函数与图形综合问题“获取信息破译法”
中考数学函数及几何型综合题解题方法
中考数学函数及几何型综合题解题方法（一）函数型综合题是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
初中已知函数有①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。
求已知函数的解析式要紧方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标差不多方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
（二）几何型综合题是先给定几何图形，依照已知条件进行运算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式（即在没有求出之前，不明白函数解析式的形式是什么）和求函数的定义域，最后依照所求的函数关系进行探究研究。
探究研究的一样类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探究两个三角形满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等；⑤探究面积之间满足一定关系求x的值等；⑥直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y=f（x）的形式。
一样有直截了当法（直截了当列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y=f（x）的形式），因此还有参数法，那个已超出初中数学教学要求。
找等量关系的途径在初中要紧有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等……求定义域要紧是查找图形的专门位置（极限位置）和依照解析式求解。
而最后的探究问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
今年的数学综合题启发我们在进行综合思维的时候要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，方程函数是工具，运算推理严谨，创新品质得提高。
函数类图象信息题的类型及解法
◆浙江函数有三种表示法：解析式法、对应值法、图象法．其中函数图象形象地表达了函数中两种变量的变化特点和变化趋势．在中考应用题中。
有一类以函数图象的形式给出已知信息的试题，我们称它为函数类图象信息题．函数类图象信息题，要求从图象的已知条件中获取数据，解答实际问题．解题的关键是解读图象，获取解题有用的数据．一、反映实际问题的图象信息题缸叫水池中有两个进水口，每个进水口进水量与时间的关系如图1中甲图所示：出水口出水量与时间的关系如乙图所示：某天0至[16点，该水池的蓄水量与时间的关系如丙图所示．有下面论断：0)o点到l点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和一个出水口；③3点到4点，关闭两个进水口，打开出水口：④5点到6点，同时打开两个进水口和一个出水V I．其中正确的论断是()．(A)①③(B)①④(c)②③(D)②④进水量出水量蓄水量田乙丙图1分析本题考查从甲、乙、丙三个图象中，通过分析O点到6点水池中蓄水量的变化．判断进水口、出水口的工作状况．先由图甲知，每个进水口每小时进水量为1个单位：由图乙知，出水口每小时出水量为2个单位．然后对图丙逐段分析：(1)0点到l点，水池蓄水量增]J i l l个单位，这说明只打开一个进水口．不可能是打开两个进水口．关闭出水口．故判断①错误．张尧f(2)1点到3点，水池蓄水量保持不变，可能是同时关闭进水口和出水口，也可能是同时打开两个进水口，一个出水口．故判断②正确．(3)3点到4点，水池蓄水量减少1个单位，可能是打开一个进水口和一个出水口。
不可能是关闭两个进水口，打开出水l Sl。
故判断③错误．(4)5点到6点，水池蓄水量保持不变，可能是同时关闭进、出水口，也可能是同时打开两个进水口和一个出水口．故判断④正确．综上分析，选(D)．回甲、乙两人从A地出发，开车在同一条路上行驶到距A地200千米的B地．他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间￡(小时)之间图2的函数关系的图象如图2所示．根据图中提供的信息，不符合图象描述的说法是()．(A)乙比甲晚出发半小时(B)乙比甲先到达B地(C)乙在行驶过程中没有追上甲(D)乙的行驶速度比甲的行驶速度大分析由图象信息知。
数学函数与图像题解题要点与技巧
数学函数与图像题解题要点与技巧一、引言数学函数与图像是中学数学中的重要内容，也是高考数学中的常见考点。
解题时，我们需要掌握一些解题要点与技巧，才能更好地应对各种题型。
本文将从函数的定义、函数的性质以及图像的特征等方面，介绍数学函数与图像题解题的要点与技巧。
二、函数的定义与性质1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
数学上，函数可以用公式、表格、图像等形式来表示。
在解题过程中，我们需要根据题目中给出的条件，确定函数的定义域、值域以及函数的性质。
2. 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等。
在解题时，我们需要根据函数的性质，推导出一些重要的结论，从而解决问题。
例如，对于奇函数，如果函数在原点对称，则可以得到函数的对称性质，从而简化解题过程。
三、图像的特征与解题技巧1. 图像的平移图像的平移是指将函数的图像沿着坐标轴的方向进行移动。
在解题时，我们可以利用图像的平移性质，简化解题过程。
例如，对于函数y=f(x)+a，如果我们知道函数f(x)的图像，可以通过将图像上的每个点向上（或向下）平移a个单位，得到新函数y=f(x)+a的图像。
2. 图像的伸缩图像的伸缩是指将函数的图像在坐标轴的方向上进行拉伸或压缩。
在解题时，我们可以利用图像的伸缩性质，简化解题过程。
例如，对于函数y=kf(x)，如果我们知道函数f(x)的图像，可以通过将图像上的每个点的纵坐标乘以k，得到新函数y=kf(x)的图像。
3. 图像的对称图像的对称是指函数的图像关于某个直线或点对称。
在解题时，我们可以利用图像的对称性质，简化解题过程。
例如，对于函数y=f(-x)，如果我们知道函数f(x)的图像，可以通过将图像上的每个点关于y轴对称，得到新函数y=f(-x)的图像。
4. 图像的判断在解题时，我们需要根据函数的性质和图像的特征，判断函数的增减性、极值点、零点等。
例如，对于函数y=f(x)，如果我们知道函数的图像是递增的，那么函数的增减性就很容易判断；如果我们知道函数的图像在某个点上方，那么该点就是函数的极小值点。
2013中考数学函数及几何型综合题解题方法
中考数学--------四大考试题型解题方法指导针对中考数学，分别从选择题解题技巧、填空题解法指导、压轴题突破方法、填空题解题方法等四个方面进行详细讲解。
一、中考数学选择题的解法技巧1、排除法。
是根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下唯一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。
排除法是解选择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
2、特殊值法。
即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。
用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。
此类问题通常具有一个共性：题干中给出一些一般性的条件，而要求得出某些特定的结论或数值。
在解决时可将问题提供的条件特殊化。
使之成为具有一般性的特殊图形或问题，而这些特殊图形或问题的答案往往就是原题的答案。
利用特殊值法解答问题，不仅可以选用特别的数值代入原题，使原题得以解决而且可以作出符合条件的特殊图形来进行计算或推理。
3、通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果。
这类方法在近年来的中考题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。
二、中考数学填空题解法指导中考数学填空题与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。
但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。
考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。
但在考查同样内容时，难度一般比选择题略大。
中考填空题主要题型：一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度，后者考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度。
函数图像与应用题解法
函数图像与应用题解法函数图像是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们直观地理解和分析函数的性质。
在本文中，我们将探讨函数图像的意义以及如何应用函数图像进行问题解答的方法。
函数图像是指将函数的输入值和输出值绘制成一条曲线或者点的集合。
通过观察函数图像，我们可以获得关于函数的很多有用信息。
例如，函数图像的斜率可以告诉我们函数的变化趋势，曲线的凹凸性可以告诉我们函数的曲率，和交点的位置可以提供函数的零点等等。
因此，函数图像是分析函数性质的一个重要工具。
在应用题中，函数图像的使用尤为重要。
当我们遇到一个与函数有关的实际问题时，我们可以通过绘制函数图像来帮助我们更好地理解和解决问题。
例如，假设我们遇到一个求解方程的问题，我们可以通过函数图像的绘制来找到方程的解。
首先，我们可以将方程转化为函数的形式，然后绘制函数图像。
通过观察函数图像的交点和曲线的特征，我们可以找到方程的解。
另外，函数图像还可以帮助我们分析函数的最大值和最小值。
当我们需要求解一个函数的极值问题时，我们可以观察函数图像的走势，并找到函数的最大值和最小值所对应的输入值。
此外，函数图像还可以帮助我们分析函数的周期性。
当我们遇到一个周期性问题时，我们可以通过绘制函数图像来确定函数的周期和周期内的特征。
通过应用题解决方法中使用函数图像，我们可以更直观地理解问题，并且能够更清楚地看到问题的关键点。
这样，我们就能够更快速地找到问题的解决方法，并且可以更准确地回答问题。
在具体的问题解答过程中，我们需要注意一些细节。
首先，我们需要选择合适的函数绘制工具，如图形计算器或者数学软件。
这些工具可以帮助我们绘制函数图像，并提供一些附加的功能，如求解函数的零点、最大值和最小值等等。
其次，我们需要注意函数图像的缩放和坐标轴的设置。
合适的缩放和坐标轴设置可以让我们更清晰地观察函数图像，并帮助我们更好地分析问题。
总之，函数图像是解决数学问题的重要工具。
我们可以通过函数图像来直观地理解和分析问题，并且可以更快速地找到问题的解决方法。
六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题
六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af(x)2＋bf(x)＋c(a≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．[例1]已知函数y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．[解]y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2＝(e x＋e－x)2－2a(e x＋e－x)＋2a2－2.令t＝e x＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2.因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时，y min＝f(2)＝2(a－1)2；当a>2时，y min＝f(a)＝a2－2.[点评]利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[例2]设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是________．[解析]因为a，b∈R，a2＋2b2＝6，所以令a＝6cos α，2b＝6sin α，α∈R.则a＋b＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)，所以a＋b的最小值是－3.[答案]－3[点评]在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R，这是由条件a，b∈R得到的．3．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)，a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)． [例3] 函数f (x )＝1x ＋41－x(0<x <1)的最小值为________． [解析] f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x (1－x )＝3x ＋1－x 2＋x， 令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)， f (x )变为g (t )＝t－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ＋5， 因为t ∈(1,4)，所以5>t ＋4t ≥4,0<－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ＋5≤1，9－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ＋5≥9，所以f (x )的最小值为9.[答案] 9[点评] 利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造基本不等式．4．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现．[例4] 已知函数f (x )＝x ln x ，则函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值为________．[解析] 因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ①当0<t <t ＋2<1e时，t 无解； ②当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e；③当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t . 所以f (x )min ＝⎩⎨⎧ －1e ，0<t <1e ，t ln t ，t ≥1e .[答案] f (x )min ＝⎩⎨⎧ －1e ，0<t <1e ，t ln t ，t ≥1e[点评] 本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏．5．导数法设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f (a )，f (b )中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．[例5] 函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________，________.[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－3，所以令f ′(x )＝0，得x ＝－1(舍正)．又f (－3)＝－17，f (－1)＝3，f (0)＝1，易得，f (x )的最大值为3，最小值为－17.[答案] 3 －17[点评] (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：一是求函数在(a ，b )内的极值，二是求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )，三是比较上述极值与区间端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值点及最小值点必在以下各点中取得，导数为零的点，导数不存在的点及区间端点．6．数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．[例6] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x ∈R )的最小值是________．[解析] 由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，解得x ≥12. 所以f (x )＝⎩⎨⎧ |x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图象如图所示．由图形，易知当x ＝12时，函数有最小值，所以 f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12＋1＝32.[答案] 32[点评] 用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解．二、巧用数形结合妙解3类求参数问题数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法．通过“以形助数，以数辅形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值．通过以下三个方面体会数形结合思想的运用．1．通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)[解析] 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.[答案] C[点评] 通过图形可以发现a ，b ，c 所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab ＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．2.通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围[例2] 已知m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋2(m 2＋1)x ＋7，g (x )＝－(2m 2－m ＋2)x ＋m .(1)设函数p (x )＝f (x )＋g (x )．如果p (x )＝0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数m 的取值范围；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )，x ≥0，g (x )，x <0，是否存在m ，对于任意非零实数a ，总存在唯一非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为p (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2＋mx ＋7＋m ，令p (x )＝0，①因为方程①在(1,5)内有实数解，且没有重根，由p (x )＝0，得m ＝－x 2＋7x ＋1＝－(x ＋1)2－2(x ＋1)＋8x ＋1＝2－(x ＋1)－8x ＋1， 因为1<x <5，令t ＝x ＋1，则2<t <6，如图所示，所以－163<m ≤2－4 2. 当m ＝2－42时，p (x )＝0有两个相等的根，所以实数m 的取值范围是－163<m <2－4 2. (2)由题意，得当x ≥0时，h (x )＝x 2＋2(m 2＋1)x ＋7，h (x )在区间[0，＋∞)上单调递增； 当x <0时，h (x )＝－(2m 2－m ＋2)x ＋m ，h (x )在区间(－∞，0)上单调递减．记A ＝{h (x )|x ≥0}，B ＝{h (x )|x <0}，则A ＝[7，＋∞)，B ＝(m ，＋∞)．(ⅰ)若∀a >0时，如图(1)知，由于h (x )在(0，＋∞)上是增函数，若存在非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )，则b <0，且A ⊆B ，即m ≤7；(ⅱ)若∀a <0时，如图(2)知，由于h (x )在(－∞，0)上是减函数，若存在非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )，则b >0，且B ⊆A ，即m ≥7.综合(ⅰ)(ⅱ)，知所求m ＝7.现在证明充要性：①必要性：由求解过程知必要性成立；②充分性：当m ＝7时，A ＝B ，对于∀a ≠0，则∃b (b ≠a ，且ab <0)，使得h (a )＝h (b )．[点评] 第(1)问含有参数的二次方程或分式方程在区间(1,5)内有解且无重根，纯粹从数的角度去理解是相当困难的，通过分离变量，把方程化归为函数m ＝－x 2＋7x ＋1(1<x <5)，再通过换元画出函数的图象，方程在区间内有解的条件就非常容易得出了．第(2)问的解题思路也是在“形”指点下进行的，对于∀a >0，存在b ≠a ，使得h (a )＝h (b )的条件是m ≤7；反过来，对于∀a <0，存在b ≠a ，使得h (a )＝h (b )的条件是m ≥7.3．通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围[例3] 如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图象与函数y ＝k (x －2)＋4的图象有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．[解析] 函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋(y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋4－x 2的图象是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图象如图所示，易得实数k 的范围是⎝⎛⎦⎤512，34.[答案] ⎝⎛⎦⎤512，34[点评] 函数y ＝1＋4－x 2的图象是半圆，像这样由圆或圆锥曲线的部分图形构成的函数图象，在基本初等函数中没有涉及，应该把它和对勾函数y ＝x ＋1x作为“基本初等函数”来掌握．典例3的等价命题是方程式4－x 2＝3＋k (x －2)在[－2,2]上有两个不同的实根，求实数k 的取值范围．。
图形转化技巧：破解解题迷题之门钥匙
图形转化技巧：破解解题迷题之门钥匙通过图形分析转化技巧找到解题的突破口，主要依赖于对图形的深入理解和灵活运用。
以下是一些具体的步骤和方法：1.2.理解问题背景：首先，确保你完全理解问题的背景和要求。
弄清楚需要解决的核心问题是什么，以及问题的限制条件。
3.4.5.识别关键信息：从问题中提取关键信息，这些信息通常是与图形有关的。
例如，在几何问题中，关键信息可能包括点的位置、线的长度、角的大小等。
6.7.8.构建图形模型：根据问题的要求和关键信息，构建一个图形模型。
这个模型可以是二维的或三维的，取决于问题的性质。
图形模型应该能够直观地反映问题的主要特征。
9.10.11.分析图形特性：一旦有了图形模型，就可以开始分析图形的特性。
这包括观察图形的对称性、周期性、连续性、变化趋势等。
这些特性往往能够为你提供解题的线索。
12.13.14.运用图形变换：尝试对图形进行变换，如平移、旋转、缩放等。
这些变换可能会揭示出隐藏在图形中的规律或关系，从而帮助你找到解题的突破口。
15.16.17.结合代数方法：图形分析并不总是独立的，经常需要与代数方法相结合。
例如，在几何问题中，你可能需要使用代数方程来表示图形的某些性质或关系。
通过解这些方程，你可以找到图形中的关键参数或位置。
18.19.20.反复尝试和修正：如果初始的图形模型或分析方法不起作用，不要气馁。
尝试不同的图形表示或变换方法，反复尝试和修正，直到找到解题的突破口。
21.22.23.记录和反思：在解题过程中，记录你的图形分析和转换过程。
在找到解题突破口后，回顾和总结你的解题过程，分析哪些图形分析技巧起了关键作用，以便在将来的解题中更好地运用这些技巧。
24.综上所述，通过图形分析转化技巧找到解题的突破口需要综合运用图形直觉、图形模型构建、图形特性分析、图形变换以及代数方法等多种技巧。
通过不断的实践和反思，你可以逐渐提高自己在解题中运用图形分析转化技巧的能力。
从函数图象中获取信息解读
预祝：二零零九年数学年会圆满成功！从函数图象中获取信息专题复习授课教师：国防科大附中陈石指导单位：国防科大附中数学组二零零九年十二月十九日本教案还存在许多不足，请各位老师提出宝贵的意见！谢谢指导！课题：从函数图象中获取信息—专题复习授课教师：国防科大附中陈石指导单位：国防科大附中数学组一、教材分析《从函数图象中获取信息》这节着重培养学生的识图能力，能对所给图象信息进行识别与分析，从而解决简单的实际问题。
因此教材的重点放在将图形与文字语言建立对应关系，从而直接从图象上获取相应的解答。
同时告诉我们有关一次函数图象的某些特征，确定解析式。
教材中重视这两个环节，可提示学生从数、形两个方面进行探讨，为下一节用函数观点看方程（组）与不等式的学习打下良好的基础。
二、教学目标知识与技能目标：1．关注图象中特定点表示的信息, 求出各段的表达式,从而理解整个过程.同时注意领悟数形结合的思想；2．能根据所给信息确定一次函数表达式.能运用数形结合的思想探索问题，发现问题；3．注意认真理解题意，并和图象中的信息相结合，提高综合解题的能力。
过程与方法目标：1．经历通过函数图象获取信息的过程，培养学生数形结合的意识，发展学生形象思维能力；2．经历利用函数图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。
情感与态度目标：1．经历对实际问题的解决过程在合作与交流活动中发展学生的合作意识和能力；2．经历从不同角度去观察、分析、思考、体验解决问题的多样性的过程，获得成功的体验，树立学习的信心。
三、教学重点、难点：1．结合实际问题的讲练，培养学生收集、选择、处理函数信息，并作出合理的推断或大胆的猜测的能力；2．使学生能够熟练地求出实际问题中一次函数的解析式。
四、教学过程：创设情境，引入新课精心设置一个问题情景去激发学生的兴趣和求知欲，从而激励学生去探索、发现，充分调动学生的积极性。
复习课更需要情境创设去激发学生的学习兴趣。
实践活动一：找一找：用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，下面哪个图形与 “龟兔赛跑”的故事情节相吻合？议一议：从图上你能获取哪些具体信息？设计意图：通过这个活动的讲解，使学生知道识图的几种方法：（1） 图形与文字语言建立对应关系，从而直接从图象上获取相应的解答； （2） 理解横、纵坐标分别表示的的实际意义，分清变量之间的关系。
(完整版)函数图象题解题思路与方法
函数图象题解题思路与方法简述：要解决以行程问题为背景的一次函数应用题，并用图象给出了相关信息类问题，简单来说有以下几种思路与解决方法：第一，必须读懂图象：1.两坐标轴表示的实际意义分别是什么。
2．图象的每一段的实际意义是什么。
3．图象的交点或拐点的实际意义是什么。
4．图象与两坐标轴的交点的实际意义是什么。
第二，借助行程图，是解决此类问题的关键：只有借助行程图，才能弄清每一过程中y与x的函数关系，从而各个击破．第三，应注意图象的各段对应的函数解析式中自变量的取值范围。
下面以具体题目来说明这几种方法的运用：例：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为(Km)，出租车离甲地的距离为(Km)，客车行驶的时间为x (h)，与的函数关系如图1所示．（1）根据图象直接写出，与x的函数关系式；（2）分别求出当x＝3，x＝5，x＝8时，两车之间的距离；（3）若设两车之间的距离为s (Km)，请写出s关于x的函数关系式；（4）甲乙两地间有M、N两个加油站，相距200 Km，若客车进入M站加油时，出租车恰好进入N站加油，求M加油站到甲地的距离．解析：（1）由图1知，客车离甲地的距离与时间x成正比例函数关系（直线AB过原点），出租车离甲地的距离与时间x成一次函数关系（直线CD不过原点）．故设＝x （0≤x≤10），＝x＋（0≤x≤6），将点（10，600）代入＝x，点（6，0）和（0，600）代入＝x＋，易求得，与x的函数关系式为：＝60x（0≤x≤10）①，＝－100x＋600（0≤x≤6）②；（2）由图象知，点E的实际意义是：点E表示客车与出租车到甲地的距离相等（＝），即它们在此时相遇．联立①与②，解得，，所以点E的坐标为（，225），即两车同时出发后（＝3．75）小时相遇．借助行程图知：当x＝3时，如图2，＝60×3＝180，＝－100×3＋600＝300，此时两车之间的距离是－＝12 (Km)；当x＝5时，如图3，＝60×5＝300，＝－100×5＋600＝100，此时两车之间的距离是－＝200 (Km)；当x＝8时，如图4，＝60×8＝480，因出租车已经到达了甲地，所以＝0，此时两车之间的距离是－＝＝480 (Km) ．（3）由（2）知：两车相遇前，s关于x的函数关系式为s＝－＝－160x＋600（0≤x≤）；两车相遇后，s关于x的函数关系式为s＝－＝160x－600（≤x≤6）；（注：当x＝时，－＝0，即相遇时s＝0．）出租车到达甲地后，s关于x的函数关系式为s＝＝60x（6≤x≤10）．（注：在此时间段，出租车到达甲地后没有再行驶．）（4）由题意，知s＝200，当0≤x≤时，－160x＋600＝200，∴x＝，此时，A加油站到甲地的距离为＝60x＝60×＝150(Km)；当≤x≤6时，s＝160x－600＝200，∴x＝5，此时，A加油站到甲地的距离为＝60x ＝60×5＝300(Km)；当6＜x≤10时，s＝60x＝200，∵60x＞360，不合题意．最后预祝大家学业有成！。
初中数学解题技巧应对函数与像题的妙招
初中数学解题技巧应对函数与像题的妙招随着数学教育的不断发展，函数与像题在初中数学中显得越来越重要。
掌握好解题技巧将对学生的数学成绩有着显著的提升作用。
本文将为大家介绍一些应对函数与像题的妙招，帮助同学们在解题过程中更加得心应手。
第一招：理解函数与像的定义要想解题熟练，首先我们需要对函数与像的定义有一个深入的理解。
函数是一个将一个集合的元素（称为“自变量”）映射到另一个集合的元素（称为“因变量”）的规则。
而像则是指函数中自变量在定义域中的取值，经过函数计算后得到的因变量的取值。
理解了这两个概念，我们才能更好地应对相关题目。
第二招：掌握函数的性质掌握函数的性质对解题来说非常重要。
比如，了解函数的奇偶性质可以帮助我们判断函数的图像关于y轴对称还是关于原点对称；了解函数的单调性质可以帮助我们判断函数的增减区间；了解函数的周期性质可以帮助我们判断函数的周期等等。
只有充分了解函数的性质，我们才能更加准确地解题。
第三招：善于运用函数的性质解题在解题过程中，我们应该善于发现和利用函数的性质。
比如，在求解函数的最值问题时，我们可以通过函数的单调性质来判断极值点；在求解函数的解析式时，我们可以根据函数的已知性质来列方程。
通过运用函数的性质，我们能够更加简洁地解决问题。
第四招：解读函数的图像信息函数的图像是解题过程中的一大帮手。
通过观察函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质，进而解题。
首先，我们可以通过观察曲线与坐标轴的交点来求解方程；其次，我们可以通过观察曲线的斜率来判断函数的单调性；最后，我们可以通过观察曲线的形状来判断函数的周期等。
掌握了解读函数图像的技巧，解题效率将大大提升。
第五招：善用代数化简函数与像题中经常会出现复杂的表达式，对于这种情况我们需要学会使用代数化简来简化题目。
首先，我们可以尝试因式分解，将一个复杂的表达式分解为几个简单的因子；其次，我们可以运用消元法，将多个变量的方程化简为一个变量的方程；最后，我们可以利用恒等式或者等价变形，将复杂的等式或者不等式转化为更简洁的形式。
浅谈函数图像题的解题方法与技巧
浅谈函数图像题的解题方法与技巧摘要：《一次函数的图像及性质》是北师大版数学八年级上册中的重要知识点内容。
本文希望结合这一知识点简单探讨初中函数图像综合题的解题方法与技巧，阐述明确该类题型中的三要素，并建立三要素之间的相互关联。
关键词：一次函数图像综合题；三要素；关联关系；解题方法技巧一次函数是初中阶段学生所接触到的最基本的函数知识之一，纵观整个知识点它还是相对简单初级的，它也是中考数学中的必考点，通常以综合题形式出现，与几何图像共同形成一次函数图像综合题目。
这说明函数知识能够建立初中代数与几何之间的联系，利用具象的几何图形来关联优化抽象的函数内容，实现函数与图像的完美结合，即中小学数学中所经常提到的“数形结合”。
一次函数图像综合题中的“三要素”及其关联一次函数图像综合题中的“三要素”一次函数图像综合题中是包含了3种基本要素的，这3种要素与其它平面几何图形结合就形成了中考中的必考点——一次函数图像综合题。
具体来讲，题型中的三要素分别包括了点坐标、线段长度以及点在一次函数图像上的相互联系。
在这3种要素之间也是存在密切的关联关系的。
一次函数图像综合题中“三要素”的关联关系在一次函数图像综合题中，“三要素”的关联关系体现在方方面面。
例如点坐标与线段长度之间就存在关联关系，如图1。
图1如图1中点P坐标为时，可了解到点到轴的距离应该为：，而到轴的距离为。
再看图1，当点P处于第一象限时，有、，点的横纵坐标可转化为线段长度。
反观如果分别求解线段长度，也能相对清晰求得点坐标。
图2如图2，如果两个点在同一竖直方向上，两点横坐标相同，亦或是在同一水平方向上，两点纵坐标相同，那么已知点的坐标就能求解得出连接两点线段的长度。
例如求解M、N点并同时求解MN线段长度。
而如果已知点A坐标与线段AB的长度，则可求解点B坐标，此时就获得了点A、B坐标以及线段AB长度3个已知条件。
此时可以进一步求解点C、D坐标，包括求解线段CD的长度，并了解它们彼此之间关系。
破解高中数学中的函数像问题的解题技巧
破解高中数学中的函数像问题的解题技巧函数象问题在高中数学中是一个常见的难点，许多学生在解函数像问题时感到困惑。
本文将介绍一些破解高中数学中的函数像问题的解题技巧，帮助学生更好地理解和解决这类问题。
一、了解函数像问题的基本概念和特点函数像问题是指通过函数的给定条件，确定函数的自变量和因变量的关系，并求出函数的像。
在解函数像问题时，首先要理解函数的定义和性质。
函数由自变量和因变量构成，在函数中，自变量的取值通过函数的定义规定了因变量的取值。
函数的像是因变量在函数中的对应值。
二、确定函数的定义域和值域，简化问题在解函数像问题之前，先确定函数的定义域和值域，这有助于简化问题，限定自变量和因变量的取值范围。
确定了函数的定义域和值域之后，就可以根据题目中给出的条件，将自变量和因变量的取值限制在这个范围内进行分析和求解。
三、通过函数图像和性质解题函数图像是解决函数像问题的重要工具，可以通过观察函数的图像来判断函数的性质和解题思路。
有些函数像问题可以直接通过函数图像上的特点来求解，例如判断函数的奇偶性、增减性等。
此外，还可以利用函数的图像确定函数的极值、最值以及函数的周期等。
四、利用函数的性质和运算规律进行推导和构造在解决函数像问题中，利用函数的性质和运算规律进行推导和构造是一种常用的方法。
例如，可以利用函数的复合来构造新的函数，通过变换函数的形式，将原函数转化为易于求解的形式。
此外，还可以利用函数的性质进行推导和证明，进一步解决函数像问题。
五、代数方法结合几何方法解题解决函数像问题时，可以将代数方法和几何方法相结合，从几何角度理解和解决问题。
例如，通过画图分析函数的图像、几何图形和关系，可以更直观地找到函数的解，推导出与函数像问题相关的几何定理。
六、举一反三，综合运用解题技巧在解决具体的函数像问题后，可以通过举一反三，综合运用不同的解题技巧来解决更复杂的函数像问题。
通过不断学习和练习，提高解题的技巧和能力，拓宽对函数像问题的认识和理解。
掌握小学五年级下册解决函数像问题的技巧
掌握小学五年级下册解决函数像问题的技巧在小学五年级下册的数学学习中，函数像问题是一个重要的考点。
掌握解决函数像问题的技巧有助于学生更好地理解数学知识，提高数学解题能力。
本文将介绍几种解决函数像问题的技巧，帮助小学五年级学生加深对该知识点的理解，提升数学解题能力。
一、通过观察找规律解决函数像问题函数像问题通过给定的规则，让学生找出输入和输出之间的关系。
学生可以通过观察数对之间的关系，找到一定的规律。
以加法为例，例如规则是"每个数加5"，学生可以通过观察发现，无论输入是什么数，输出都是在输入的基础上加5。
通过这种观察找规律的方式，学生能够更好地理解函数像问题，并且能够灵活应用于解题过程中。
二、使用函数表格解决函数像问题函数表格是解决函数像问题的一种有效工具。
通过绘制函数表格，将输入和输出对应起来，可以更清晰地观察数对之间的关系。
学生可以将输入的数逐渐增加，然后根据规则计算出输出值，再填入函数表格中。
这样可以更直观地看到数对之间的关系，并且在解题过程中可以帮助学生更好地分析问题，找出解题的方法。
三、使用图形解决函数像问题图形可以直观地表达函数像问题的规律和关系。
例如，规则是"每个数乘以2"，可以通过绘制一个数轴，并标出输入和输出的对应点，形成一条直线。
通过图形的形式，学生可以更清楚地看到数对之间的关系，从而更好地解决函数像问题。
四、通过代入和计算解决函数像问题对于一些简单的函数像问题，学生可以通过代入和计算的方式求解。
例如，规则是"输入数的平方"，学生可以将给定的输入数代入规则中，计算出输出数的值。
通过代入求解，可以更直接地获得函数像问题的答案。
五、多做练习加深理解掌握解决函数像问题的技巧需要进行大量的练习。
学生可以通过做大量的练习题，熟悉各种不同类型的函数像问题，积累解题经验，提高解题能力。
在做练习题的过程中，学生可以通过总结归纳的方式，总结出解决函数像问题的通用方法和技巧，以备后续解题时使用。
例谈函数图像信息类试题的解法10
例谈函数图像信息类试题的解法图像信息类试题已成为中考最具热点的问题之一。
此类问题题设条件或结论中包含图像。
在解答这类试题的过程中，需仔细观察、挖掘、图像所蕴含的信息，并对所得到的信息进行综合分析，最终求得问题的解答。
就初中数学而言，图像信息主要指数轴、直角坐标系、点的坐标、正、反比例函数、一次函数、二次函数的图像、统计图像等所提供的形状、位置、数量、变化等数学基础知识，这类试题的图像信息量大，许多条件是通过图像映射出来，是较为隐蔽的，要通过读图、识图、析图方可有所发现，必要时还需画图，只有抓住图像的本质，解题方案才会水到渠成。
现举几例试分析之：例1：（2004辽宁沈阳市卷）小丽的家与学校的距离为d0 km，她从家到学校先以匀速υ1跑步前进，后以匀速υ2（υ2＜υ1）走完余下的路程，共用t0 h，下列能大致表示小丽距学校的距离y（km）与离家时间t（h）之间关系的图像是（）[分析]解此类问题的基本方法是（1）仔细审题、详细了解实际问题中所包含的函数关系中两个变量之间的变化情况。
（2）分析判断，对整个运动过程中两个变量作全面、细致的分析，找出适合变量之间正确关系的图像，本题总路程d0（km），先快后慢（υ2＜υ1），先后共用时t0（h）到达学校（y=0），故选D。
例2：某市出租车的乘车费用y（元）与行驶路程s（km）之间的函数关系如图所示，观察图像，可知该市出租车的收费标准；行驶 km以内收费元，超过 km后每公里加收元。
若要乘车出租车到10km处的某地，需付元车费。
[分析]由图像不难发现，横轴表示行驶路程s（km），s从1km至3km，y值保持5元不变。
当s=3时，y=5，这说明在3km以内收费都是5元。
当s=4时，y=6.2，s=5时，y=7.4，即超过3km后每公里加收1.2元，则到s=10时，y=5+（10－3）×1.2=13.4元。
例3：甲、乙两个（甲骑自行车，乙骑摩托车）从A城出发到B城旅行，如图表示甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图像，根据图像，你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信息？（1）请至少提供四条信息，如由图像可知：甲比乙早出发4h（或乙比甲迟出发4h）；甲离开A城的路程与时间之间的函数图像是一条折线段，说明甲作变速运动。
破解函数综合题
挖掘隐含条件 破解函数综合题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样。
在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用。
综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能，而抽象函数又是函数综合问题中的难点。
抽象函数是指没有明确给出解析式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点。
近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手，因此，必须全面掌握有关的函数知识，严谨审题，分清题目的已知条件，挖掘题目中的隐含条件。
为此，本文拟通过数例进行分类剖析，供学习和复习时参考。
一、求解有关定义域1、已知函数()f x 的定义域为[],a b （或(),a b ），求[]()y f g x =的定义域是指求满足()(a g x b ≤≤或a<g(x)<b)的x 的取值范围。
例1、设函数()f x 的定义域为[]0,1，求函数()()(0)y f x a f x a a =++->的定义域。
分析：一般地说，对于含有参数的题，应对参数a 进行讨论，解：由{{011011..........x a a x a x a a x a ≤+≤-≤≤-≤-≤≤≤+⇔（A ） 因为0a >，所以 当112a a a -<>即时，不等式组（A ）的解集为∅； 当112a a a -==即时，不等式组（A ）的解集为12x x x ⎧⎫∈=⎨⎬⎩⎭； 当112a a a -><<即0时，不等式组（A ）的解集为[,1]x a a ∈-。
综上所述：所求函数的定义域为中小学教育库 高考库 中考库 教案库 试卷库 课件库 作文库 论文库 学前家教 电脑库111,1,0222x x x a x a x a a ⎧⎫⎧⎫∈==≤≤-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭2、已知函数[]()y f g x =的定义域为[],a b （或(),a b ），求函数()f x 定义域是指求[](),)x a b ∈∈(或x a,b 时，()g x 的值域，即是函数()f x 的定义域。
通过图形分析转化技巧找到解题突破口的系统过程
通过图形分析转化技巧找到解题突破口的系统过程通过图形分析转化技巧找到解题的突破口是一个系统性的过程，涉及到理解问题、构建图形、分析图形特征以及应用数学原理等多个步骤。
以下是一个更详细的过程，指导你如何通过图形分析转化技巧找到解题的突破口：1. 清晰理解问题●问题识别：首先，确定问题的类型和需要解决的核心问题。
●提取关键信息：从问题中提取与图形分析相关的信息，例如形状、大小、角度、对称性、位置关系等。
2. 构建图形模型●选择适当的图形：根据问题的要求，选择合适的图形或图形组合来表示问题。
●绘制图形：在纸上或电子设备上绘制图形，确保图形准确反映了问题中的关键信息。
3. 分析图形特征●识别形状和关系：分析图形中的基本形状、线段的长度、角度的大小、图形的对称性等。
●探索潜在关系：通过图形中的线段、角度、面积等寻找潜在的关系或规律。
4. 应用图形变换●平移、旋转和缩放：尝试对图形进行平移、旋转和缩放等变换，观察这些变换对图形特征的影响。
●图形分解与组合：如果问题涉及复杂图形，尝试将其分解为更简单的图形或将其组合成更大的图形。
5. 结合数学原理●应用定理和公式：根据图形的特征，应用相关的数学定理和公式。
●代数表示：将图形中的关系转化为代数表达式或方程，通过代数运算来解决问题。
6. 反复尝试和验证●多次尝试：如果初次尝试没有成功，不要放弃，尝试不同的图形表示或不同的解题方法。
●验证结果：在找到解决方案后，验证其正确性，确保它满足问题的所有条件。
7. 反思与总结●回顾过程：回顾解题过程，分析哪些图形分析技巧和方法起到了关键作用。
●总结经验：总结在解题过程中获得的经验和教训，以便在将来的解题中更加熟练地运用图形分析转化技巧。
8. 不断练习●持续练习：通过大量的练习来熟悉和掌握图形分析转化技巧，提高解题能力。
通过遵循这个过程，你可以更有效地利用图形分析转化技巧来找到解题的突破口。
不断的练习和反思将帮助你提高解题能力和思维灵活性。
高考数学函数高考点：破解图象题解题难点，点代法简单快速解难题
高考数学函数高考点：破解图象题解题难点，点代法简单快速
解难题
例1： [2018全国卷Ⅱ,3,5分][理]
思路分析：利用函数奇偶性运算和特殊点排除运算。
解析：
更多方法可加入头条免费学习圈子——速解技巧学习！
例2：[2015新课标全国Ⅱ,10,5分][理]
如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x 的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为（）
思路分析：根据动点在特殊位置处的图象特征,排除不符合要求的图象,从而得出结果.
答案：B
总结：对于函数图象的识别问题,需要注意以下三点:
(1)取“特殊点”,即根据已知函数的解析式选取特殊的点,判断选项中的图象是否经过这些点,若不满足则排除;
(2)用“性质”,即根据选项中的图象特点,结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项;
(3)用“极限思想”,即应用极限思想来处理,达到巧解妙算的效果,使解题过程费时少,准确率高.。
高中数学破题致胜微方法(函数图象识别与简单变换)：2.复杂函数的图象识别 含答案
当我们讨论遇到比较复杂的函数(基本初等函数的四则运算，复合函数）的图象时,往往很难想象出形状，所以研究时要从局部特征出发,排除一些错误的情况，再从整体出发,结合函数性质，确定函数变化的趋势，找到正确的答案。
先看例题：例:函数331x x y =-的图象大致是( ）根据函数特征,排除选项首先310,0x x -≠≠，函数定义域为x ≠0,所以排除A 选项 其次,当x <0时，有300,331,310x x x <<=-<，所以原函数在x <0时，函数值为正所以排除B 选项最后，根据函数极限的性质，3lim 031x x x →+∞=-，排除D 选项所以本题选C注意:在讨论极限时,选择题中，我们只需做出判断,但是在解答题中,还是需要用求导,判断单调性的方法严格证明，同学们在平时练习时,也应该多去做一些相关的证明练习，要做到知其然而知其所以然,这对我们整个数学学习是很有帮助的。
在研究复杂函数图象时,我们需要综合观察函数的局部特征和变化趋势常见的有效信息，整理如下:函数:定义域函数值：符号，看图象左、右、上、下分布范围 函数性质：单调性，对称性，周期性， 有界性等 特殊点：与坐标轴的交点等极限：自变量趋于无穷接下来再练习几个题目,希望同学们深入体会。
练1:函数lncos ()22y x x ππ=-<<的图象时（ ）由cos y x =为偶函数，即给定的定义域可知，原函数也为偶函数(请同学们自己用定义写一写），可知函数关于y 轴对称，由此可以排除B,D 选项 再由，0,0cos 12x x π<<<<，可知ln cos ln10x <=，所以函数应在第四象限，可排除C 选项。
由函数关于y 轴对称，可知A 选项符合题意.故选A.练2：函数2sin 2x y x =-的图象大致是（ ）由解析式知，x =0时,y =0,即函数图象过原点,可排除A 选项再观察图象形状，结合解析式可知2,20x y ππ>>->，即函数图象在2x π>时恒正，所以排除D 选项。
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函数与图形综合问题“获取信息破译法”
数学教学要善于进行解题分析和研究，学会以典型的模型为背景进行适当的拓展与演变，引导学生一步一步地尝试收集整理信息，全方位、深层次、多角度地思考体验“怎样解题，怎样学会解题”的每个过程。
读题—析题—解题—变题—悟题。
1、基本模型，引导学生分析题中已知条件，扑捉有效信息。
题目：如图1，直线y=-x+3与x 轴、y轴分别交于点B点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P,且对称轴是直线x=2，求该抛物线的解析式。
信息1：直线y=-x+3与x 轴、y轴分别交于点B点
可得出B（3,0），C(0,3),
信息2：对称轴是直线x=2，点B（3,0）
由对称性可得出A（1,0）
信息3：抛物线与x轴交点（3,0），（1,0），
可设抛物线为y=a(x-3)(x-1)其中a≠0，且过点C(0,3).由此可以求出它
的解析式为y= x2-4x+3
信息4：还可以求出抛物线的顶点坐标P（2，-1）
2、在运动变化中，挖掘模型本质，提升解题能力。
探究1：把直线y=-x+3向下平移多少个单位，使它与抛物线只有一
个公共点？
引导学生扑捉平移后静止状态下的有效信息，多途径思考，分析
问题，拓展学生思维空间。
信息1：聚焦直线向下平移的状态，可设解析式为y=-x+k.
信息2；直线y=-x+k与抛物线y= x2-4x+3只有一个公共点。
由“形”联想“数”，该问题可转化为方程组只有一组解，也可以转化为一元二次方程x2-4x+3+k=0，有两个相等的实数根，即△=0，可以计算出k=
3。
4
信息3：直线y=-x+3向下平移至y=-x+
3状态，可知该直线向下平移
4
了
9个单位。
4
探究2：试在抛物线的对称轴上找到一点D，使BD
CD-最大，求出点D的坐标。
引导学生避免机械模仿，不套用原有思路，学会解题途径。
信息1：如图2，依据抛物线的对称性可得线段Array BD=AD，把所求的问题转化为BD
CD-
CD-=AD
信息2：AD
CD-取得最大值时，观察图形发现直线
与对称轴直线x=2的相交状态下，
交点就是所求问题的答案。
信息3：可列出方程组计算出直线AC：y=-3x+3
直线x=2的交点坐标D(2,-3).
09年：27（本题满分12分）
如图，抛物线y=ax2-2ax+c与y轴交于C(0,4),与x轴交于A、B 两点,点A的坐标为（4,0）。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作Q E∥AC交BC于点
E,连结CQ.求：△CQE 面积的最大值。
（3）若平行于x 轴的动直线L 与直线AC 交于点F 且点D 的坐标为（2,0）。
问：是否存在这样的直线L ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请写出直线L 与抛物线交点的坐标；
信息1：抛物线y=ax 2-2ax+c 与 y 轴交于C(0,4)，可得出c=4. 信息2：抛物线y=ax 2-2ax+4与
x 轴交于A 、B 两点,
点A 的坐标为（4,0）。
可得a=-21,y=-2
1x 2+x+4. 信息3：抛物线y=-2
1x 2+x+4与x 轴交于点B,从而求出B 点的坐标（-2,0）。
信息4：由A （4,0），B （-2,0），C (0,4)可以知道AB=6，OC=4，OA=4，由点Q 是线段AB 上的动点可设点Q 的坐标为(x,0),从而可得QA=4-x,BQ=2+x.
信息5：求：△CQE 面积的最大值，由“形”联想“数”，建立面积S 与x 之间的二次函数。
由信息4可知，△AQC 的面积是21×4（4-x ）=8-2x, △BQE 的面积是21（2+x ）h, △ABC 的面积是21×4×6=12，从而知道△CQE 面积=△ABC 的面积-△AQC 的面积-△BQE.
信息6：过点Q 作Q E ∥AC 交BC 于点E,连结CQ ，联想到△BQ E ∽△ABC 从而求出h=324x ，由信息5可求出S=-31（x-1）2+3,从而知道最大面积是3.
引导学生扑捉平移后静止状态下的有效信息，多途径思考，分析问题，拓展学生的思维空间。
信息7：平行于x 轴的动直线L 与直线AC 交于点F ，由此可设直线L 的解析式为x=a,由形转化为数可知点F （a,4-a ）.
信息8：使得△ODF 是等腰三角形由形转化为数可以探究OD=OF,FD=OD,OF=FD 三种情况。
列出满足情况的方程从而求解出 a 的值，满足的就取，不满足的就舍去。
由OD=OF 得，a 2+(4-a) 2=4 （无解），由FD=OD 得，(4-a) 2+（2-a ）2=4解得a 1=4(不符合题意), a 2=2，由OF=FD 得，(4-a) 2 +a 2=(4-a) 2+（2-a ）2解得a=1. 信息9：由求直线L 与抛物线交点的坐标可知，把x=a 代入抛物线y=-21x 2+x+4求出y 值，即当a 2=2时，y=4；当a=1时，y=29;因此，使得△ODF 是等腰三角形，直线L 与抛物线交点的坐标是（2，4）或（1，2
9）。
10年：26.(本题满分12分)
如图16，在平面直角坐标系中，一坐标原点O 为圆心，2为半径画圆，P 是圆O 上的一动点且在第一象限内，过点P 作圆O 的切线，与x 轴，y 轴分别交于点A,B. (1)求证：△OBP 与△OPA 相似；
（2）当点P 为AB 中点时，求出P 点的坐标；
（3）在圆O 上是否存在一点Q 使得以Q,O,A,P 为顶点的四边形是平行四边形。
若存在，试求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由。
信息1：过点P 作圆O 的切线，
与x 轴，y 轴分别交于点A,B.可知△OBP 、 △OPA 、△OAB 都是直角三角形，所以 得到△OBP 与△OPA 相似。
信息2：2为半径画圆，P 是圆O 上的一动点且 在第一象限内，过点P 作圆O 的切线， 可知圆是固定的，点P 是动的且是圆的切点，
直线AB 也是动的所以可以画出这一特殊位置的图形。
当点P 为AB 中点时，求出P 点的坐标由信息1可知直角三角形都是等腰直角三角形。
由形转化为数从而求出P （2，2）。
信息3：由OA 在x 轴上，以Q,O,A,P 为顶点的四边形是平行四边形
可知QP 一定平行OA ，且被y 轴垂直平分，故点Q
第二象限内。
由型转化为数设Q （x,y ）且x ＜0,y ＞由四边形QOAP 是平行四边形，Q O ∥AP
又由O P ⊥AB 所以得到△OQP 是等腰直角三角形， OQ=OP 得到Q （-2，2）。
11年：
26.已知：如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴上，以3为半径的圆B 与y 轴相切，直线ι过点A （-2,0），且和圆B 相切，与y 轴相交与点C.
（1）求直线ι的解析式；
(2)若抛物线y=ax 2+bx+c(a ＞0)经过点O 和B,顶点在圆B 上，求抛物
线的解析式；（用原图）
（3）若点E 在直线ι上，且以A 为圆心，AE 为半径的圆与圆B 相切，求点E 的坐标.（用备用图）
信息1：直线ι过点A （-2,0），与y 轴相交与点C. 由形转化为数，设解析式为y=kx+b 只要在求出点C 的 坐标，就可以求出k 、b 值。
信息2：由以3为半径的圆B 与y 轴相切可得OB=3 ,AB=5，由直线和圆B 相切可知B D ⊥ι,
得到△AO C ∽△ADB 从而求出OC=2
3。
由A （-2,0），C （0，23）求出解析式y=43x+2
3， 信息3：抛物线y=ax 2+bx+c(a ＞0)经过点O 和B 可知c=0,对称轴x=23,由顶点在圆B 上可以求出顶点的纵坐标y=-233，从而求出顶点的坐标（2
3，-233）。
因此可以求出抛物线的解析式为y=6
3
x 2-
2
3
x 。
信息4：若点E 在直线ι上，且以A 为圆心，AE 为半径的圆与圆B 相切，由文字语言转化为图形语言，可以画出与圆B 外切和内切两种情况如图所示。
信息5：由求点E 的坐标，可把求数的问题转化为 求线段长的问题。
过点E 作x 轴的垂线得到 直角三角形，由信息2思维的有效同化可以利用
三角形相似求出各线段长。
EF=56,AF=5
8,OF=52
. 可以得到外切时点E 的坐标是（-52，56）或（-518，-5
6）；内切时点E 的坐标是（522，511）或（-542，-5
11）。