【精品】2016学年河南省三门峡市灵宝一中高二上学期期中数学试卷和解析(文科)

2015-2016学年河南省三门峡市灵宝一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）设，是向量，命题“若，则”的逆命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则D．若，则2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞1 3．（5分）要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5、10、15、20、25、30 B．3、13、23、33、43、53C．1、2、3、4、5、6 D．2、4、8、16、32、484．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（）A．B．C．D．5．（5分）如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率是（）A．πB．C． D．2π6．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，运行的结果是4，则输入的x的值可以是（）A．2，4或16 B．﹣2，2或4 C．﹣2，2或16 D．﹣2，4或168．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，右焦点与抛物线的焦点重合，则C的实轴长为（）A．B．2 C．4 D．89．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．211．（5分）现有五个球分别记为A，C，J，K，S，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K或S在盒中的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1二、填空题（每小题5分，共20分，答案填在横线上）13．（5分）已知某公司准备投资一个项目，为慎重起见，该公司提前制定了两套方案，并召集了各部门的经理对这两套方案进行研讨，并对认为合理的方案进行了投票表决，统计结果如茎叶图所示，试说明方案比较稳妥的是．14．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为．15．（5分）命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则a的取值范围是．16．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则该双曲线的离心率e=．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17．（10分）已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个，其中红球2个、黑球3个、白球1个．（I）从中任取1个球，求取得红球或黑球的概率；（II）列出一次任取2个球的所有基本事件．（III）从中取2个球，求至少有一个红球的概率．18．（12分）（1）已知命题p：（x+2）（x﹣10）≤0，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m ＞0，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．（2）已知命题p：|a|＜2，命题q：一次函数f（x）=（2﹣2a）x+1是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．19．（12分）已知三点P（5，2）、F 1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．20．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．21．（12分）如图，已知圆，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，设点M的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过点A作倾斜角为的直线l交轨迹E于B，D两点，求|BD|的值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交抛物线C的准线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．2015-2016学年河南省三门峡市灵宝一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）设，是向量，命题“若，则”的逆命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则D．若，则【解答】解：原命题：若，则条件为，结论为根据逆命题的定义知，逆命题需把原命题的条件和结论互换∴逆命题的结论为，条件为∴逆命题为：若，则故选：D．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞1【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：∀x∈R，sinx≤1，的否定是∃x∈R，使得sinx＞1故选：C．3．（5分）要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5、10、15、20、25、30 B．3、13、23、33、43、53C．1、2、3、4、5、6 D．2、4、8、16、32、48【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选：B．4．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由于抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，则抛物线x=﹣2y2即y2=﹣x的准线方程为x=，故选：D．5．（5分）如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率是（）A．πB．C． D．2π【解答】解：根据题意可得此问题是几何概型，因为半圆的半径为1，所以其面积为：；因为正方形的边长为，所以其面积为；所以该点落在正方形内的概率为：，．故选：C．6．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，运行的结果是4，则输入的x的值可以是（）A．2，4或16 B．﹣2，2或4 C．﹣2，2或16 D．﹣2，4或16【解答】解：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，当x＜0时，y=x2=4，解得x=﹣2或x=2（舍去）；当0≤x＜4时，y=2x=4，解得x=2，满足条件；当x≥4时，y==4，解得x=16，满足条件；综上所述，满足条件的x值为：﹣2，2，16．故选：C．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，右焦点与抛物线的焦点重合，则C的实轴长为（）A．B．2 C．4 D．8【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线，2p=，∴=2．∵右焦点与抛物线的焦点重合，∴2λ=8，∴λ=4，∴C的实轴长为4，故选：C．9．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．10．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．11．（5分）现有五个球分别记为A，C，J，K，S，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K或S在盒中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将5个不同的球随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，所有的放法有A53=60K，S都不在盒中的放法有A33=6设“K或S在盒中”为事件A则P（A）=故选：D．12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为：+=1故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分，答案填在横线上）13．（5分）已知某公司准备投资一个项目，为慎重起见，该公司提前制定了两套方案，并召集了各部门的经理对这两套方案进行研讨，并对认为合理的方案进行了投票表决，统计结果如茎叶图所示，试说明方案比较稳妥的是第一套方案．【解答】解：首先将茎叶图的数据还原：第一套方案：8 25 20 24 38 41 55 58 64 67 66 73 72 70，第二套方案：6 5 12 14 19 19 21 36 37 42 42 45 54 61，第一套方案在14个部门的经理得票数为681票，第二套方案在14个部门的经理得票数为413票，第一套方案要比第二套方案得票率高得多，故第一套方案比较稳妥，故答案为：第一套方案14．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4．【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，∴c==2，∴右焦点F（2，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．∴=2，解得p=4．故答案为：4．15．（5分）命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪[3，+∞）．【解答】解：命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即“∃x∈R，ax2﹣2ax+3≤0成立”是真命题①．当a=0时，①不成立，当a≠0 时，要使①成立，必须a＜0或，∴a＜0或a≥3故答案为：（﹣∞，0）∪[3，+∞）．16．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则该双曲线的离心率e=．【解答】解：∵双曲线的虚轴两端点为B1、B2，两焦点为F1，F2．∴F1（﹣c，0），B1（0，b），可得直线F1B1的方程为y=（x+c），即bx﹣cy+bc=0．∵双曲线的两顶点为A1、A2，以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴点O到直线F1B1的距离等于半径，即=a，化简得b2c2=a2（b2+c2），∵b2=c2﹣a2，∴上式化简为（c2﹣a2）c2=a2（2c2﹣a2），整理得c4﹣3a2c2+a4=0．两边都除以a4，得e4﹣3e2+1=0，解之得e2=∵双曲线的离心率e＞1，∴e2=，可得e==故答案为：三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17．（10分）已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个，其中红球2个、黑球3个、白球1个．（I）从中任取1个球，求取得红球或黑球的概率；（II）列出一次任取2个球的所有基本事件．（III）从中取2个球，求至少有一个红球的概率．【解答】解：（Ⅰ）从6只球中任取1球得红球有2种取法，得黑球有3种取法，得红球或黑球的共有2+3=5种不同取法，任取一球有6种取法，所以任取1球得红球或黑球的概率得，（II）将红球编号为红1，红2，黑球编号为黑1，黑2，黑3，则一次任取2个球的所有基本事件为：红1红2红1黑1红1黑2红1黑3红1白红2白红2黑1红2黑2红2黑3黑1黑2黑1黑3黑1白黑2黑3黑2白黑3白（III）由（II）知从6只球中任取两球一共有15种取法，其中至少有一个红球的取法共有9种，所以其中至少有一个红球概率为．18．（12分）（1）已知命题p：（x+2）（x﹣10）≤0，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m ＞0，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．（2）已知命题p：|a|＜2，命题q：一次函数f（x）=（2﹣2a）x+1是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）命题p：（x+2）（x﹣10）≤0，∴﹣2≤x≤10，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0∴1﹣m≤x≤1+m，∵q是p的充分不必要条件，p：x∈[﹣2，10]，q：x∈[1﹣m，1+m]∴[1﹣m，1+m]⊂[﹣2，10]，∴，解得：，当1﹣m=﹣2时，m=3，[﹣2，4]⊂[﹣2，10]，∴m=3成立，∴实数m的取值范围是[3，+∞）；（2）若命题p：|a|＜2，则﹣2＜a＜2，命题q：一次函数f（x）=（2﹣2a）x+1是增函数，则2﹣2a＞0，解得：a＜1，若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假，p真q假时：，解得：1≤a＜2，p假q真时：，解得：a≤﹣2，综上：a∈（﹣∞，﹣2]∪[1，2）．19．（12分）已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．20．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，==．因为所以甲的研发水平高于乙的研发水平．（Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（，b），（a，），（a，），（，b）共7个，故事件E发生的频率为，将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=．21．（12分）如图，已知圆，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，设点M的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过点A作倾斜角为的直线l交轨迹E于B，D两点，求|BD|的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得|MC|﹣|MA|=|MC|﹣|MQ|=|CQ|=2＜2，∴轨迹E是以A，C为焦点，实轴长为2的双曲线的左支…（2分）∴轨迹E的方程为=1（x）…（4分）（Ⅱ）设切线l的方程为y=x﹣，代入=1，消元得x2﹣4x﹣8=0．（8分）设B，D两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=﹣8所以|BD|==4．（12分）22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交抛物线C的准线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．【解答】解：（Ⅰ）∵⊙Q过M、F、O三点，∴Q一定在线段FO的中垂线上，∵抛物线x2=2py的焦点F（0，），O（0，0）∴FO的中垂线为：y=，设Q（x Q，y Q），得y Q=，结合抛物线的定义，得Q到抛物线C的准线的距离为﹣（﹣）=，解之得p=2由此可得，抛物线C的方程为x2=4y；（Ⅱ）由已知得直线l的斜率一定存在，由抛物线x2=4y的焦点F为（0，1），准线方程为y=﹣1，所以可设l：y=kx+1，则M点坐标为（﹣，﹣1），设直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），由直线与抛物线方程联立，可得x2﹣4kx﹣4=0∴x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，又由，，∴（x1+，y1+1）=λ1（﹣x1，1﹣y1），∴x1+=﹣λ1x1，∴λ1=﹣﹣1，同理λ2=﹣﹣1，∴λ1+λ2=﹣﹣1﹣﹣1=﹣﹣2=0．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。