中考数学真题试卷及答案(江苏省)

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2024年江苏省盐城市中考数学试卷正式版含答案解析

绝密★启用前2024年江苏省盐城市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.有理数2024的相反数是( )A. 2024B. −2024C. 12024D. −120242.下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是( )A. 工作中的雨刮器B. 移动中的黑板C. 折叠中的纸片D. 骑行中的自行车3.下列运算正确的是( )A. a6÷a2=a4B. 2a−a=2C. a3⋅a2=a6D. (a3)2=a54.盐城是江苏省第一产粮大市．2023年全市小麦总产量约2400000吨，数据2400000用科学记数法表示为( )A. 0.24×107B. 24×105C. 2.4×107D. 2.4×1065.正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是( )A. 湿B. 地C. 之D. 都6.小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1=55∘，则∠2的度数为( )A. 25∘B. 35∘C. 45∘D. 55∘7.矩形相邻两边长分别为√ 2cm、√ 5cm，设其面积为Scm2，则S在哪两个连续整数之间( )A. 1和2B. 2和3C. 3和4D. 4和58.甲、乙两家公司2019∼2023年的利润统计图如下，比较这两家公司的利润增长情况( )A. 甲始终比乙快B. 甲先比乙慢，后比乙快C. 甲始终比乙慢D. 甲先比乙快，后比乙慢第II卷（非选择题）二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

2024年江苏省连云港市中考真题数学试卷(含答案)

连云港市2024年初中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项符1合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.12-的相反数是（）A.2- B.2 C.12- D.12【答案】D【解析】【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．【详解】解：因为-12+12＝0，所以-12的相反数是12．故选：D ．【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．2.2024年5月，全国最大的海上光伏项目获批落地连云港，批准用海面积约28000亩，总投资约90亿元．其中数据“28000”用科学记数法可以表示为（）A.32810⨯ B.42.810⨯ C.32.810⨯ D.50.2810⨯【答案】B【解析】【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：10,110,n a a n ⨯≤<为整数，进行表示即可．【详解】解：428000 2.810=⨯；故选：B ．3.下列运算结果等于6a 的是（）A.33a a + B.6a a ⋅ C.28a a ÷ D.()32a -【答案】C【解析】【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则，逐一进行计算判断即可．【详解】解：A 、3332a a a +=，不符合题意；B 、67a a a ⋅=，不符合题意；C 、826a a a ÷=，符合题意；D 、()326a a -=-，不符合题意；故选：C ．4.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）A.甲和乙B.乙和丁C.甲和丙D.甲和丁【答案】D【解析】【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．故选D ．5.如图，将一根木棒的一端固定在O 点，另一端绑一重物．将此重物拉到A 点后放开，让此重物由A 点摆动到B 点．则此重物移动路径的形状为（）A.倾斜直线B.抛物线C.圆弧D.水平直线【答案】C【解析】【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A 的运动轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的一段圆弧，故选：C．6.下列说法正确的是（）A.10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大B.从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上2【答案】C【解析】【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可．【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意；B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意；C、“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意；D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错2误，不符合题意；故选：C．7.如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（）A.440cmB.320cmC.280cmD.160cm【答案】A【解析】【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm 的正方形的两条边长再减去220cm ⨯，由此解答即可．【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm 的正方形的周长加上边长是80cm 的正方形的两条边长再减去220cm ⨯，∴阴影图形的周长是：480280220440cm ⨯+⨯-⨯=，故选：A ．8.已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①0abc <；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③若20ax bx c ++=的一个根为3，则12a =-；④抛物线22y ax =+是由抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的顶点公式可得12b a-=，结合a<0，2a b c ++=，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a 表示b 、c 的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．【详解】解：根据题意可得：12b a -=，2b a ∴-=，0a < ，02b ∴-<即0b >， 2a b c ++=，2b a=-22c a b a ∴=--=+，c ∴的值可正也可负，∴不能确定abc 的正负；故①错误；a<0，∴抛物线开口向下，且关于直线1x =对称，当1x >时，y 随x 的增大而减小；故②正确；2,2b a c a =-=+ ，∴抛物线为222y ax x a a -=++，6092a a a =+-+，12a ∴=-，故③正确；抛物线()2212y ax bx c a x =++=-+，将()212y a x =-+向左平移1个单位得：()221122y a x ax =-++=+，∴抛物线22y ax =+是由抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位得到的，故④错误；∴正确的有②③，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a 表示b 、c 的值是本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.如果公元前121年记作121-年，那么公元后2024年应记作__________年．【答案】2024+【解析】【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可．【详解】解：公元前121年记作121-年，那么公元后2024年应记作2024+年；故答案为：2024+．10.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____．【答案】2x ≥【解析】【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，在实数范围内有意义，必须20x -≥，∴2x ≥．故答案为：2x ≥11.如图，直线a b ，直线l a ⊥，1120∠=︒，则2∠=__________︒．【答案】30【解析】【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据两直线平行，同位角相等，求出3∠的度数，外角的性质，得到3902∠=︒+∠，即可求出2∠的度数．【详解】解：∵a b ，∴31120∠=∠=︒，∵l a ⊥，∴3290∠=∠+︒，∴230∠=︒；故答案为：30．12.关于x 的一元二次方程20x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为__________．【答案】14##0.25【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得224c 0∆=-=，进行计算即可得．【详解】解：若关于x 的一元二次方程20x x c -+=有两个相等的实数根，2140c ∆=-=，14c ∴=，故答案为：14．13.杠杆平衡时，“阻力⨯阻力臂=动力⨯动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N 和0.5m ，动力为(N)F ，动力臂为(m)l ．则动力F 关于动力臂l 的函数表达式为__________．【答案】800F l =【解析】【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得16000.5l F ⋅=⨯，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．【详解】解：由题意可得，16000.5l F ⋅=⨯，∴800l F =，即800F l=，故答案为：800F l =．14.如图，AB 是圆的直径，1∠、2∠、3∠、4∠的顶点均在AB 上方的圆弧上，1∠、4∠的一边分别经过点A 、B ，则1234∠+∠+∠+∠=__________︒．【答案】90【解析】【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为180︒，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．【详解】∵AB 是圆的直径，∴AB 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180︒，∵1∠、2∠、3∠、4∠所对的弧的和为半圆，∴11234180902∠+∠+∠+∠=⨯︒=︒，故答案为：90．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF ，连接BF ．再将矩形纸片折叠，使点B 落在BF 上的点H 处，折痕为AG ．若点G 恰好为线段BC 最靠近点B 的一个五等分点，4AB =，则BC 的长为__________．【答案】10【解析】【分析】本题考查矩形折叠，勾股定理，解直角三角形，设AG 与BF 交于点M ，BG a =，则：5BC a =，勾股定理求出,AG BF ，等积法求出BM ，根据cos BM BCFBC BG BF ∠==，列出方程进行求解即可．【详解】解：设AG 与BF 交于点M ，∵矩形ABCD ，∴90,4ABC C AB CD ∠=∠=︒==，∵翻折，∴122CF CD ==，AG BH ⊥，设BG a =，则：5BC a =，∴22216AG AB BG a =+=+222254BF BC CF a =+=+，∵1122ABG S AB BG AG BM =⋅=⋅ ，∴216AB BGBM AG a ⋅==+，∵90BMG C ∠=∠=︒，∴cos BM BCFBC BG BF ∠==，∴BM BF BG BC ⋅=⋅，22254516a a a a +=⋅+，解得：2105a =2105a =是原方程的解，∴5210BC a ==故答案为：10．16.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =．点P 在边AC 上，过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ．连接PF ，取PF 的中点E ．在点P 从点A 到点C 的运动过程中，点E 所经过的路径长为__________．【答案】1941194【解析】【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以C 为原点，建立如图所示的坐标系，设AP a =，则2CP a =-，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点E 的坐标，得到点E 在直线4313y x =-上运动，求出点P 分别与,A C 重合时，点E 的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．【详解】解：以C 为原点，建立如图所示的坐标系，设AP a =，则2CP a =-，则：()0,2P a -，∵30B ∠=︒，∴60A ∠=︒，∵PD AB ⊥，∴90PDA ∠=︒，∴30APD ∠=︒，∴122a AD AP ==，过点D 作DG AC ⊥，则：90AGD ∠=︒，∴13,244a AG AD DG ====，∵DF BC ⊥，DG AC ⊥，90ACB ∠=︒，∴四边形DGCF 为矩形，∴DG CF =，∴,04F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∵E 为,P F 的中点，∴1,182E a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，令31,182x a y a ==-，则：4313y x =-，∴点E 在直线4313y x =-上运动，当点P 与C 重合时，0a =，此时()0,1E ，当点P 与A 重合时，2a =，此时3,04E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴点E 4=；故答案为：4．三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）17.计算0|2|(π1)-+--．【答案】1-【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行去绝对值，零指数幂和开方运算，再进行加减运算即可．【详解】解：原式2141=+-=-18.解不等式112x x -<+，并把解集在数轴上表示出来．【答案】3x >-，图见解析【解析】【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可【详解】解：112x x -<+，去分母，得12(1)x x -<+，去括号，得122x x -<+，移项，得122x x --<-，解得3x >-．这个不等式的解集在数轴上表示如下：19.下面是某同学计算21211m m ---的解题过程：解：2121211(1)(1)(1)(1)m m m m m m m +-=---+-+-①(1)2m =+-②1m =-③上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析【解析】【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键．【详解】解：从第②步开始出现错误．正确的解题过程为：原式121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1m m m m m m m m m m m m ++--=-===+-+-+-+-+．20.如图，AB 与CD 相交于点E ，EC ED =，AC BD ∥．（1）求证：AEC BED △△≌；（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN ，使得点M 在AC 上，点N 在BD 上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到,A B C D ∠=∠∠=∠，结合EC ED =，利用AAS 即可证明AEC BED △△≌；（2）作CD 的垂直平分线，分别交,AC BD 于点,M N ，连接,DM CN 即可．【小问1详解】证明： AC BD ∥，A B ∴∠=∠，C D ∠=∠．在AEC △和BED 中，A B C D EC ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)AEC BED ∴ ≌；【小问2详解】解：MN 是CD 的垂直平分线，,MD MC DN CN ∴==，由（1）的结论可知，,A B AE BE ∠=∠=,又∵AEM BEN ∠=∠,则AEM BEN ≅ ,∴,ME NE = CD MN ⊥，CD ∴是MN 的垂直平分线，,DM DN CM CN ∴==，DM DN CN CM ∴===，∴四边形DMCN 是菱形，如图所示，菱形DMCN 为所求．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键．21.为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析：【收集数据】10094888852798364838776899168779772839673【整理数据】该校规定：59x ≤为不合格，5975x <≤为合格，7589x <≤为良好，89100x <≤为优秀．（成绩用x 表示）等次频数（人数）频率不合格10.05合格a 0.20良好100.50优秀5b 合计20 1.00【分析数据】此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c；【解决问题】（1）填空：=a__________，b=__________，c=__________；（2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人？（3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法．【答案】（1）4，0.25，83（2）75人（3）男生体能状况良好【解析】【分析】本题考查频数分布表和用样本估计总体：（1）利用频数=频率×数据总数可求出a的值；利用频率=频数÷数据总数可求出b，最后根据中位数定义可求出c；（2）用样本估计总体可得结论；（3）结合分析，得出看法【小问1详解】解：2020%4a=⨯=；5200.25b=÷=；把20个数据按从小到大的顺序排列为：52，64，68，72，73，76，77，79，83，83，83，87，88，88，89，91，94，96，97，100，最中间的两个数据为83，83，所以，8383832c+==，故答案为：4，0.25，83；【小问2详解】解：53007520⨯=（人）答：估计体能测试能达到优秀的男生约有75人；【小问3详解】解：从样本的平均数、中位数和众数可以看出，男生整体体能状况良好22.数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”．（1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________；（2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．【答案】（1）12（2）16【解析】【分析】（1）根据简单地概率公式解答即可．（2）利用画树状图法解答即可．本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．【小问1详解】小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是2142=，故答案为：12．【小问2详解】根据题意，画树状图如下：由图可知，共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的有2种，∴小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是21126=．23.我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：邮购数量1~99100以上（含100）邮寄费用总价的10%免费邮寄折扇价格不优惠打九折若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？【答案】两次邮购的折扇分别是40把和160把【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，首先判断出两次购买数量的范围，再设设一次邮购折扇(100)x x <把，则另一次邮䝧折扇(200)x -把，根据“两次邮购折扇共花费1504元”列出一元一次方程，求解即可【详解】解：若每次购买都是100把，则20080.914401504⨯⨯=≠．∴一次购买少于100把，另一次购买多于100把．∴设一次邮购折扇(100)x x <把，则另一次邮购折扇(200)x -把．由题意得：8(110%)0.98(200)1504x x ++⨯-=，解得40x =．20020040160x ∴-=-=．答：两次邮购的折扇分别是40把和160把．24.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1(0)y kx k =+≠的图像与反比例函数6y x=的图像交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的横坐标为2．（1）求k 的值；（2）利用图像直接写出61kx x+<时x 的取值范围；（3）如图2，将直线AB 沿y 轴向下平移4个单位，与函数6(0)y x x=>的图像交于点D ，与y 轴交于点E ，再将函数6(0)y x x =>的图像沿AB 平移，使点A 、D 分别平移到点C 、F 处，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）1k =（2）3x <-或02x <<（3）8【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：（1）先求出A 点坐标，再将A 点代入一次函数的解析式中求出k 的值即可；（2）图像法求不等式的解集即可；（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为ACFD 的面积，进行求解即可．【小问1详解】点A 在6y x =的图像上，∴当2x =时，632y ==．∴(2,3)A ，将点(2,3)A 代入1y kx =+，得1k =．【小问2详解】由（1）知：1y x =+，联立16y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩或32x y =-⎧⎨=-⎩，∴()3,2B --；由图像可得：61kx x +<时x 的取值范围为：3x <-或02x <<．【小问3详解】∵1y x =+，∴当0x =时，1y =，∴(0,1)C ，∵将直线AB 沿y 轴向下平移4个单位，∴4CE =，直线DE 的解析式为：3y x =-，设直线DE 与x 轴交于点H∴当0x =时，=3y -，当0y =时，3x =，∴()3,0H ，()0,3E -，∴3OF OE ==，∴45FEC ∠=︒，如图，过点C 作CG DE ⊥，垂足为G ，∴22CG CE ==．又(2,3)A ，(0,1)C ，AC ∴=．连接,AD CF ，∵平移，∴AC DF ∥，AC DF =，∴四边形ACFD 为平行四边形，∴阴影部分面积等于ACFD 的面积，即8=．25.图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城12345678A A A A A A A A 的边长为2km 2，南门O 设立在67A A 边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM ，67A A 在BM 上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC ，C 处有一座雕塑．在1A 处测得雕塑在北偏东45︒方向上，在2A 处测得雕塑在北偏东59︒方向上．（1）12CA A ∠=__________︒，21CA A ∠=__________︒；（2）求点1A 到道路BC 的距离；（3）若该小组成员小李出南门O 后沿道路MB 向东行走，求她离B 处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km 1.41≈，sin 760.97︒≈，tan76 4.00︒≈，sin 590.86︒≈，tan 59 1.66︒≈）【答案】（1）1290CA A ︒∠=，2176CA A ︒∠=（2）2.0千米（3）2.4km 【解析】【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质：（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；（2）过点1A 作1A D BC ⊥，垂足为D ，解21Rt CA A △，求出1122tan 76 4.002CA A A ∴=⋅≈=︒解1Rt CA D △，求出112cos 45 2.0km 2A D CA ︒=⋅==，即可；（3）连接8CA 并延长交BM 于点E ，延长81A A 交BE 于点G ，过点8A 作8A F BC ⊥，垂足为F ，解78Rt A A G △，求出8A G ，证明8Rt Rt CA F CEB △∽△，列出比例式进行求解即可．【小问1详解】解：∵正八边形的一个外角的度数为：360458︒=︒，∴12454590CA A ∠︒=︒+︒=，21180455976CA A ∠︒=︒-︒-︒=；故答案为：90,76；【小问2详解】过点1A 作1A D BC ⊥，垂足为D ．在21Rt CA A △中，2122A A =，2176CA A ︒∠=，1122tan 76 4.002CA A A ∴=⋅≈⨯=︒．在1Rt CA D △中，1904545CA D ∠︒=︒-︒=，112cos 45 2.0km 2A D CA ∴=⋅=︒=．答：点1A 到道路BC 的距离为2.0千米．【小问3详解】连接8CA 并延长交BM 于点E ，延长81A A 交BE 于点G ，过点8A 作8A F BC ⊥，垂足为F ．正八边形的外角均为45︒，∴在78Rt A A G △中，812A G =．812FB A G ∴==．又812A F A D CD === ，1822DF A A ==，522CB CD DF FB +∴=++=．∵88,CFA B FCA BCE ∠=∠∠=∠，∴8Rt Rt CA F CEB △∽△，8CF A F CB EB ∴=，即2222522EB +=，1.41≈，2.4km EB ∴≈．答：小李离点B 不超过2.4km ，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线21y ax bx =+-（a 、b 为常数，0a >）．（1）若抛物线与x 轴交于(1,0)A -、(4,0)B 两点，求抛物线对应的函数表达式；（2）如图，当1b =时，过点(1,)C a -、(1,2)D a +分别作y 轴的平行线，交抛物线于点M 、N ，连接MN MD 、．求证：MD 平分CMN ∠；（3）当1a =，2b ≤-时，过直线1(13)y x x =-≤≤上一点G 作y 轴的平行线，交抛物线于点H ．若GH 的最大值为4，求b 的值．【答案】（1）213144y x x =--（2）见解析（3）3-【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）连接CN ，根据题意，求得(1,2)M a --，(1,)N a ，进而求出2CN =，(2)2CM a a =--=，利用勾股定理求出22MN =22DN =，从而得到NDM NMD ∠=∠，结合平行线的性质即可证明结论；（3）设(,1)G m m -，则()2,1H m m bm +-，13m ≤≤，求出当1a =时，213x b =-≥，得到点G 在H 的上方，设GH t =，故2(1)t m b m =-+-，其对称轴为12b m -=，分为31322b -≤≤和132b ->两种情况讨论即可．【小问1详解】解：分别将(1,0)A -，(4,0)B 代入21y ax bx =+-，得1016410a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴函数表达式为213144y x x =--；【小问2详解】解：连接CN ，1b =Q ，21y ax x ∴=+-．当=1x -时，2y a =-，即点(1,2)M a --，当1x =时，y a =，即点(1,)N a ．(1,)C a - ，(1,)N a ，2CN ∴=，(2)2CM a a =--=，CM CN ⊥，∴在Rt CMN 中，MN ==．DN a a =+-=，DN MN ∴=，NDM NMD ∴∠=∠．DN CM ∥ ，NDM CMD ∴∠=∠．NMD CMD ∴∠=∠．MD ∴平分CMN ∠．【小问3详解】解：设(,1)G m m -，则()2,1H m m bm +-，13m ≤≤．当1a =时，21y x bx =+-．令211x bx x +-=-，解得10x =，21x b =-．2b ≤- ，213x b ∴=-≥，∴点G 在H 的上方（如图1）．设GH t =，故2(1)t m b m =-+-，其对称轴为12b m -=，且1322b-≥．①当31322b -≤≤时，即52b -≤≤-．由图2可知：当12bm -=时，t 取得最大值2(1)44b -=．解得3b =-或5b =（舍去）．②当132b ->时，得5b <-，由图3可知：当3m =时，t 取得最大值9334b -+-=．解得103b =-（舍去）．综上所述，b 的值为3-．【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x 轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值．27.【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a 、b 、c 、d 之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P 为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将PDC △绕点P 逆时针旋转，他发现旋转过程中DAP ∠存在最大值．若8PE =，5PF =，当DAP ∠最大时，求AD 的长；（4）如图6，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在边AC 和BC 上，连接DE 、AE 、BD ．若5AC CD +=，8BC CE +=，求AE BD +的最小值．【答案】（1）2（2）2222PA PC PB PD +=+（3）39AD =（489【解析】【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；（2）如图，由EG FH ⊥，证明2222a c b d =++，再结合图形变换可得答案；（3）如图，将PDC △绕点P 逆时针旋转，可得D 在以P 为圆心，PD 为半径的圆上运动，可得当AD 与P 相切时，DAP ∠最大，再进一步解答即可；（4）如图，将BDC 沿BC 对折，D 的对应点为1D ，将AEC △沿AC 对折，E 的对应点为1E ，连接11D E ，再将1ABE 沿AC 方向平移，使A 与1D 重合，如图，得112B D E ，由（2）可得：121AE BD D E BD +=+，当21,,E D B 三点共线时，121AE BD D E BD +=+最短，再进一步解答即可.【详解】解：如图，∵正方形ABCD ，EFGH 及圆为正方形ABCD 的内切圆，为正方形EFGH 的外接正方形，∴设AE DE DH CH CG BG AF BF m ========，90A ∠=︒，∴2AB AD m ==，EF ==，∴24ABCD S m =正方形，)222EFGH S m ==正方形，∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．（2）如图，∵EG FH ⊥，∴222a OF OE =+，222c OG OH =+，222d OE OH =+，222b OF OG =+，∴2222a c b d =++，如图，结合图形变换可得：2222PA PC PB PD +=+；（3）如图，∵将PDC △绕点P 逆时针旋转，∴D 在以P 为圆心，PD 为半径的圆上运动，∵A 为圆外一个定点，∴当AD 与P 相切时，DAP ∠最大，∴PD AD ⊥，∴222AD AP PD =-，由（2）可得：AE DF =，∵8PE =，5PF =，∴222AD AP PD =-2222PE AE PF DF =+--2285=-39=，∴AD =；（4）如图，将BDC 沿BC 对折，D 的对应点为1D ，将AEC △沿AC 对折，E 的对应点为1E ，连接11D E ，∴1CD CD =，1CE CE =，再将1ABE 沿AC 方向平移，使A 与1D 重合，如图，得112B D E ，由（2）可得：121AE BD D E BD +=+，∴当21,,E D B 三点共线时，121AE BD D E BD +=+最短，∵5AC CD +=，8BC CE +=，∴125E E =，18BE =，∴2BE ===∴AE BD +；【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.。

2024年江苏省南通市中考数学试卷及答案解析

2024年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（）A．﹣3℃B．3℃C．﹣5℃D．5℃2．（3分）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（）A．158.2×109B．15.82×1010C．1.582×1011D．1.582×10123．（3分）计算×的结果是（）A．9B．3C．3D．4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球B．棱柱C．圆柱D．圆锥5．（3分）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（）A．41°B．51°C．49°D．59°6．（3分）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（）A．7200（1+x）2＝8450B．7200（1+2x）＝8450C．8450（1﹣x）2＝7200D．8450（1﹣2x）＝72007．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，2）C．（2，1）D．（2，﹣2）8．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（）A．12B．13C．14D．159．（3分）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（）A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2hC．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h10．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE 请对两位同学的发现作出评判（）A．小明正确，小丽错误B．小明错误，小丽正确C．小明、小丽都正确D．小明、小丽都错误二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）分解因式：ax﹣ay＝．12．（3分）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是cm2．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：．14．（4分）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6m，则旗杆AC的高度为m．15．（4分）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为cm．16．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为．18．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为．三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（1）计算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；（2）解方程﹣1＝．20．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．50个家庭去年月均用水量频数分布表组别家庭月均用水量（单位：吨）频数A 2.0≤t＜3.47B 3.4≤t＜4.8mC 4.8≤t＜6.2nD 6.2≤t＜7.66E7.6≤t＜9.02合计50根据上述信息，解答下列问题：（1）m＝，n＝；（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在组；（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？21．（10分）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．22．（10分）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．（1）求图中阴影部分的面积；（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．24．（12分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：信息一A型机器人台数B型机器人台数总费用（单位：万元）1326032360信息二A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？25．（13分）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，且x0＝．求点P到y轴的距离；（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．26．（13分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图①160°244图②145°2图③130°请补全表格中数据，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB•AC之间的数量关系：．【变式思考】（2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB•AC 之间的数量关系，并证明．【拓展运用】（3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析+的值是否变化？2024年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作﹣3℃．故选：A．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．2．【分析】根据科学记数法表示数的方法，对所给较大数进行表示即可．【解答】解：由题知，1582亿＝1582×108＝1.582×103×108＝1.582×1011．故选：C．【点评】本题主要考查了科学记数法﹣表示较大的数，熟知科学记数法表示较大数的方法是解题的关键．3．【分析】根据二次根式的乘法法则对所给算式进行计算即可．【解答】解：．故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键．4．【分析】结合三视图与原几何体的关系即可解决问题．【解答】解：由所给三视图可知，该几何体为圆锥．故选：D．【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．5．【分析】根据矩形的性质得出∠B＝90°，再结合平行线的性质即可解决问题．【解答】解：延长CB与直线b交于点M，∵a∥b，∠2＝41°，∴∠BMA＝∠2＝41°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠1+∠BMA＝90°，∴∠1＝90°﹣41°＝49°．故选：C．【点评】本题主要考查了矩形的性质及平行线的性质，熟知矩形的性质及平行线的性质是解题的关键．6．【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，7200（1+x）2＝8450，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．7．【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再结合所给平移方式即可解决问题．【解答】解：因为y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，所以抛物线y＝x2+2x﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣2），所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，能根据所给二次函数解析式得出抛物线的顶线坐标及熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．8．【分析】依据题意，由中间小正方形的边长为（m﹣n），根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为（m2+n2），进而可以得解．【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n，∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①，∵（m+n）2＝21，∴m2+n2+2mn＝21②，①+②得2（m2+n2）＝26，∴大正方形的面积为：m2+n2＝13，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．9．【分析】根据图象可知，甲比乙早出发1小时，但晚到2小时，从甲地到乙地，甲实际用4小时，乙实际用1小时，从而可求得甲、乙两人的速度．【解答】解：甲的速度是：20÷4＝5km/h；乙的速度是：20÷1＝20km/h；由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，培养学生观察图象的能力，分析解决问题的能力，要培养学生视图知信息的能力．10．【分析】根据等腰三角形的性质和旋转的性质即可判断小明的发现正确；当AE的长最小时，AE⊥AC，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质即可判断小丽的发现正确．【解答】解：小明的发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点．当E落在AC上时，根据旋转的定义，DE与DH形成的角度为2α．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，这意味着小明的发现是正确的．首先，要确定AE的长度何时最小．根据题目条件，当E落在AC上时，根据小明的发现，D是HC的中点．此时，E与A，H三点共线，AE的长度达到最小．当E与A，H三点共线时，△AHE与△ABC相似．∴，∵HE＝HC﹣HD＝，∵D是HC的中点，并且AH是△ABC的高，∴AH2＝AB•HE，∵HE＝AE，当E与A，H三点共线时，AH2＝AB•AE成立，∴小丽发现也是正确的．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．【分析】本题属于因式分解中的基础题，观察多项式的特点，直接运用提公因式法提取公因式a即可分解因式．【解答】解：ax﹣ay＝a（x﹣y）．【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．12．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×6÷2＝12πcm2．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．13．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4k＞0，解之即可得出k值．【解答】【点评】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＞0，解得：k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．14．【分析】依据题意，直接利用锐角三角函数关系即可计算得解．【解答】解：由题意可得：BC＝6m，又tan60°＝＝＝，∴AC＝6m．故答案为：6．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．15．【分析】根据题意画出图形，再利用45°特殊直角三角形求出菱形的高．【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，∵周长为20cm，∴CD＝5cm，∵∠BCD＝45°，∴∠CDE＝45°，∴高＝CE＝cm，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．16．【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过10A列不等式，求出结论，并结合图象．【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，把（9，4）代入得：k＝4×9＝36，∴反比例函数关系式为：I＝，当I≤10时，则≤10，R≥3.6，故答案为：R≥3.6．【点评】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．17．【分析】过点G作GH⊥AC于点H，证明△ABC是等腰直角三角形，△AGH是等腰直角三角形，证明△DGH≌△DEC（AAS），得GH＝DC，DH＝CE，设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，得2a+b＝5，a2+b2＝（）2，求出a的值，进而可以解决问题．【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，AB＝AC＝5，∵GH⊥AC，∴△AGH是等腰直角三角形，∴AH＝HG，AG＝AH，∵四边形DEFG是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∴∠GDH＝90°﹣∠EDC＝90°﹣∠DGH＝∠DEC，在△DGH和△DEC中，，∴△DGH≌△DEC（AAS），∴GH＝DC，DH＝CE，∴AH＝HG＝DC，设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，∵正方形DEFG的边长为，∴DE＝，∵AC＝AH+DH+DC，DC2+CE2＝DE2，∴2a+b＝5，a2+b2＝（）2，将b＝5﹣2a代入a2+b2＝（）2整理得：a2﹣4a+4＝0，解得a＝2（负值已经舍去），∴AH＝a＝2，∴AG＝AH＝2，∴BG＝AB﹣AG＝5﹣2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，代入法解二元二次方程，解一元二次方程，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．18．【分析】将点（1，0）代入直线y＝kx+b，将b用k表示出来，利用待定系数法求出AB所在直线的函数关系式，求出它们的交点坐标；根据三角形面积公式求出远离原点部分的面积，从而求出k的值即可．【解答】解：如图，设AB与直线y＝kx+b交于点P．设AB所在直线的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．将坐标A（3，0）和B（0，3）分别代入y＝k1x+b1，得，解得，∴AB所在直线的函数关系式为y＝﹣x+3．将点（1，0）代入y＝kx+b，得k+b＝0，解得b＝﹣k，∴直线y＝kx+b为y＝kx﹣k．，解得，∴P（，），＝×3×3＝，∵S Rt△AOB∴远离原点部分的面积为﹣＝，∴×（3﹣1）×＝，∴k＝．故答案为：．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数关系、求出交点坐标、掌握三角形的面积公式是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则进行计算；（2）根据解分式方程的步骤进行计算．【解答】解：（1）2m （m ﹣1）﹣m （m +1）＝m 2﹣2m ﹣m 2﹣m＝﹣3m ；（2）﹣1＝，3x ﹣（3x +3）＝2x ，3x ﹣3x ﹣3＝2x ，∴x ＝，经检验，x ＝是原方程的解．【点评】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键．20．【分析】（1）依据题意得，C 组的频数n ＝×50＝15，从而B 组的频数m ＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20，进而可以判断得解；（2）依据题意，根据中位数的意义，由50÷2＝25，可得中位数是第25个数和第26个数的平均数，结合A 组频数为7，B 组频数为20，故可判断得解；（3）依据题意，由50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（户），进而可以判断得解．【解答】解：（1）由题意得，C 组的频数n ＝×50＝15．∴B 组的频数m ＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20．故答案为：20；15．（2）由题意，根据中位数的意义，∵50÷2＝25，∴中位数是第25个数和第26个数的平均数．又∵A 组频数为7，B 组频数为20，∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B 组．故答案为：B ．（3）由题意，∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（个），∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：1200×＝648（个）．【点评】本题主要考查了中位数、用样本估计总体、频数（率）分布表、加权平均数，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．21．【分析】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠ADE＝∠CFE，得到CF∥AB．【解答】证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠ADE＝∠CFE，∴CF∥AB．【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．22．【分析】（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；（2）根据题意画出树状图，得出概率．【解答】解：（1）P（甲在2号出入口开展志愿服务活动）＝，故答案为：；（2）∵一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种情况，∴P（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）＝．【点评】本题考查了概率，掌握树状图法是解题的关键．23．【分析】（1）计算得出△ABC的面积和扇形的面积，作差得到阴影部分的面积；（2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，通过勾股定理得出BP的长．【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵⊙A与BC相切于点D，∴AD＝，S＝S△ABC﹣S扇形＝；（2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，∵AP＝，AB＝3，∴BP＝．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，扇形面积的计算等，掌握综合知识是解题的关键．24．【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果；（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．【解答】解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，∴，∴，答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，∴80a+60（10﹣a）≤700，∴a≤5，∵每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为200万件，∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键．25．【分析】（1）利用求抛物线对称轴公式即可求得答案；（2）根据题意得b＝﹣，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，再根据抛物线对称轴公式建立方程求解即可；（3）由题意得b＝，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，用含a的代数式表示x0，再根据题意列不等式组求解即可．【解答】解：（1）若a＝﹣1，b＝3，则y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10，∵当x＝﹣＝1时，y取得最小值，∴x0＝1；（2）∵点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，∴b＝﹣，∴y＝（x﹣a）2+（x+）2＝2x2﹣（2a﹣）x+a2+，∵x0＝﹣＝，∴a1＝2，a2＝﹣1，当a＝2时，点P到y轴的距离为2；当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1；综上所述，点P到y轴的距离为2或1；（3）∵a2﹣2a﹣2b+3＝0，∴b＝，由题意得：x0＝＝，∵1≤x0＜3，∴1≤＜3，整理得：1≤a2＜9，∴﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3，∵a为整数，∴a＝﹣2或﹣1或1或2，共4个．【点评】本题是函数综合题，考查了二次函数的性质，反比例函数性质，解不等式组等，理解题意，熟练运用二次函数的性质是解题关键．26．【分析】（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC，再运用解直角三角形即可求得答案；（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，运用等腰三角形性质可得DF＝S△ABD+S△ACD，即可求得答案；＝DE＝，利用S△ABC（3）根据题目要求画图，设∠A＝α，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得α＝36°，过点E＝S△BEM+S△BEN，即可求得答案．作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，利用S△BMN【解答】解：（1）如图③，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，AB＝＝＝，∴AC＝AB＝，两腰之和为AB+AC＝，两腰之积为AB•AC＝×＝，猜想：AB+AC＝2，证明：如图，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，AB＝＝，∴AB+AC＝，AB•AC＝，∴AB+AC＝2AB•AC•cosα；故答案为：，，，AB+AC＝2AB•AC•cosα；（2）AB+AC＝AB•AC．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，则DE＝AD•sin∠BAD＝1×sin30°＝，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝，在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠BAC＝AC•sin60°＝AC，＝S△ABD+S△ACD，∵S△ABC∴AB•AC＝AB•+AC•，∴AB•AC＝AB+AC；（3）补全图形如图所示：设∠A＝α，∵BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝α，∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α，∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝2α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴α+2α+2α＝180°，解得：α＝36°，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，∵S △BMN ＝S △BEM +S △BEN ，∴BM •NG ＝BM •EF +BN •EH ，∵∠ABD ＝∠CBD ，EF ⊥AB ，EH ⊥BC ，∴EF ＝EH ，∴BM •BN •sin72°＝（BM +BN ）•EH ，∴＝＝+，∵＝sin ∠CBD ＝sin36°，∴EH ＝BE •sin36°，∴+＝，∵BE 为定长，sin36°和sin72°为定值，∴为定值，即+为定值．【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，角平分线性质，三角形面积，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题关键。

2024年江苏省无锡市中考数学试卷及答案解析

2024年江苏省无锡市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。

）1．（3分）4的倒数是（）A．B．﹣4C．2D．±22．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≠3B．x＞3C．x＜3D．x≥33．（3分）分式方程的解是（）A．x＝1B．x＝﹣2C．D．x＝24．（3分）一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（）A．34，34B．35，35C．34，35D．35，345．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正五边形6．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（）A．6πB．12πC．15πD．24π7．（3分）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（）A．B．C．9x+7x＝1D．9x﹣7x＝18．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（）A．65°B．70°C．80°D．85°9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（）A．B．C．D．10．（3分）已知y是x的函数，若存在实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围是tm≤y≤tn（t ＞0）．我们将m≤x≤n称为这个函数的“t级关联范围”．例如：函数y＝2x，存在m＝1，n＝2，当1≤x≤2时，2≤y≤4，即t＝2，所以1≤x≤2是函数y＝2x的“2级关联范围”．下列结论：①1≤x≤3是函数y＝﹣x+4的“1级关联范围”；②0≤x≤2不是函数y＝x2的“2级关联范围”；③函数总存在“3级关联范围”；④函数y＝﹣x2+2x+1不存在“4级关联范围”．其中正确的为（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）分解因式：x2﹣9＝．12．（3分）在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界．截至2023年底，我国高铁营业里程达到45000km．数据45000用科学记数法表示为．13．（3分）正十二边形的内角和等于度．14．（3分）命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是命题．（填“真”或“假”）15．（3分）某个函数的图象关于原点对称，且当x＞0时，y随x的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：．16．（3分）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为．17．（3分）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为．18．（3分）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE 交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为．三、解答题（本大题共10小题，共96分。

2024年江苏省苏州市中考真题数学试卷含答案解析

2024年江苏省苏州市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）A．3-B．1C．2D．32．下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．3．苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为（）A．102.4710⨯D．1224710⨯⨯C．12247102.4710⨯B．10【答案】C【分析】本题考查的是科学记数法-表示较大的数，把一个大于10的数记成10na⨯的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．根据科学记数法-表示较大的数的方法解答．【详解】解：122470000000000 2.4710=⨯，故选：C ．4．若1a b >-，则下列结论一定正确的是（）A ．1a b+<B ．1a b -<C ．a b >D ．1a b+>【答案】D【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．直接利用不等式的性质逐一判断即可．【详解】解：1a b >-，A 、1a b +>，故错误，该选项不合题意；B 、12a b ->-，故错误，该选项不合题意；C 、无法得出a b >，故错误，该选项不合题意；D 、1a b +>，故正确，该选项符合题意；故选：D ．5．如图，AB CD ，若165∠=︒，2120∠=︒，则3∠的度数为（）A ．45︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒【答案】B 【分析】题目主要考查平行线的性质求角度，根据题意得出60BAD ∠=︒，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键【详解】解：∵AB CD ，2120∠=︒，∴2180BAD ∠+∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴3180155BAD ∠=︒-∠-∠=︒，故选：B6．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（）A ．甲、丁B ．乙、戊C ．丙、丁D ．丙、戊【答案】C 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案．【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊故选：C ．7．如图，点A 为反比例函数()10y x x =-<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例()40y x x =>的图象交于点B ，则AO BO 的值为（）A ．12B ．14C D ．13∴11122ACO S=⨯-= ，142BDO S =⨯= ∵OA OB ⊥，∴90AOC OBD BOD ∠=∠=︒-∠，∴AOC OBD △∽△，8．如图，矩形ABCD 中，AB ，1BC =，动点E ，F 分别从点A ，C 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB ，CD 向终点B ，D 运动，过点E ，F 作直线l ，过点A 作直线l 的垂线，垂足为G ，则AG 的最大值为（）A B 2C ．2D ．1【答案】D 【分析】连接AC ，BD 交于点O ，取OA 中点H ，连接GH ，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G 的轨迹，从而求出AG 的最大值．∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，OA OC =，AB ∴在Rt ABC △中，AC AB =∴112OA OC AC ===，二、填空题9．计算：32x x ⋅= ．【答案】5x 【分析】利用同底数幂的乘法解题即可．【详解】解：32325x x x x +⋅==，故答案为：5x ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键．10．若2a b =+，则()2b a -= ．【答案】4【分析】本题考查了求代数式的值，把2a b =+整体代入化简计算即可．【详解】解：∵2a b =+，∴()2b a -()22b b ⎡⎤=-+⎣⎦()22b b =--()22=-4=，故答案为：4．11．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是．12．如图，ABC 是O 的内接三角形，若28OBC ∠=︒，则A ∠= ．∵OB OC =，OBC ∠∴OCB OBC ∠=∠∴801OC OC B ∠∠=︒-113．直线1:1l y x =-与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15︒，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是．设1l 与y 轴的交点为点B ，令0x =，得1y =-；令y =∴()1,0A ，()0,1B - ，∴1OA =，1OB =，即45OAB OBA ∠=∠=︒14．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O ， AB 所在圆的圆心C 恰好是ABO 的内心，若AB == ．（结果保留π）∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，∴60,AOB OA ∠=︒=∴AOB 为等边三角形，∵圆心C 恰好是ABO 15．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象过点()0,A m ，()1,B m -，()2,C n ，()3,D m -，其中m ，n 为常数，则mn的值为．16．如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，AE ，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD = ．则90AHE ACB ︒∠=∠=，又∴AHE ACB ∽，三、解答题17．计算：()042-+-．【答案】2【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可．【详解】解：原式413=+-2=．18．解方程组：27233x y x y +=⎧⎨-=⎩．【答案】31x y =⎧⎨=⎩【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：27233x y x y +=⎧⎨-=⎩①②-①②得，44y =，解得，1y =．将1y =代入①得3x =．∴方程组的解是31x y =⎧⎨=⎩19．先化简，再求值：2212124x x x x x +-⎛⎫+÷ ⎪--．其中3x =-．20．如图，ABC 中，AB AC =，分别以B ，C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧交于点D ，连接BD ，CD ，AD ，AD 与BC 交于点E ．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)若2BD =，120BDC ∠=︒，求BC 的长．21．一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．(1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______；(2)若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春）春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为122．某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B （乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：根据以上信息，解决下列问题：(1)将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；(2)图②中项目E对应的圆心角的度数为______°；(3)根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数．【答案】(1)见解析(2)72(3)本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）利用C组的人数除以所占百分比求出总人数，然后用总人数减去A、B、C、E组的人数，最后补图即可；（2）用360︒乘以E组所占百分比即可；（3）用800乘以B组所占百分比即可．÷=，【详解】（1）解：总人数为915%60D组人数为6061891215----=，补图如下：（2）解：123607260︒⨯=︒，故答案为：72；（3）解：1880024060⨯=（人）．答：本校七年级800名学生中选择项目23．图①是某种可调节支撑架，BC 为水平固定杆，竖直固定杆AB BC ⊥，活动杆AD 可绕点A 旋转，CD 为液压可伸缩支撑杆，已知10cm AB =，20cm BC =，50cm AD =．(1)如图②，当活动杆AD 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD 的长度（结果保留根号）；(2)如图③，当活动杆AD 绕点A 由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且3tan 4α=（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD 的长度（结果保留根号）．由题意可知，90B A ∠=∠=︒，又CE AD ⊥ ，∴四边形ABCE 为矩形．20BC =由题意可知，四边形ABFG 为矩形，90AGD ∴=︒△．在Rt AGD 中，tan DG AG α==34DG AG ∴=．24．如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，()2,0A -，()6,0C ，反比例函数()0,0k y k x x=≠>的图象与AB 交于点(),4D m ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值；(2)点P 为反比例函数()0,0k y k x x=≠>图象上一动点（点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合），过点P 作PM AB ∥，交y 轴于点M ，过点P 作PN x ∥轴，交BC 于点N ，连接MN ，求PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．45∴∠=︒．BAC∥轴，PN x∴∠=∠=︒，∠NQM BLN BAC4525．如图，ABC 中，AB =D 为AB 中点，BAC BCD ∠=∠，cos ADC ∠=，O 是ACD 的外接圆．(1)求BC 的长；(2)求O 的半径．又22，AD=DE=∴．1∴在Rt AED△中，22=-=AE AD DEBAC BCD△∽△，26．某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D 1001次列车从A 站始发，经停B 站后到达C 站，G 1002次列车从A 站始发，直达C 站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．列车运行时刻表A 站B 站C 站车次发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻D 10018：009：309：5010：50G 10028：25途经B 站，不停车10：30请根据表格中的信息，解答下列问题：(1)D 1001次列车从A 站到B 站行驶了______分钟，从B 站到C 站行驶了______分钟；(2)记D 1001次列车的行驶速度为1v ，离A 站的路程为1d ；G 1002次列车的行驶速度为2v ，离A 站的路程为2d ．①12v v =______；②从上午8：00开始计时，时长记为t 分钟（如：上午9：15，则75t =），已知1240v =千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G 1002次列车的行驶过程中()25150t ≤≤，若1260d d -=，求t 的值．27．如图①，二次函数2y x bx c =++的图象1C 与开口向下的二次函数图象2C 均过点()1,0A -，()3,0B ．(1)求图象1C 对应的函数表达式；(2)若图象2C 过点()0,6C ，点P 位于第一象限，且在图象2C 上，直线l 过点P 且与x 轴平行，与图象2C 的另一个交点为Q （Q 在P 左侧），直线l 与图象1C 的交点为M ，N （N 在M 左侧）．当PQ MP QN =+时，求点P 的坐标；(3)如图②，D ，E 分别为二次函数图象1C ，2C 的顶点，连接AD ，过点A 作AF AD ⊥．交图象2C 于点F ，连接EF ，当EF AD ∥时，求图象2C 对应的函数表达式．由二次函数的对称性得，∴PM NQ =．又PQ MP QN =+ ，而PQ PH PM ∴=．设()02PH t t =<<，则点将1x t =+代入(2y x =-+将21x t =+代入()(1y x =+P M y y = ，()(22t t ∴-+∴四边形IGJF 为矩形，IF GJ ∴=，IG FJ =．设2C 对应的函数表达式为点D ，E 分别为二次函数图象将1x =分别代入22y x =-得4,4D E y y a =-=-，∴()1,4D -，()1,4E a -，4DG ∴=，2AG =，EG =。

2022年江苏省苏州市中考数学真题(解析版)

2022年苏州市初中学业水平考试试卷数学一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上．1. 下列实数中，比3大的数是（）A. 5B. 1C. 0D. －2【答案】A【解析】【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可．【详解】解：因为－2＜0＜1＜3＜5，所以比3大的数是5，故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键．2. 2022年1月17日，国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万，比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢．141260用科学记数法可表示为（）A. 60.1412610´ B. 61.412610´ C. 51.412610´ D. 414.12610´【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．【详解】解：141260＝51.412610´，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 下列运算正确的是（）A. 7=-B. 2693¸=C. 222a b ab +=D. 235a b ab×=【答案】B 【解析】a =，判断A 选项不正确；C 选项中2a 、2b 不是同类项，不能合并；D 选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B 选项正确．【详解】A. 7==，故A 不正确；B. 2366932¸=´=，故B 正确；C. 222a b ab +¹，故C 不正确；D. 236a b ab ×=，故D 不正确；故选B ．【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键．4. 为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为（）A. 60人B. 100人C. 160人D. 400人【答案】C【解析】【分析】根据参加“书法”的人数为80人，占比为20%，可得总人数，根据总人数乘以125%15%20%---即可求解．【详解】解：总人数为8020%400¸=．则参加“大合唱”的人数为()400125%15%20%160´---=人．故选C ．【点睛】本题考查了扇形统计图，从统计图获取信息是解题的关键．5. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，75AOC Ð=°，125Ð=°，则2Ð的度数是（）A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°【答案】D【解析】【分析】根据对顶角相等可得75BOD Ð=°，之后根据125Ð=°，即可求出2Ð．【详解】解：由题可知75BOD AOC Ð=Ð=°，125Ð=°Q ，217525BOD \Ð=Ð-Ð=°-°=50°．故选：D ．【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．6. 如图，在56´的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB 的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB （阴影部分）的概率是（）A. 12pB. 24pC.D. 【答案】A【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，OB ==，∴阴影部分面积为：90105= 3602p p´g，∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是52= 3012pp，故选：A．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（）A.60100100x x=- B.60100100x x=+ C.10010060x x=+ D.10010060x x=-【答案】B【解析】【分析】根据题意，先令在相同时间t内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度100t，走路慢的人的速度60t，再根据题意设未知数，列方程即可【详解】解：令在相同时间t内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度100 t ，走路慢的人的速度60t，设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得60100100xxtt=+´，\根据题意可列出的方程是60100100x x =+，故选：B．【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键．8. 如图，点A的坐标为()0,2，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为(),3m，则m的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC BC AB===，可得=，即可解BD==OB==m得m=．【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，∴AC BC AB====，在Rt△BCD中，BD==在Rt△AOB中，OB==∵OB＋BD＝OD＝m，=，m化简变形得：3m4−22m2−25＝0，解得：m=或m=（舍去），∴m=，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．a a×=_______．9. 计算：3【答案】a4【解析】【分析】本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案．【详解】解：a3•a，=a3+1，=a4．故答案为：a4．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要能灵活应用同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．10. 已知4x y +=，6-=x y ，则22x y -=______．【答案】24【解析】【分析】根据平方差公式计算即可．详解】解：∵4x y +=，6-=x y ，∴22()()4624x y x y x y -=+-=´=，故答案为：24．【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键．11. 化简2222x x x x ---的结果是______．【答案】x【解析】【分析】根据分式的减法进行计算即可求解．【详解】解：原式＝()22222x x x x x x x --==--．故答案为：x ．【点睛】本题考查了分式的减法，正确的计算是解题的关键．12. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．【答案】6【解析】【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC 是等腰三角形，底边BC =3∴AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意；所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用【分类讨论思想是解题的关键．13. 如图，AB 是O e 的直径，弦CD 交AB 于点E ，连接AC ，AD ．若28BAC Ð=°，则D Ð=______°【答案】62【解析】【分析】连接BD ，根据直径所对的圆周角是90°，可得90ADB Ð=°，由 CBCB =，可得BAC BDC Ð=Ð，进而可得90ADC BDC Ð=°-Ð．【详解】解：连接BD ，∵AB 是O e 的直径，∴90ADB Ð=°，Q CB CB=，\28BAC BDC Ð==Ð°，\90ADC BDC Ð=°-Ð62=°故答案为：62【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．14. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ^，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【答案】10【解析】【分析】根据作图可得MN AC ^，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC V 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，设AC 与MN 的交点为O ，根据作图可得MN AC ^，且平分AC ，AO OC \=，Q 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC \∥，FAO OCE \Ð=Ð，又AOF COE Ð=ÐQ ，AO CO = ，AOF COE \V V ≌，AF EC \=，AF CE ∥Q ，\四边形AECF 是平行四边形，MN Q 垂直平分AC ，EA EC \=，\四边形AECF 是菱形，Q AB AC ^，MN AC ^，EF AB \∥，1EC OC BE AO \==，E \为BC 中点，Rt ABC △中， 3AB =，4AC =，5BC \==，1522AE BC ==，\四边形AEC F 的周长为410AE =．故答案为：10．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．15. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y （升）与时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a 的值为______．【答案】293【解析】【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度为30103=升/分钟，Q 3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，则排水速度为810201283´-=-升/分钟，\20812a -=，解得293a =．的故答案为：293．【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键．16. 如图，在矩形ABCD 中23=AB BC ．动点M 从点A 出发，沿边AD 向点D 匀速运动，动点N 从点B 出发，沿边BC 向点C 匀速运动，连接MN ．动点M ，N 同时出发，点M 运动的速度为1v ，点N 运动的速度为2v ，且12v v <．当点N 到达点C 时，M ，N 两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN 沿MN 翻折，得到四边形MA B N ¢¢．若在某一时刻，点B 的对应点B ¢恰好在CD 的中点重合，则12v v 的值为______．【答案】35【解析】【分析】在矩形ABCD 中23=AB BC ，设2,3AB a BC a ==，运动时间为t ，得到212,3,,CD AB a AD BC a BN v t AM v t ======，利用翻折及中点性质，在Rt B CN ¢D 中利用勾股定理得到253v t a BN ==，然后利用EDB B CN ¢¢D D :得到34DE a A E ¢==，在根据判定的A EM ¢D ()DEB ASA ¢@D 得到1AM v t a ==，从而代值求解即可．【详解】解：如图所示：在矩形ABCD 中23=AB BC ，设2,3AB a BC a ==，运动时间为t，212,3,,CD AB a AD BC a BN v t AM v t \======，在运动过程中，将四边形MABN 沿MN 翻折，得到四边形MA B N ¢¢，21,B N BN v t A M AM v t ¢¢\====，若在某一时刻，点B 的对应点B ¢恰好在CD 的中点重合，DB B C a ¢¢\==，在Rt B CN ¢D 中，2290,,,3C B C a B N v t CN a v t ¢¢Ð=°===-，则253v t a BN ==，90A B N B Ð=Ð=°¢¢Q ，90A B D CB N ¢¢¢\Ð+Ð=°,90CNB CB N ¢¢Ð+Ð=°Q ,A B D CNB ¢¢¢\Ð=Ð,EDB B CN ¢¢\D D :,35433DE B C B C a DB CN BC BN a a ¢¢\====¢--，DB B C a ¢¢==Q ，3344DE DB a ¢\==，则54B E a ¢===，53244A E A B B E a a a ¢¢¢¢\=-=-=，即34DE a A E ¢==，在A EM ¢D 和DEB ¢D 中，90A D A E DEA EM DEB Ð=Ð=°ìï=íïÐ¢=Ð¢¢î¢ \A EM ¢D ()DEB ASA ¢@D ，A MB D a ¢¢\==，即1AM v t a ==，11223553v v t AM a v v t BN a \====，故答案为：35．【点睛】本题属于矩形背景下的动点问题，涉及到矩形的性质、对称性质、中点性质、两个三角形相似的判定与性质、勾股定理及两个三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及判定，求出相应线段长是解决问题的关键．三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．17. 计算：)2321-+-．【答案】6【解析】【分析】先化简各式，然后再进行计算即可；【详解】解：原式341=+-6=【点睛】本题考查了零指数幂、绝对值、平方，准确化简式子是解题的关键．18. 解方程：311x x x +=+．【答案】32x =-【解析】【分析】根据解分式方程的步骤求出解，再检验即可．【详解】方程两边同乘以()1x x +，得()()2311x x x x ++=+．解方程，得32x =-．经检验，32x =-是原方程的解．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．即去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．19. 已知23230x x --=，求()2213x x x æö-++ç÷èø的值．【答案】24213x x -+，3【解析】【分析】先将代数式化简，根据23230x x --=可得2213x x -=，整体代入即可求解．【详解】原式222213x x x x =-+++24213x x =-+．∵23230x x --=，∴2213x x -=．∴原式22213x x æö=-+ç÷èø211=´+3=．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．20. 一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）【答案】（1）14（2）2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为38【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．【小问1详解】解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：11134=+ ．故答案为：14；【小问2详解】解：画树状图，如图所示：共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为38．【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．21. 如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为E ，AE 与CD 交于点F ．（1）求证：DAF ECF △≌△；（2）若40FCE Ð=°，求CAB Ð度数．【答案】（1）见解析（2）25CAB Ð=°【解析】【分析】（1）由矩形与折叠的性质可得AD BC EC ==，90D B E Ð=Ð=Ð=°，从而可得结论；（2）先证明40DAF ECF Ð=Ð=°，再求解904050EAB DAB DAF Ð=Ð-Ð=°-°=°，结合对折的性质可得答案．【小问1详解】证明：将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，则AD BC EC ==，90D B E Ð=Ð=Ð=°．在△DAF 和△ECF 中，DFA EFC D E DA EC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，，， ∴DAF ECF △≌△．【小问2详解】解：∵DAF ECF △≌△，∴40DAF ECF Ð=Ð=°．∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB Ð=°．∴904050EAB DAB DAF Ð=Ð-Ð=°-°=°， ∵FAC CAB Ð=Ð，∴25CAB Ð=°．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运用轴对称的性质证明边与角的相等是解本题的关键．的22. 某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩，并用划记法制成了如下表格：成绩（分）678910划记正正正正培训前人数（人）124754成绩（分）678910划记一正正正正培训后人数（人）413915（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是m ，培训后测试成绩的中位数是n ，则m ______n ；（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？【答案】（1）＜（2）测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了25%（3）测试成绩为“10分”的学生增加了220人【解析】【分析】（1）先分别求解培训前与培训后的中位数，从而可得答案；（2）分别求解培训前与培训后得6分的人数所占的百分比，再作差即可；（3）分别计算培训前与培训后得满分的人数，再作差即可．【小问1详解】解：由频数分布表可得：培训前的中位数为：787.5,2m +== 培训后的中位数为：9+9=9,2n = 所以,m n < 故答案为：<；【小问2详解】124100%100%25%,3232´-´=答：测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了25%．【小问3详解】培训前：46408032´=，培训后：1564030032´=，30080220-=．答：测试成绩为“10分”的学生增加了220人．【点睛】本题考查的是频数分布表，中位数的含义，利用样本估计总体，理解题意，从频数分布表中获取信息是解本题的关键．23. 如图，一次函数()20y kx k =+¹的图像与反比例函数()0,0my m x x=¹>的图像交于点()2,A n ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点()4,0C -．（1）求k 与m 的值；（2）(),0P a 为x 轴上的一动点，当△APB 的面积为72时，求a 的值．【答案】（1）k 的值为12，m 的值为6 （2）3a =或11a =-【解析】【分析】（1）把()4,0C -代入2y kx =+，先求解k 的值，再求解A 的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；（2）先求解()0,2B ．由(),0P a 为x 轴上的一动点，可得4PC a =+．由CAP ABP CBP S S S =+△△△，建立方程求解即可．【小问1详解】解：把()4,0C -代入2y kx =+，得12k =．∴122y x =+．把()2,A n 代入122y x =+，得3n =．∴()2,3A ．把()2,3A 代入m y x=，得6m =．∴k 的值为12，m 的值为6．【小问2详解】当0x =时，2y =．∴()0,2B ．∵(),0P a 为x 轴上的一动点，∴4PC a =+．∴1142422CBP S PC OB a a =×=´+´=+△，113434222CAPA S PC y a a =×=´+´=+△．∵CAP ABP CBP S S S =+△△△，∴374422a a +=++．∴3a =或11a =-．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．24. 如图，AB 是O e 的直径，AC 是弦，D 是 AB 的中点，CD 与AB 交于点E ．F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．（1）求证：CF 为O e 的切线；（2）连接BD ，取BD 的中点G ，连接AG ．若4CF =，2BF =，求AG 的长．【答案】（1）见解析（2）AG =【解析】【分析】（1）方法一：如图1，连接OC ，OD ．由OCD ODC Ð=Ð，FC FE =，可得OED FCE Ð=Ð，由AB 是O e 的直径，D 是 AB 的中点，90DOE Ð=°，进而可得90OCF Ð=°，即可证明CF 为O e 的切线；方法二：如图2，连接OC ，BC ．设CAB x Ð=°．同方法一证明90OCF Ð=°，即可证明CF 为O e 的切线；（2）方法一：如图3，过G 作GH AB ^，垂足为H ．设O e 的半径为r ，则2OF r =+．在Rt △OCF 中，勾股定理求得3r =，证明GH DO ∥，得出BHG BOD V ∽，根据BH BGBO BD=，求得,BH GH ，进而求得AH ，根据勾股定理即可求得AG ；方法二：如图4，连接AD ．由方法一，得3r =．6AB =，D 是 AB的中点，可得AD BD ==，根据勾股定理即可求得AG ．小问1详解】（1）方法一：如图1，连接OC ，OD ．∵OC OD =，∴OCD ODC Ð=Ð．∵FC FE =，∴FCE FEC Ð=Ð． ∵OED FEC Ð=Ð，【∴OED FCE Ð=Ð．∵AB 是O e 的直径，D 是 AB 的中点，∴90DOE Ð=°．∴90OED ODC Ð+Ð=°．∴90FCE OCD Ð+Ð=°，即90OCF Ð=°．∴OC CF ^．∴CF 为O e 的切线．方法二：如图2，连接OC ，BC ．设CAB x Ð=°．∵AB 是O e 的直径，D 是 AB 的中点，∴45ACD DCB Ð=Ð=°．∴()45CEF CAB ACD x Ð=Ð+Ð=+°．∵FC FE =，∴()45FCE FEC x Ð=Ð=+°． ∴BCF x Ð=°．∵OA OC =，∴ACO OAC x Ð=Ð=°．∴BCF ACO Ð=Ð．∵AB 是O e 的直径，∴90ACB Ð=°．∴90OCB ACO Ð+Ð=°．∴90OCB BCF Ð+Ð=°，即90OCF Ð=°．∴OC CF ^．∴CF 为O e 的切线．【小问2详解】解：方法一：如图3，过G 作GH AB ^，垂足为H ．设O e 的半径为r ，则2OF r =+．在Rt △OCF 中，()22242r r +=+，解之得3r =．∵GH AB ^，∴90GHB Ð=°．∵90DOE Ð=°，∴GHB DOE Ð=Ð．∴GH DO ∥．BHG BOD\V ∽∴BH BG BO BD=．∵G 为BD 中点，∴12BG BD =．∴1322BH BO ==，1322GH OD ==．∴6AH AB BH =-=-∴AG ==．方法二：如图4，连接AD ．由方法一，得3r =．∵AB 是O e 的直径，∴90ADB Ð=°．∵6AB =，D 是 AB 的中点，∴AD BD ==∵G 为BD 中点，∴12DG BD ==∴AG ===【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．25. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：进货批次甲种水果质量（单位：千克）乙种水果质量（单位：千克）总费用（单位：元）第一次60401520第二次30501360（1）求甲、乙两种水果的进价；（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m 千克甲种水果和3m 千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m 的最大值．【答案】（1）甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元（2）正整数m 的最大值为22【解析】【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a 元，乙种水果的进价为每千克b 元，根据总费用列方程组即可；（2）设水果店第三次购进x 千克甲种水果，根据题意先求出x 的取值范围，再表示出总利润w 与x 的关系式，根据一次函数的性质判断即可．【小问1详解】设甲种水果进价为每千克a 元，乙种水果的进价为每千克b 元．根据题意，得60401520,30501360.a b a b +=ìí+=î解方程组，得12,20.a b =ìí=î答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．【小问2详解】设水果店第三次购进x 千克甲种水果，则购进()200x -千克乙种水果，根据题意，得()12202003360x x +-£．解这个不等式，得80x ³．设获得的利润为w 元，根据题意，得()()()()1712302020035352000w x m x m x m =-´-+-´--=--+．的∵50-<，∴w 随x 的增大而减小．∴当80x =时，w 的最大值为351600m -+．根据题意，得351600800m -+³．解这个不等式，得1607m £．∴正整数m 的最大值为22．【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．26. 如图，在二次函数2221y x mx m =-+++（m 是常数，且0m >）的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC ，BD ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求OBC Ð的度数；（2）若ACO CBD Ð=Ð，求m 的值；（3）若在第四象限内二次函数2221y x mx m =-+++（m 是常数，且0m >）的图像上，始终存在一点P ，使得75ACP Ð=°，请结合函数的图像，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）A （-1，0）；B （2m +1，0）；C （0，2m +1）；45OBC Ð=°（2）1m =（3）0m <<【解析】【分析】（1）分别令,x y 等于0，即可求得,,A B C 的坐标，根据,90OC OB BOC =Ð=°，即可求得45OBC Ð=°；（2）方法一：如图1，连接AE ．由解析式分别求得()21DF m =+，OF m =，1BF m =+．根据轴对称的性质，可得AE BE =，由1tan AE BE BF m ACE CE CE OF m+Ð====，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D 作DH BC ^交BC 于点H ．由方法一，得()21DF m =+，1BF EF m ==+．证明AOC DHB ∽△△，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解；（3）设PC 与x 轴交于点Q ，当P 在第四象限时，点Q 总在点B 的左侧，此时CQA CBA Ð>Ð，即45CQA Ð>°．【小问1详解】当0y =时，22210x mx m -+++=．解方程，得11x =-，221x m =+．∵点A 在点B 的左侧，且0m >，∴()1,0A -，()21,0B m +．当0x =时，21=+y m ．∴()0,21C m +．∴21OB OC m ==+．∵90BOC Ð=°，∴45OBC Ð=°．【小问2详解】方法一：如图1，连接AE ．∵()()2222211y x mx m x m m =-+++=--++，∴()()2,1D m m +，(),0F m ．∴()21DF m =+，OF m =，1BF m =+．∵点A ，点B 关于对称轴对称，∴AE BE =．∴45EAB OCB Ð=Ð=°．∴90CEA Ð=°．∵ACO CBD Ð=Ð，OCB OBC Ð=Ð，∴ACO OCB CBD OBC Ð+Ð=Ð+Ð，即ACE DBF Ð=Ð．∵EF OC ∥，∴1tan AE BE BF m ACE CE CE OF m+Ð====．∴()2111m m m m ++=+．∵0m >，∴解方程，得1m =．方法二：如图2，过点D 作DH BC ^交BC 于点H ．由方法一，得()21DF m =+，1BF EF m ==+．∴2DE m m =+．∵45DEH BEF Ð=Ð=°，∴)2DH EH m m ===+，)1BE m ==+．∴)232BH BE HE m m =+=++．∵ACO CBD Ð=Ð，90AOC BHD Ð=Ð=°，∴AOC DHB ∽△△．∴OA DH OC BH =．∴121m =+，即1212m m m =++．∵0m >，∴解方程，得1m =．【小问3详解】0m <<设PC 与x 轴交于点Q ，当P 在第四象限时，点Q 总在点B 的左侧，此时CQA CBA Ð>Ð，即45CQA Ð>°．∵75ACQ Ð=°，∴60CAO Ð<°．tan CAO \Ð<，21OC m =+Q ，∴21m +<解得m <，又0m >，∴0m <<【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．27. （1）如图1，在△ABC 中，2ACB B Ð=Ð，CD 平分ACB Ð，交AB 于点D ，DE //AC ，交BC 于点E ．①若1DE =，32BD =，求BC 的长；②试探究AB BE AD DE-是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，CBG Ð和BCF Ð是△ABC 的2个外角，2BCF CBG Ð=Ð，CD 平分BCF Ð，交AB 的延长线于点D ，DE //AC ，交CB 的延长线于点E ．记△ACD 的面积为1S ，△CDE 的面积为2S ，△BDE 的面积为3S ．若2132916S S S ×=，求cos CBD Ð的值．【答案】（1）①94BC =；②AB BE AD DE -是定值，定值为1；（2）3cos 8CBD Ð=【解析】【分析】（1）①证明CED CDB V V ∽，根据相似三角形的性质求解即可；②由DE AC ∥，可得AB BC AD DE =，由①同理可得CE DE =，计算AB BE AD DE-1=；（2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得12S AC BC S DE BE ==，又32S BE S CE =，则1322S S BC S CE ×=，可得916BC CE =，设9BC x =，则16CE x =．证明CDB CED ∽△△，可得12CD x =，过点D 作DH BC ^于H ．分别求得BD BH ，，进而根据余弦的定义即可求解．【详解】（1）①∵CD 平分ACB Ð，∴12ACD DCB ACB Ð=Ð=Ð．∵2ACB B Ð=Ð，∴ACD DCB B Ð=Ð=Ð．∴32CD BD ==．∵DE AC ∥，∴ACD EDC Ð=Ð．∴EDC DCB B Ð=Ð=Ð．∴1CE DE ==．∴CED CDB V V ∽．∴CE CD =CD CB．∴94BC =．②∵DE AC ∥，∴AB BC AD CE=．由①可得CE DE =，∴AB BC AD DE=．∴1AB BE BC BE CE AD DE DE DE DE -=-==．∴AB BE AD DE -是定值，定值为1．（2）∵DE AC ∥，BDE BAC\∽△△BC AB AC BE BD DE\==∴12S AC BC S DE BE==．∵32S BE S CE=，∴1322S S BC S CE×=．又∵2132916S S S ×=，∴916BC CE =．设9BC x =，则16CE x =．∵CD 平分BCF Ð，∴12ECD FCD BCF Ð=Ð=Ð．∵2BCF CBG Ð=Ð，∴ECD FCD CBD Ð=Ð=Ð．∴BD CD =．∵DE AC ∥，∴EDC FCD Ð=Ð．∴EDC CBD ECD Ð=Ð=Ð．∴CE DE =．∵DCB ECD Ð=Ð，∴CDB CED ∽△△．∴CD CB CE CD=．∴22144CD CB CE x =×=．∴12CD x =．如图，过点D 作DH BC ^于H ．∵12BD CD x ==，∴1922BH BC x ==．∴932cos 128x BH CBD BD x Ð===．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．。

2024年江苏省苏州市中考数学试卷(附答案解析)

2024年江苏省苏州市中考数学试卷（附答案解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．1．（3分）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）A．﹣3B．1C．2D．3【解答】解：∵|﹣3|＝3，|1|＝1，|2|＝2，|3|＝3，而3＜2＜1，∴1与原点距离最近，故选：B．2．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A．3．（3分）苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为（）A．2.47×1010B．247×1010C．2.47×1012D．247×1012【答案】C．4．（3分）若a＞b﹣1，则下列结论一定正确的是（）A．a+1＜b B．a﹣1＜b C．a＞b D．a+1＞b【解答】解：若a＞b﹣1，不等式两边加1可得a+1＞b，故A不合题意，D符合题意，根据a＞b﹣1，得不到a﹣1＜b，a＞b，故B、C不符合题意．故选：D．5．（3分）如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为（）A．45B．55°C．60°D．65°【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝65°，∴∠ACD＝∠1＝65°，∵∠2＝∠ACD+∠3，∠2＝120°，∴∠3＝55°，故选：B．6．（3分）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（）A．甲、丁B．乙、戊C．丙、丁D．丙、戊【答案】C．7．（3分）如图，点A为反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，则的值为（）A．B．C．D．【分析】作AG⊥x轴，BH⊥x轴，可证明△AGO∽△OHB，利用面积比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H，∵点A在函数y＝﹣图象上，点B在反比例函数y＝图象上，＝，S△BOH＝2，∴S△AGO∵∠AOB＝90°，∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB，∴△AGO∽△OHB，∴，∴．故选：A．8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（）A．B．C．2D．1【解答】解：连接AC，交EF于O，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，∵AB＝，BC＝1，∴AC＝＝＝2，∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，∴CF＝AE，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，又∵∠COF＝∠AOE，∴△COF≌△AOE（AAS），∴AO＝CO＝1，∵AG⊥EF，∴点G在以AO为直径的圆上运动，∴AG为直径时，AG有最大值为1，故选：D．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．9．（3分）计算：x3•x2＝．【解答】解：x3•x2＝x5，故答案为：x5．10．（3分）若a＝b+2，则（b﹣a）2＝．【解答】解：∵a＝b+2，∴b﹣a＝﹣2，∴（b﹣a）2＝（﹣2）2＝4，故答案为：4．11．（3分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是．【解答】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形，∴指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，即，故答案为：．12．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝°．【解答】解：连接OC，∵OB＝OC，∠OBC＝28°，∴∠OCB＝∠OBC＝28°，∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝124°，∴，故答案为：62．13．（3分）直线l1：y＝x﹣1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是．【分析】根据题意画出示意图，结合特殊角的三角函数值即可解决问题．【解答】解：如图所示，将x＝0代入y＝x﹣1得，y＝﹣1，所以点B坐标为（0，﹣1）．将y＝0代入y＝x﹣1得，x＝1，所以点A的坐标为（1，0），所以OA＝OB＝1，所以∠OBA＝∠OAB＝45°．由旋转可知，∠BAC＝15°，∴∠OAC＝45°+15°＝60°．在Rt△AOC中，tan∠OAC＝，所以OC＝，则点C的坐标为（0，）．令直线l2的函数表达式为y＝kx+b，则，解得，所以直线l2的函数表达式为y＝．故答案为：y＝．14．（3分）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝．（结果保留π）【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则AM＝BM＝AB＝，∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，∴∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∵点O是△AOB的内心，∴∠CAB＝∠CBA＝×60°＝30°，∠ACB＝2∠AOB＝120°，在Rt△ACM中，AM＝，∠CAM＝30°，∴AC＝＝2，∴的长为＝π，∴花窗的周长为π×6＝8π．故答案为：8π．15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n为常数，则的值为．【解答】解：将A（0，m），B（1，﹣m），D（3，﹣m）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），得：，∴，把C（2，n）代入，∴，∴，故答案为：．16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AE＝AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝．【解答】解：∵，∴设AD＝x，，∵△ADE沿DE翻折，得到△FDE，∴DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE，过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，则∠AHE＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AHE∽△ACB，∴，∵CB＝5，CA＝10，，∴，∴EH＝x，，则DH＝AH﹣AD＝x＝EH，∴Rt△EHD是等腰直角三角形，∴∠HDE＝∠HED＝45°，则∠ADE＝∠EDF＝135°，∴∠FDM＝135°﹣45°＝90°，在△FDM和△EHM中，，∴△FDM≌△EHM（AAS），∴，，∴，＝25﹣5x，∵△CEF的面积是△BEC的面积的2倍，∴，则3x2﹣40x+100＝0，解得，x2＝10（舍去），则，故答案为：．三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．17．（5分）计算：|﹣4|+（﹣2）0﹣．【分析】先化简，然后计算加减法即可．【解答】解：|﹣4|+（﹣2）0﹣＝4+1﹣3＝2．18．（5分）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①﹣②得：4y＝4，即y＝1，将y＝1代入①得：x＝3，则方程组的解为．19．（6分）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝﹣3．【解答】解：（+1）÷＝•＝•＝，当x＝﹣3时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，分别以B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）若BD＝2，∠BDC＝120°，求BC的长．【解答】（1）证明：由作图知：BD＝CD．在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；（2）解：∵△ABD≌△ACD，∠BDC＝120°，∴∠BDA＝∠CDA＝∠BDC＝×120°＝60°，又∵BD＝CD，∴DA⊥BC，BE＝CE．∵BD＝2，∴BE＝BD•sin∠BDA＝2×＝，∴．【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．21．（6分）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为；（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，∴从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为＝．22．（8分）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年身全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：根据上信息，解决下列问题：（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为°；（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数．【解答】解：（1）此次调查的总人数为9÷15%＝60（人），D项目的人数有60﹣6﹣18﹣9﹣12＝15（人），补全条形统计图如下：（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为360°×＝72°；故答案为：72；（3）800×＝240（名），答：估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数为240名．23．（8分）图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm．（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；（2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα＝（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）．【解答】解：（1）过点C作CE⊥AD，垂足为E，由题意得：AB＝CE＝10cm，BC＝AE＝20cm，∵AD＝50cm，∴ED＝AD﹣AE＝50﹣20＝30（cm），在Rt△CED中，CD＝＝＝10（cm），∴可伸缩支撑杆CD的长度为10cm；（2）过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD′于点G，由题意得：AB＝FG＝10cm，AG＝BF，∠AGD＝90°，在Rt△ADG中，tanα＝＝，∴设DG＝3x cm，则AG＝4x cm，∴AD＝＝＝5x（cm），∵AD＝50cm，∴5x＝50，解得：x＝10，∴AG＝40cm，DG＝30cm，∴DF＝DG+FG＝30+10＝40（cm），∴BF＝AG＝40cm，∵BC＝20cm，∴CF＝BF﹣BC＝40﹣20＝20（cm），在Rt△CFD中，CD＝＝＝20（cm），∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（﹣2，0），C（6，0），反比例函数y＝（k ≠0，x＞0）的图象与AB交于点D（m，4），与BC交于点E．（1）求m，k的值；（2）点P为反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．【分析】（1）根据条件先求出点B坐标，再利用待定系数法求出直线AB解析式，将D坐标代入两个函数解析式得到mk的值；（2）先求出PQ＝MQ，再设点P的坐标为（t，），则PQ＝t，PN＝6﹣t，MQ＝PQ＝t，利用三角形＝＝﹣，利用最值求出t和面积最大值及点P坐标即面积列出函数S△PMN可．【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），C（6，0），∴AC＝8．又∵AC＝BC，∴BC＝8．∠ACB＝90°，∴点B（6，8）．设直线AB的函数表达式为y＝ax+b，将A（﹣2，0），B（6，8）代入y＝ax+b得：，解得，∴直线AB的函数表达式为y＝x+2．∴将点D（m，4）代入y＝x+2，得m＝2．∴D（2，4），将D（2，4）代入反比例函数解析式y＝得：4＝，解得k＝8．（2）延长NP交y轴于点Q，交AB于点L．∵AC＝BC，∠BCA＝90°，∴∠BAC＝45°，∵PN∥x轴，∴∠BLN＝∠BAC＝45°，∠NQM＝90°，∵AB∥MP，∴∠MPL＝∠BLP＝45°，∠QMP＝∠QPM＝45°，∴QM＝QP，设点P的坐标为（t，），则PQ＝t，PN＝6﹣t，MQ＝PQ＝t，＝＝＝﹣，∴S△PMN有最大值，此时P（3，）．∴当t＝3时，S△PMN【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数顶点式求最值是关键．25．（10分）如图，△ABC中，AB＝4，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cos∠ADC＝，⊙O是△ACD的外接圆．（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径．【分析】（1）先证明△BAC∽△BCD，得到，即可解答；（2）过点A作AE⊥CD于点E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，在Rt△AED中，通过解直角三角形得到DE＝1，，由△BAC∽△BCD得到，设CD＝x，则，CE＝x﹣1，在Rt△ACE中，根据勾股定理构造方程，求得CD＝2，，由∠AFC＝∠ADC得到sin∠AFC＝sin∠ADC，根据正弦的定义即可求解．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B，∴△BAC∽△BCD，∴，∵，D为AB中点，∴，∴BC2＝16，∴BC＝4；（2）过点A作AE⊥CD于点E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，∵在Rt△AED中，，，∴DE＝1，∴，∵△BAC∽△BCD，∴，设CD＝x，则AC＝x，CE＝x﹣1，∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，∴，即x2+2x﹣8＝0，解得x＝2，x＝﹣4（舍去），∴CD＝2，AC＝，∵∠AFC与∠ADC都是所对的圆周角，∴∠AFC＝∠ADC，∵CF为⊙O的直径，∴∠CAF＝90°，∴，∴，即⊙O的半径为．【点评】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理，掌握各种定理和判定方法是解题的关键．26．（10分）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．列车运行时刻表车次A站B站C站发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻D10018：009：309：5010：50G10028：25途经B站，不停车10：30请根据表格中的信息，解答下列问题：（1）D1001次列车从A站到B站行驶了分钟，从B站到C站行驶了分钟；（2）记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2．①＝．②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t＝75），已知v1＝240千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（25≤t≤150），若|d1﹣d2|＝60，求t的值．【分析】（1）直接根据表中数据解答即可；（2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；②先求出v2，A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分25≤t ＜90，90≤t≤100，100＜t≤110，110＜t≤150讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可．【解答】解：（1）D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，故答案为：90，60；（2）①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需90+60＝150分钟，G1002次列车从A站到C站共需35+60+30＝125分钟，∴150v1＝125v2，∴，故答案为：；②∵v1＝4（千米/分钟），，∴v2＝4.8（千米/分钟），∵4×90＝360（千米），∴A与B站之间的路程为360千米，∵360÷4.8＝75（分钟），∴当t＝100时，G1002次列车经过B站，由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，i．当25≤t＜90时，d1＞d2，∴|d1﹣d2|＝d1﹣d2，∴4t﹣4.8（t﹣25）＝60，t＝75（分钟）；ⅱ．当90≤t≤100时，d1≥d2，∴|d1﹣d2|＝d1﹣d2，∴360﹣4.8（t﹣25）＝60，t＝87.5（分钟），不合题意，舍去；ⅱi．当100＜t≤110时，d1＜d2，∴|d1﹣d2|＝d2﹣d1，∴4.8（t﹣25）﹣360＝60，t＝112.5（分钟），不合题意，舍去；iv．当110＜t≤150时，d1＜d2，∴|d1﹣d2|＝d2﹣d1，∴4.8（t﹣25）﹣[360+4（t﹣110）]＝60，t＝125（分钟）；综上所述，当t＝75或125时，|d1﹣d2|＝60．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．27．（10分）如图①，二次函数y＝x2+bx+c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求图象C1对应的函数表达式；（2）若图象C2过点C（0，6），点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象C1的交点为M，N（N在M左侧）．当PQ＝MP+QN时，求点P的坐标；（3）如图②，D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，连接AD，过点A作AF⊥AD，交图象C2于点F，连接EF，当EF∥AD时，求图象C2对应的函数表达式．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0代入y＝x2+bx+c得，解得，∴图象C1对应的函数表达式：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设C2对应的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），将点C（0，6）代入得，a＝﹣2．∴C2对应的函数表达式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣3），其对称轴为直线x＝1．又∵图象C1的对称轴也为直线x＝1．作直线x＝1，交直线l于点H（如答图①）由二次函数的对称性得，QH＝PH，PM＝NQ，又∵PQ＝MP+QM，∴PH＝PM．设PH＝t（0＜l＜2），则点P的横坐标为t+1，点M的横坐标为2t+1，将x＝t+1代入y＝﹣2（x+1）（x﹣3），得y P＝﹣2（t+2）（t﹣2），将x＝2t+1代入y＝（x+1）（x﹣3），得y M＝（2t+2）（2t﹣2），∵y P＝y M，∴﹣2（t+2）（t﹣2）＝（2t+2）（2t﹣2），即6t2＝12，解得，（舍去）．∴点P的坐标为（+1，4）；（3）连接DE，交x轴于点G，过点F作FI⊥ED于点I，过点F作FJ⊥x轴于点J，（如答图②），∵FI⊥ED，FJ⊥x轴，∴四边形IGJF为矩形，∴IF＝GJ，IG＝FJ，设C2对应的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），∵点D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，∴D（1，﹣4），E（1，﹣4a）．∴DG＝4，AG＝2，EG＝﹣4a，在Rt△AGD中，，∵AF⊥AD，∴∠FAB+∠DAB＝90°，又∵∠DAG+∠ADG＝90°，∴∠ADG＝∠FAB，∴tmn∠FAB＝tm∠ADG＝，设GJ＝m（0＜m＜2），则AJ＝2+m，∴FJ＝，F（m+1，），∵EF∥AD，∴∠FEl＝∠ADG，∴tan∠FEl＝tan∠ADG＝＝，∴EI＝2m，∵EG＝EI+IG，∴，∴①，∵点F在C2上，a（m+1+1）（m+1﹣3）＝，即a（m+2）（m﹣2）＝，∵m+2≠0，∴a（m﹣2）＝②，由①，②可得，解得m1＝0（舍去），m2＝，∴a＝﹣，∴图象C2对应的函数表达式为．。

2023年江苏省淮安市中考数学真题试卷(解析版)

2023年江苏省淮安市中考数学真题试卷及答案（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）1. 下列实数中，属于无理数的是（）A. ﹣2B. 0C.D. 5【答案】C【解析】无理数是指无限不循环小数，根据定义逐个判断即可．解:﹣2.0、5是有理数，是无理数．故选：C．【点拨】本题考查了对无理数定义的应用，能理解无理数的定义是解此题的关键.2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．解：选项A.C.D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：B．【点拨】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3. 健康成年人的心脏每分钟流过的血液约．数据4900用科学记数法表示为（）．A. B.C.D.【答案】C 【解析】将4900写成的形式即可，其中，n 为正整数．解：4900的小数点向左移动3位得4.9，因此，故选C ．【点拨】本题考查科学记数法，解题的关键是确定中a 和n 的值．4. 下列计算正确的是（）．A. B.C.D.【答案】D 【解析】根据合并同类项，幂乘方，同底数幂的乘除法则，逐一进行计算后判断即可．解：A. ，故A 错误； B.，故B 错误； C.，故C 错误； D.，故D 正确；故选D ．【点拨】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）．A. B. C. D.【答案】D 【解析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．解：由图可知，，，A.，错误；B.，错误；C.，错误；D.，正确；故选D．【点拨】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．6. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．解：如图所示，∵直尺的两边平行，∴，又∵，∴，故选：A．【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．7. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为，再根据圆锥的侧面（扇形）面积公式，即可求解．解：根据题意得：这个几何体为圆锥，如图，过点作于点，根据题意得：，，，∴，∴，即圆锥的母线长为，∴这个几何体的侧面积是．故选：B【点拨】本题主要考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几何体为圆锥是解题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．解：如图所示，过点作轴于点，则∴∴∵,∴∴解得：∵点在上，∴解得：∴直线的解析式为当时，即又反比例函数在第一象限内的图象交于点∴,故选：C．【点拨】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共126分）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．【答案】x≥5【解析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．∵在实数范围内有意义，∴x−5⩾0，解得x⩾5．故答案为：x≥5【点拨】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式．10. 方程的解是_________．【答案】【解析】将分式方程转化为整式方程，求解即可．解：由可得：解得经检验是原分式方程的解，故答案为：【点拨】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．11. 若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是_________．【答案】【解析】根据等腰三角形的性质求解即可．解：三角形的底边长为故答案为：【点拨】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形腰长相等．12. 若，则的值是_________．【答案】3【解析】根据已知得到，再代值求解即可．解：∵，∴，∴，故答案为：3.【点拨】本题考查代数式求值，利用整体思想求解是解答的关键．13. 将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图(如图)，两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则_________(填“”“”或“”)．【答案】【解析】根据折线统计图可得甲的数据波动较小，进而根据方差的意义即可求解．解：由折线统计图可得，甲的数据波动较小，则，故答案为：．【点拨】本题考查了折线统计图，方差的意义，理解数据波动小的方差小是解题的关键．14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是_________．【答案】120【解析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可．解：如图，连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，故答案为：120．【点拨】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．15. 如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是_________．【答案】【解析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解．解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，∵正六边形对边互相平行，且内角，∴过点作于，∴设正六边形的边长为1，则，，∴故答案为：．【点拨】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．16. 在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是_________．【答案】【解析】连接，根据轴对称的性质可得，进而可得在半径为的上，证明是等边三角形，当取得最大值时，面积最大，根据圆的直径最大，进而得出最大值为，即可求解．解：如图所示，连接，∵点关于的对称点为，∴，∵，∴在半径为的上，在优弧上任取一点，连接,则，∵，∴，∴，∴是等边三角形，当取得最大值时，面积最大，∵在上运动，则最大值，则面积的最大值是．故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，得出最大值为是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共102分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （1）计算：；（2）解不等式组：【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据化简绝对值，零指数幂，求一个数的算术平方根，进行计算即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：（1）；（2），解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：．【点拨】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键．18. 先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将代入求值．解：，将代入，得：原式．【点拨】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则．19. 已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．【答案】证明见详解；【解析】根据得到，结合，，即可得到即可得到证明．证明：∵，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据平行线得到三角形全等判定的条件．20. 小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩．（1）小华选择C项目的概率是_________；（2）用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．【答案】（1）（2）【解析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）列表法求概率即可求解．（1）解：共有三个热门项目，小华选择C项目的概率是；故答案为：．（2）解：列表法如图，小华小丽共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目，有6种，∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率．【点拨】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21. 为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．数据收集（单位：万元）：5.0 9.96.0 5.2 8.2 6.27.6 9.48.2 7.85.1 7.56.1 6.3 6.77.98.2 8.59.2 9.8数据整理：销售额/万元频数3544数据分析：平均数众数中位数7.448.问题解决：（1）填空：_________，_________．（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有_____名员工获得奖励．（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．【答案】（1）4，7.7（2）12 （3）7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励【解析】（1）根据所给数据及中位数的定义求解；（2）根据频数分布表求解；（3）利用中位数进行决策．（1）解：该组数据中有4个数在7与8之间，故，将20个数据按从小到大顺序排列，第10位和第11位分别是7.6，7.8，故中位数，故答案为：4，7.7；（2）解：月销售额不低于7万元的有：（人），故答案为：12；（3）解：7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励．【点拨】本题考查频数分布表，中位数，利用中位数做决策等，解题的关键是掌握中位数的求法及意义．22. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．【答案】的长为米或米【解析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解．解：设米，则米，根据题意得，，解得：，答：的长为米或米．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．23. 根据以下材料，完成项目任务，项目测量古塔的高度及古塔底面圆的半径测量工具测角仪、皮尺等测量说明：点为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在处分别测得古塔顶端的仰角为，测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点在同一条直线上．参考数据项目任务（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圆的半径．【答案】（1）古塔的高度为；（2）古塔底面圆的半径为．【解析】（1）延长交于点，则四边形是矩形，设，则，根据，解方程，即可求古塔的高度；（2）根据，，即可求得古塔底面圆的半径．解：（1）如图所示，延长交于点，则四边形是矩形，∴，依题意，，，设，则，在中，，解得：，∴古塔的高度为．（2），，∴．答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．24. 如图，在中，．（1）尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）作的角平分线交于点，过点作，交于点，以为圆心，为半径作，即可；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设交于点，连接，可得是等边三角形，进而根据与重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解．（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：∵，是的切线，∴，∴，则，解得：，如图所示，设交于点，连接，∵，∴是等边三角形，如图所示，过点作于点，∴∴在中，,∴,∴，则，∴与重叠部分的面积为．【点拨】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键．25. 快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．（1）请解释图中点的实际意义；（2）求出图中线段所表示的函数表达式；（3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．【答案】（1）快车到达乙地时，慢车距离乙地还有（2）（3）小时【解析】（1）根据点的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；（2）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解；（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．（1）解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时，则点的横坐标为，此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为，∴设直线的表达式为∴解得：∴直线的表达式为（3）解：设快车去乙地的速度为千米/小时，则，解得：∴甲乙两地的距离为千米，设快车返回的速度为千米/小时，根据题意，解得：，∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时）【点拨】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键．26. 已知二次函数（为常数）．（1）该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，①则的值是_________，点的坐标是_________；②当时，借助图像，求自变量的取值范围；（2）对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．【答案】（1）①②或（2）（3）【解析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，∴，∴，∴，∴当时，，∴，∴点的坐标是；故答案为：；②，列表如下：1345005画出函数图像如下：由图可知：当时，或；（2）∵，∴当时，有最小值为；∵对于一切实数，若函数值总成立，∴；（3）∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为，又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，∴直线与抛物线两个交点为，直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，∴关于对称轴对称，∴，∴，∴，∴，当时，有最小值，∴．【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．27. 综合与实践定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．（1）概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________．（2）操作验证：用正方形纸片进行如下操作（如图（2））：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．试说明：矩形是1阶奇妙矩形．（3）方法迁移：用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析【解析】（1）将代入，即可求解．（2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．（4）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解．解：（1）当时，，故答案为：．（2）如图（2），连接，设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得设，则根据折叠，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴∴矩形是1阶奇妙矩形．（3）用正方形纸片进行如下操作（如图）：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接；第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．矩形是2阶奇妙矩形，理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则，设，则根据折叠，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴当时，∴矩形是2阶奇妙矩形．（4）如图（4），连接，设正方形的边长为1，设，则，设，则根据折叠，可得，，在中，，∴，在中，∴整理得，∴四边形的边长为矩形的周长为，∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值【点拨】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．。

2023年江苏省连云港市中考数学真题(答案解析)

数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.【答案】D【解析】解：6-的相反数是6．故选：D ．2.【答案】C【解析】解：选项A 、B 、D 均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项C 能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：C ．3.【答案】A【解析】解：62370000 2.3710=⨯．故选：A ．4.【答案】C【解析】解：A 选项，主视图是等腰三角形，故此选项不合题意；B 选项，主视图是梯形，故此选项不合题意；C 选项，主视图是圆，故此选项符合题意；D 选项，主视图是矩形，故此选项不合题意；故选：C ．5.【答案】B【解析】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B ．6.【答案】B【解析】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为32，∴总面积为2231614169252⎛⎫⨯+⨯=+= ⎪⎝⎭，阴影部分的面积为2239132122222⎛⎫⨯+⨯=+= ⎪⎝⎭，∴点P 落在阴影部分的概率为131322550=，故选：B ．7.【答案】D【解析】解：设快马x 天可追上慢马，由题意得()24015012x x =+故选：D ．8.【答案】D【解析】解：如图所示，连接AC ，∵矩形ABCD 内接于O ，4,5==AB BC ∴222AC AB BC =+∴阴影部分的面积是222+πππ222ABCD AB BC AC S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭矩形()2221+π4ABCD S AB BC AC ⨯+-矩形ABCDS =矩形4520=⨯=，故选：D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.【答案】5【解析】解：2=5故答案为：5．10.【答案】<【解析】解：由数轴可得0,a b a b<<>∴a b +0<11.【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）【解析】解：设第三边长为x ，由题意得：5353x -<<+，则28x <<，故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）．12.【答案】1k <【解析】解：∵关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴()224240b ac k ∆=-=-->，解得1k <．故答案为：1k <．13.【答案】()3,150︒【解析】解：根据图形可得D 在第三个圆上，OD 与正半轴的角度150︒，∴点D 的坐标可以表示为()3,150︒故答案为：()3,150︒．14.【答案】72【解析】解：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴530726DCF ∠÷=︒=︒，∴新五边形A B CD E ''''的顶点D ¢落在直线BC 上，则旋转的最小角度是72︒，故答案为：72．15.【答案】83-【解析】解：方法一：∵2cos 3OAC ∠=，∴2cos 3AD AO OAC AO AC ∠===设2AD a =，则3AO a =，∴92AC a =∵矩形OABC 的面积是6，AC 是对角线，∴AOC 的面积为3，即132AO OC ⨯=∴623OC a a==在Rt AOC 中，222AC AO OC =+即()2229232a a a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22813644a a-=解得：24515a =在Rt ADC 中，DO ==∵对角线AC x ∥轴，则AD OD ⊥，∴245822153AOD k S a ===== ,∵反比例函数图象在第二象限，∴83k =-，方法二：∵2cos 3OAC ∠=，∴2cos 3AD AO OAC AO AC ∠===设2AD a =，则3AO a =，∴92AC a =，∴24992AD a AC a ==，488226993AOD AOC S S ∴=⨯=⨯= ，∵0k <，∴83k =-，故答案为：83-．16.【答案】2-【解析】解：2254283W x xy y y x =-+-++=22244421442x xy y x y x x -++-++++-=()()()22222122x y x y x -+-+++-=()()222122x y x -+++-∵x y 、为实数，∴()()2210,20,x y x -+≥+≥∴W 的最小值为2-,故答案为：2-．三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）17.【答案】3【解析】解：原式4123=+-=．18.【答案】31x y =⎧⎨=-⎩【解析】解：3827x y x y +=⎧⎨-=⎩①②①+②得515x =，解得3x =，将3x =代入①得338y ⨯+=，解得1y =-．∴原方程组的解为3,1.x y =⎧⎨=-⎩19.【答案】4x =【解析】解：方程两边同时乘以x ﹣2得，25333(2)x x x -=---，解得：4x =检验：当4x =时，20x -≠，∴4x =是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．20.【答案】OD =3tan 3EDO ∠=【解析】在菱形ABCD 中，,2AC BD AC AO ⊥=．∵4AC =，∴2AO =．在Rt AOD 中，∵E 为AD 中点，∴12OE AD =．∵2OE =．∴4=AD ．∴OD ==∴3tan3AO EDO OD ∠===．21.【答案】（1）C （2）15；见解析（3）320人（4）答案不唯一，见解析【解析】（1）为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，应该选择从八年级所有学生中随机抽取50名学生，这样抽取的样本具有广泛性和代表性，故选：C ；（2）50525515a =---=；故答案为：15；补全条形统计图如图所示：（3）155********+⨯=（人）答：八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生约为320人．（4）本次调查大部分同学一周暑期课外阅读数量达不到3本，建议同学们多阅读，培养热爱读书的良好习惯（答案不唯一）．22.【答案】（1）14（2）716【解析】（1）解：共有4张卡片，第一次取出的卡片图案为“B 孙悟空”的概率为14故答案为：14．（2）树状图如图所示：由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A 唐僧”的结果有7种．∴P (至少一张卡片图案为“A 唐僧”）716=．答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A 唐僧”的概率为716．23.【答案】86.1m【解析】过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ．在Rt ABE △中，sin BE BAE AB∠=，∴sin 92sin 48920.7468.08m BE AB BAE =∠=︒≈⨯=．过点B 作BF CD ⊥，垂足为F ．在Rt CBF △中，sin CF CBF BC=∠，∴sin 30sin37300.6018.00m CF BC CBF =∠=︒≈⨯=．∵68.08m FD BE ==，∴68.0818.0086.0886.1m DC FD CF =+=+=≈．答：从A 处的九孔桥到C 处的二龙潭瀑布上升的高度DC 约为86.1m ．24.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）解：方法不唯一，如图所示．（2）∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠．又∵CE AB ∥，∴ABC BCF ∠=∠，∴BCF ACB =∠∠．∵点D 在以AB 为直径的圆上，∴90ADB ∠=︒，∴=90BDC ∠︒．又∵BF 为O 的切线，∴90ABF ∠=︒．∵CE AB ∥，∴180BFC ABF ∠+∠=︒，∴90BFC ∠=︒，∴BDC BFC ∠=∠．∵在BCD △和BCF △中，,,,BCD BCF BDC BFC BC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS BCD BCF ≌ ．∴BD BF =．25.【答案】（1）534（2） 3.63768(1200)y x x =->（3）26立方米【解析】（1）∵33200m 400m ＜，∴该年此户需缴纳燃气费用为：2.67200534⨯=（元），故答案为：534；（2）y 关于x 的表达式为()()400 2.671200400 3.15 3.631200y x =⨯+-⨯+- 3.63768(1200)x x =->（3）∵()400 2.671200400 3.1535883855⨯+-⨯=<，∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯．由（2）知，当3855y =时，3.637683855x -=，解得1273.6x ≈．又∵()()2.67100400 3.15120020050041703855⨯++⨯+-=>，且()2.6710040013353855⨯+=<，∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯．设乙户年用气量为3m a ．则有()2.67500 3.155003855a ⨯+-=，解得1300.0a =，∴31300.01273.626.426m -=≈．答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气．26.【答案】（1）()1,6D （2）223y x x =-++或223y x x =-+-（3）1022-，见解析【解析】（1）∵2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线1L 的顶点坐标()1,4P -．∵1m =，点P 和点D 关于直线1y =对称．∴()1,6D ．（2）由题意得，1L 的顶点()1,4P -与2L 的顶点D 关于直线y m =对称，∴()1,24D m +，抛物线()()222:124223L y x m x x m =--++=-+++．∴当0x =时，可得()0,23C m +．①当90BCD ∠=︒时，如图1，过D 作DN y ⊥轴，垂足为N ．∵()1,24D m +，∴()0,24N m +．∵()0,23C m +∴1DN NC ==．∴45DCN ∠=︒．∵90BCD ∠=︒，∴45BCM ∠=︒．∵直线l x ∥轴，∴90BMC ∠=︒．∴45,CBM BCM BM CM ∠=∠=︒=．∴()233BM CM m m m ==+-=+．∴()3,B m m +．又∵点B 在2=23y x x --图像上，∴()()23233m m m =+-+-．解得0m =或3m =-．∵当3m =-时，可得()()0,3,0,3B C --，此时B C 、重合，舍去．当0m =时，符合题意．将0m =代入22:223L y x x m =-+++，得22:23L y x x =-++．②当=90BDC ∠︒时，如图2，过B 作BT ND ⊥，交ND 的延长线于点T ．同理可得BT DT =．∵()1,24D m +，∴()244DT BT m m m ==+-=+．∵1DN =，∴()145NT DN DT m m =+=++=+．∴()5,B m m +．又∵点B 在2=23y x x --图像上，∴()()25253m m m =+-+-．解得3m =-或4m =-．∴3m =-．此时()()2,3,0,3B C --符合题意．将3m =-代入22:223L y x x m =-+++，得22:23L y x x =-+-．③当90DBC ∠=︒时，此情况不存在．综上，2L 所对应的函数表达式为223y x x =-++或223y x x =-+-．（3）如图3，由（2）知，当=90BDC ∠︒时，3m =-，此时()()2,3,0,3B C --则2BC =，CD BD ==BCD △的面积为1，不合题意舍去．当90BCD ∠=︒时，0m =，则()()3,0,0,3B C ，∴BC ==，此时BCD △的面积为3，符合题意∴CD =．依题意，四边形EFGH 是正方形，∴EF FG CD ===．取EF 的中点Q ，在Rt CEF △中可求得122CQ EF ==．在Rt FGQ 中可求得2GQ ==．∴当,,Q C G 三点共线时，CG 取最小值，最小值为1022．27.【答案】（1）244(0)4y x x =>+；（2）x 取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称，见解析；（3）①④；（4）222(0,0)y x k x k=>>+，见解析【解析】（1）在矩形ABCD 中，90ABC BCM ∠=∠=︒，∴90ABE MBC ∠+∠=︒．∵AE BM ⊥，∴90AEB ∠=︒，∴90BAE ABE ∠+∠=︒．∴,AEB BCM MBC BAE ∠=∠∠=∠．∴Rt Rt ABE BMC ∽，∴AB AE BM BC=．∵4AB =，点M 是CD 的中点，∴11222CM CD AB ===．在Rt BMC △中，BM ===，y x =．∴2444y x ==+．∴y 关于x 的表达式为：244(0)4y x x =>+．（2）x 取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称．理由如下：若(),P a b 为图像上任意一点，则2444b a =+．设(),P a b 关于原点的对称点为Q ，则(),Qa b --．当x a =-时，2444y b a ==-=-+-+．∴(),Q a b --也在244y x =+的图像上．∴当x 取任意实数时，2444y x =+的图像关于原点对称．函数图像如图所示．（3）根据函数图象可得①函数值y 随x 的增大而增大，故①正确，②由(1)可得函数值y AB <，故函数值的范围为44y -<<，故②错误；③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误；④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点A B C D 、、、，使得四边形ABCD 是平行四边形，故④正确；故答案为：①④．（4）y 关于x 的函数表达式为222(0,0)y x k x k=>>+；当0,k x ≠取任意实数时，有如下相关性质：当0k >时，图像经过第一、三象限，函数值y 随x 的增大而增大，y 的取值范围为22k y k -<<；当0k <时，图像经过第二、四象限，函数值y 随x 的增大而减小，y 的取值范围为22k y k <<-；函数图像经过原点；函数图像关于原点对称．。

2024年江苏省淮安市中考数学真题试卷

数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．）1．下列实数中，比-2小的数是A ．-1B ．0C ．2D ．-32．下列计算正确的是A ．34a a a ⋅＝B ．235a a a +＝C ．66a a a ÷＝D ．347()a a＝3．中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．如图，AB ∥CD ，点E 在直线AB 上，点F 、G 在直线CD 上，∠FEG ＝90°，∠EGF ＝28°，则∠AEF 的度数是A ．46°B ．56°C ．62°D ．72°5．用一根小木棒与两根长度分别为3cm 、5cm 的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是A ．9cm B ．7cm C ．2cm D ．1cm 6．若关于x 的一元二次方程240x x k ＝-+有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是A ．k ≥4B ．k ＞4C ．k ≤4D ．k ＜47．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l ，则下列整数与l 最接近的是A ．14B ．13C ．12D ．118．如图，在□ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，∠B ＝60°，P 是BC 边上的动点（BP >1），将△ABP 沿AP 翻折得△AB'P ，射线PB'与射线AD 交于点E ．下列说法不正确．．．的是(第8题图)CA BDPE B'（第4题图）C A B DF EG (第7题图)A ．当AB'⊥AB 时，B'A ＝B'EB ．当点B'落在AD 上时，四边形ABPB'是菱形C ．在点P 运动的过程中，线段AE 的最小值为2D ．连接BB'，则四边形ABPB'的面积始终等于12AP BB ⋅'第Ⅱ卷（非选择题共126分）二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）9．计算：182⨯＝▲．10．分解因式：216=a -▲．11．2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约380000km 的地月之间完成月壤样品的“空中接力”．数据380000用科学记数法表示为▲．12．一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球▲个．13．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC ＝50°，⊙O 半径为3，则 BC的长为▲．14．一辆轿车从A 地驶向B 地，设出发x h 后，这辆轿车离B 地路程为y km ，已知y 与x 之间的函数表达式为y ＝200–80x ，则轿车从A 地到达B 地所用时间是▲h ．15．某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，铺设方式如图1．图2是其中一块地砖的示意图，AB ＝EF ，CD ＝GH ，BC ＝FG ，BC ∥FG ，AB ∥CD ∥GH ∥EF ，部分尺寸如图所示（单位：dm ）.结合图1、图2信息，可求得BC 的长度是▲dm.16．如图，点P 是正六边形ABCDEF 的边AB 的中点，一束光线从点P 出发，照射到镜面EF 上的点Q 处，经反射后恰好经过顶点C ．已知正六边形的边长为2，则EQ ＝▲．三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写(第8题图)CA BO（第13题图）G CABDE FH 10373图1图2(第16题图）(第15题图）ABCD E PFQ出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）计算：()0tan 601+-π︒+；（2）解不等式：3223x x ≥-+．18．（本小题满分8分）先化简，再求值：2311244x x x x +⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中3x -＝．19．（本小题满分8分）已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 在BD 上，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．20．（本小题满分8分）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．21．（本小题满分8分）历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源．小明计划假期来淮安游玩，他打算从3个人文景点（A ．周恩来纪念馆；B ．吴承恩故居；C ．河下古镇）中随机选取一个，再从2个自然景点（D ．金湖水上森林；E ．铁山寺国家森林公园）中随机选取一个．（1）小明从人文景点中选中河下古镇的概率是▲；（2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率．22．（本小题满分8分）张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图：D BCAEF(第19题图)（1）根据以上数据把表格补充完整：平均数中位数众数方差极差路线一▲18▲ 2.45路线二15.6▲1118.04▲（2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由.23．（本小题满分8分）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如下图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG ＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：4sin535≈︒，3sin375≈︒，4tan533≈︒，3tan374≈︒）时间/分钟序号（第23题图）图1图2CABBCAGEGDDME24．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b ＝+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数2(0)k y x x>＝的图像交于点C ．已知点A 坐标为（–1，0），点C 坐标为（1，3）．（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）点D 在线段OB 上，过点D 且平行于x 轴的直线交AB 于点E ，交反比例函数图像于点F ．当DO ＝2ED 时，求点F 的坐标．25．（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，延长DE 交AB 的延长线于点F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若BE ＝1，3BF ＝，求sin C 的值．26．（本小题满分12分）二次函数2y ax bx c =++的图像经过点A （0，8），顶点为P ．（1）c ＝▲；（2）当14a ＝时，①若顶点P 到x 轴的距离为10，则b ＝▲；②直线m 过点（0，2b ）且垂直于y 轴，顶点P 到直线m 的距离为h ．随着b 的增大，h 的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由；（3）若二次函数图像交x 轴于B 、C 两点，点B 坐标为（8，0），且△ABC 的面积不小于20，求a 的取值范围．CABDEF O （第25题图）E yAB C OD Fx（第24题图）27．（本小题满分14分）综合与实践【问题初探】（1）某兴趣小组探索这样一个问题：若AD 是△ABC 的角平分线，则线段AB 、AC 、BD 、CD 有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空：根据小智或小勇的方法，可以得到线段AB 、AC 、BD 、CD 的数量关系是▲．【变式拓展】（2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上一点，∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，求BD CD的值．请你完成解答．【迁移应用】（3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段EF 上作一点P ，使3EP FP =．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【综合提升】（4）如图5，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，BAC ∠＝α（α<90°），点D 在AC 边上，CD ＝1，点E 在BD 的延长线上，连接EC ，BEC ∠＜＝（）ββα，请直接写出BD DE ⋅的值（用含α，β的式子表示）．小智的思路和方法：如图1，作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ．∵AD 平分∠BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴▲．∵12ABD S AB DM ∆⋅＝，12ACD S AC DN ∆⋅＝，∴ABD ACD S ABS AC∆∆＝．再用另一种方式表示△ABD 与△ACD 的面积，即可推导出结论……小勇的思路和方法：如图2，作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ．∵CE ∥AB ，∴∠BAD ＝∠E ．∴∠CAD ＝∠E ．∴▲．再通过证明△CDE ∽△BDA 得到比例式，从而推导出结论……A B CDMN 图1C A BD E图2FE CABD图3图4EABCD图5。

2023年江苏省泰州市中考数学真题(解析版)

泰州市二○二三年初中学业水平考试数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分．2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．第一部分选择题（共18分）一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 等于（）A. 2±B. 2C. 4D.【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．==．2故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．2. 书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C ．【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 若0a ≠，下列计算正确的是（）A. 0()1a −=B. 632a a a ÷=C. 1a a −=−D. 633a a a −= 【答案】A【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出答案．【详解】解：A ．0()1(0)a a −=≠，故此选项符合题意；B ．633a a a ÷=，故此选项不合题意；C ．11a a−=，故此选项不合题意； D ．6a 与3a 无法合并，故此选项不合题意．故选：A ．【点睛】合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．4. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f ，该事件的概率为P ．下列说法正确的是（）A. 试验次数越多，f 越大B. f 与P 都可能发生变化C. 试验次数越多，f 越接近于PD. 当试验次数很大时，f 在P 附近摆动，并趋于稳定【答案】D【解析】【分析】根据频率的稳定性解答即可．【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．故选：D ．【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．5. 函数y 与自变量x 的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（） x 1 2 4y 4 2 1A. ()0y ax b a =+<B. (0)a y a x =<C. 2(0)y ax bx c a ++>D. 2(0)y ax bx c a =++<【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．【详解】解：A 、若直线y ax b =+过点()()1422，，，，则422a b a b += +=，解得26a b =− = ，所以26y x =−+，当4x =时，=2y −，故()41，不在直线y ax b =+上，故A 不合题意； B 、由表格可知，y 与x 的每一组对应值的积是定值为4，所以y 是x 的反比例函数，40a =>，不合题意；C 、把表格中的函数y 与自变量x 的对应值代入2y ax bx c ++得44221641a b c a b c a b c ++= ++= ++= ，解得12727a b c = =− =，符合题意； D 、由C 可知，不合题意．故选：C ．【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．6. 菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=°，将该菱形绕顶点A 在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（）A. 3B. 2C. 1D. 2 【答案】A【解析】【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A 在平面内顺时针旋转30°，连接AC ，BD 相交于点O ，BC 与C D ′′交于点E ，根据菱形的性质推出AC 的长，再根据菱形的性质推出CD ′与CE 的长，再根据重叠部分的面积ABC D EC S S ′− 求解即可．②将该菱形绕顶点A 在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积3=．【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A 在平面内顺时针旋转30°，连接AC ，BD 相交于点O ，BC 与C D ′′交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=°，∴30CAB CAD AC BD AO CO BO DO ∠=°=∠⊥==，，，，∵2AB =，∴1DO =，AO=，∴AC =∵菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB C D ′′′，∴302D AB AD AD ′′∠=°==，，∴A ，D ，C 三点共线，∴2CD CA AD ′′=−=，又∵30ACB ∠=°，∴1D E ′=−，3CE E ′==−∵重叠部分的面积ABC D EC S S ′− ，∴重叠部分的面积)(11113322=×−×−×=；②将该菱形绕顶点A 在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积3=−故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键．第二部分非选择题（共132分）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 函数1y=x 2−中，自变量x 的取值范围是____．【答案】x 2≠【解析】【详解】解：由题意知：x -2≠0，解得x ≠2；故答案为x ≠2．8. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下3CaCO 的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为__________________．【答案】92.810−×【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a −×，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：90.0000000028 2.810−=×．故答案为：92.810−×．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a −×，其中1||10a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9. 两个相似图形的周长比为3:2，则面积比为_____________．【答案】9:4【解析】【分析】由两个相似图形，其周长之比为3:2，根据相似图形周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】解：两个相似图形，其周长之比为3:2，∴其相似比为3:2，∴其面积比为9:4．故答案为：9:4．【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．10. 若230a b −+=，则2(2)4a b b +−的值为_____________．【答案】6−【解析】【分析】由230a b −+=，可得23a b −=−，根据()2(2)422a b ba b +−=−，计算求解即可．【详解】解：由230a b −+=，可得23a b −=−，∴()2(2)442442226a b b a b b a b a b +−=+−=−=−=−，故答案为：6−．【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的运算．11. 半径为5cm 的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为____________cm ．【答案】2π【解析】【分析】根据正多边形和圆的性质，计算半径为5cm 的圆周长的五分之一即可．【详解】解：由题意得，半径为5cm 的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为5cm 的圆周长的五分之一，所以1252()5cm ππ×××=，故答案为：2π．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键．12. 七（1）班40名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为m h ，则m __________2.6（填“＞”“＝“＜”）的【答案】<【解析】【分析】根据中位数的意义解答即可．【详解】解：因为有40个数据，中位数应是数据有小到大排列第20、21个数据的平均数，由频数分布直方图可知：第15−组人数分别为5，7，12，9，7，所以第20、21个数据都在第3组，即2.0~2.5，这两个数的平均数一定小于2.6，故答案为：<．【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数的概念，能从频数分布直方图中获取有用信息，明确中位数的确定方法是解题的关键．13. 关于x 的一元二次方程2210x x +−=的两根之和为______________．【答案】2−【解析】【分析】利用根与系数的关系进行求值．【详解】解：2210x x +−=，12221b x x a+=−=−=−，故答案为：2−．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握1212bc a x x x x a +=−=，． 14. 二次函数23y x x n =++的图像与x 轴有一个交点在y 轴右侧，则n 的值可以是______（填一个值即可）【答案】3−（答案不唯一）【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求解．【详解】解：设二次函数23y x x n =++的图象与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ，的即二元一次方程230x x n ++=的根为1x 、2x ，由根与系数的关系得：123x x +=−，12x n x ⋅=，一次函数23y x x n =++的图象与x 轴有一个交点在y 轴右侧，1x ∴，2x 为异号，0n ∴<，故答案为：3−（答案不唯一）．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用． 15. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为____________里．【答案】9【解析】【分析】由AB 切圆于D ，BC 切圆于C ，连接OD ，得到OD AB OC BC ⊥⊥，，9BD BC ==里，由勾股定理求出12AC ，由tan OD BC A AD AC==，求出 4.5OD =（里），即可得到答案．【详解】解：如图，O 表示圆形城堡，由题意知：AB 切圆于D ，BC 切圆于C ，连接OD ，∴OD AB OC BC ⊥⊥，，9BD BC ==里，∵6AD =里，∴15AB AD BD =+=里，∴12AC ， ∵tan OD BC A AD AC==， ∴9612OD =， ∴ 4.5OD =（里）． ∴城堡的外围直径为29OD =（里）．故答案为：9．【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，得到tan OD BC A AD AC==，求出OD 长即可． 16. 如图，ABC 中，AB AC =，30A ∠=°，射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角()075α°<<°，与射线AB 相交于点D ，将ACD 沿射线CP 翻折至A CD ′△处，射线CA ′与射线AB 相交于点E ．若A DE ′ 是等腰三角形，则α∠的度数为______________．【答案】22.5°或45°或67.5°【解析】【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知30A A ′∠=∠=°，ACP ACP α′∠=∠=，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．【详解】解：由折叠的性质知30A A ′∠=∠=°，ACP ACP α′∠=∠=，当A D DE ′=时，30DEA A ′′∠=∠=°，由三角形外角性质得DEA A ACD A CD ′′∠=∠+∠+∠，即30302α°=°+，此情况不存在；当A D A E ′′=时，30A ′∠=°，()118030752DEA EDA ′′∠=∠=°−°=°，由三角形的外角性质得75302α°=°+，解得22.5α=°；当EA DE ′=时，30EDA A ′′∠=∠=°，∴1803030120DEA ′∠=°−°−°=°，由三角形的外角性质得120302α°=°+，解得45α=°；当A D A E ′′=时，15A DE A ED ′′∠=∠=°，的∴()11801582.52ADC A DC ∠=∠=°−°′=°， ∴1803082.567.5ACD α=∠=°−°−°=°；综上，α∠的度数为22.5°或45°或67.5°．故答案为：22.5°或45°或67.5°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （1）计算：2(3)(3)(3)x y x y x y +−+−；（2）解方程：322112x x x=−−−．【答案】（1）2618xy y +；（2）13x =- 【解析】分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；（2）方程两边都乘21x −得出2(21)3x x =−+，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：（1）2(3)(3)(3)x y x y x y +−+−222269(9)x xy y x y =++−−2222699x xy y x y =++−+ 2618xy y +；（2）322112x x x=−−−，方程两边都乘21x −，得2(21)3x x =−+，解得：13x =-，【检验：当13x=-时，210x−≠，所以分式方程的解是13x=-．【点睛】本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．18. 如图是我国2019~2022年汽车销售情况统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的_____________%（精确到1%）；这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是___________年；（2）小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．【答案】（1）26，2022年（2）不同意．理由见详解【解析】【分析】（1）将图中数据分别计算2019~2022年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比即可求解；（2）求出2021、2022年新能源汽车销售量的增长率即可求解．【小问1详解】2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：688.7100%26% 2686.4×≈，2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：352100%13% 2627.5×≈，2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：136.7100%5% 2531×≈，2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：120.6100%5% 2577×≈，∴这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年．故答案为：26，2022年；【小问2详解】不同意．理由如下：2022年新能源汽车销售量的增长率为：688.7352100%96%352−×≈，2021年新能源汽车销售量的增长率为：352136.7100%157%136.7−×≈，2022∴年新能源汽车销售量的增长率比2021年低．【点睛】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键．19. 某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌3种类型．小明、小丽2人积极报名参加，从3种类型中随机挑选一种类型．求小明、小丽选择不同类型的概率．【答案】小明、小丽选择不同类型的概率为23．【解析】【分析】用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【详解】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：共有9种等可能出现的结果，其中小明、小丽选择不同类型的有6种，所以小明、小丽选择不同类型的概率为6293=．【点睛】本题考查列表法或树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20. 如图，CD 是五边形ABCDE 的一边，若AM 垂直平分CD ，垂足为M ，且____________，____________，则____________．给出下列信息：①AM 平分BAE ∠；②AB AE =；③BC DE =．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．【答案】②③，①；证明见详解【解析】【分析】根据题意补全图形，连接AC 、AD ，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出AC AD =，在求证三角形全等得出角相等，求得BAM EAM ∠=∠，进而得出结论AM 平分BAE ∠．【详解】②③，①证明：根据题意补全图形如图所示：AM 垂直平分CD ，CM DM ∴=，AC AD =（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），在ACM △与ADM △中，AM AMAC AD CM DM == =， ()ACM ADM SSS ∴ ≌，CAM DAM ∴∠=∠，在ABC 与AED △中，AB AE AC AD BC ED == =， ()ABC AED SSS ∴ ≌，BAC EAD ∴∠=∠，又CAM DAM ∠=∠ ， BAC CAM EAD DAM ∴∠+∠=∠+∠，即12BAM EAM BAE ∠=∠=∠， AM ∴平分BAE ∠．故答案为：②③①．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．21. 阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．任务：（1）不等式260x x −−<解集为；（2）3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A .分类讨论 B .转化思想 C .特殊到一般 D .数形结合（3）请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．【答案】（1）23x −<<（2）D （3）图像见解析，不等式260x x −−<的解集为23x −<< 【解析】【分析】（1）如图1，作26y x x =−−的图像，由方法1可知，不等式260x x −−<的解集为23x −<<；（2）由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法；（3）如图2，作函数1y x =−与6y x=的图像，由图像可得，260x x −−<的解集为20x −<<，或03x <<，进而可得260x x −−<的解集．【小问1详解】的解：如图1，作26y x x =−−的图像，由方法1可知，不等式260x x −−<的解集为23x −<<，故答案为：23x −<<；【小问2详解】解：由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法，故选：D ；【小问3详解】解：如图2，作函数1y x =−与6y x=的图像，由图像可得，260x x −−<的解集为20x −<<，或03x <<，综上，260x x −−<的解集为23x −<<．【点睛】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题的关键在于理解题意并正确的作函数图象．22. 如图，堤坝AB 长为10m ，坡度i 为1:0.75，底端A 在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D 处立有高20m 的铁塔CD ．小明欲测量山高DE ，他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上，又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角α为2635°′．求堤坝高及山高DE ．（sin 26350.45′°≈，cos 26350.89′°≈，tan 26350.50′°≈，小明身高忽略不计，结果精确到1m ）【答案】堤坝高为8米，山高DE 为20米．【解析】【分析】过B 作BHAE ⊥于H ，设4BH x =，3AH x =，根据勾股定理得到510AB x ==，求得68AH BH ==，，过B 作BF CE ⊥于F ，则8EF BH BF EH ===，，设DF a =，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过B 作BHAE ⊥于H ，∵坡度i 为1:0.75， ∴设4BH x =，3AH x =，∴510AB x ==， ∴2x =，∴68AH BH ==，，过B 作BF CE ⊥于F ，则8EF BH BF EH ===，，设DF a =， ∵2635α′=°．∴2tan 26350.5DF aBFa ===′°，∴62AE a =+， ∵坡度i 为1:0.75，∴()()208621075CE AE a a =+++=：：：．，∴12a =，∴12DF =（米）， ∴12820DE DF EF =+=+=（米），答：堤坝高为8米，山高DE 为20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．23. 某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y （元）与一次性销售量x （千克）的函数关系如图所示．（1）当一次性销售800（2）求一次性销售量在10001750kg ～之间时的最大利润；（3）当一次性销售多少千克时利润为22100元？【答案】（1）当一次性销售800千克时利润为16000元；（2）一次性销售量在10001750kg ～之间时的最大利润为22500元；（3）当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．【解析】【分析】（1）用销售量×利润计算即可；（2）根据一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元求出销售单价，再乘以销售量即可列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；（3）根据（2）中解析式，令y =22100，解方程即可．【小问1详解】解：根据题意，当800x =时，()80050308002016000y =×−=×=， ∴当一次性销售800千克时利润为16000元；【小问2详解】解：设一次性销售量在10001750kg ～之间时，销售价格为()50300.0110000.0130x x −−−=−+， ∴()0.0130y x x =−+ 20.0130x x =−+()20.013000x =−−()20.01150022500x =−−+，∵0.010−<，10001750x ≤≤，∴当1500x =时，y 有最大值，最大值为22500，∴一次性销售量在10001750kg ～之间时的最大利润为22500元；【小问3详解】解：由（2）知，当1750x =时，()20.0117501500225001625022100y =−−+=<，∴当一次性销售量在10001750kg ～之间时，利润为22100元， ∴()20.0115002250022100x −−+=，解得1217001300x x ==，， ∴当一次性销售为1300或1700千克时利润为22100元．【点睛】本题考查二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．24. 如图，矩形ABCD 是一张4A 纸，其中AD =，小天用该4A 纸玩折纸游戏．游戏1 折出对角线BD ，将点B 翻折到BD 上的点E 处，折痕AF 交BD 于点G ．展开后得到图①，发现点F 恰为BC 的中点．游戏2 在游戏1的基础上，将点C 翻折到BD 上，折痕为BP ；展开后将点B 沿过点F 的直线翻折到BP 上的点H 处；再展开并连接GH 后得到图②，发现AGH ∠是一个特定的角．（1）请你证明游戏1中发现的结论；（2）请你猜想游戏2中AGH ∠的度数，并说明理由．【答案】（1）证明见详解（2）120°，理由见解析【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得AF BD ⊥，根据题意可得BAG ADB GBF ∠=∠=∠，再设AB a =，然后表示出AD 、BD ，再由锐角三角函数求出BF 即可；（2）由折叠的性质可知GBH FBH ∠=∠，BF HF =，从而可得出GBH BHF ∠=∠，进而得到BD HF ，DGH GHF ∠=∠，由（1）知AF BD ⊥，可得AF HF ⊥，在Rt GFH ∆中求出GHF ∠的正切值即可解答．【小问1详解】证明：由折叠的性质可得AF BD ⊥，90AGB ∴∠=°，四边形ABCD 是矩形，90BAD ABC ∴∠=∠=°，BAG ADB GBF ∴∠=∠=∠，AD = ，设AB a =，则AD =，BD =，sin sin BAG ADB ∴∠=∠，即BG ABAB BD=，∴BG a =，解得BG =，根据勾股定理可得AG =， cos cos GBF BAG ∠=∠，即BG AG BF AB=，∴=．解得BF =，BC AD ==， 12BF BC ∴=， ∴点F 为BC 的中点．【小问2详解】解：120AGH ∠=°，理由如下：连接HF ，如图：由折叠的性质可知GBH FBH ∠=∠，BF HF =，GBH FBH ∴∠=∠，FBH FHB ∠=∠，GBH BHF ∴∠=∠， BD HF ∴ ，DGH GHF ∴∠=∠，由（1）知AF BD ⊥，可得AF HF ⊥，90AGD ∴∠=°，设AB a，则ADBC =，BF HF ==，BG ∴，GF ∴，在Rt GFH ∆中，tan GF GHF HF ∠= 30GHF ∴∠=°，30DGH ∴∠=°，9030120AGH AGD DGH ∴∠=∠+∠=°+°=°．【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键．25. 在平面直角坐标系xOy 中，点(0)A m ，，(0)(0)B m a a m −>>，的位置和函数1(0)m y x x=>、2(0)m a y x x−=<的图像如图所示．以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，AD 边与函数1y 的图像相交于点E ，CD 边与函数1y 、2y 的图像分别相交于点G 、H ，一次函数3y 的图像经过点E 、G ，与y 轴相交于点P ，连接PH ．（1）2m =，4a =，求函数3y 的表达式及PGH △的面积；（2）当a 、m 在满足0a m >>的条件下任意变化时，PGH △的面积是否变化？请说明理由；（3）试判断直线PH 与BC 边的交点是否在函数2y 的图像上？并说明理由．【答案】（1）函数3y 的表达式为325y x =−+，PGH △的面积为12 （2）不变，理由见解析（3）在，理由见解析【解析】【分析】（1）由2m =，4a =，可得(20)A ，，()20B −，，12y x =，22y x−=，则4AB =，当2x =，1212y ==，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G，；当24y =，24x −=，解得12x =−，则142H −，；待定系数法求一次函数3y 的解析式为325y x =−+，当0x =，35y =，则()05P ，，根据()11154222PGH S =×−−×−△，计算求解即可；（2）求解过程同（1）；（3）设直线PH 的解析式为22y k x b =+，将()01P a +，，m a H a a −，，代入22y k x b =+得，2221b a m a k b a a =+ − += ，解得221b a a k a m =+ = − ，即1a x a a m y +−=+，当x m a =−，()11y a m a a a m×+=−+=−，则直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a −，，当x m a =−，21m a y m a−=−=，进而可得结论．【小问1详解】解：∵2m =，4a =，∴(20)A ，，()20B −，，12y x =，22x−=， ∴4AB =，当2x =，1212y ==，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G，；当24y =，24x −=，解得12x =−，则142H − ，；设一次函数3y 的解析式为3y kx b =+，将()21E ，，142G ，，代入3y kx b =+得，21142k b k b += += ，解得25k b =− = ， ∴325y x =−+，当0x =，35y =，则()05P ，， ∴()1111542222PGH S =×−−×−= △； ∴函数3y 的表达式为325y x =−+，PGH △的面积为12；【小问2详解】解：PGH △的面积不变，理由如下：∵(0)A m ，，(0)B m a −，，1m y x =，2m a y x−=， ∴AB a ，当x m =，11m y m ==，则()1E m ，；当1y a =，m a x =，解得m x a =，则m G a a，；当2y a =，m a a x −=，解得m a x a −=，则m a H a a −，；设一次函数3y 的解析式为113k x b y =+，将()1E m ，，m G a a ，，代入113k x b y =+得，11111mk b m k b a a += += ，解得111a k m b a=− =+ ， ∴31a x a my =−++，当0x =，31y a =+，则()01P a +，， ∴()11122PGH m m a S a a a a − =×−×+−=△； ∴PGH △的面积不变；【小问3详解】解：直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上，理由如下：设直线PH 的解析式为22y k x b =+，将()01P a +，，m a H a a − ，，代入22y k x b =+得，2221b a m a k b a a=+ − += ，解得221b a a k a m =+ = − ，∴1a x a a my +−=+，当x m a =−，()11y a m a a a m×+=−+=−， ∴直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a −，，当x m a =−，21m a y m a−=−=， ∴直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上．【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．26. 已知：A 、B 为圆上两定点，点C 在该圆上，C ∠为 AB 所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，O 中，B 、C 位于直线AO 异侧，135AOB C °∠+∠=．①求C ∠的度数；②若O 的半径为5，8AC =，求BC 的长；逆向思考（2）如图②，P 为圆内一点，且120APB ∠<°，PA PB =，2APB C ∠=∠．求证：P 为该圆的圆心；拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若90APB ∠=°，点C 在P 位于直线AP 上方部分的圆弧上运动．点D 在P 上，满足CD CA =−的所有点D 中，必有一个点的位置始终不变．请证明．【答案】（1）①45°；②（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）①根据135AOB C °∠+∠=，结合圆周角定理求C ∠的度数；②构造直角三角形；（2）只要说明点P 到圆上A 、B 和另一点的距离相等即可；（3）根据CDCA =−，CA −，利用三角形全等来说明此线段和CD 相等．【小问1详解】解：①135AOB C ∠+∠=° ，2AOB C ∠=∠， 3135C ∴∠=°，45C ∴∠=°．②连接AB ，过A 作AD BC ⊥，垂足为M ，45C ∠=° ，8AC =，ACM ∴ 是等腰直角三角形，且AM CM ==290AOB C ∠=∠=° ，OA OB =，AOB ∴ 是等腰直角三角形，AB ∴==，在直角三角形ABM 中，BM ==BC CM BM ∴=+==．【小问2详解】证明：延长AP 交圆于点N ，则C N ∠=∠，∠=∠，APB C2∴∠=∠，2APB N∠=∠+∠，APB N PBN∴∠=∠，N PBN∴=，PN PB，PA PB=∴==，PA PB PN∴为该圆的圆心．P【小问3详解】证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，，∠=°90APBC∴∠=°，45∴△是等腰直角三角形，BCE∴=，BE BC，PA PFBP AF⊥=，∴=，BA BFAF是直径，∴∠=°，90ABF∴∠=∠=°，EBC ABF90∴∠=∠，EBA CBF∴≌(SAS)EBA CBF△△，AE CF∴=，，CD CA CE CA AE=−=−=∴=，CD CF∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于−是关键．CA。

2023年江苏省无锡市中考数学真题 (解析版)

2023年无锡市初中毕业升学考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.【答案】A3=，故选：A ．2.【答案】C【解析】由题意得x-2≠0，∴x≠2．故选C ．3.【答案】D【解析】解：A 选项，当12x y =⎧⎨=⎩时，24x y +=，则12x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程24x y +=的解，不合题意；B 选项，当20x y =⎧⎨=⎩时，24x y +=，则20x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程24x y +=的解，不合题意；C 选项，当0.53x y =⎧⎨=⎩时，24x y +=，则0.53x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程24x y +=的解，不合题意；D 选项，当24x y =-⎧⎨=⎩时，20x y +=，则24x y =-⎧⎨=⎩不是二元一次方程24x y +=的解，符合题意；故选：D ．4.【答案】D【解析】解：A 选项，235a a a ⨯=，故该选项不正确，不符合题意；B 选项，2a 与3a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；C 选项，22(2)4a a -=，故该选项不正确，不符合题意；D 选项，642a a a ÷=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．5.【答案】A【解析】解：∵函数21y x =+的图像向下平移2个单位长度，∴21221y x x =+-=-，故答案为：A ．6.【答案】A【解析】解：由题意得：25.76(1) 6.58x +=．故选：A ．7.【答案】B【解析】解：由旋转性质可得：55BAC DAE ∠=∠=︒，AB AD =，∵40α=︒，∴15DAF ∠=︒，70B ADB ADE ∠=∠=∠=︒，∴85AFE DAF ADE ∠=∠+∠=︒，故选：B ．8.【答案】C【解析】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n 边形共有n 条对称轴，故④为真命题.故选：C ．9.【答案】B【解析】解：过点C 作CE AD ⊥，∵60D ∠=︒，2CD =，∴sin 60CE CD =⋅︒=过点B 作BF AD ⊥，∵AD BC ∥，∴四边形BCEF 是矩形，∴BF CE ==，需使222BM BN +最小，显然要使得BM 和BN 越小越好，∴显然点F 在线段MN 的之间，设MF x =，则1FN x =-，∴22222229232(1)334113323BM BN x x x x x ⎛⎫⎡⎤+=++-+=-+=+ ⎪-⎣⎦⎝⎭，∴当23x =时取得最小值为293．故选：B ．10.【答案】A【解析】①有3种情况，如图1，BC 和OD 都是中线，点E 是重心；如图2，四边形ABDC 是平行四边形，F 是AD 中点，点E 是重心；如图3，点F 不是AD 中点，所以点E 不是重心；①正确②当60α=︒，如图4时AD 最大，4AB =，∴2AC BE ==，BC AE ==6BD ==，∴8DE =，∴AD =≠∴②错误；③如图5，若60α=︒，C ABC BD ∽△△，∴60BCD ∠=︒，90CDB ∠=︒，4AB =，2AC =，23BC =，3OE =1CE =，∴3CD =32GE DF ==，32CF =，∴52EF DG ==，32OG =，∴723OD =≠，∴③错误；④如图6，ABC BCD ∽△△，∴CD BC BC AB =，即214CD BC =，在Rt ABC △中，2216BC x =-，∴()221116444CD x x =-=-+，∴22114(2)544AC CD x x x +=-+=--+，当2x =时，AC CD +最大为5，∴④正确．故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11.【答案】()22x -##()22x -【解析】解：244x x -+=()22x -；故答案为：()22x -．12.【答案】5610⨯【解析】解：56000006100000610=⨯=⨯．故答案为：5610⨯．13.【答案】1-【解析】解：去分母得：3(1)2(2)x x -=-，去括号得：3324x x -=-，移项得：3243x x -=-+，合并同类项得：=1x -，检验：把=1x -代入最简公分母中：20,10x x -≠-≠，∴原分式方程的解为：=1x -，故答案为：1-14.【答案】36+##36+【解析】解：∵侧面展开图是边长为6的正方形，∴底面周长为6，∵底面为正三角形，∴正三角形的边长为2作CD AB ⊥，ABC 是等边三角形，2AB BC AC ===，1AD ∴=，∴在直角ADC ∆中，CD ==，122ABC S ∴=⨯=∴该直三棱柱的表面积为6636⨯+=+，故答案为：36+．15.【答案】2y x =-（答案不唯一）【解析】解：设1k =，则y x b =+，∵它的图象经过点(20)，，∴代入得：20b +=，解得：2b =-，∴一次函数解析式为2y x =-，故答案为：2y x =-（答案不唯一）．16.【答案】8【解析】解：设门高x 尺，依题意，竿长为()2x +尺，门的对角线长为()2x +尺，门宽为24x +-=()2x -尺，∴()()22222x x x +=+-，解得：8x =或0x =（舍去），故答案为：8．17.【答案】6【解析】当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，连接AO ，ABC 为等边三角形且AO BC ⊥，则30BAO ∠=︒，∴tan tan 30BAO ∠=︒=33OB OA =，如图所示，过点,A B 分别作x 轴的垂线，交x 轴分别于点,E F ，AO BO ⊥，90BFO AEO AOB ∠=∠=∠=︒，∴90BOF AOE EAO ∠=︒-∠=∠，∴BFO OEA ∽ ，∴213BFO AOE S OB S OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴212BFO S -== ，∴3AOE S =△，∴6k =．18.【答案】910或25或212【解析】解：由(1)(5)y a x x =--，令0x =，解得：5y a =，令0y =，解得：121,5x x ==，∴()1,0A ，()5,0B ，()0,5C a ，设直线BM 解析式为y kx b =+，∴5031k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BM 解析式为1522y x =-+，当0x =时，52y =，则直线BM 与y 轴交于50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵12a >，∴552a >，∴点M 必在ABC 内部．1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线设直线AM 的解析式为y mx n=+∴031k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则直线AM 的解析式为1122y x =-①如图1，直线AM 过BC 中点，，BC 中点坐标为55,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入直线求得31102a =<，不成立；②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为1522y x =-+，AC 中点坐标为15,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，待入直线求得910a =；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为()3,0，∴直线MB 与y 轴平行，必不成立；2）、当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与ABC 一边平行，所以必有“”A 型相似，因为平分面积，所以相似比为④如图4，直线EM ∥AB ，∴CEN COA∽∴CE CN CO CA ==，∴515a a -=解得25a =；⑤如图5，直线ME ∥AC ，MN CO ∥，则EMN ACO∽∴12BE AB =，又4AB =，∴2BE =，∵53222BN =-=<，∴不成立；⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得2AE AB =∴22AE =222NE =-，tan tan MEN CBO ∠∠=，55222a =-，解得212a =；综上所述，910a =或225+或212+．三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.【答案】（1）8；（2）24y xy-+【解析】解：（1）2(3)25|4|--954=-+8=；（2）(2)(2)()x y x y x x y +---2224x y x xy=--+24y xy =-+．20.【答案】（1）11174x -+=，21174x --=；（2）13x -<<【解析】（1）2220x x +-=解：∵2,1,2a b c ===-，∴24142217b ac ∆=-=+⨯⨯=0>，∴411724b x a -±-±==解得：11174x -+=，21174x -=；（2）32251x x x +>-⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：1x >-解不等式②得：3x <∴不等式组的解集为：13x -<<21.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）证明：∵点D 、E 分别为AB AC 、的中点，∴AE CE =，DE BC ∥，∴ADE F ∠=∠，在CEF △与AED △中，ADE F AED CEF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS CEF AED ≌；（2）证明：由（1）证得CEF AED △≌△，∴A FCE ∠=∠，∴BD CF ∥，∵DF BC ∥，∴四边形DBCF 是平行四边形．22.【答案】（1）14（2）18【解析】（1）解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回，∴每张卡片抽到的概率都是14，设小明恰好抽到景区A 门票为事件A ，则1()4P A =,故答案为：14；（2）解：根据题意，画树状图如下：∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A 和景区B 门票的情况有2种，∴他恰好抽到景区A 和景区B 门票的概率为21168=；23.【答案】（1）90；10（2）七年级的平均分最高；八年级的中位数最大；九年级的众数最大【解析】（1）解：∵抽取的总人数为217%300÷=（人），∴C 组的人数为30030%90a =⨯=（人），100%7%32%30%19%2%10%m =-----=；故答案为：90，10；（2）解：七年级的平均分最高；八年级的中位数最大；九年级的众数最大．（答案不唯一）．24.【答案】（1）见解析（2）π【解析】（1）解：如图，O 为所作；；（2）解：∵PM 和PN 为O 的切线，∴OM PB ⊥，ON PN ⊥，1302MPO NPO APB ∠=∠=∠=︒，∴90OMP ONP ∠=∠=︒，∴180120MON APB ∠=︒-∠=︒，在Rt POM 中，MPO 30∠=︒，∴3tan 3033OM PM =⋅︒=⨯=，∴O 的劣弧 MN与PM PN 、所围成图形的面积PMON MONS S =-四边形扇形21201232360π⨯⨯=⨯⨯-π=．故答案为：π-．25.【答案】（1）67.5︒（2）2【解析】（1）如图，连接OD ．FD 为O 的切线，∴90ODF ∠=︒．DF AB ∥，∴90AOD ∠=︒．AD AD =，∴1452ACD AOD ∠=∠=︒． CF CD =，∴1(180)67.52F ACD ∠∠=⨯-=︒．（2）如图，连接AD ，AO OD =，90AOD ∠=︒，∴45EAD ∠=︒．45ACD ∠=︒，∴A C D E A D ∠=∠，且ADE CDA ∠=∠，∴DAE DCA ∽ ，∴DE DA DA DC=，即28DA DE DC =⋅=，∴2DA =，∴222OA OD AD ===，即半径为2．26.【答案】（1）()7022302100(3045)x x y x x ⎧-+≤≤=⎨-+<≤⎩（2）销售价格为35元/kg 时，利润最大为450【解析】（1）当2230x ≤≤时，设y 关于x 的函数表达式为y kx b =+，将点()()22,48,30,40代入得，∴22483040k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：170k b =-⎧⎨=⎩∴70y x =-+()2230x ≤≤，当3045x <≤时，设y 关于x 的函数表达式为11y k x b =+，将点()()30,40,45,10代入得，111145103040k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：112100k b =-⎧⎨=⎩∴2100y x =-+()3045x <≤，()7022302100(3045)x x y x x ⎧-+≤≤=⎨-+<≤⎩（2）设利润为w当2230x ≤≤时，22(20)(70)901400(45)625w x x x x x =--+=-+-=--+∵在2230x ≤≤范围内，w 随着x 的增大而增大，∴当30x =时，w 取得最大值为400；当3045x <≤时，22(20)(2100)214020002(35)450w x x x x x =--+=-+-=--+∴当35x =时，w 取得最大值为450450400>，∴当销售价格为35元/kg 时，利润最大为450．27.【答案】（1）8+（2）212S x =++【解析】（1）如图，连接BD 、BQ ，四边形ABCD 为菱形，∴4CB CD ==，60A C ∠=∠=︒，∴BDC 为等边三角形．Q 为CD 中点，∴2CQ =，BQ CD ⊥，∴23BQ =，QB PB ⊥．45QPB ∠=︒，∴PBQ 为等腰直角三角形，∴3PB =，62PQ = 翻折，∴90BPB ∠='︒，PB PB '=，∴26BB '=，6PE =；.同理2CQ =，∴22CC '=2QF =∴((221112222323232438222PBB CQC BB C C PBCQ S S S S ''''=-+=⨯⨯+⨯-⨯+⨯=+ 四边形梯形；（2）如图2，连接BQ 、B Q '，延长PQ 交CC '于点F ．PB x =，23BQ =，90PBQ ∠=︒，∴212PQ x =+∵1122PBQ S PQ BE PB BQ =⨯=⨯ ∴22312BQ PB BE PQ x ⨯==+，∴212QE x =+，∴222123121232121212QEB S x x x ==+++ ． 90BEQ BQC QFC ∠=∠=∠=︒，则90EQB CQF FCQ ∠=︒-∠=∠，∴BEQ QFC ~ ，∴2221323QFCBEQS CQ S QB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，∴24312QFC S x =+ ．∵122332BQC S =⨯⨯= ∴()222123433232233121212QEB BQC QFC x x S S S S x x x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎪+++⎝⎭ ．28.【答案】（1）3b =-，2c =-（2）①3；②2或175【解析】（1）∵二次函数()222y x bx c =++的图像与y 轴交于点A，且经过点B和点(C -∴()()244212b c b c =++⎨=-+解得：32b c =-⎧⎨=-⎩∴3b =-，2c =-，()2322y x x =--；（2）①如图1，过点E 作y 轴平行线分别交AB 、BD 于G 、H．∵()2322y x x =--，当0x =时，y =，∴(0,A ，∴AD =4BD =，∴AB ==，∴6cos 3BD ABD AB ∠==．∵90GFE GHB ∠=∠=︒，FGE HGB ∠=∠，∴FEG ABD ∠=∠，∴cos 3FEG ∠=，∴3EF EG =，∴3EF EG =．∵(0,A B 设直线AB 的解析式为y kx d=+∴4d k d ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得：2k d ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB解析式为22y x =-．设2232,22E m m m ⎛-- ⎝，∴2,2G m m ⎛⎝，∴22(2)22EG m m =-+=--+∴当2m =时，EG取得最大值为，EF ∴的最大值为33⨯=．②如图2，已知tan 2ABC ∠=，令AC =，则2BC =，在BC 上取点D ，使得AD BD =，∴2ADC ABC ∠=∠，设CD x =，则2AD BD x ==-，则222(2)(2)x x +=-，解得12x =，∴tan 2AC ADC CD∠==，即()tan 22ABC ∠=．如图3构造AMF FNE ∽ ，且MN x ∥轴，相似比为:AF EF ，又∵2tan tan tan 2MFA CBA FEN ∠∠∠===，设2AM a =，则2MF a =．分类讨论：ⅰ当2FAE ABC ∠=∠时，则tan 2EF FAE AF ∠==∴AMF 与FNE V 的相似比为1:22，∴224FN a ==，2242NE MF a ==，∴()6,232E a a -，代入抛物线求得113a =，20a =（舍）．∴E 点横坐标为62a =．ⅱ当2FEA ABC ∠=∠时，则tan AF FEA EF ∠==，∴相似比为，∴12FN a ==，22NE a ==，∴5,22E a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入抛物线求得13425a =，20a =（舍）．∴E 点横坐标为51725a =．综上所示，点E 的横坐标为2或175．。

2023年江苏省中考数学试卷(含解析)完美打印版

2023年江苏省中考数学试卷(含解析)完美打印版第一部分：选择题1. 以下哪个数是质数？A. 12B. 17C. 24D. 282. 已知正方形ABCD的边长为8厘米，点E是BC的中点，连接AE，则三角形AEB的面积是多少？A. 16平方厘米B. 32平方厘米C. 64平方厘米D. 128平方厘米3. 若x = 2 + √3，则下列哪个选项的值是最小的？A. x^2B. x^3C. x^4D. x^5...第二部分：填空题1. 当x = 2时，方程2x - 3 = y的解是__2. 某电视机原价8000元，打八五折后的价格是__3. 一辆车经过直线距离为150米的路程，用时2分钟，则该车的速度是__...第三部分：解答题1. 若a + b = 7，且a^2 + b^2 = 37，则a和b的值分别是多少？2. 将一张矩形卡片每个边剪去x厘米，得到一个边长为10-x的正方形，若矩形的长为2x-5厘米，宽为3x+2厘米，求x的值。

3. 已知函数f(x) = x^2 + 2x，求f(3) - f(1)的值。

...第四部分：解析第一部分题目解析1. 质数是只能被1和自身整除的数，而17无法被其他整数整除，因此答案选B. 17。

2. 三角形AEB的底边AE等于正方形的边长的一半，即AE = 8/2 = 4厘米。

三角形的高等于BC的长度，即4厘米，所以三角形AEB的面积为1/2 * 4 * 4 = 8平方厘米，答案选A. 8平方厘米。

3. 将各选项的值计算出来，然后进行比较。

选项A. x^2 = (2 + √3)^2 = 2^2 + 2 * 2 * √3 + (√3)^2 = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3。

选项B. x^3 = (2 + √3)^3 = (2 + √3)(2^2 + 3 * 2 * √3 + (√3)^2) = (2 + √3)(4 + 6√3 + 3) = (2 + √3)(7 + 6√3) = 14 + 23√3 + 18 = 32 + 23√3。

2023年江苏省徐州市中考数学真题试卷(解析版)

2023年江苏省徐州市中考数学真题试卷及答案注意事项1．本试卷共6页，考试时间120分钟．2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在本卷和答题卡的指定位置．3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共有8小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．下列事件中的必然事件是（）A．地球绕着太阳转B．射击运动员射击一次，命中靶心C．天空出现三个太阳D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯2．下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．B．C．D．5．徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示．其中，海拔为中位数的是（）A．第五节山B．第六节山C．第八节山D．第九节山6．的值介于（）A．25与30之间B．30与35之间C．35与40之间D．40与45之间7．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（）A．B．C．D．8．如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（）A．1B．2C．1或D．1或2二、填空题（本大题共有10小题，不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为________（写出一个即可）．10．“五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为________．11．若代数式有意义，则x的取值范围是_____．12．正五边形的一个外角的大小为__________度．13．关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______．14．如图，在中，若，则________°．15．如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则________°．16．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为______．17．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为_______．18．如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为_______．三、解答题（本大题共有10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：(1)；(2)．20．（1）解方程组（2）解不等式组21．为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解决下列问题：(1)此次调查的样本容量为；(2)扇形统计图中对应圆心角的度数为°；(3)请补全条形统计图；(4)若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数．22．甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？23．随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，24．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．(1)求关于的函数表达式；(2)当取何值时，四边形的面积为(3)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．25．徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，求电视塔的高度（精确到．）26．两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．27．【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：．【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_______．28．如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．(1)求点的坐标；(2)随着点在线段上运动．①的大小是否发生变化？请说明理由；②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，的面积为参考答案1．A【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．解∶ A.地球绕着太阳转是必然事件，故A正确；B.射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误；C.天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误；D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误；故选∶A．【点拨】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．A【解析】根据轴对称图形：一个图形如果沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解．解：A.是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C.既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意；D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；故选A．【点拨】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键．3．C【解析】根据数轴可直接进行求解．解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是；故选C．【点拨】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．4．B【解析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项可进行求解．解：A.，原计算错误，故不符合题意；B.，原计算正确，故符合题意；C.，原计算错误，故不符合题意；D.，原计算错误，故不符合题意；故选B．【点拨】本题主要考查同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握同底数幂的除法、幂的乘方及同底数幂的乘法是解题的关键．5．C【解析】根据折线统计图把数据按从小到大排列，然后根据中位数可进行求解．解：由折线统计图可按从小到大排列为90.7.99.2.104.1.119.2.131.8.133.5.136.6.139.6.141.6，所以海拔为中位数的是第5个数据，即为第八节山；故选C．【点拨】本题主要考查折线统计图及中位数，熟练掌握中位数的求法是解题的关键．6．D【解析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案．解∶∵．∴即，∴的值介于40与45之间．故选D．【点拨】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题关键．7．B【解析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；故选B．【点拨】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．8．D【解析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解．解：∵，∴，∵点D为的中点，∴，∵，∴，①当点E为的中点时，如图，∴，②当点E为的四等分点时，如图所示：∴，综上所述：或2；故选D．【点拨】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．9．4【解析】根据三角形三边关系可进行求解．解：设第三边的长为x，则有，即，∵该三角形的边长均为整数，∴第三边的长可以为3.4.5.6.7，故答案为4（答案不唯一）．【点拨】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．10．【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．解：将4370000用科学记数法表示为；故答案为．【点拨】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．11．##【解析】根据有意义得出，再求出答案即可．解：∵代数式有意义，∴，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，能根据有意义得出是解此题的关键．12．72【解析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．解：正五边形的一个外角的度数为：，故答案为：72．【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键．13．【解析】根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可．解：关于x的方程有两个相等的实数根，则，解得，故答案为：【点拨】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系．14．##55度【解析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解．解：∵，，，∴，，∵，∴，，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15．66【解析】连接，则有，然后可得，则，进而问题可求解．解：连接，如图所示：∵是的直径，且是的切线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：66．【点拨】本题主要考查切线的性质、圆周角、弧之间的关系，熟练掌握切线的性质、圆周角、弧之间的关系是解题的关键．16．2【解析】结合题意，根据弧长公式，可求得圆锥的底面圆周长．再根据圆的周长的公式即可求得底面圆的半径长．∵母线l长为6，扇形的圆心角，∴圆锥的底面圆周长，∴圆锥的底面圆半径．故答案为：2．【点拨】本题考查圆锥的侧面展开图的相关计算，弧长公式等知识．掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长是求解本题的关键．17．4【解析】根据题意可设点P的坐标为，则，把代入一次函数解析式中求出m的值进而求出点P的坐标，再求出k的值即可．解：∵轴于点轴于点，∴点P的横纵坐标相同，∴可设点P的坐标为，∵为的中点，∴，∵在直线上，∴，∴，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，故答案为：4．【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P的坐标是解题的关键．18．【解析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解．解：∵，∴，由折叠的性质可知，∵，∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为；故答案为．【点拨】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键．19．(1)2022(2)【解析】（1）根据零次幂、负指数幂及算术平方根可进行求解；（2）根据分式的运算可进行求解．（1）解：原式；（2）解：原式．【点拨】本题主要考查零次幂、负指数幂、分式的运算及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键．20．（1）；（2）【解析】（1）利用代入法解二元一次方程组即可；（2）求出每个不等式的解集，取每个不等式解集的公共部分即可．解：（1）把①代入②得，，解得，把代入①得，，∴；（2）解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式组的解集是．【点拨】此题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，熟练掌握相关解法是解题的关键．21．(1)450(2)(3)见解析(4)人【解析】（1）根据的人数是人，所占的比例是，据此即可求得此次调查的样本容量；（2）用类学生数除以，再乘以即可得解；（3）利用总人数减去、、三类的人数即可求得的人数，从而补全直方图；（4）利用总人数乘以对应的百分比即可求得．（1）解：，答：此次调查的样本容量为是，故答案为．（2）解：，故答案为；（3）解：补全图形如下：（4）解：（人）答：九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数共有人．【点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．【解析】根据树状图可进行求解概率．解：由题意可得如下树状图：∴甲、乙、丙三人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，则共有8种情况，其中三人选择相同景点参观共有2种，所以三人选择相同景点的概率为．【点拨】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．23．甲路线的行驶时间为．【解析】设甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶事件为，根据“甲路线的平均速度为乙路线的倍”列分式方程求解即可．解：甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶事件为，由题意可得，，解得，经检验是原方程的解，∴甲路线的行驶时间为，答：甲路线的行驶时间为．【点拨】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系列出相应的分式方程．24．(1)(2)当取1或3时，四边形的面积为10；(3)存在，最小值为8．【解析】（1）先证出四边形为正方形，用未知数x表示其任一边长，根据正方形面积公式即可解决问题；（2）代入y值，解一元二次方程即可；（3）把二次函数配方化为顶点式，结合其性质即可求出最小值．（1）解：在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形，，，四边形为正方形，在中，，，正方形的面积；不能为负，，故关于的函数表达式为（2）解：令，得，整理，得，解得，故当取1或3时，四边形的面积为10；（3）解：存在．正方形的面积；当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．【点拨】本题考查二次函数的应用．解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只需把二次函数表达式配方化为顶点式，即可求解．25．【解析】先证四边形是矩形，四边形是平行四边形，得，然后在和中，解直角三角形以及由构造方程求解即可得解．解：∵，，，，∴四边形是矩形，，∴，，，∴四边形是平行四边形，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，∴，∴，解得，∴电视塔的高度．【点拨】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是熟练解直角三角形，属于中考常考题型．26．(1)(2)①符合，图见详解；②图见详解【解析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，∴它们的面积之比为；故答案为；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A.B.C，则分别以A.B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为的关系；②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C.D.E，连接，然后分别过点C，D作的平行线，交于点F，G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：【点拨】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．27．探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用：【解析】探究发现：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案；拓展提升：延长到点C，使，证明四边形是平行四边形，由【探究发现】可知，，则，得到，即可得到结论；尝试应用：由四边形是矩形，，得到，，设，，由勾股定理得到，根据二次函数的性质即可得到答案．探究发现：结论依然成立，理由如下：作于点E，作交的延长线于点F，则，∵四边形为平行四边形，若，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；拓展提升：延长到点C，使，∵为的一条中线，∴，∴四边形是平行四边形，∵．∴由【探究发现】可知，，∴，∴，∴；尝试应用：∵四边形是矩形，，∴，，设，则，∴，∵，∴抛物线开口向上，∴当时，的最小值是故答案为：【点拨】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键．28．(1)，；(2)①的大小不变，理由见解析；②线段的长度存在最大值为；(3)【解析】（1）得，解方程即可求得的坐标，把化为顶点式即可求得点的坐标；（2）①在上取点，使得，连接，证明是等边三角形即可得出结论；②由，得当最小时，的长最大，即当时，的长最大，进而解直角三角形即可求解；（3）设的中点为点，连接，过点作于点，证四边形是菱形，得，进而证明得，再证，得即，结合三角形的面积公式即可求解．（1）解：∵，∴顶点为，令，，解得或，∴；（2）解：①的大小不变，理由如下：在上取点，使得，连接，∵，∴抛物线对称轴为，即，∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，∴，，∴是等边三角形，∴，，∵，，，，∴，，，∴，∴是等边三角形，，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又，∴是等边三角形，∴，即的大小不变；②，∵，∴当最小时，的长最大，即当时，的长最大，∵是等边三角形，∴∴，∴，∴，∴，∴，即线段的长度存在最大值为；（3）解：设的中点为点，连接，过点作于点，∵，∴四边形是菱形，∴，∵，，∴，∴，，∵的中点为点，∴，∴，∴，∵，∴，，∵的中点为点，是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴即，∴，∴，∴，∴，故答案为．【点拨】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．。

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江苏省中考数学试卷说明：1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角填写好座位号．3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B 铅笔作答、非选择题在指定位置用0.5毫米黑色水笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．2-的相反数是（） A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．计算23()a 的结果是（） A ．5aB ．6aC ．8aD ．23a3．如图，数轴上A B 、两点分别对应实数a b 、，则下列结论正确的是（） A ．0a b +> B ．0ab > C ．0a b ->D ．||||0a b ->4．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）A ．先向下平移3格，再向右平移1格B ．先向下平移2格，再向右平移1格C ．先向下平移2格，再向右平移2格D ．先向下平移3格，再向右平移2格（第3题）圆柱圆锥球正方体（第5题）图②图①商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（） A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差 7．如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 8．下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置．．上） 9．计算2(3)-= ．10x 的取值范围是．11．江苏省的面积约为102 600km 2，这个数据用科学记数法可表示为 km 2． 12．反比例函数1y x=-的图象在第象限． 13．某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程． 14．若2320a a --=，则2526a a +-= ．15．如图，一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4、5，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转A CB DF E （第7题）盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有偶数所在区域的概率为P （偶数），指针指向标有奇数所在区域的概率为P （奇数），则P （偶数） P （奇数）（填“>”“<”或“=”）．16．如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ∥．若65ABD ∠=°，则ADC ∠= ． 17．已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留π）．18．如图，已知EF 是梯形ABCD 的中位线，DEF △的面积为24cm ，则梯形ABCD 的面积为 cm 2．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算：（1）0|2|(1--++（2）2121a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭．20．（本题满分8分）某市对九年级学生进行了一次学业水平测试，成绩评定分A 、B 、C 、D 四个等第．为了解这次数学测试成绩情况，相关部门从该市的农村、县镇、城市三类群体的学生中共抽取2 000名学生的数学成绩进行统计分析，相应数据的统计图表如下：（1）请将上面表格中缺少的三个数据补充完整；（2）若该市九年级共有60 000名学生参加测试，试估计该市学生成绩合格以上（含合格）的人数． 21．（本题满分8分）一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？22．（本题满分8分）一辆汽车从A 地驶往B 地，前13路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h ，在高速公路上行驶的速度为100km/h ，A D EB CF （第16题）（第17题）（第18题）各类学生人数比例统计图（注：等第A 、B 、C 、D 分别代表优秀、良好、合格、不合格）各类学生成绩人数比例统计表汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2h ．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决的问题，并写出解答过程． 23．（本题满分10分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB DE AF DC E F ∥，∥，∥，、两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由；（2）当AB DC =时，求证：ABCD 是矩形．24．（本题满分10分）如图，已知二次函数221y x x =--的图象的顶点为A ．二次函数2y ax bx =+的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数221y x x =--的图象的对称轴上．（1）求点A 与点C 的坐标；（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数2y ax bx =+的关系式．25．（本题满分10分）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．1.73，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）AD C FE B26．（本题满分10分）（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．27．（本题满分12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y （万元）与销售量x （万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O A 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）28．（本题满分12分）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动A C DB 图① ACD B 图②F EE D CF B A 图③ E D C A B FG C 'D ' A DE C BFG α图④ 图⑤ 1日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升．13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，成本价4.5元/升．31日：本月共销售10万升．五月份销售记录（万升）点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．。