1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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高二数学之数学人教A版选修4-1课件:1.4 直角三角形的射影定理
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积 割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定 理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
【做一做2-1】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD . ◆ 全2书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
UUUBBBIAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG HISHIHSHIHSISUHHLI ISSHHUULILIHONGNAN HJHVOOJINNAGOGNNAANN JJIVAVJNJIIAALOIOTOUXI IIAANNLULIIITTOAONUUGXXIYI ANLIA
图形 语言
作用 确定成比例的线段
12
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知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析 典典例例随透透堂析析演练
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【做一做2-1】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD . ◆ 全2书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
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1.4直角三角形的射影定理课件人教新课标4
解析:如图,AB2=AD2+BD2,AB=6 AB2=BD·BC,BC=ABBD2=15.
5,由射影定理可得,
∴ CD = BC - BD = 15 - 12 = 3. 由 射 影 定 理 可 得 , AC2 =
CD·BC,AC= 3×15=3 5.
AB2 AC2
=BCDD··BBCC=BCDD=132=4.
N.因 AB= 3,BC=3,所以 AC=2 3. 在 Rt△ABC 中,由射影定理得:AB2=AE·AC ∴AE=AABC2= 23, 在 Rt△AEB 中,由射影定理得:AE2=AM·AB,
∴AM=EN=AAEB2
=
232= 3
43,
在 Rt△ADC 中,tan∠CAD=CADD= 33,∴EANN= 33,
答案:3 3 5 4∶1
考点二 利用射影定理解决证明问题 例2 如图所示,CD 垂直平分 AB,点 E 在 CD 上,DF⊥AC, DG⊥BE,F、G 分别为垂足.
求证:AF·AC=BG·BE.
【证明】 因为 CD 垂直平分 AB,所以△ACD 和△BDE 均 为直角三角形,并且 AD=BD. 又因为 DF⊥AC,DG⊥BE, 所以 AF·AC=AD2,BG·BE=DB2. 因为 AD2=DB2,所以 AF·AC=BG·BE. 【名师点评】 将原图分成两部分来看,分别在两个三角形
AE=ABcos π3= 23,则 CE=2 3- 23=3 2 3.在△ECD 中,
DE2
=
CE2
+
CD2
-
2CE·CDcos
∠
ECD
=
3
2
3
2
+
(
3 )2 -
2×3 23× 3×12=241,故 DE= 221.
1.4-直角三角形的射影定理-教学课件(人教A版选修4-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
解 在△ABC 中,设 AC 为 x, ∵AB⊥AC,AF⊥BC,又 FC=1, 根据射影定理,得 AC2=FC·BC,即 BC=x2. 再由射影定理,得 AF2=BF·FC=(BC-FC)·FC, 即 AF2=x2-1.∴AF= x2-1. 在△BDC 中,过 D 作 DE⊥BC 于 E, ∵BD=DC=1,∴BE=EC, 又∵AF⊥BC,∴DE∥AF,∴DAFE=DACC.
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 射影的概念 【例1】 如图所示,AD⊥BC,FE⊥BC.求点A、B、C、D、E、F、
G和线段AB、AC、AF、FG 在直线BC上的射影.
[思维启迪] 要求已知点和线段在直线BC上的射影,需过这些 点或线段的端点,作BC边的垂线.
课前探究学习
课堂讲练互动
解 由AD⊥BC,FE⊥BC知:AD在BC上的射影是D;B在BC上 的射影是B;C在BC上的射影是C,E、F、G在BC上的射影都是E; AB在BC上的射影是DB;AC在BC上的射影是DC;AF在BC上的射 影是DE,FG在BC上的射影是点E. 反思感悟 求点和线段在直线上的射影 (1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线,垂足即为射影; (2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线,两垂 足间的线段就是所求射影.
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛 1.应用射影定理有两个条件:一是直角三角形;二是斜边上的
高.应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量, 还可研究相似问题、比例式等问题.
课前探究学习
课堂讲练互动
2.直角三角形射影定理的逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两 边在这条边上的射影的比例中项, 那么这个三角形是直角三角形. 符 号 表 示 : 如 图 , 在 △ ABC 中 , CD⊥AB 于 D , 若 CD2 = AD·BD,则△ABC为直角三角形. 证明 ∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠BDC=90°.又∵CD2= AD·BD,即AD∶CD=CD∶BD∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD =∠BCD.又∵∠ACD+∠CAD=90°,∴∠ACB=∠ACD+ ∠BCD=∠ACD+∠CAD=90°,即△ABC为直角三角形.
高中数学第一讲四直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4-1
[思路点拨] 在直角三角形内求线段的长度,可考虑使用 勾股定理和射影定理.
(1)在Rt△ABC中,共有AC,BC,CD,AD,BD和 AB六条线段,已知其中任意两条,便可求出其余四条.
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段,若△ABC中,AB=m,∠BAC∶∠ ABC∶∠ACB=1∶2∶3,CD⊥AB于点D. 求BD,CD的长. 解:设∠BAC的度数为x, 则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3, 得∠ABC的度数为2x,∠ACB的度数为3x. 因为∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°, 所以x+2x+3x=180°,解得x=30°. 所以∠ABC=60°,∠ACB=90°. 因为AB=m,
四
直角三角形的射影定理
1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足, 叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影:线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段. (3)射影:点和线段的 正射影 简称为射影.
射影定理的有关计算
[例1] 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边 AB上的高,若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD, AC,BC的长.
3.如图,Rt△ABC中有正方形DEFG,点D, G分别在AB,AC上,E,F在斜边BC上. 求证:EF2=BE·FC. 证明:过点A作AH⊥BC于H. 则DE∥AH∥GF. ∴ADHE=BBHE,AGHF=CFHC. ∴DAEH·G2F=BBHE··CFCH. 又∵AH2=BH·CH, ∴DE·GF=BE·FC. 而DE=GF=EF,∴EF2=BE·FC.
利用射影定理证明 [例2] 如图所示,CD垂直平分AB,点E 在CD上,DF⊥AC,DG⊥BE,F,G分别为 垂足. 求证:AF·AC=BG·BE. [思路点拨] 先将图分解成两个基本图形(1)(2),再在简 单的图形中利用射影定理证明所要的结论.
(1)在Rt△ABC中,共有AC,BC,CD,AD,BD和 AB六条线段,已知其中任意两条,便可求出其余四条.
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段,若△ABC中,AB=m,∠BAC∶∠ ABC∶∠ACB=1∶2∶3,CD⊥AB于点D. 求BD,CD的长. 解:设∠BAC的度数为x, 则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3, 得∠ABC的度数为2x,∠ACB的度数为3x. 因为∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°, 所以x+2x+3x=180°,解得x=30°. 所以∠ABC=60°,∠ACB=90°. 因为AB=m,
四
直角三角形的射影定理
1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足, 叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影:线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段. (3)射影:点和线段的 正射影 简称为射影.
射影定理的有关计算
[例1] 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边 AB上的高,若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD, AC,BC的长.
3.如图,Rt△ABC中有正方形DEFG,点D, G分别在AB,AC上,E,F在斜边BC上. 求证:EF2=BE·FC. 证明:过点A作AH⊥BC于H. 则DE∥AH∥GF. ∴ADHE=BBHE,AGHF=CFHC. ∴DAEH·G2F=BBHE··CFCH. 又∵AH2=BH·CH, ∴DE·GF=BE·FC. 而DE=GF=EF,∴EF2=BE·FC.
利用射影定理证明 [例2] 如图所示,CD垂直平分AB,点E 在CD上,DF⊥AC,DG⊥BE,F,G分别为 垂足. 求证:AF·AC=BG·BE. [思路点拨] 先将图分解成两个基本图形(1)(2),再在简 单的图形中利用射影定理证明所要的结论.
1.4直角三角形的射影定理课件人教新课标2
3. 如图 1-4-6 所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, CD⊥AB 于点 D,CD=2,BD=3,则 AC=________.
图 1-4-6
【解析】 由 CD2=BD·AD 得 AD=43,
∴AB=BD+AD=3+43=133,
∴AC2=AD·AB=43×133=592,
∴AC=23 13.
求:(1)AD∶BD 的值; (2)若 AB=25 cm,求 CD 的长. 【自主解答】 (1)∵AC2=AD·AB,BC2=BD·AB, ∴ABDD··AABB=BACC22, ∴ABDD=(ABCC)2=(34)2=196, 即 AD∶BD=9∶16.
(2)∵AB=25 cm,AD∶BD=9∶16, ∴AD=295×25=9(cm). BD=1265×25=16(cm), ∴CD= AD·BD= 9×16=12(cm).
A.16 B.4 C.2 D.不确定 【解析】 由射影定理 AD·DB=CD2=42=16. 【答案】 A
2.已知:在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的
高,BC= 15 cm,BD=3 cm,则 AD 的长是( )
A.5 cm
B.2 cm
C.6 cm
D.24 cm
【解析】 ∵BC2=BD·AB, ∴15=3AB,即 AB=5, ∴AD=AB-BD=5-3=2(cm). 【答案】 B
1.解答本题的关键是利用 S△ABC=12AC·BC=12AB·CD 进 行转化.
2.在证明与直角三角形有关的问题时,常用射影定理 来构造比例线段,从而为证明三角形相似创造条件.
在本例条件不变的情况下,求证:DDEF33=ABEF. 【证明】 根据题意可得,DE=CF,CE=DF, DE2=AE·CE, DF2=BF·CF, ∴DE2·BF·CF=DF2·AE·CE, ∴DE3·BF=DF3·AE, 即DDEF33=ABEF.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[研一题] [例2] 如图所示,CD垂直平分AB,
点E在CD上,DF⊥AC,DG⊥BE,F、
G分别为垂足. 求证:AF· AC=BG· BE. 分析:本题考查射影定理的应用,以及利用分割法 分析解决问题的能力,解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形,然后分别利用射影定理求证. 返回
证明:因为 CD 垂直平分 AB, 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形,并且 AD=BD. 又因为 DF⊥AC,DG⊥BE, 所以 AF· AC=AD2, BG· BE=DB2. 因为 AD2=DB2, 所以 AF· AC=BG· BE.
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[悟一法] 运用射影定理时,要注意其成立的条件,要结合图 形去记忆定理,当所给条件中具备定理的条件时,可直
接运用定理,不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件,再运用定理.
返回
[通一类]
1.如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD 3 ⊥AB 于 D, DE⊥BC 于 E, AD= 10, 若 2 BE=2,求 BC 的长.
解:∵∠ACB=90° ,CD⊥AB, ∴BC2=BD· AB=BD· (BD+AD). 3 3 2 2 ∵AD= 10,∴BC =BD + 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB,DE⊥BC,∴BD2=BE· BC.
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∵BE=2,∴BD2=2BC,∴BD= 2BC② 将②代入①得:BC2=2BC+3 5BC, ∴BC2-2BC=3 5BC,∴(BC2-2BC)2=45BC, ∴BC4-4BC3+4BC2=45BC. ∵BC>0,∴BC3-4BC2+4BC-45=0, ∴(BC-5)(BC2+BC+9)=0. ∵BC2+BC+9≠0,∴BC-5=0,∴BC=5.
人教A版高中数学选修4-1 第一讲 四 直角三角形的射影定理 课件(共16张PPT)
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角;
根据角边角得: △CEF∽△CBA .
F
DB
播下一个行动,收获一种习惯;播下一种习惯,收获一种性格;播下一种性格,收获一种命运。思想会变成语言,语言会变成行动,行动会变成习惯,习惯会变成性格。性 制,会变成生活的必需品,不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯,因为造习惯的就是自己,结果人又成为习惯的奴隶!人生重要的不是你从哪里来,而是你 时侯,一定要抬头看看你去的方向。方向不对,努力白费!你来自何处并不重要,重要的是你要去往何方,人生最重要的不是所站的位置,而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化,任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时,必须争取主动,再占据下一个优势,这需要前瞻的决断力,需要的是智慧!世上本无移 是:山不过来,我就过去。人生最聪明的态度就是:改变可以改变的一切,适应不能改变的一切!亿万财富不是存在银行里,而是产生在人的思想里。你没找到路,不等于 什么,你必须知道现在应该先放弃什么!命运把人抛入最低谷时,往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量,谁就能获得回报;谁若自怨自艾,必会坐失良机人人都有两个 一个是心门,成功的地方。能赶走门中的小人,就会唤醒心中的巨人!要想事情改变,首先自己改变,只有自己改变,才可改变世界。人最大的敌人不是别人,而是自己, 1、烦恼的时候,想一想到底为什么烦恼,你会发现其实都不是很大的事,计较了,就烦恼。我们要知道,所有发生的一切都是该发生的,都是因缘。顺利的就感恩,不顺 寒潭,雁过而潭不留影;风吹疏竹,风过而竹不留声。”修行者的心境,就是“过而不留”。忍得住孤独;耐得住寂寞;挺得住痛苦;顶得住压力;挡得住诱惑;经得起折腾 得起责任;1提得起精神。闲时多读书,博览凝才气;众前慎言行,低调养清气;交友重情义,慷慨有人气;困中善负重,忍辱蓄志气;处事宜平易,不争添和气;对已讲 远,修身立正气;居低少卑怯,坦然见骨气;卓而能合群,品高养浩气淡然于心,自在于世间。云淡得悠闲,水淡育万物。世间之事,纷纷扰扰,对错得失,难求完美。若 陷于计较的泥潭,不能自拔。若凡事但求无愧于心,得失荣辱不介怀,自然落得清闲自在。人活一世,心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟,心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上;我们的期待在哪里?在路上,在勤劳勇敢的心路上;我们的快乐在哪里?在路上,在健康阳光的大道上;我们的朋友在哪里?在心里,在真诚友谊的 己负责;善于发现看问题的角度;不满足于现状,别自我设限;勇于承认错误;不断反省自己,向周围的成功者学习;不轻言放弃。做事要有恒心;珍惜你所拥有的,不要 美;不找任何借口。与贤人相近,则可重用;与小人为伍,则要当心;只满足私欲,贪图享乐者,则不可用;处显赫之位,任人唯贤,秉公办事者,是有为之人;身处困境 任;贫困潦倒时,不取不义之财者,品行高洁;见钱眼开者,则不可用。人最大的魅力,是有一颗阳光的心态。韶华易逝,容颜易老,浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求,便不受万象牵绊;心无牵绊,坐也从容,行也从容,故生优雅。一个优雅的人,养眼又养心,才是魅力十足的人。容貌乃天成,浮华在身外,心里满是阳光,才 随流水宁。心无牵挂起,开阔空净明。幸福并不复杂,饿时,饭是幸福,够饱即可;渴时,水是幸福,够饮即可;裸时,衣是幸福,够穿即可;穷时,钱是幸福,够用即可 困时,眠是幸福,够时即可。爱时,牵挂是幸福,离时,回忆是幸福。人生,由我不由天,幸福,由心不由境。心是一个人的翅膀,心有多大,世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行,而是我们自己。人心如江河,窄处水花四溅,宽时水波不兴。世间太大,一颗心承载不起。生活的最高境界,一是痛而不言,二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和,生命的祥和在于宁静,宁静的心境在于少欲。无意于得,就无所谓失去,无所谓失去,得失皆安谧。闹市间虽见繁华,却有名利争抢;田园间无争,却有柴 最终不过梦一场。心静,则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生,善于处理关系;普通人生,只会使用关系;不顺人生,只会弄僵关系。为人要心底坦荡,不为 不为假象所惑。智者,以别人惨痛的教训警示自己;愚者,用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容,多一份爱心;对事多一份认真,多一份责任;对己多一点要求, 可满,乐不可极,警醒自己。静能生慧。让心静下来,你才能看淡一切。静中,你才会反观自己,知道哪些行为还需要修正,哪些地方还需要精进,在静中让生命得到升华 心静下来,你才能学会放下。你放下了,你的心也就静了。心不静,是你没有放下。静,通一切境界。人与人的差距,表面上看是财富的差距,实际上是福报的差距;表面 人品的差距;表面上看是气质的差距,实际上是涵养的差距;表面上看是容貌的差距,实际上是心地的差距;表面上看是人与人都差不多,内心境界却大不相同,心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心,心会常常欢喜,总是觉得很满足,一个不感恩不满足的人,总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人,会觉得自己很幸运,有时候其 一感恩,就变得很快乐。这种感恩的心,对自己其实是有很大利益。压力最大的时候,效率可能最高;最忙碌的时候,学的东西可能最多;最惬意的时候,往往是失败的开 光临。成长不是靠时间,而是靠勤奋;时间不是靠虚度,而是靠利用;感情不是靠缘分,而是靠珍惜;金钱不是靠积攒,而是靠投资;事业不是靠满足,而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心,心会常常欢喜,总是觉得很满足,一个不感恩不满足的人,总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人,会觉得自己很幸运,有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心,对自己其实是有很大利益。压力最大的时候,效率可能最高;最忙碌的时候,学的东西可能最多;最惬意的时候,往往是失败的开始;寒冷 长不是靠时间,而是靠勤奋;时间不是靠虚度,而是靠利用;感情不是靠缘分,而是靠珍惜;金钱不是靠积攒,而是靠投资;事业不是靠满足,而是靠踏实。以平常心观不 面前,平常心就是勇敢;在利诱面前,平常心就是纯洁;在复杂的环境面前,平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世,而是一种境界,一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇,而是选择;命运不靠等待,全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强,在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老,回忆告诉你什么叫 的赞许时,心灵才会真的自由。你没那么多观众,别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气,谁都不欠你的。现在很痛苦,等过阵子回头看看,会发现其实那都不算事。 有绝交,才有至交学会宽容伤害自己的人,因为他们很可怜,各人都有自己的难处,大家都不容易。学会放弃,拽的越紧,痛苦的是自己。低调,取舍间,必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言,独立,学会妥协的同时,也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记,但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人,踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话,因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么,语言,厨艺,各种技能。注意自己的修养,你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说,即使多打几个电话也是很好的。爱父母,因为他们给了 无私的人。
人教A版高中数学选修4-1 第一讲 四 直角三角形的射影定理 课件(共16张PPT)
思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数?
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
Q ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD : CBD.
A
AD CD .即C D 2 ADgBD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
考察Rt△BDC和Rt △BCA. Q B是公共角.
∵AC2=AD·AB. ∴AC=4 .
5
同理BC2=BD·AB. ∴AC=2 5.
C DB
2. 如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
,DF⊥BC于F.
求证:△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理:
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即:
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角;
根据角边角得: △CEF∽△CBA .
F
DB
命运是不存在的,它不过是失败者拿来逃避现实的借口。 立志是事业的大门,工作是登门入室的旅程。 成功永远属于一直在跑的人。 一份耕耘,份收获,努力越大,收获越多。 成功就是你被击落到失望的深渊之后反弹得有多高。 如果惧怕前面跌宕的山岩,生命就永远只能是死水一潭。 如果把才华比作剑,那么勤奋就是磨刀石。 假如你从来未曾害怕受窘受伤害,那就是你从来没有冒过险。 如果要给美好人生一个定义,那就是惬意。如果要给惬意一个定义,那就是三五知己、谈笑风生。 只有一条路不能选择――那就是放弃。 拒绝严峻的冶炼,矿石并不比被发掘前更有价值。 不能强迫别人来爱自己,只能努力让自己成为值得爱的人。 我们要以今天为坐标,畅想未来几年后的自己。 一份信心,一份努力,一份成功;十分信心,十分努力,十分成功。 不去耕耘,不去播种,再肥的沃土也长不出庄稼,不去奋斗,不去创造,再美的青春也结不出硕果。 路,是自己走出来的;机会是自己创造出来的。 生命力的意义在于拚搏,因为世界本身就是一个竞技场。 当一个人真正觉悟的一刻,他放弃追寻外在世界的财富,而开始追寻他内心世界的真正财富。 所有的失败,与失去自己的失败比起来,更是微不足道。 如果我们一直告诫自己要开心过每一天,就是说我们并不开心。
高中数学 1.4直角三角形的射影定理课件 新人教A版选修4-1
栏
2.如图,在△ABC中,D、F分别在AC、BC上,
目
且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC.
链
接
精选ppt
7
解析:在△ABC 中,设 AC 为 x,
∵AB⊥AC,AF⊥BC,又 FC=1,根据射影定理,得 AC2=FC·BC,
即 BC=x2.再由射影定理,得 AF2=BF·FC=(BC-FC)·FC,
证明:∵CD垂直平分AB,
栏
∴△ACD和△BED均为直角三角形,并且AD=DB,
目 链
又∵DF⊥AC,DG⊥BE,
接
∴AD2=AF·AC,DB2=BG·BE,
∴AF·AC=BG·BE.
精选ppt
13
析疑难
提
能
力栏 目 链
接
精选ppt
14
例 已知CD是△ABC的高,DE⊥CA于E, DF⊥CB于F,如图所示.求证 △CEF∽△CBA.
再将线段进行代换,就可以实现等积式的证明.
证明:∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴CD2=AD·BD,∴CD4=AD2·BD2.
栏 目
又∵在 Rt△ADC 中,DE⊥AC,在 Rt△BDC 中,DF⊥BC,
链 接
∴AD2=AE·AC,BD2=BF·BC.∴CD4=AE·BF·AC·BC.
精选ppt
15
【疑难点辨析】由于射影定理得出的结论(等式)较多,
在解有复杂图形的问题时,有时因选不准题目所需的等栏
式,而使问题复杂化.
目
链
接
精选ppt
16
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1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)
3.Rt△ABC中有正方形DEFG, 点D、G分别在AB、 AC上,
E、F在斜边BC上.
求证:EF2=BE· FC.
证明:过点 A 作 AH⊥BC 于 H. 则 DE∥AH∥GF. DE BE GF FC ∴AH=BH,AH=CH. DE· GF BE· FC ∴ = . AH2 BH· CH 又∵AH2=BH· CH, ∴DE· GF=BE· FC. 而 DE=GF=EF, ∴EF2=BE· FC.
4.如图所示,设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高. 求证:CA· CD=BC· AD. 证明:由射影定理知:
CD2=AD· BD, CA2=AD· AB, BC2=BD· AB. ∴CA· CD= AD2· AB=AD· BD· BD· AB, BC· AD=AD· AB· BD. 即 CA· CD=BC· AD.
(2)图形语言: 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高, BD 则有CD2= AD· , AB AC2= AD· , AB BC2= BD· .
[例1]
如图,在Rt△ABC中,CD为
斜边AB上的高,若AD=2 cm,DB=6 cm, 求CD,AC,BC的长. [思路点拨] 在直角三角形内求线段
(1)在Rt△ABC中,共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段,已知其中任意两条,便可求出其余四条.
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段,若已知两
条可求出第三条.
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, CD是AB上的 高.已知BD=4,
AB=29,试求出图中其他未知线 段的长.
解:由射影定理,得 BC2=BD· AB, ∴BC= BD· AB= 4×29=2 29. 又∵AD=AB-BD=29-4=25. 且 AC2=AB2-BC2, ∴AC= AB2-BC2= 292-4×29=5 29. ∵CD2=AD· BD, ∴CD= AD· BD= 25×4=10.
数学人教A版选修4-1课件:1.4 直角三角形的射影定理
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.
-9-
M 四 直角三角形的射影定理
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后 用勾股定理求出CD;此外还有其他方法.
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D典例透析 IANLI TOUXI
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1.射影
从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的
正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【例2】 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分
∠ABC交AC于点E,EF⊥BC于点F.求证:EF∶DF=BC∶AC.
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长.
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴CD2=AD·DB=2×6=12,
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M 四 直角三角形的射影定理
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反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后 用勾股定理求出CD;此外还有其他方法.
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1.射影
从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的
正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫
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【例2】 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分
∠ABC交AC于点E,EF⊥BC于点F.求证:EF∶DF=BC∶AC.
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题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高.若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长.
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴CD2=AD·DB=2×6=12,
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[读教材·填要点]
1.射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这 条直线上的 正射影 . (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段, 叫做这条线段在直线上的 正射影 .
(3) 点和线段 的正射影简称为射影.
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2.射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项.
返回
[小问题·大思维] 1.线段的正射影还是线段吗?
提示:不一定.当该线段所在的直线与已知直线垂直时,
线段的正射影为一个点. 2.如何用勾股定理证明射影定理? 提示:如图,在Rt△ABC中, ∵AB2=AC2+BC2, ∴(AD+DB)2=AC2+BC2,
∴AD2+2· DB+DB2=AC2+BC2, AD·
即2AD· DB=AC2-AD2+BC2-DB2. 返回
∵AC2-AD2=CD2,BC2-DB2=CD2,
∴2AD· DB=2CD2,即CD2=AD· DB. 在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2=AD2+AD· DB =AD(AD+DB)=AD· AB, 即AC2=AD· AB. 在Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2=AD· DB+BD2 =BD(AD+DB)=BD· AB,
即BC2=BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图,在Rt△ABC中,∠ACB
=90°,CD是AB边上的高,已知BD=4, AB=29,试求BC,AC和CD的长度. 分析:本题考查射影定理与勾股定理的应用.解答 本题可由已知条件先求出AD,然后利用射影定理求BC,
AC和CD的长度.
返回
解:∵BD=4,AB=29, ∴AD=25 由射影定理得 CD2=AD· BD=25×4=100, ∴CD=10. BC2=BD· BA=4×29. ∴BC=2 29. AC2=AD· AB=25×29,∴AC=5 29.
返回
[研一题] [例2] 如图所示,CD垂直平分AB,
点E在CD上,DF⊥AC,DG⊥BE,F、
G分别为垂足. 求证:AF· AC=BG· BE. 分析:本题考查射影定理的应用,以及利用分割法 分析解决问题的能力,解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形,然后分别利用射影定理求证. 返回
证明:因为 CD 垂直平分 AB, 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形,并且 AD=BD. 又因为 DF⊥AC,DG⊥BE, 所以 AF· AC=AD2, BG· BE=DB2. 因为 AD2=DB2, 所以 AF· AC=BG· BE.
∴∠ABE+∠BAE=90°.
同理,∠H+∠HAF=90° ∴∠ABE=∠H.又∠BFG=∠HFA, ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF=FG∶AF. ∴BF· AF=FG· FH. Rt△ADB中,DF2=BF· AF,
∴DF2=FG· FH.
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射影定理常与勾股定理及三角形相似等问题结合考 查.2012年中山模拟将射影定理与勾股定理相结合,考查
其在几何相关量的计算中的应用,是高考模拟命题的一
个考向.
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[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图,在△ABC中,
D、F分别在AC、BC上,且AB⊥AC,AF ⊥BC,BD=DC=FC=1.求AC的长. [命题立意] 综合应用. 本题主要考查射影定理和勾股定理的
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解:在△ABC中,设AC为x,
3 3
整理得 x6=4.∴x= 2.∴AC= 2.
返回
Байду номын сангаас
点击下图进入“创新演练”
返回
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[悟一法] 将原图分成两部分来看,分别在两个三角形中运用 射影定理,实现了沟通两个比例式的目的,在求解此类
问题时,一定要注意对图形进行剖析.
返回
[通一类] 2.如图,AD、BE是△ABC的高,DF ⊥AB于F,交BE于G,FD的延长线 交AC的延长线于H, 求证:DF2=FG· FH.
返回
证明:∵BE⊥AC,
解:∵∠ACB=90° ,CD⊥AB, ∴BC2=BD· AB=BD· (BD+AD). 3 3 2 2 ∵AD= 10,∴BC =BD + 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB,DE⊥BC,∴BD2=BE· BC.
返回
∵BE=2,∴BD2=2BC,∴BD= 2BC② 将②代入①得:BC2=2BC+3 5BC, ∴BC2-2BC=3 5BC,∴(BC2-2BC)2=45BC, ∴BC4-4BC3+4BC2=45BC. ∵BC>0,∴BC3-4BC2+4BC-45=0, ∴(BC-5)(BC2+BC+9)=0. ∵BC2+BC+9≠0,∴BC-5=0,∴BC=5.
返回
[悟一法] 运用射影定理时,要注意其成立的条件,要结合图 形去记忆定理,当所给条件中具备定理的条件时,可直
接运用定理,不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件,再运用定理.
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[通一类]
1.如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD 3 ⊥AB 于 D, DE⊥BC 于 E, AD= 10, 若 2 BE=2,求 BC 的长.
∵AB⊥AC,AF⊥BC 又FC=1, 根据射影定理, 得AC2=FC· BC,
即BC=x2.
再由射影定理, 得AF2=BF· FC=(BC-FC)· FC,
即 AF2=x2-1.∴AF= x2-1. 在△BDC 中, D 作 DE⊥BC 于 E, 过
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∵BD=DC=1,∴BE=EC. DE DC 又∵AF⊥BC,∴DE∥AF.∴ = . AF AC x2-1 DC· AF ∴DE= = . AC x 在 Rt△DEC 中,∵DE2+EC2=DC2, x2-1 2 x2 2 2 即( ) +( ) =1 , x 2 x2-1 x4 ∴ 2 + =1. x 4
[读教材·填要点]
1.射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这 条直线上的 正射影 . (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段, 叫做这条线段在直线上的 正射影 .
(3) 点和线段 的正射影简称为射影.
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2.射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项.
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[小问题·大思维] 1.线段的正射影还是线段吗?
提示:不一定.当该线段所在的直线与已知直线垂直时,
线段的正射影为一个点. 2.如何用勾股定理证明射影定理? 提示:如图,在Rt△ABC中, ∵AB2=AC2+BC2, ∴(AD+DB)2=AC2+BC2,
∴AD2+2· DB+DB2=AC2+BC2, AD·
即2AD· DB=AC2-AD2+BC2-DB2. 返回
∵AC2-AD2=CD2,BC2-DB2=CD2,
∴2AD· DB=2CD2,即CD2=AD· DB. 在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2=AD2+AD· DB =AD(AD+DB)=AD· AB, 即AC2=AD· AB. 在Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2=AD· DB+BD2 =BD(AD+DB)=BD· AB,
即BC2=BD· AB.
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[研一题] [例1] 如图,在Rt△ABC中,∠ACB
=90°,CD是AB边上的高,已知BD=4, AB=29,试求BC,AC和CD的长度. 分析:本题考查射影定理与勾股定理的应用.解答 本题可由已知条件先求出AD,然后利用射影定理求BC,
AC和CD的长度.
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解:∵BD=4,AB=29, ∴AD=25 由射影定理得 CD2=AD· BD=25×4=100, ∴CD=10. BC2=BD· BA=4×29. ∴BC=2 29. AC2=AD· AB=25×29,∴AC=5 29.
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[研一题] [例2] 如图所示,CD垂直平分AB,
点E在CD上,DF⊥AC,DG⊥BE,F、
G分别为垂足. 求证:AF· AC=BG· BE. 分析:本题考查射影定理的应用,以及利用分割法 分析解决问题的能力,解答本题需要将原图形分割成两 个直角三角形,然后分别利用射影定理求证. 返回
证明:因为 CD 垂直平分 AB, 所以△ACD 和△BDE 均为直角三 角形,并且 AD=BD. 又因为 DF⊥AC,DG⊥BE, 所以 AF· AC=AD2, BG· BE=DB2. 因为 AD2=DB2, 所以 AF· AC=BG· BE.
∴∠ABE+∠BAE=90°.
同理,∠H+∠HAF=90° ∴∠ABE=∠H.又∠BFG=∠HFA, ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF=FG∶AF. ∴BF· AF=FG· FH. Rt△ADB中,DF2=BF· AF,
∴DF2=FG· FH.
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射影定理常与勾股定理及三角形相似等问题结合考 查.2012年中山模拟将射影定理与勾股定理相结合,考查
其在几何相关量的计算中的应用,是高考模拟命题的一
个考向.
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[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图,在△ABC中,
D、F分别在AC、BC上,且AB⊥AC,AF ⊥BC,BD=DC=FC=1.求AC的长. [命题立意] 综合应用. 本题主要考查射影定理和勾股定理的
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解:在△ABC中,设AC为x,
3 3
整理得 x6=4.∴x= 2.∴AC= 2.
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[悟一法] 将原图分成两部分来看,分别在两个三角形中运用 射影定理,实现了沟通两个比例式的目的,在求解此类
问题时,一定要注意对图形进行剖析.
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[通一类] 2.如图,AD、BE是△ABC的高,DF ⊥AB于F,交BE于G,FD的延长线 交AC的延长线于H, 求证:DF2=FG· FH.
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证明:∵BE⊥AC,
解:∵∠ACB=90° ,CD⊥AB, ∴BC2=BD· AB=BD· (BD+AD). 3 3 2 2 ∵AD= 10,∴BC =BD + 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB,DE⊥BC,∴BD2=BE· BC.
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∵BE=2,∴BD2=2BC,∴BD= 2BC② 将②代入①得:BC2=2BC+3 5BC, ∴BC2-2BC=3 5BC,∴(BC2-2BC)2=45BC, ∴BC4-4BC3+4BC2=45BC. ∵BC>0,∴BC3-4BC2+4BC-45=0, ∴(BC-5)(BC2+BC+9)=0. ∵BC2+BC+9≠0,∴BC-5=0,∴BC=5.
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[悟一法] 运用射影定理时,要注意其成立的条件,要结合图 形去记忆定理,当所给条件中具备定理的条件时,可直
接运用定理,不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件,再运用定理.
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1.如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD 3 ⊥AB 于 D, DE⊥BC 于 E, AD= 10, 若 2 BE=2,求 BC 的长.
∵AB⊥AC,AF⊥BC 又FC=1, 根据射影定理, 得AC2=FC· BC,
即BC=x2.
再由射影定理, 得AF2=BF· FC=(BC-FC)· FC,
即 AF2=x2-1.∴AF= x2-1. 在△BDC 中, D 作 DE⊥BC 于 E, 过
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∵BD=DC=1,∴BE=EC. DE DC 又∵AF⊥BC,∴DE∥AF.∴ = . AF AC x2-1 DC· AF ∴DE= = . AC x 在 Rt△DEC 中,∵DE2+EC2=DC2, x2-1 2 x2 2 2 即( ) +( ) =1 , x 2 x2-1 x4 ∴ 2 + =1. x 4