1.7.1 定积分在几何中的应用课件

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1.7.1_定积分在几何中的应用课件

如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F ¢ (x ) = f (x ) ，则
ò
b
a
f (x )dx = F (x ) | = F (b) - F (a )
b a
.
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
形的面积
y y ＝x 2
B
O
1 x
y 2＝x
(1,1)
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
y 4 C y ＝x －4
B
A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
探究（二）：直线y＝x－4与曲线
及x轴所围成图形的面积
y y ＝x －4 C 4
B
A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
S =
ò
8
0
1 2xdx - 创4 2
4
归纳小结
1.定积分在几何中的应用，主要用于求平面曲边图形的面积.解题时，一般先要画出草图，再根据图形确定被积函数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解.
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
复习巩固
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) å òa f (x )dx = nlim ? n i= 1
y
y＝f(x)

《1.7.1 定积分在几何中的应用》PPT课件(内蒙古市级优课)

四、应用提升
3．由曲线 y＝x2 与直线 y＝2x 所围成的平面图形的面积为
4 ____3____．
解析
解方程组 yy＝＝2x2x，，
得 xy＝＝00，，
x＝2， y＝4.
∴曲线 y＝x2 与直线 y＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S＝ʃ 20(2x－x2)dx＝(x2－13x3)|20 ＝(4－83)－0＝43.
定积分的简单应用
一、领会目标
考什么（考纲）
怎么考（试题）
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义.
1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解．
命题角度： (1) 知函数解析式求曲线围成图形的面积； (2) 知图形求曲线围成图形的面积； (3)知曲线围成图形的面积求参数的值．
六、作业巩固
1.求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积．
解画出图形，如图所示．
解方程组yx＝＋y＝x，2，
y＝ x， y＝－13x，
x＋y＝2，及y＝－13x，
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
五、归纳内化
1个必会关键求平面图形面积的关键是确定出被积函数和积分的上、下限； 2个必记关系
1. 当对应的曲边梯形位于x轴上方时定积分的取值为正，位于x轴下方时定积分的取值为负．
2. 当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
3种数学思想数形结合、转化与化归、函数与方程数学思想.
四、应用提升
2．曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )

高中数学 1.7.1定积分在几何中应用新人教A版选修2-2

2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
4 3 2 x 3 2|0 2 (2 3 2 x 3 2 1 2 x 2 pp t课4 件x )|8 2 1 3 6 6 3 4 2 3 6 1 8
三、小结
如何求在直角坐标系下平面图形的面积? 1.作图象 2.求交点 3.用定积分表示所求的面积 4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分
的图形的面积.
解两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
( 0 ,0 )( , 2 ,4 )( ,3 ,9 ).
y x2
0
A12
(x36xx2)dx
3
A20
(x2x36x)dx
yx36x
于是所求面积 AA 1A 2
A 02(x36xx2)dx03(x2x36x)dx
253 . 12
说明：
y x2
b
a f2(x)dx
b
a f1(x)dx
b
a [ f2(x) f1(x)]dx
ppt课件
例 1计算由两条抛物线 y2x和 yx2所围成的
图形的面积 .
解
y y
x x2
x0及x
1
两曲线的交点 (0,0) (1,1)
S=S曲边梯形 OABC-S曲边梯形 OABD
1.7.1 定积分在几何中的应用
ppt课件
2.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
a bf(x ) d x a b F '(x ) d x F (x )|b a F ( b ) F (a )
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 3.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是

( 人教A版)定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)

A.b[f(x)－g(x)]dx a
C.b|f(x)－g(x)|dx a
B.b[g(x)－f(x)]dx a
D.b[fx－gx]dx
a
解析：因为 f(x)，g(x)两条曲线上下位置关系不确定，故选 C.
答案：C
2．曲线 y＝x2 与直线 x＋y＝2 围成的图形面积为( )
A．5
9 B.2
C．4 解析：如图，解方程组y＝x2，
t 0，12
1 2
12，1
S′ －
0
＋
S
极小值
所以当t＝12时，S最小，且Smin＝14.
怎样解答与曲边图形有关的综合问题？解决与曲边图形有关的综合问题，关键是要正确分析题意，先分清是求曲边图形面积，还是利用曲边图形面积解决其他问题，再正确作出图形，确定积分区间和被积函数，然后根据条件，建立等量关系或方程进行求解．
x
∴S＝
2 x2dx＋
x0 x0
[x2－(2x0x－x02)]dx
0
2
＝112x30.
∴112x30＝112，x0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为 y＝2x－1.
因对图形特征认识不清致误
[典例] 求由抛物线 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝0 及 y＝0 所围成图形的面积 S.
[解析] 由题意，作出简图(如图)并解方程组y2＝8xy＞0 x＋y－6＝0 得 x＝2，所以 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝0 的交点坐标为(2,4)．
0
0
8x)dx. (2)应用定积分求平面图形的面积时，正确分析图形特征，将复杂的面积问题分为
几部分来求解，若更换积分变量应相应的将被积函数及积分界限均改变.
[随堂训练] 1．若 y＝f(x)与 y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x

1.7.1定积分在几何中的应用》课件

解
2 y ＝ 2 x － x ，由 2 y ＝ 2 x －4x，
得 x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
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课堂讲练互动
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题型二分割型图形面积的求解
1 【例 2】求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－3x 所围成图形的面积． [思路探索] 可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．解法一画出草图，如图所示．
y＝ x，解方程组 x＋y＝2，
x＋y＝2， y＝ x，及 1 1 y＝－ x， y＝－ x， 3 3
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
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法二若选积分变量为y，则三个函数分别为
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x2 y2 解法一设椭圆25＋16＝1 围成的面积为 S，椭圆在第一象限内围成图形的面积为 S1，则由对称性得 S＝4S1， x2 y2 在第一象限内椭圆＋＝1 的方程可化为 25 16 4 y＝ 25－x2，椭圆在第一象限内围成的面积为 5
课前探究学习
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方法点评观察是解决问题的第一要素，在法一中观察到 1 25－x dx 表示以 5 为半径的圆的面积，使定积分值很快地 4
2
求出；与方法一不同，法二考虑到椭圆的参数方程，利用三角代换求出了定积分 4 2 25 － x dx 的值．两种方法实际上都体现了 5

高中数学PPT课件-定积分在几何中的应用

S1
S2
新知探究
选x为积分变量x∈[-2,3]
(1) x [-2, 0], dA1 = (x3 - 6x - x2 )dx
(2) x [0, 3], dA2 = (x2 - x3 + 6x)dx
于是所求面积 A A A
1
2
A = 0 (x3 - 6x - x2 )dx + 3 (x2 - x3 + 6x)dx
S = S1 + S2
4
= 0
2xdx
+
8 4
2xdx -
8 4
x
-
4
dx
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数和积分的上、下限.
面积元素为[j右(y)-j左(y)]dy, 面积为
S
d
c
[右
(
y)
左(
y)]dy
新知探究
例1 计算两条抛物线
在第一象限所围图形的面积 .
首先根据题意画出曲线
的草图，在图中找出所求面积的区域，图形结合，直观
解题；其次，为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.
新知探究
x3
1 0
= 2-1=1 33 3
x x + dx
新知探究

1.7.1-定积分在几何中的应用

当a≤0时, 0 (x2 2x)dx 4 ,解得a=-1
a
3
当0<a≤2时,
a
(2x
x2 )dx
4
,解得a=2
0
3
当a>2时, 2 (2x x2 )dx a (x2 2x)dx 4 ,无解
0
2
3
故a=-1或a=2
注意 S
b
| f (x) |dx(a b)
a
若“面积为4/3”,改为“面积不超过4/3”呢? [-1,2]
S S1 S2 4
0
2xdx [
8
4
2xdx ( x 4)dx]
8
4
(0 2xdx 4 2xdx) 4 ( x 4)dx
8
8
0 2xdx 4 ( x 4)dx
22 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4x)
|84
40 3
第10页，共22页。
法2：s 8 2xdx 1 4 (8 4)
2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;
3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;
4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
作业：P58练习(2) P60A组1(1) B组1、3
名师金典：P44一层4 、P45 8
第14页，共22页。
第15页，共22页。
第16页，共22页。
练习. 求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。
解：如图：由x2-1=0得到抛物线与
x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求
y
面积如图阴影所示：
所以：
S 2 (x2 1)dx 1 (x2 1)dx

课件6：1.7.1 定积分在几何中的应用

变式探究 1：求曲线 y＝ex，y＝e－x 及直线 x＝1 所围成的图形的面积．
解：如图，由yy＝＝ee－x，x，解得交点为(0,1)，所求面积为 S＝1(ex－e－x)dx
0
＝(ex＋e－x)|10＝e＋1e－2.
变式探究 2：如图，由两条曲线 y＝x2，y＝14x2 与直线 y＝1 围成平面区域的面积是__________．
(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.
新课堂·互动探究利用定积分求平面图形的面积例 1：求抛物线 y2＝2x 和直线 y＝－x＋4 所围成的图形的面积．
解：先求抛物线和直线的交点，解方程组yy＝2＝－2xx，＋4，求出交点
【解析】y＝1 与 y＝x2 在第一象限交点 A(1,1)，y＝1 与 y＝x42在第一象限交点 B(2,1)，
由对称性可知面积 S＝201x2dx＋121dx－0214x2dx＝43.
【答案】 4
3
小结求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
a
成的曲边梯形的面积．
1.几种典型的平面图形面积的计算
(1)求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a＜b)及 y＝0 所围成平
面图形的面积 S.
主要有以下三种常见类型：
①如图①所示，f(x)＞0，bf(x)dx＞0，
a
∴S＝bf(x)dx.
a
②如图②所示，f(x)＜0，bf(x)dx＜0，
随堂练习：曲线 y＝cos x0≤x≤32π与坐标轴所围成的图形面积是(

1.7.1 定积分在几何中的应用

因此所求图形的面积
S=
5 2
(x+3)dx-
5 2
(x2-6x+13)dx
=
5 2
(-x2+7x-10)dx=
-
1 3
��3
+
7 2
��2-10��
5 2
=92.
探究一
探究二
探究三
思维辨析当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟利用定积分求不需分割型图形面积的步骤: (1)画出草图,在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象. (2)解方程组求出直线与曲线的交点坐标,以确定积分区间. (3)结合图形利用定积分表示图形的面积. (4)利用微积分基本定理求定积分,即得面积.
��
2
|13
=23
+
1 6
+
2��-
1 3
��
2
|13
=56+6-13×9-2+13
=163.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析当堂检测
(方法二)若选积分变量为 y,
则三个函数分别为 x=y2,x=2-y,x=-3y.
因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).
边形的面积就等于上边界对应的函数与下边界对应的函数的差在
[a,b]上的积分.
课前篇自主预习
【做一做2】曲线y=3x2-12与x轴围成的图形的面积为
.
解析:如图,所求面积
| S=
2 -2
[0-(3x2-12)]dx=
2 -2
(12-3x2)dx=(12x-x3

171定积分在几何中的简单应用

b
单
3
应
用建立平面直角坐标系确定抛物线方程
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为
定
y -ax2 (a 0) 代抛物线上一点入方程
积分
则有 - h -a(b)2
2
得
a

4h b2
y 0
的简
所以抛物线方程为
y

-
4h b2
x2
xhSຫໍສະໝຸດ 单于是，抛物线拱的面积为 2S 应
4
2
S2 S1
O
A 2 4
8
y
4 y 2x
y x-4
2
S1 S2
O
B 2 4
8
x
用
Ａ：s s1 s2
4 0
2x
dx

8 4
2
x
dx
-
1 2

4

4
Ｂ： s s1 - s2
8 0
2x dx - 1 4 4 2
五、巩固练习书本P58练习
定
求曲线 y sin x,
并且F’(x)=f(x),则
b
a
f
(x)dx

F(b)
-
F(a)
或
b a
f
( x)dx

F ( x) |ba
F(b) - F(a)
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
二、热身练习
定积
1
计算: 2 4 - x2dx -2
解：如图由几何意义
分的

原创1：1.7.1定积分在几何中的简单应用

曲边梯形（三条直边，一条曲边）
曲边形
面积 A=A1-A2
二、问题探究
曲边形面积的求解思路
定积分的简单应用
定积分的简单应用
2．用定积分表示阴影部分面积
例．计算由曲线
与
所围图形的面积
解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积
解方程组
得交点横坐标为
及
Ｓ＝Ｓ曲边梯形ＯＡＢＣ－Ｓ曲边梯形ＯＡＢＤ
定积分的简单应用
归纳
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
（1）画草图，求出曲线的交点坐标
（3）确定被积函数及积分区间
（4）计算定积分，求出面积
定积分的简单应用
（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积Leabharlann S1S2S1
S2
计算由曲线
直线
以及x轴
所围图形的面积Ｓ
定积分的简单应用
1.7.1定积分在几何中的简单应用
第一章：导数及其应用
1、定积分的几何意义：
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，
例．计算下列定积分
0
1
计算：
解：如图由几何意义
定积分的简单应用

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1 2 是，则 c＝________. 2 3
4.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积. 解：如图，由x2-1=0得到抛物线
与x轴的交点坐标是(-1,0)，
(1,0).所求面积如图阴影所示：
所以：)dx ( x 1)dx
o
a
y g ( x)
b x
(2)
(1)
总结：当 x∈[a， b]有 f(x)>g(x)时，由直线 x＝a， x＝b(a≠b) 和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝

f x g x dx a
b
.
例 1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 围成图形的面积 S.
探究点1
定积分在几何中的应用
类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 及x轴所围成平面图形的面积S
y
y f ( x)
y
x
y f ( x)
o
a
b
oa
(2)
c
(3)
b
x
(1)
(1) S f ( x)dx
a
b
(2) S f ( x)dx
a
b
(3) S | f ( x)dx | f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
1
C
)
－1
(x－x3)dx
3
B.
1
－1
(x3－x)dx (x－x3)dx
C．2 (x－x )dx
1 0
0 D．2 －1
2 4－ 2 ．图形的面积为________
π 5 2．曲线 y＝sinx 与直线 x＝－，x＝ π，y＝0 所围 2 4
3．若两曲线 y＝x2 与 y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
2 y x 解方程组 2 y x
y
得交点横坐标为x=0及x=1. 因此，所求图形的面积为
y
C o
y2 x
y x2
x
B
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD

1 0
xdx x dx
2 0
1
D O
y x
a c a c
c
b
c
b
曲边形面积的求解思路
y
A 0 a bX a
1
A2 b a b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
面积 A=A1-A2
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b
(a<b)所围成平面图形的面积S
y f ( x)
y g ( x)
y
y f ( x)
2 y 变形为 x 2
S ( y 4)dy
0
4
4
0
y2 dy 2
40 . 3
例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．解析作出曲线y＝8－x2，y＝x2的草图，
2 y＝8－x 2 y＝x
所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组，
得交点的横坐标为 x1＝－2 及 x2＝2. 因此，所求图形的面积为 S＝2 (8－x2)dx－2 x2dx
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y 围成的图形的面积.
x 4以及 x 轴所
y 2x
解:作出直线y=x-4,曲线 y 2x 的图象如图所示，所求面积为图中阴影部分面积.
y = 2x 解方程组 y = x - 4
S2
S1
y x4
得直线y = x - 4与曲线y = 2x交点的坐标为 8,4 .
直线y=x-4与x轴交点为(4,0). 因此，所求图形的面积为
将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
S S1 S 2
2 2 3 x2 3
4
4
0
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
8
8
2 2 3 x2 3 0
y 2x
1 ( x 4) 2 2 4
A
x
2
2 32 1 x 3 1 2 1 1 x |0 |0 . 3 3 3 3 3
【总结提升】
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)
(3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
引入2 求运动物体的位移
S1 S2
S3
y f ( x)

b
a
f ( x )dx S 1 S 2 S 3
我们已经看到，定积分可以用来计算平面
图形的面积，求运动物体的位移，事实上，
定积分有着广泛的应用，下面我们就一起学习
定积分的简单应用吧！
4
40 . 3
S1
S2
本题还有其他解法吗？
y x4
另解1：将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
S S1 S 2
(
4 0
4
0
2 xdx [
8 4
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
8 0
8
2 xdx
3 2 8 0
8
4
2 xdx) ( x 4)dx
-2
-2
1 3 ＝(8x－ x ) 3
1 3 － x 3
64 ＝ . 3
【总结提升】
(1)求不分割图形面积的步骤为：画图形；求交点 ( 以确定积分上下限 ) ；用定积分表示再计算． (2)一般原则上函数－下函数作被积函数．
1．曲线 y＝x3 与直线 y＝x 所围成图形的面积等于 ( A.
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
1.理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理.
2.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型
及方法. （重点、难点）
引入1 求平面图形的面积:
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
b x
o
y f1 ( x )
b x
a
b
a
b
A a f ( x )dx
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 1 2 40 8 x | ( x 4 x) |4 . 3 2 3
y 2x
S
S
1
2
y x4
另解2：将所求平面图形的面积看成位于y轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取 y为积分变量还需要把函数y=x-4变形为x=y+4，函数 y 2 x