【最新】北京市重点中学2011届高三九月月考(数学理)

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北京清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题

北京清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月月考试题一、单选题1．下列变量具有二次函数关系的是（） A ．圆的周长C 与半径rB ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体的质量xC ．正三角形的面积S 与边长aD ．匀速行驶的汽车，路程s 与时间t2．抛物线y=﹣12x 2+3x ﹣52的对称轴是（）A ．x=3B ．x=﹣3C ．x=6D ．x=﹣523．下列所给方程中，没有实数根的是（） A ．20x x += B ．24520x x -+= C ．25410x x --=D ．23410x x -+=4．用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是（） A ．()213x -=B ．()214x -=C ．()215x -=D ．()213x +=5．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c >6．已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1+x 2的值等于（） A ．2B ．﹣2C ．32D ．﹣327．函数221y ax x =-+和y ax a =+（a 是常数，且0)a ≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8．已知一个二次函数图象经过()113,P y -，()221,P y -，()331,P y ，()443,P y 四点，若324y y y <<，则1234,,,y y y y 的最值情况是( ) A ．3y 最小，1y 最大 B ．3y 最小，4y 最大 C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题9．关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一根为0，则m =． 10．方程2x x =的解是．11．把函数23y x =-的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的解析式是．12．已知抛物线22y x x =+经过点12(4,),(1,)y y -，则1y 2y ．（填“＞”，“＝”，“＜”） 13．二次函数2y x 2x 3=-+-，用配方法化为2y a(x h)k =-+的形式为．14．如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为x 米，面积为y 平方米．写出y 与x 的函数关系式，自变量x 的取值范围是．15．如图，抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，若点P 的坐标为()4,0，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是．16．车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①D A C E B →→→→；②D B E A C →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是（填序号）；（2）若由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为元．三、解答题17．解方程：()232x x x +=+． 18．解方程()224415x x x -+=+19．已知﹣1是方程x 2+ax ﹣b=0的一个根，求a 2﹣b 2+2b 的值．20．已知关于x 的方程()2320x m x m -+++=．(1)求证：无论实数m 取何值时，方程总有实数根； (2)若方程有一个根的平方等于4，求m 的值．21．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,1A 和()0,1B -．(1)求该函数解析式；(2)当2x >-时，对于x 的每一个值，函数12y x n =+的值小于函数()0y kx b k =+≠的值且大于4-，直接写出n 的取值范围．22．一个小球以6m /s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______米，滚动______米后停止．(2)小球滚动11m 1.73）（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v （初速度与末速度的算术平均数）与路程s ，时间t 的关系为s vt =）23．已知：二次函数()20y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：(1)直接写出m 的值为______； (2)求这个二次函数的解析式；(3)当14x -<<时，y 的取值范围为______． 24．综合与实践【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x （单位：cm ）表示．将所收集的样本数据进行如下分组：整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：任务1 求图1中a 的值．【数据分析与运用】任务2 A ，B ，C ，D ，E 五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C 组； ②两园样本数据的众数均在C 组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．任务4 结合市场情况，将C ，D 两组的柑橘认定为一级，B 组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．25．在平面直角坐标系xOy 中，直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线23y ax bx a =+-经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，E 是平面内一点，且CE C B <，过点C 作FC CE ⊥，且CF CE =，连接AE 、AF 、M 是AF 的中点，作射线DM 交AE 于点N ．(1)如图1，若点E 在BC 边上，F 在CD 边上． ①请补全图形；②请问DN 和AE 有怎样的位置关系，并证明；(2)如图2，若点E 在四边形ABCD 内，点F 在直线BC 上方，求EAC ∠与ADN ∠的和的度数．。

2011届高三数学月考、联考、模拟试题汇编直线和圆

直线和圆题组一一、选择题1．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（） A ．相切 B ．直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离答案 B.2．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( ))(A 50<<k )(B 05<<-k )(C 130<<k )(D 50<<k答案 A.3、（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）两圆042222=-+++a ax y x 和0414222=+--+b by y x 恰有三条公切线，若R b R a ∈∈,，且0≠ab ，则2211b a +的最小值为（）A ．91B ．94C ．1D ．3答案 C.3．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）已知点P 是曲线C:321y x x =++上的一点，过点P 与此曲线相切的直线l 平行于直线23y x =-，则切线l 的方程是（） A ．12+=x y B ．y=121+-xC ．2y x =D ．21y x =+或2y x =答案 A.4. （福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）设斜率为1的直线l 与椭圆124:22=+y x C 相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（） A ．4条 B ．5条 C ．6条 D ．7条答案 C.5.（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p ＝（ ▲ ）A 、1B 、2C 、3D 、4答案 B.6．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）过点M(1,5)-作圆22(1)(2)4x y -+-=的切线,则切线方程为（） A ．1x =-B ．512550x y +-=C ．1512550x x y =-+-=或D ．15550x x y =-+-=或12答案 C.7．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=41(0,0),a b a b>>+对称则的最小值是（）A ．4B ．6C ．8D ．9答案 D.8．（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB满足||||OA OB OA OB +=-，则实数a 的值是（）（A ）2 （B ）2- （C 或（D ）2或2- 答案 D.9. （广东省清远市清城区2011届高三第一次模拟考试理）曲线321y x x x =-=-在处的切线方程为（ A ．20x y -+= B ．20x y +-= C ． 20x y ++= D ．20x y --=答案 C.10.（贵州省遵义四中2011届高三第四次月考理）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－8邪恶少女漫画/wuyiniao/ 奀莒哂答案 A.11.（黑龙江大庆实验中学2011届高三上学期期中考试理）若直线y x =是曲线322y x x ax =-+的切线，则a =（）.1A .2B .1C - .1D 或2 答案 D.邪恶少女漫画/wuyiniao/ 奀莒哂12．（黑龙江哈九中2011届高三12月月考理）“3=a ”是“直线012=--y ax ”与“直线046=+-c y x 平行”的（）A ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B.13．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知α∥β，a ⊂α，B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线答案 D.14．（重庆市南开中学2011届高三12月月考文）已知圆C 与直线040x y x y -=--=及都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=答案 B. 二、填空题14．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知两点(4,9)(2,3)P Q --,，则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段PQ的比为．答案 2.15. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线，求椭圆的离心率▲▲.答案 36=e . 16．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a = 答案 0.17. （广东省中山市桂山中学2011届高三第二次模拟考试文）在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C 到直线sin()4πρθ+=的距离为 .18．（河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文）如下图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ， 4PC =，8PB =，则CE = .答案12519.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2011届高三第三次模拟理）已知函数()x f 的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f =_____________。

北京市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

北京市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}1A x x =>，{}2230B x x x =-->，则A B =U （）A ．()3,+∞B ．（1，3）C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),13,-∞-⋃+∞2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知515S =，735S =，则1a =（） A ．2B ．1C ．0D ．1-3．已知边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则AF AE ⋅=u u u r u u u r（）A ．1B ．2C ．3D ．44．在复平面上，复数1i2ia +-所对应的点在第二象限，则实数a 的值可以为（） A ．12-B ．1C ．2D ．35．已知 πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．−23B ．13-C ．23D ．136．“sin tan 0θθ+>”是“θ为第一或第三象限角”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足22220b c a +-=，则sin B 的最大值为（）A B ．13C ．12D ．238．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（）（参考数据：lge 0.4343≈） A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.1159．已知函数()f x 的定义域为R ，存在常数()0t t >，使得对任意x ∈R ，都有()()f x t f x +=，当[)0,x t ∈时，()2tf x x =-．若()f x 在区间()3,4上单调递减，则t 的最小值为（） A ．3B ．83C ．2D ．8510．设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A K ，B K ，规定(),(A BK K A B AB ABϕ-=为线段AB 的长度)叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题，其中错误．．的是（）. A ．函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=； B ．存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； C ．设A ，B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；D ．设A ，B 是曲线e (x y =是自然对数的底数)上不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，则(), 1.A B ϕ>二、填空题11．812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2x 项的系数是．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则双曲线的离心率为．13．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示．①函数()f x 的最小正周期为；②将函数()f x 的图象向右平移(0)t t >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为奇函数，则t 的最小值是．14．已知函数()sin 2cos (0)f x x x ωωω=->，且()()f x f xαα+=-.若两个不等的实数12,x x 满足()()125f x f x =且12min πx x -=，则sin 4α=.15．已知函数1,,122()111,0,242x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，3()sin 22(0)32g x a x a a ππ⎫⎛=+-+> ⎪⎝⎭，给出下列结论：①函数()f x 的值域为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦②函数()g x 在[0,1]上是增函数；③对任意0a >，方程()()f xg x =在[0,1]内恒有解； ④若存在1x ，2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数 a 的取值范围是5495a ≤≤.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．已知函数()()πcos sin ,0.6f x x x ωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且满足_________.（在下列三个条件中任选一个，并解答问题） ① 函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2；② 函数()f x 的图象相邻两个最大值之间的距离为π； ③ 已知12x x ≠，()()1214f x f x ==，且12x x -的最小值为π2. (1)求函数()f x 的对称中心坐标；(2)求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间.17．某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； (2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀(90>分)的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为21s ，22s ，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为23s ，试比较21s 、22s 、23s 的大小．(只需写出结论)18．四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，3PA PB ==，1,2,3BC AB AD ===，O 是AB 的中点(1)求证：CD ⊥平面POC(2)求二面角C -PD -O 的平面角的余弦值(3)在侧棱PC 上是否存在点M ，使得//BM 平面POD ，若存在，求出CMPC的值；若不存在，请说明理由19．已知函数()2ln f x ax x x =+（R a ∈）图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=垂直．(1)求实数a 的值；(2)若存在Z k ∈，使得()f x k >恒成立，求实数k 的最大值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,0)A -在C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(2,1)B -且斜率为k 的直线交椭圆C 于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，试用含k 的代数式表示()()1222x x ++；(3)在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线与直线AQ 相交于点M ，证明：线段PM 的中点在定直线上.21．已知n 为正整数，数列X ：12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12n S X x x x =++⋅⋅⋅+．对于数列X ，总有{}0,1k x ∈，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称数列X 为n 项0-1数列．若数列A ：12,,,n a a a ⋅⋅⋅，B ：12,,,n b b b ⋅⋅⋅，均为n 项0-1数列，定义数列*A B ：12,,,n m m m ⋅⋅⋅，其中1k k k m a b =--，1,2,,k n =⋅⋅⋅．(1)已知数列A ：1，0，1，B ：0，1，1，直接写出()*S A A 和()*S A B 的值；(2)若数列A ，B 均为n 项0-1数列，证明：()()()**S A B A S B =； (3)对于任意给定的正整数n ，是否存在n 项0-1数列A ，B ，C ，使得()()()***2S A B S A C S B C n ++=，并说明理由。

2011年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2011年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分)1．（5分）（2011•北京）已知集合P={x｜x2≤1｝,M=｛a}．若P∪M=P,则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1］B．［1,+∞）C．[﹣1，1］D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．【解答】解：∵P={x|x2≤1},∴P=｛x｜﹣1≤x≤1}∵P∪M=P∴M⊆P∴a∈P﹣1≤a≤1故选：C．【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件P∪M=P⇔M⊆P是解题关键．2．(5分）（2011•北京）复数=(）A．i B．﹣i C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开,将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A【点评】本题考查复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的乘法法则展开即可．3．(5分)（2011•北京）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆;坐标系和参数方程．【分析】先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2,进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解:将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．4．（5分)（2011•北京)执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣C．D．2【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】i=0，满足条件i＜4,执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体,i=1，s=满足条件i＜4,执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4,执行循环体,i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体,i=4,s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为:分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．（5分）（2011•北京）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F,延长AF与圆O 交于另一点G．给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等,得到第一个说法是正确的，根据切割线定理知道第二个说法是正确的,根据切割线定理知,两个三角形△ADF～△ADG,得到第三个说法错误．【解答】解：根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，有CE=CF，BF=BD，∴AD+AE=AB+BC+CA,故①正确，∵AD=AE，AE2=AF•AG，∴AF•AG=AD•AE，故②正确，根据切割线定理知△ADF～△ADG故③不正确，综上所述①②两个说法是正确的,故选A．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线长定理,考查圆的切割线定理，考查切割线构成的两个相似的三角形，本题是一个综合题目．6．（5分）（2011•北京）根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位:分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(）A．75，25 B．75，16 C．60,25 D．60，16【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4)要用x＜A对应的表达式,将方程组联解，可以求出C、A的值．【解答】解：由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4)==30，可得出=30故=4,可得A=16从而c=15=60故答案为D【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．7．（5分）（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B． C．10 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥,根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中,最大的值．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为:8，6，，10,显然面积的最大值,10．故选C．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型．8．（5分)（2011•北京)设A（0，0），B（4，0）,C(t+4,4），D（t，4）（t∈R)．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（)A．{9,10,11｝B．｛9，10，12｝ C．｛9，11，12｝ D．{10，11，12}【考点】集合的含义．【专题】集合．【分析】分别由t=0,1，2求出N（t）,排除错误选项A,B，D，从而得到正确选项．【解答】解：当t=0时，▱ABCD的四个顶点是A(0，0），B(4,0），C（4，4），D(0，4)，符合条件的点有(1，1），（1，2），（1,3）,（2，1)，(2,2)，（2，3)，(3,1），（3,2)，（3，3），共九个,N（t）=9,故选项D不正确．当t=1时，▱ABCD的四个顶点是A(0，0），B(4，0)，C(5，4)，D（1，4),同理知N（t）=12，故选项A不正确．当t=2时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0),C（6，4），D（2，4），同理知N（t)=11，故选项B不正确．故选C．【点评】本题考查集合的性质和应用，解题时要注意排除法的合理运用．本题中取整点是个难点,常用的方法是，先定横（或纵）坐标，在定纵（横）坐标，以确定点的个数，如果从图形上看,就是看直线x=r（r是整数）上有几个整点在四边形内．二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．（5分）（2011•北京）在△ABC中．若b=5，，tanA=2，则sinA=；a=2．【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【专题】解三角形．【分析】由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的平方，然后由A的范围,再利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，然后再利用正弦定理，由sinA,sinB及b 的值即可求出a的值．【解答】解：由tanA=2，得到cos2A==，由A∈（0,π）,得到sinA==,根据正弦定理得:=，得到a===2．故答案为:;2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系以及正弦定理化简求值,是一道中档题．10．（5分）（2011•北京）已知向量=（，1），=（0,﹣1），=(k，）．若与共线，则k=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解:∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．11．（5分)（2011•北京）在等比数列{a n｝中，a1=，a4=﹣4,则公比q=﹣2;｜a1｜+｜a2｜+…+｜a n|=．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比;|a n|是以a1为首项，|q｜为公比，进而利用等比数列的求和公式求解．【解答】解:q===﹣2，｜a1|+｜a2｜+…+|a n|==故答案为:﹣2，【点评】本题主要考查了等比数列的性质．考查了对等比数列的通项公式和求和公式的灵活运用．12．（5分)（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答)【考点】计数原理的应用．【专题】算法和程序框图．【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时,当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数,当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：14【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题,这种问题一般容易出错,注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．13．（5分）（2011•北京）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是（0，1)．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】要求程f(x）=k有两个不同的实根是数k的取值范围，根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=k交点的个数,我们画出函数的图象，数形结合即可求出答案．【解答】解：函数的图象如下图所示:由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f(x)=k有两个不同的实根,故答案为：（0,1)【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系,将方程问题转化为函数问题是解答的关键．14．(5分）(2011•北京）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0)的距离的积等于常数a2（a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中,所有正确结论的序号是②③．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1,0）的距离的积等于常数a2(a＞1）,利用直接法，设动点坐标为（x，y）,及可得到动点的轨迹方程,然后由方程特点即可加以判断．【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：⇔[（x+1）2+y2]•［（x﹣1)2+y2]=a4（1)将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②,把方程中的x被﹣x代换,y被﹣y 代换,方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积=a2sin∠F1PF2，≤a2，所以③正确．故答案为:②③．【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．三、解答题（共6小题，满分80分）15．(13分)（2011•北京)已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x)在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．【解答】解：(Ⅰ）∵，=4cosx（）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）,所以函数的最小正周期为π;（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时,f(x）取得最小值﹣1．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．16．（14分)（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,∠BAD=60°．（Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．【考点】直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由已知条件可得ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证（II）结合已知条件，设AC与BD的交点为O，则OB⊥OC，故考虑分别以OB，OC为x 轴、y轴,以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系,设PB与AC所成的角为θ，则,代入公式可求（III）分别求平面PBC的法向量，平面PDC的法向量由平面PBC⊥平面PDC可得从而可求t即PA【解答】解：(I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC（II）设AC∩BD=O,因为∠BAD=60°，PA=AB=2,所以BO=1，AO=OC=,以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则P（0，﹣,2），A（0，﹣，0），B(1，0,0),C（0，,0）所以=（1，，﹣2），设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知，设,则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令,平面PBC的法向量所以,同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以=0，即﹣6+=0,解得t=，所以PA=．【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力17．（13分）(2011•北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差;（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．（注：方差,其中为x1，x2，…x n的平均数）【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】(Ⅰ)根据所给的数据，把所有数据相加再除以4写出这组数据的平均数，再利用所给的方差的公式,做出这组数据的方差．（Ⅱ）根据所给的变量写出随机变量可能的取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列,做出期望值．【解答】解:(Ⅰ)当X=8，乙组同学植树棵数是8,8，9，10，平均数是=，方差为+=；（Ⅱ)当X=9时，甲组同学的植树棵数是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是9，8，9，10，分别从甲和乙两组中随机取一名同学,共有4×4=16种结果,这两名同学植树的总棵数Y可能是17，18，19,20，21，事件Y=17，表示甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，∴P（Y=17)=P（Y=18)=P（Y=19)=P(Y=20）=,P（Y=21）=Y 17 18 19 20 21P 0。

北京市十一学校2023~2024学年九年级下学期月考数学试题

北京市十一学校2023~2024学年九年级下学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示，点P 到直线l 的距离是（）A ．线段P A 的长度B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段PD 的长度2．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．a ＞﹣2B ．a ＜﹣3C ．a ＞﹣bD ．a ＜﹣b3．正十边形的外角和为（） A ．180°B ．360°C ．720°D ．1440°4．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A ．21，21B ．21，21.5C ．21，22D ．22，225．如图，O e 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，2254A OC ∠=︒=.，，CD 的长为（）A ．B ．4C ．D ．86．如果2230a a +-=，那么代数式224a a a a ⎛⎫⋅ ⎪-⎝⎭-的值是（）A ．3-B ．1-C ．1D ．37．不透明的袋子中装有三个小球，其中两个红色、一个绿色，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（） A ．19B ．29C ．49D ．138．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 上一动点（点E 与点A ，B 不重合），点F 在BC 延长线上，AE CF =，以BE ，BF 为边作矩形BEGF ．设AE 的长为x ，矩形BEGF 的面积为y ，则y 与x 满足的函数关系的图像是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9x 的取值范围是．10．已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是． 11．分解因式：22x y xy y -+=．12．在平面直角坐标系xOy 中，若点()()122,,3,A y B y -在反比例函数 (0)ky k x=<的图象上，则1y 2y (填“>”“ =”或“<” )． 13．方程31512x x=+的解为． 14．如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BEEC的值为．15．如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ．设A B a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；)a b c +=；③a b + 上述结论中，所有正确结论的序号是．16．为了传承中华文化，激发爱国情怀，提高文学素养，某中学九年级举办了“古诗词”大赛，现有小轩、小雯、小婷三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2， 3名(没有并列)，对应名次的得分都分别为a ，b ，c (a b c >>且a ，b ，c 均为正整数)．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，则每轮的第一名得分=a 分；小婷同学在这六轮中，共有轮获得了第二名．三、解答题17．计算：201(24602sin π-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭．18．已知2a 2+3a -6=0．求代数式3a （2a +1）-（2a +1）（2a -1）的值． 19．解不等式组：()41710853x x x x ⎧+≤+⎪⎨--<⎪⎩，并写出它的所有非负整数解． 20．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为△ABC 的中线．BE DC ∥，BE DC =，连接CE ．(1)求证：四边形BDCE 为菱形；(2)连接DE ，若60ACB ∠=︒，4BC =，求DE 的长．21．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +++-=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)写出一个满足条件的m 的值，使方程的两根为整数根，并求此时方程的两根． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点(6,0)A -的直线1:l y kx b =+与直线2:2l y x =相交于点(,4)B m ．(1)求直线1l 的表达式；(2)当<4x -时，对于x 的每一个值，一次函数y nx =的值大于函数 y kx b =+的值，直接写出n 的取值范围．23．北京某超市按月订购一种酸奶，每天的进货量相同．根据往年的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C ︒)有关．为了确定今年六月份的酸奶订购计划，对前三年六月份的最高气温及该酸奶需求量数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．酸奶每天需求量与当天最高气温关系如表：b．2017年6月最高气温数据的频数分布统计表如表(不完整，频率精确到0.01)2017年6月最高气温数据的频数分布表：c．2018年6月最高气温数据的频数分布脂肪体如图：d．2019年6月最高气温数据如下(未按日期顺序)：252628292930313131323232323232 33333333333434343535 3535363636根据以上信息，回答下列问题：(1)b信息中：表中m的值为；(2)2019年6月最高气温数据的众数为，中位数为；(3)根据2017—2019三年数据估计六月份这种酸奶一天的需求量为600 瓶的概率为；(4)已知该酸奶进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．①2019年6月这种酸奶每天的进货量为500瓶，则此月这种酸奶的利润为元；②根据以上信息，预估 2020年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为． A ． 550瓶/天 B ． 600瓶/天 C ． 380瓶/天24．酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味．下表是A 种酶对面粉拉伸面积的影响表．(1)根据表格中的数据，发现可以用函数刻画面粉拉伸面积y 和A 种酶添加量x 之间的关系，当020x ≤<时，y 与x 满足关系；当2060x ≤≤时，y 与x 满足关系；(填“一次函数”或“反比例函数”或“二次函数” )(2)当面粉拉伸面积不小于2116.1cm 时，达到效果较好，结合（1）中的判断， ①请你求出面粉拉伸面积y 与A 种酶的添加量x 的函数关系式； ②直接写出达到效果较好时的x 的取值范围是．25．如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC BD ，交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证：DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点A 作AF D C ∥交CB 的延长线于点F ，若AC AD =，3BF =，求此圆半径的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数()230y mx mx m =-≠(1)当二次函数经过点()14A -，时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标；②一次函数2y x b =-+的图象经过点A ，点()1n y ，在一次函数． 2y x b =-+的图象上，点()22n y +，在二次函数 ²3y mx mx =-的图象上．若12y y <，求n 的取值范围． (2)设二次函数 ()230y mx mx m =-≠的图象上有不重合的两点 ()()12,3,3M x N x ，，其中12x x <，且满足2227x x >-，直接写出m 的取值范围．27．已知：线段AB ，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段AB 上，线段CD 绕点C 顺时针旋转 90︒得到线段CE ，过B 作 BF AE ⊥交AE 的延长线于点F ，交直线DE 于点G ．(1)如图，补全图形，设EAC α∠=，求DGB ∠的度数(可以用α表示)； (2)在（1）中补全图形中，求AE 与BG 的数量关系；(3)在（1）中补全图形中，用等式表示AB 、EG 、CD 的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点C 和圆P ，给出如下定义：若圆P 上存在A 、B 两点，使得ABC V 是等腰直角三角形，且90ABC ∠=︒，则称点C 是圆P 的“等垂点”．(1)当点P 坐标为()3,0，且圆P 的半径为2时，①如图1，若圆P 上存在两点()1,0A 和()3,2B ，请直接写出此时圆P 的“等垂点”C 的坐标__________；②如图2，若直线y x b =+上存在圆P 的“等垂点”，求b 的取值范围； (2)设圆P 的圆心P 在y 轴上，半径为2．若直线y x =-上存在点R ，使半径为1的圆R 上有点S 是圆P 的“等垂点”，请直接写出圆心P 的纵坐标的取值范围．。

2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

2024-2025学年清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∣1<3x≤9},B={x∈Z∣x≥1}，则A∩B=( )A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}2.已知复数z=1+2i2−i，则z的共轭复数z=( )A. −12B. 2+iC. −iD. i3.已知a<b，则( )A. a2<b2B. e−a<e−bC. ln(|a|+1)<ln(|b|+1)D. a|a|<b|b|4.已知f(x)=sinωx(ω>0)，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π4，则ω=( )A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在▵ABC中，点D，E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=x AB+y AC(x,y∈R)，则x+y=( )A. −12B. −13C. 12D. 136.若α是第二象限角，且tan(π−α)=12，则cos(π2+α)=( )A. 32B. −32C. 55D. −557.已知数列{a n}为无穷项等比数列，S n为其前n项和，a1>0，则“{S n}存在最小项”是“S2≥0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则( )A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10.数列{a n}满足a4n−3=−1，a4n−1=1，a2n=a n，该数列的前n项和为S n，则下列论断中错误的是( )A. a31=1B. a2024=−1C. ∃非零常数T，∀n∈N∗，使得a n+T=a nD. ∀n∈N∗，都有S2n=−2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市十一学校2011届高三数学月考试题理(2011.2.13)

北京市十一学校2011届高三数学练习（理）命题人：李锦旭 2011．2．13第Ⅰ卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知x y R ∈，，i 为虚数单位，且()112x y i i +-=+，则复数()1x yi ++所对应点的位置为（）A ．实轴正半轴上B ．实轴负半轴上C ．虚轴正半轴上D ．虚轴负半轴上2．已知条件()2:14p x +>；条件:q x a >；且p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≤-3．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是（） A ． 2539CCB ． 25310C C C ． 25310AAD ． 25410CC4．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．//////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，， B ．//m m n n αα⇒⊥，⊥ C ．////m n m n αβαβ⊂⊂⇒，， D ．//n m n m αα⇒，⊥⊥5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上，则p 的值为（）A ． 2B ． 3C ． 4D ．6．类似于十进制中逢10进1，十二进制的进位原则是逢12进1，采用数字0，1，2…，9和字母M 、N 共12个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如，由于563312101211=⨯+⨯+，所以，十进制中563在十二进制中就被表示为3MN ．那么，十进制中的2011在十二进制被表示为（）A ．1N27B ．11N5C ．12N5D ．11N77．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+，则x y +的值为（）A ． 2B ． 1C ． 1+D ． 2+ 8．在一次学科内研究性学习课上，老师给出问题：研究函数()222x xaf x +=（其中a 为非零实数）的性质．随机选择5位同学得到的结果如下： ①当0a >时，()f x 在定义域上为单调函数；②当1a =-时，函数()f x 的图象的关于原点中心对称； ③对于任意的0a >，函数()f x 均能取到最小值为 ④对于任意的0a >，函数()f x 为偶函数；⑤当1a =时，对于满足121201,,x x x x <<<的所有总有()()()21213ln 22f x f x x x -<-．其中所有正确结果的序号为（）A ．①②③B ．③④⑤C ． ②③D ． ②③⑤第Ⅱ卷二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．9． 52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为（用具体数字作答）．10．设变力()F x 作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从2x π=运动到2x π=，已知()sin F x x x =+，且变力F 的方向与x 轴正向相同，则力()F x 对质点M 所做的功为11．设D 是不等式组21023041x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值是．12．如图，已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PC 交⊙O 于B 、C 两点，2PB =，6BC =，AB =则PA 的长为__ _ ，ACB ∠的大小为___ _．PAx13．在直角坐标系x O y 中，直线L 的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系x O y 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为2sin ρθ=．（1）圆C 的直角坐标方程为；（2）设圆C 与直线L 交于两点A 、B ，若点P 的直角坐标为)，则∣PA ∣+∣PB ∣的值为．14．如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA >OB >OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ，2S ，3S ，则将1S ，2S ，3S 按从小到大顺序排列为．三．解答题（要求写出必要的解题步骤，共80分）15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，数列{}n b 满足121n n b b +=-，且12b =．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）假设数列{}n c 的前n 项和n T ，且21log n n nc a b =⋅，证明：1n T <．16．（本小题满分13分）如图A B ，是单位圆O 上的动点，且A B ，分别在第一，二象限．C 是圆与x 轴正半轴的交点，AOB ∆为正三角形．若A 点的坐标为()x y ，，记α=∠COA （Ⅰ）若A 点的坐标为34 55⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值；（Ⅱ）求2||BC 的取值范围．17．（本小题满分13分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如下：（Ⅰ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；（Ⅱ）若将频率视为概率，对乙同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ．18．（本小题满分13分）已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形，且⊥PD 底面ABCD ，其中E 为PA 的中点，1PD AD ==．（Ⅰ）求证：PB DE ⊥；（Ⅱ）求二面角D PB A --的大小；（Ⅲ）线段PB 上是否存在一点M ，使⊥PC 平面ADM ，若存在，试确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）如图，椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 是椭圆短轴的一个端点，过1F 的直线l 与椭圆交于,A B两点，12MFF ∆的面积为4，2ABF ∆的周长为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点Q 的坐标为()1 0，，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线12,PF PF 都相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设)(x f 是定义在区间),1(+∞数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有0)(>x h ，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P ．（Ⅰ）设函数)(x f )1(12ln >+++=x x b x ，其中b 为实数．（i ）求证：函数)(x f 具有性质)(b P ；（ii ）求函数)(x f 的单调区间．（Ⅱ）已知函数)(x g 具有性质)2(P ．给定,),,1(,2121x x x x <+∞∈设m 为实数，21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1α>，1β>若<-|)()(|βαg g |)()(|21x g x g -，求m 的取值范围．北京市十一学校2011届高三数学练习（理） 2011．02．13命题人：李锦旭9．___________ ；10．____________ ； 11．__________；12．_______；_____；13．_________ _；______； 14． ________ _．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将解答写在规定的区域内，在其他区域内答题无效）班姓学17．（本小题满分14分）18．（本小题满分14分）北京市十一学校2011届高三数学练习（理）参考答案班级姓学1．B 【解析】由复数相等的定义可得x=3，y=1，于是(1)4x y i ++=-，对应点在实轴负半轴上，选B ．2．A 【解析】p ⌝：13≤≤-x ，q ⌝：a x ≤；p ⌝⇒q ⌝但反之不然！即q ⌝p ，结合数轴得1a ≥，故选A ． 3． A 4． D 5． C6．D 【解析】32201111211211127=⨯+⨯+⨯+，故表示成十二进制为11N7，选D ．7． B 【分析】可考虑分析图形特征，确定基底,AB AC 并将AD 向,AB AC方向来分解：作DF AB ⊥，设1AB AC BC DE ==⇒==60DEB ∠=，BD ∴=由45DBF ∠=解得2DF BF ===故1x =+y =8．D 【解析】x xa x f 22)(+=，令xx a 22=得2log 2=x ，增区间为),(log 2+∞a ，减区间为)log ,(2a -∞，不能说“在定义域上为单调函数”，故①错；当1a =-时xx x f --=22)(为奇函数，故②对；对于任意的a R +∈，函数()f x a ax x222≥+=，取到最小值a x axx 2log 22=⇒=，故③对；易知只有a=1时为偶函数，故④错；当1a =时，对于满足121201,,x x x x <<<的所有有2ln 23)1()()()(1212='<'≤--f x f x x x f x f ，故“21213()()ln 2()2f x f x x x -<-总有．”成立，⑤对．也可用结论)1,0(),(),()()(211212⊂∈'=--x x f x x x f x f ξξ，而.2ln 232ln )22(2ln )22()(1=-<-='--ξξξf 9． -10【解析】令1=x 得562222221210=⇒=-=+++=++++n a a a n n n ，故52()x x -的展开式通项为5521552()(2)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令r=1即得．10．21518π-【解析】变力F 所做功222222115(sin )(cos )| 1.28W x x dx x x πππππ=+=-=-⎰11． 12． 4 ，30 ． 13． 22(1)1x y +-=， 3 14． 321S S S <<【解析】设,,()OA a OB b OC c a b c ===>>，过棱OA 且平分三棱锥的体积的截面交侧面OBC 于OD ，是Rt BOC ∆斜边BC 的中线，故1111()224S OA BC == ，同理可得231144S S ==结合a b c >>，易得321S S S <<．三、解答题： 15．本小题满分13分解：（Ⅰ）当1n =时，112a S ==当2212,[(1)(1)]2n n n n a S S n n n n n -≥=-=+--+-=时，所以，2n a n = ……………………………………3分由121n n b b +=-得：112(1),n n b b +-=-所以，{}1n b -是以111b -=为首项，2为公比的等比数列．所以，1111(1)22n n n b b ---=-= ，所以，121n n b -=+ …………………6分（Ⅱ）证明：当1n =时，11012121111log 2log (21)2T c a b ====<⋅+ …………………7分当2n ≥时，12211log 2log (21)n n n n c a b n -==⋅+ 12112log 22(1)n n n n -<=-111()21n n =-- …………………10分故11111222132(1)n T n n ⎛⎫<++++ ⎪⨯⨯-⎝⎭… 1111111(1)()()222231n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪-⎝⎭ (11111112222)n ⎛⎫=+-<+= ⎪⎝⎭ 综上，1n T <成立． ……………………………………13分 16．本小题满分13分解：（1）因为A 点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，根据三角函数定义可知，40,sin 25παα<<=，得3cos 5α=， …………………2分∴22sin sin 2cos cos 2αααα++＝22sin 2sin cos 203cos 1αααα+=-…………………5分（Ⅱ）因为060AOB ∠=，所以cos COB ∠=0cos(60)COA ∠+=)60cos(+α …………………6分所以由余弦定理得222||||||2||||cos BC OC OB OC OB BOC =+-∠=)3cos(22πα+-…………………9分ππαππαπ6532,26<+<∴<< ，2cos )3cos(65cos ππαπ<+<∴，即cos()023πα-<+<， …………………11分23||22+<<∴BC ，…………………13分 17．本小题满分13分【解答】由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为：甲：82 81 79 88 80 乙：85 77 83 80 85 （Ⅰ）派乙参赛比较合适， ……………………………………1分理由如下：甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，甲乙平均分相同；………………………3分又甲的标准差的平方（即方差）210S =甲，乙的方差29.6S =乙，22S S>乙甲；……………………………………5分甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，∴派乙去比较合适；……………………………………6分（Ⅱ）记乙同学在一次数学竞赛中成绩高于80分为事件A ，有3()5P A =， ……………………………………7分X 可能取值为：0，1，2，3， ……………………………………8分其分布列为：X 0 1 23P812536125 54125 27125……………………………………12分∴8365627901231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………13分或直接使用下法：X 服从二项分布3(3,)5B ，故EX np =95=．【注】本题第（Ⅰ）小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分．如还可有如下解释：法2 从统计学的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率115P =，乙获得85分以上（含85分）的概率225P =，甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同； ∴派乙去比较合适．法3 若从学生得82分以上（含82分）去分析：甲获得82分以上（含82分）的概率125P =，乙获得82分以上（含82分）的概率235P =，甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同；∴派乙去比较合适． 18．本小题满分13分解法一：（Ⅰ）因为⊥PD 底面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以AB PD ⊥；因为ABCD 是正方形，所以AB CD ⊥，又PD AD D = ，所以AB ⊥平面PAD ．在PDA ∆中，因为PD AD =，E 为PA 的中点，所以PA ED ⊥，由根据三垂线定理可得知：PB DE ⊥…………………………4分（Ⅱ）设AC 交BD 于点O ，因为BD AC ⊥，PD AC ⊥，所以⊥AC 平面PBD ．作F PB OF 于点⊥，连结AF ，则PB AF ⊥，所以OFA ∠是二面角D PB A --的平面角由已知得，1,PA AB PB ==所以3PA AB AF PB ⋅==，所以sin 23==∠AF AO OFA ，所以060=∠OFA ，所以二面角D PB A --的大小为060．…………………………………8分（Ⅲ）当M 是PB 中点时，有⊥PC 平面ADM ．……………9分证明：取PC 的中点,H 连结MH 、DH ，则//MH BC ，所以//MH AD ，故平面ADM 即平面ADHM ．所以CD AD ⊥，所以PC AD ⊥，又PC DH PC ⊥⊥因为，所以平面ADHM ，PC ⊥所以ADM 平面．……………………………………13分解法二：以D 为原点，以DA 、DC 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,0(D ，(0,0,1)P ，(1,1,0)B ，(1,0,0)A ，(0,1,0)C （Ⅰ）11(,0,)22DE = ，(1,1,1)PB =-，所以1111(1,1,1)(,0,)02222PB DE ⋅=-⋅=-=所以PB DE ⊥，即PB DE ⊥（Ⅱ）(0,0,1)DP = ，(1,1,1)PB =- ， (0,1,0)AB =，设平面PBD 的一个法向量为),,(1111z y x n =，则11110,0z x y z =⎧⎨+-=⎩ 取)0,1,1(1-=n ．设平面PBA 的一个法向量为),,(2222z y x n =，则22220,x y z y +-=⎧⎨=⎩ 取)1,0,1(2=n ．所以21,cos 21>=<n n ，所以二面角D PB A --的大小为060．（Ⅲ）令(01),PM PB λλ=<< 则(,,),(1,0,1),PM AP λλλ=-=-AM = 所以P M A P + =(1,,1),λλλ--(0,1,1)PC =-由已知，AD PC ⊥，要使⊥PC 平面ADM ，只须AM PC ⊥，即0,AM PC ⋅= 则有(1)0λλ--=，得21=λ，所以当M 是PB 中点时，有⊥PC 平面ADM ． 19．解：（Ⅰ）由题意知：,4,4221==⨯⨯bc b c 22,284==a a ，解得 2==c b∴ 椭圆的方程为14822=+y x ………………………… 6分（Ⅱ）假设存在椭圆上的一点),(00y x P ，使得直线21,PF PF 与以Q 为圆心的圆相切，则Q 到直线21,PF PF 的距离相等，)0,2(),0,2(21F F -1PF ： 02)2(000=+--y x y y x2PF ： 02)2(000=--+y x y y x …………………… 8分2220022001)2(|3|)2(||d y x y y x y d =++=+-=………… 9分化简整理得： 0832********=++-y x x …………… 10分 ∵ 点在椭圆上，∴ 822020=+y x解得：20=x 或 80=x （舍） ………………………… 13分20=x 时，20±=y ，1=r ，∴ 椭圆上存在点P ，其坐标为)2,2(或)2,2(-，使得直线21,PF PF 与以Q 为圆心的圆1)1(22=+-y x 相切… ……………… 14分 20．本小题满分14分解：（1）（i ）由,12ln )(+++=x b x x f 得⋅++-='22)1(1)(x x bx x x f 因为1>x 时，,0)1(1)(2>+=x x x h 所以函数)(x f 具有性质)(b P ．……………………………………2分（ii ）当2≤b 时，由1>x 得,0)1(121222>-=+-≥+-x x x bx x 所以,0)(>'x f 从而函数)(x f 在区间),1(+∞上单调递增．……………………………………4分当2>b 时，解方程012=+-bx x ，得24,242221-+=--=b b x b b x ．因为124,12422422221>-+=<<-+=--=b b x b b b b b x 所以当),1(2x x ∈时，0)(<'x f ；当),(2+∞∈x x 时．0)(>'x f ；当2x x =时=')(x f 0．从而函数)(x f 在区间),1(2x 上单调递减，在区间),(2+∞x 上单调递增．……………………………………8分综上所述，当2≤b 时，函数)(x f 的单调增区间为),1(+∞；当2>b 时，函数)(x f 的单调减区间为),24,1(-+b b 单调增区间为).,24(2+∞-+b b ……………………………………9分（2）由题设知，)(x g 的导函数),12)(()(2+-='x x x h x g 其中函数0)(>x h 对于任意的),1(+∞∈x 都成立，所以，当1>x 时，,0)1)(()(2>-='x x h x g 从而)(x g 在区间),1(+∞上单调递增．……………………………………10分 ①当∈m （0，1）时，有,)1()1(11121x x m mx x m mx =-+>-+=α222)1(x x m mx =-+<α，得),(21x x ∈α，同理可得),(21x x ∈β，所以由)(x g 的单调性知))(),(()(),(21x g x g g g ∈βα，从而有<-|)()(|βαg g |)()(|21x g x g -，符合题设．……………………………………11分 ②当0≤m 时，有,)1()1(22221x x m mx x m mx =-+≥-+=α11121)1()1(x mx x m mx x m =+-≤+-=ββ，于是1,1>>βα及)(x g 的单调性知)()()()(21αβg x g x g g ≤<≤，所以≥-|)()(|βαg g |)()(|21x g x g -，与题设不符……………………………………12分 ③当1≥m 时，同理可得21,x x ≥≤βα，进而得≥-|)()(|βαg g |)()(|21x g x g -，与题设不符． ……………………………………13分因此，综合①②③得所求的m 的取值范围为（0，1）．……………………………………14分。

【名师解析】北京市重点中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

北京市重点中学2015届高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】试题考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，知识点综合与迁移。

试卷的整体水准应该说比较高，综合知识、创新题目的题考的有点少,试题适合阶段性质考试.第I 卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）【题文】1．已知集合{}220M x x x = -<，{}N x x a = <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(),0-∞D ．(],0-∞ 【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】A 解析：由M 中不等式变形得：()20x x -<，解得：02x <<，即M=()0,2，∵{}N x x a = <，且M N ⊆， ∴a≥2，则a 的范围为[)2,+∞．故选：A ．【思路点拨】求出M 中不等式的解集确定出M ，根据N 以及M 为N 的子集，确定出a 的范围即可．【题文】2．下列四个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x p 2：∃x ∈(0，1)，log 12x>log 13xp 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x>log 12x p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x<log 13x 其中的真命题是A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 【知识点】全称命题，特称命题。

A2【答案解析】D 解析：对于p 1：在(0，＋∞)中，不存在x 的值使⎝⎛⎭⎫12x<⎝⎛⎭⎫13x，故p 1错误；对于p 3：令x= 12，⎝⎛⎭⎫12x>log 12x 不成立；故p 3错误；p 2 ，p 4正确。

北京市十一学校2011届高三12月月考数学试卷(理科)

北京市十一学校2011届高三12月月考数学试卷（理5—16班）命题人：贺思轩 2010．12．2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

请将答案直接填在答题纸对应题号后的空格内1、设全集U=R ，集合}02|{2<-=x x x A ，103x B x x ⎧-⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则集合A ðU B=（）A ．}10|{<<x xB ．}10|{≤<x xC ．}20|{<<x xD ．}1|{≤x x2、等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，若205=S ，则=++432a a a （） A ． 9 B ． 12 C ． 15 D ． 183、在ABC ∆中，如果sin A C =，30B=，那么角A 等于（） A ．30B ．45C ．60D ．1204、若向量a ，b 满足||||1a b ==，且a ·b +b ·b =23，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5、一组合体三视图如右，正视图中正方形边长为2，俯视图为正三角形及内切圆，则该组合体体积为（） A ．B ．43π CD ．43π6、已知直线a 、b 和平面α、β，下面命题中的假命题是（）A ．若//a β，//αβ，a α⊄，则//a αB ．若//a β，//b α，//αβ，则//a bC ．若a α⊥，//b β，//αβ，则a b ⊥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥ 7、若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是（） A ． 122=-y xB ．1242522=+y x C ．11522=-y x D ．1151622=+y x 8、给出如下四个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad bc =；②设a ，b R ∈，且0ab ≠，若1a b <，则1ba>；③若()2log f x x =，则()f x 是偶函数；④若直线y x a =+与曲线2194x x y ⋅-=有两个交点，则a =错误命题个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案直接填在答题纸对应题号后的横线上。

高三数学上学期第二次月考试卷理(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。

2023届北京专家信息卷(全国甲卷)高三上学期11月月考数学(理)试题(一)(解析版)

2023届北京专家信息卷（全国甲卷）高三上学期11月月考数学（理）试题（一）一、单选题1．已知i的共轭复数是（）A iB iC ．1+D ．1- 【答案】B【分析】利用复数代数形式的四则运算和共轭复数的概念得出结果．【详解】3ii=，i ．故选：B ．2．已知集合{}==2,Z A x x k k ∈，{}==31,Z B x x k k ∈-，则A B ⋂=（）A ．{}=42,Z x x k k -∈B ．{}=4+2,Z x x k k ∈C ．{}=62,Z x x k k -∈D ．{}=6+2,Z x x k k ∈【答案】D【分析】当k 为偶数时，A B =∅，当k 为奇数时，令21k k '=+，Z k '∈，从而求出{}==6+2,Z A B x x k k ⋂∈''，得到答案. 【详解】集合A 为偶数集合，当k 为偶数时，集合B 为奇数集合，此时A B =∅；当k 为奇数时，令21k k '=+，Z k '∈，集合{}==6+2,Z B x x k k ∈''，此时{}==6+2,Z A B x x k k ⋂∈''．故选：D ．3．已知实数x ，y 满足1x y +≤，且1x ≥-，则3z x y =+最小值为（）A ．7-B ．6-C ．5-D ．1-【答案】A【分析】根据已知条件列出,x y 满足的不等式组，画出图象，通过平移基准直线30x y +=到可行域边界位置来求得z 的最小值.【详解】依题意，,x y 满足+1010x y x y -≤≥-≥⎧⎪⎨⎪⎩或101<0x y x y --≤≥-⎧⎪⎨⎪⎩，1=0=1=1=2x y x x y ---⇒--⎧⎧⎨⎨⎩⎩，设()1,2A --，画出可行域如下图所示，由图可知，当基准直线30x y +=平移到点()1,2A --时，z 取得最小值()1327-+⨯-=-.故选： A4．有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中(1,2,i i y x c i =+=，),n c 为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样数据的样本众数相同D ．两组样本数据的样本方差相同【答案】D【分析】根据两组的线性关系，结合数据间的平均值、中位数、众数、方差的关系即可得.【详解】解：对于A ，()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；对于B ，若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；对于C ，由众数的定义知：若第一组的众数为n x ，则第二组的众数为n x c +，错误；对于D ，()()()()D y D x D c D x =+=故方差相同，正确；故选：D ．5．为了得到函数()ln 2y x =的图象，只需把函数ln y x =的图象（）A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向上平移ln2个单位长度D ．向下平移ln2个单位长度【答案】C【分析】根据对数函数的运算法则进行化简，结合函数图象变换规律进行判断即可．【详解】因为()ln ln2ln 2y x x =+=，所以只需把函数ln y x =的图象向上平移ln2个单位长度即可得到()ln 2y x =的图象．故选：C ．6．函数()()e e x xf x x -=-的部分图像大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】先求解函数的定义域，且()()f x f x -=，故函数为偶函数，排除BC ；再求出()11e e 0f -=->，排除D ，选出正确答案.【详解】()()e e x xf x x -=-定义域为R ，且()()()()e e e e x x x x f x x x f x ---=--=-=，故()f x 为偶函数，所以排除选项B 和选项C ；又()11e e 0f -=->，排除D.故选：A ．7．同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子出现的点数分别为1X ，2X ，记{}12min ,X X X =，则()24P X ≤≤=（）A ．34B ．23C ．1118D ．712【答案】D【分析】由题意可得共出现36个基本事件，然后列举出较小点数为2点，3点和4点的所有情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】同时掷两颗质地均匀的骰子，共出现36个基本事件，其中较小点数为2点的情况有：（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2）共9种；较小点数为3点的情况有：（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（5，3），（6，3）共7种；较小点数为4点的情况有：（4，4），（4，5），（4，6），（5，4），（6，4）共5种；所以()9757243612P X ++≤≤==．故选：D ．8．已知函数()()22sin x x f x a x -=-⋅是偶函数，则=a （） A ．0B ．1C ．1-D ．1±【答案】B 【分析】由偶函数的定义求解即可．【详解】因为()()22sin x x f x a x -=-⋅，所以()()()()22sin 22sin x x x x f x a x a x ---=-⋅-=--⋅，因为()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即()()22sin 22sin x x x x a x a x ----⋅=-⋅，∴()02222sin x x x x a a x ---⋅+⋅-=，()()02222sin x x x x a x --++⎡⎤-⋅=⎣⎦整理得()()122sin 0x x a x --+=，所以=1a ．故选：B ．9．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（）A ．288B ．336C ．368D ．412【答案】B【分析】由已知，可根据题意，分成当四位数不出现1时、当四位数出现一个1时、当四位数出现两个1时三种情况，分别列式求解即可.【详解】当四位数不出现1时，排法有：114224C C A 96⨯⨯=种；当四位数出现一个1时，排法有：1142242C C A 192⨯⨯⨯=种；当四位数出现两个1时，排法有：112224C C A 48⨯⨯=种；所以不同的四位数的个数共有：9619248336++=．故选：B ．10．已知随机变量()~0,1N ξ，令()()x P x ξΦ=≤，0x >，则下列等式正确的序号是（） ①()()1x x Φ+Φ-= ②{}()12P x x ξ≤=-Φ ③{}()21P x x ξ<=Φ- ④{}()21P x x ξ>=-Φ⎡⎤⎣⎦A ．①③④B ．①②④C ．②③④D ．①②③【答案】A【分析】根据题意可得正态曲线关于0ξ=对称，再结合正态分布的密度曲线定义逐个分析判断即可.【详解】因为随机变量()~0,1N ξ，所以正态曲线关于0ξ=对称，因为()()x P x ξΦ=≤，0x >，所以根据正态曲线的对称性可知()()1x x Φ+Φ-=，{}()21P x x ξ<=Φ-，{}()21P x x ξ>=-Φ⎡⎤⎣⎦，所以①③④正确，②错误，故选：A11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若满足()()22f x f x +-=，且()f x '为奇函数，则下列选项中一定成立的是（）A ．()11f -=B ．()00f =C ．()10f =D ．()31f =- 【答案】A【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性，然后令1x =，即可求得()1f ，从而得到结果.【详解】因为()f x '为奇函数，则()()f x f x ''--=，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，由()()22f x f x +-=，得()()112f f +=，即()()111f f =-=，故A 正确，C 错误令=1x -，则()()132f f -+=，则()31f =，故D 错误；令0x =，则()()022f f +=，故()0f 不一定等于0.故B 错误.故选:A12．已知=3a ，b =ln 4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【分析】构造函数()2e 1x f x x =--，利用导数研究单调性可比较a 、b ，利用对数单调性可比较a 、c ，然后可得.【详解】因为3ln 4ln e 3<=，所以c a <；构造函数()2e 1x f x x =--，则()e 2x f x x ='-，记()e 2x g x x =-，则由()e 20x g x '=->，得ln 2x >，()f x '在()ln 2,+∞递增，由()e 20x g x '=-<，得ln2x <，()f x '在(),ln2-∞递减，所以()()ln 222ln 20f x f ''≥=->，所以()f x 在R 上递增，有()00f f >=，所以b a >，所以c a b <<.故选：D ．二、填空题13．已知0x 是方程1720x x-=的根，若()0,1x n n ∈+，n ∈Z ，则=n __________．【答案】2 【分析】先判断函数()172x f x x=-的单调性，结合零点存在性定理，即得解【详解】设函数()172x f x x =-，由于172,x y y x ==-都在(0,)+∞单调递增，故()f x 为()0,+∞上增函数，故函数()f x 在()0,+∞至多存在一个零点，且()173803f =->，()172402f =-<，所以()02,3x ∈，所以=2n ．故答案为：214．某学校的文学社团由高一、高二和高三学生组成，已知高一学生人数多于高二学生人数，高二学生人数多于高三学生人数，且高三学生人数的两倍多于高一学生人数，则该文学社团人数的最小值为__________．【答案】12【分析】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x ，y ，z ，则2z x y z >>>，且x ，y ，z ∈N ，讨论z 的取值，即可求解【详解】设高一学生、高二学生和高三学生人数分别为x ，y ，z ，则2z x y z >>>，且x ，y ，z ∈N ，①当0z =时，00x y >>>，不符合题意；②当1z =时，21x y >>>，不符合题意：③当=2z 时，42x y >>>，不符合题意；④当3z =时，63x y >>>，此时=5x ，=4y ，满足题意．所以12x y z ++=．所以该文学社团人数的最小值12．故答案为：1215．已知任何一个正整数x 都可以表示成()10110,n x a a n =⨯≤<∈N ，即lg lg x n a =+，此时x 是一个+1n 位数，已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，则10015是__________位数．【答案】118【分析】利用对数运算性质化简，结合题意求解即可．【详解】设()1001510110,n a a n =⨯≤<∈N ，所以()100lg15lg 10n a =⨯，即()100lg3lg5lg n a +=+，所以()()lg 100lg31lg21000.477110.3010117.61a n n n =+--≈+--=-，又因为0lg 1a ≤<，N n ∈，所以lg 0.61a =，117n =，故10015是1171118+=位数．故答案为：118．16．中国魏晋期间伟大的数学家刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用多边形的周长近似代替圆的周长，随着边数的增加，正多边形的周长也越来越接近于圆的周长．这是世界上最早出现的“以直代曲”的例子．“以直代曲”的思想，在几何上，就是用直线或者直线段来近似代替曲线或者曲线段．利用“切线近似代替曲线”的思想方法计算12023e ，所得的结果用分数表示为__________．【答案】20242023【分析】令()e x f x =，可得()f x 在点（0，1）处的切线方程为=+1y x ，由“切线近似代替曲线”的思想可得1202311e 120232023f ≈⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得答案．【详解】解：构造函数()e x f x =，则有()e x f x '=，(0)1f =，(0)1f '=，所以()f x 在点（0，1）处的切线方程为=+1y x ，根据“切线近以代替曲线”的思想方法可得12023112024e 1202320232023f ⎛⎫=≈+= ⎪⎝⎭．故答案为：20242023三、解答题17．已知函数()22x x x f x x λ=⋅+是奇函数． (1)求常数λ的值；(2)解方程()222x x f x x -=+．【答案】(1)1λ=(2)0或2log 3．【分析】（1）由()()f x f x -=-，代入求解即可；（2）转化方程为212222x x x x x x -⎛⎫⋅+=+ ⎪⎝⎭，分=0x ，0x ≠两种情况求解即可. 【详解】（1）函数定义域为：R x ∈，因为函数()22x x x f x x λ=⋅+是奇函数，所以()()f x f x -=-，即2222x x x x xx x x λλ---⋅-=-⋅-，化简得()11202x x λ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故10λ-=，所以常数1λ=．（2）由（1）知()122x x f x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，所以方程为212222x x x x x x -⎛⎫⋅+=+ ⎪⎝⎭，当=0x 时，方程成立；当0x ≠时，方程可化为2112222x x x -+=+，整理得()()23210x x -+=，因为20x >，所以23x =，即2log 3x =，综上，方程()222x xf x x -=+的根为0或2log 3．18．随着互联网的发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效王作的同时，网络犯罪也日益增多．为了防范网络犯罪与网络诈骗，某学校举办“网络安全宣传倡议”活动．该学校从全体学生中随机抽取了100名男生和100名女生对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查．下面是根据调查结果绘制的问卷调查得分的频率分布直方图：将得分不低于70分的学生视作了解，已知有50名男生问卷调查得分不低于70分．(1)根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？男女合计了解不了解合计(2)已知问卷调查得分不低于90分的学生中有2名男生，若从得分不低于90分的学生中任意抽取2，求至少有一名男生的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：()20P x χ≥ 0.10 0.05 0.010 0.005【答案】(1)表格见解析，有关(2)710．【分析】（1）根据频率分布直方图求出问卷调查结果为了解的学生人数，完善列联表，求出卡方，即可判断；（2）首先求出问卷调查得分不低于90分的学生人数，再求出基本事件总数以及满足条件的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】（1）解：问卷调查结果为了解的学生人数为：()0.0250.0150.00251020085++⨯⨯=，又因为其中男生有50人，所以其中女生有855035-=人．可得22⨯列联表为：提出假设0H ：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关，根据列联表中数据，可以求得()2220050653550 4.60410010011585χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为当0H 成立时，()2 3.8410.05P χ≥≈，这里的2 4.604 3.841χ=>，所以我们有95%的把握认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关．（2）解：问卷调查得分不低于90分的学生人数为0.0025102005⨯⨯=人，其中男生有2人，女生有3人记“任意抽取2人，至少有一名男生”为事件A ，从5人中任意抽取2人共有54102⨯=种抽法，抽取2人中恰有1名男生的抽法有236⨯=种，抽取2人中恰有2名男生的抽法有1种，事件A 的概率()6171010P A +==，综上，至少有一名男生的概率为710． 19．甲､乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13，本次比赛规定：先连胜两局者直接获胜，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者获胜．(1)求比赛共进行5局且甲获胜的概率；(2)记甲､乙比赛的局数为X ，求X 的概率分布列和数学期望．【答案】(1)16243(2)分布列见解析，数学期望为224.81【分析】(1) 记比赛共进行5局并且甲获胜为事件A ，先找出事件A 的情况，然后利用概率公式即可求解；(2)根据题意求出X 的可能取值，分别求出每种取值的概率，列出分布列，进而求解. 【详解】（1）记比赛共进行5局并且甲获胜为事件A ，说明甲前4局胜了2局，且第5局甲胜，且只有胜负胜负胜或负胜负胜胜两种情况所以()22212162333243P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以比赛共进行5局并且甲获胜的概率为16243（2）X 的可能取值为2,3,4,5,记甲在第i 局获胜为事件()1,2,3,4,5i A i =，乙在第i 局获胜为事件()1,2,3,4,5i B i =，()()()()()1212221152;33339P X P A P A P B P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()12312312221123=3333339P X P B P A P A P A P B P B ==+=⨯⨯+⨯⨯，()()()()()()()()()123412344P X P A P B P A P A P B P A P B P B ==+2122121110;3333333381=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ()()()()851234;81P X P X P X P X ==-=-=-==所以X 的概率分布列为：故X 的数学期望()521082242345.99818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=20．已知函数()1lgx f x xλ+=．(1)当2λ=时，解不等式()0f x >；(2)设0λ>，当1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()12lg 2f x f x -≤，求λ的取值范围．【答案】(1)()(),10,x ∈-∞-+∞(2)2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】(1)将2λ=代入函数，再由对数函数的性质求解即可；(2)由题意可得()()max min lg2f x f x ≤-，先判断出函数()f x 在定义域上为单调递减函数，进而得()()1lg2f a f a -+≤，即得()2110a a λλ++-≥，对任意1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，结合二次函数的性质求出()()211h a a a λλ=++-在区间1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值即可求得λ的取值范围．【详解】（1）解：当2λ=时，()21lg x f x x+= 由21lg0x x+>，得2121110x x x x ++>⇒->，即10x x+>，等价于()10x x +>，解得()(),10,x ∈-∞-+∞；（2）解：因为对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()12lg 2f x f x -≤，所以对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()max min lg2f x f x ≤-，设()f x 的定义域为I ，又当1x ，2x I ∈且12x x <时，有121211x x x x λλ++>，即121211lglgx x x x λλ++>，即()()12f x f x >，所以()f x 在I 上单调递减．因此函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值与最小值分别为()f a ，()1f a +．由()11()1lg lg lg 21a a f a f a a a λλλ+++⎛⎫⎛⎫-+=-≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，化简得()2110a a λλ++-≥，上式对任意1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0λ>，2(1)40λλ∆=++>令()()211h a a a λλ=++-，对称轴为102a λλ+=-<，所以函数()()211h a a a λλ=++-在区间1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，()min h a =131242h λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由31042λ-≥，得23λ≥．故λ的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21．已知函数()e xf x a x a =+-，a ∈R ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若对任意R x ∈恒有()()2e 1xf x x ≤+-，求a ．【答案】(1)答案见解析 (2)=2a【分析】（1）求导，分0a ≥，0a <两种情况，讨论导函数正负，即得解；（2）转化为()()()2e 10xg x f x x =-+-≤，分=2a ，2a >，02a <<，0a ≤几种情况讨论函数单调性，求解即可.【详解】（1）因为()e 1xf x a '=+，当0a ≥时，对任意(),x ∈-∞+∞都有()0f x '>，函数()f x 的单调增区间为(),-∞+∞当0a <时，由()=0f x '，得1ln x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，1ln ,x a ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 的单调增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．综上，当0a ≥时，函数()f x 的单调增区间为(),-∞+∞，当0a <时，函数()f x 的单调增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为对任意R x ∈恒有()2e 1xf x x ≤+-，所以设()()()22e 1e e 1x x xg x f x x a a =-+-=-+-+，根据题意，对任意R x ∈，要求()0g x ≤，()()22e e e 2e x x x x g x a a '=-+=-，①当=2a 时，()()2e 1e x xg x '=-，(),0x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 为(),0-∞上单调增函数，所以(),0x ∈-∞时，()()00g x g <=，()0,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为()0,+∞上单调减函数，所以()0,x ∈+∞时，()()00g x g <=，此时，对任意R x ∈恒有()2e 1xf x x ≤--；②当2a >时，由()=0g x '得，ln2a x =， ,ln 2a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 为,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调增函数，因为0ln 2a <，所以()ln 002a g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符题意；③当02a <<时，由()=0g x '得，ln 2ax =，ln ,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 为ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调减函数，因为ln02a <，所以()ln 002a g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符题意； ④当0a ≤时，对任意R x ∈都有()0g x '<，()g x 为R 上单调减函数，所以(),0x ∈-∞时，()()00g x g >=，不符题意；综上，当=2a 时，对任意R x ∈恒有()2e 1xf x x ≤--．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 满足参数方程为2224=21+4=1+x t t y t -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ+=．(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B两点，且AB =m 的值．【答案】(1)[)224,2,2x y x +=∈-，0x m +=(2)2【分析】（1）利用参数方程，经过平方相加可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用圆心距、半径、半弦长关系求解即可．【详解】（1）由2224=21+4=1+x t ty t -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，可得：222222442411t x y t t ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又因为2421x t =-+，所以024x <-≤，即[)2,2x ∈-，所以曲线C 的直角坐标方程为：[)224,2,2x y x +=∈-，由=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，代入cos sin 0m ρθθ+=，可得直线l的直角坐标方程为：0x m +=．（2）设坐标原点O 到l 直线的距离为d ，则2m d ==，因为2242AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2242m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2m =±．当2m =-时，直线:20l x -=经过点(2,0)，而点(2,0)不在曲线C 上，故2m =-不符合题意，所以=2m ．23．已知正数x ，y ，z 满足247x y z ++=． (1)证明：22273x y z ≥++； (2)求222248x y z z x y++的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)72．【分析】（1）根据柯西不等式()()()222222212424x y z x y z ++++≥++，结合题干条件即得解；（2）利用均值不等式求解()2222412482x y z x y z z x y ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭的最小值，再求解222248x y z z x y ++的最小值即可.【详解】（1）由已知247x y x ++=，根据柯西不等式，有()()()22222221242449x y z x y z ++++≥++=，即()2222149x y z ++≥，所以22273x y z ≥++；（2）因为()2222412482x y z x y z z x y ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭222214282x y z z x y z x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭247x y z ≥++=，所以22224782x y z z x y ++≥，当且仅当7=,37=,67=12x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩时等号成立，综上，222248x y z z x y ++的最小值为72．。

2024北京交大附中高三9月月考数学(教师版)

2024北京交大附中高三9月月考数学一、选择题（四个选项中只有一个答案正确）4×10=401.设复数3i z =-,则复数i z ⋅在复平面内对应的点的坐标是（）A.()1,3 B.()1,3- C.()3,1 D.()3,1-2.已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，2{|0}3xB x N x +=∈≤-，则A B = A.{0,1,2}B.(1,3)- C.{2,3}D.{1,2}3.已知定义域为I 的奇函数()0,f x x I ∃∈，使()00f x <，则下列函数中符合上述条件的是（）A.()32f x x= B.()2log f x x= C.()21log 1x f x x+=- D.()1sin f x x=+4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若6724a a =＋，848S =，则{}n a 的公差为（）A.1B.3C.4D.85.若直线2y x =是曲线()()=-2e xf x x a 的切线，则a =（）A.e- B.1- C.1D.e6.设0a >，0b >则“221a b +≥”是“1a b ab +≥+”的条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要7.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递减，若a +∈R ，且满足()()313log log 22f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A.1,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[)10,9,9⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦8.()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x +是奇函数，当[]0,1x ∈时，()22f x x m =-，则112f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A.32B.32-C.12D.12-9.已知函数(),0ln ,0x xe x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()g x f x ax =-有四个不同的零点，则a 的取值范围为（）A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[)1,eD.[),e +∞10.集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前n 次操作中共去掉的线段长度之和不小于2930，则n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.3010=，lg 30.4771=）A.9B.8C.7D.6二、填空题（5×5=25）11.在6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数为12，则a 的值为______．12.在ABC V 中，M 是BC 的中点，4AM =，点P 在AM 上，且满足3AP PM →→=，则PA PB PC →→→⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭的值为___________.13.已知函数21()cos sin 2f x x x x =-+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为___________.14.设函数()21,=3+3,<x x af x x a a x a-≥--⎧⎪⎨⎪⎩，若函数()f x 存在最小值，则a 的一个取值为___________；a 最大值为___________.15.已知数列{}n a 的各项均为正数，{}12,n a a =的前n 项和n S 满足211(1,2,3,)++=+⋅= n n n n n a S a a S n ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于1；②{}n n a S ⋅为常数列；③{}n a 为递增数列；④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题16.设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =．（1）求角A 的大小；（2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC V 的面积．第①组条件：a =，5c =；第②组条件：AB 边上的高h =，3a =；第③组条件：1cos 3C =，c =．17.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，M 是线段PC 的中点.已知2PD CD ==，1AD =.（1）求证：//PA 平面BDM ；（2）求二面角M BD C --的余弦值；（3）直线BD 上是否存在点N ，使得MN 与PA 垂直？若存在，求MN 的长；若不存在，请说明理由.18.某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：汽车型号ⅠⅡⅢⅣⅤ回访客户(人数)250100200700350满意率0.50.50.60.30.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.（1）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；（2）若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）用“11η=”，“21η=”，“31η=”，“41η=”，“51η=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型号汽车让客户满意，“10η=”，“20η=”，“30η=”，“40η=”，“50η=”分别表示不满意.写出方差1D η，2D η，3D η，4D η，5D η的大小关系.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为，12,F F ，若2F 到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A B 、，过点()1,0M 的直线l 与椭圆C 相交于P Q 、两点，证明：直线AP BQ 、的交点在垂直于x 轴的定直线上．20.已知函数1()ln (1)2f x x a x =--（R a ∈）．（1）若2a =-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()0f x <对任意(1,)x ∈+∞恒成立．（i）求实数a 的取值范围；（ii ）试比较2e a -与e 2a -的大小，并给出证明（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈）．21.已知无穷数列{}{}{},,n n n x y z 满足：*111,,,n n n n n n n n n x y z y z x z x y n +++=-=-=-∈N .记{}max ,,n n n n u x y z =(max{,,}x y z ，表示3个实数x ，y ，z 中的最大值).（1）若1112,3,4x y z ===，求123,,u u u ；（2）若11232,3,x y u u ===，求1z ；（3）设111,,x y z 是有理数，数列{}{}{},,n n n x y z 中是否一定存在无穷个0？请说明理由.参考答案一、选择题（四个选项中只有一个答案正确）4×10=401.【答案】A【分析】根据复数的乘法运算法则,将i z ⋅求出,即可得该复数在复平面内对应的点的坐标.【详解】解:由题知3i z =-,()i i 3i 13i z ∴⋅=⋅-=+,i z ∴⋅在复平面内对应的点的坐标是()1,3.故选:A 2.【答案】A【分析】求出A 中x 的范围确定出A，求出B 中不等式的解集确定出B，求出两集合的交集即可．【详解】由A 中y=log 2（x+1），得到x +1＞0，即x＞-1，∴A=（-1，+∞），由B 中不等式变形得：（x﹣3）（x +2）≤0且x 3≠解得：﹣2≤x<3，又x N ∈，{}B 21012∴=--，，，，则A ∩B={}012，，，故选A ．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.【答案】C【分析】利用奇偶性的定义逐项判断即可.【详解】对于A ，()32f x x ==A 错误；对于B ，()()2log f x x f x -=-=，为偶函数，故B 错误；对于C ，()21log 1xf x x +=-，故10,111x x x +>-<<-，且()()2211log log 11x x f x f x x x-+-==-=-+-，故()f x 为奇函数，且211log 023f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，满足条件，故C 正确；对于D ，()010f =≠，故()f x 不是奇函数，故D 错误.故选：C 4.【答案】B【分析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题设条件易得出关于1a 和d 的方程组，解方程组求得公差d 即可.【详解】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得：1121124878482a d a d =⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩＋，解之得：3d =.故选：B .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算问题，考查对基础知识的理解和掌握，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5.【答案】B【分析】利用导数，根据切点及切线的斜率求得正确答案.【详解】()()=-2e xf x x a ，()()212exf x x a '=+-，依题意，直线2y x =是曲线()()=-2e xf x x a 的切线，设切点为(),2t t ，则()()22e 212e 2t tt a t t a ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，()()22e 212e 2t t t a t t a ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩，通过对比系数可得()212,20,0t t t t t +===，则1a =-.故选：B 6.【答案】B【分析】由于原命题与逆否命题是等价命题，所以问题可以转化为：设>0，0b >则“1a b ab +<+”是“221a b +<”的()条件，这样可以先判断这个命题题设与【详解】由于原命题与逆否命题是等价命题，所以问题可以转化为：设>0，0b >则“1a b ab +<+”是“221a b +<”的()条件，题设：1a b ab +<+10(1)(1)0a b ab a b ⇔+--<⇔-->（>0，0b ）>，结论：221a b +<1010a b -<⎧⇔⎨-<⎩（>0，0b ）>，显然由题设不一定能推出结论，但是从结论一定能推出题设，故本题选B．【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断．通过原命题与逆否命题是等价问题，使不等式的问题变得简单．7.【答案】D【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 是偶函数，且在区间[)0,+∞单调递减，由()()313log log 22f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭得()()()()333log log 2log 22f a f a f a f +-=≤，所以()()3log 2f a f ≤，所以3log 2a ≤-或3log 2a ≥，所以109a <≤或9a ≥，所以a 的取值范围是[)10,9,9⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦.故选：D 8.【答案】A【分析】分析可得()10f =，可得出m 的值，求出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，利用函数()f x 的周期性和对称性可求得112f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，则()()11f f =-，所以，()120f m =-=，解得2m =，所以，211322222f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 是偶函数，所以()()11f x f x -+=-，故()()()113f x f x f x +=--=-，则()f x 是以4为周期的周期函数，因此，11313.2222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.9.【答案】A【分析】讨论0x ≤、0x >，应用导数研究单调性，要使()0g x =有四个不同的解，即当两个区间均存在两个零点时，求a 的范围即可.【详解】由题意知：()()g x f x ax =-有四个不同的零点，∴,0()ln ,0x xe ax x g x x ax x ⎧-≤=⎨->⎩，则()0g x =有四个不同的解，当0x ≤时，()()0x g x x e a =-=，其零点情况如下：1）当0a ≤或1a =时，有0x =；2）当01a <<或1a >时，0x =或ln x a =；当0x >时，1()g x ax'=-，则有如下情况：1）当0a ≤时()0g x '>，即()g x 单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；2）当0a >时，在10x a <<上()0g x '>，()g x 单调递增，在1x a>上()0g x '<，()g x 单调递减，而0x +→有()g x →-∞，x →+∞有()g x →+∞，所以只需1(ln 10g a a =-->，得1a e<时，()g x 必有两个零点.∴综上，有10a e<<时，()g x 在0x ≤、0x >上各有两个零点，即共有四个不同的零点.故选：A.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求在满足零点个数的情况下参数范围.10.【答案】A【分析】通过归纳法归纳出每次舍弃的线段的长度，然后由等比数列的前n 项和公式求得前n 次舍弃的线段的和，然后列不等式求解．【详解】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度和为2133⨯，第三次操作去掉的线段长度和为221333⨯⨯，…，第n 操作去掉的线段长度和为121()33n -⋅，由此得121()12121123()1()2333333313nn n --+⨯++⨯==-- ，所以2291(330n-≥，21()330n ≤，2lglg 303n ≤-，lg 301lg 310.47718.4lg 3lg 2lg 3lg 20.47710.3010n ++≥==≈---，所以n 的最小值是9.故选：A ．二、填空题（5×5=25）11.【答案】2-【分析】先写出通项公式，即可求出a 的值.【详解】解：因为6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为：616C (1)r r r r r r T x a x --+=-626(1)C r r r ra x-=-，又因为4x 的系数为12，所以当624r -=时，1r =，所以166(1)C (1)C 612rrra a a -=-⋅⋅=-=，解得2a =-故答案为：2-12.【答案】6-【分析】根据向量的加法及线性运算可得23PB PC AP →→→+=，再利用向量数量积的运算性质求解即可.【详解】如图，4AM =Q ，又由点P 在AM 上且满足3APPM →→=，3,1AP PM →→∴==，M 是BC 的中点，223PB PC PM AP →→→→∴+==，2229633PA PB PC AP →→→⎛⎫∴⋅+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭ 故答案为：6-.13.【答案】12π【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值.【详解】2131()cos sin 2cos 2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭Q ，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则函数为奇函数，()26k k Z πϕπ∴-=∈，()122k k Z ππϕ∴=-∈，由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.故答案为：12π.【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.14.【答案】①.0（答案不唯一）②.4【分析】化简()21,=3+3,<x x af x x a a x a-≥--⎧⎪⎨⎪⎩，分类讨论去掉绝对值符号，继而分类讨论a 的取值范围，确定每类中每段函数的取值范围，根据题意列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意得()21,=3+3,<x x af x x a a x a -≥--⎧⎪⎨⎪⎩21,=+3+4,<x x a x a x a -≥-⎧⎨⎩，当=0a 时，21,0()=+3,<0x x f x x x -≥-⎧⎨⎩，则0x ≥时，()[)1f x ∈-+∞，，0x <时，()(3)f x ∈+∞，，此时()f x 存在最小值1-，故a 的一个取值为0；②当0a >时，则x a ≥时，()f x 在[)a +∞，上单调递增，2()[1,)f x a ∈-+∞，x a <时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，()(33)f x a ∈++∞，，要使()f x 存在最小值，2331a a +≥-，解得14a -≤≤，故04a <≤；③当0a <时，则x a ≥时，2()1f x x =-在[)a +∞，上的最小值为1-，x a <时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，()(33)f x a ∈++∞，，要使()f x 存在最小值，33a +≥，即43a ≥-，则403a -≤<；综上所述，a 的取值范围为[44]3-，则a 的一个取值为0；a 最大值为4,故答案为︰0;4.15.【答案】②④【分析】依题意可得11n n n n a S a S ++=，即可得到4n n a S =，从而判断②，再令2n =，求出2a ，即可判断①，证明111n n n na S a S ++=>，即可说明③，利用反证法说明④.【详解】解：因为211(1,2,3,)++=+⋅= n n n n n a S a a S n ，所以()2111111n n n n n n n n n n a S a a S a a S a S ++++++=+⋅+==，又12a =，所以114a S =，则4n n a S =，即{}n n a S ⋅为常数列，故②正确；因为{}n a 的各项均为正数，当2n =时()222124a S a a a =+=，即()2224a a +=，解得211a =->，故①错误；由于4(1,2,3,)n n a S n == ，所以11n n n n a S a S ++=⋅，又数列{}n a 的各项均为正数，所以10n n S S +>>，所以111n n n na S a S ++=>，所以1n n a a +>，故{}n a 为递减数列，故③错误；假设{}n a 中每一项均大于或等于1100，当n 取值变大时，n S 也逐渐增大，当40000n >时，400n S >，又1100n a ≥，所以14004100n n a S ⋅>⨯=，与4n n a S =矛盾，故④正确；故答案为：②④三、解答题16.【答案】（1）π3A =（2）选①不符合题意；选②3322S =；选③S =【分析】（1）利用正弦定理的边角互化即可求解；（2）选①利用余弦定理可求出边b ，可判断不满足题意；选②先利用高h 和角A 列式可求出b ，然后利用余弦定理可求出边c ，进而求出面积；选③先求sin C ，然后利用正弦定理求出边a ，再结合两角和的正弦公式求sin B ，进而可求出面积.【小问1详解】因为sin cos a B A =，所以由正弦定理得sin sin cos A B B A =,又因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >，所以sin A A =，显然cos 0A ≠，则tan A =，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】若选①，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即219255b b =+-，即2560b b -+=，解得2b =或3，不符合题意；若选②，因为AB边上的高h =，所以πsin 3b =，则232b ==，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2942c c =+-，即2250c c --=，解得11c c =+=-，故ABC V 唯一，符合题意，此时ABC V的面积113332sin 2(12222S bc A ==创+�；若选③，因为知道角A ，cos C ，边c ，所以ABC V 唯一，符合题意，因为(0,π)C ∈，1cos 3C =，所以22sin 3C =，由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin 223c Aa C ===则11sin sin()sin cos cos sin 23236B AC A C A C =+=+=⨯⨯，此时ABC V的面积11223sin 226S ac B ==创.17.【答案】（1）证明见解析；（2）66；（3）存在，MN【分析】（1）连接AC 交BD 于N ，连接MN ，利用线面平行的判定定理即可证得结论.（2）利用线面垂直的性质定理可知PD AD ⊥，PD CD ⊥，以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz -，求出平面BDM 的法向量为n，利用空间向量求二面角的余弦值即可.（3）设(),2,0N λλ，其中R λ∈，通过20MN AP λ⋅=--=uuu r uu u r，求解N 的坐标，再求解MN 的长度即可.【详解】（1）连接AC 交BD 于N ，连接MN .因为底面ABCD 是矩形，所以N 是线段AC 的中点.M 是线段PC 的中点，//PA MN ∴.又PA ⊄平面BDM ，MN ⊂平面BDM ，//PA ∴平面BDM .（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥.因为底面ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.如图,以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，1,0,0，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()1,2,0B .因为M 是线段PC 的中点，故()0,1,1M ，()1,2,0DB ∴= ，()0,1,1DM =.设平面BDM 的法向量为(),,n x y z =，则00n DB n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则2x =-，1z =-，于是()2,1,1n =--.因为PD ⊥底面ABCD ，所以DP为平面BDC 的法向量.又()0,0,2DP =，所以cos ,6DP nDP n DP n ⋅===- .由题知二面角M BD C --是锐角，所以其余弦值为6.（3）因为N 为直线BD 上一点，(),2,0N λλ∴，其中R λ∈，(),21,1MN λλ∴=--.又()1,0,2AP =-，且MN 与PA 垂直20MN AP λ∴⋅=--=uuu r uu u r，解得2λ=-.所以存在点()2,4,0N --，使得MN 与PA 垂直，此时2λ=-，()2,5,1MN =---，MN=.【点睛】方法点睛：本题考查线面平行垂直，线面垂直及面面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线l m ,的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v，则①两直线l m ,所成的角为θ(02πθ<≤),cos a b a b θ⋅= ；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a u θ⋅=；③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u vu vθ⋅= 18.【答案】（1）2364；（2）分布列答案见解析，数学期望：0.7；（3）12345D D D D D ηηηηη=>>>.【分析】（1）设“从所有的回访客户中随机抽1人，这个客户满意”为事件M .求得回访客户的总数，及满意的客户人数，从而求得概率；（2）由题知，0,1,2ξ=，设“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件A ，“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件B .根据题意，()P A 估计为0.5，()P B 估计为0.2，A 与B 相互独立.从而求得()0P ξ=、(1)P ξ=、(2)P ξ=，列出分布列，求得期望；（3）分别求得12345,,,,D D D D D ηηηηη，比较大小即可.【详解】（1）设“从所有的回访客户中随机抽1人，这个客户满意”为事件M .由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600++++=，满意的客户人数是2500.51000.52000.67000.33500.2575⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故所求概率为()57523160064P M ==.（2）0,1,2ξ=.设“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件A ，“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件B .根据题意，()P A 估计为0.5，()P B 估计为0.2，A 与B 相互独立.所以(0)()(1())(1())0.50.80.4P P AB P A P B ξ===--=⨯=；(1)()()()(1())(1())()P P AB P AB P A P B P A P B ξ==+=-+-0.50.80.50.20.5=⨯+⨯=；(2)()()()0.50.20.1P P AB P A P B ξ====⨯=.所以ξ的分布列为所以的期望.（3）由题知：10.5(10.5)0.25D η=⨯-=；20.5(10.5)0.25D η=⨯-=；30.6(10.6)0.24D η=⨯-=；40.3(10.3)0.21D η=⨯-=；50.2(10.2)0.16D η=⨯-=故12345D D D D D ηηηηη=>>>19.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出,,a b c ，即可得出椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，求出直线AP 、BQ 的方程，联立即可求出交点的坐标，从而可知其在定直线上．【小问1详解】的直线倾斜角为60o ，2F3，故1232,sin 60F F c ===连接椭圆的四个顶点得到的四边形为对角线互相垂直的四边形，故面积12242S a b =⨯⨯=，则2ab =，结合c ==解得2,1a b ==，故椭圆C 的方程为：2214xy +=.【小问2详解】由题意知，直线l 的斜率不为0，故设过点()1,0M 的直线l 的方程为：1x my =+，()()1122,,P x y Q x y 、，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()224230m y my ++-=，故()22Δ41240m m=++>，1221223424y y m m y y m ⎧=-⎪⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩，易知()()2,02,0A B -、，故112AP k y x +=，所以直线AP 的方程为：=2，同理可得，直线BQ 的方程为：()2222y y x x --，联立()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得：()()12122222y y x x x x +=-+-，即()()12122231y y x x my my +=-+-，化简得：1211224132my y y my y y x -=-++，因为()121223342m my y y y m =-=++，故()()12112234213232y y y x y y y +-=-+++，即14132x =-+，故4x =，所以直线AP BQ 、的交点在垂直于x 轴的定直线4x =上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,x y x y 、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.20.【答案】（1）22y x =-（2）（i ）[)2,+∞；（ii ）答案见解析.【分析】(1）2a =-时()ln 1f x x x =+-求导，得到在切点(1,0)处切线斜率，代入点斜式即可；（2）（i ）求导()22axf x x-'=对a 分情况讨论，讨论函数的单调性，结合题目要求()0f x <对任意(1,)x ∈+∞恒成立即可得到实数a 的取值范围；（ii ）比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解.【小问1详解】因为2a =-时，()()1ln 11f x x x f x x'=+-⇒=+，所以切点为(1,0),(1)2k f '==，所以2a =-时，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程22y x =-.【小问2详解】因为()()112ln (1)222a ax f x x a x f x x x-'=--⇒=-=，①当0a ≤时，()(),1,0f x x ∈'∞>+，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，()()10f x f >=，所以0a ≤不合题意.②当2a ≥时，即201a<≤时，()2()2022a x ax a f x x x--'==<在(1,)+∞恒成立，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，有()()10f x f <=，所以2a ≥满足题意.③当02a <<时，即21>a 时，由()0f x '>，可得21x a <<，由()0f x '<，可得2x a>，所以()f x 在2(1,a上单调递增，()f x 在2(,)a+∞上单调递减，所以()2(10f f a>=所以02a <<不合题意，综上所述，实数a 的取值范围是[)2,+∞.（ii ）2a ≥时，“比较2e a -与e 2a -的大小”等价于“比较2a -与e 2ln a -的大小”，设()()2e 2ln g x x x =---，（2x ≥），则()()2ee 210x g x x x+--'=-=>，∴()g x 在[)2,+∞上单调递增，因为()e 0g =，当[)2,e x ∈时，()0g x <，即()2e 2ln x x -<-，所以2e 2e x x --<，当()e,x ∈+∞时，()0g x >，即()2e 2ln x x ->-，∴2e 2e x x -->，综上所述，当[)2,e a ∈时，2e 2e a a --<；当e a =时，2e 2e a a --=；当()e,a ∈+∞时，2e 2e a a -->.21.【答案】（1）12342,1,u u u ===；（2）13,2,2z =--或3；（3）证明见解析.【分析】（1）利用已知关系代入特殊值即可求解；（2）利用已知分析出{}{}111max ,,max ,,n n n n n n a b c a b c +++≤，即1n n u u +≤(当且仅当中,,n n n a b c 至少有一项为0时等号成立)，再根据已知条件即可求解；（3）利用反证法证明即可.【详解】（1）因为1112,3,4x y z ===，所以2221,2,1x y z =-==-，3331,0,1x y z ===-，所以12342,1,u u u ===；（2）设n n a x =，n n b y =，n n c z =，*n N ∈，0n a ≥，0n b ≥，0n c ≥，由题意知，{}max ,,n n n nu x y z =，1n n na b c +=-，1n n n b c a +=-，1n n n c a b +=-，所以1n a +，r1，{}1max ,,n n n n c a b c +≤，所以{}{}111max ,,max ,,n n n n n n a b c a b c +++≤，即1n n u u +≤(当且仅当中,,n n n a b c 中至少有一项为0时等号成立)，因为23u u =，所以222,,a b c 中至少有一项为0，因为112,3x y ==，所以112,3a b ==，所以212123,2,231a c b c c =-=-=-=，所以12c =或3，所以13,2,2z =--或3.（3）数列{}{}{},,n n n x y z 中一定存在无穷个0.设111,,x y z 的最小公分母为p ，将,,n n n x y z 均改为原来的p 倍，则111,,x y z 均为整数，题目的其他条件仍然成立，且问题不变.于是对任意的*n N ∈，,,n n n x y z 均为整数，n a ，n b ，n c ，n u 均为自然数，反证法：假设{}{}{},,n n n x y z 中没有0，或者有有限个0，则存在m N ∈，对任意的k m >，均有k a ，k b ，k c ，1k u ≥，设1n n n d u u +=-(*n N ∈)，则1112m n m m m m n u u d d ++++++=+++…+d ，由（2）知，1n n u u +≤，故10n n n d u u +=-≤，假设对任意的k m >，k d 均不为0，则1k d ≤-，11m n m u u n +++≤-，令1m n u +=，则10m n u ++≤与11m n u ++≥矛盾.所以存在0n m >，使得00n d =，即001n n u u +=，由（2）知，000,,n n n a b c 中至少有一项为0，与000,,1n n n a b c ≥矛盾，所以假设不成立，数列{}{}{},,n n n x y z 中一定存在无穷个0.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用新定义，对n 合理赋值，结合反证法、特殊与一般、或然与必然的联系，即可得解.。

2011年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

；|a1|+|a2|+…+|an|=
．
12．（5 分）用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有数字作答）
个．（用
13．（5 分）已知函数
若关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不同的实根，则数 k
16．（14 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面 PAC；（Ⅱ）若 PA=AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长．
20．（13 分）若数列 An=a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak+1﹣ak|=1（k=1，2，…，n﹣1），数列 An 为 E 数列，记 S（An）=a1+a2+…+an．
（Ⅰ）写出一个满足 a1=as=0，且 S（As）＞0 的 E 数列 An；（Ⅱ）若 a1=12，n=2000，证明：E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an=2011；（Ⅲ）对任意给定的整数 n（n≥2），是否存在首项为 0 的 E 数列 An，使得 S（An）=0？如果存在，
．
三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15．（13 分）已知 f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1．（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣ ， ]上的最大值和最小值．
17．（13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示．
绝密★启用前
2011 年普通高等学校招生全国统一考试
①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG 其中正确结论的序号是（）

2024-2025学年清华大学附属中学九年级上学期9月月考数学试题及答案

2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°3. 已知30m +< ） A. 33m m −<<−<B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（） A 1k <B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠5. 正六边形的外角和是（） A. 720°B. 540°C. 360°D. 180°6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（） A 35.2510×B. 45.2510×C. .41510×D. 41.0510×7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（）..A. 1B.23C.32D. 28. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌．给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二．填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 10. 因式分解：3269x x x ++=____________． 11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下：稻穗长度 5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.5 6.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥稻穗个数5816147根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BEEC的值为________．15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号AB CD E修复时间（分钟） 15 8 29 710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D BE A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()112024π12−−−−+18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+−−<．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭，其中5x =．20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO =∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值． 21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B −，且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a ．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H ；b ．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p ；c ．运动员该次试跳的得分A ＝难度系数H ×完成分p ×3．在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：难度系数裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分7.58.54.09.08.08.57.0（1）甲运动员这次试跳完成分P 甲＝，得分A 甲＝；（直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P 甲'，那么与（1）中所得的P 甲比较，判断P 甲' P 甲（填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P 乙至少要达到多少分．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表的a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表煮沸模式保温模式t 0 3 6m10 12 14 16 18 20 22 24 26 …T 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他（填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()222y x m x m =−++的对称轴为直线x t =．（1）求t 值（用含m 的代数式表示）；（2）点()1,A t y −，()2,B t y ，()31,C t y +在该抛物线上．若抛物线与x 轴一个交点为()0,0x ，其中002x <<，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．27. 在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是BC 中点，点E 是线段BC 上一点，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转α得到线段AF ，连接EF ．的的（1）如图1，当点E 与点D 重合时，线段EF ，AC 交于点G ，求证：点G 是EF 的中点；（2）如图2，当点E 在线段BD 上时（不与点B ，D 重合），若点H 是EF 的中点，作射线DH 交AC 于点M ，补全图形，直接写出AMD ∠的大小，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段a ，给出如下定义：直线11:3l y x b =+经过线段a 的一个端点，直线22:4l y x b =−+经过线段a 的另一个端点，若直线1l 与2l 交于点P ，且点P 不在线段a 上，则称点P 为线段a 的“双线关联点”．（1）已知，线段a 的两个端点分别为()0,2−和()0,5，则在点()()123413,3,1,1,,2,1,222P P P P−−，中，线段a 的“双线关联点”是___________：（2）()()12,,3,A m y B m y +是直线23y x =上的两个动点． ①点P 是线段AB 的“双线关联点”，其纵坐标为3，直接写出点P 的横坐标___________；②正方形CDEF 的四个顶点的坐标分别为()()()(),,,,3,,3,C t t D t t E t t F t t −−，其中0t >．若所有线段AB 的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形CDEF 的边上，直接写出t 的取值范围___________．2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．【详解】解：选项A 、B 、C 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D ．2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是对顶角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，熟记邻补角之和为180°是解题的关键．先由对顶角性质求得35AOC ∠=°，再根据角平分线的定义求出AOE ∠，再根据邻补角之和为180°计算，即可得到答案．【详解】解：∵35AOC BOD ∠=∠=°，又∵OC 平分AOE ∠， 270AOE AOC ∴∠=∠=°， 180110BOE AOE ∴∠=°−∠=°，故选：C ．3. 已知30m +<，则下列结论正确是（） A. 33m m −<<−< B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：∵30m +<， ∴3m <−， ∴3m −>， ∴33m m <−<<−，∴A ，B ，C 不符合题意；D 符合题意；故选：D4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（） A. 1k < B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠【答案】D 【解析】【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．【详解】解：关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，∴()2Δ64936360k k =−−××=−≥，0k ≠，解得：1k ≤，且0k ≠ 故选：D ．的5. 正六边形的外角和是（） A. 720° B. 540° C. 360° D. 180°【答案】C 【解析】【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．【详解】解：六边形的外角和是360°．故选：C ．【点睛】考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关． 6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（） A. 35.2510× B. 45.2510× C. .41510× D. 41.0510×【答案】D 【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：45250210500 1.0510×==×．故选：D ．7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（）A. 1B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明AFE DCE ∽ 是解题的关键．由菱形的性质得AB DC ∥，3AB DC ==，可证明AFE DCE ∽ ，则12AF AE DC ED ==，求得3122AF DC ==，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，3AB =，∴AB DC ∥，3AB DC ==，∵点F 在直线AB 上，∴AF DC ∥，∴AFE DCE ∽ ， ∴12AF AE DC ED ==， ∴1322AF DC ==．故选：C ．8. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌．给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系、相似三角形的判定与性质等知识点，由全等三角形的性质可得BAE CED ∠=∠，AE ED =，BE CD =，结合90B BCD ∠=∠=°，求出90AED ∠=°，即可判断①；由三角形三边关系即可判断②；证明FEC AEB ∽，得出EF CF AE AB=，即可判断③，从而得解．【详解】解：ABE ECD ≌，BAE CED ∴∠=∠，AE ED =，BE CD =，90B BCD ∠=∠=° ，90AEB CED AEB BAE ∴∠+∠=∠+∠=°，()18090AED AEB CED ∴∠=°−∠+∠=°，AE DE ∴⊥，故①正确，符合题意；AB BE AE +> ，且BE CD =，AB CD AE ∴+>，故②正确，符合题意；AE ED = ，90AED ∠=°，AD ∴=，AE AD ∴， 90FCE B ∠=∠=° ，FEC AEB ∠=∠，FEC AEB ∴ ∽，EF CF AE AB∴=，AB EF AD CF ∴⋅=⋅，EF AD CF ⋅=⋅，故③正确，符合题意；故选：D ．二．填空题（本题共162分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 【答案】5x ≠【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式要有意义，分母不等于零，列出式子，求解即可．【详解】解：∵代数式15x −有意义， ∴50x −≠，解得：5x ≠，故答案为：5x ≠．10. 因式分解：3269x x x ++=____________．【答案】()23x x +【解析】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：3269x x x ++()269x x x =++()23x x +．故答案为：()23x x +．11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ．【答案】3x =【解析】【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】解：1203x x −=+，去分母得：320x x +−=，移项，合并同类项得：3x −=−，系数化为1得：3x =，检验：把3x =代入()()3333180x x +=×+=≠， ∴3x =是原方程的解，故答案为：3x =．12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．【答案】2k >【解析】【分析】根据一次函数的增减性进行解答即可．【详解】解：一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，且12y y <，∴一次函数()21y k x =−+的图像y 随x 的增大而增大，20k ∴−>，2k ∴>，故答案为：2k >．【点睛】此题考查了一次函数的增减性，掌握k 的正负性与一次函数y kx b =+的增减性之间的关系是解题的关键．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下：稻穗长度5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.56.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥ 稻穗个数 5 8 16 14 7根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．【答案】1.8【解析】【分析】本题考查用样本估计总体，利用3万棵水稻乘以穗长在5.5 6.5x ≤<范围内的所占比，即可解题．【详解】解：由题知，16143 1.850+×=（万棵），故答案：1.8．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BE EC的值为________．【答案】73##123【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键．由平行线分线段成比例可得，BE AF CE DF=，从而可得答案．【详解】解：∵AB EF CD ∥∥，5AO =，2OF =，3FD =，为52733BE AF CE DF +∴===，故答案为：73． 15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）【答案】14【解析】【分析】根据题意可得ABC DBE ∽△△，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．【详解】解：∵DE CE ⊥，A C C E ⊥， ∴90C E ∠=∠=°，根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：ABC DBE ∠=∠，∴ABC DBE ∽△△， ∴DE BE AC BC =，即1.6 2.421AC =，解得：14AC =，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号 A B C D E修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．【答案】 ①. ① ②. 1010【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．【详解】解：（1）①总停产时间：574831021529156×+×+×+×+=分钟，②总停产时间：574153292108210×+×+×+×+=分钟，③总停产时间：529415310287258×+×+×+×+=分钟，故答案为：①；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，7514936223101×+×+×+×+=分钟，101101010×=（元）故答案为：1010．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()1012024π12− −−−+【答案】2−【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．【详解】解：()1012024π12− −−−+112=+−−+2−．18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+ −−<．【答案】3x ≤<-2【解析】【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找，得出不等式组的解集即可．【详解】解：()21581252x x x x +≤+ −−<①②，解①得：2x ≥−，解②得：3x <，∴3x ≤<-2．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-÷ ⎪--⎝⎭，其中5x =．【答案】3x x −，52【解析】【分析】先进行通分，和因式分解，再应用分数的除法法则，将5x =代入，即可求解，本题考查了，分式的华计件求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．【详解】解：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭ ()()2312111x x x x x x −− =−÷ −−−()()21313x x x x x −−×−− 3x x =−，当5x =时，553532xx ==−−． 20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO=∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值．【答案】（1）见解析（2）DE =【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得OE CB =，90BOC ∠=°，结合AD EO =可得AD CB =，结合BC AD ∥，可证四边形ABCD 是平行四边形，再根据90BOC ∠=°可证四边形ABCD 是菱形；（2）先根据已知条件和（1）中结论证明ABC 是等边三角形，进而求出AO ，BO ，再利用勾股定理解Rt DBE 即可．【小问1详解】证明：四边形BECO 是矩形，OE CB ∴=，90BOC ∠=°， AD EO = ，AD CB ∴=，AD BC ∴∥，∴四边形ABCD 是平行四边形．90BOC ∠=° ，∴平行四边形ABCD 是菱形．【小问2详解】解：如图，连接DE ，四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AB CD ∥，AC BD ⊥，∴180BCD ABC ∠+∠=°，120BCD ∠=°，∴18060ABC BCD ∠=°−∠=°，∴ABC 等边三角形，AC BD ⊥，4AC =，是∴122AO OC AC ===，∴BO ， ∴2BD BO ==，四边形BECO 是矩形，2BE OC ∴==，90OBE ∠=°，∴DE =．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法．21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm【解析】【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，由题意可得()1180244425101444120x x ++×=++×+．解得6x =∴1272x =，答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠图象经过点()()3,5,2,0A B −，且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【解析】【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x −+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B −，代入函数解析式得，3520k b k b += −+= ，解得12k b = =， ∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x −+>+，的即24nx−<，又2x<，∴22 4n−≥，解得：10n≥，∴n的取值范围为10n≥．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：难度系数裁判1#2#3#4#5#6#7#3.5 打分7.5 8.54.0 9.0 8.0 8.5 7.0（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝，得分A甲＝；（直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲'P甲（填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分．【答案】（1）8.0，84；（2）<；（3）9.0分【解析】【分析】（1）根据公式求出P甲、A甲即可；（2）根据平均数的公式求出P甲'，比较得出答案；（3）列方程求解即可．【小问1详解】解：7名裁判得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分为7.5，8.0，8.5，平均数=7.58.08.58.03++=，∴完成分P 甲＝8.0；得分A 甲＝3.58.0384××=，故答案为：8.0，84；【小问2详解】 P 甲'=7.58.5 4.09.08.08.57.07.57++++++=，∵7.5<8.0， ∴P 甲'<P 甲，故答案为<；【小问3详解】由题意得3.638413.1P ××+乙，解得971108P =乙， ∴这一跳乙的完成分P 乙至少要达到9.0分．【点睛】此题考查了平均数的计算公式，列一元一次方程解决问题，正确理解题意，掌握平均数的计算公式是解题的关键．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长．【答案】（1）证明见详解（2）152OA = 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出OAB OBA ∠=∠，再根据余角和对顶角的性质可得DEB DBE ∠=∠，即可证明DB DE =．（2）连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，根据等腰三角形的性质可得90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°，根据E 是AB 的中点，12AB =，5BD =，得出6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==，勾股定理可得4DF =，即4sin 5DF DEF DE ∠==，再根据余角和对顶角可得DEF CEA AOE ∠=∠=∠，得4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==，即可求出152OA =．【小问1详解】证明：∵OA OB =， ∴OAB OBA ∠=∠，又∵EC OA ⊥，BD OB ⊥，∴OAB CEA OBA DBE ∠+∠=∠+∠， ∴CEA DBE ∠=∠，又∵CEA DEB ∠=∠， ∴DEB DBE ∠=∠， ∴DB DE =．【小问2详解】解：连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，如图：∵OA OB =，E 是AB 的中点，DB DE =， ∴90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°， ∵E 是AB 的中点，12AB =，5BD =， ∴6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==， ∵5BD =，90DFB ∠=°，∴4DF ==，∴4sin 5DF DEF DE ∠==， ∵CEA DEB ∠=∠，90CEA OAE OAE AOE ∠+∠=∠+∠=°， ∴DEF CEA AOE ∠=∠=∠，∴4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==， ∵6AE =，∴645AO =，解得：152OA =．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，余角和对顶角，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他（填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水．【答案】（1）8（2）①图见解析；②60℃ （3）不能【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可；（2）①描点并连线即可；②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t ，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；（3）由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，此时离出门还剩3018.511.5−=（分）；根据表2，计算水温从100℃降到50℃需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论．【小问1详解】解：在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，30310÷=（℃），∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10℃， ∴()10610080m −−， ∴8m =．【小问2详解】解：①补全水温与时间的函数图象如图所示：。

北京市第三十五中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷 (无答案)

北京市第三十五中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷班级______姓名______学号______2024.09.30一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题纸相应的题号处）1．已知集合，集合，则（）A ．B ．C ．D ．2．下列命题中，正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则3．方程的解集是（）A ．B ．C ．D ．4．下列不等式中，解集为或的不等式是（）A ．B ．C ．D ．5．“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．平流层是指地球表面以上10km 到50km 的区域，下述不等式中，能表示平流层高度的是（）A ．B ．C ．D ．7．若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．已知集合，则（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题卡相应的题号处）。

9．命题的否定是______.10．已知全集，集合，则______11．已知集合，集合可以为______（写出符合要求的所有）{10}A x x =-≤≤∣{1,0,1,2}B =-A B ⋂=R {10}x x -≤≤∣{1,0}-{1,0,1}-a b >22ac bc >,a b c d >>a c b d+>+,a b c d >>ac bd >a b >11a b>2202x y x y +=⎧⎨+=⎩{(1,1),(1,1)}--{(1,1),(11)}--{(22),(2,2)}--{(2,2),(22)}--{1x x <∣3}x >2430x x -+≥2430x x -+<103x x -≥-|2|1x ->0a b >>22a b >x |10|50x +<|10|50x -<|30|20x -<|30|20x +<04x <<||x a <a 1a ≥4a ≥1a ≤4a ≤{}{}2221,N ,21,N P y y x x x Q y y x x x ==+-∈==-+-∈∣∣P Q ⋂={1}-{0}∅N 2R,230x x x ∀∈-+>{1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}{1,2,4}P Q ==，()U P Q ⋃=ð{1,2,3}A ⊆A A12．已知是关于的一元二次方程的两根，则______；______．13若，则实数的值为______.14．若对恒成立是真命题，则实数的取值范围是______三、解答题（共3个小题，每题10分，其30分，请将解题过程和答案写在规定的区域内。

北京市第一零一中学2024~2025学年九年级上学期9月月考数学试题[含答案]

北京一零一中2024-2025学年度第一学期初三练习数学1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟；2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号：3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．解方程243x x -=，下列用配方法进行变形正确的是（）A ．2(2)19x -=B ．2(4)7x -=C ．2(2)4x -=D ．2(2)7x -=3．对于抛物线()225y x =--+，下列判断正确的是（）A ．抛物线的开口向上B ．对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标是()2,5-D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大4．一元二次方程22350x x -+=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5．某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台，设生产该种机械的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（）A ．()2500016600x +=B ．250006600x =C ．()2660015000x -=D ．()()250001500016600x x +++=6．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD 绕某一点旋转某一角度得到四边形A B C D ¢¢¢¢（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点,,,M N P Q 中，可能是旋转中心的是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q7．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，以下结论中正确的是（）A ．0abc >B ．20a b -<C ．930a b c -+=D ．若m 为任意实数，则()a b m am b -³+8．如图，菱形ABCD 的边长为2，60A Ð=°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60°得到EG ，连接BG CG ，，则BG CG +的最小值为（）A B ．C D ．1二、填空题（共16分，每题2分）9．一元二次方程23x x =的根是．10．已知2x =是关于x 的一元二次方程260x bx +-=的一个根，则b 的值是．11．写出一个开口向下且过()0,1的抛物线的表达式．12．若二次函数231y x =-的图象上有两点()12,A y -，()21,B y ，则1y2y （填“>”“=”或“<”）．13．如图，AB 是O e 的弦，若O e 的半径5OA =，圆心O 到弦AB 的距离3OC =，则弦AB 的长为．14．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点，1DE =．ADE V 绕着点A 逆时针旋转后与ABF △重合，连结EF ，则EF = ．15．已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数2(0)y kx m k =+¹的图象相交于点()2,4A -，()8,2B ．如图所示，则能使12y y <成立的x 的取值范围是．16．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()1,3A ，()2,6B --，()0,0C 等都是“三倍点”．在31x -££的范围内，若二次函数2y x x c =--+的图象上有且只有一个“三倍点”，则c 的取值范围是．三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．解方程：(1)2280x -=；(2)2230x x --=．18．如图，在平面直角坐标系中，已知()2,1A -，()4,5B -，()5,2C -，ABC V 与111A B C △关于原点对称，点A ，B ，C 的对应点分别是点1A ，1B ，1C ．(1)点1A 的坐标为________，画出111A B C △；(2)直接写出111A B C △的面积为________．19．已知二次函数的函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表，求该二次函数的解析式．x…1-01234…y …03-4-3-05…20．关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．21．如图，ABC V 中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE Ð=Ð，连接EF ，EF 与AC 交于点G（1）求证：EF BC =；(2)若65ABC Ð=°，28ACB Ð=°，求FGC Ð的度数.22．已知二次函数243y x x =++．(1)抛物线243y x x =++的顶点坐标为________，画出其函数图象；(2)观察图象，回答下列问题：①函数0y >时，x 的取值范围是________；②方程34x x+=-的根是________；③若当0a x ££时，函数y 的最小值是1-，最大值是3，则a 的取值范围是________．23．如图，OA OB =，AB 交O e 于点C ，D ，OE 是半径，且OE AB ^于点F ．(1)求证：AC BD =；(2)若6CD =，1EF =，求O e 的半径．24．列方程解决实际问题：为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，101中教育集团成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图①，在生态大棚中有一块矩形空地ABCD ，其中AD 边的长比AB 边的2倍少1，计划在矩形空地上一边增加7m ，另一边增加3m ，构成一个正方形区域AEFG ，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．(1)直接写出正方形区域AEFG 的边长是________m ；(2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成1m 宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为902m ，求小道的宽度．25．如图1，某桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽8OA =米，桥拱顶点B 到水面的距离是4米．(1)求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？(3)如图2，桥拱所在的抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移()0n n >个单位长度，平移后的函数图象在89x ££时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,x y ，()22,x y 在抛物线()20y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若对于11x =-，23x =，有12y y =，直接写出t 的值为________；(2)若对于11t x t <<+，212x <<，都有12y y <，求t 的取值范围．27．在ABC V 中，90C Ð=°，AC BC =，点E 是直线BC 上一点．(1)如图1，点D 是AC 边上一点，连接DE ，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°至EF ，连接BF ．①请按照要求补全图形；②若6AC =，2BE =，直接写出BEF △的面积为________；(2)连接AE ，将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EM ，连接BM ，取BM 的中点N ，连接EN ．①如图2，点E 在线段BC 上时，请写出线段AB ，EN 和BE 之间的数量关系并证明；②当点E 在直线BC 上时，请直接写出线段AB ，EN 和BE 之间的数量关系．28．已知点P 为线段AB 上一动点（点P 不与A ，B 重合），分别以AP BP ，为底边在AB 的同侧作等边三角形APE 和等边三角形BPF ，连接EF ，点M 为EF 的中点．我们将点M 称之为线段AB 关于点P 的“中顶点”．如图所示，点M 为线段AB 关于点P 的“中顶点”．(1)已知点A (−4,0)，点B (4,0)，点P 为线段A 上一动点（点P 不与A ，B 重合），则以下四个点(12,M -，(21,M -，(31,M -，(42,M -中，能作为线段AB 关于点P 的“中顶点”的有________；(2)已知点(),0A t ，()B t +，在函数2y x =上存在线段AB 关于点P 的“中顶点”，则t 的取值范围为________；(3)已知点()2,0A t -，()2,0B t +，点P 为线段AB 上一动点，一个边长为4的正方形M ，其0,t，若正方形M上存在线段AB关于点P的“中顶点”，则t的取值范围为中心坐标为()________；1．C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C ．2．D【分析】利用完全平方公式进行配方即可．【详解】解：∵243x x -=，∴2447x x -+=，即()227x -=，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握．3．B【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．【详解】解：A 、∵10-<，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意；B 、抛物线的对称轴为直线2x =，本选项符合题意；C 、抛物线的顶点坐标是()2,5，本选项不符合题意；D 、因为开口向下，抛物线的对称轴为直线2x =，所以当2x >时，y 随x 的增大而减小，本选项不符合题意．故选：B ．4．C【详解】解：∵a =2，b =﹣3，c =5，∴△=b 2﹣4ac =（﹣3）2﹣4×2×5=﹣31＜0，∴方程没有实数根．故选C ．点睛：本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．A【分析】根据增长后的量=增长前的量(1´+增长率)列出方程即可．【详解】解：根据题意，得()2500016600x +=．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键，同时要注意增长率问题的一般规律．6．A【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接AA ¢，CC ¢，作'AA 的垂直平分线，作CC ¢的垂直平分线，交于点M ，则M 为旋转中心．【详解】解：连接AA ¢，CC ¢，作'AA 的垂直平分线，作CC ¢的垂直平分线，交到在M 处，所以可知旋转中心的是点M ．如下图：故选∶A ．7．C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断a b c 、、的符号，即可判断A ；根据对称轴及抛物线与x 轴的交点即可判断B C 、；根据抛物线开口向上，对称轴为直线x =―1，得出最小值为a b c -+，据此即可判断D ；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与y 轴的交点位于y 轴的负半轴上，对称轴为直线x =―1，∴a >0，0c <，12b a-=-，∴20b a =>，∴0abc <，故A 错误；∵2b a =，∴20a b -=，故B 错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0-，∴()()2330a b c ´-+´-+=，即930a b c -+=，故C 正确；∵a >0，对称轴为直线x =―1，∴当m 为任意实数时，有2a b c am bm c -+£++，即()a b m am b -£+，故D 错误；故选：C ．8．C【分析】取AB 的中点N ，连接EN 、EC 、GN ，连接BD ，证明GB GE =，连接EC 构造CGE V ，在CGE V ，证明BG CG BG GE EC +=+³，求出EC 的长度即可，过点E 作EH CD ^的延长线于H ，在Rt DEH V 中，由菱形的性质可知30DEH Ð=°，由此即可求出,DH EH 的长度，在Rt CEH V 中即可求出EC 的长，于是就可以求出BG CG +的最小值．【详解】解：如图所示，取AB 的中点N ，连接EN 、EC 、GN ，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，60A Ð=°，∴AB AD =，∴ABD V 是等边三角形，∴AD BD =，∵点E 是AD 中点，点N 是AB 的中点，12AE ED AD \==，12AN NB AB ==，∴三角形AEN 是等边三角形，∴NE AE =，∵60FEG Ð=°，EF EG =，60AEF FEN FEN NEG \Ð+Ð=Ð+Ð=°，,,AEF NEG EF EG AE NE \Ð=Ð==，(SAS)AEF NEG \V V ≌，60ENG A \Ð=Ð=°，18060GNB ENG ENA \Ð=°-Ð-Ð=°，∵,NG NG NE AE BN ===，(SAS)ENG BNG \V V ≌，∴GB GE =，则BG CG CG GE +=+，在ECG V 中，BG CG CG GE EC +=+³，如下图所示，过点E 作EH CD ^的延长线于H ，在Rt EDH V 中，90H Ð=°，由菱形ABCD 可知60ADB BDC Ð=Ð=°，∴60ADH Ð=°，则30DEH Ð=°，且112122DE AD ==´=，∴1111222DH DE ==´=，则152,22CH EH =+===在Rt CEH V 中，EC ===∴BG CG +³故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质与全等三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的综合运用，将线段的长度的最小是转换到三角形中，根据三角形边长的关系求解是解题的关键．9．10x =，23x =##13x =，20x =【分析】首先把3x 移至方程左边，再把方程左边的多项式进行因式分解，即可得到答案．【详解】解：23x x =，移项得：230x x -=，∴()30x x -=，∴0x =或30x -=，∴10x =，23x =．故答案为：10x =，23x =．【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题运用的是因式分解法．结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．1【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得2t b +=-，22t =-，然后解方程组即可．【详解】设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得2t b +=-，26t =-，解得3t =-，1b =，故答案为：1．11．答案不唯一，例如：221y x =-+【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由抛物线开口向下可知0a <，且过点()0,1，然后问题可求解．【详解】解：由抛物线开口向下可知0a <，且与y 轴交于点()0,1，因此符合条件的抛物线表达式可以为221y x =-+；故答案为221y x =-+（答案不唯一）．12．>【分析】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，进行比较即可．【详解】解：231y x =-，∵30a =>，对称轴为：直线0x =，∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，2010-->-Q ，12y y \>，故答案为：>．13．8【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由OC AB ^可得90ACO Ð=°，2AB AC =，进而利用勾股定理求出AC 即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．【详解】解：∵OC AB ^，∴90ACO Ð=°，2AB AC =，∵5OA =，3OC =，∴4AC ===，∴248A B =´=，故答案为：8．14．【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，根据正方形的性质、勾股定理，计算AE =DAE BAF Ð=Ð，AF AE ==，推出90BAD EAF Ð=Ð=°，根据勾股定理计算EF =正方形的性质、勾股定理是解题的关键．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点，1DE =，∴90D BAD Ð=Ð=°，3AD =，∴AE ==∵ADE V 绕着点A 逆时针旋转后与ABF △重合，∴DAE BAF Ð=Ð，AF AE ==∴DAE BAE BAF BAE Ð+Ð=Ð+Ð，即90BAD EAF Ð=Ð=°，∴E F ===故答案为：15．28x -<<##82x >>-【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标可得当x 在两交点之间时12y y <，据此可得x 的取值范围．【详解】解：∵二次函数21(0)y ax bx c a =++¹与一次函数2(0)y kx m k =+¹的交点横坐标分别为2,8-，∴使12y y <成立的x 的取值范围正好在两交点之间，即28x -<<，故答案为：28x -<<．16．35c -<£或4c =-【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．由题意得，“三倍点”所在的直线为3y x =，根据二次函数2y x x c =--+的图象上有且只有一个“三倍点”转化为2y x x c =--+和3y x =有且只有一个交点，求0D =，3x =-和1x =时两个函数值相等时的c 值即可．【详解】解：由题意得，“三倍点”所在的直线为3y x =，在31x -££的范围内，二次函数2y x x c =--+的图象上有且只有一个“三倍点”，即在31x -££的范围内，二次函数2y x x c =--+和3y x =有且只有一个交点，令23x x x c =-+，整理得，240x x c +-=，∴241640b ac c D =-=+=，解得，4c =-，此时，2x =-，符合：当3x =-时，()()23433c =-+´-=-，当1x =时，21415c =+´=，由图看出，当3c =-时，函数2y x x c =--+有两个“三倍点”，∴35c -<£，综上，c 的取值范围为：35c -<£或4c =-．故答案为：35c -<£或4c =-．17．(1)12x =，22x =-(2)13x =，21x =-【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．常用一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．（1）变形后直接开平方即可；（2）用因式分解法解一元二次方程．【详解】（1）解：2280x -=变形得：24x =，解得：12x =，22x =-．（2）解：2230x x --=因式分解得：()()310x x -+=，解得：13x =，21x =-．18．(1)()2,1-，画图见解析(2)5．【分析】本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特点，坐标与图形：（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到，点A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 的坐标，描出点1A ，1B ，1C ，再顺次连接点1A ，1B ，1C 即可；（2）利用割补法求解即可．【详解】（1）解：∵ABC V 与111A B C △关于原点对称，()2,1A -∴()12,1A -（2）解：111111342413135222A B C S =´-´´-´´-´´=△．19．()214y x =--．【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据对称性，得到抛物线的顶点坐标为()1,4-，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可．【详解】解：∵0x =和2x =的函数值相同，∴抛物线的对称轴为直线0212x +==，∴抛物线的顶点为()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =--，把()1,0-代入得()20114a =---，解得1a =，∴此二次函数的表达式()214y x =--．20．1m =，此时方程的根为121x x ==【分析】直接利用根的判别式D ≥0得出m 的取值范围进而解方程得出答案．【详解】解：∵关于x 的方程x 2-2x +2m -1=0有实数根，∴b 2-4ac =4-4（2m -1）≥0，解得：m ≤1，∵m 为正整数，∴m =1，∴此时二次方程为：x 2-2x +1=0，则（x -1）2=0，解得：x 1=x 2=1．【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m 的值是解题关键．21．（1）证明见解析；（2）78°【分析】（1）因为CAF BAE Ð=Ð，所以有BAC EAF Ð=Ð，又因为AE AB AC AF ==，，所以有()BAC EAF SAS △≌△，得到EF BC =；（2）利用等腰三角形ABE 内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到28F C Ð=Ð=°，从而算出∠FGC【详解】解：（1）证明：CAF BAE Ð=ÐQ ，BAC EAF \Ð=Ð，AE AB AC AF ==Q ，，()BAC EAF SAS \△≌△，EF BC \=；（2）65AB AE ABC =Ð=°Q ，，18065250BAE \Ð=°-°´=°，50FAG \Ð=°，BAC EAF Q △≌△，28F C \Ð=Ð=°，502878FGC \Ð=°+°=°．【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明．22．(1)()2,1--；作图见详解(2)①3x <-或1x >-②13x =-，21x =-③42a -££-【分析】此题考查了二次函数的性质与图象，考查了通过配方法求顶点式，求顶点坐标，对称轴，开口方向，二次函数的增减性，二次函数与方程的关系，解题的关键可用数形结合的思想求解．（1）化为顶点式，即可求出顶点坐标；利用画函数图象的步骤即可求解；（2）①当图象在x 轴上方时，0y >，据此写出x 的取值范围；②化简34x x+=-得，2430x x ++=，根据图象即可求解；③根据函数的最大值和最小值，结合图象即可求解．【详解】（1）解：2243(2)1y x x x =++=+-Q ，∴顶点坐标是(2,1)--，令0y =，代入得：2430x x ++=，解方程得1x =-或3x =-，∴与x 轴交点的坐标是(1,0),(3,0)--，根据图象开口朝上，与x 轴的交点为(1,0),(3,0)--，顶点坐标是(2,1)--，描点，连线，画图如下；（2）解：①根据图象可知，0y >时，x 的取值范围是3x <-或1x >-，故答案为：3x <-或1x >-；②由34x x+=-得，2430x x ++=，通过图象可知123,1x x =-=-，故答案为：123,1x x =-=-；③解：当4x =-或0x =时，函数值为3y =，因为顶点坐标(2,1)--，开口向上，在顶点处取得最小值1y =-，∴在40x -££的范围内，min 1y \=-，最大值是3，又因为对称轴为直线2x =-，离对称轴越远，函数值越大，\42a -££-，故答案为：42a -££-．23．(1)证明见解析(2)5【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识；（1）由垂径定理得CF DF =，根据等腰三角形的性质可得AF BF =，再根据线段的和差关系可得结论；（2）连接OC ，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：OE AB ^Q ，CD 为O e 的弦，CF DF \=，OA OB =Q ，OE AB ^，AF BF \=，AF CF BF DF \-=-，AC BD \=；（2）如图，连接OC ，OE AB ^Q ，CD 为O e 的弦，\132CF CD ==，90OFC Ð=°，∴222CO CF OF =+设O e 的半径是r ，∴()22231r r =+-，解得=5r ，O \e 的半径是5．24．(1)12(2)小道的宽度为2m【分析】本题考查了一元二次方程的应用；（1）设正方形区域的边长为m y ，则7AB y =-，3AD y =-，根据“AD 边的长比AB 边的2倍少1”，列出元方程，解之即可；（2）设小道的宽度为m x ，则栽种鲜花的区域可合成长()12m x -，宽()121m x --的矩形，根据“栽种鲜花区域的面积为290m ”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．【详解】（1）解：设正方形区域的边长为m y ，则7AB y =-，3AD y =-，∵AD 边的长比AB 边的2倍少1∴()3271y y -=--，解得：12y =，故答案为：12；（2）设小道的宽度为m x ，则栽种鲜花的区域可合成长()12m x -，宽()121m x --的矩形，由题意得：()()1212190x x ---=，整理得：223420x x -+=，解得：12x =，221x =（不合题意舍去），答：小道的宽度为2m ．25．(1)()()2144084y x x =--+££(2)4.8米(3)58n ££【分析】（1）由图象可知抛物线的对称轴为直线0842x +==，抛物线经过原点(0,0)，将原点坐标代入函数解析式即可求得a 的值；（2）根据题意求出 2.260.3 2.56y =+=时，所对应的x 之间的距离，也就是小船的最大宽度；（3）根据平移规律得到点O 平移后的对应点为(,0)n ，对称轴平移后的对称轴为4x n =+，点A 平移后的对应点为(8,0)n +，根据图象性质，得到函数在4n n ®+上，满足y 随x 的增大而减小，列出不等式组849n n £ìí+³î或88n +≤，求解集即可．【详解】（1）8OA =Q ，且点A 在x 轴上，(8,0)A \，根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线0842x +==，\顶点(4,4)B ，∴设抛物线的解析式为2(4)4y a x =-+，把原点(0,0)代入得20(04)4a =-+，解得14a =-，∴此二次函数的表达式()()2144084y x x =--+££．（2）Q 二次函数的表达式21(4)44y x =--+，令 2.260.3 2.56y =+=得：212.56(4)44x =--+，解得：1 6.4x =，2 1.6x =，\小船的最大宽度为：6.4 1.6 4.8-=米．（3）根据平移规律得到点O 平移后的对应点为(,0)n ，对称轴平移后的对称轴为4x n =+，点A 平移后的对应点为(8,0)n +，如图：根据图象性质，得到当4n x n ££+或88n x +££时y 随x 的增大而减小，\849n n £ìí+³î或88n +≤，解得58n ££或0n £（舍去），故n 的取值范围是58n ££．26．(1)1(2)0t £或3t ³【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．（1）根据二次函数对称性求解即可；（2）把点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)代入()20y ax bx c a =++>后根据120y y -<计算即可．【详解】（1）∵12y y =，∴点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)关于直线x t =对称，∴122x x x t +==，∵11x =-，23x =，∴1312t -+==，故答案为：1；（2）代数法1：解：∵对称轴为2b x t a==-∴2b at =-∴抛物线解析式为()220y ax atx c a =-+>∵点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)在抛物线上，∴21112y ax atx c =-+，22222y ax atx c =-+，∵12y y <，∴120y y -<，∴()()12121220y y a x x x x t -=-+-<，∵0a >，∴()()121220x x x x t -+-<，∴12122x x x x t <ìí+>î或12122x x x x t >ìí+<î，∵11t x t <<+，212x <<，∴1213t x x t +<+<+，∴1112t t t +£ìí+³î或232t t t ³ìí+£î，解得：0t £或3t ³，代数法2：解：设抛物线解析式为()2y a x t k =-+，∵点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)在抛物线上，∴()211y a x t k =-+，()222y a x t k=-+∵12y y <，∴120y y -<，∴()()2212120y y a x t a x t -=---< ，∵0a >，∴()()2212x t x t -<-∵11t x t <<+，∴101x t <-<，∴()2101x t <-<，∴()221x t -³，∴21x t -³或21x t -£-，∴21t x ³+或21t x £-，∵212x <<，∴3t ³或0t £．数形结合法：①当2t ³时，(x 1,y 1)，(x 2,y 2)位于对称轴两侧，(x 2,y 2)关于x t =的对称点为()222,t x y -，∵x t >时，y 随x 增大而增大，且都有12y y <，∴212t x x ->恒成立，∴122x x t +<恒成立，∵11t x t <<+，212x <<，∴1213t x x t +<+<+，∴32t t +£，∴3t ³，②当12t <<时，∵212x <<，∴当2x t =时，必有21y y <，不合题意，舍去．③当1t £时，(x 1,y 1)，(x 2,y 2)都位于对称轴右侧，∵x t >时，y 随x 增大而增大，且都有12y y <，∴12x x <恒成立，∵11t x t <<+，212x <<，∴11t +£，∴0t £，综上所述：0t £或3t ³．27．(1)①见解析；②4(2)①2AB NE =+，证明见解析；②当E 在线段BC 上时，2AB NE =；当E在线段BC 的延长线上时，2AB EN =；当E 在线段BC 的延长线上时，2AB EN =-，证明见解析【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，确定点P 的位置是解题的关键．（1）①按要求画出图形即可；②过点F 作FH ^直线BC 于H ，由“AAS ”可证CDE HEF V V ≌，可得4CE FH ==，由三角形的面积公式可求解；（2）①过点M 作MG BC ∥，交直线NE 于点G ，过点E 作EQ AC ∥交AB 于Q ，由“AAS ”可证BEN MGN V V ≌，可得NE GN =，MG BE =，由“SAS ”可证AEQ EMG V V ≌，可得EG AQ =，最后根据AB AQ BQ =+可得结论；②同①一样的辅助线和思路分三种情况画出图形分别证明即可．【详解】（1）①如图所示：②如图1，过点F 作FH ^直线BC 于H ，Q 将DE 绕点E 逆时针旋转90°至EF ，90DEF \Ð=°，=DE EF ，6AC BC ==Q ，2BE =，4CE \=，90ACB DEF H Ð=Ð=Ð=°Q ，90CED CDE CED BEF \Ð+Ð=°=Ð+Ð，CDE BEF \Ð=Ð，(AAS)CDE HEF \V V ≌，4CE FH \==，BEF \V 的面积1124422BE FH =´×=´´=，故答案为：4；（2）①如图2，过点M 作MG BC ∥，交直线NE 于点G ，过点E 作EQ AC ∥交AB 于Q ，∵MG BC ∥，G NEB \Ð=Ð，GMN EBN Ð=Ð，GME CEM Ð=Ð，Q 点N 是BM 的中点，MN BN \=，(AAS)BEN MGN \V V ≌，2GE NE \=，AC QE ∥Q ，45CAB EQB ABC \Ð=Ð=°=Ð，90C QEB CEQ Ð=Ð=Ð=°，QE BE \=，MG EQ BE \==，BQ =，Q 将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EM ，AE ME \=，90AEM CEQ Ð=°=Ð，AEQ MEC \Ð=Ð，AEQ EMG \Ð=Ð，(SAS)AEQ EMG \V V ≌，EG AQ \=，2AB AQ BQ NE \=+=；②当E 在线段BC 上时，由①可得2AB NE =；如图3，当E 在线段CB 的延长线上时，过点M 作MG BC ∥，交直线NE 于点G ，过点E 作EQ AC ∥交AB 延长线于Q ，∵MG BC ∥，G NEB \Ð=Ð，GMN EBN Ð=Ð，180GME CEM Ð+Ð=°，Q 点N 是BM 的中点，MN BN \=，(AAS)BEN MGN \V V ≌，2GE NE \=，AC QE ∥Q ，45CAB EQB ABC QBE \Ð=Ð=°=Ð=Ð，90ACB QEB Ð=Ð=°，QE BE \=，MG EQ BE \==，BQ =，Q 将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EM ，AE ME \=，90AEM CEQ Ð=°=Ð，180AEQ MEC \Ð+Ð=°，AEQ EMG \Ð=Ð，(SAS)AEQ EMG \V V ≌，EG AQ \=，2AB AQ BQ NE \=-=；同理，如图4，当E 在线段BC 的延长线上时，2AB BQ AQ EN =-=-，综上所述，当E 在线段BC 上时，2AB NE =；当E 在线段BC 的延长线上时，2AB EN =；当E 在线段BC 的延长线上时，2AB EN =-．28．(1)2M ，3M ；(2)0t -<<且t ¹-；t <<且0t ¹．【分析】（1）如图所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ，易证明ABH V 是等边三角形，四边形PEHF 是平行四边形；求出8AH AB ==，则4AG BG ==，HG ==(0,H ，再由平行四边形的性质得到点M 为HP 的中点，设()(),044P k k -<<，则,2k M æçè，故当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为-（2）同（1）可求出当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t +<<+3，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t +<<+纵坐标为3-，在2y x =中，当23y x ==时，解得x =当23y x ==-时，方程无解，据此列式求解即可；（3）如图3-1所示，正方形ABCD 和正方形EFGH 都是以M 为中心且边长为4的正方形，过点M 作MT EF ^于T ，连接ME ，可证明正方形M 上的所有点形成的是一个以M 为圆心，大圆半径为2的圆环区域（包括边界）；如图3-2所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ，可证明点M 在AH 和BH 组成的线段上运动，即点M 在ABH V 平行于AB 的那条中位线上运动（不包括端点）；如图3-3所示，KQ ST ，分别是等边三角形ABH V 和等边ABH ¢V 的中位线，当圆环恰好经过点T 时，此时MT =()()(22210t t +-+=，解得t =或t =；如图3-4所示，当点M 运动到原点时，此时K Q S T 、、、恰好在圆环的内环上，此时不满足题意；如图3-5所示，当圆环恰好经过点K 时，由对称性可求得此时t =t <<且0t ¹．【详解】（1）解：如图所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ，∵AEP BFP △，△都是等腰三角形，∴60A APE B FPB ====°∠∠∠∠，∴PE BH PF AH ∥，∥，ABH V 是等边三角形，∴四边形PEHF 是平行四边形；∵A (−4,0)，B (4,0)，∴8AH AB ==，∵HG AB ^，∴4AG BG ==，∴HG ==∴(0,H ，∵点M 为EF 的中点，∴点M 为HP 的中点，设()(),044P k k -<<，则02k M æ+ççè，即,2k M æçè，∴当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为同理，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为-，∴(12,M -，(21,M -，(31,M -，(42,M -中，能作为线段AB 关于点P 的“中顶点”的有2M ，3M ；（2）解：如图所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB^于G ，同理可得ABH V 是等边三角形，四边形PEHF 是平行四边形；∵(),0A t ，()B t +，∴AH AB ==，∵HG AB ^，∴AG BG ==，∴6HG ==，∴()H t +，∵点M 为EF 的中点，∴点M 为HP 的中点，设()(,0P k t k t ¢¢<<+，则062M ö+÷÷ø，即M ö÷÷ø，∴当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t +<<+3，同理，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t <<+，纵坐标为3-，在2y x =中，当23y x ==时，解得x =23y x ==-时，方程无解；∴t t ìïíïî解得0t -<<，∵t t +=2y x =中，纵坐标为3的两个点的距离也为∴t t ìïí¹ïî解得t ¹-，综上所述，0t -<<且t ¹-（3）解：如图3-1所示，正方形ABCD 和正方形EFGH 都是以M 为中心且边长为4的正方形，过点M 作MT EF ^于T ，连接ME ，则122ET MT EF ===，∴ME ==∴点M 到正方形ABCD ，最大值为，同理可得点M 到正方形EFGH ∵正方形ABCD 和正方形EFGH 都是M e 的圆内接正方形，∴正方形ABCD 绕点M 旋转一定的角度一定可以与正方形EFGH 重合，∴正方形M 上的所有点形成的是一个以M 为圆心，大圆半径为2的圆环区域（包括边界）；如图3-2所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ，同理可得ABH V 是等边三角形，四边形PEHF 是平行四边形；∵()2,0A t -，()2,0B t +，∴4AH AB ==，∵HG AB ^，∴2AG BG ==，∴HG ==∴(,H t ，∵点M 为EF 的中点，∴点M 为HP 的中点，设()(,0P k t k t ¢¢¢<+¢<，则2k t M æ+çè¢ç¢，即2k t M ¢+¢æçè，∴当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为11M t x t -<<+同理，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为11M t x t -<<+，纵坐标为∵AH 中点坐标为22t t æ-+ççè，即(t -，BH 中点坐标为22t t æ++ççè，即(t +，∴点M 在AH 和BH 组成的线段上运动，即点M 在ABH V 平行于AB 的那条中位线上运动（不包括端点）；如图3-3所示，KQ ST ，分别是等边三角形ABH V 和等边ABH ¢V 的中位线，当圆环恰好经过点T 时，此时MT =∵(1,T t +，()0,M t ，∴()()(22210t t +-+=，解得t =或t =（舍去）；如图3-4所示，当点M 运动到原点时，此时K Q S T 、、、恰好在圆环的内环上，此时不满足题意；。

高三9月月考(数学)试题含答案

高三9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≤3}，则∁R A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．(2，3)C ．(2，3]D ．(－∞，1]∪[2，3]2.（5分）2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z －2i ＝11－i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为( )A.132B.262C.102 D.523.（5分）3．已知x 、y 取值如下表：x 0 1 4 5 6 8 y1.3m5.66.17.49.3 从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋1.45，则m ＝( ) A ．1.5 B ．1.55 C ．1.8 D ．3.54.（5分）4已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，－π2<α<π2，则sin 2α的值等于( )A.1225 B ．－1225 C ．－2425 D .24255.（5分） 5．已知互不重合的直线a ，b ，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是( )A ．若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若α⊥β，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥bC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β 6.（5分）6．“a ≤－2”是“函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.（5分）7．已知O 为△ABC 内一点，且AO →＝12(OB →＋OC →)，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.14B.13C.12D.238.（5分）8．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－2，则①中应填( )A ．n <98?B ．n <99?C ．n <100?D ．n <101?9.（5分）9．已知点F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则该双曲线的离心率为( )A.2B.52 C ．2 D.5 10.（5分）10．若实数x 、y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y的最大值为( ) A ．2－2 B ．2＋2 C ．4－22 D ．4＋22 11.（5分）11．曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A.4－ln 25 B.4＋ln 25 C.4－ln 25D.4＋ln 2512.（5分）12．已知三棱锥P ABC 的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．3π B.3π2 C.4π3 D.5π6 二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，若S 3＝a 2＋4a 1，T 5＝243，则a 1的值为____________．14.（5分）14．已知点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，抛物线y 2＝8x 上任意一点P 到直线l ：x ＝－2的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于________． 15.（5分）15．“克拉茨猜想”又称“3n ＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为________． 16.（5分）16．已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若关于x 的方程f (x )＝|log a |x ||(a >0，a ≠1)在[－2，3]上有5个根，则a 的取值范围是________．三、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，cos 2A －cos 2B ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，且m ∥n .(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且A ＝π4，外接圆半径R ＝2，求△ABC 的周长． 18.（12分）18.(本小题满分12分)甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)；②双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场．已知甲俱乐部派出队员A 1、A 2、A 3，其中A 3只参加第三场比赛，另外两名队员A 1、A 2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员B 1、B 2、B 3，其中B 1参加第一场与第五场比赛，B 2参加第二场与第四场比赛，B 3只参加第三场比赛．根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表：(1)12得取胜的概率最大？(2)若A 1参加第一场与第四场比赛，A 2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．19.（12分）19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面四边形ABCD 内接于圆O ，AC 是圆O 的一条直径，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AC ＝2，E 是PC 的中点，∠DAC ＝∠AOB .(1)求证：BE ∥平面P AD ；(2)若二面角P CD A 的正切值为2，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 20.（12分）20．(本小题满分12分)已知圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN →＝λOA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．21．21.（12分）(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 26＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 2也为抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点，过点F 2的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点． (1)若点P (8，0)满足|P A |＝|PB |，求直线l 的方程；(2)T 为直线x ＝－3上任意一点，过点F 1作TF 1的垂线交椭圆C 1于M ，N 两点，求|TF 1||MN |的最小值．22.（12分）已知函数f (x )＝ax －12x 2－b ln(x ＋1)(a >0)，g (x )＝e x －x －1，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线．(1)若x ＝0为函数f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用a 表示)； (2)若∀x ≥0，g (x )≥f (x )＋12x 2，求a 的取值范围．答案一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．解析：选D.由集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}＝{x |1＜x ＜2}，则∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，又B ＝{x |x ≤3}，所以∁R A ∩B ＝(－∞，1]∪[2，3]．2.（5分）2．解析：选B.由z －2i ＝11－i ，得z ＝2i ＋11－i ＝2i ＋1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋52i ，所以复数z 在复平面内的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，到原点的距离为14＋254＝262.故选B.3.（5分）3．解析：选 C.由题意知x －＝0＋1＋4＋5＋6＋86＝4，y －＝1.3＋m ＋5.6＋6.1＋7.4＋9.36＝29.7＋m6，将⎝⎛⎭⎪⎫4，29.7＋m 6代入y ^＝0.95x ＋1.45中，得29.7＋m 6＝0.95×4＋1.45，解得m ＝1.8. 4.（5分）4．解析：选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，所以sin α＝－35，又－π2<α<π2，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425，5.（5分）5．解析：选D. A 中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线a ，b 平行，故正确．B 中，满足条件的直线a ，b 垂直，故正确．C 中，由面面垂直的性质可得，交线a 与α垂直，故正确．D 中，直线a 与β可能平行，也可能在β内，故不正确．综上D 不正确．答案D. 6.（5分）解析：选A.结合图象可知函数f (x )＝|x －a |在[a ，＋∞)上单调递增，易知当a ≤－2时，函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.7.（5分）7．解析：选B.设线段BC 的中点为M ，则OB →＋OC →＝2OM →，因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14(AB →＋1t AD →)＝14AB →＋14t AD →，由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.故选B.8.（5分）8．解析：选B.由题意知，该程序框图的功能是计算S ＝lg 12＋lg 23＋…＋lgnn ＋1＝－lg(n ＋1)，当n ＝98时，S ＝－lg 99>－2；当n ＝99时，S ＝－lg 100＝－2，跳出循环，故①中应填n <99?故选B.9.（5分）解析：选D.如图所示，点P 与点F 2关于直线y ＝ba x 对称，所以|OP |＝|OF 2|＝|OF 1|＝c ，所以PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝ba ，又|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝2b ，|PF 1|＝2a ，又因为点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，故e ＝ca＝ 5.10.（5分）10．解析：选C. x x ＋y ＋2yx ＋2y ＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x ≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号． 11.（5分）11．解析：选D.因为直线2x －y ＋3＝0的斜率为2，所以令y ′＝1x ＝2，解得x ＝12，把x ＝12代入曲线方程得y ＝－ln 2，即曲线在点⎝⎛⎭⎫12，－ln 2处的切线斜率为2，⎝⎛⎭⎫12，－ln 2到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|1＋ln 2＋3|22＋（－1）2＝4＋ln 25，故曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是4＋ln 25.12.（5分）12．解析：选B.如图所示，Rt △P AC ，Rt △P AB 为等腰直角三角形，且AP ＝AB ＝AC ＝ 3.以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt △P AC 的PC ，AC 分别交于点M ，N ，得cos ∠APN ＝32，所以∠APN ＝π6，所以∠NPM ＝π12，所以MN ︵＝π12×2＝π6，同理GH ︵＝π6，HN ︵＝π2×1＝π2，又GM ︵是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆的周长的16，所以GM ︵＝2π×26＝2π3，所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于π6＋π6＋π2＋2π3＝9π6＝3π2.故选B.二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）解析：由已知，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋4a 1，则a 3＝3a 1，所以q 2＝3.又T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝243，所以a 3＝a 1q 2＝3，a 1＝1.故答案为1.14.（5分）解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，故直线l ：x ＝－2为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，d ＝|PF |.圆C 的方程可变形为(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1，4)，半径r ＝2.如图所示，d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |.显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线，且点P 在点F ，Q 之间时取等号)．而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当Q 处在Q ′的位置，P 处在P ′的位置时，|FQ |取得最小值，且最小值为|CF |－r ＝（－1－2）2＋（4－0）2－2＝ 5－2＝3.答案：315.（5分）15．解析：如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64.所以正整数m 的值为10或64.故答案为1,8,10或64.16.（5分）解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)得函数f (x )的最小正周期T ＝2，根据函数的奇偶性、周期性画出函数f (x )在[－2，3]上的图象，然后再画函数g (x )＝|log a |x ||的图象，如图所示，使它们有5个交点即可，当a >1时，只要保证log a 3≤1即可，解得a ≥3，当0<a <1时，只要保证－log a 3≤1即可，即log a 3≥－1，解得0<a ≤13，综上a ∈⎝⎛⎦⎤0，13∪[)3，＋∞.三、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．解：(1)由m ∥n ，得cos 2A －cos 2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，即2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2A －14sin 2A ，化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3.(2) 易知B ＝π3，则由A ＝π4，得C ＝π－(A ＋B )＝5π12.由正弦定理a sin A ＝bsin B ＝csin C ＝2R ，得a ＝4sin π4＝22，b ＝4sin π3＝23，c ＝4sin 5π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝4×⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋12×22＝6＋2，所以△ABC 的周长为6＋23＋3 2.18.（12分）18.解：(1)设A 1、A 2分别参加第一场、第二场，则P 1＝56×23×23＝1027，设A 2、A 1分别参加第一场、第二场，则P 2＝34×23×23＝13，所以P 1>P 2，所以甲俱乐部安排A 1参加第一场，A 2参加第二场，则甲俱乐部以3∶0取胜的概率最大．(2)比赛场数X 的所有可能取值为3、4、5， P (X ＝3)＝56×23×23＋16×13×13＝718，P (X ＝4)＝56C 12×23×13×23＋16×⎝⎛⎭⎫233＋16C 12×13×23×13＋56×⎝⎛⎭⎫133＝1954，P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝727，所以X 的分布列为X 3 4 5 P7181954727所以E (X )＝3×718＋4×1954＋5×727＝20954.19.（12分）19．解：(1)证明：因为∠DAC ＝∠AOB ，所以AD ∥OB .因为E 为PC 的中点，O 为圆心，连接OE ，所以OE ∥P A ，又OB ∩OE ＝O ，P A ∩AD ＝A ，所以平面P AD ∥平面EOB ，因为BE ⊂平面EOB ，所以BE ∥平面P AD .(2)因为四边形ABCD 内接于圆O 且AC 为直径，所以AD ⊥CD ，又P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD ，所以∠PDA 是二面角P CD A 的平面角，因为tan ∠PDA ＝2，P A ＝2，所以AD ＝1，如图，以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz .P A ＝AC ＝2，AD ＝1，延长BO 交CD 于点F ，因为BO ∥AD ，所以BF ⊥CD ，又因为BF ＝BO ＋OF ，所以BF ＝1＋12＝32，又CD ＝3，所以DF ＝32，所以P (1，0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0， C (0，3，0)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，因为⎩⎪⎨⎪⎧n ·CP →＝0，n ·DC →＝0.所以⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（1，－3，2）＝0，（x ，y ，z ）·（0，3，0）＝0，即⎩⎨⎧x －3y ＋2z ＝0，3y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0.所以n ＝(－2，0，1)是平面PCD 的一个法向量，又PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，－2，所以|cos 〈PB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·n |PB →||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋0－25×5＝35，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为35.20.（12分）20．解：(1)因为F 1，E ，A 三点共线，所以F 1A 为圆E 的直径，所以AF 2⊥F 1F 2.由x 2＋⎝⎛⎭⎫0－122＝94，得x ＝±2，所以c ＝2，|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1，2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，所以a ＝2.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题知，点A 的坐标为(2，1)，因为MN →＝λOA →(λ≠0)，所以直线的斜率为22，故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m x 24＋y22＝1得，x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，所以－2<m <2.又|MN |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12－3m 2，点A 到直线l的距离d ＝6|m |3，所以S △AMN ＝12 |MN |·d ＝1212－3m 2×63 |m |＝22（4－m 2）m 2≤22×4－m 2＋m 22＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时等号成立，此时直线l 的方程为y ＝22x ± 2. 21.（12分）21．解：(1)由抛物线C 2：y 2＝8x 得F 2(2，0)，当直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝2时，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k （x －2）得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k .设AB 的中点为G ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k2，4k ，因为|P A |＝|PB |，所以PG ⊥l ，k PG ·k ＝－1，所以4k －02k 2＋4k 2－8·k ＝－1，解得k ＝±2，则y ＝±2(x －2)，所以直线l 的方程为y ＝±2(x －2)或x ＝2.(2)因为F 2(2，0)，所以F 1(－2，0)，b 2＝6－4＝2，所以椭圆C 1：x 26＋y 22＝1.设点T 的坐标为(－3，m )，则直线TF 1的斜率kTF 1＝m －0－3＋2＝－m ，当m ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝1m ，直线MN 的方程是x ＝my －2，当m ＝0时，直线MN 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式，所以直线MN 的方程是x ＝my －2.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1x ＝my －2，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，所以y 3＋y 4＝4m m 2＋3，y 3y 4＝－2m 2＋3 .|TF 1|＝m 2＋1，|MN |＝（x 3－x 4）2＋（y 3－y 4）2 ＝（m 2＋1）[（y 3＋y 4）2－4y 3y 4]＝24（m 2＋1）m 2＋3 .所以|TF 1||MN |＝124×（m 2＋3）2m 2＋1＝124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥33，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF 1||MN |取得最小值33.22.（12分）22.解：(1)由题意知，f (x )的定义域为x ∈(－1，＋∞)，且f ′(x )＝a －x －b x ＋1，g ′(x )＝e x －1，因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线，故f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝b ，所以f (x )＝ax －12 x 2－a ln(x ＋1)，f ′(x )＝a －x －a x ＋1＝－x 2＋（a －1）x x ＋1＝－x [x －（a －1）]x ＋1，当a ＝1时，f ′(x )≤0，函数f (x )在定义域上是减函数，故不满足题意；当a ≠1时，因为x ＝0为函数f (x )的极大值点，故由y ＝－x 2＋(a －1)x 的图象可知a －1<0，由f ′(x )<0得x ∈(－1，a －1)∪(0，＋∞)，由f ′(x )>0得x ∈(a －1，0)，所以函数f (x )的单调递增区间为(a －1，0)，单调递减区间为(－1，a －1)，(0，＋∞)．(2)因为g ′(x )＝e x －1，且当－1<x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，故当x ＝0时，g (x )取得最小值0，所以g (x )≥0，即e x ≥x ＋1，从而x ≥ln(x ＋1)．设F (x )＝g (x )－f (x )－12x 2＝e x ＋a ln(x＋1)－(a ＋1)x －1，则F ′(x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)， ①当a ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋a x ＋1－(a ＋1)＝x ＋1＋1x ＋1－2≥0，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而F (x )≥F (0)＝0，即e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )≥f (x )＋12x 2.②当0<a <1时，由①知e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )＝e x －x －1≥x －ln(x ＋1)≥a [x －ln(x ＋1)]，故F (x )≥0，即g (x )≥f (x )＋12x 2.③当a >1时，令h (x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)，则h ′(x )＝e x －a （x ＋1）2. 显然h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝1－a <0，h ′(a －1)＝e a －1－1>0，所以h ′(x )在(0，a －1)上存在唯一零点x 0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0，x 0)上单调递减，从而h (x )<h (0)＝0，即F ′(x )<0，所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )<F (0)＝0，即g (x )<f (x )＋12x 2，不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(0，1]．。

最新全国各地2011届高考数学试题汇编：不等式1

不等式题组一一、选择题1. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 42+-=的最小值是（ ▲ ）A ．15B ．－18C ．26D ．－20答案 B.2．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设,x y 满足约束条件：112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．6B ．－６Ｃ．12 Ｄ．－７答案 B. 3、（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）若0a b >>，则A ．22()a c b c c R >∈B ．1ba > C ．lg()0ab ->D ．11()()22a b<答案 D.4.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式2601x x x ---＞的解集为( ) A.{}2,3x x x -＜或＞ B.{}213x x x -＜，或＜＜C.{}213x x x -＜＜，或＞ D.{}2113x x x -＜＜，或＜＜答案 C.5.（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）设双曲线122=-y x 的两条渐近线与直线22=x 围成的三角形区域（包含边界）为D ， P （y x ,）为D 内的一个动点，则目标函数y x z 2-=的最小值为（A ）2- （B ）22- （C ）0 （D ）223 答案 B.6．（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（）答案 C.7.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式2601x x x ---＞的解集为( ) A.{}2,3x x x -＜或＞ B.{}213x x x -＜，或＜＜C.{}213x x x -＜＜，或＞ D.{}2113x x x -＜＜，或＜＜答案 C.8．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知0<a<b<1，则 A ．3b ＜3a B ．log 3a >log 3b C (lga)2<(lgb)2 D ．(1e )a <(1e)b答案 A.9．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考理）设1100,x zx y z t y t≤≤≤≤≤+则的最小值是（）A ．2B ．12C ．15D ．110答案 C. 二、填空题10．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知二次项系数为正的二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量= a （si nx ，2），= b （2si nx ，21），= c （cos2x ，1），= d （1，2），当∈x [0，π]时，不等式f （⋅ a b ）＞f （⋅ c d ）的解集为。

北京101中学2024-2025学年高二上九月份数学月考试卷

2024北京一零一中高二（上）统练一数学一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在空间直角坐标系O xyz −中，点()()1,2,1,1,2,1A B −−，则（）A. 直线AB ∥坐标平面xOyB. 直线AB ⊥坐标平面xOyC. 直线AB ∥坐标平面xOzD. 直线AB ⊥坐标平面xOz2. 在三棱柱111ABC A B C −中，D 为棱11B C 的中点．设,,AB a AC b ==1AA c =，用基底{},,a b c 表示向量AD ，则AD =（）A.1122a b c ++ B. a b c ++ C. 1122a b c −+ D. 12a b c −++3. 已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且满足a α⊂，b β⊂，l αβ=，//a l ，则“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 夹角的余弦值为（）A.2B.10C.35D.255. 在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（）A.3B.3C.13D.36. 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是（）A. (0,)+∞B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. )+∞D. ,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭7. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D −−为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45︒之后，表面积增加了（）A. 54B. 54−C. 108−D. 81−9. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点M 在线段1BC （不含端点）上运动，则下列结论正确的是（）①1111ABCD A B C D −的外接球表面积为48π；②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦； ③直线1//A M 平面1ACD ；④三棱锥1D AMC −的体积随着点M 的运动而变化. A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④10. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数()5πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象，A ，B 分别是()f x 图象的一个最高点和最低点，M 是()f x 图象与y 轴的交点，⊥BD OD ，现将该卡片沿x 轴折成如图2所示的直二面角A OD B −−，在图2中，则下列结果不正确的是（）A. AB =B. 点D 到平面ABM 的距离为14C. 点D 到直线AB 的距离为3D. 平面OBD 与平面ABM 夹角的余弦值为7二、填空题共6小题.11. 已知a ，b 是空间两向量，若3,2,7a b a b ==−=，则a 与b 的夹角为______．12. 三个空间向量a ，b ，c 不共面，且存在实数,,x y z ，使x y z ++=0a b c .则222x y z ++=__________.13. 如图，圆锥PO 的体积为1V ，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，设圆柱体积为2V ，则12:V V =______．14. 如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____．15. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，//AB CD ，AD CD ==2AB ，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，(0)PA kAB k =>，且二面角E BD C −−的平面角大于30︒，则k的取值范围是__________.16. 已知单位向量i j k ，，两两的夹角均为θ（0θπ<<，且2πθ≠），若空间向量a 满足a xi y j zk =++，(,,)x y z R ∈，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a 在“仿射”坐标系O xyz −（O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=，有下列命题： ①已知()13,2a θ=−，(4,0,2)b θ=，则a b ＝０；②已知3(,,0)a x y π=，3(0,0,)b z π=，其中,,0x y z >，则当且仅当x y =时，向量,a b 的夹角取得最小值；③已知()111,,a x y z θ=，()222,,b x y z θ=，则()123232,,a b x x y y z z θ+=+++；④已知()31,0,0OA π=，3(0,1,0)OB π=，3(0,0,1)OC π=，则三棱锥O ABC −的表面积S =其中真命题为________（写出所有真命题的序号）．三、解答题共2小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，BD PC ⊥，四边形ABCD 是正方形，PB ==，E 是棱PD 上的动点，且PE PD λ=.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）是否存在实数λ，使得平面P AB 与平面AEC 所成夹角的余弦值是23？若存在.求出λ的值；若不存在，请说明理由.18. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，E 为BC 的中点.点M 在1BD 上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M 唯一确定，并解答问题.条件①：MA MC = 条件②：EM AD ⊥；条件③：//EM 平面11CDD C . （1）求证：M 为1BD 的中点；（2）求直线EM 与平面MCD 所成角的大小，及点E 到平面MCD 的距离.参考答案一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】C【分析】首先求向量AB 的坐标，再判断向量AB 与坐标平面的法向量的关系，即可判断选项. 【详解】由题意可知，()2,0,2AB =−−，平面xOy 的法向量为()0,0,1m =，因为AB m λ≠，且0AB m ⋅≠所以AB 与m 既不平行也不垂直，所以直线AB 与坐标平面xOy 既不平行也不垂直，故AB 错误；坐标平面xOz 的法向量为()0,1,0n =，0AB n ⋅=，所以AB n ⊥，且AB ⊄平面xOz ，故C 正确，D 错误.故选：C 2. 【答案】A【分析】取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，因为E 是BC 的中点，()12AE AB AC =+，所以()()11111111222222AD AE ED AB AC ED AB AC AA AB AC AA a b c =+=++=++=++=++. 故选：A 3. 【答案】C【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】当“a 与b 异面”，若直线b 与l 不相交，由于,b l β⊂，则//b l ，又//a l ，则//a b ，这与a 和b 异面相矛盾，故直线b 与l 相交，故“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的充分条件；当“直线b 与l 相交”，若a 与b 不异面，则a 与b 平行或相交，若a 与b 平行，又//a l ，则//l b ，这与直线b 和l 相交相矛盾；若a 与b 相交，设ab A =，则A α∈且A β∈，得A l ∈，即A 为直线,a l 的公共点，这与//a l 相矛盾；综上所述：a 与b 异面，即“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的必要条件；所以“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的充分必要条件. 故选：C. 4. 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则()()111,,1,1,1,,1,0,0,0,1,022M N A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以110,,1,1,0,22AM CN ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以122cos ,554AM CN AM CN AM CN⋅===⋅，故选：D 5. 【答案】B【分析】根据题意作出线面角的平面角，利用线面垂直和勾股定理即可求出正弦值为3. 【详解】如下图所示：取O 为底面BCD 的中心，E 为底面CD 的中点，连接,AO BE ；由正四面体性质易知AO ⊥底面BCD ，且,,O B E 三点共线，所以ABE ∠即为棱AB 与底面BCD 所成角的平面角，取正四面体ABCD 的棱2AB =，可得BE =由正三角形中心可得233BO BO ==，勾股定理可得3AO =所以3sin 23AO ABE AB ∠===；故选：B 6. 【答案】D【分析】由题意设出底面边长，列出关于,k a 的不等式求解即可.【详解】设正四棱锥的底面边长为a ，正四棱锥的高为h ，侧棱长度为l ，则l =√(√22a)2+ℎ2=ka >√22a ，解得2k >，所以k 的取值范围是,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D. 7. 【答案】C【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，因为二面角A BC D −−为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ，又因为平面ABC平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且ACCD C =，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为⊂BC 平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误. 故选：C.8. 【答案】C【分析】利用截面图，得出魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，再利用几何关系求出多出的一个小三角形的面积，进而可求出结果. 【详解】如图，转动了45︒后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形，设直角边x ，则有23x +=，得到32x =−，由几何关系得：阴影部分的面积为21127(3)2242S =−=−，所以增加的面积为1271616(10842S S ==−=−. 故选：C. 9. 【答案】C【分析】根据正方体棱长可知其外接球半径为R =其表面积为12π，可判断①错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量11,A D M A 夹角的余弦值可求得②正确，求出平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，可知1n A M ⊥，即③正确，易知点M 到平面1ACD 的距离是定值，利用等体积法可知三棱锥1D AMC −的体积为定值，即④错误.【详解】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为R ,则满足22224222R =++，可得R =此时外接球的表面积为24π12πR =，可知①错误；对于②，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()1112,0,0,0,0,2,2,0,2,2,2,0,0,2,2A D A B C ，所以()()()1112,0,2,0,2,2,2,0,2AD A B BC =−=−=−，设()12,0,2BM BC λλλ==−，其中01λ<<；可得()()()110,2,22,0,22,2,22A A B BM M λλλλ=+=−+−=−−，异面直线1A M 与1AD 所成角的余弦值为111111cos 2,AD AD AD A M A M A M ===⋅，易知01λ<<时，(]22331,1,3,441λλλλ⎡⎫−+∈∈⎪⎢−+⎣⎭，可得1111cos 0,,2A AD M ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，所以异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32⎛⎤⎥⎝⎦，即②正确；对于③，由②可知()12,2,22A M λλ=−−，()0,2,0C ，则()2,2,0AC =−；设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，又()12,0,2AD =−，则1220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，取1x =，则1,1y z ==；所以平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，此时()()12,2,221,1,10n A M λλ⋅=−−⋅=，可得1n A M ⊥，又1A M ∉平面1ACD ，所以直线1//A M 平面1ACD ，即③正确；对于④，根据正方体性质1//BC 平面1ACD ，所以11D AMC M D AC V V −−=，易知直线1BC 到平面1ACD 的距离是定值，底面1ACD 的面积为定值，所以三棱锥1M D AC V −的体积为定值，因此三棱锥1D AMC −的体积不会随点M 的运动而变化，即④错误；综上所述，正确的结论为②③. 故选：C【点睛】方法点睛：求解异面直线所成角的方法：（1）平移法：将两异面直线通过平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值；（2）向量法：建立空间直角坐标系利用空间向量所成的角与异面直线所成的角的关系，求得两向量夹角的余弦值. 10. 【答案】C【分析】根据给定条件，求出图1中点 A,B,D,M 的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M 的坐标，再逐项判断作答.【详解】在图1中，由()5πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得1,13A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，2,13B ⎛⎫− ⎪⎝⎭，2,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −，则10,,13A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，21,,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,1,1AB =−，得3AB =，A 正确．设平面ABM 的法向量为(),,n x y z =，110,,32AM ⎛⎫=−⎪⎝⎭，则00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即011032x y z y z +−=⎧⎪⎨−=⎪⎩，取3y =，则2z =，=1x −，所以平面ABM 的一个法向量()1,3,2n =−，所以点D 到平面ABM的距离为11414DB n n ⋅==，B 正确．取()1,0,0a DB ==，()31,1,1,3333AB u AB⎛⎫==−=− ⎪ ⎪⎝⎭，则21a =，33a u ⋅=，所以点D 到直线AB ()2263a a u −⋅=，C 错误．平面OBD 的一个法向量为()0,0,1m =，则平面OBD 与平面ABM 夹角的余弦值为27114m n m n⋅==⨯，D 正确. 故选：C.二、填空题共6小题.11. 【答案】π3【分析】利用平方的方法化简已知条件，从而求得a 与b 的夹角. 【详解】设a 与b 的夹角为θ，所以根据2222cos a b a b a b θ−=+−⋅⋅，794232cos θ=+−⨯⨯⨯，即1cos 2θ=，又0πθ≤≤，π3θ∴=．故答案为：π312. 【答案】0【分析】由条件，结合空间向量基本定理可求,,x y z ，由此可求结论. 【详解】因为x y z ++=0a b c ，a ，b ，c 不共面，所以0x =，0y =，0z =，所以2220x y z ++=. 故答案为：0. 13. 【答案】83【分析】设圆锥PO 的高为2h ，底面半径为2r ，分别计算圆锥和圆柱的体积即可求解.【详解】设圆锥PO 的高为2h ，底面半径为2r ，则22118(2)233r h V r h ππ=⨯⨯⨯=，因为O '为PO 的中点，所以圆柱的底面半径为r ，高为h ，则222V r h r h ππ=⨯⨯=，所以128:3V V =. 故答案为：8314.【详解】如图在面A 1ABB 1建立P 面直角坐标系，设P （x ，y ）．（0≤x ≤2，0≤y ≤2）∵点P 到直线AA 1和CD的距离相等，x =x 2=y 2+1．∴A 1=≥∴当P，1）时，A 1P点睛：本题直接解答比较困难，采用坐标法比较简洁易懂，所以方法的选择很关键. 当我们遇到直角三角形、等腰三角形、矩形、长方体等有垂直关系的几何图形时，可以尝试利用坐标法解答,看是否简洁.15.【答案】,15⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设1AB =，向量法表示出二面角E BD C −−的平面角的余弦值，结合题意建立关于k 的不等式，解之即可得到实数k 的取值范围．【详解】以A 为原点，以,,AB AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，设1AB =，则()()()()()0,0,0,1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,,1,1,2k A B C D P k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()1,2,0BD =−，0,1,2k BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且平面CDB 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面EDB 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z )，则 20102n BD x y n BE y kz ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =，有22,x z k ==−，可得22,1,n k ⎛⎫=− ⎪⎝⎭ ，设二面角E BD C −−的大小为θ，则2cos cos ,2k m n θ==<，化简得2415k >，所以15k>，所以实数k 的取值范围∞⎫+⎪⎪⎝⎭.故答案为：15∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭16. 【答案】②③【分析】①利用定义表示a 与b ，并利用空间向量数量积的运算律和定义来进行验证；②作出图形，设OB b =，OA a =，结合图形得出当AOB ∆的面积取最小值时a 与b 的夹角最小，从而判断结论的正误；③利用“仿射”坐标的定义，结合空间向量加法的运算律来进行验证；④根据“仿射”坐标的定义判断出三棱锥O ABC −是棱长为1的正四面体，于此可得出该三棱锥的表面积. 【详解】①由定义可得()()()()1,3,24,0,23242a b i j k i k θθ⋅=−⋅=+−⋅+412412cos i k θ=+⋅−=，∵0θπ<<，2πθ≠，0a b ∴⋅≠，故①错误；②如图，设OB b =，OA a =，则点A 在平面xOy 上，点B 在z 轴上，由图易知当x y =时，AOB ∆取得最小值，即向量a 与b 的夹角取得最小值，故②正确；③根据“仿射”坐标的定义可得()(()()111222111222,,,,)a b x y z x y z x i y j z k x i y j z k θθ+=+=+++++()()()(121212121212,)x x i y y j z z k x x y y z z θ=+++++=+++，故③正确；④由已知可知三棱锥O ABC −为正四面体，棱长为1，其表面积为1422S =⨯⨯= 故答案为②③.【点睛】本题考查空间向量的新定义，在验证各命题时要严格根据题中定义来理解，结合空间向量加减法以及数量积的运算律来计算，考查推理能力，属于难题.三、解答题共2小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，13λ=【分析】（1）由题设BD AC ⊥，根据线面垂直的判定得BD ⊥平面PAC ，再由线面垂直的性质有BD PA ⊥，并由勾股定理证AB PA ⊥，最后应用线面垂直的判定证结论；（2）构建空间直角坐标系，写出相关点的坐标，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求参数λ，即可判断存在性.【小问1详解】因为四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，且BD PC ⊥，,AC PC ⊂平面PAC ，AC PC C =，所以BD ⊥平面PAC ，且PA ⊂平面PAC ，可得BD PA ⊥，又因为PB ==，所以222PB AB PA =+，即AB PA ⊥，由,AB BD ⊂平面ABCD ，且AB BD B =，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）可知：PA ⊥平面ABCD ，且AB AD ⊥，如图，以A 为坐标原点建立空间之间坐标系，不妨设2PA =，则()()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2A C D P ，可得()()()()2,2,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2===−=AC AD PD AP ，则()[]0,2,2,0,1λλλλ==−∈PE PD ，可得()0,2,22λλ=+=−AE AP PE ，设平面平面AEC 的法向量(),,n x y z =，则()2202220n AC x y n AE y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩，令1y λ=−，则1,λλ=−=−x z ，可得()1,1,λλλ=−−−n ，且平面P AB 的法向量()0,1,0m =，由题意可得：(2cos ,3λ⋅===⋅n m n m n m，整理得23210λλ+−=，解得13λ=或1λ=−（舍去），所以存在实数λ，λ的值为13. 18. 【答案】（1）证明见解析（2）30︒ 【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得向量(,,)011=−EM 和平面MCD 的法向量为(1,0,1)m =−，利用向量的夹角公式，求得1sin 2θ=，结合sin d EM θ=，即可求解. 【小问1详解】选条件①：由MA MC =，根据正方体1111ABCD A B C D −的对称性，此时点M 为1BD 上的任意一点，所以不成立；选条件②：EM AD ⊥，连接1CD ，在正方体1111ABCD A B C D −中，由⊥BC 平面11CDD C ，因为1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又因为EM AD ⊥，//AD BC 所以EM BC ⊥，因为1,EM CD ⊂平面1BCD ，所以1//EM CD ，又因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点．选择条件 ③：//EM 平面11CDD C ，连接1CD ，因为//EM 平面11CDD C ，EM ⊂平面1BCD ，且平面1BCD ⋂平面111CDD C CD =，所以1//EM CD ，因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点．【小问2详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，1,,DA DC DD 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,1,1)D C E M ，所以(0,2,0)DC =，(1,1,1)DM =，(,,)011=−EM ，设平面MCD 的法向量为(,,)m x y z =，则0m DC y m DM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1x =，则0,1y z ==−．于是(1,0,1)m =−，设直线EM 与平面MCD 所成的角为θ，则1sin cos ,2m EM m EM m EMθ⋅===⋅，所以直线EM 与平面MCD 所成角的大小为30，点E 到平面MCD的距离为2sin sin 302d EM θ===.。

北京市第九中学2025届高三上学期10月月考数学试卷

北京市第九中学2025届高三上学期10月月考数学试卷一、单选题1．若集合{}0,1,3A =，{}1,0,2,3B =-，则A B U 等于（） A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,0,2,3-C ．{}0,1,3D ．{}0,32．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（） A ．1y x =+B ．1y x=C ． y ＝﹣x 3D ．22,0,,0x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩3．已知()11cos ,cos cos 43αβαβ+==，则tan tan αβ=（）A ．14B ．13C ．3D ．44．已知等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =，则{}n a 的公比为（） A ．2-或12-B ．2-或12C ．2或12-D ．2或125．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =2c =，则角A =（） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．已知4log 2a =，10log 4b =，0.212c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列判断正确的是（） A ．c b a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<7．“1x <-”是“20x x +>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．在ΔABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则角A 是 A ．钝角B ．直角C ．锐角D ．不能确定9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为A ．2sin 2cos 2αα-+；B ．sin 3αα+C ．3sin 1αα+D ．2sin cos 1αα-+10．在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格a 与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格a 与其实际价值的差距.设顾客第n 次的还价为n b ，商家第n 次的讨价为n c ，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价a 的一半，即第一次还价12ab =，商家第一次的讨价为1b 与标价a 的平均值，即112a b c +=；…，顾客第n 次的还价为上一次商家的讨价1n c -与顾客的还价1n b -的平均值，即112n n n c b b --+=，商家第n 次讨价为上一次商家的讨价1n c -与顾客这一次的还价n b 的平均值，即12n nn c b c -+=，现有一件衣服标价1200元，若经过n 次的“对半讨价还价”，n b 与n c 相差不到2元，则n 的最小值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题11．函数()f x =的定义域为. 12．半径为6，圆心角等于π3的扇形的面积是．13．若将函数()sin()3f x x π=-的函数图象平移()R ϕϕ∈个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小值为.14．点P 从⎝⎭出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动3π弧长到达Q 点，则点Q 的坐标为.15．已知函数()xxf x e =，给出下列结论： ①(1,)()f x +∞是的单调递减区间；②当1(,)k e∈-∞时，直线y=k 与y=f （x ）的图象有两个不同交点；③函数y=f （x ）的图象与21y x =+的图象没有公共点； ④当(0,)x ∈+∞时，函数1()()y f x f x =+的最小值为2．其中正确结论的序号是三、解答题16．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，31246,,,a a a a =成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若12n n n b a a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S . 17．已知函数()π2cos 4f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 图象的对称轴方程；(3)求()f x 在[]π,0-上的最大值和最小值．18．设函数()()23f x x x x a =-+，R a ∈(1)当9a =-时，求函数()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为减函数，求a 的取值范围；(3)若函数在区间()0,2内存在两个极值点1x ，2x ，且()()()()2121f x f xf x f x ->+，求a 的取值范围.19．在ABC V中，sin A B =，π6C =. (1)求BAC ∠的大小；(2)E 是AC 的中点.从条件①BE =，条件②4a b c ++=+③c =中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分. 20．已知函数()(1)e x af x x=+，其中0a >．（Ⅰ）求函数()f x 的零点；（Ⅱ）讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；（Ⅲ）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．21．在无穷数列 a n 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<．设*m ∈N ，记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ．(1)设数列 a n 为1,4,7,10,L ，写出1b ，2b ，3b ，4b 的值； (2)若 a n 为等比数列，且22a =，求12350b b b b ++++L 的值．(3)设p a q =，12p a a a A +++=L ，直接写出12q b b b +++L 的值．（用,,p q A 表示）。