数理金融复习题

1. ※假设组合的收益为r p ，组合中包含n 种证券，每种证券的收益为r i ，它在组合中的权重是w i ，则组合的投资收益的期望和方差为

1

1

n

n

p i i i i i i Er E w r w Er ===∑∑（）＝（）

,

n 222i 1

1,1

,1

n

n

n

p

i

i

i j ij i

j

ij

i j i j i j w w w w w σσσσ

==≠==+=

∑∑

∑

∑＝

例：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值和方差为

0.12(0.25,0.75)0.14250.15p r ⎛⎫

=== ⎪⎝⎭

T w r 2

2T 20.25(0.20)0.01w w=(0.25,0.75)0.750.01

(0.18)0.024475

p σ⎡⎤⎛⎫

=∑⎢

⎥⎪⎝⎭⎣⎦=

例：假设某组合包含n 种股票。投资者等额地将资金分

配在上面，即每种股票占总投资的1/n ，每种股票的收益也是占总收益的1/n 。设若投资一种股票，其期望收益为r ，方差为σ2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。

11w r (,...,)T p r r r n n r ⎛⎫ ⎪

=== ⎪ ⎪⎝⎭

22T

22222

21...011w w (,...,)0111(,...,)p n n n n n n

σσσσσσσ⎛⎫

⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪

=∑⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭

++= =＝ 2. ※解马克维茨的均值-方差（Mean-variance ）模型:

2

1min 2

..1

T

p w

T p

T s t r σ=

∑==w w w r w 1

解:

构造拉格朗日函数

1212,,1

()(1)2

T T T p w L r λλλλ=∑+-+-w w w r w 1 由于方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件

121

2

(1)0 (2)

10 (3)T p T L

L

r L

λλλλ∂=∑--=∂∂=-=∂∂=-=∂w r 10w w r w 1 由(1)得到12λλ∑=+w r 11112λλ--⇒=∑+∑w r 1 (4) (4)代入(2)可得

111211121112()()()T T p T T T T r λλλλλλ------==∑+∑=∑+∑=∑+∑w r r 1r r r 1r

r r 1r

(5)

把（4）代入（3）

11121

1

121() T T T

T

λλλλ----==∑+∑=∑+∑w 1r 11r 111

（6）

为简化，定义

11T T a --∑=∑r r r r 11T T b --∑=∑1r r 1 11T T c --∑=∑1111

2d ac b -

将（5）和（6）改写为 12121p r a b

b c

λλλλ=+⎧⎨

=+⎩ 解得

12p p

cr b cr b

d ac b

λ--==- 22

p p

a br a br d ac b

λ--==- 可解得给定收益条件下的最优权重向量为

11

p p cr b a br d d

----=∑+∑w r 1

3. 分离定理：投资者对风险的喜好程度与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。

4. 市场弱有效假设：信息集仅包含价格或收益的历史记录信息；现在的市场价格反映了有关该证券的所有历史记录中的信息

半强有效：信息集包括所有公开的，投资者共知的所有信息；现在的市场价格不仅反映了该证券过去的信息，而且还反映了有关该证券的所有公布于众的信息

强有效：信息集包括任何市场参与者所掌握的一切信息；现在的市场不仅反映了有关该证券过去的信息和公布于众的信息，而且还反映任何交易者掌握的私人信息

5. ※CAPM 模型

若市场投资组合是有效的，则任一资产i 的期望收益满足

2()()im

i f m f f i m f m

r r r r r r r s b s =+

-+-@

6. 系统风险及其因素的特征

a) 系统性风险由共同一致的因素产生。

b) 系统性风险对证券市场所有证券都有影响，包括某

些具有垄断性的行业同样不可避免，所不同的只是受影响的程度不同。

c) 系统性风险不能通过投资分散化达到化解的目的。 d) 系统风险与预期收益成正比关系，市场只对系统风

险进行补偿。 7. 非系统性风险

a) 非系统风险可以通过组合投资予以分散，因此，投

资者可以采取措施来规避它，所以，在定价的过程中，市场不会给这种风险任何酬金。

b) 对单个证券而言，由于其没有分散风险，因此，其

实际的风险就是系统风险加上特有风险 8. APT 与CAPM 的公式的形式一样 内在的经济含义不同

CAPM 是在市场均衡的条件得到的 APT 是在无套利条件得到的 两者之间的关系是：

均衡的市场里一定没有套利机会

无套利机会并不意味着市场是均衡的

9. ※已知一项资产的买价为p ，而以后的售价为q ，q 为随机的，则

1()

f m f q

p r r r β=

++-可推出

2

cov(,)()1

[](1)m m f f m

q r r r p q r σ-=-+ 例：某项目未来期望收益为1000万美元，由于项目与市场相关性较小，β=0.6，若当时短期国债的平均收益为10％，市场组合的期望收益为17％，则该项目最大可接受的投资成本是多少？

1000

876(1.10.6(0.170.10)

p =

=+-万美元）

10. CAPM 的NPV 评估法:将确定性等价贴现后与投资额p 比较，得到净现值，即

2

cov(,)()1

[](1)m m f f m

q r r r NPV p q r σ-=-+

-+ 11. ※企业将选择NPV 最大的项目某基金下一年的投

资计划是：基金总额的10％投资于收益率为7％的无风险资产，90％投资于一个市场组合，该组合的期望收益率为15％。若该基金β=0.9，基金中的每一份代表其资产的100元，年初该基金的售价为107美元，请问你是否愿意购买该基金？为什么？ (无答案)

12. ※下表给出预期的市场组合和两支股票的收益率。

如果市场组合的收益5％和25％是等可能的，则两只股票的预期收益率是多少？ (无答案)

13. ※多因素模型: 假设证券收益率受K 个共同因素F 1，F 2，…，F K 的普遍影响.用多元线性回归，建立如下的证券i 的收益率与K 个因素的关系式 11...it i i t iK Kt it r a b F b F ε=+⨯++⨯+ 期望收益率

1()()K

i i ik k k E r a b E F ==+⨯∑

方差或因素风险

222

21()2cov(,)K

i ij Fj i ij is j s j j s b b b F F σσσε=<=⨯++⨯⨯∑∑

证券间协方差

212cov(,)K

ij is js Fs is jl il js s l s s l

b b b b b b F F σσ=<=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯∑∑

14. 套利组合需要满足的3个条件 第一，不增加额外资金。 第二，套利不承担风险。 第三，套利提供正利润。 即

12111111111 0

...0...0...0,()n P n n PK K n nK n n i i x x x b x b x b b x b x b x E x E E E r

++==⨯++⨯==⨯++⨯=⨯++⨯>=

15. ※工业产值为单因素

投资者拥有3种证券，每种证券的当前市值均为4 000 000元,总资金＝12 000 000元。3种证券预期回报率和敏感性如下表

期望和敏感性的改状态，是否可以引起存在套利？ 解: 套利方程组为 x 1＋x 2＋x 3＝0

0.9x 1＋3.0x 2＋1.8x 3＝0 15x 1＋21x 2＋12x 3＞0

解不唯一。给x 1赋予一个值，例如0.1, x 2＝0.075，x 3＝-0.175

旧组合的收益率为16.000%,风险σ11.000% 套利组合的收益率为0.975% ,风险σ几乎没有 新组合的收益率为16. 975%,风险σ仍然为11.000% 16. 如果风险证券收益率由

K 因素模型给定，那么，存