·(a +2b )=|a |2+2a ·b =1-=, 所以c os θ=(2)|||2|++g a a b a a b =, 又0°≤θ≤180°,所以θ=60°.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·咸阳高一检测)若a 为非零向量,a ·b =0,则满足此条件的向量b 有( )A.1个B.2个C.有限个D.无限个【解析】选D.由已知a ·b =0,又a ≠0,则满足条件的向量b 除0外,还有无限个,与a 垂直均符合要求,故选D.【误区警示】本题易忽视a ·b =0⇒a ⊥b ,而误认为只有b =0,而误选A.2.(2014·榆林高一检测)已知|a |=3,|b |=4,(a +b )·(a +3b )=33,则a 与b 的夹角为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150° 【解析】选C.因为(a +b )·(a +3b )=a 2+4a ·b +3b 2=57+4a ·b =33,所以a ·b =-6.设a 与b 的夹角为α,则cos α=||||g a b a b ==-,又0°≤α≤180°,所以α=120°.【变式训练】若向量a ,b 满足|a |=|b |=1,且(a +3b )·(a +5b )=20,则向量a ,b 的夹角为 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选C.因为(a+3b)·(a+5b)=a2+15b2+8a·b=16+8a·b=20.所以a·b=.设向量a,b的夹角为α,则a·b=|a||b|cosα=,所以cosα=,所以α=60°.3.(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ= ( )A. B. C. D.【解析】选C.因为∠BAD=120°,所以·=··cos120°=-2.因为BE=λBC,DF=μDC,所以=+λ,=μ+.因为·=1,所以·=1,即2λ+2μ-λμ=①同理可得λμ-λ-μ=-②,①+②得λ+μ=.4.(2014·阜阳高一检测)在△ABC中,若=a,=b,=c,且a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.以上都不对【解析】选C.由a+b+c=++=0,得a+b=-c,(a+b)2=c2,即a2+b2+2a·b=c2…①,同理可得b2+c2+2b·c=a2…②①-②得a2=c2,所以|a|=|c|,同理可得|a|=|b|,故△ABC为等边三角形.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013·江西高考)设e 1,e 2为单位向量,且e 1,e 2的夹角为.若a =e 1+3e 2,b =2e 1,则向量a 在b 方向上的投影为 .【解题指南】向量a 在b 方向上的射影为|a |cos θ=||g a b b ,进而问题转化为求向量a ,b 的数量积与向量b 的模.【解析】设a ,b 的夹角为θ,则向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ=|a |||||g a b a b =||g a b b ,而a ·b =(e 1+3e 2)·2e 1=2+6cos=5,|b |=2,所以所求为.答案: 6.(2014·汉中高一检测)如图,A,B 是函数y=3sin(2x+θ)的图象与x 轴两相邻交点,C 是图象上A,B 间的最低点,则·= .【解析】设,的夹角为α,由已知可得||=,·=||·||cos α=||·||=||·=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·安庆高一检测)已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61,(1)求a ·b 的值.(2)求|a +b |的值.【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61得4a2-4a·b-3b2=61.又由|a|=4,|b|=3得a2=16,b2=9,代入上式得64-4a·b-27=61,所以a·b=-6.(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-6)+9=13,故|a+b|=.【变式训练】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2.(1)求a·b的值.(2)求|a+b|的值.【解析】(1)由|a-b|=2,得a2-2a·b+b2=4,因为|a|=2,|b|=1,所以a·b=.(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=6,所以|a+b|=.8.(2014·西安高一检测)已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2t a+7b与a+t b的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【解析】因为(2t a+7b)·(a+t b)=2t a2+(2t2+7)a·b+7t b2=2t|a|2+(2t2+7)|a||b|cos60°+7t|b|2=8t+(2t2+7)+7t=2t2+15t+7.由2t2+15t+7<0⇒(2t+1)(t+7)<0,所以-7<t<-.考虑到此时二者夹角可能为π,而π不是钝角,应把这种情况排除,当夹角为π时,即共线反向时,2t a+7b=λ(a+t b)(λ<0),所以⇒2t2=7.因为λ<0,所以t=-.所以当t=-时,2t a+7b与a+t b的夹角为π.故t的取值范围是∪.【误区警示】解答本题时,易忽视2t a+7b与a+t b的夹角为π的情况,而得到t的范围是的错误.。
高中数学必修四北师大版 2.2.5 从力做的功到向量的数量积 作业3 含答案
双基达标 (限时20分钟)1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )．A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c解析 A 中若a ⊥b ，则有a·b ＝0，不一定有a ＝0，b ＝0.C 中当|a |＝|b |时，a 2＝b 2，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b .D 中当a ＝0时，a·b ＝a·c ，不一定有b ＝c .答案 B2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝( )． A.12 B.32 C ．1＋32 D ．2解析 a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos 60°＝1＋1×1×12＝32.答案 B3．设e 1，e 2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是( )．A ．e 1·e 2＝1B ．e 1·e 2＝－1C ．|e 1·e 2|＝1D ．|e 1·e 2|<1解析 ∵e 1，e 2平行，∴e 1与e 2的夹角θ＝0°或θ＝180°，若θ＝0°，则e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝1×1×cos 0°＝1；若θ＝180°，则e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝1×1×cos 180°＝－1；综上得|e 1·e 2|＝1.答案 C4．已知|a |＝5，|b |＝6，若a ∥b ，则a ·b ＝________.解析 由a ∥b ，可知a 与b 的夹角为0或π，故a ·b ＝±30.答案 ±305．已知a ⊥b ，(3a ＋2b )⊥(k a －b )，若|a |＝2，|b |＝3，则实数k 的值为________．解析 由已知a·b ＝0，a 2＝4，b 2＝9，(3a ＋2b )·(k a －b )＝0⇒3k a 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0.∴12k －18＝0，∴k ＝32.答案 326．已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．解 ∵a ＋3b 与7a －5b 垂直，∴(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，∵a －4b 与7a －2b 垂直，∴(a －4b )·(7a －2b )＝0.于是有⎩⎨⎧7a 2＋16a·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0. ② ①－②得2a ·b ＝b 2. ③将③代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝|b |22|b |2＝12.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°.综合提高 (限时25分钟)7．如图所示，在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是( )．A ．1B ．－1C ．1或－1D ．不确定，与B 的大小，BC 的长度有关解析 法一 根据数量积的定义，得AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos B ．又cosB ＝|BA →||BC →|，故AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1，故选B. 法二 从投影的角度来考虑，事实上，由于A ＝90°，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC→|cos B ，而|BC →|cos B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1.故选B.答案 B8．已知|a |＝3，|b |＝2， a ，b ＝60°，如果(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为( )．A.3223B.2343C.2942D.2116解析 由已知可得(3a ＋5b )·(m a －b )＝0，即3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0⇒3m ·32＋(5m －3)·3×2·cos 60°－5×22＝0，解之得m ＝2942.答案 C9．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2解析 由已知条件向量a ，b ，c 均为单位向量可知，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0可知，(a ＋b )·c ≥1，因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )＝3－2c ·(a ＋b )≤1，故|a ＋b －c |≤1. 答案 B10．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析 由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1·e 2－2k e 1·e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.答案 54答案 －211．对于两个非零向量a ，b ，求使|a ＋t b |最小时的t 的值，并求此时b 与a ＋t b 的夹角．解 |a ＋t b |2＝a 2＋2(a·b )t ＋t 2b 2＝|a |2＋2(a·b )t ＋t 2|b |2＝|b |2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a·b |b |22＋|a |2－(a·b )2|b |2. 当t ＝－a·b |b |2时，|a ＋t b |2取得最小值，即|a ＋t b |取得最小值．。
高中数学北师大版必修4学案2.5 从力做的功到向量的数量积 Word版含解析
§从力做的功到向量的数量积．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的)几何问题．(难点[基础·初探]教材整理向量的夹角及数量积阅读教材～内容，完成下列问题．．向量的夹角()射影θ叫作向量在方向上的投影数量(也叫投影)．()数量积已知两个非零向量与，我们把θ叫作与的数量积(或内积)，记作·，即·＝θ，其中θ是与的夹角．()规定零向量与任一向量的数量积为.()几何意义与的数量积等于的长度与在方向上射影θ的乘积，或的长度与在方向上射影θ的乘积．()性质①若是单位向量，则·＝·＝θ.②若⊥，则·＝；反之，若·＝，则⊥，通常记作⊥⇔·＝.③＝＝.④θ＝(≠)．⑤对任意两个向量，，有·≤，当且仅当∥时等号成立．()运算律已知向量，，与实数λ，则：①交换律：·＝·；②结合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)；③分配律：·(＋)＝·＋·.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两向量的数量积仍是一个向量．( )()若·＝，则＝或＝.( )()设与的夹角为θ，则θ>⇔·>.( )()对于任意向量，，总有(·)＝·.( )()＝.( )【解析】()×.两向量的数量积是一个数量．()×.∵·＝θ＝，∴＝或＝或θ＝.()√.()×.由数量积定义知，错；()×＝θ)＝θ).【答案】()×()×()√()×()×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：。
2017-2018学年高一数学北师大版必修四习题：课下能力提升(二十) Word版含答案
课下能力提升(二十) 从力做的功到向量的数量积一、选择题1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的射影是32，则a ·b ＝( ) A ．3 B.92C ．2 D.122．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.73．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π24．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0二、填空题5．已知|a |＝1，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝________．6．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，且|2a ＋b |＝10，则向量a 与a －2b 的夹角为________．7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为________．8．设a ，b ，c 是三个任意的非零向量，且互不平行，以下四个命题：①|a |＋|b |>|a ＋b |；②若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；③向量a ，b 满足：a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；④若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影长．其中正确的命题是________(填序号)三、解答题9．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋2b )·(2a －b )≥4，求a 与b 的夹角θ的范围．10．已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．答案1．解析：选B 设a ，b 的夹角为θ(0≤θ≤π)依题意，|a |cos θ＝32，而|b |＝3. ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92. 2．解析：选B ∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝1－4×12＋4＝3， ∴|a ＋2b |＝ 3.3．解析：选C 设向量a 与向量b 的夹角为θ(0≤θ≤π)，由条件得a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝2＋a 2＝3＝|a ||b |cos θ＝1×6×cos θ，所以cos θ＝12， 又因为0≤θ≤π，所以θ＝π3. 4．解析：选D ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵a ∥b ，∴b ⊥c .∴b ·c ＝0，∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2b ·c ＝0.5．解析：由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2得16＝1－2a ·b ＋9，2a ·b ＝－6∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－6＋9＝4|a ＋b |＝2.答案：26．解析：由|2a ＋b |＝10得，4|a 2|＋4a ·b ＋|b |2＝10，∴4·12＋4a ·b ＋22＝10，∴a ·b ＝12， ∴a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝1－2×12＝0. 故a ⊥(a －2b )，即a 与a －2b 的夹角为90°.答案：90°7．解析：∵a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k ＋(1－2k )×1×1×cos 2π3－2 ＝2k －52＝0， ∴k ＝54. 答案：548．解析：①正确，根据三角形两边之和大于第三边；②错误，由a ≠0，a ·b ＝0可得b ＝0或a ⊥b ；③错误，a ·b >0时a 与b 可以同向；④错误，|b |cos θ表示b 在a 方向上的射影，不是长度，故正确的个数只有1个．答案：①9．解：由(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×32－2×42＋3a ·b ≥4得a ·b ≥6， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 3×4≥63×4＝12. 又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 10．解：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·[－k a ＋t b ]＝0，∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0. ∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0.∴k ＝14(t 2－3t ) ＝14(t －32)2－916(t ≠0)． 故当t ＝32时，k 取最小值－916.。
高中数学 第二章2.5从力做功到向量的数量积课时训练 北师大版必修4
2,5 从力做功到向量的数量积一、选择题1．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．122．已知|a |＝2，|b |＝4，向量a 与b 的夹角为60°，当(a ＋3b )⊥(ka －b )时，实数k 的值是( )A.14B.34C.134D.1323．在平行六面体ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1中，向量AB →，AD →,AA 1→两的夹角均为６０0且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|＝( )A ．5B ．6C ．4D ．84．(2009·北京东城一模)已知两个向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则x的值为________．5．(2010·广东东莞调研)已知两单位向量a ，b 的夹角为60°，则两向量p ＝2a ＋b 与q ＝－3a ＋2b 的夹角为________．6.(2009·天津)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.参考答案1答案：B解析：因为a ＝(2,0)，|b |＝1，所以|a |＝2，a·b ＝2×1×cos 60°＝1，故|a ＋2b |＝a 2＋4×a·b ＋4b 2＝2 3.答案：C解析：依题意得a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2×4×12＝4， 因为(a ＋3b )⊥(ka －b )，所以(a ＋3b )·(ka －b )＝0，得ka 2＋(3k －1)a ·b －3b 2＝0，即k ＋3k－1－12＝0，解得k ＝134. 3．A 解析：由题意知AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→，则|AC 1→|2＝|AB →＋BC →＋CC 1→|2＝12＋22＋32＋2AB →·BC →＋2AB →·CC 1→＋2BC →·CC 1→＝14＋2×1×2×12＋2×1×3×12＋2×2×3×12＝25，所以|AC 1→|＝5.答案：A5. 答案：120°解析：p ·q ＝(2a ＋b )·(－3a ＋2b )＝－6a 2＋ab ＋2b 2＝－6a 2＋|a |·|b |·cos 60°＋2b 2＝－72，|p | ＝|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4ab ＋b 2＝4a 2＋4|a ||b |·cos 60°＋b 2＝7，|q |＝|－3a ＋2b | ＝(－3a ＋2b )2＝9a 2－12ab ＋4b 2＝9a 2－12|a ||b |·cos 60°＋4b 2＝7，而cos 〈p ，q 〉＝p ·q |p |·|q |＝－12.即p 与q 的夹角为120°. 6. 解析：MC →＝MC →＋CA →＝－CM →＋CA →＝13CA →－16CB →，MB →＝MC →＋CB →＝－CM →＋CB →＝56CB → －23CA →，所以MA →·MB →＝718CA →·CB →－29CA →2－536CB →2＝－2. 答案：－2。
【精讲优练】高中数学北师大必修四练习：2.5从力做的功到向量的数量积(含答案解析)
温馨提示：此套题为 Word 版，请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴，调理适合的观看比率，答案分析附后。
封闭 Word 文档返回原板块。
课时提高作业 (二十 )从力做的功到向量的数目积(25 分钟60分)一、选择题 (每题 5 分 ,共 25 分 )1.设向量 a,b,知足 |a|=|b|=1,a·b=- ,则 |a+2b|= ()A. B.C. D.【分析】选 B. 因为 |a+2b|2=|a|2+4a· b+4|b|2=1-2+4=3, 因此 |a+2b|=.2.(2015 ·陕西高考 )对随意愿量 a,b,以下关系式中不恒建立的是()A.|a · b|≤ |a||b|B.|a-b|≤ ||a|-|b||C.(a+b) 2=|a+b|2D.(a+b) · (a-b)=a2 -b2【解题指南】由向量的线性运算性质及几何意义对各个选择项作出判断.【分析】选 B. 由=,因为 -1≤ cosθ ≤1,因此 |a· b|≤ |a||b|恒建立 ;由向量减法的几何意义联合三角形的三边关系可得,故B 选项不建立 ;依据向量数目积的运算律C,D 选项恒建立 .【赔偿训练】 (2015·宿州高一检测 )已知两个非零向量a,b 知足 |a+b|=|a-b|,则下边结论正确的是 ()A.a ∥ bB.a⊥ bC.|a|=|b|D.a+b=a-b【分析】选 B. 因为 |a+b|=|a-b|,因此 (a+b)2=(a-b) 2,即 a· b=0,故 a⊥ b.3.(2015 ·汉中高一检测 )|a|=1,|b|=2,c=a+b 且 c⊥a,则 a 与 b 的夹角为()A.30 °B.60°C.120°D.150 °【分析】选 C.c⊥a,设 a 与 b 的夹角为θ ,2因此 a2+|a||b|cosθ =0, 则 1+2cosθ =0,因此 cosθ =- ,因为 0°≤ θ ≤ 180° ,因此θ =120° .4.(2015 ·榆林高一检测)已知 |b|=3,a 在 b 方向上的射影是,则 a· b 的值为() A.3 B.C.2D.【分析】选 B. 设 a 与 b 的夹角为θ ,由题意知 |a|cosθ= .因此 a·b=|a||b|cosθ = × 3= .【赔偿训练】 (2015 ·西安高一检测)已知 |a|=3,|b|=5,且 a·b=12,则向量 a 在 b 方向上的射影为()A. B.3 C.4D.5【分析】选 A. 设向量 a 与 b 的夹角为θ ,则向量 a 在 b 方向上的射影为5.(2015 ·亳州高一检测)若 a,b,c 均为单位向量 ,且 a·b=0,(a-c) ·(b-c) ≤ 0,则 |a+b-c|的最大值为()A.-1B.1C. D.2【分析】选 B. 由已知条件向量a,b,c 均为单位向量可知,a2=1,b2=1,c2=1, 由 a·b=0 及 (a-c)·(b-c)≤ 0可知,(a+b)· c≥ 1,因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c,所以有2|a+b-c| =3-2(a· c+b·c)=3-2c · (a+b)≤ 1,故 |a+b-c|≤ 1.二、填空题 (每题 5 分 ,共 15 分 )6.(2015 ·湖北高考 )已知向量⊥,||=3,则·=__________.【分析】因为向量⊥,因此·=0,即·(-)=0,因此·-=0,即·==9.答案 :9【赔偿训练】 1.(2015·南昌高一检测)已知 a,b,c 是单位向量 ,且 a·b=0, 则 (a-c)· (b-c) 的最小值为 ________.【分析】设a+b 与 c 的夹角为θ ,则2(a-c)· (b-c)=a· b-a· c-c· b+c=0-(a+b) · c+1=1-(a+b) · c=1-|a+b|· |c|cosθ=1-cosθ因为θ ∈ [0,π ], 因此 cosθ ∈[-1,1],因此 1-cosθ ∈ [1-,1+].因此 (a-c)·(b-c) 最小值为1-,即 a+b 与 c 同向共线时获得最小值.答案 :1-2.(2015 ·赣州高一检测 )已知 |a|=2|b|≠ 0,且对于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根 ,则向量 a 与 b 夹角的取值范围是 ____________.【分析】因为对于x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根 ,因此 |a|2-4a· b≥ 0,因此设 a 与 b 的夹角为θ ,因为 |a|=2|b|≠ 0,因此 |b|= |a|,又θ ∈ [0,π ], 因此θ ∈ [,π ].答案 :[,π ]7.已知 a⊥ b,(3a+2b)⊥ (ka-b), 若 |a|=2,|b|=3,则实数 k 的值为 ________.【分析】由已知a· b=0,a2=4,b2=9,(3a+2b) · (ka-b)=0 ? 3ka2+(2k-3)a · b-2b2 =0.因此12k-18=0, 因此 k= .答案 :【赔偿训练】已知 e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke 1+e2 .若a·b=0,则实数k 的值为 ________.【解析】由题意知 :a · b=(e 1-2e2) · (ke1 +e2)=0, 即k+e1· e2-2ke1· e2-2=0, 即k+cos-2kcos-2=0, 化简可求得k= .答案 :8.(2015 ·宝鸡高一检测 )已知非零向量 a 与 b 的夹角为 120° ,若向量 c=a+b,且 c⊥ a,则的值为 ________.【分析】因为c=a+b,又 c⊥ a,因此 c· a=0,即 (a+b) · a=0,因此 a2+a·b=0,|a|2 +|a||b|cos120° =0,因此 |a|- |b|=0,因此= .答案 :三、解答题 (每题 10 分 ,共 20 分 )9.已知非零向量a,b 知足 |a|=1,且 (a-b)· (a+b)=.(1) 求 |b|.(2)当 a·b=- 时 ,求向量 a 与 a+2b 的夹角θ的值 .【分析】 (1)因为 (a-b) · (a+b)=,即 a2-b2= .因此 |b|2=|a|2- = ,因此 |b|= .(2) 因为 |a+2b|2=(a+2b) 222=|a| +4a· b+|2b|=1-1+1=1.因此 |a+2b|=1.又因为 a· (a+2b)=|a|2 +2a· b=1- = ,又 0°≤ θ≤ 180°,因此θ =60° .10.(2015 ·赣州高一检测)已知 a⊥b,且 |a|=2,|b|=1,若对两个不一样时为零的实数k,t,使得 a+(t-3)b 与 -ka+tb 垂直 ,试求 k 的最小值 .【分析】因为a⊥ b,因此 a· b=0,又由已知得 [a+(t-3)b] · (-ka+tb)=0,因此 -ka2+t(t-3)b 2=0,因为 |a|=2,|b|=1,因此 -4k+t(t-3)=0,因此 k= (t2-3t)=- (t ≠ 0).故当 t= 时 ,k 取最小值 - .【赔偿训练】对于两个非零向量a,b,求使 |a+tb|最小时的 t 的值 ,并求此时 b 与 a+tb 的夹角 .【分析】 |a+tb|2=a2+2(a· b)t+t 2b2=|a|2+2(a· b)t+t 2|b|2又因为 b≠0,(a+tb) ≠ 0,因此 b⊥(a+tb).因此 b 与 a+tb 的夹角为 90° .(20 分钟40分)一、选择题 (每题 5 分 ,共 10 分 )1.(2015 ·四川高考) 设四边形ABCD为平行四边形 ,||=6,||=4. 若点M,N 知足=3,=2,则·=()A.20B.15C.9D.6【解题指南】联合平面几何知识,利用向量加法法例,用,把,表示出来,再求其数目积 .【分析】选 C.在平行四边形ABCD 内 ,易得 ,=+,=-因此·== ()2- ()2= × 36-× 16=12-3=9.【赔偿训练】如下图,在 Rt △ ABC 中 ,A=90 ° ,AB=1, 则·的值是()A.1B. 1 或-1C.-1D. 不确立 ,与 B 的大小 ,BC 的长度相关【分析】选 C.依据数目积的定义 ,得·=-·=-||| |cosB.又 cosB=,故·=-|2| =-1.【一题多解】选 C.从投影的角度来考虑,事实上 ,因为 A=90 °,·=-·=-||||cosB,而 ||cosB=||,因此·=-||2=-1.2.(2014 ·安徽高考 )设 a,b 为非零向量 ,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和 y1,y2,y3,y4均由 2 个 a 和2 个 b 摆列而成 ,若 x1·y1+x 2·y2+x 3·y3+x 4·y4全部可能取值中的最小值为4|a|2,则 a 与 b 的夹角为 ()A. πB.C. D.0【解题指南】对x1· y1+x 2·y2+x 3· y3+x 4· y4的可能结果进行议论,依据各选项分别判断.【分析】选 B. 设 a 与 b 的夹角为θ ,x1· y1+x 2· y2+x 3· y3+x 4· y4有以下 3 种可能(1)2a2+2b 2=2|a|2+2|b|2=10|a|2.(2)4a2·b=4|a|· 2|a|cosθ =8|a| cosθ .(3)2a·b+a2+b2=5|a|2+4|a|2· cosθ .易知(2)最小 ,则22 8|a|·cosθ=4|a| ,解得 cosθ = ?θ = .二、填空题 (每题 5 分,共 10 分)3.设 e1 ,e2为单位向量 ,且 e1,e2的夹角为,若:a=e1+3e2,b=2e1 ,则向量a 在 b 方向上的射影为________.【分析】设a,b 夹角为θ ,由已知 |a|=,|b|=2,a· b=5.答案 :【赔偿训练】(2014 ·新课标全国卷Ⅱ)设向量 a,b 知足 |a+b|=10,|a-b|=6,则 a· b=() A.1 B.2 C.3D.5【分析】选 A. 因为 |a+b|=,|a-b|=,因此 a2+b2+2a· b=10,a2+b2-2a· b=6.联立方程解得a· b=1.4.在直角△ ABC中 ,CD 是斜边 AB 上的高 ,则以下等式建立的是________(填序号 ).① |2·2·; | =;②||=③ ||2=·;④||2=【分析】①正确.因为 AC ⊥ BC,因此 ||cosA=||,因此·=||·||cosA=||2;②正确 .因为 AC ⊥ BC, 因此 ||cosB= ||,因此·= ||||cosB= ||2;③错误 .·=||||cos(π -∠ ACD)=-||||cos∠ ACD=-||2;④正确 .因为 AC ⊥ BC,CD ⊥AB,因此 ||||=||||,又因为·=||2,·=||2,因此=2==||.答案 :①②④与的夹角错以为是∠ACD, 致使判断③建立.【误区警告】解答此题简单将向量三、解答题 (每题 10 分 ,共 20 分 )5.(2015 ·临沂高一检测)已知 |a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,c=3a+5b, d=ma-3b.(1)当 m 为什么值时 ,c 与 d 垂直 ?(2)当 m 为什么值时 ,c 与 d 共线 ?【分析】 (1)假定向量 c 与向量 d 垂直 ,得 c· d=0,而 c· d=(3a+5b) ·(ma-3b)22=3ma +(5m-9)a · b-15b=27m+3(5m-9)-60,因此42m-87=0, 即m=,即当 m=时,c与d垂直.(2)假定 c 与 d 共线 ,则存在实数λ ,使得 c=λ d,因此 3a+5b=λ (ma-3b),即 3a+5b=λ ma-3λ b.又 a 与 b 不共线 ,因此解得即当 m=- 时 ,c 与 d 共线 .6.(2015 ·吉安高一检测)已知平面上三个向量 a,b,c 的模均为1,它们互相之间的夹角为120°.(1)求证 :(a-b)⊥ c.(2)若 |ka+b+c|>1(k ∈ R),求 k 的取值范围 .【分析】 (1)因为 |a|=|b|=|c|=1,且 a,b,c 之间夹角均为 120° ,因此 (a-b)· c=a· c-b· c=|a||c|cos120° -|b||c|· cos120°=0,因此 (a-b)⊥ c.(2) 因为 |ka+b+c|>1,因此 (ka+b+c) · (ka+b+c)>1,即 k2a2 +b2+c 2+2ka· b+2ka ·c+2b· c>1.因为 a· b=a· c=b· c=cos120° =- ,因此 k2-2k>0, 解得 k<0 或 k>2,即 k 的取值范围是{k|k<0 或 k>2}.封闭 Word 文档返回原板块。
高中数学(北师大版)必修四教案：2.5 从力做的功到向量的数量积
从力做功到向量的数量积【学习目标】（1） 理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. （2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3） 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律. 【学习难点】运算律的理解 【知识衔接】1.已知a (x 1, y 1) b (x 2, y 2) 求a +b ，a b的坐标；2.已知a (x, y)和实数λ, 求λa的坐标；3.已知),(),,(2211y x B y x A ，求AB 的坐标；4.向量a 、b 共线的两种判定方法：a ∥b( )▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁、▁▁▁▁▁。
【学习过程】1.由力做的功：W = |F |•|s |cos ， 是F 与s 的夹角；可以定义：平面向量数量积（内积）的定义，a •b = |a ||b |cos ， 并规定0与任何向量的数量积为0。
2.向量夹角的概念：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。
范围0 ≤ ≤180 。
由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；要注意的几个问题： ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。
②两个向量的数量积称为内积，写成a •b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。
③在实数中，若a 0，且a •b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a •b =0，不能推出b =0。
因为其中cos 有可能为0.这就得性质2.④已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a •b = b •c a = c如右图：a •b = |a ||b |cos = |b ||OA|Oa cbb •c = |b ||c |cos = |b ||OA| a •b =b •c 但a c⑤在实数中，有(a •b )c = a (b •c )，但是(a •b )c a (b •c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3.问题(1).射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的射影。
高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积 同步练习(一) 北师大版必修4
从力做的功到向量的数量积 同步练习(一)下列说法正确的是（ ）b 在a 方向上的投影就是b 在a 所在直线上投影的长度向量数量积的结果可以是任意实数｜a ·b ｜表示向量a ·b 的长度向量的数量积满足交换律、分配律、结合律已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝4，a ·b ＝－4，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．以下四个命题中真命题是（ ）A ．a ∥b ，周则a 在b 方向上的投影是｜a ｜B ．若｜a －b ｜=0，则（a －b ）·c ＝0C ．（a －b ）·c ＝0，则（a －b ）＝0或c ＝0D ．两个非零向量a 和b 的夹角的余弦值是非负实数4．下列命题：○1a b b a •=•；○2b a •＝0，00=⇒≠b a ；○3b a •＝c b •，且c a b a =≠≠则,0,0；○4)()(,0,0,0c b a c b a c b a ••=••≠≠≠则．A ．0B ．1C ．2D ．35、下列命题正确的是（ ）A 、若0=⋅b a ，则00==b a 或B 、若0=⋅b a ，则b a //C 、若b a ⊥，则0=⋅b aD 、a a a φ⋅对任意向量恒成立6、已知212-=⋅b a ，4=a ，它们的夹角为︒135，则b =（ ）A 、12B 、3C 、6D 、337、以下等式中恒成立的有（ ）①b a b a ⋅=⋅； ②2a a a =⋅； ③2a a =； ④)2()2(222b a b a b a +⋅-=- A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个8、ABC ∆，C B A ∠∠∠、、的对边分别为c b a 、、，3=a ，1=b ，︒=∠30C ，则CA BC ⋅=（ ）A 、343B 、323C 、343-D 、323-9、向量40-=⋅b a ，且10=a ，8=b ，则a ，b 的夹角θ为（ ）A 、︒30B 、︒60C 、︒120D 、︒15010、已知12=a ，22=b ，0)(=⋅-a b a ，则a ，b 的夹角θ为（ ）A 、︒90B 、︒120C 、︒45D 、︒6011、非零向量b a 、满足b a b a -==，则a 与b a -的夹角为 。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数
2.5 从力做的功到向量的数量积课后导练基础达标1.若a 、b 、c 为任意向量，m∈R ，则下列等式不一定成立的是( )A.（a +b ）+c =a +（b +c ）B.（a +b ）·c =a ·c +b ·cC.m （a +b ）=m a +m bD.（a·b ）c =a （b ·c ）解析:由向量的运算律知选项D 不一定成立.答案：D2.设a 、b 、c 是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a ·b ）c -（c ·a ）b=0；②a 2=|a |2；③（b ·c ）a -（c ·a ）b 不与c 垂直；④（3a +2b ）·（3a -2b ）=9|a |2-4|b |2中，正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解析：①中，a ·b 的运算结果为数，故（a ·b ）c 为一向量，同理（a ·c ）b 也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确.又［（b ·c ）a -（c ·a ）b ］·c =（b ·c ）（a ·c ）-（c ·a ）（b · ）=0，而（a ·c ）b 与（b·c ）a 不可能同时为零向量.故③不正确，④正确.答案：D3.在边长为1的正三角形ABC 中，设=c ，=a ,=b ,则a ·b +b ·c +c ·a 等于（ ）A.1.5B.-1.5C.0.5D.-0.5解析：在正三角形ABC 中，a ·b =|a |·|b |cos60°=0.5,b ·c =|b |·|c |cos60°=0.5,a ·c =|a|·|c |cos120°=-0.5,答案：C4.(2004重庆高考，6) 若向量a 与b 的夹角为60°，|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模是( )A.2B.4C.6D.12解析：（a +2b ）·(a -3b )=|a |2-a ·b -6|b |2=-72∴|a |2-|a |·|b |·cos60°-6|b |2=-72∴|b |=4代入上式，解得：|a |=6(∵|a |＞0).答案：C5.△ABC 中，=a ,BC =b ,若a ·b ＜0,则△ABC 形状为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能判断解析：由a ·b ＜0,知cos 〈a ,b 〉＜0,所以〈a ,b 〉＞2,所以∠ABC 为锐角.三角形中，∠ABC 为锐角，并不能判断三角形形状，所以选D.答案：D6.比较大小|a ·b |___________|a|·|b |.解析：a ·b =|a ||b |cosθ,∴|a ·b |=|a ||b ||cosθ|≤|a |·|b |.答案：≤7.已知e 为单位向量，|a |=4，a 与e 的夹角为32π，则a 在e 方向上的投影为________. 解析:由向量在另一方向上投影的定义解答此题. 投影为||e e a •=|a |·cos 32π=-2. 答案：-28.利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直.证明:设AD =a ,DC =b ,则|a |=|b |. ∵=a +b ,=a -b , ∴·=(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a|2-|b |2=0. ∴⊥.∴AC ⊥BD.9.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为6π,求（1）a ·b ;(2)a 2;(3)|a +b |. 解析：(1)a ·b =|a ||b |cos6π=6×4×23=312. (2)a 2=a ·a =|a |2=62=36.(3)|a +b |=3613232416362)(222+=++=+•+=+b b a a b a .10.已知平面上三个向量a 、b 、c 的模为1，它们相互间的夹角均为120°.（1）求证：（a -b ）⊥c ；（2）若|k a +b +c |=1（k∈R ），求k 的值.（1）证明：∵（a -b ）·c =a ·c -b ·c=|a||c |·cos120°-|b ||c |cos120°，又|a |=|b |=|c |，∴（a-b ）·c =0，即（a -b ）⊥c .（2）解析：由|k a +b +c |=1，得|k a +b +c |2=12，即（k a +b +c ）2=1，∴k 2a 2+b 2+c 2+2b ·c +2k a ·b +2k a ·c =1.又a ·b =a ·c =b·c =-21， ∴k 2-2k=0.解得k=2或0.综合运用11.已知△ABC 满足AB 2=AB ·AC +BA ·BC +CB CA •，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析：∵·+·=·（-）=2，∴CB CA •=0. ∴CA ⊥CB ,即AC ⊥BC.∴△ABC 为直角三角形.答案：C12.若a 、b 是不共线的两向量，且AB =λ1a +b ，AC =a +λ2b （λ1、λ2∈R ），已知A 、B 、C 三点共线，则( )A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=0解析:可用待定系数法，用共线向量定理建立待定系数的方程.∵A、B 、C 三点共线，∴存在实数k,使得AB =k AC ，即λ1a +b =k a +λ2k b .又a 、b 不共线，∴⎩⎨⎧•==.1,11k k λλ.消去k 得λ1λ2-1=0. 答案：D13.若|a |=m(m ＞0),b =λa (λ＞0),则a ·b =_______;若|a |=m(m ＞0),b =λa (λ＜0),则a ·b =________.解析：∵b =λa (λ＞0),∴〈a ·b 〉=0,∴a·b=λm 2.当b =λa (λ＜0)时，〈a ·b 〉=π,∴a ·b =-λm 2.答案：λm 2 -λm 214.已知|a |=2,|b |=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb -a 与a 垂直，则λ=________. 解析：若λb -a 与a 垂直，则(λb -a )·a =0,即λb ·a -a 2=0,∴λ|b |·|a |·cos45°-|a |2=0,∴λ×2×2×22-22=0, ∴λ=2.答案：215.求证：直径上的圆周角为直角.证明：如右图，设=a ,=b ,有=a .∵=a +b ,=a -b 且|a |=|b |,∴·=(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=0. ∴⊥.∴∠ABC=90°.拓展探究16.设a 与b 是两个互相垂直的单位向量，问当k 为整数时，向量m=k a +b 与向量n=a+k b 的夹角能否等于60°，证明你的结论.解析：假设夹角等于60°，∵|m|2=|k a +b |2=(k a +b )2=k 2+1,|n|2=|a +k b |2=(a +k b )2=k 2+1.m·n=(k a +b )·(a +k b )=2k, ∴2k=1122+⨯+k k ×cos60°,即4k=k 2+1,解得k=2±3这与k 为整数矛盾.∴m 与n 的夹角不能等于60°.。
2.5 从力做的功到向量的数量积-高一数学课时同步巩固强化练习(北师大版必修4)
，
，
，垂直．
2．C
【详解】
，
．
3．A
【详解】
在 中， ， 为 边中点，
∴ ，即 中有 ，且 ，
∵ 的夹角为 ，即 ，
∴ ，可得 .
4．C
【详解】
∵ ，∴
∵ ， ，∴
∴
∵ ，∴ .
5．C
【详解】
由 得
因为 均为单位向量，则 ，所以 ，
又 ，所以
6．
由已知 ，
所以 ，
，
设 与 的夹角为 ，则 ， ，所以 ．
A． B． C． D．
5．已知 均为单位向量，且 ，则 （）
A． B． C． D．
二、填空题
6．若两个向量 与 的夹角为 ，且 是单位向量，向量 ， ，则向量 与 的夹角为__________．
7．已知单位向量 的夹角为45°， 与 垂直，则k=___________.
8．已知向量 ， ，且 ，则 ______.
9．已知 是半径为1的圆 的一条直径，点 是圆上一动点，则 的最大值等于______.
三、解答题
10．已知向量 与 的夹角为 ，且 ， .
（1）若 与 共线，求k；（2）求 ， ；
（3）求 与 的夹角的余弦值
11．已知向量 ．
（Ⅰ）若 ，求 的值；（Ⅱ）若 ，求向量 与 夹角的大小．
参考答案
1．D
由已知 ，
由 ，可得 ，
即 ，解得 ，即 ，
所以 ；
（Ⅱ）依题意 ，
可得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 与 的夹角大小是 ．
2.5从力做的功到向量的数量积
一、单选题
1．已知单位向量 的夹角为 ，则下列向量中，与 垂直的是（）
数学北师大版必修4练习：2.5从力做的功到向量的数量积
[A 基础达标]1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2中，是真命题的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选D.因为(a ·b )c 是与c 共线的向量，(c ·a )b 是与b 共线的向量，所以(a ·b )c 与(c ·a )b 不一定相等，排除①.因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，所以排除③，故选D.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C.因为a ·b ＝|a ||b |cos θ， 所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－32B.32 C ．±32D ．1解析：选B.因为3a ＋2b 与λa －b 垂直， 所以(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λ|a |2＋(2λ－3)a ·b －2|b |2＝0. 因为a ⊥b ， |a |＝2，|b |＝3， 所以a ·b ＝0，|a |2＝4，|b |2＝9， 所以12λ－18＝0，即λ＝32.4．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3 B.32C.33D. 3解析：选D.设|BD →|＝x ，则|BC →|＝3x ， AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝BC →·AD → ＝|BC →|·|AD →|cos ∠ADB ＝3x ·1·1x＝ 3.5．若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，则|a －b －c |的最小值为( ) A.2－1B ．1C.2＋1D. 2解析：选A.因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ， 所以a ·b ＝0，所以|a －b |＝（a －b ）2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2， 所以|a －b －c |≥|a －b |－|c | ＝2－1.6．已知单位向量e 1，e 2的夹角为120°，则|2e 1－e 2|＝________．解析：|2e 1－e 2|＝（2e 1－e 2）2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝5－4×1×1×cos 120°＝7.答案：77．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，则向量AB →在向量AC →上的投影等于________． 解析：因为等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，所以∠BAC ＝120°，因此向量AB →在向量AC →上的投影为|AB →|cos 120°＝－12.答案：－128．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 答案：－8或59．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求(1)|a ＋b |；(2)|3a －4b |.解：由已知得a·b ＝4×2×cos 120°＝－4， a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.(1)因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12， 所以|a ＋b |＝2 3.(2)因为|3a －4b |2＝(3a －4b )2 ＝9a 2－24a·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， 所以|3a －4b |＝419.10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5. (1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值． 解：(1)由|3a －b |＝5得(3a －b )2＝5， 所以9a 2－6a ·b ＋b 2＝5. 因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1， 所以9－6a ·b ＋1＝5， 所以a ·b ＝56.所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a ·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203.所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439.因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫4392＝339.所以3a －b 与a ＋3b夹角的正弦值为339. [B 能力提升]1.如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC .若|AB →|＝a ，|AD →|＝b ，则AC →·BD →＝( ) A ．a 2－b 2B ．b 2－a 2C ．a 2＋b 2D ．a ·b解析：选B.因为AD →⊥DC →，所以AC →在AD →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAD ＝|AD →|，又AB →⊥BC →，所以AC →在AB →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAB ＝|AB →|.所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AD →||AD →|－|AB →||AB →|＝b 2－a 2.2．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝xe 1＋ye 2，x ，y ∈R.若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：根据题意，得⎝⎛⎭⎫|x ||b |2＝x 2（xe 1＋ye 2）2＝x 2（xe 1）2＋（ye 2）2＋2xye 1·e 2 ＝x 2x 2＋y 2＋2xy cosπ6＝x 2x 2＋y 2＋3xy＝11＋⎝⎛⎭⎫y x 2＋3y x ＝1⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14.因为⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14≥14，所以0<⎝⎛⎭⎫|x ||b |2≤4，所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2. 答案：23．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|ka ＋b |＝3|a －kb |(k >0)． (1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 的夹角为60°，求k 的值． 解：(1)因为|ka ＋b |＝3|a －kb |， 所以(ka ＋b )2＝3(a －kb )2， 且|a |＝|b |＝1，即k 2＋1＋2ka ·b ＝3(1＋k 2－2ka ·b )， 所以a ·b ＝k 2＋14k .因为k 2＋1≠0，所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)因为a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.所以k 2＋14k ＝12.所以k ＝1.4．(选做题)在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →.(1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0， 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝()AD →＋DP →·()BC →＋CP→ ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13DC →·⎝⎛⎭⎫AD →－23DC →＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6， 所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36.又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.。