常用的积分公式
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
常用积分公式
常用积分公式表·例题和点评⑴d k x kx c =+⎰ (k 为常数)⑵11d (1)1x x x c μμμμ+≠-=++⎰ 特别，211d x c x x =-+⎰, 3223x x c =+, x c =⑶1d ln ||x x c x =+⎰⑷d ln xxaa x c a=+⎰, 特别，e d e x xx c =+⎰ ⑸sin d cos x x x c =-+⎰⑹cos d sin x x x c =+⎰ ⑺221d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰⑻221d sec d tan cos x x x x c x ==+⎰⎰⑼arcsin (0)x x c a a=+>,特别，arcsin x x c =+ ⑽2211d arctan (0)x x c a a a a x =+>+⎰,特别，21d arctan 1x x cx =++⎰⑾2211d ln (0)2a xx c a a a x a x +=+>--⎰或2211d ln (0)2x ax c a a x a x a -=+>+-⎰⑿tan d ln cos x x x c =-+⎰ ⒀cot d ln sin x x x c =+⎰⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x cx x x xc x ⎧-+⎪==⎨+⎪⎩⎰⎰ ⒂πln sec tan 1sec d d ln tan cos 24x x cx x x x c x ⎧++⎪==⎛⎫⎨++ ⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰131⒃(0)a x >==ln x c ++⒄2(0)arcsin 2a a x x c a >==+⒅x2(ln 2a a x c >==++⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e axax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩⎰⎰⒇12222212123d ()2(1)()2(1)nn n n x n x c a x n a a x n a I I ---==+++-+-⎰（递推公式） 跟我做练习(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)例24⑴2)x x =-[套用公式⒅]1ln (2)2x =-+⑵[1(24)42x x x =-+⎰⎰2145)22x x x =-++=(请你写出答案)⑶2)x x =-ln (2)x ⎡=-+⎣ [套用公式⒃]⑷12x x =2122x =+=(请你写出答案)⑸2)x x =-232arcsin23x -=+[套用公式⒄]⑹[1(42)42x x x =---⎰⎰214)22x x x =-+-+=(请你写出答案)⑺==[套用公式⑼]2arcsin3x -=⑻(42)4d 12x x --=-2122=+-=(请你写出答案)例25 求原函数41d 1x x +⎰. 解 因为)21)(21()2()1(2)21(1222222424x x x x x x x x x x +-++=-+=-++=+所以令411x =++为待定常数）D C B A ,,,(=从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+++-=++-=+（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1C A D C B A D C B A D B 解这个方程组(在草纸上做)，得21,221,21,221=-===D C B A . 因此， 41d 1x x+⎰x x =+右端的第一个积分为13314x x x==+2211d4xx+⎛+⎝⎭⎰(套用积分公式)21)1)x+++类似地，右端的第二个积分为21)1)x x=+-⎰所以41d1xx+⎰1)1)+-=+（见下注）【注】根据tan tantan()1tan tanαβαβαβ++=-⋅,则tan1)1)⎡⎤++-===⎣⎦因此,21)1)arctan1x++-=-例26 求d(01)1cosxxεε<<-⎰. [关于d(01)1cosxxεε<<+⎰，见例17]解令tan2xt=(半角替换)，则2222222cos cos sin2cos111222sec1tan22x x xxx x=-=-=-=-+2211tt-=+22d d(2arctan)d1x t tt==+于是，222d12dd211cos1(1)(1)11x tttx t ttεεεε==--+-++-+⎰⎰⎰22d11ttεεε=+++⎰c =+2xc =+【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()y y x =的导数或微分可以用一个“构造性”的公式()()()limh y x h y x y x h→+-'= 或d ()d y y x x '=确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数 ，譬如21e sin ed ,d ,d ,d ln xx xx x x x xxx-⎰⎰⎰⎰等 都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分公式是解决多种数学问题的重要工具。
积分是微积分的核心概念之一，是对函数进行求和的过程。
下面将介绍一些常见的积分公式。
一、基本积分公式1. 幂函数积分：$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$n$为常数，$C$为常数项。
2. 正弦函数积分：$\int \sin x dx=-\cos x+C$。
3. 余弦函数积分：$\int \cos x dx=\sin x+C$。
4. 指数函数积分：$\int e^x dx=e^x+C$。
5. 对数函数积分：$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$。
6. 反正切函数积分：$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$。
7. 反正弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$。
8. 反余弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arccos x+C$。
二、常用积分公式1. 分部积分法：$\int u dv=uv-\int v du$，其中$u$和$v$是可导函数。
2. 三角函数积分：- $\int \sin^2 x dx=\frac{1}{2}(x-\sin x \cos x)+C$。
- $\int \cos^2 x dx=\frac{1}{2}(x+\sin x \cos x)+C$。
- $\int \sin^3 x dx=-\frac{1}{3}\cos^3 x+C$。
- $\int \cos^3 x dx=\frac{1}{3}\sin^3 x+C$。
3. 积化和差公式：$\int \sin(a+b)x dx=-\frac{\cos(a+b)x}{a+b}+C$。
$\int \cos(a+b)x dx=\frac{\sin(a+b)x}{a+b}+C$。
4. 积化导法：$\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$，其中$F$为$f$的一个原函数。
24个基本积分公式
24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。
1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。
2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。
4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。
此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。
5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。
二十四个基本积分公式
二十四个基本积分公式积分是微积分的基本概念之一，它是对函数曲线下其中一区间的面积进行求解的操作。
在求解积分时，我们可以利用一些基本的积分公式来简化计算。
下面将介绍二十四个常用的基本积分公式。
1. $\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中$n\neq -1$）这是幂函数的积分公式，对幂函数进行求积分时，指数加一后再乘以系数并且指数要除以新系数。
2. $\int \frac{1}{x}dx = \ln，x， + C$这是倒数函数的积分公式，对倒数函数求积分时，结果是该函数的自然对数的绝对值。
3. $\int e^xdx = e^x + C$这是指数函数的积分公式，对指数函数求积分时，结果是该函数本身。
4. $\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （其中$a>0, a\neq 1$）这是以底数为常数的指数函数的积分公式，对这种函数进行求积分时，结果是该函数除以对数的底数再加上常数。
5. $\int \sin xdx = -\cos x + C$这是正弦函数的积分公式，对正弦函数求积分时，结果是该函数的负余弦。
6. $\int \cos xdx = \sin x + C$弦。
7. $\int \tan xdx = -\ln，\cos x， + C$这是正切函数的积分公式，对正切函数求积分时，结果是该函数的负对数的余弦的绝对值。
8. $\int \sec xdx = \ln，\sec x + \tan x， + C$这是正割函数的积分公式，对正割函数求积分时，结果是该函数的对数的正割加正切的绝对值。
9. $\int \cot xdx = \ln，\sin x， + C$这是余切函数的积分公式，对余切函数求积分时，结果是该函数的对数的正弦的绝对值。
10. $\int \csc xdx = \ln，\csc x - \cot x， + C$这是余割函数的积分公式，对余割函数求积分时，结果是该函数的对数的余割减余切的绝对值。
常见函数的积分公式
常见函数的积分公式积分是微积分的一个重要概念，它是求解函数面积、曲线长度、体积等问题的基本工具。
在求解函数的积分时，常用的函数积分公式可以帮助我们简化计算，提高效率。
本文将介绍一些常见的函数积分公式，并解释它们的意义和用途，以帮助读者更好地理解和应用。
1. 常数函数积分公式：常数函数的积分公式非常简单，即∫a dx = ax + C，其中a为常数，C为积分常数。
这个公式表示，对于常数函数来说，其积分结果是函数的系数乘以自变量，并加上一个常数C。
这个常数C表示积分后函数的不确定性，因为对一个函数来说，存在无数个原函数。
2. 幂函数积分公式：幂函数的积分公式是微积分中最基本且常用的公式。
对于幂函数f(x) = x^n，其中n不等于-1，其积分公式为∫x^n dx = (1/(n+1)) x^(n+1) + C。
这个公式表示，对于幂函数来说，其积分结果是函数的指数加一的倒数乘以自变量的指数加一次幂，并加上一个常数C。
这个公式可以帮助我们计算多项式函数的积分，以及求解定积分问题。
3. 正弦函数和余弦函数积分公式：正弦函数的积分公式是∫sin(x) dx = -cos(x) + C，余弦函数的积分公式是∫cos(x) dx = sin(x) + C。
这两个公式表示，对于正弦函数和余弦函数来说，其积分结果是函数的相反函数，并加上一个常数C。
这些公式可以帮助我们求解周期性函数的积分，以及解决与波动、振动相关的问题。
4. 指数函数和对数函数积分公式：指数函数的积分公式是∫e^x dx = e^x + C，对数函数的积分公式是∫1/x dx = ln|x| + C。
这两个公式表示，对于指数函数和对数函数来说，其积分结果是函数本身，并加上一个常数C。
这些公式可以帮助我们求解与增长、衰减、复利等问题相关的函数积分。
除了以上这些常见的函数积分公式外，还有其他一些特殊函数的积分公式，如三角函数的积分、反三角函数的积分、双曲函数的积分等。
常用积分公式
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +∫＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+∫＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠−）3．d x x ax b +∫＝21(ln )ax b b ax b C a +−++4．2d x x ax b +∫＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+−++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +∫＝1ln ax b C b x+−+6．2d ()x x ax b +∫＝21ln a ax bC bx b x+−++ 7．2d ()xx ax b +∫＝21(ln b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +∫＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +−+−++ 9．2d ()x x ax b +∫＝211ln ()ax b C b ax b b x+−++的积分10．x ＝C +11．x ∫＝22(3215ax b C a −+12．x x ∫＝22232(15128105a x abx b C a−+13．x＝22(23ax b C a −+14．2x＝22232(34815a x abx b C a −++15．＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a bx b −− 17．d x x ∫＝b +18．2d x x ∫＝2a x −+∫（三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +∫=1arctan xC a a+20．22d ()n x x a +∫=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a −−−+−+−+∫21．22d x x a −∫=1ln 2x a C a x a−++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +∫＝(0)(0)x C b Cb +>+<23．2d x x ax b +∫＝21ln 2ax b C a ++24．22d x x ax b +∫＝2d x b xa a axb −+∫25．2d ()x x ax b +∫＝221ln2x C b ax b++ 26．22d ()x x ax b +∫＝21d a xbx b ax b −−+∫ 27．32d ()x x ax b +∫＝22221ln 22ax b a C bx bx +−+ 28．22d ()x ax b +∫＝221d 2()2x xb ax b b ax b +++∫（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++∫＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+> 30．2d x x ax bx c ++∫＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++−++∫(0)a >的积分31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．xC +34．x＝C +35．2x 2ln(2a x C −++36．2x ＝ln(x C ++37．1ln aC a x −+38．＝2C a x −+39．x 2ln(2a x C +++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C ++++41．x ∫C +42．xx ∫＝422(2ln(88x a x a x C +−++43．d x x ∫ln a a C x −++44．2d x x ∫＝ln(x C x−+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln C + 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 22a C ++50．2x ＝C ++51．1arccos aC a x+52．＝2C a x +53．x 22a C −+54．x ＝2243(25ln 88x x a a C −++55．x ∫C +56．xx ∫＝422(2ln 88x a x a C −+57．d x x ∫arccos aa C x +58．2d x x ∫＝C x−++(0)a >的积分 59．＝arcsinxC a + 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a ++64．2x C +65．1ln a C a x −+66．＝2C a x −+67．x 2arcsin 2a x C a++68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a −++69．x ∫＝C +70．xx ∫＝422(2arcsin 88x a x x a C a−+71．d x x ∫ln a a C x −++72．2d x x ∫＝arcsin xC x a−−+(0)a >的积分73．C +74．x2C ++75．xC −+76．＝C +77．x 2C ++78．x ＝C ++的积分79．x ＝((x b b a C −+−++80．x ＝((x b b a C −+−+81．C+()a b <82．x ＝C ++ ()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ∫＝cos x C −+84．cos d x x ∫＝sin x C + 85．tan d x x ∫＝ln cos x C −+ 86．cot d x x ∫＝ln sin x C + 87．sec d x x ∫＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ∫＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C −+ 89．2sec d x x ∫＝tan x C + 90．2csc d x x ∫＝cot x C −+ 91．sec tan d x x x ∫＝sec x C + 92．csc cot d x x x ∫＝csc x C −+ 93．2sin d x x ∫＝1sin 224x x C −+ 94．2cos d x x ∫＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ∫＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n−−−−+∫ 96．cos d n x x ∫＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n−−−+∫ 97．d sin n x x ∫＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x −−−−⋅+−−∫ 98．d cos n x x ∫＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x−−−⋅+−−∫ 99．cos sin d m n x x x ∫＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x x x m n m n−+−−+++∫ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+−−−−+++∫ 100．sin cos d ax bx x ∫＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b −+−−++−101．sin sin d ax bx x ∫＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b −++−++−102．cos cos d ax bx x ∫＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++−++−103．d sin x a b x +∫tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +∫C +22()a b <105．d cos x a b x +∫tan 2xC +22()a b >106．d cos x a b x +∫C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +∫＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x −∫＝1tan ln 2tan b x aC ab b x a ++−109．sin d x ax x ∫＝211sin cos ax x ax C a a −+ 110．2sin d x ax x ∫＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a −+++111．cos d x ax x ∫＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ∫＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+−+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ∫＝arcsin x x C a++114．arcsin d x x x a ∫＝C +115．2arcsin d x x x a ∫＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d xx a ∫＝arccosxx C a−+117．arccos d x x x a ∫＝C +118．2arccos d x x x a ∫＝3221arccos (239x x x a C a −++119．arctand x x a ∫＝22arctan ln()2x a x a x C a −++ 120．arctan d x x x a∫＝221()arctan 22x a a x x C a +−+121．2arctan d x x x a ∫＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a −+++（十三）含有指数函数的积分122．d xa x ∫＝1ln xa C a + 123．e d axx ∫＝1e ax C a +124．e d ax x x ∫＝21(1)e axax C a−+125．e d n axx x ∫＝11e e d n ax n ax n x x x a a−−∫126．d xxa x ∫＝21ln (ln )x x x a a C a a −+ 127．d nxx a x ∫＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a −−∫ 128．e sin d axbx x ∫＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b −++ 129．e cos d ax bx x ∫＝221e (sin cos )axb bx a bx C a b+++130．e sin d ax n bx x ∫＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n−−+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n −−++∫131．e cos d ax n bx x ∫＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n−++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n−−++∫ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ∫＝ln x x x C −+ 133．d ln x x x ∫＝ln ln x C +134．ln d n x x x ∫＝111(ln )11n x x C n n +−+++ 135．(ln )d n x x ∫＝1(ln )(ln )d n n x x n x x −−∫ 136．(ln )d m n x x x ∫＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +−−++∫ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ∫＝ch x C +138．ch d x x ∫＝sh x C +139．th d x x ∫＝ln ch x C + 140．2sh d x x ∫＝1sh224x x C −++ 141．2ch d x x ∫＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π−π∫＝sin d nx x π−π∫＝0 143．cos sin d mx nx x π−π∫＝0144．cos cos d mx nx x π−π∫＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π−π∫＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π∫＝0cos cos d mx nx x π∫＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π∫＝20cos d n x x π∫ n I ＝21n n I n−− 1342253n n n I n n −−=⋅⋅⋅⋅−" （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n −−π=⋅⋅⋅⋅⋅−"（n 为正偶数），0I ＝2π。
积分公式
2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．3.不定积分的四则运算根据微分运算公式d(f(x)±g(x))=d f(x)±d g(x)d(kf(x))=k d f(x)我们得不定积分的线性运算公式(1)∫[f(x)±g(x)]d x=∫f(x)d x±∫g(x)d x(2)∫kf(x)d x=k∫f(x)d x，k是非零常数.现在可利用这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．例2.5.4求∫(x3+3x++5sin x－4cos x)d x解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x－4∫cos x d x=+7ln|x|－5cos x－4sin x+C .注.此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成一个任意常数C，因此在最后写出C即可．例2.5.5求∫(1+)3d x解.原式=∫(1+3+3x+)d x=∫d x+3∫d x+3∫x d x+∫d x=x+3+C=x+2x++C .注.∫d x与∫1d x是相同的，其中1可省略．例2.5.6求解.原式===－x+arctan x+C .注.被积函数是分子次数不低于分母次数的分式，称为有理假分式．先将其分出一个整式x2－1，余下的分式为有理真分式,其分子次数低于分母的次数．例2.5.7求.解.原式==∫csc2x d x－∫sec2x d x=－cot x－tan x+C .注.利用三角函数公式将被积函数化简成简单函数以便使用基本积分公式.例2.5.8求.解.原式==+C .为了得到进一步的不定积分计算方法，我们先用微分的链锁法则导出不定积分的重要计算方法−−换元法.思考题.被积函数是有理假分式时，积分之前应先分出一个整式，再加上一个有理真分式，一般情形怎样实施这一步骤？4.第一换元法（凑微分法）我们先看一个例子：例2.5.9求.解.因(1+x2)' =2x，与被积函数的分子只差常数倍数2，如果将分子补成2x,即可将原式变形：原式=(令u=1+x2)=(代回u=1+x2).注.此例解法的关键是凑了微分d(1+x2)．一般地在F'(u)=f(u),u=ϕ(x)可导,且ϕ' (x)连续的条件下,我们有第一换元公式(凑微分)：u=ϕ (x) 积分代回u=ϕ (x)∫f[ϕ(x)]ϕ' (x)d x=∫f[ϕ(x)]dϕ(x)=∫f(u)d u=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C其中函数ϕ(x)是可导的,且F(u)是f(u)的一个原函数．从上述公式可看出凑微分法的步骤：凑微分————→换元————→积分————→再换元ϕ' (x)d x=dϕ(x) u=ϕ(x) 得F(u)+C得F[ϕ(x)]+C注.凑微分法的过程实质上是复合函数求导的链锁法则的逆过程．事实上，在F'(u)=f(u)的前提下，上述公式右端经求导即得:[F[ϕ(x)]+C]' =F '[ϕ(x)]ϕ' (x)=f[ϕ(x)]ϕ' (x)这就验证了公式的正确性．例2.5.10求∫(ax+b)m d x.(m≠-1,a≠0)解.原式=(凑微分d(ax+b))=(换元u=ax+b)=(积分)=. (代回u=ax+b)例2.5.11求.解.原式=(凑微分d(-x3)=-3x2d x)===(换元u=-x3).注.你熟练掌握凑微分法之后，中间换元u=ϕ(x)可省略不写,显得计算过程更简练,但要做到心中有数．例2.5.12求∫tan x d x.解.原式==-ln|cos x|+C .同理可得∫cot x d x=ln|sin x|+C .例2.5.13求(a>0).解.原式==.例2.5.14求(a>0).解.原式==.例2.5.15求.解.原式====.例2.5.16∫sec x d x.解.原式=(换元u=sin x)===(代回u=sin x)===ln|sec x+tan x|+C .公式:∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C .例.2.5.17求∫csc x d x .解.原式===ln|csc x-cot x|+C .公式:∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C .凑微分法是不定积分换元法的第一种形式，其另一种形式是下面的第二换元法．5.第二换元法不定积分第一换元法的公式中核心部分是∫f[ϕ(x)]ϕ'(x)d x=∫f(u)d u我们从公式的左边演算到右边，即换元：u=ϕ(x)．与此相反，如果我们从公式的右边演算到左边，那么就是换元的另一种形式，称为第二换元法．即若f(u),u=ϕ(x),ϕ'(x)均连续,u=ϕ(x)的反函数x=ϕ-1(u)存在且可导,F(x)是f[ϕ(x)]ϕ'(x)的一个原函数,则有∫f(u)d u=∫f[ϕ(x)]ϕ'(x)d x=F(x)+C=F[ϕ-1(u)]+C .第二换元法常用于被积函数含有根式的情况．例2.5.18求解.令(此处ϕ(t)=t2)．于是原式===(代回t= -1(x)=) 注.你能看到，换元=t的目的在于将被积函数中的无理式转换成有理式,然后积分．第二换元法除处理形似上例这种根式以外，还常处理含有根式，，(a>0)的被积函数的积分．例2.5.19求. (a>0)解.令x=a sec t，则d x=a sec t tan t d t,于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 .到此需将t代回原积分变量x，用到反函数t=arcsec，但这种做法较繁．下面介绍一种直观的便于实施的图解法：作直角三角形，其一锐角为t及三边a，x，满足：sec t=由此，原式=ln|sec t+tan t|+C1==.注．C1是任意常数,-ln a是常数,由此C=C1-ln a仍是任意常数．(a>0)例2.5.20求.解.令x=a tan t，则d x=a sec2t d t，于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 ．图解换元得原式=ln|sec t+tan t|+C1=.公式:.例2.5.21求(a>0).解.令x=a sin t，则d x=a cos t d t，于是原式===+C.图解换元得：原式=+C=+C .除了换元法积分外，还有一个重要的积分公式，即分部积分公式．思考题.在第二换元法公式中，请你注意加了一个条件“u=ϕ(x)的反函数x=ϕ1-(u)存在且可导”，你能否作出解释，为什么要加此条件？6.分部积分公式我们从微分公式d(uv)=v d u+u d v两边积分，即∫d(uv)=∫v d u+∫u d v由此导出不定积分的分部积分公式∫u d v=uv -∫v d u下面通过例子说明公式的用法．例2.5.22求∫x2ln x d x解.∫x2ln x d x=(将微分dln x算出)==.例2.5.23求∫x2sin x d x.解.原式=∫x2d(-cos x) (凑微分)=-x2cos x-∫(-cos x)d(x2) (用分部积分公式)=-x2cos x+∫2x cos x d x=-x2cos x+2∫x dsin x(第二次凑微分)=-x2cos x+2[x sin x－∫sin x d x] (第二次用分部积分公式)=-x2cos x+2x sin x+2cos x+C .例2.5.24求∫e x sin x d x.解.∫e x sin x d x=∫sin x d e x (凑微分)=e x sin x-∫e x dsin x(用分部积分公式)=e x sin x-∫e x cos x d x(算出微分)=e x sin x-∫cos x d e x(第二次凑微分)=e x sin x-[e x cos x-∫e x dcos x] (第二次用分部积分公式)=e x(sin x-cos x)-∫e x sin x d x(第二次算出微分)由此得：2∫e x sin x d x=e x(sin x-cos x)+2C因此∫e x sin x d x=(sin x-cos x)+C ．注.(1)此例中在第二次凑微分时，必须与第一次凑的微分形式相同．否则若将∫e x cos x d x凑成∫e x dsin x,那将产生恶性循环，你可试试．(2)积分常数C可写在积分号∫一旦消失之后．例2.5.25求∫arctan x d x解.此题被积函数可看作x0arctan x，x0d x=d x，即适合分部积分公式中u=arctan x，v=x．故原式=x arctan x - ∫x d(arctan x) (用分部积分公式)=x arctan x - d x(算出微分)=x arctan x - (凑微分)=x arctan x - ln(1+x2)+C .小结.(1)分部积分公式常用于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形，例如x3arctan x，x3ln x 幂函数与反正切或对数函数x2sin x，x2cos x幂函数与正弦,余弦x2e x幂函数与指数函数e x sin x,e x cos x 指数函数与正弦,余弦等等．(2)在用分部积分公式计算不定积分时，将哪类函数凑成微分d v，一般应选择容易凑的那个．例如arctan x d，ln x d我们已学习了不定积分的几种常用方法，除了熟练运用这些方法外，在许多数学手册中往往列举了几百个不定积分公式，它们不是基本的，不需要熟记，但可以作为备查之用，称为积分表．思考题.你仔细观察分部积分公式，掌握其中使用的规律，特别是第一步凑微分时如何选择微分.7.积分表的使用除了基本积分公式之外，在许多数学手册中往往列举了几百个补充的积分公式，构成了积分表．下面列出本节已得到的基本积分公式．(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1,x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=- cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=- cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C(14)∫tan x d x=-ln|cos x|+C(15)∫cot x d x=ln|sin x|+C(16)=(a>0)(17)=(a>0)(18)(a>0)(19)=(a>0)(20)∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C(21)∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C利用积分表中的公式，可使积分计算大大简化．积分表的使用方法比较简单，现举一例说明之．例2.5.26求解.从积分表中查得公式则将a=3，b=－1，c=4代入上式并添上积分常数C即得解答：=.。
积分公式大全
x2 a2dx ＝ x x2
a2
a2 ln( x
2
2
x 2 a2 ) C
40．
( x2 a2 )3 dx ＝ x (2 x2 5a 2) x2 a 2 3 a4 ln( x
8
8
41． x x2
a2dx ＝ 1
2
(x
23
a)
C
3
x2 a2 ) C
42． x 2 x 2
a2 dx ＝ x (2 x 2 a 2) x 2 a 2 8
x2 a2 C
56． x 2 x 2
a2 dx ＝ x (2 x 2 a 2) x 2 a 2 8
a4 ln x
8
x2 a2 C
57．
x2 a2 dx ＝ x2 a2
a a arccos
C
x
x
58．
x2 x2
a 2 dx ＝
x2 a 2 ln x x
x2 a2 C
（八）含有 a2 x2 (a 0) 的积分
mn
mn
＝
1 cosm 1 x sinn 1 x n 1 cosm x sin n 2 xdx
mn
mn
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8
—
100． sin ax cosbxdx ＝
1 cos(a b)x
1 cos(a b) x C
2( a b)
2( a b)
101． sin ax sin bxdx ＝
1 sin( a b) x
x2
2
dx ＝ x
ax b a
b dx a ax2 b
2
25．
dx x(ax 2
＝
b)
1 2b
高数积分公式大全24个
高数积分公式大全24个数学中积分公式是学习数学的基石，是求解问题的重要工具。
下面总结了数学高级积分中的24个公式：1. 加法法则：∫u(x)+v(x)dx=∫u(x)dx+∫v(x)dx2. 乘法法则：∫c(x)u(x)dx=c∫u(x)dx3. 幂函数：∫xαdx=xα+1/(α+1)+C4. 指数函数：∫exdx=ex+C5. 根号函数：∫√axdx=2/3√ax3/2+C6. 三角函数：∫sinxdx=−cosx+c7. 反三角函数：∫arcsinxdx=xarcsinx−sinx+C8. 双曲函数：∫sinx/cdx=−ln|cscx+cotx|+C9. 二次函数：∫ax2+bx+cdx=1/3ax3+1/2bx2+cxdx+C10. 指标函数：∫axdx=axlnax−x+C11. 阶乘函数：∫x(n)(dx)=x(n+1)/(n+1)+C12. 拉格朗日积分：∫xn/aeaxdx=xn+1/(an+1)+C13. 对数函数：∫lnxdx=xlnx−x+C14. 锐曲线积分：∫1/(1+a2x2)dx=arctan(ax)+C15. 椭圆积分：∫(dx/a2−dy/b2)dx=b2ln|x/a|+C16. 余切函数：∫cotxdx=ln|sinx|+C17. 正弦函数：∫cosxdx=sinx+C18. 逆正弦函数：∫arccosxdx=xarccosx−sinx+C19. 双曲函数：∫sec2x dx=tanx+C20. 余弦函数：∫−sin(2x)dx=−1/2cos2x+C21. 逆余弦函数：∫arccos(2x)dx=1/2x arccos(2x)+1/2sin(2x)+C22. 零余弦函数：∫acos2x2dx=xacos2x2+1/2sinx+C23. 正切函数：∫tanxdx=ln|secx|+C24. 逆正切函数：∫arctanxdx=xarctanx−1/2ln|x2+1|+C以上就是积分公式的24种，有了这些公式，可以有效地解决复杂的问题。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学中，积分是一个非常重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
积分公式则是解决积分问题的有力工具。
下面，我们就来详细介绍一下高等数学中的积分公式。
一、不定积分的基本公式1、常数的积分：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数，C 为积分常数）2、幂函数的积分：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）3、指数函数的积分：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1 ／ lna)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫lnx dx ＝ xlnx x ＋ C∫log_a x dx ＝（1 ／ lna)x(log_a x 1) ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）二、三角函数的积分公式1、∫sinx dx ＝ cosx ＋ C2、∫cosx dx ＝ sinx ＋ C3、∫tanx dx ＝ ln|cosx| ＋ C4、∫cotx dx ＝ ln|sinx| ＋ C5、∫secx dx＝ ln|secx ＋ tanx| ＋ C6、∫cscx dx ＝ ln|cscx ＋ cotx| ＋ C三、反三角函数的积分公式1、∫arcsinx dx ＝ xarcsinx ＋√（1 x^2) ＋ C2、∫arccosx dx ＝xarccosx √（1 x^2) ＋ C3、∫arctanx dx ＝ xarctanx （1 ／ 2)ln(1 ＋ x^2) ＋ C4、∫arccotx dx ＝ xarccotx ＋（1 ／ 2)ln(1 ＋ x^2) ＋ C四、有理函数的积分有理函数是指两个多项式的商。
对于形如P(x) ／Q(x) 的有理函数，其中 P(x) 和 Q(x) 都是多项式，可以通过多项式的除法将其化为一个多项式和一个真分式之和。
真分式可以通过部分分式分解的方法化为较简单的分式，然后再进行积分。
常用函数积分公式表
常用函数积分公式表常用函数积分公式是数学中的重要内容，它们用于计算各种函数的积分结果。
在下面的回答中，我将提供一些常见的函数积分公式，并用易于理解的术语解释它们。
1. 常数函数积分公式：对于常数函数f(x) = C，其中C 是一个常数，它的积分结果是F(x) = Cx + K，其中K 是常数。
2. 幂函数积分公式：对于幂函数f(x) = x^n，其中n 是实数，且n ≠-1，它的积分结果是F(x) = (1/(n+1))x^(n+1) + K，其中K 是常数。
3. 指数函数积分公式：对于指数函数f(x) = e^x，它的积分结果是F(x) = e^x + K，其中K 是常数。
4. 对数函数积分公式：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，其中x > 0，它的积分结果是F(x) = xln(x) - x + K，其中K 是常数。
5. 三角函数积分公式：对于正弦函数f(x) = sin(x) 和余弦函数f(x) = cos(x)，它们的积分结果分别是F(x) = -cos(x) + K 和F(x) = sin(x) + K，其中K 是常数。
6. 反三角函数积分公式：对于反正弦函数f(x) = arcsin(x)，它的积分结果是F(x) = xarcsin(x) + sqrt(1-x^2) + K，其中K 是常数。
类似地，对于反余弦函数f(x) = arccos(x) 和反正切函数f(x) = arctan(x)，它们的积分结果也有相应的公式。
7. 指数型积分公式：对于指数型函数f(x) = e^(ax+b)，其中a 和b 是常数，它的积分结果是F(x) = (1/a)e^(ax+b) + K，其中K 是常数。
8. 分部积分法：分部积分法是一种常用的积分技巧，用于求解两个函数的乘积的积分。
它的公式是∫u dv = uv -∫v du，其中u 和v 是函数，而du 和dv 是它们的微分。
这些是一些常见的函数积分公式，它们在数学中的应用非常广泛。
常用147条积分公式
32．
dx (x a )
2 2 3
＝
x a
2
x2 a2
C
33．
x x a
2 2
dx ＝ x 2 a 2 C 1 x2 a2
34．
x ( x 2 a 2 )3
dx ＝
C
3
35．
x x
x2 x2 a2 x2
dx ＝
x 2 a2 x a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x x a
49．
x2 x2 a2 x2
dx ＝
x 2 a2 x a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 x x a
2 2
50．
(x a )
2
2 3
dx ＝
ln x x 2 a 2 C
51．
dx x2 a2 dx
2
＝
1 a arccos C a x x2 a2 C a2 x
2 2
36．
(x a )
2
2 3
dx ＝
ln( x x 2 a 2 ) C
37．
dx x2 a2 dx
＝
1 x2 a2 a ln C a x
38．
2
x2 a2 ＝ C a2 x x2 a2
2 2
39．
x 2 a2 2 x a dx ＝ x a ln( x x 2 a 2 ) C 2 2
1 a dx 2 bx b ax b
ax 2 b dx a 1 27． 3 ＝ 2 ln C 2 2 x 2bx 2 x ( ax b) 2b
28．
积分表常用公式
积分表常用公式积分表是数学中常用的一种工具，它可以将一系列的函数、图像或数据点映射到一个数学结构，从而使其可以高效地表示和分析。
积分表中使用的公式有很多，而最常用的几种就是拉格朗日积分，定积分和累积分。
拉格朗日积分是积分中最为基础的公式。
它的公式定义为：∫a~bf(x) dx = F(b)-F(a)其中，f(x)是在区间[a,b]上的一个函数，F(x)是函数f(x)的积分。
拉格朗日积分可以用于求解一个变量的定积分，也可用于求解一个变量的微分变换的积分。
定积分的公式定义为：∫a~b f(x) dx = F(b)-F(a)其中，f(x)是在区间[a,b]上的一个函数，F(x)是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
定积分可以用于求解函数在一个固定的区间内的积分。
累积分的公式定义为：∫-∞~∞f(x) dx = F(∞)-F(-∞)其中，f(x)是在区间[-∞,∞]上的一个函数，F(x)是函数f(x)的累积分。
累积分可以用于求解函数在一个无限的区间内的积分。
拉格朗日积分、定积分和累积分是数学中常用的几种积分公式。
它们可以用于求解函数的不同类型的积分，从而方便数学分析。
例如，可以用这些公式来求解在某一特定区域内函数的积分，或者求解数据变换的积分。
对于不同的问题，可以根据需要使用不同的积分公式，从而更好地解决数学问题。
此外，积分表还包括存在的几种不同的变换方法，如傅立叶变换、哈尔变换等，这些变换方法都可以应用于积分表中的数据点，从而更方便地进行数据推断和建模。
总而言之，积分表的用途是无穷无尽的，它为数学研究提供了方便的工具。
上述拉格朗日积分、定积分和累积分是最常用的几种积分公式，它们各有不同的用途，可根据需要使用，从而更好地解决数学问题。
同时，积分表中不仅仅有这三种积分公式，还包括存在的几种变换方法，这些变换方法也可以应用于积分表中的数据点，从而更好地实现数据推断和建模。
因此，积分表是数学中非常有用的工具，是数学研究的基础。
积分的推导公式
积分的推导公式积分是微积分中的重要概念，它描述了函数在一定区间上的累积效应。
在微积分中，有两个与积分相关的概念，即不定积分和定积分。
不定积分是对函数进行积分，得到的结果是一个包含常数的表达式。
而定积分是对函数在一个区间上进行积分，得到的结果是一个具体的数值。
积分的推导公式是通过对函数进行积分，应用一些基本的积分规则和性质，得到的一系列公式。
这些公式在计算积分时非常有用，可以简化计算过程，提高效率。
常见的积分推导公式有以下几种：一、基本积分公式：1. 常数函数的积分公式：∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为常数项。
2. 幂函数的积分公式：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数项。
3. 指数函数的积分公式：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数项。
4. 对数函数的积分公式：∫(1/x)dx = ln|x| + C，其中C为常数项。
二、常用积分公式：1. 三角函数的积分公式：- 正弦函数的积分公式：∫sin(x)dx = -cos(x) + C，其中C为常数项。
- 余弦函数的积分公式：∫cos(x)dx = sin(x) + C，其中C为常数项。
- 正切函数的积分公式：∫tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C，其中C为常数项。
2. 反三角函数的积分公式：- 反正弦函数的积分公式：∫arcsin(x)dx = x·arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C，其中C为常数项。
- 反余弦函数的积分公式：∫arccos(x)dx = x·arccos(x) - sqrt(1-x^2) + C，其中C为常数项。
- 反正切函数的积分公式：∫arctan(x)dx = x·arctan(x) - ln|1+x^2| + C，其中C为常数项。
三、积分运算的性质：1. 积分的线性性质：∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
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常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦ 5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax b C b x +-+6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b ++++8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10．x⎰＝C 11．x ⎰＝22(3215ax b C a -+12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a -+ 13．x ⎰＝22(23ax b C a - 14．2x ⎰＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．⎰(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．⎰＝2a bx b -- 17．x ⎰＝b18．x ⎰＝2a +（三）含有22x a ±的积分19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a +20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x a C a x a -++（四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a ++24．22d x x ax b +⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b ++26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2xxb ax b b ax b +++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)Cb ac Cb ac +<+> 30．2d xx ax bx c ++⎰＝221d ln 22b xax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31．⎰＝1arsh xC a +＝ln(x C ++32．⎰C +33．x ⎰C34．x ⎰＝C +35．2x ⎰2ln(2a x C ++36．＝ 37．⎰1ln a C a x -+38．⎰C +39．x ⎰2ln(2a x C ++ 40．x ⎰＝2243(25ln(88x x a a x C ++++ 41．x ⎰C + 42．x x ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x ⎰ln a a C x + 44．2d x x ⎰＝ln(x C x -+++(0)a >的积分45．＝1arch x x C x a +=ln x C ++46．47．x⎰C48．x⎰＝C+49．2x⎰2ln2ax C+++50．2x⎰＝ln x C+++51．⎰1arccos a Ca x+52．⎰C+53．x2ln2ax C++54．x⎰＝2243(25ln88xx a a x C-+++55．x⎰C56．x x⎰＝422(2ln88x ax a x C-++57．x⎰arccosaa Cx+58．x⎰＝ln x C+++(0)a>的积分59．⎰＝arcsinxCa+60．⎰C+61．x⎰＝C62．x⎰C+63．2x⎰＝2arcsin2a xCa+64．2x⎰arcsinxCa-+65．⎰1lnaCa x-+66．⎰2Ca x-+67．x2arcsin2a xCa+68．x⎰＝2243(52arcsin88x xa x a Ca-+69．x⎰＝C70．x x⎰＝422(2arcsin88x a xx a Ca-++71．d xx⎰a C+72．x⎰＝arcsinxCa-+(0)a>的积分73．⎰2ax b C+++74．x⎰22ax b C++++75．x ⎰＝2ax b C-+++76．⎰＝C+77．x⎰2C+ 78．x⎰＝C++79．x⎰＝((x b b a C--+80．x⎰＝((x b b a C-+-+81．⎰C()a b<82．x⎰2()4b aC-()a b<（十一）含有三角函数的积分83．sin d x x⎰＝cos x C-+84．cos d x x ⎰＝sin x C +85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42x C π++＝ln sec tan x x C ++88．csc d x x ⎰＝ln tan2x C +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C +92．csc cot d x x x⎰＝csc x C -+ 93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++ 95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n ----+⎰96．cos d nx x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n ---+⎰97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n x n x n x ----⋅+--⎰98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n x n x n x ---⋅+--⎰99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++- 101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++- 102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin x a b x +⎰tan x a b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C +22()a b < 105．d cos x a b x +⎰＝)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰＝C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )b x C ab a +108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++ 111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a +-+ （十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a +114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d x x a ⎰＝arccos x x C a -117．arccos d x x x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a -118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -++ 119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d x a x⎰＝1ln x a C a + 123．e d axx ⎰＝1e ax C a + 124．e d axx x ⎰＝21(1)e ax ax C a -+ 125．e d n axx x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰126．d xxa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a --⎰128．e sin d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b +++ 130．e sin d ax nbx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n --+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n -++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n --++⎰（十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln d nx x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d nx x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰136．(ln )d m nx x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C +140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩ 145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d nx x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n --1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅-L （n 为大于1的正奇数），1I ＝113312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-L （n 为正偶数），0I ＝2π。