构造相似三角形解决问题
三角形的相似性质如何利用相似三角形的性质求解问题
三角形的相似性质如何利用相似三角形的性质求解问题三角形是初中数学中的重要内容，而其中的相似三角形更是一个重要的概念。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形的性质可以帮助我们在解决问题时更加简便和高效。
本文将探讨相似三角形的性质以及如何利用这些性质来解决实际问题。
一、相似三角形的性质1. 比例关系相似三角形的边长比例相等，即如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们就是相似三角形。
例如，如果ΔABC 与ΔA'B'C' 是相似三角形，那么有如下的比例关系：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'2. 角度关系相似三角形的对应角度相等，即两个相似三角形对应角的度数相等。
例如，如果ΔABC 与ΔA'B'C' 是相似三角形，那么相应的角度关系如下：∠A = ∠A'∠B = ∠B'∠C = ∠C'二、利用相似三角形的性质求解问题利用相似三角形的性质，我们可以在解决实际问题时采用以下方法：1. 比例推导根据相似三角形的比例关系，可以利用已知信息求解未知信息。
例如，已知两个三角形相似且知道一个三角形的边长和另一个三角形的边长比例，可以通过设立等式求解未知边长。
2. 定理运用利用相似三角形的角度关系，可以应用相应的定理求解问题。
例如，可以应用“等角定理”、“角平分线定理”等来解决与相似三角形有关的问题。
3. 测量实际问题当我们面对实际问题时，可以利用相似三角形的性质进行测量。
例如，当我们需要测量高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量阴影的长度和角度来计算出高楼的高度。
综上所述，相似三角形的性质在数学解题中是非常重要的。
通过学习和应用相似三角形的性质，我们可以更加高效地解决各类与三角形有关的问题。
使用相似三角形的性质，我们可以推导比例关系、运用定理以及进行实际测量，从而准确地求解问题。
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。
本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。
一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。
例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。
类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。
2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。
当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。
3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。
通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。
二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。
通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。
2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。
例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。
相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。
3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。
根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。
总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。
通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。
九下 图形的相似 6.7 用相似三角形解决问题(2) 含答案
6.7 用相似三角形解决问题(2)学习目标：1．掌握中心投影的概念，对比、总结平行投影与中心投影的区别；2．运用相似三角形的知识，建构中心投影的数学模型，辅助解决实际问题；3．感受相似三角形的运用价值，深化对核心数学知识的理解，培养学习兴趣，增强合作意识． 学习重点：掌握中心投影的相关知识，用相似三角形的知识解决问题． 学习难点：将实际问题抽象、建模，辅助解题． 学习过程： 导学预习：1．如图1是用杠杆撬石头的示意图， C 是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬起．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须上翘起10cm ，己知杠杆的AB =2m ，BC =40cm ，则要这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压 cm ．2．晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（ ）A.变长B.变短C.先变长后变短D.先变短后变长3．夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是（ ）A .路灯的左侧B .路灯的右侧C .路灯的下方D .以上都可以4．如图2，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的（ ）Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．32合作探究：活动一 自主学习 讨论分享阅读阅读教材83页，了解中心投影，说说自己的体会．_______________________________________________________称为中心投影。
思考：在点光源的照射下，不同物体的物高与影长成比例吗？结论：一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的高与影长____________． 活动二 尝试交流如图，某人身高CD ＝1.6m ，在路灯A 照射下影长为DE ，他与灯杆AB 的距离BD ＝5m ． （1）AB ＝6m ，求DE （精确到0．01m ）； （2）DE ＝2.5m ，求A B ．图1E HFG CB A）活动三例题学习如图，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF＝3 m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG＝4 m．设小丽的身高为1．6 m，求灯杆AB的高度．变式练习1：已知为了测量路灯CD的高度，把一根长1.5m的竹竿AB竖直立在水平地面上．测得竹竿的影子长为1m，然后拿竹竿向远处路灯的方向走了4m．再把竹竿竖直立在地面上，竹竿的影长为1.8m，求路灯的高度．变式练习2：小华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后的影子顶部刚好触到AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前的影子的顶端接触到路灯BD的底部．已知小华身高为1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？练一练：1．3根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第1、第2根旗杆在同一灯光下的影子如图．请在图中画出光源的位置，并画出第3根旗杆在该灯光下的影子（不写画法）．ABO 1O 2．如图，某同学身高AB ＝1.70m ，在灯光下，他从灯杆底部点D 处沿直线前进4m 到达点B 时，测得他的影长PB ＝2m ．求灯杆CD 的高度．3．如图，圆桌正上方的灯泡O （看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地上形成影．设桌面的半径AC ＝0.8 m ，桌面与地面的距离AB ＝1m ，灯泡与桌面的距离OA ＝2m ，求地面上形成的影的面积．小结：课堂作业：课本习题6．7第4、5、6题． 课后练习：1．如图1，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C ，连结AC 、 BC 分别取其三等分点M 、N 量得 MN ＝38m ．则AB 的长是 （ ）A ． 152mB ．114mC ．76mD ．104m2．小明身高为1.6米，他在距路灯5米处的位置发现自己的影长为1米，他在向前走距离路灯为7米时，他的影长将（ ）A .增长0.4米B .减少0.4米C .增长1.4米D .减少1.4米图43．如图2，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 ．4．如图3，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取AE 、BE延长线上的C 、D 两点,使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED =3m ,则A 、B 两点间的距离为________．图1图3D FA B C E G 5．如图4，是一盏圆锥形灯罩AOB ，两母线的夹角90AOB ∠=︒，若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时，则光束照射到地面的面积是 米6．在6米高的路灯下，身高1.5米的哥哥的影长为1米，身高1.2米的弟弟的影长为2米，那么哥哥和弟弟之间的距离x 的取值范围是 .7．小明、小亮在高为8米的路灯下做游戏，他们发现身高为1.6米的小明在路灯下的影长为1米，身高为1.65米的小亮要想在该路灯下得到一个3.1米长的影子，而且两人的影子要保证在同一直线上，那么两人应该相距 米.8．如图，路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？9．如图，有一路灯杆AB (底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度．10．如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB 、PQ ，并且AB ∥PQ ，建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M ，交PQ 于点N ，小亮从胜利街的A 处，•沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮．（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（•用点C 标出）； （2）已知：MN =20m ，MD =8m ，PN=24m ．求（1）中的点C 到胜利街口的距离CM ．P 第8题图参考答案导学预习：1．40cm 2.D 3.C 4.C活动二尝试交流(1)1.82m(2)4.8m活动三例题学习AB=6.4m变式练习1：路灯离地面的高度是9米．变式练习2：解：（1）由对称性可知AP=BQ，设AP=BQ=xm∵MP∥BD∴△APM∽△ABD∴∴∴x=3∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）答：两个路灯之间的距离为18米．（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，则BF即为此时他在路灯AC的影子长，设BF=ym∵BE∥AC∴△EBF∽△CAF∴，即解得y=3.6，经检验y=3.6是分式方程的解．答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6米．练一练：2．5.1m 3.1.44π课后练习：1．B 2.A 3.0.81π 4.20m 5. 解：由题意知，圆锥的正截面是等腰直角三角形，所以光束照射到地面的半径=OO1=2m，那么光束照射到地面的面积=4π≈12.6米2．6.8. 解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米．9. 解：由AB∥CD，得△ABF∽△CDF所以即①由AB∥EF，得△ABG∽△EFG所以即②由①、②得BD=9代入①，得∴AB=6（m）答：路灯杆AB的高度为6m。
构造与证明相似三角形
构造与证明相似三角形相似三角形是指具有相等角度对应关系的两个三角形，它们的对应边长成比例。
在数学中，构造与证明相似三角形是一个重要的问题，它不仅能帮助我们理解三角形的性质，还可以应用于解决实际问题。
本篇文章将介绍几种常见的构造与证明相似三角形的方法。
一、比较边长比例法首先，我们可以利用比较边长比例的方法来构造与证明相似三角形。
假设已知三角形ABC和三角形DEF，且知道它们的某两边长度比相等，即AB/DE = BC/EF。
我们可以通过以下步骤来构造与证明它们相似。
步骤一：在DE上取一点M，使得DM = AB。
步骤二：连接BM与CM。
步骤三：证明三角形BMC与三角形ABC全等。
通过这一构造，我们可以得出结论：如果两个三角形的比较边长比相等，那么它们一定是相似的。
二、比较角度大小法另一种常见的构造与证明相似三角形的方法是比较角度大小。
假设已知三角形ABC和三角形DEF，且知道它们的某个角度大小相等，即∠A = ∠D。
我们可以通过以下步骤来构造与证明它们相似。
步骤一：在AD上取一点P，使得∠APB = ∠ABC。
步骤二：在DE上取一点Q，使得∠DQC = ∠DEF。
步骤三：证明三角形BPQ与三角形ABC全等。
通过这一构造，我们可以得出结论：如果两个三角形的某个角度大小相等，那么它们一定是相似的。
三、利用比例关系法除了比较边长比例和角度大小外，我们还可以利用比例关系来构造与证明相似三角形。
假设已知三角形ABC和三角形DEF，且知道它们的三个内角的对应边上的长度比相等，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。
我们可以通过以下步骤来构造与证明它们相似。
步骤一：在边DE上取一点M，使得DM/DE = AB/AC。
步骤二：连接AM与BM。
步骤三：证明三角形BAM与三角形ABC全等。
通过这一构造，我们可以得出结论：如果两个三角形的三个内角的对应边上的长度比相等，那么它们一定是相似的。
结论通过比较边长比例、角度大小和比例关系三种方法，我们可以构造与证明相似三角形。
用相似三角形解决问题(课件)
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
02
知识精讲
建模：
如图，人的身高为O’B’=n，影长为A’B’=n，旗杆的影长为AB=m，求旗
杆OB的高度
物高 ：参照物高 = 物影 ：参照物影
【分析】
物高：物影=参照物高：参照物影
∵平行光，∴∠A=∠A’
Ｏ
∵∠B=∠E=90°，∴△AOB∽△A’O’B’
’’
∴ = ，∴ =
∴AC=32m+115m=147m
02
知识精讲
求不能直接测量的物体的高度，通常用“在平行光的照射下，
在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例”的原理解决
结论公式：
物高 ：参照物高 = 物影 ：参照物影
或物高：物影=参照物高：参照物影
【平行投影——测高度】
知识精讲
例1、已知一直立的电线杆在地面上的影长为20m，同时，高为1.4m的测’’ ’’ ’ Nhomakorabea’
∴
= ，即OB=
Ｏ′
a
Ａ
m
Ｂ Ａ′ n Ｂ′
02
知识精讲
Q6：古埃及国王曾请一位学者测量金字塔的高度．当这位学者确认在阳光
下他的影长等于他的身高时（如图），要求他的助手同时测出金字塔的影
长 DB 以及金字塔底部正方形的边长，这样他就知道了金字塔的高度.他是
苏科版九年级下册第6章图形的相似
用相似三角形解决问题
Solve problems with similar triangles
教学目标
01
了解平行投影与中心投影的意义，会利用平行投影与中心
投影画图
02
理解在平行光与点光源的照射下，物体的物高与影长的关
专题19 寻找或构建相似三角形的基本模型解决问题-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练原卷版)
专题19 寻找或构建相似三角形的基本模型解决问题（原卷版）第一部分 典例剖析+针对训练类型一 A 型典例1 （2021•徐州）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、BC 上，且AD DB =CE EB =32，△DBE 与四边形ADEC 的面积的比 ．针对训练1．（2022•凉山州）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，若DE ∥BC ，AD DB =23，DE ＝6cm ，则BC 的长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．18cm类型2 X 型典例2（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果AC OC =BD OD=3，且量得CD ＝4cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．2cmB ．1.5cmC ．0.5cmD ．1cm 针对训练1．（2022秋•保定期末）如图，已知BD是△ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点，且AE＝AB．（1）求证：△ADE∽△CDB．（2）若AB＝4，DCAD =12，求BC的长．类型3 “斜交线”型（斜A型）典例3如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝14，AC＝7，D是BC上一点，BD＝8，DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：△DEB∽△ACB；（2）求线段DE的长．针对训练1．（2022秋•射洪市期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为1cm/s；动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为3cm/s的速度．当P、Q运动 时，△ABC 与△QBP相似．类型4 “一线三等角”型（K型相似）典例4 （2022•兴化市模拟）在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝4，CD＝2，则△ABC的边长为 ．典例5（2022秋•黄浦区期末）已知，如图1，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，CD＝4，cos∠ACD=4 5．（1）当BC∥AD时（如图2），求AB的长；（2）联结BD，交边AC于点E，①设CE＝x，AB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；②当△BDC是等腰三角形时，求AB的长．针对训练1．如图，在等边△ABC中，点P是BC上一点，点D是AC上一点，∠APD＝60°．（1）若BP＝1，CD=23，求△ABC的边长；（2）若AB＝3，BP＝x，CD＝y，求y与x之间的函数关系，并求y的最大值．类型5 “母子”型典例6（2022秋•黄浦区期末）如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线，交边AD于点F，如果AB＝3，BC＝5，那么DF的长是．针对训练1．（2017•泰安模拟）如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E，已知AD＝AB，连接BE交AD于点F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③S△ABF＝3S△DEF；④△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ）A．1个B．4个C．3个D．2个类型6 “手拉手”型典例7（2021•南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE 的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．针对训练1．（2022秋•靖江市期末）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 、E 在边AB 上，CE 2＝BE •DE ．（1）求证：∠DCE ＝45°；（2）当AC ＝3，AD ＝2BD 时，求DE 的长．第二部分 专题提优训练1．（2022秋•海港区期末）如图，在▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG GC =AG GD ；②EF FC =BF DF ；③FC GF =BF DF ；④EA EB =AG AD；⑤CF 2＝GF •EF ，其中正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22．（2022•环翠区一模）如图，把两个含30°角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点N 是AB 边的中点，连接DN 交BC 于点M ，则CM CB的值为（ ）A ．925B ．25C ．1125D ．12253．（2021秋•藤县期末）如图，点A ，B ，C 在同一直线上，∠A ＝∠DBE ＝∠C ，则下列结论：①∠D ＝∠CBE ，②△ABD ∽△CEB ，③AD BC =BD BE ，其中正确的结论有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022•两江新区模拟）如图，在矩形ABCD 中，点E 是对角线上一点，连接AE 并延长交CD 于点F ，过点E 作EG ⊥AE 交BC 于点G ，若AB ＝8，AD ＝6，BG ＝2，则AE ＝（ ）A ．4175B ．6175C ．7175D ．81755．（2021秋•南京期末）如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，DE ⊥EF ，EF ⊥FG ，BE ＝3，BF ＝2，FC ＝6，则DG 的长是（ ）A ．4B ．133C ．143D ．56．（2019•阜新）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AC 边上的一点，DE 垂直平分AB ，垂足为点E ．若AC ＝8，BC ＝6，则线段DE 的长度为 ．7．（2022秋•黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD 如图5所示，其中∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝7厘米，BC ＝9厘米，CD ＝2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是 平方厘米．8．（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝313，BC ＝6，点P 在边AC 上运动（可与点A ，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 ．9．（2022秋•静安区期末）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D为射线CB上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射线AB与射线FD交于点E，联结BF．（1）如图所示，当点D在线段CB上时，①求证：△ACD∽△ABF；②设CD＝x，tan∠BFD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当AB＝2BE时，求CD的长．10．（2022秋•松原期末）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，点A、点C的对应点分别是点A′、点C′．感知：如图①，当BC'落在AB边上时，∠A'AB与∠C′CB之间的数量关系是 （不需要证明）；探究：如图②，当BC′不落在AB边上时，∠A′AB与∠C′CB是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；应用：如图③，若∠BAC＝90°，AA'、CC′交于点E，则∠A′EC＝ 度．。
相似三角形的应用于实际问题求解
相似三角形的应用于实际问题求解相似三角形是几何学中一个重要的概念，广泛应用于实际问题的求解中。
在实际应用中，我们经常会遇到一些无法直接测量或计算的物理量，但通过相似三角形的应用，我们可以利用已知的信息来求解未知量。
本文将以几个实际问题为例，介绍相似三角形的应用方法。
问题一：高楼的高度难以直接测量，如何利用相似三角形求解？解决问题一的方法是利用日晷的阴影来推算高楼的高度。
首先，在一个特定的时间，测量日晷的阴影长度与高楼的阴影长度。
假设日晷的高度为h₁，阴影长度为s₁；高楼的高度为h₂，阴影长度为s₂。
由于日晷和高楼处于相似三角形中，可以建立以下比例关系：h₁/s₁ = h₂/s₂通过已知的日晷高度和阴影长度，可以求解出高楼的高度。
问题二：无法直接测量的河宽，如何利用相似三角形求解？解决问题二的方法是利用两个位置的观测角度来推算河宽。
假设我们站在一岸的A点，观测到对岸的B点在岸边的角度为θ₁；然后我们移动到岸边的C点，观测到对岸的B点在岸边的角度为θ₂。
假设岸边的距离为d，河宽为w。
由于三角形ABC和三角形ABD相似，可以建立以下比例关系：w/d = tan(θ₁)w/(d + AC) = tan(θ₂)通过已知的观测角度和岸边距离，可以求解出河宽。
问题三：测量不便的高山高度，如何利用相似三角形求解？解决问题三的方法是利用水平线和山顶的观测角度来推算高山的高度。
假设我们站在水平线上的A点，观测山顶的角度为θ₁；然后我们移动到水平线上的B点，观测山顶的角度为θ₂。
假设两个观测点之间的距离为d，山顶的高度为h。
由于三角形ABC和三角形ABD相似，可以建立以下比例关系：h/d = tan(θ₁)h/(d + AB) = tan(θ₂)通过已知的观测角度和观测点之间的距离，可以求解出高山的高度。
通过以上实际问题的求解，我们可以看出相似三角形的应用是十分灵活的。
它不仅能够用于测量高度、宽度等无法直接测量的物理量，还可以应用于地理测量、地质勘查、建筑设计等领域。
用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧
用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧。
一、了解相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边的比值相等。
这意味着如果已知一个三角形的一组对应角相等，则可以通过确定比值来确定另一个三角形的对应边长。
二、确定相似三角形的条件在解决实际问题时，我们需要根据已知条件确定相似三角形的条件。
一般来说，常见的相似三角形条件有以下几种：1. AA相似条件：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似条件：两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
3. SAS相似条件：两个三角形的一对对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
三、应用相似三角形解决实际问题的步骤解决实际问题时，我们可以按照以下步骤使用相似三角形：1. 了解问题：仔细阅读问题，理解给出的条件和要求。
2. 绘制图形：根据问题中给出的信息，绘制出问题所描述的图形。
确保图形准确无误。
3. 确定相似三角形：根据给出的条件和已知信息，确定哪些三角形是相似的。
4. 建立比例关系：根据相似三角形的性质，建立相应的比例关系。
可以利用两个三角形中对应边的长度比值来建立等式。
5. 求解未知量：利用已知条件和建立的比例关系，求解问题中的未知量。
可以通过代入已知量和已知比例求解。
四、注意事项和技巧在应用相似三角形解决实际问题时，需要注意以下几点：1. 注意单位：在求解时，要根据问题中给出的单位进行计算，并给出相应的单位答案。
2. 注意精度：在计算中，要注意四舍五入和保留有效数字的规则，确保结果的精度符合要求。
3. 检查答案：在求解完毕后，要对结果进行检查，确保符合问题的要求和已知条件。
4. 灵活运用：在实际问题中，可以灵活运用相似三角形解决问题。
有时候需要通过构造相似三角形来求解难题。
综上所述，相似三角形是解决实际问题的有力工具。
相似三角形的实际问题
相似三角形的实际问题在数学中，相似三角形是指有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形的概念在实际问题中常常得到应用，包括地理测量、建筑设计以及工程计算等领域。
本文将以几个实际问题为例，介绍相似三角形的应用。
问题一：高楼建设在高楼建设过程中，经常会遇到需要测量高楼的高度的问题。
然而，由于高楼的高度较高，直接测量比较困难。
这时，可以利用相似三角形的原理进行测量。
解决方法：选择一个相对安全的地方，远离高楼底部。
然后，使用测量仪器（比如测距仪）测量出站立点到高楼底部某一固定点的距离，记为a。
接着，可以使用测量仪器对站立点到高楼顶部的角度进行测量，记为α。
利用三角函数的知识可以计算出高楼的高度h。
解决思路：在测量三角形底边上选择一个已知的点（即测量仪器的位置），根据已知的距离和角度，可以通过相似三角形的性质计算出高楼的高度。
具体计算公式如下：h = a × tan(α)问题二：航空导航在航空导航中，飞行员需要根据当前位置和目标位置之间的距离、方向等信息进行导航。
相似三角形的原理可以帮助飞行员计算出正确的航线。
解决方法：假设飞行员需要从A地飞行到B地，但由于天气等原因无法直接导航。
这时，飞行员可以选择一个C点，使得ABC和ABD两个三角形是相似的。
通过测量AC的距离和角度，以及AB的距离，飞行员可以使用相似三角形的性质计算出BD的距离。
进而，飞行员可以根据反向推导的方法确定正确的航线。
解决思路：根据相似三角形的性质，在已知的线段AC与线段AB所对应的两个角度相等的情况下，可以通过线段AC的长度和线段AB的长度的比值来计算出线段BD的长度。
具体计算公式如下：BD = AB × (BD/AC)问题三：地图比例尺在地图上，我们常常会看到一个比例尺，它告诉我们地图上的距离与实际距离之间的比例关系。
这个比例尺就是通过相似三角形的原理确定的。
解决方法：在绘制地图时，测量某一地区的实际距离，例如100米。
利用相似三角形求解问题的练习题
利用相似三角形求解问题的练习题相似三角形是几何学中重要的概念之一，应用相似三角形的性质可以帮助我们解决许多问题。
以下是一些利用相似三角形求解问题的练习题，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
练习题一：已知直角三角形ABC，其中∠C为直角，AB=5cm，AC=12cm。
在AB边上选一点D，连接CD并延长至与BC边交于点E。
若BD=DE，求CE的长度。
解答：由于∠C为直角，则∠CAB和∠CBA分别为对角ABC和ACB的对应角，即∠CAB∽∠ACB。
又因为BD=DE，所以可以得到∠BDC=∠CDE，同理有∠CBD=∠CED。
根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/AC = BD/CE代入已知数值，可得：5/12 = BD/CE解方程，可得：CE = (12/5) * BD由题目可知BD=DE，所以BD=5cm，代入可得：CE = (12/5) * 5 = 12cm所以CE的长度为12cm。
练习题二：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC，其中A(-2,4)、B(1,2)、C(4,-2)，直线DE与x轴和y轴分别交于点D(5,0)和E(0,-4)，求证：△ABC∽△ADE，并计算其相似比。
解答：首先，计算△ABC和△ADE的边长：△ABC的边长：AB = √[(1-(-2))^2 + (2-4)^2] = √[3^2 + (-2)^2] = √13BC = √[(4-1)^2 + (-2-2)^2] = √[3^2 + 4^2] = 5AC = √[(4-(-2))^2 + (-2-4)^2] = √[6^2 + (-6)^2] = 6√2△ADE的边长：AD = √[(-2-5)^2 + (4-0)^2] = √[(-7)^2 + 4^2] = √65DE = √[(-2-0)^2 + (4-(-4))^2] = √[(-2)^2 + 8^2] = 2√4 = 4AE = √[(-2-0)^2 + (4-0)^2] = √[(-2)^2 + 4^2] = 2√5可以发现，AB/AD = 1/√5，BC/DE = 5/4，AC/AE = √2/√5。
利用相似三角形解决问题
利用相似三角形解决问题相似三角形作为几何学中重要的概念，能够帮助我们解决很多问题。
相似三角形之间的对应边成比例，对角也相等，这个性质使得我们可以推导出很多有用的结果。
在本文中，我们将探讨一些利用相似三角形解决问题的方法和技巧。
一、相似三角形的性质与判定条件相似三角形的性质主要表现在两个方面：边比例和角相等。
对于两个相似的三角形ABC和DEF，它们之间的对应边满足以下比例关系：AB/DE = AC/DF = BC/EF同时，它们之间的对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F利用相似三角形的特性，我们可以解决一些几何问题。
这些问题可以通过判定相似三角形的条件来进行求解。
常用的相似三角形判定条件有：1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形的两个边成比例并且夹角相等，则它们是相似的。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三个边成比例，则它们是相似的。
二、利用相似三角形的解题方法1. 求解未知长度通过利用已知三角形相似于未知三角形的边比例关系，我们可以求解未知的边长。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知三角形ABC的某一边的长度为a，而三角形DEF的相应边的长度为x，可以通过边比例关系求解x的值：a/DE = BC/EF通过这个关系可以解出x的值。
同样的，我们也可以根据已知三角形中的比例关系来求解其他未知边的长度。
2. 求解未知角度利用相似三角形的角相等性质，我们可以求解未知的角度。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知三角形ABC的某一角度为θ，而三角形DEF的相应角度为α，可以通过角相等关系求解α的值：θ = α通过这个关系可以解出α的值。
同样的，根据已知角度的相等关系，我们也可以求解其他未知角度。
3. 求解面积利用相似三角形的边比例关系，我们可以求解面积。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知三角形ABC的面积为S，而三角形DEF的面积为T，可以通过边比例关系求解T的值：S/DE² = T/EF²通过这个关系可以解出T的值。
学习技巧如何运用相似三角形解决空间几何问题
学习技巧如何运用相似三角形解决空间几何问题空间几何问题在数学中占有重要地位，涉及到三维空间内的形状和相关性质。
解决这类问题的一个有效方法是利用相似三角形的性质，通过找寻相似的三角形关系，从而推导出所需的结论。
本文将介绍学习技巧如何运用相似三角形来解决空间几何问题。
一、了解相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形，它们的对应角度相等，各边成比例。
在解决空间几何问题中，理解相似三角形的性质是解题的基础。
以下是相似三角形的常见性质：1. AAA相似性质：如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
2. AA相似性质：如果两个三角形的两个对应角度相等，则它们是相似的。
3. SSS相似性质：如果两个三角形的对边成比例，则它们是相似的。
二、利用相似三角形解决空间几何问题的步骤解决空间几何问题的第一步是确定题目中涉及的几何形状以及所需求解的内容。
接下来，我们将以一个具体的问题来说明如何利用相似三角形解决空间几何问题。
问题描述：在空间直角坐标系xyz中，已知平面P与平面Q的交线l，以及直线m与l垂直，并且直线m与平面P的距离为d。
求直线m与平面Q的距离。
解决步骤：步骤1：通过观察可得，题目所给直线m与平面P的距离d构成了一个直角三角形。
我们可以设垂足为B，交线l上一点为A，交线l上的另一点为C。
因此，△ABC为直角三角形。
步骤2：利用相似三角形的AA相似性质，我们可以找到另外一个与△ABC相似的三角形△ABD，其中D为直线m与平面Q的交点。
步骤3：根据AA相似性质可得，∠BAC = ∠BAD，以及∠ABC =∠ABD。
步骤4：由直线m与平面P的距离d已知，因此我们可以构造一个高度为d的直角三角形△ADE，并且∠EDA = 90°。
步骤5：利用相似三角形的AA相似性质，我们可以得到∠DEA =∠DAB，并且由平行线与交叉线所夹的内外角性质可得∠ABD =∠DEA。
步骤6：综合步骤3和步骤5的结果可知∠ABC = ∠ABD = ∠DEA。
如何巧妙运用相似三角形解决复杂问题
3. 如何运用相似关系解决问题：建立相似关系之后，我们可以用已知条件解出未知量，也可以通过运用相似三角形的性质，推导出一些有用的结论，从而更深刻地理解题目。比如，我们可以通过相似三角形的对应边成比例的性质，计算出各边的长度或面积，也可以通过相似三角形的内角和定理，推导出一些有趣的结论。
应用勾股定理
高度比-->面积比
1. 计算方法：通过相似三角形的高度比，可以求出相应的底边长比，再利用底边长比的平方得到面积比。例如，若两个相似三角形的高度比为2:3，则它们的底边长比为2:3，面积比为4:9。
2. 应用举例：通过高度比-->面积比，可以解决很多与面积相关的问题，如：已知两个相似三角形的高度比和面积比，求它们的周长比；已知两个相似三角形的周长比和面积比，求它们的高度比等等。
01
部分：当直线段上一点与另一直线段垂直且垂足分割这一直线段时，我们可以利用相似三角形求解未知线段的长度。具体来说，我们可以找到与未知线段平行的一条线段，然后利用相似三角形的对应边比值相等的性质，将已知线段长度与对应边比值带入计算未知线段的长度。
垂线分线段
两角相等
部分的更多内容可以包括：
利用两角相等证明三角形全等。如果两个三角形存在两个角分别相等，那么它们可以通过旋转和缩放重合在一起，从而这两个三角形全等。
证明相似
在给定多个三角形或其他图形的情况下，要求我们通过相似三角形的比例关系来计算出某些线段长度、面积、角度等具体数据。
（1）确定相似三角形
在解决比例计算问题时，首先需要在图形中找到相似的三角形，确定它们之间的比例关系。通常情况下，可以通过观察图形找出两个边成比例的三角形。
通过相似三角形解决实际问题
通过相似三角形解决实际问题相似三角形是几何中的重要概念，可以帮助我们解决实际问题。
通过研究相似三角形的性质和定理，我们可以利用类似的形状和比例关系来求解未知量，解决各种实际问题。
本文将详细介绍相似三角形的概念和性质，并应用到实际问题中，以帮助读者更好地理解和运用相似三角形。
1. 相似三角形的概念及特性相似三角形指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例的三角形。
换句话说，如果两个三角形的三个内角分别相等，并且对应边的长度成比例关系，那么它们就是相似三角形。
相似三角形的比例关系可以用以下表示：$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$相似三角形有以下的性质：- 两个相似三角形的对应边成比例，比例系数为相似比；- 相似三角形的对应角相等；- 相似三角形的对边平行。
2. 利用相似三角形解决长度相关问题相似三角形的比例关系可以帮助我们解决实际问题中的长度相关问题。
例如，我们想知道高楼的高度，但无法直接测量，这时我们可以利用相似三角形来求解。
假设我们站在高楼的某个位置，朝向高楼的顶部，测量出自己眼睛和地面之间的距离为1米，并且我们的身高为1.7米。
我们还能够测量出视线与地面的夹角为30度。
我们想知道高楼的高度，我们可以利用相似三角形来解决。
首先，我们可以构建一个相似的直角三角形，其中底边为地面上的距离，高为1.7米。
然后，我们可以通过计算相似比的比值来求解高楼的高度。
由于我们已知的数据可以构成一个30-60-90度的特殊角，我们可以知道三角形的边长比例为1:√3:2。
因此，我们可以计算出高楼的高度为1√3米。
通过相似三角形的应用，我们成功地解决了高楼高度的测量问题。
3. 利用相似三角形解决距离相关问题相似三角形的比例关系还可以帮助我们解决距离相关的实际问题。
例如，我们想知道两个不可达的地点之间的距离，但无法直接测量。
用相似三角形解决问题
用相似三角形解决问题相似三角形是数学中一个重要的概念，它在解决各种问题中有着广泛的应用。
本文将讨论如何利用相似三角形的性质解决不同类型的问题。
首先，我们来介绍相似三角形的定义和性质。
相似三角形指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。
如果两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比值相等，那么它们是相似三角形。
相似三角形的性质包括对应边长的比例相等、对应角度相等等。
利用相似三角形的性质，我们可以解决一些与长度、高度、距离等有关的问题。
例如，在实际生活中，我们经常需要测量高度，但有时并不容易直接获取。
这时，我们可以利用相似三角形的原理来解决问题。
假设我们要测量一座高楼的高度，我们可以在指定的距离上测量建筑物的阴影长度，并同时测量自己身高和自己的阴影长度。
通过建立两个相似三角形的比例关系，我们可以计算出高楼的高度。
另一个常见的问题是计算不可测量的距离。
例如，在一座山的顶部和底部之间有一条河流，我们想知道河流两岸之间的直线距离。
由于无法直接测量，我们可以找到一个可以测量的距离，并利用相似三角形来解决问题。
我们可以选择一个合适的位置，测量山底和山顶的距离，然后选择一个可以测量的角度，测量河流两岸之间的倾斜角度。
通过建立相似三角形的比例关系，我们可以计算出直线距离。
除了解决长度和距离相关的问题，相似三角形还可以用于解决面积和体积的计算。
例如，我们想计算一个复杂图形的面积，但无法直接测量。
我们可以找到一个相似的简单图形，先计算简单图形的面积，再利用相似三角形的比例关系来计算复杂图形的面积。
相似三角形还可以应用于几何证明中。
通过运用相似三角形的性质，我们可以证明两个三角形的相等或相似。
这在证明几何定理和解决几何问题时非常有用。
总结起来，相似三角形是解决各种问题的有力工具。
通过建立相似三角形的比例关系，我们可以解决长度、高度、距离、面积和体积等各种问题。
相似三角形的性质也为几何证明提供了重要的依据。
因此，掌握相似三角形的概念和性质，对于数学学习和实际问题的解决都具有重要的意义。
相似三角形的数学问题与解答
相似三角形的数学问题与解答相似三角形是高中数学中的重要概念之一，其涉及到三角形的形状和比例关系。
在解答相似三角形的问题时，我们需要掌握一些基本的性质和定理，同时运用一些判断和计算的方法。
本文将通过讨论几个典型的相似三角形问题，来探讨相似三角形的数学问题与解答方法。
一、相似三角形的定义与性质在开始解答相似三角形的问题之前，首先我们需要了解什么是相似三角形。
相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。
两个相似三角形的对应角度相等，而各个对应边的比值相等，即它们的对应边是成比例的关系。
根据相似三角形的性质，我们可以得出以下结论：1. AAA相似定理：两个三角形的对应角度相等，则它们相似。
2. AA相似定理：两个三角形的含有一个角相等，并且对应边成比例，则它们相似。
3. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
通过以上性质与定理，我们可以判断两个三角形是否相似。
二、相似三角形的问题与解答方法1. 判断相似三角形某题给出了两个三角形的角度或边长，需要我们判断它们是否相似。
在此种情况下，可以使用AAA相似定理、AA相似定理或SSS相似定理来进行判断。
例如，已知三角形ABC的内角A为45°，内角B为30°，内角C为105°，又已知另一个三角形DEF的内角D为45°，内角E为30°，内角F为105°。
我们需要判断这两个三角形是否相似。
根据AAA相似定理，两个三角形的对应角度相等，则它们相似。
所以，三角形ABC与三角形DEF是相似的。
2. 求相似三角形的比值某题给出了两个相似三角形的两个对应边长，需要我们求解出它们的比值。
例如，已知两个相似三角形的两个对应边长分别为2cm和4cm，我们需要求解它们的比值。
由于相似三角形的对应边是成比例的关系，即可得到等式：2cm/4cm = x/1。
通过求解这个等式，可以得到比值x=0.5。
所以，两个相似三角形的比值为0.5。
通过相似三角形解决物体的大小比较
通过相似三角形解决物体的大小比较相似三角形是初中数学中一个非常重要的概念，它的运用非常广泛。
其中一个典型的应用便是解决物体的大小比较问题。
本文将介绍如何通过相似三角形解决物体的大小比较。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小不一的三角形。
简单来说，两个三角形的对应角度相等，对应边的比例也相等时，这两个三角形便是相似的。
如下图所示，三角形ABC和三角形DEF是相似的，它们的对应角度相等，对应边的比例也相等。
二、相似三角形比例定理相似三角形的比例定理是指：在两个相似三角形中，对应边的比值相等。
比例定理可以用来解决物体的大小比较问题。
以人的身高为例，假设A和B分别是两个人，A的身高为1.6m，B的身高为1.8m，那么可以通过相似三角形来比较两个人的身高。
如下图所示，设三角形ABC和三角形DEF相似，AB表示A的身高，DE表示B的身高，则有：AB/DE = AC/DF其中，AC表示一个固定长度，可以是人的手臂长度或者一张纸的长度，DF表示B所在的位置到眼睛的距离，这个距离是可以测量得到的。
通过量取AC和DF的长度，就可以算出AB和DE的比例，从而比较出A和B的身高大小关系。
三、实例分析一位小学生想知道他的狗和他的同学的猫哪个更高。
他用一个尺子量了他的狗的高度为20cm，然后让同学量了他们家猫的高度，得到其高度为12cm。
现在他想知道到底是他的狗高还是同学的猫高。
假设小学生的身高为 1.2m，他可以通过相似三角形比例定理来解决这个问题。
如图所示，设三角形ABC和三角形DEF相似，AB表示小学生的身高，BC表示小学生手臂的长度，DE表示猫的高度，EF表示同学的眼睛到猫脚的距离。
则有：AB/DE = BC/EF那么，20/12 = BC/EF，从而可以得到BC比EF大约为1.67。
由于BC表示小学生手臂的长度，这个长度是可以测量得到的，因此可以计算出EF的长度，从而算出猫的高度，从而比较出哪个更高。
《用相似三角形解决问题》 学历案
《用相似三角形解决问题》学历案一、学习目标1、理解相似三角形的性质和判定定理。
2、能够运用相似三角形的知识解决实际问题，如测量物体的高度、宽度等。
3、培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。
二、学习重难点1、重点（1）相似三角形的性质和判定定理的应用。
（2）利用相似三角形解决实际测量问题。
2、难点（1）如何从实际问题中抽象出相似三角形的模型。
（2）准确找到相似三角形的对应边和对应角。
三、学习过程（一）知识回顾1、相似三角形的定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的判定定理：（1）两角分别相等的两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
3、相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形的对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（二）问题引入在实际生活中，我们经常会遇到一些需要测量物体高度、宽度等无法直接测量的问题。
这时候，相似三角形就可以发挥很大的作用。
例如，要测量一棵大树的高度，但又无法直接爬到树顶测量，该怎么办呢？（三）探究活动1、测量旗杆的高度如图，在旗杆附近立一根标杆，量出标杆的高度 CD 和标杆到旗杆的距离 BD 以及人的眼睛到地面的高度 EF（设为常数）。
当人站在点F 处时，正好看到旗杆顶端 A 与标杆顶端 C 在同一条直线上。
利用相似三角形的知识，求出旗杆 AB 的高度。
解：因为∠AEC ＝∠CED，∠ACE ＝∠DCE（对顶角相等）所以△ACE∽△DCE所以\（＼frac{AB}｛CD} ＝＼frac{BE}｛BD}＼）即\（＼frac{AB}｛CD} ＝＼frac{BD ＋ DF}｛BD}＼）已知 CD、BD、EF、DF 的长度，即可求出 AB 的高度。
2、测量河宽如图，为了测量一条河的宽度，在河的一边选定点 B、C，再在河的另一边选定点 D、E，使 BC⊥DE，并且点 A、B、E 共线。
构造相似三角形解题的几种类型
构造相似三角形解题的几种类型⑴构造相似三角形求值；⑵构造相似三角形证角相等；⑶构造相似三角形证明等积式；⑷构造相似三角形证明线段的平方和、差、积；⑸构造相似三角形证明两线垂直例1、构造相似三角形求值如图,已知梯形ABCD 中,AD ∥BC,BC=3AD,E 是腰AB上一点.若△BCE 和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ,并且21S =32S ,求AE BE 的值延长两腰,构造相似三角形例2、构造相似三角形证角相等如图,在等边△ABC 的边BC 上取点D,使DC BD =21,作CH ⊥AD,H 为垂足,连接BH.求证：∠DBH=∠DAB构造相似三角形证明等积式作BC 边上的高,由“三线合一”得到垂足即为中点.构造相似三角形；对△BDH 和△ADB,有一个公共角,只需证夹它的两边对应成比例例3、构造相似三角形证明等积式在△ABC 中,已知AB=AC,BD 为AC 边上的高.求证：CD AC BC ⋅=22提示：法一 出现2AC法三 利用三线合一,构造双直角图形例4、构造相似三角形证明线段的平方和、差、积如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,求证：BC AB AB AC ⋅=-22例5、构造相似三角形证明两线垂直如图,△ABC 和△111C B A 均为正三角形,BC 和11C B 的中点均为点D.求证：AA ₁⊥CC ₁法二 出现2CD 两个等腰三角形相似例6、⑴确定最值；⑵探索图形相似如图①,在△ABC中,∠A=90°,BC=10,△ABC的面积为25.点D为AB边上的任意一点D不与A、B重合,过点D作DE∥BC,交AC于点E.设DE=x,以DE 为折痕将△ADE翻折,使△ADE落在四边形BDCE所在平面内,所得的△A´DE 与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.⑴用x表示△ADE的面积；⑵当0＜x≤5时,求y与x的函数关系式；⑶当5＜x＜10时,求y与x的函数关系式；⑷当x取何值时,y的值最大最大值时多少。
用相似三角形解决问题
8. 9. A .AB=24m B .MN//AB C .^CMN s'CAB D .CM ：MA =1：2兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）A .11.5米B .11.75米C .11.8米D .12.25米如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ,BC 的中点M ,N ,并测量出MN 的长为12m ,由此他就知道了A 、B 间的距离.有关他这次探究 活动的描述错误的是（）10.如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB =5m ,某一时刻，AB 在阳光下的投影BC =4m .（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影，并简述画图步骤.（2）在测量AB 的投影长时，同时测得DE 在阳光下的投影长为6m ,请你计算DE 的长.11. 如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m 宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC =7.2m ,窗口咼AB =1.8m ,求窗底边离地面的咼BC1. 2. 用相似三角形解决问题（1）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为米. 如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙两同学相距1米. n 3. 4. 5. cm 6. 7. 小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（） A .0.5mB .0.55mC .0.6mD .2.2m 如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，然后，后退至点B ,从点A 经平面镜刚好看到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB 丄BD ,CD 丄BD ,且测得AB =1.2米，BP =1.8米，PD =12米，那么该古城墙的高度是（） A .6米B .8米C .18米D .24米 东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm ,东东的身高是156cm ,在同一时刻，爸爸的影长是88，那么东东的影长 —天，小青在校园内发现：旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点处（如图所示）.如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高为米. 在下面的图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是 除是 cm . H ——7.2m12.小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站在点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，小明测得自己落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m，CA=30m(点A、E、C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB.(结果精确到0.1m)13.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm，高AD=80mm•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题.(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1,此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算.(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2,这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.用相似三角形解决问题（2）1.如图，小强晚上在路灯下散步，在由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（）2.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明的影子和小强的影子一样长D.两人的影子长度不确定3.如图，甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为米.4.如图，铁道口拦挡杆的短臂长1.25米，长臂长16.5米，当短臂的端点下降0.85米时，长臂的端点升高了（拦挡杆的宽度忽略不计）（）A.11米B.11.22米C.17米D.10米5.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,则两路灯之间的距离是（）A.24mB.25mC.28mD.30m6•如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为m.7.（1）一根木杆按如图①所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段MN表示）.（2）图②是两根标杆及它们在灯光下的影子.请在图中画出光源的位置（用点P表示），并画出人在此光源下的影子（用线段EF表示）.8.如图，路灯（点P）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯底部（点0）20米远的点A，沿OA所在的直线行走14米到达点B时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？9•如图，小明打网球时能击中球的最高高度CD是2.4m,如果发球时要使球恰好能打过网AB，且落在离网5m的位置上，那么小明应在离网多远的位置发球？11.m ,DC =80m ,EC =50m ,12. 13. 10.如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ,它们相距15m ,分别自两杆上高出地面4m 、6m 的A 、C 处，向两侧地面上的E 和D 、B 和F 处用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度PH 是多少米？如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A ,再在河岸的这一边选取点B 和点C ,使AB 丄BC ,然后再选取点E ,使EC 丄BC ,用视线确定BC 和AE 的交点D .此时如果测得BD =160求A 、B 间的大致距离.如图，为了测量路灯(OS)的高度，把一根长1.5米的竹竿(AB)竖立在水平地面上，测得竹竿的影子(BC)长为1米,然后将竹竿向远离路灯的方向移动4米(BB'),再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影子(BC)长为1.8米，求路灯离地面的高度h .14.(2014.荷泽)已知：如图，正方形ABCD ,BM 、DN 分别平分正方形的两个外角，且满足Z MAN=45°, 连结MN .(1) 若正方形的边长为a ,求BM ・DN 的值.(2) 若以BM ,DN ,MN 为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论.如图，AB 是斜靠在墙上的长梯,子的长.用相似三角形解决问题（3）1.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，蜡烛AB 在暗盒中所成的像CD 的高度是 cm .2.如图，三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子.现测得OA=20cm ,OA'=50cm ,这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长之比是.3•小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm ,幻灯片到屏幕的距离是1.5m ,幻灯片上小树的高度是10cm ,则屏幕上小树的高度是 A .50mB .500cmC .60cmD .600cm （）4. 关于盲区的说法：①我们把视线看不到的地方称为盲区；②我们上山与下山时的视野盲区是相同的；③我们开车向前行驶，有时会发现一些高大的建筑物会被比它矮的建筑物挡住；④人们常说“站得高,看得远”说明在高处视野盲区要小，视野范围大，其中正确的有（）A .1个B .2个C .3个D .4个5. 人离窗子越远，向外眺望时，此人的盲区（） A .越小B .越大C .不变D .以上都有可能6. 如图，某测量工作人员的眼睛A 、标杆顶端F 与电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人的眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC =1米，CD =5米，求电视塔的高ED .7. 如图，射击瞄准时，要求枪的标尺缺口中央A 、准星尖B 和瞄准点C 在一条直线上，这样才能命中目标，已知某种冲锋枪的基线AB 长38.5cm ,如果射击距离AC =100m ,当准星尖在缺口内偏差BB 为1mm 时，弹着点偏差CC'是多少？（BB'〃CC',结果精确到1cm ）8. 如图是在水平桌面上的两个“E ”当点P ］、P 2、O 在一条直线上时，在点O 处用①号“E ”测得的视力与用②号“E ”测得的视力相同.（1）图中l ］、l 2满足怎样的关系式？（2）若b 1=3.2cm ,b 2=2cm ,①号“E ”的测试距离厶=8m ,要使测得的视力相同，则②号“E ”的测试距离12应为多少？①£9. 如图，我方侦察员在距敌方200m 处发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物进行测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住.若此时眼睛到食指的距离约为40cm ,食指的长约为8cm ,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？10. 如图，学校围墙外的服装厂有一根旗杆AB ,甲在操场上竖立3m 高的竹竿CD ,乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE =3m ,乙的眼睛到地面的距离FE =1.5m ,丙在C 1处竖立3m第1题ABC高的竹竿C]D],乙从E处后退6m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合,量得C1E1=4m,求旗杆AB的高度.B11.如图，Rt A ABC中，Z ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0V t V2)，连接PQ.(1)若A BPQ与A ABC相似，求t的值；(2)连接AQ,CP,若AQ丄CP,求t的值；(3)试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上.12.阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A、B重合)，分别连接ED、EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.解决问题：(1)如图①，Z A=Z B=Z DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由;(2)如图②，在矩形ABCD中,A、B、C、D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；(3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系.13.如图，在△ABC中，AB=AC,AD丄AB于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t>0).(1)当t=2时，连接DE、DF,求证：四边形AEDF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的A PEF的面积存在最大值，当A PEF的面积最大时，求线段BP的长;(3)是否存在某一时刻t,使A PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由.备用囲。
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构造相似三角形解决问题 用相似三角形的性质来证线段成比例和角相等，是几何证题中的重点之一，而解题的关键是在几何图形中发现或构造所需的相似三角形，
学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。
在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路：
1、比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式．
2、利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解． 方法一 构造相似三角形解决线段的比例式或角相等问题
一、自主初学
例1、如图，已知：点D 是等边三角形A B C B C 边上任一点，∠EDF=602 .
求证：(1)△BDE∽△CFD (2)DC
BE CF BD
方法总结：当要求的结果是线段的比例式或等积式时，可将比例式或等积式中的四条线段分别看成两个三角形的两条边，证明这两个三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例加以解决
变式练习1：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，
每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 和△CDE 的顶点都
在格点上，ED 的延长线交AB 于点F 。
求证：（1）△ABC ∽△DEC ；（2）EF ⊥AB
方法二利用圆中角的关系构造相似三角形求线段长度
二、小组合学
例2：如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O的两点，
且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）若AD=1，DE=3，求BD的长
方法总结：在圆中证明两个三角形相似，通常利用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”来证明两个角相等
变式练习2、如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的
半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于
点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H
求证：（1）AB是半圆O的切线
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长
方法三 构造相似三角形建立函数关系
三、迁移再学
例3、如图，某厂有许多为直角梯形的铁皮边角料，为节约资
源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（图中阴
影部分）铁片备用，当截取的矩形面积最大时，
求矩形两边长x 、 y
方法总结：对一些比较复杂的图形，可通过构造相似三角形，利用线段间的关系建立函数模型。
变式练习3：如图，在矩形ABCD 中，AB=m （m 是大于0
的常数），
BC=8，E 为线段线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）。
连接DE ，
作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE=x ，BF=y 。
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）若m=8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
课堂小结：
我们要善于在题目中发现和构造基本图形，利用相似三角形解决问题。
只要我们善于归纳
测试：如图，长梯AB 斜靠在墙壁上，梯角B 距墙80cm ，量得BD 长55cm ，则梯子AB 的长 为
作业：
1、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠B=902 AD=3，BC=6，点P 在AB
上滑动。
若△DAP 与 △ P B C 相似，且AP =4.5 ，求PB 的长。
2、如图，在△PAB 中，∠APB=1200，M 、N 是AB 上两点，且△PMN 是等边三角形。
求证：BM
PN BP PA。