2019版一轮优化探究理数练习：第二章 第十节 函数模型及其应用含解析
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第2章 函数、导数及其应用 2-5a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12 －(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73； ④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 答案 B 解析 当a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，故①错误，∵a <0，b >0，∴ab <0，④错误．故选B.2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 B解析 如图所示，设f (x )＝x 3，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (0)<g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，…. ∴x 0∈(1,2)．故选B.3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2 答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 4．(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)B ．(－8，－4)C ．[－8，－4]D ．(－∞，－8]答案 D解析 ∵a ＋4＝－32x ＋43x ，令3x＝t (t >0)，则－32x ＋43x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x＋43x ≤－4， ∴a ＋4≤－4，所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.5．(2018·南昌质检)定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为自然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k 的取值集合是( )A．{0} B．{－3} C．{－4,0} D．{－3,0}答案 D解析∵偶函数f(x－2)的图象关于y轴对称，∴函数y＝f(x)的图象关于x＝－2对称．∵当x>－2时，f(x)＝e x＋1－2，∵f(x)＝e x＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f(－1)<0，f(0)＝e －2>0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝e x＋1－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x<－2时，存在唯一零点x∈(－4，－3)．由题意，方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k－1＝－4或k －1＝－1，k＝－3或k＝0.故选D.6．(2017·安徽三模)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同答案 A解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)．故选A.7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 D解析 不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18 答案 B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )答案 A解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x <－1，此函数可以看成函数y ＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x＝1＋f (x )1－f (x )，若f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )A ．4B ．2 C.45 D.14 答案 C 解析二、填空题11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，则a的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析 ∵方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a>0.解得12<a <2.∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫12，2.12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为________．答案 f (a )a <f (b )b <f (c )c解析 由题意f (x )x 可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))， 观察图象知 k OA <k OB <k OC ， ∴f (a )a <f (b )b <f (c )c .13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x ＋1)；③y ＝－1x ＋1；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)答案 ①④解析 当x ∈(0，＋∞)时：①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小，∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大， ∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数；③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1x ＋1增大，即y 增大，∴函数y ＝－1x ＋1在(0，＋∞)上为增函数；④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1减小，即y 减小，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1在(0，＋∞)上为减函数．∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1，2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1. 三、解答题15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 解法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎨⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0，∴m≥－(22t＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5] ，故m的取值范围是[－5，＋∞)．。
2019届高考数学一轮总复习 2.10函数模型及其应用练习
2019届高考数学一轮总复习 2.10函数模型及其应用练习一、选择题1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )A.C．指数函数模型D．对数函数模型解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．答案 A2．(2015·湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B.答案 B3．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数y＝ka x，若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约为80 h，那么在10 ℃时保鲜时间约为( )A．49 h B．56 hC．64 h D．72 h解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧100＝ka 0，80＝ka 5解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝100，a 5＝45，则当x ＝10时，y ＝100a 10＝100×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝64 (h)．答案 C4．(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.p ＋q ＋－12C.pqD.p ＋q ＋－1解析 设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝p ＋q ＋－1，故选D.答案 D5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析 依题意可设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(x ≥0)．故当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案 B6．已知某食品厂生产100克饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如表所示：①买小包装实惠； ②买大包装实惠；③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多；④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多． 所有正确的说法是( ) A ．①④ B ．①③ C ．②③D ．②④解析 1包小包装每元买饼干1003克，1包大包装每元可买饼干3008.4＞1003克，因此，买大包装实惠．卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此，卖3包小包装比卖1包大包装盈利少．答案 D 二、填空题7．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析 方法1：设计算机价格平均每年下降p %， 由题意，可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 .∴9年后的价格为8 100×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13 13 －19＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)． 方法2：9年后的价格为8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)．答案 3008．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是________．解析 由题意，第k 档次时，每天可获利润为：y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，∴k ＝9时，获得利润最大．答案 99．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，(A)对应________；(B)对应________；(C)对应________；(D)对应________．解析A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C、D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．答案(4) (1) (3) (2)三、解答题10．某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1 000万元．若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入(单位：万元)近似满足函数R(m)＝5 000m－500m2(0≤m≤5，m∈N)．(1)试写出第一年的销售利润y(万元)关于年产量x(单位：百台，x≤5，x∈N*)的函数关系式；(说明：销售利润＝实际销售收入－成本)(2)因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u(x)(万元)与年产量x(百台)的关系满足u(x)＝500x＋500(x≤3，x∈N*)，问年产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？解(1)由题意得y＝5 000x－500x2－500－1 000x，即y＝－500x2＋4 000x－500(x≤5，x∈N*)．(2)记工厂所得纯利润为h(x)，则h(x)＝－500x2＋4 000x－500－u(x)＝－500x2＋3 500x－1 000，∵－500(x 2－7x )－1 000＝－500⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722＋5 125(x ≤3，x ∈N *)，∴当x ＝3(百台)时，h (x )max ＝5 000(万元)．故当年生产量为3百台时，厂家的纯利润最大，且最大值为5 000万元．11．(2014·上海六校二联)为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y (万元)与处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝x 2－50x ＋900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．(1)当x ∈[10,15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 解 (1)根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系：P ＝(10＋10)x －y ＝20x －x 2＋50x －900＝－x 2＋70x －900＝－(x －35)2＋325，x ∈[10,15]．∵x ＝35∉[10,15]，P ＝－(x －35)2＋325在[10,15]上为增函数， 可求得P ∈[－300，－75]．∴国家最少补贴75万元，该工厂才不会亏损． (2)设平均处理成本为Q ＝y x ＝x ＋900x－50≥2 x ·900x－50＝10，当且仅当x ＝900x时等号成立，由x >0得x ＝30.因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．培 优 演 练1．(2015·郑州模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析 第n 年的年产量y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f ，n ＝1，f n －f n －，n ∈N ，n ≥2.因为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)，所以f (1)＝3，当n ≥2时，f (n －1)＝12n (n －1)(2n －1)，所以f (n )－f (n －1)＝3n 2，n ＝1时，也满足上式．所以第n 年的年产量为y ＝3n 2， 令3n 2≤150，所以n 2≤50， 因为n ∈N ，n ≥1，所以1≤n ≤7，所以n max ＝7. 答案 C2．(2014·陕西卷)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析 方法1：由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2,0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验．A 选项，y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝32x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.方法2：设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0⇒d ＝0，f＝0⇒8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f＝－1⇒c ＝－1，f＝3⇒12a ＋4b ＋c ＝3，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0.故该函数的解析式为y ＝12x 3－12x 2－x ，选A.答案A3．如图，现要在边长为100 m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x 不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x 2m 的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m ，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x 的取值范围；(运算中2取1.4)(2)若中间草地的造价为a 元/m 2，四个花坛的造价为433ax 元/m 2，其余区域的造价为12a 11元/m 2，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9，100－2x ≥60，1002－2x －2×15x 2≥2×10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥9x ≤20，－20≤x ≤15，即9≤x ≤15.(2)记“环岛”的整体造价为y 元，则由题意，得y ＝a ×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22＋433ax ×πx 2＋12a 11×⎣⎢⎡⎦⎥⎤104－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 22－πx 2＝a 11⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f ′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x＝－4x ⎝⎛⎭⎪⎫125x 2－x ＋6，由f ′(x )＝0，解得x ＝10或x ＝15. 列表如下：∴当x ＝10，f (x )取极小值，即y 取最小值． 故当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低．。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练及答案解析：第2章函数、导数及其应用2-10a
[基础送分提速狂刷练] 一、选择题
1．曲线y＝lg x在x＝1处的切线的斜率是()
A.
1
ln 10B．ln 10 C．ln e D.
1
ln e
答案 A
解析因为y′＝
1
x·ln 10
，所以y′|x＝1＝
1
ln 10
，即切线的斜率为
1
ln 10.故选A.
2．(2017·潼南县校级模拟)如图，是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在(1,3)上f(x)是减函数
C．在(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝4时，f(x)取极大值
答案 C
解析由于f′(x)≥0?函数f(x)单调递增；f′(x)≤0?函数f(x)单调递减，观察f′(x)的图象可知，
当x∈(－2,1)时，函数先递减，后递增，故A错误；
当x∈(1,3)时，函数先增后减，故B错误；
当x∈(4,5)时函数递增，故C正确；
由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误．故选C.
3．(2018·上城区模拟)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是()。
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题12函数模型及其应用(教学案)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)三种函数模型的性质2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：【疑点清源】1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质． (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题． (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题． (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．高频考点一、用函数图象刻画变化过程例1、[2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案 A【变式探究】(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案(1)D (2)B解析(1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )答案 D解析依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.高频考点二已知函数模型的实际问题例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q10(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【变式探究】某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.高频考点三构造函数模型的实际问题例3、某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元答案 C【变式探究】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况 答案 (1)C (2)B解析 (1)设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg2，所以lg(1＋x )＝lg240≈0.0075，所以100.0075＝1＋x ，得1＋x ≈1.017，所以x ≈1.7%.(2)设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n元，经历n 次跌停后的价格为a ×1. 1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km 按起步价付费)；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.答案 9【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过小时才能开车．(精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．21 答案 (1)5 (2)A解析 (1)设经过x 小时才能开车． 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5. (2)设该企业需要更新设备的年数为x ， 设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)， 所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋x＝x ＋100x＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21. 5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号，所以选A. 高频考点四、函数应用问题例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7400x－40000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6104， 所以W max ＝W (32)＝6104；②当x >40时，W ＝－40000x－16x ＋7360，由于40000x＋16x ≥240000x×16x ＝1600，当且仅当40000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值为5760.综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6104万元。
2019通用版 高中理数 高考一轮复习 第二章第10讲 函数的图像 练习及解析
课时达标 第10讲[解密考纲] 数形结合是数学中的重要思想方法．利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质的应用问题，解决函数的零点、方程的解的问题，解决求解不等式的问题等．一、选择题1．函数y ＝2xln x的图象大致为( )2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－23．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－14．(2018·四川成都模拟)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1)5．(2018·河南统考)若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图象的对称轴方程是( )A ．x ＝－1B ．x ＝－12C ．x ＝12D ．x ＝16．(2018·广东名校模拟)已知函数f (x )＝4－x 2，函数g (x )(x ∈R 且x ≠0)是奇函数，当x >0时，g (x )＝log 2x ，则函数f (x )·g (x )的大致图象为( )二、填空题7．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是___.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是__.9．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝____.三、解答题10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．参考答案及解析 课时达标 第10讲一、选择题1．函数y ＝2xln x的图象大致为(D)解析 由题意知x ≠1，∵0<x <1时，2x >0，ln x <0.∴y <0，图象在x 轴下方，排除B 项，C 项；当x >1时，2x >0，ln x >0，∴y >0，图象在x 轴上方，当x →＋∞时，y ＝2xln x →＋∞，故选D ．2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝(C)A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C ．3．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝( A)A ．3B ．2C ．1D ．－1解析 ∵函数f (x )图象关于直线x ＝1对称，∴f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (2)＝f (0)，即3＋|2－a |＝1＋|a |，排除D 项，C 项，又f (－1)＝f (3)，即|a ＋1|＝4＋|3－a |，用代入法知选A ．4．(2018·四川成都模拟)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( D)A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析 f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0化为f (x )x <0，即xf (x )<0，则f (x )的大致图象如图所示，所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．5．(2018·河南统考)若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图象的对称轴方程是(C)A ．x ＝－1B ．x ＝－12C ．x ＝12D ．x ＝1解析 ∵f (2x ＋1)是偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (2x ＋1)＝f ⎝⎛⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴f (2x )的图象可由f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位得到，即f (2x )的图象的对称轴方程是x ＝12.6．(2018·广东名校模拟)已知函数f (x )＝4－x 2，函数g (x )(x ∈R 且x ≠0)是奇函数，当x >0时，g (x )＝log 2x ，则函数f (x )·g (x )的大致图象为(D)解析 易证函数f (x )＝4－x 2为偶函数，又g (x )是奇函数，所以函数f (x )·g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A 项、B 项．当x >0时，f (x )·g (x )＝(4－x 2)log 2x 有两个零点1,2，且0<x <1时，f (x )·g (x )<0，因此排除C 项，故选D ．二、填空题7．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__[－1,0)__.解析 首先作出y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |的图象(如图所示)，欲使y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有交点，则－1≤m <0.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是__(0,1]__.解析 当x ≤0时，0<2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个交点，所以由图象可知0<a ≤1．9．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝__0__.解析 函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.三、解答题10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解析 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4. f (x )的图象如图所示：(3)由图象知f (x )的减区间是[2,4]．(4)由f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．11．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解析 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于点(0,1)的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上， 即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x2.∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解析 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示：由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令2x ＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以当t >0时，H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。
一轮优化探究理数(苏教版)课件：第二章 第十节 函数模型及其应用
(2)对数函数y＝loga x(a>1)与幂函数y＝xn(n>0) 对数函数y＝loga x(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何
loga x<xn
总会 慢于 y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数 x0，使x>x0时有 .
由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们 的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞) 上，总会存在一个x0，使x>x0时有
解析：由题意知：3 000＋20x－0.1x2≤25x， 整理得x2＋50x－30 000≥0， ∵x>0，∴x≥150.
2．今有一组实验数据如下： t 1.99 v 1.5 3.0 4.0 5.1 6.12
4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规 律，其中最接近的一个是________． ①v＝log2t t2－1 ③v＝ 2 ④v＝2t－2
解析：由表中数据可知，当t越大时，v递增的速度越快，而v ＝lo． 2 答案：③ 递减，v＝2t－2递增速度
3．从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满， 再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x和残 留消毒液y之间的函数解析式为________． 解析：所倒次数1次，则y＝19；
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0) 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内 ax会小于xn，但由于ax的增长 快于 xn的增长，因而总存在一个 x0，当x>x0时，有
2019版高考数学(理)一轮复习：函数模型及其应用含解析
件产品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是 ( A.75,25 B.75,16 C.60,25
【解析】选 D.由函数解析式可以看出,组装第 A 件产品所需时间为 第 4 件产品所需时间为 =30,解得 c=60,将 c=60 代入
=15,故组装
=15,得 A=16.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位:元)由 f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出, 其中 m>0,[m]是不超过 m 的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、 乙两地通 话 6.5 分钟的电话费为________元. 【解析】因为 m=6.5,所以[m]=6,则 f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24. 答案:4.24 7.(2018·唐山模拟)某人计划购买一辆 A 型轿车,售价为 14.4 万元,购买后轿车一 年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需 2.4 万元,同时汽车年折旧率约为 10%(即这辆车每年减少它的价值的 10%),试问,大约使用________年后,花费在该 车上的费用(含折旧费)达到 14.4 万元? 【解析】设使用 x 年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元, 依题意可得,14.4(1-0.9 )+2.4x=14.4. 化简得:x-6×0.9 =0,令 f(x)=x-6×0.9 . 因为 f(3)=-1.374<0,f(4)=0.063 4>0, 所以函数 f(x)在(3,4)上应有一个零点. 故大约使用 4 年后,花费在该车上的费用达到 14.4 万元. 答案:4 8. 某 食 品 的 保 鲜 时 间 y( 单 位 : 小 时 ) 与 储 藏 温 度 x( 单 位 :℃) 满 足 函 数 关 系 y=e (e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________ 小时.
2019年高三文科数学一轮复习：函数模型及其应用(解析版附后)
2019年高三文科数学一轮复习：函数模型及其应用（解析版附后）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·福州模拟)在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x2．(2018·东城模拟)某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1 500元，则购买该商品的实际付款额为1 500×0.8－200＝1 000元．设购买某商品的实际折扣率＝实际付款额商品的标价×100 ，某人欲购买标价为2 700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为()A．55 B．65C．75 D．803．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2-9-2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．图2-9-2给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A．①B．①②C．①③D．①②③4．(2018·衡阳模拟)将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为()A．85元B．90元C．95元D．100元5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有a4L，则m的值为()A．5B．8C．9D．10二、填空题6．在如图2-9-3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.图2-9-37．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1 ，若初时含杂质2 ，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)8．(2018·成都模拟)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．三、解答题9．(2018·抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋42a，Q＝14a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·南昌模拟)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5 km处B．4 km处C．3 km处D．2 km处2．(2016·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x小时后，病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个．3．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t(单位：min)的变化规律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0且m>0)．(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；(2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m的取值范围．2019年高三文科数学一轮复习：函数模型及其应用（解析版）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·福州模拟)在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．] 2．(2018·东城模拟)某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1 500元，则购买该商品的实际付款额为1 500×0.8－200＝1 000元．设购买某商品的实际折扣率＝实际付款额商品的标价×100 ，某人欲购买标价为2 700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为() A．55 B．65 C．75 D．80 B[当购买标价为2 700元的商品时，产品的八折后价格为：2 700×0.8＝2 160，故实际付款：2 160－400＝1 760，故购买某商品的实际折扣率为：1 7602 700×100 ≈65 ，故选B.]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2-9-2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．图2-9-2给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]4．(2018·衡阳模拟)将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )A ．85元B ．90元C ．95元D ．100元C [设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大．]5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A ．]二、填空题6．在如图2-9-3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.图2-9-320 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1 ，若初时含杂质2 ，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)8 [设过滤n 次才能达到市场要求，则2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1 ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120， 所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]8．(2018·成都模拟)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．24 [由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192.又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.] 三、解答题9．(2018·抚顺模拟)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？[解] (1)∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，1分 ∴f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5万元.3分 (2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，4分 依题意得⎩⎨⎧x ≥20200－x ≥20⇒20≤x ≤180， 6分 故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180). 7分 令t ＝x ∈[25，65]，则f (x )＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，9分当t ＝82，即x ＝128时，f (x )max ＝282万元.11分 所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 12分10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N *)，2分飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎨⎧ 900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎨⎧ 900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.5分 (2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎨⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎨⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75.8分因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000元，又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x ＝60时，取得最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润. 12分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·南昌模拟)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处A [设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 1108＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45. 设总费用为y ，则y ＝20x ＋45x ≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x 5，即x ＝5时取等号，故选A ．]2．(2016·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x 小时后，病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个．y ＝4x 1 024 [设原有1个病毒，经过1个30分钟有2＝21个病毒；经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒；经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒；……经过60x 30个30分钟有22x ＝4x 个病毒，∴病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为y ＝4x ，∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1 024个．]3．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t ＋ 21－t (t ≥0且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；(2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围．[解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，2分 令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，第 11 页 共 11 页 解得x ＝2或x ＝12(舍去)，∴2t ＝2，即t ＝1，∴经过1 min ，物体的温度为5 ℃.5分 (2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立， 即m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立.7分 令12t ＝x ，则0<x ≤1，∴m ≥2(x －x 2).10分 ∵x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.12分。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第2章 函数、导数及其应用 2-5a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12 －(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73； ④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 答案 B 解析 当a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，故①错误，∵a <0，b >0，∴ab <0，④错误．故选B.2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 B解析 如图所示，设f (x )＝x 3，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (0)<g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，…. ∴x 0∈(1,2)．故选B.3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2 答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 4．(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)B ．(－8，－4)C ．[－8，－4]D ．(－∞，－8]答案 D解析 ∵a ＋4＝－32x ＋43x ，令3x＝t (t >0)，则－32x ＋43x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x＋43x ≤－4，∴a ＋4≤－4，所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.5．(2018·南昌质检)定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为自然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使方程f (x )＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k的取值集合是()A．{0} B．{－3} C．{－4,0} D．{－3,0}答案 D解析∵偶函数f(x－2)的图象关于y轴对称，∴函数y＝f(x)的图象关于x＝－2对称．∵当x>－2时，f(x)＝e x＋1－2，∵f(x)＝e x＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f(－1)<0，f(0)＝e －2>0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝e x＋1－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x<－2时，存在唯一零点x∈(－4，－3)．由题意，方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k－1＝－4或k －1＝－1，k＝－3或k＝0.故选D.6．(2017·安徽三模)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同答案 A解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f (3x )≥f (2x )．故选A.7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 D解析 不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18 答案 B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )答案 A解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x <－1，此函数可以看成函数y ＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x＝1＋f (x )1－f (x )，若f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )A ．4B ．2 C.45 D.14 答案 C 解析二、填空题11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，则a的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2解析 ∵方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a >0. 解得12<a <2.∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫12，2.12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为________．答案 f (a )a <f (b )b <f (c )c解析 由题意f (x )x 可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))， 观察图象知 k OA <k OB <k OC ， ∴f (a )a <f (b )b <f (c )c .13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x＋1)；③y ＝－1x ＋1；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)答案 ①④解析 当x ∈(0，＋∞)时：①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小， ∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大， ∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数；③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1x ＋1增大，即y 增大，∴函数y ＝－1x ＋1在(0，＋∞)上为增函数；④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1减小，即y 减小，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1在(0，＋∞)上为减函数．∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1，2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1. 三、解答题15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 解法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎨⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0， ∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5] ， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用29函数模型及其应用课后作业理.doc
2. 9函数模型及其应用E课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1.（2018 •福州模拟）在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据:X—2. 0-1.00 1.0 2.0 3.0y0. 240. 511 2. 02 3. 988.02则y关于x的函数关系与下列函数最接近的（其中日，方为待定系数）是（）A.y= bxB. y= b'D. y=a+~x答案B解析由JV=0时，y=l,排除D；由f（—l.O）Hf（l.O）,排除C；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2.（2017 •云南联考）某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间f （年）的函数关答案A解析rh于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A；后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.3.某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000 本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是（）A. 2. 4 元B. 3 元C. 2. 8 元D. 3. 2 元答案B解析设每本定价/元匕$2）,销售总收入是y元，则5X10'-yyX4X10；i・以= 10* ・*9-2/）29X10'.3C. y= ax + b系可用图象表示的是（A 2/-9%+ 93,故选B.4.（2017 •南昌期末）某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）A. 5 km 处B. 4 km 处C. 3 km 处D. 2 km 处答案A解析设仓库与车站距离为/ 土地费用为H，运输费用为乃，于是yJ, V2=k2x f 2= i 介, 4/J 1°解得人= 20, ki=~.□ l8=10A2,设总费用为y,则尸空+徐2、弹&x 5 x 520 Ax当且仅当—即尸5时取等号.故选A.X u5.（2015・北京高考）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误；对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L, 故行驶1小吋的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误；对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确.故选D.6.（2017 -北京朝阳测试）将甲桶中的臼升水缓慢注入空桶乙屮，广分钟后甲桶屮剩余的水符合指数衰减曲线尸恥"假设过5分钟后甲桶和乙桶的水塑相等，若再过刃分钟甲桶中的水只有备则刃的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10答案D解析根据题意知*=e5",令*日=$e"",即g=e"‘，因为*=e",故*=e"",比较知r=15, /〃=15 —5 = 10.故选D.7.（2016 •天津模拟）国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为冊, 超过280万元的部分按（p+2）%征税，有一公司的实际缴税比例为（门+0.25）%,则该公司的年收入是（）A. 560万元B. 420万元C. 350万元D. 320万元答案D解析设该公司的年收入为;v万元，纳税额为y万元，则由题意得以册，％W280,280X冊+ /—280 X p+2 %, 0280,8.（2017 •北京朝阳区模拟）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择, 这三种方案每天的回报如图所示.（） 2 4 6 8 1（）12 14 刃天横轴为投资时间，纵轴为每天的冋报，根据以上信息，若使冋报最多，下列说法错误的是（）A.投资3天以内（含3天），采用方案一B.投资4天，不采用方案三C.投资6天，采用方案一D.投资12天，采用方案二答案D解析由图可知，投资3天以内（含3天），方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40X4 = 160（元），方案二的回报约为10 + 20 + 30 + 40 = 100（元），都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40X6 = 240（元），方案二的回报约为10 +20 + 30 + 40 + 50 + 60 = 210（元），都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误.故选D.9.（2017 •福建质检）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”・当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分Z 一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（）A. 8B. 9C. 10D. 11答案C解析设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过门（胆眄个“半衰期”后的含量为◎”,由（分<血得心0.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”.故选C.10.（2017 -北京朝阳区模拟）某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租岀的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（）A. 3000 元B. 3300 元C. 3500 元D. 4000 元答案B解析由题意，设利润为y元，租金定为3000 + 50*元（0W/W70,才WN）.则y= （3000+ 50方（70—劝一100（70—方= （2900 +50力・（70 —劝=50（58 + 力（70 —、<58+ A^+70-AX50（—当且仅当58 + /=70—从即x=6时，等号成立，故每月租金定为3000 + 300 = 3300（元）时，公司获得最大利润，故选B.二、填空题11.（2017 •金版创新）“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入斤与广告费〃之间满足关系斤=祐（曰为常数），广告效应为D=ay[A~A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为 .（用常数日表示）答案\a解析令t=y[A(t^0),则A=・••当广=#日，即外=|■/时，〃取得最大值.12.一个容器装有细沙cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y=^F （cm‘），若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 min,容器屮的沙子只有开始时的八分之一.答案16解析 当 Z=0 时，y=a\ 当 Z —8 时,y= ae~^b=^a,・・『冷，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即 尸才=加. 「”=£=（e 一絢则十=24,所以再经过16 min.13. （2014 •北京高考改编）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称 为“可食用率”.在特定条件下，可食用率“与加工时间r （单位：分钟）满足函数关系p=at z+ bt+c{a,b, c 是常数），右图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可 以得到最佳加工吋间为 .答案3. 75分钟25臼+5b+c=0. 5,・・・尸—0. 2『+1. 5 L2 = —*t-yj 2+y|,1 5・••当 戸亍=3.75时p 最大，即最佳加工时间为3. 75分蚀.14. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内 每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间"小时）成正比；药物释放完毕后，y 与Z 的函数关"（日为常数），如图所示，根据图中提供的信息，冋答下列问题:0.5P........................ • ■ 1 ■ (1)F• 1 a i i iX解析由已知得s 9日+3力+c=0・7,日=—0. 2, 解得 方=1・5,0.8().7系式y ：(1) 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间玖小时)之间的函数关系 式为 _______ ;(2) 据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 _________ 小时后，学生才能回到教室.解析 ⑴设尸kt,由图彖知y=ktH 点(0. 1, 1),则 1 =&X0. 1, Q10, ・・・y=10Z (0WtW0. 1).由尸=(胡f 过点(o. 1,1)，得1=(令解得臼=0.1,・・・y=(^)T"(r>o. 1). (2)由(胡Loy 。
2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用学案 理
2．9 函数模型及其应用[知识梳理]1．七类常见函数模型2．指数、对数、幂函数模型的性质3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．[诊断自测]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) (3)当a >1时，不存在实数x 0，使.( )(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 59T 6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771，lg 109＝2.0374，lg 0.09＝－2.9543)( )A ．2015年B ．2011年C ．2010年D ．2008年 答案 B解析 设1995年总值为a ，经过x 年翻两番，则a ·(1＋9%)x＝4a .∴x ＝2lg 2lg 1.09≈16.故选B.(2)(必修A1P 107T 1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y1.5174.0418 7.5 1218.01A ．y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x答案 B解析 由题意得，表中数据y 随x 的变化趋势，函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大越来越快．∵A 中函数是线性增加的函数，C 中函数是比线性增加还缓慢的函数，D 中函数是减函数，∴排除A ，C ，D ，∴B 中函数y ＝12(x 2－1)符合题意．故选B.3．小题热身(1) (2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿 ________千克．答案1909解析 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.答案 ③ x 2－8x ＋17解析 (ⅰ)因为f (x )＝p ·q x ，f (x )＝log q x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－p2，f (x )出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f (x )＝x 2＋px ＋q .(ⅱ)∵f (1)＝10，f (3)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17，∴f (x )＝x 2－8x ＋17，故答案为③；x 2－8x ＋17.题型1 二次函数及分段函数模型典例为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之．解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5000，当x ＝200时，S 取最小值－20000，所以国家每月补偿数额的范围是[5000,20000]． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为yx ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，x ∈[120，144)，12x ＋80000x－200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240， 所以当x ＝120时，yx取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80000x －200≥2 12x ×80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略1．在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．2．实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．见典例．3．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； (2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． 提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．冲关针对训练(2017·广州模拟)某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解 (1)设A ，B 两种产品分别投资x 万元(x ≥0)，所得利润分别为f (x )，g (x )万元． 由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x (x ≥0)，所以根据图象可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元． ②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,3 2 ]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2，所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．题型2 指数函数模型典例(2017·西安模拟)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝211－x2.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．本题用函数思想，采用换元法．解方法技巧构建指数函数模型的关注点1．指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．2．应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．冲关针对训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y (单位：万人)与年份x (单位：年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)． (1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210，log 1.0121.2≈15.3) 解 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .所以该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式是y ＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． 所以10年后该城市人口总数约为112.7万人．(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x ≥120，于是1.012x≥120100，所以x ≥log 1.012120100＝log 1.0121.2≈15.3≈15(年)，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人． 题型3 对数函数模型典例某企业根据分析和预测，能获得10万～1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进行奖励，方案：奖金y (万元)随投资收益x (万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y ＝f (x )模拟此方案．(1)写出模拟函数y ＝f (x )所满足的条件；(2)试分析函数模型y ＝4lg x －3是否符合此方案要求，并说明理由．用函数思想，采用导数法．解 (1)由题意，y ＝f (x )所满足的条件是： ①f (x )在[10,1000]上为增函数， ②f (x )≤9， ③f (x )≤15x .(2)对于y ＝4lg x －3，显然在[10,1000]上是增函数，满足条件①.当10≤x ≤1000时，4lg 10－3≤y ≤4lg 1000－3，即1≤y ≤9，满足条件②. 证明如下：f (x )≤15x ，即4lg x －3≤15x ，对于x ∈[10,1000]恒成立．令g (x )＝4lg x －3－15x ，x ∈[10,1000]，g ′(x )＝20 lg e －x 5x ，∵e<10，∴lg e<lg 10＝12，∴20lg e<10，又∵x ≥10，∴20lg e －x <0，∴g ′(x )<0对于x ∈[10,1000]恒成立，∴g (x )在[10,1000]上是减函数． ∴g (x )≤g (10)＝4lg 10－3－15×10＝－1<0，即4lg x －3－15x ≤0，即4lg x －3≤15x ，对x ∈[10,1000]恒成立，从而满足条件③.方法技巧本例属奖金分配问题，奖金的收益属对数增长，随着投资收益的增加，奖金的增加会趋向于“饱和”状态，实际中很多经济现象都是这种规律，并注意掌握直接法、列式比较法、描点观察法．冲关针对训练候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．1．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间 加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日 4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升 答案 B解析 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，故选B.2．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1答案 D解析 设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝(1＋p )(1＋q )－1，故选D.3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 依题意有192＝e b,48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b ，所以e 22k ＝48e b ＝48192＝14，所以e 11k＝12或－12(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．4．(2017·江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝10x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6. (1)若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；(2)试确定产品A 的销售价格x 的值，其使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．(保留1位小数)解 (1)当x ＝4时，y ＝102＋4×(4－6)2＝21千件，此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4－2)×21＝42千元．(2)该店每日销售产品A 所获得的利润f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，易知在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.0 2.03.0y0.240.5112.023.988.02则y 关于x 的函数关系与下列函数最接近的(其中a ，b 为待定系数)是( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x答案 B解析 由x ＝0时，y ＝1，排除D ；由f (－1.0)≠f (1.0)，排除C ；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( )A ．2.4元B ．3元C ．2.8元D ．3.2元 答案 B解析 设每本定价x 元(x ≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×104－x －20.2×4×103·x＝104·x (9－2x )≥9×104.∴2x 2－9x ＋9≤0⇒32≤x ≤3，故选B.4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 答案 A解析 设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 110，8＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋4x5≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D解析 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误；对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误；对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．故选D.6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a en t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 D解析 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元 答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280，依题有280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故选D.8．(2017·北京朝阳区模拟)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A ．投资3天以内(含3天)，采用方案一B ．投资4天，不采用方案三C ．投资6天，采用方案一D ．投资12天，采用方案二 答案 D解析 由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A 正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B 正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C 正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D 错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3000元B ．3300元C ．3500元D ．4000元 答案 B解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )·(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润，故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．12．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e －8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min. 13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案 3.75分钟解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1)． (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室． 三、解答题15．(2017·济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，则新增的年销量P ＝4(2－x )2(万件)．(1)写出今年商户甲的收益f (x )(单位：万元)与x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由．解 (1)由题意可得：f (x )＝[1＋4(2－x )2](x －1)，1≤x ≤2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f ′(x )＝8(x －2)(x －1)＋1＋4(2－x )2＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)，可得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32时，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，116时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤116，2时，函数f (x )单调递增．∴x ＝32时，函数f (x )取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1；又f (2)＝1. ∴当x ＝32或x ＝2时，函数f (x )取得最大值1(万元)．因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益． 16．(2017·北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2－4x ＋6，g (x )＝a 2·3x＋b 2(a 1，a 2，b 2∈R )．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式； (2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解 (1)依题意：由f (1)＝6，解得a 1＝4， 所以f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝6，g (2)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8，解得a 2＝13，b 2＝5，所以g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润： 当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )； 当x ＝2,3,4时，有f (x )>g (x )； 当x ＝6,7,8,9,10时，有f (x )<g (x )．。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习单元测试题：第
单元质检二函数(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合M={x|2x-1<1,x∈R},N={x|lo x<1,x∈R},则M∩N等于()A. B.(0,1)C. D.(-∞,1)2.已知函数f(x)=则f(f(1))=()A.2B.0C.-4D.-63.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)内单调递增的是()A.y=-B.y=-x2C.y=e-x+e xD.y=|x+1|4.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.25.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),若f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f,f(1),f 的大小关系为()A.f<f(1)<fB.f(1)<f<fC.f<f<f(1)D.f<f(1)<f6.(2017广东七校联考)已知函数f(x)=-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值()A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零7.若方程lo(a-2x)=2+x有解,则a的最小值为()A.2B.1C.D.8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则f(31)=()A.0B.1C.-1D.29.当a>0时,函数f(x)=(x2-ax)e x的图象大致是()10.已知g(x)是R上的奇函数,当x<0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是()A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(1,2)D.(-2,1)11.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A.5 km处B.4 km处C.3 km处D.2 km处12.(2017山东,理10)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知p:函数f(x)=|x+a|在区间(-∞,-1)内是单调函数,q:函数g(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)内是增函数,则p是q的.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)14.已知奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)成立,且f(1)=1,则f(2 015)+f(2 017)=.15.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b=.16.(2017湖北襄阳高三1月调研)已知f(x)=若对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则t的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数f(x)=m+log a x(a>0,且a≠1)的图象过点(8,2)和(1,-1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.(1)求a,b的值;(2)若当x∈[-1,1]时不等式f(2x)-k·2x≥0有解,求实数k的取值范围.19.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x(x∈N*)千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元);当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(单位:万元).通过市场分析,当每件售价为500元时,该厂年内生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润L(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?20.(12分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若函数y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时t的值.21.(12分)已知函数f(x)=lg,其中x>0,a>0.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值;(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.答案：1.A解析由题可得M={x|x<1},N=,∴M∩N=,故选A.2.C解析函数f(x)=则f(f(1))=f(2-4)=f(-2)=-4.故选C.3.C解析选项A中函数是奇函数,不合题意;选项B中函数在区间(0,+∞)内单调递减,不合题意;选项D中函数为非奇非偶函数,不合题意;故选C.4.D解析由题意可知,当-1≤x≤1时,f(x)为奇函数;当x>时,由f=f可得f(x+1)=f(x).所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.所以f(6)=2.故选D.5.C解析∵定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),∴f(x+2)=f(x).∴f=f=f,f=f=f=f.∵f(x)在[0,1]上单调递增,∴f<f<f(1).∴f<f<f(1),故选C.6.A解析f(x)=-log3x在(0,+∞)内递减,若f(x0)=0,当x0<x1时,一定有f(x1)<0,故选A.7.B解析若方程lo(a-2x)=2+x有解,则=a-2x有解,即+2x=a有解.∵+2x≥1,当且仅当=2x,即x=-1时,等号成立,∴a的最小值为1,故选B.8.C解析∵函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.∴f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x).∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的函数.∵当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),∴f(31)=f(32-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1,故选C.9.B解析由f(x)=0,可知x2-ax=0,即x=0或x=a.故函数f(x)有两个零点,因此选项A,C不正确.∵a>0,可设a=1,则f(x)=(x2-x)e x,∴f'(x)=(x2+x-1)e x.由f'(x)=(x2+x-1)e x>0,解得x>或x<.即f(x)在内是增函数,即选项D错误,故选B.10.D解析由题意,当x>0时,g(x)=-g(-x)=ln(1+x),故函数f(x)=因此当x≤0时,f(x)=x3为单调递增函数,值域为(-∞,0].当x>0时,f(x)=ln(1+x)为单调递增函数,值域为(0,+∞).所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增.因为f(2-x2)>f(x),所以2-x2>x,解得-2<x<1.故选D.11.A解析设仓库到车站的距离为x km,由题意,得y1=,y2=k2x,其中x>0.由当x=10时,两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=,故y1+y2=x≥2=8,当且仅当x,即x=5时取等号,故选A.12.B解析由已知得函数y=+m在[0,1]上是增函数,其最小值为m,最大值为1+m,又因为m>0,故①当0<m≤1时,≥1,所以函数y=(mx-1)2在[0,1]上是减函数,其最大值为1,最小值为(m-1)2,依题意得⇒0<m≤1,②当m>1时,0<<1,函数y=(mx-1)2在区间内递减,在区间内递增,依题意得⇒m≥3,综上可得m的取值范围是(0,1]∪[3,+∞).故选B.13.充要条件解析由p成立,得a≤1;由q成立,得a>1.故p成立时a>1,即p是q的充要条件.14.0解析由f(x+6)=f(x),知函数f(x)是周期为6的函数.因为函数f(x)是奇函数,所以f(2 015)=f(6×336-1)=f(-1)=-f(1)=-1,f(2 017)=f(6×336+1)=f(1)=1,所以f(2 015)+f(2 017)=0.15.解析∵f(x)=的图象关于原点对称,∴函数f(x)是奇函数,∴f(0)=0,得a=1.∵g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,∴g(-x)=g(x)对任意的x都成立,∴lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx,∴lg=lg(10x+1)+2bx,∴-x=2bx对一切x恒成立,∴b=-,∴a+b=.16.[,+∞)解析(方法一)∵对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,∴f(t+t)=f(2t)≥2f(t).当t<0时,f(2t)=-4t2≥2f(t)=-2t2,这不可能,故t≥0.∵当x∈[t,t+2]时,有x+t≥2t≥0,x≥t≥0,∴当x∈[t,t+2]时,不等式f(x+t)≥2f(x),即(x+t)2≥2x2,∴x+t≥x,∴t≥(-1)x对于x∈[t,t+2]恒成立.∴t≥(-1)(t+2),解得t≥.(方法二)当x<0时,f(x)=-x2单调递增,当x≥0时,f(x)=x2单调递增,∴f(x)=在R上单调递增,且满足2f(x)=f(x),∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f(x)在[t,t+2]恒成立,∴x+t≥x在[t,t+2]上恒成立,即t≥(-1)x在x∈[t,t+2]恒成立,∴t≥(-1)(t+2),解得t≥,故答案为[,+∞).17.解(1)由得解得故函数解析式为f(x)=-1+log2x.(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]=log2-1(x>1).因为=(x-1)++2≥2+2=4,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,函数y=log2x在(0,+∞)内单调递增,所以log2-1≥log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.18.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故解得(2)由已知可得f(x)=x+-2,所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x,可化为1+-2·≥k.令t=,则k≤t2-2t+1.因为x∈[-1,1],所以t∈.记h(t)=t2-2t+1,因为t∈,所以h(t)max=1.所以k≤1,即实数k的取值范围是(-∞,1].19.解(1)当0<x<80,x∈N*时,L(x)=x2-10x-250=-x2+40x-250;当x≥80,x∈N*时,L(x)=-51x-+1 450-250=1 200-, ∴L(x)=(2)当0<x<80,x∈N*时,L(x)=-(x-60)2+950,∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x≥80,x∈N*时,L(x)=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,∴当x=,即x=100时,L(x)取得最大值L(100)=1 000>950.综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1 000,即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.20.解(1)设f(x)=a(a>0).因为f(1)=0,所以(a-1)=0.又因为t≠0,所以a=1,所以f(x)=(t≠0).(2)因为f(x)=(t≠0),所以当<-1,即t<-4时,f(x)在上的最小值f(x)min=f(-1)==-5,所以t=-;当-1≤,即-4≤t≤-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-=-5, 所以t=±2(舍去);当,即t>-1时,f(x)在上的最小值f(x)min=f=-5,所以t=-(舍去).综上所述,可得t=-.21.解(1)由x+-2>0,得>0.因为x>0,所以x2-2x+a>0.当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞);当a=1时,定义域为{x|x>0,且x≠1};当0<a<1时,定义域为{x|0<x<1-或x>1+}.(2)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立,故a>3x-x2对x∈[2,+∞)恒成立.而h(x)=3x-x2=-在x∈[2,+∞)内是减函数,于是h(x)max=h(2)=2.故a>2,即a的取值范围是{a|a>2}.22.解(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,故函数f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0.∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,∴f(x2)<-f(-x1).又∵f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2).∴f(x)在(-∞,+∞)内是减函数.∴对任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,∴f(-3)=-f(3)=6,∴f(x)在[-3,3]上的最大值为6.(3)∵f(x)为奇函数,∴整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)<f(ax)+f(-2).∴f(ax2-2x)<f(ax-2).∵f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,∴ax2-2x>ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.∴当a=0时,x∈(-∞,1);当a=2时,x∈{x|x≠1,且x∈R};当a<0时,x∈;当0<a<2时,x∈;当a>2时,x∈.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为(-∞,1);当a=2时,原不等式的解集为{x|x≠1,且x∈R};当a<0时,原不等式的解集为;当0<a<2时,原不等式的解集为; 当a>2时,原不等式的解集为.。
2019版高考数学(理)一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-1a含解析
15 8 27 A. B. C．－ D．18 16 9 16 答案 A 1 1 1 15 解析 f(2)＝4，f f2 ＝f 4 ＝1－ 4 2＝ .故选 A. 16 3．已知 f(x5)＝lg x，则 f(2)等于( A．lg 2 B．lg 32 C．lg 答案 D 1 解析 令 x5＝t，则 x＝ t 5 ∴f(t)＝lg t
解析 f[f(x)]＝f[lg (1－x)]＝lg [1－lg (1－x)]，则 故选 B.
1－x>0， 1－lg 1－x>0
⇒－9<x<1.
5．若函数 y＝f(x)的定义域是[0,1]，则函数 F(x)＝f(x＋a)＋f(2x＋a)(0<a<1)的 定义域是( ) a － ，1－a B. 2 1－a －a， D. 2 1－a a .故选 A. ⇒－ ≤x≤ 2 2 ) 1 ，1 B. 2 1 ，＋∞ D. 2 a 1－a － ， A. 2 2 C．[－a,1－a] 答案 A 解析 0≤x＋a≤1， 0≤2x＋a≤1
[基础送分 提速狂刷练] 一、选择题 1．已知 A＝{x|x＝n2，n∈N}，给出下列关系式：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x) ＝x3；④f(x)＝x4；⑤f(x)＝x2＋1，其中能够表示函数 f：A→A 的个数是( A．2 B．3 C．4 D．5 答案 C 解析 对于⑤，当 x＝1 时，x2＋1∉A，故⑤错误，由函数定义可知①②③④ 均正确．故选 C. 2．(2018·吉安四校联考)已知函数 f(x)＝ 1－x2x≤1， x2＋x－2x>1， 1 则 f f2 的值为( ) )
1 5 1 5
)
1 1 D. lg 2 32 5
(t>0)，
1 1 ＝ lg t．∴f(2)＝ lg 2.故选 D. 5 5 ) B．(－9,1) D．[－9,1)
2019版一轮优化探究文数练习：第二章 第十节 函数模型及其应用含解析
一、填空题1．一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为________万元(用数字作答)．解析：1×(1－50%)3＝0.125.答案：0.1252．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案：45.63．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________．解析：设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×(1－13)3＝8 100×827＝2400(元)．答案：2 400元4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．解析：总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.故当Q ＝300时，总利润最大，为2 500万元．答案：2 5005．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：由y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋1， 0<x ≤3，8＋2.15×(x －3)＋1， 3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1， x >8，可得x ＝9.答案：96．中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降．若进口一辆汽车2001年售价为30万元，五年后(2006年)售价为y 万元，每年下调率平均为x %，那么y 和x 的函数关系式为________．解析：每年价格为上一年的(1－x %)倍，所以五年后的价格为y ＝30(1－x %)5. 答案：y ＝30(1－x %)57．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意付款432元，实际标价为432×109＝480(元)，如果一次购买标价176＋480＝656(元)的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6(元)．答案：582.68．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，。
山东高考数学一轮总复习学案设计-第二章第十讲函数模型及其应用含答案解析
第十讲函数模型及其应用知识梳理·双基自测知识梳理知识点函数模型及其应用1．几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f (x )＝x a ＋bx (a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论不正确的是( ABCD ) A ．函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大B ．“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻C ．幂函数增长比直线增长更快D ．不存在x 0，使ax 0<x a 0<log a x 0[解析] A ．当x ＝－1时，2－1<(－1)2.B ．“指数爆炸”是针对b >1，a >0的指数型函数g (x )＝a ·b x ＋c .C ．幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．D ．当a ∈(0,1)时存在x 0，使ax 0<x a 0<log a x 0.故选A 、B 、C 、D ．题组二 走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3 1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．4．(必修1P 107A T2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值． 题组三 考题再现5．(2015·北京，5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( B ) A ．6升 B ．8升 C ．10升D ．12升[解析] 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B ．6．(2015·四川，5分)某食品的保鲜时间y (单位：时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 11k ＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e 33k＋6＝(e 11k )3·e b ＝(12)3×192＝24(时)．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点函数模型及应用考向1利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是(A)A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是(ABC)A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ，当x ∈[0，π2]时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin2x ；当x ∈(π2，π]时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin2x ，故选B ．名师点拨 ☞1．用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝a e －kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，a e－5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b (其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 季节性商品的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某商品开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该商品不再销售．(1)试建立价格p 与周次t 之间的函数关系式；(2)若此商品每周进货一次，每件进价Q 与周次之间的关系式为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，试问该商品第几周每件销售利润最大？最大值是多少？[解析] (1)p ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ，t ∈[0，5]，t ∈N ，20，t ∈(5，10]，t ∈N ，40－2t ，t ∈(10，16]，t ∈N .(2)设第t 周时每件销售利润为L (t )，则L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ＋0.125(t －8)2－12，t ∈[0，5]，t ∈N ，20＋0.125(t －8)2－12，t ∈(5，10]，t ∈N ，40－2t ＋0.125(t －8)2－12，t ∈(10，16]，t ∈N ，＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t 2＋6，t ∈[0，5]，t ∈N ，0.125(t －8)2＋8，t ∈(5，10]，t ∈N ，0.125t 2－4t ＋36，t ∈(10，16]，t ∈N .当t ∈[0,5]，t ∈N 时，L (t )max ＝L (5)＝9.125； 当t ∈(5,10]，t ∈N 时，L (t )max ＝L (6)＝L (10)＝8.5； 当t ∈(10,16]，t ∈N 时，L (t )单调递减， L (t )max ＝L (11)＝7.125.由9.125>8.5>7.125，知L (t )max ＝9.125.从而第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．名师点拨 ☞(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值． 角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由(1)列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 则a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 ☞指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·四川绵阳诊断性测试)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( C )A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米(2)(角度2)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t (0≤t ≤0.1)(116)t －0.1(t >0.1)；②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．[解析] (1)设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，0≤x ≤10，30＋5(x －10)，x >10，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，5x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15，故选C ．(2)①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝(116)t －a 过点(0.1,1)，得1＝(116)0.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝(116)t －0.1(t >0.1)．②由(116)t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6.故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升函数y ＝x ＋ax(a >0)模型及应用例 5 (2019·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元．在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)；在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得： 当0<x <8时，L (x )＝5x －(13x 2＋x )－3＝－13x 2＋4x －3.当x ≥8时，L (x )＝5x －(6x ＋100x －38)－3＝35－(x ＋100x)． 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－(x ＋100x)，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9(万元)．当x ≥8时，L (x )＝35－(x ＋100x )≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)． 此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．名师点拨 ☞(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m,20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)(800x －2)＝808－2(x ＋1 600x)(4<x <400)．因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y ≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m,20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第2章 函数、导数及其应用 2-6a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·安阳检测)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )答案 D解析 当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上．故选D.2．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( )A ．[4,5] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，112 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，132 D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.故选B.3．(2018·太原调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( )A ．恒为负值B ．等于0C ．恒为正值D ．不大于0答案 C 解析4．(2017·河南二模)函数y ＝2xln |x |的图象大致为( )答案 B解析 函数y ＝2xln |x |的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，故排除A ；∵f (－x )＝－2x ln |x |＝－2xln |x |＝－f (x )，∴排除C ；当x ＝2时，y ＝4ln 2>0，故排除D.故选B.5．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析 解法一：函数f (x )的定义域为(－1,1)，任取x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝11＋x＋11－x＝21－x2>0，所以f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.解法二：同解法一知f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln 2－(1－x )1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－x －1. ∵y ＝21－x (x ∈(0,1))是增函数，y ＝ln x 也是增函数，∴f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.6．(2018·包头模拟)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D ．(－∞，－1]答案 B解析 f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，说明内层函数μ(x )＝x 2－ax －a 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是减函数且μ(x )>0成立，只需对称轴x ＝a 2≥－12且μ(x )min ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，∴解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，故选B.7．(2017·安徽安庆二模)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b 答案 B解析 函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a ，故选B.8．(2017·广东模拟)已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )(x ∈R )，∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．(2017·河北五校质监)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n 的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92 答案 D解析 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m >0，n >0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立，所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D.10．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝ln e xe －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝504(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12 答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝ln e xe －x＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴504(a ＋b )＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2015e 2017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＝12×(2×2016)＝2016，∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8.故选B. 二、填空题11．(2018·禅城区月考)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则2a ＋b 的取值范围是________．答案 [22，＋∞)解析 画出y ＝|lg x |的图象如图： ∵0<a <b ，且f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |且0<a <1，b >1，∴－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴2a ＋b ≥22ab ＝2 2. 当2a ＝b 时等号成立， ∴2a ＋b ≥2 2.12．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 答案 －14解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，取“＝”，故f (x )min ＝－14.13．(2017·山西质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.14．(2017·辽宁沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m ＝________.答案 9解析 ∵f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，∴m <1<n ，－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，从而n ＝3，此时log 3n ＝1，符合题意，则n m ＝3÷13＝9.若log 3n ＝2，则n ＝9，从而m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不符合题意．三、解答题15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解16．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解11。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第2章 函数、导数及其应用 2-3a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·重庆测试)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x ＋e －x 2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x 3＋x 答案 D解析 函数y ＝x 3＋3x 2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A ；函数y ＝e x ＋e －x 2是偶函数，排除B ；函数y ＝x sin x 是偶函数，排除C ；函数y ＝log 23－x 3＋x 的定义域是(－3,3)，且f (－x )＝log 23＋x 3－x＝－f (x )，是奇函数，D 正确．故选D.2．下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 函数f (x )＝x 2在(－∞，0)上单调递减，排除A ；当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )＝2|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，0)上单调递减，排除B ；当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )＝log 21|x |＝－log 2(－x )在(－∞，0)上单调递增，且函数f (x )在其定义域内是偶函数，C 正确；函数f (x )＝sin x 是奇函数，排除D.故选C.3．(2017·唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln (1＋x )．则当x <0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln (1－x )B ．x 3＋ln (1－x )C ．x 3－ln (1－x )D ．－x 3＋ln (1－x ) 答案 C解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln (1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln (1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln (1－x )．故选C.4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝( )A ．－0.5B ．0.5C ．－2.5D ．2.5答案 D解析 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)．∵2≤2.5≤3，∴f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5.故选D.5．(2017·金版创新)已知函数f (x )在∀x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝2x ，则f (2017)等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1答案 B解析由f(x－2)＝－f(x)，得f(x－4)＝－f(x－2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(2017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－12.故选B.6．(2018·青岛模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为()A．2 B．1 C．－1 D．－2答案 A解析∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，故4为函数f(x)的周期，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.故选A.7．(2018·襄阳四校联考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2018)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．2答案 D解析因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，所以当x>0时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以f(2018)＝f(1)，又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.故选D.8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2答案 A解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，∴g (－x )＝f (－x －1)＝f (x ＋1)＝－g (x )＝－f (x －1)．即f (x ＋1)＝－f (x －1)．∴f (x ＋2)＝－f (x )．∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴函数f (x )是周期函数，且周期为4.∴f (2018)＝f (2)＝2.故选A.9．(2017·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0) D ．(－1,2)答案 A解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A. 10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点所构成的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案 D解析 当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3x ]＝－x 2－3x ，易求得g (x )＝⎩⎨⎧ x 2－4x ＋3，x ≥0，－x 2－4x ＋3，x <0，当x 2－4x ＋3＝0时，可求得x 1＝1，x 2＝3；当－x 2－4x ＋3＝0时，可求得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7(舍去)． 故g (x )的零点为1,3，－2－7.故选D.二、填空题11．(2018·武昌联考)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.答案 ±1解析 ∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k， ∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ). 由f (－x )＋f (x )＝0，可得k 2＝1，∴k ＝±1.12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．答案 －25解析 ∵f (x )是周期为2的函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.13．(2017·郑州联考)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得取定义域内的每一个x 值，都有f (x )＝－f (2a －x )，则称f (x )为准奇函数．给出下列函数：①f (x )＝(x －1)2，②f (x )＝1x ＋1，③f (x )＝x 3，④f (x )＝cos x ，其中所有准奇函数的序号是________．答案 ②④解析 对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得取定义域内的每一个x 值，都有f (x )＝－f (2a －x )，则函数f (x )的图象关于(a,0)对称．对于①，f (x )＝(x －1)2，函数图象无对称中心；对于②，f (x )＝1x ＋1，函数f (x )的图象关于(－1,0)对称；对于③，f (x )＝x 3，函数f (x )的图象关于(0,0)对称；对于④，f (x )＝cos x ，函数f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称．所以所有准奇函数的序号是②④.14．(2018·太原模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，S n ＝2a n＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________.答案 3解析 ∵奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝－f (－x )，∴f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x ＋3)，∴f (x )是以3为周期的周期函数，∵S n ＝2a n ＋n ①，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1②，②－①可得a n ＋1＝2a n －1，结合a 1＝－1，可得a 5＝－31，a 6＝－63，∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，∴f (a 5)＋f (a 6)＝3.三、解答题15．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)证明：函数f (x )为周期函数；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2018,2018]上的根的个数，并证明你的结论．解 (1)证明：由⎩⎨⎧ f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩⎨⎧ f (x )＝f (4－x )，f (x )＝f (14－x )⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)．∴f (x )为周期函数，T ＝10.(2)∵f (3)＝f (1)＝0，f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0，故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解．从而可知函数y ＝f (x )在[0,2018]上有404个解，在[－2018,0]上有403个解，所以函数y ＝f (x )在[－2018,2018]上有807个解．16．定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)．(1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0，令a ＝b ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，所以k ＝0.证明：由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，令a ＝x ，b ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(2)因为f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，所以mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立，即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎨⎧ m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1.所以实数m 的取值范围是[0,1)．。
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一、填空题
1．一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为________万元(用数字作答)．
解析：1×(1－50%)3＝0.125.
答案：0.125
2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
解析：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，
∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )
＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)．
∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．
答案：45.6
3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价
格降低13，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________．
解析：设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×(1－13)3＝8 100×827＝2
400(元)．
答案：2 400元
4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本
增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总
利润L (Q )的最大值是________万元．
解析：总利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000
＝－120(Q －300)2＋2 500.
故当Q ＝300时，总利润最大，为2 500万元．
答案：2 500
5．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：由y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋1， 0<x ≤3，8＋2.15×(x －3)＋1， 3<x ≤8，
8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1， x >8，
可得x ＝9.
答案：9
6．中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降．若进口一辆汽车2001年售价为30万元，五年后(2006年)售价为y 万元，每年下调率平均为x %，那么y 和x 的函数关系式为________．
解析：每年价格为上一年的(1－x %)倍，所以五年后的价格为y ＝30(1－x %)5. 答案：y ＝30(1－x %)5
7．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
①如一次购物不超过200元，不予以折扣；
②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；
③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．
某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．
解析：由题意付款432元，实际标价为432×109＝480(元)，如果一次购买标价
176＋480＝656(元)的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6(元)．
答案：582.6
8．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，。