3.1.1__两角差的余弦公式(张奕辉用)
两角差的余弦公式
两角差的余弦公式余弦公式是三角形中的一个基本公式，可用于计算未知角的值。
具体来说，余弦公式可以用来计算两个角之间的差异。
余弦公式的形式如下：cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)其中，x和y是两个角度，cos(x - y)表示x和y之间的差异的余弦值，cos(x)和cos(y)分别表示x和y的余弦值，sin(x)和sin(y)分别表示x和y的正弦值。
在余弦公式中，角度的单位可以是度或弧度。
如果使用度作为单位，那么上式中的cos(x)、cos(y)、sin(x)和sin(y)应该是用角度值计算得到的。
如果使用弧度作为单位，那么上式中的cos(x)、cos(y)、sin(x)和sin(y)应该是用弧度值计算得到的。
余弦公式的应用非常广泛。
以下是一些余弦公式的应用示例：1.三角形边长的计算：如果知道一个三角形的两边长度和夹角，可以使用余弦公式来计算第三边的长度。
假设已知三角形的两边长度分别为a和b，夹角为C，则第三边的长度可以通过余弦公式计算得到：c² = a² + b² - 2abcos(C)在这个公式中，c表示第三边的长度。
2.三角形角度的计算：如果知道一个三角形的三边长度，可以使用余弦公式来计算角度。
假设已知三角形的三边长度分别为a、b和c，则夹角C可以通过余弦公式计算得到：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)在这个公式中，C表示所需要计算的夹角。
3.二维坐标系中两个向量之间的夹角的计算：在二维坐标系中，可以使用余弦公式来计算两个向量之间的夹角。
假设有两个向量A和B，向量A的分量分别为Ax和Ay，向量B的分量分别为Bx和By，则两个向量之间的夹角可以通过余弦公式计算得到：cos(θ) = (Ax * Bx + Ay * By) / (sqrt(Ax² + Ay²) * sqrt(Bx² + By²))在这个公式中，θ表示两个向量之间的夹角。
学案4：3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式学习目标（1）了解两角差的余弦公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角差的余弦公式，并会进行化简、求值等应用．学习过程基础预探两角差的余弦公式：cos （α－β）=________________．学习引领两角差的余弦公式对任意的角都成立，是前面学习的诱导公式的一般化．在利用两角差的余弦公式时，运用两角差的三角函数求解问题一般分三步：第一步求某一个三角函数值；第二步确定角所在的范围；第三步得结论求得所求角的值．典例导析题型一：公式的直接应用例1．计算：cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型二：公式的间接应用例2．计算：cos65ºcos35º+cos25ºcos55º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型三：公式的综合应用例3．已知α、β、γ∈（0，2π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值．随堂练习1．计算：cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 2．化简cos （x +y ）cos （x －y ）+sin （x +y ）sin （x －y ）的值为（ ）A ．cos2xB ．cos2yC ．sin2xD ．sin2y3．计算：cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 4．计算：cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=________．5．化简：cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β）=________． 6．若锐角α、β满足cos α=54，cos （α+β）=53，求cos β的值．参考答案学习过程基础预探cos αcos β+sin αsin β典例导析题型一：公式的直接应用例1．C【解析】cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=cos （80º－35º）=cos45º=22，故选C ． 题型二：公式的间接应用例2．D【解析】由于cos25º=sin （90º－25º）=sin65º，cos55º= sin （90º－55º）=sin35º， 则cos65ºcos35º+cos25ºcos55º= cos65ºcos35º+sin65ºsin35º=cos （65º－35º） =cos30º=23，故选D ． 题型三：公式的综合应用例3．解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β，平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1，即sin 2β－2sin αsin β+sin 2α+cos 2α－2cos βcos α+cos 2β=1，亦即2－2（sin αsin β+cos βcos α）=1，∴－2cos （β－α）=－1，∴cos （β－α）=21， ∴β－α=±3π， ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α=3π． 随堂练习1．B【解析】cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=cos （75º－15º）=cos60º=21； 2．B3．D 【解析】cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=cos[（38º－x ）－（8º－x ）]=cos30º=23； 4．21 【解析】cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=cos68ºcos8º+sin68ºsin （90º－8º）=cos68ºcos8º+sin68ºsin8º=cos （68º－8º）=cos60º=21. 5．cos （2βα+） 【解析】cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β） = cos ［（α－2β）－（2α－β）］= cos （2βα+）. 6．解：由于锐角α满足cos α=54，则sin α=α2cos 1-=2)54(1-=53， 又锐角α、β满足cos （α+β）=53，则sin （α+β）=)(cos 12βα+-=2)53(1-=54， 所以cos β=cos ［（α+β）－α］= cos （α+β）cos α+ sin （α+β）sin α=53×54+54×53=2524．。
数学必修四 第3章 3.1.1 两角差的余弦公式
填一填·知识要点、记下疑难点
两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ，其中 α、β 为任意角.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一
两角差余弦公式的探索
问题 1 有人认为 cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试 举两例加以说明．
研一研·问题探究、课堂更高效
→ → 当 α，β 均为任意角时，α－β 和〈OP，OQ〉的关系是： → → α－β＝2kπ±〈OP，OQ〉 ，k∈Z . → → → → → → → → (3)向量OP与OQ的数量积OP· OQ＝|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉＝ → → cos(α－β)；另一方面，OP 与 OQ 的数量积用点坐标形式表示： → → OP· OQ＝(cos α，sin α)· (cos β，sin β)＝ cos αcos β＋sin αsin β 从而，对任意角 α，β 均有 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. .
π π 所以－2<α－β<－6， 所以 cos α＝ 1－sin α＝
2 2
8 15 2 1－17 ＝17， 21 20 2 1－ 29 ＝－29，
sin(α－β)＝－ 1－cos α－β＝－
研一研·问题探究、课堂更高效
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
15 21 8 20 155 ＝17×29＋17×－29＝493.
小结 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、
函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最 基本的变换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ，α＝2[(β＋α)－(β－α)] 等．
3.1.1两角差的余弦公式1
练习1： 3 已知 cos , ( , ), 5 2 求 cos( )的值 4
练习2：
15 已知 sin , 是第二象限角， 17 求 cos( )的值. 3
练习：口答
1 (1)cos75 cos15 sin 75 sin15 2
验证
y
y
终边
A
O
终边 B
P0 (1,0) x
终边
A
O
终边 B
P0 (1,0) x
(1)
(2)
公式 cos( ) cos cos sin sin 称为差角的余弦公式，记作C( - )
思考：该公式有何特点？如何记忆？
1.公式中两边的符号正好相反 2.式子右边同名三角函数相乘再 相加
3 (2) cos57 sin 63 sin 57 sin 27 2
转化： 63 sin(90 27) cos 27 sin
小结：
1. 两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
2. 运用公式时注意角的范围、三角 函数值正负及与特殊角的关系等.
例题讲评
例1 利用差角的余弦公式证明下列 诱导公式：
(1)cos(
2
） sin
(2)cos(2 ） cos
例2:不用计算器，利用差角 余弦公式，求 cos15 的值.
4 例3 已知 sin , ( , ), 5 2 5 cos , 是第三象限角, 13 求 cos( )的值.
作业：
1.必做题：课本P137习题3.1 A组 1,2,3 2.选做题：课本P137习题3.1 A组 4
3.1.1 两角差的余弦公式
解析：(1)原式＝cos(15° －105° ) ＝cos(－90° )＝cos 90° ＝0； (2)原式＝cos [(α－35° )－(25° ＋α)] 1 ＝cos(－60° )＝cos 60° . ＝ 2 4 3 (3) ∵ sin α＝－ ，180° <α<270° ，∴cos α＝－ ， 5 5 5 12 ∵sin β＝ ，90° <β<180° ，∴cos β＝－ ， 13 13 ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β －3×－12＋－4× 5 ＝16. ＝ 5 13 5 13 65
两角差的余弦公式的简单应用 (1)sin7°cos23°＋sin83 °cos67°的值为( )
1 3 3 B. C. D．－ 2 2 2 π π (2) 3sin ＋cos 的值为( ) 12 12 1 A. B．1 C. 2 D. 3 2 分析：(1)本题考查公式的逆用．如何将式子转化为两 角差的余弦公式的展开式是关键．
已知角的变形在解题中的应用
(1)计算：cos(－15° ); 2cos 10° －sin 20° (2) 的值是( sin 70° 1 A. 2 3 B. 2 C. 3 ) D. 2
分析：(1)本小题是两角差的余弦公式的直接应用， 要善于进行角的变形，使之符合公式特征． (2)本题考查角的变换技巧，有一定难度．
| || |
依据和可能．
练习1：在直角坐标系中始边在x轴正半轴，30°角
的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为________．
练习2：cos(45°－30°)＝________.
3 1 练习 1： ， 2 2
6＋ 练习 2： 4 2
二、角的组合 α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， 1 α＝ [(α＋β)－(β－α)] 2 1 α＝ [(α＋β)＋(α－β)]，2α＝(β＋α)－(β－α)等． 2
3.1.1两角差的余弦公式
三.给值求角
4
3小Biblioteka ：1、两角和与差的余弦公 式： cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、运用公式时注意角的范围、三角 函数值的正负及与特殊角的关系等.
作业 课时作业小本（二十七）
4 5 例2：已知sin = , （ ，）,cos = , 5 2 13
二、给值求值
β是第四象限角，求cos(α－β)的值.
思考：运用公式求解需要做哪些准备？
（ ，）去掉， 变式：若将例2中的条件 2
对结果和求解过程会有什么影响？
练习：已知 , 均为锐角, 且 ， 3 3 10 cos , cos( ) , 求 cos 的值. 5 10
2 10
1 9
3 5 例4、在ABC中， cos A= ， cos B= ， 5 13 则cosC的值等于( )
提示： （1）C=180°－(A+B),
（2）正、余弦值的符号。
所以cosC= －cos(A+B)
33 = －cosAcosB+sinAsinB 65
解后回顾: 三角形中的给值求值，内角和180度
cos15 cos 60 45
练习: sin 75 , cos75
练习：
1 1. cos1750 cos550 sin 1750 sin 550 2
2. cos( 210 ) cos( 240 ) sin( 210 ) sin( 240 )
2 2
体现了角的整体性
3.已知 cos 25 cos 35 cos 65 cos 55的值等于( B ) A 0 B 1 2 C 3 2 D 1 2
高中数学《3.1.1两角差的余弦公式》2 新人教A版必修4
[规范解答] ∵α、β 均为锐角，
∴sin α＝ 55，sin β＝31010. ∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝2 5 5×
1100＋
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
(4 分)
规律方法 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变
换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换
是最基本的变换．常见的有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12
，α＝12
等．
【变式 2】 已知 cos(α＋β)＝－13，cos 2α＝－153，α、β 均为锐
名师点睛 正确理解 C(α－β)公式中的 α、β 为任意角 公式中的 α、β 不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团 体”，比如 cosθ＋2 φ－θ－2 φ中的“θ＋2 φ”相当于角 α，“θ－2 φ” 相当于角 β，可用两角差的余弦公式展开．因此对公式的理解 要注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可以把 α、β 视为一个“代号”，将公式记作 cos(△－□)＝cos △cos □＋sin △sin □.
自学导引
两角差的余弦公式
名称 简记符号
公式
使用条 件
两角差 的余弦
C(α－β)
cos(α－β)＝
任意角
cos αcos β＋sin αsin 都β成立
想一想：当 α＝2π，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β 成立．那 么当 α、β∈R 时，cos(α－β)＝cos α＋cos β 恒成立吗？ 提示 不恒成立，如 α＝3π，β＝π6时．
3.1.1两角差的余弦公式课件
思考题：已知 α ，β
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值
α +β α 变角: β =
分析： cos
cos
cosα sinα cos αβ sin αβ
5 4 12 3 13 5 13 5
问 题 探 究
如何用任意角α 与β 的正弦、余 弦来表示cos(α -β )？
思考：你认为会是 cos(α -β )=cosα -cosβ 吗?
OA cosα ,sinα
OB cosβ , sinβ
y
OA OB OA OB cos( )
cos( )
3.1.1两角差的余弦公式
学习目标
1、了解两角差的余弦公式的推导和证明 过程 ； 2、掌握两角差的余弦公式并能利用公式 进行简单的三角函数式的求值、化简和 证明。
公式引入：
.已知OP为角的终边，求单位圆上向量 OP 的坐标
Y P
O X
两个向量的数量积
a b a b cosθ 其中θ
∵ OA OB
A
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
-1
∴
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
对于任意角
α , β
结 论 归 纳
cos( α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
差角的余弦公式
C
αβ
∈[0，π
]
a x1 , y1
b x2 , y2
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦(张奕辉用)
4
−α),cos(
π
4
+α)的 . 值
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1) sin 72° 42°cos 72° 42° cos sin ; (2) cos 20 cos 70°sin 20° 70°. sin
解：（1）由公式S(α − β )得， sin 72 cos 42 − cos 72 sin 42 1 = sin(72 − 42 ) = sin 30 = ; 2 （2）由公式C (α + β )得，
π = cos − α − β 2
π π = cos − α cos β + sin − α sin β 2 2
= sin α cos β + cos α sin β
异名积，符号同。 异名积，符号同。
二、公式的推导
sin (α − β )
π
4
);
1 3 (2)原式 = 2 （ cos x − 2 sin x) 2 2 = 2 2 sin( − x). 6
π
提升总结
一 地 asinα +bcosα 般 ：
= a +b (sinα
2 2
a a +b
2 2
+ cosα
b a +b
2 2
)
= =
a 2 + b 2 (sin α cos φ + cos α sin φ ) a 2 + b 2 sin(α + φ ) .
cos 20 cos 70 − sin 20 sin 70 = cos(20 + 70 ) = cos 90 = 0.
3.1.1 两角差的余弦公式
元谋一中2014届高一下学期 数学导学案 编写教师： 文跃先 班级 姓名 小组 时间3.1.1 两角差的余弦公式学习目标：理解用三角函数线推导两角差的余弦公式的推导及公式的应用。
学习重点：两角差的余弦公式的推导及公式的应用。
学习难点：两角差的余弦公式的推导。
一、知识链接：我们在初中时就知道cos 452=，cos302=，由此我们能否得到()cos 4530?-= 大家可以猜想，是不是等于cos45cos30-呢？思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cos α－cos β恒成立吗?由cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°，可以猜测出cos(α－β) cos α－cos β。
二、新课导学自学教材P 125（注：倒数第三段起不学），理解如何应用三角函数线的有关知识来探究两角差的余弦公式。
新知：对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+思考2：公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β称为差角的余弦公式，记作 C αβ- ，该公式有什么特点？ 练习1：1、cos80cos 20sin80sin 20+= ；2、sin15sin105cos15cos105+= ； 3、cos53cos 23cos37cos67+= ；4、cos()cos sin()sin 44ππθθθθ+++= ；5、55cos cos sin sin 24242424ππππ+= ； 6、求cos15的值。
解：思考3:由例1的结果，你能快速得出sin 75的值吗？ 例1、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.（要求：不依赖课本，自主完成） 解：变式：将例1的条件,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，改为()0,απ∈后做题。
解：例2、已知,αβ为锐角且4cos 5α=，16cos()65αβ+=-，求cos β的值。
§3.1.1两角和与差的余弦公式
0 0 0 0 设向量a (cos 45 ,sin 45 ), b (cos30 ,sin 30 )
问：
§3.1.1两角和与差的余弦公式
0 (1)a与b 的夹角 15
45 30
0
0
13
§3.1.1两角和与差的余弦公式
cos( -β ) cosα cosβ + sinα sinβ α
思题：已知 ，β α
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值 α 变角: β = +β α
cos βcosα sin βsinα α α
2013-1-9
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§3.1.1两角和与差的余弦公式
2 3 3 例2.已知 sin = ， ， ， =- ， , cos 3 4 2 2 求 cos( ).
2 5 解： sin = ， ， cos 3 3 2 3 7 3 cos =- ， , sin 4 4 2
2013-1-9 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 16
§3.1.1两角和与差的余弦公式
课堂练习 <<教材>> P.127 书面作业 <<教材>> P.137 习题3.1 A组2.3.4 练习1.2.3.4
2013-1-9
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2013-1-9
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3.1.1两角差的余弦公式(完美版)
（ 1）cos80 cos 20 sin 100 sin 380 (2) cos50 cos 20 cos 40 cos70 (3) sin( ) sin cos( )cos (4)cos( - )cos( ) - sin( - )sin( )
山东省临沂第一中学
１．两角差的余弦公式：
cos cos sin sin cos( ) 结 • 2. 求非特殊角的三角函数值, 论 • 化简三角函数式和证明三角恒等式 归 • 注意公式的逆向使用 . 纳
特别地： 三角函数中一定要注意观察角度之间的关系
称为差角的余弦公式，简记为 C ( ). 说明：
1.公式中两边的符号正好相反.
2.公式右边同名三角函数相乘再加减， 且余弦在前正 弦在后.
余余正正，符号相反
山东省临沂第一中学
公式的运用
类型一：给角求值
利用两角差的余弦公式，求下列三角函数值
(1) cos15
练习：
公式的正向使用
(2) cos15 sin 15 公式的逆向使用
山东省临沂第一中学
类型二：给值求值
2 3 3 1.已知 sin , ( , )， cos , ( , )，求 cos( ) 3 2 4 2
1 1 练习1： cos cos , sin sin , 求 cos( ) 2 3
) 的表达式需要哪些已学过的知识？
涉及 三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上
பைடு நூலகம்
的三角函数线或向量的夹角公式. 法一（三角函数线） 如图，设角 ，为锐角，且 ，y
作PM x轴，PA OP ， 1 cos( ) OM
3[1].1.1两角差的余弦1公式
![3[1].1.1两角差的余弦1公式](https://img.taocdn.com/s3/m/b0981e74a216147916112809.png)
公 解法一： cos15 cos(45 30 )
式
cos45 cos30 sin 45 sin 30 6 2
的
4
运 解法二： cos15 cos(60 45 )
用
cos60 cos45 sin 60 sin 45 6 2
4
例2. 已知sin 4 , , , cos 5 ,
公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
称为差角的余弦公式
c 公 记作 ( )
式 要计算cos(α－β)应作哪些准备？ 的 该公式有什么特点？如何记忆？ 理 1. 符号相反 解 2. 同名三角函数相乘（烤烤晒晒）
3.差角余弦公式求cos15°的值.
5 2
13
是第三象限角，求cos( )的值
解：由sin 4 , , 得 cos 1 sin2 3
5 2
5
又由cos 5 ，是第三象限角，得 sin 1 cos2 12
13
13
cos( ) cos cos sin sin 3 5 4 12 33
sin sin
问题5：
上述推理能说明对任意角α，β，都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 成立吗？
问题6：
证
明 观察公式两边的构成要素与
结 结构特征，从中能有怎样的
果
联系和启发?
OA cosα,sinα OB cosβ,sinβ
y
OA OB OA OB cos( ) A
7
cos( ) 11 , 求 cos的值
14
小 1.回顾公式的推导过程 结 2.体会其中蕴涵的数学思想。
3.公式的应用过程中应该注意什么问 题，你有什么体会？
3.1.1 两角差的余弦公式
练习：
1
2 cos
3 sin ____c_o_s_(_1____-__)__
2
3
cos( 210) cos( 240) sin( 210)sin( 240)
________________ 2
2
例4
已知α，β都是锐角,
cosα=
4， 5
变 cosα+β 153，求cosβ的值
归 差角的余弦公式 纳
Cα-β
注意：1.公式的结构特点； 同名积 符号反
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β)
学 利用差角余弦公式求cos15 的值
以 分析: cos15 cos 45 30
致
用
cos15 cos60 45
6 2 4
思考：你会求sin15 的值吗?
sinα=
54，α
2
,
cosα=
-
3 5
cosβ= - 153，β是第三象限角
sin
= - 12 13
cos( ) 33
65
练习：P127 4
例3. 逆用
cos1750 cos 550 sin1750 sin 550
1
_____2_______
-
1 2
cos
3 sin
2
cos(2 - )
6 2 4
例1.已知
cosα=
-
1 5
,α
2
,
,
求cos
3
α
的值.
正
cosα=
-
1 5
,α
2
,
sinα=
3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式知识点梳理两角差的余弦公式cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β (α,β均为任意角) 【预习自我评估】 (1)cos 54°cos 24°+sin 54°sin 24°的值为( )A ．32B ．－32C ． 12D ．－12解析 原式=cos(44°－14°)=cos 30°=32．答案 A(2)已知α是锐角,sin α=23,则cos(α－π3)=________．解析因为α是锐角,sin α=23,所以cos α=53,所以cos(α－π3)=cos π3cos α+sin π3sin α=12×53+32×23=5＋236．答案5＋236常考题分类整理题型一 两角差的余弦公式的正用和逆用 【例1】 (1)cos(－15°)的值是( )A ．6＋22B ．6－22C ．6＋24D ．6－24(2)cos(α－15°)cos(α+45°)+sin(α－15°)sin(α+45°)=________． (3)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°=________．解析 (1)cos(－15°)=cos(30°－45°)=cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45°=32×22+12×22=6＋24．(2)原式=cos [(α－15°)－(α+45°)]=cos(－15°－45°)=cos(－60°)=cos 60°=12．(3)原式=cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°=cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°=cos 15°cos 8°cos 8°=cos 15°=cos(60°－45°)=6＋24．答案 (1)C (2)12 (3)6＋24方法总结 运用两角差的余弦公式求值的注意点 (1)深刻理解所用公式的特征、灵活地套用公式,(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°,45°,60°,90°,120°,150°,…)之间和与差的关系问题,然后利用公式化简求值． 【变式探究1】 求下列三角函数式的值： (1)cos125π；(2)cos 35°cos 125°+sin 35°sin 125°． 解 (1)原式=cos[π4－(－π6)]=cos π4cos(－π6)+sin π4sin(－π6)=6－24．(2)原式=cos(35°－125°)=cos(－90°)=cos 90°=0． 题型二 给值求值【例2】 设sin )2(βα-=23, cos )2(βα-=－19,其中α∈),2(ππ,β∈)2,0(π,求cos α＋β2．解 因为α∈),2(ππ,β∈)2,0(π．所以α－β2∈),4(ππ,α2－β∈)2,4(ππ-．因为cos )2(βα-=－19,sin )2(βα-=23,所以sin )2(βα-=)2(cos -12βα-=1－181=459,cos )2(βα-=1－sin 2(α2－β)=1－49=53． 所以cosα＋β2=cos[)2(βα--)2(βα-]=cos )2(βα-cos )2(βα-+sin )2(βα-sin )2(βα-=－19×53+459×23=7527． 方法总结 给值求值问题的解题技巧常用角变换公式：①α=(α－β)+β；②α=α＋β2+α－β2；③2α=(α+β)+(α－β)；④2β=(α+β)－(α－β)．【变式探究2】 已知sin α=31,α∈),2(ππ,cos β=－34,β∈)23,(ππ,求cos(α－β)的值．解∵α∈),2(ππ, sin α=31,∴cos α=－1－sin 2α=－322又β∈)23,(ππ,cos β=－34,∴sin β=－1－cos 2β=－74． ∴cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β=(－322)×(－34)+23×(-74)=127226-．【变式探究3】 已知cos α=31, cos(α+β)=－1114, 且α,β∈(0,2π),求cos β的值．解 ∵α,β∈2π且cos α=31, cos(α+β)=－1114,∴α+β∈(0,π),∴sin α=1－cos 2α=322,sin(α+β)=1－cos 2(α＋β)=5314．又∵β=(α+β)－α,∴cos β=cos [(α+β)－α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=(-1114)×31+5314×322=4261011+． 课堂达标训练1．cos 66°cos 36°+sin66°cos 54°的值为( ) A ．32 B ．－32 C ．12 D ．－12答案 A2．若a =(cos 70°,sin 70°),b =(cos25°,sin 25°),则a ·b =( )A ．－12B ．32C ．12D ．22解析 a ·b =cos 70°cos 25°+sin 70°sin 25°=cos(70°－25°)=cos 45°=22．答案 D 3．计算：12cos 30°+32sin30°=________．解析 原式=cos 60°cos 30°+sin 60°sin30°=cos(60°－30°)=cos 30°=32．答案 32 4．已知α∈)2,0(π,tan α=2,则cos )4(πα-=________． 解析由tan α=2得sin α=2 cos α,又sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=15.因为α∈)2,0(π,所以cos α=55,sin α=255.因为cos )4(πα-=cos αcos π4+sin αsin π4=55×22+255×22=31010.答案 310105．已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),α,β∈(0,π)且a ⊥b ,求α－β的值．解 因为a ⊥b ,所以a ·b =cos αcos β+sin αsin β=cos(α－β)=0.因为－π<α－β<π,所以α－β=－π2或π2．课后作业1．化简－sin(x +y )sin(x －y )－cos(x +y )cos(x －y )的结果为( ) A ．sin 2x B ．cos 2x C ．－cos 2y D ．－cos 2x 解析 原式=－cos [(x +y )－(x －y )]=－cos 2y ,故选C ．答案 C 2．cos 295°cos20°－sin 115°cos 110°的值为( )A ．22B ．－22C ．32D ．－32解析原式=－cos 115°cos 20°+sin 115°sin 20°=cos 65°cos 20°+sin 65°sin 20°=cos(65°－20°)=cos 45°=22．答案 A 3．已知cos α=－1213,α∈),2(ππ,sin β=－35,β是第四象限角,则cos(β－α)的值是( )A ．－3365B ．－6365C ．－1665D ．6365解析 由条件可得sin α=513,cos β=45,则cos(β－α)=cos βcos α+sin αsin β=45×(－1213)+513(－35)=－6365．答案 B4．若cos(α－β)=13,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=________．解析 原式=2+2(sin αsin β+cos αcos β)=2+2cos(α－β)=83．答案 835．已知α,β均为锐角,且cos α=255,cos β=1010,则α－β=________．解析 由条件得sin α=55,sin β=31010．∴cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β=1010×255+55×31010=22,又α－β∈(－π2,π2),∴α－β=±π4,又因为cos α>cos β,所以α<β,则α－β=－π4．答案 －π46．已知a =(cos α,sin β),b =(cos β,sin α),0<β<α<π2,且a ·b =23,求α－β．解 ∵0<β<α<π2,∴0<α－β<π2．又a ·b =cos αcos β+sin αsin β=cos(α－β)=23,∴α－β=6π．7．已知cos α－cos β=12, sin α－sin β=－13,求cos(α－β)．解 由cos α－cos β=12两边平方得(cos α－cos β)2=cos 2α+cos 2β－2cos αcos β=14.① 由sin α－sin β=－13两边平方得(sin α－sin β)2=sin 2α+sin 2β－2sin αsin β=19.② ①+②得 2－2(cos αcos β+sin αsin β)=1336．∴cos αcos β+sin αsinβ=5972,∴cos(α－β)=5972． 8．若cos(α－β)=55,cos 2α=1010,并且α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为( )A ．5π6B ．3π4C ．π4D ．π6解析 由条件得sin(α－β)=－255,sin 2α=31010,则cos(α+β)=cos [2α－(α－β)]=cos 2αcos(α－β)+sin 2αsin(α－β)=1010×55+31010×(－255)=－22,又因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π4．答案 B 9．cos 165°等于( )A ．－6＋24B ．－6－24C ．12D ．32解析 cos 165°=cos(180°－15°)=－cos 15°=－cos(45°－30°)=－(cos 45°cos 30°+sin45°sin 30°)=－6＋24．答案 A 10．已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α－β)的值是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ②①2+②2⇒2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1⇒cos(α－β)=－12．答案 －1211．化简2cos 10°－sin 20°cos 20°=________.解析 原式=2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°=3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°=3．答案 312．已知向量a =(1,cos θ)与b =(sin θ,－2)垂直,其中θ∈)2,0(π．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)=35cos φ,0<φ<π2,求cos φ的值．解 (1)因为a ⊥b ,所以a ·b =sin θ－2cos θ=0,即sin θ=2cos θ．又因为sin 2θ+cos 2θ=1,所以4cos 2θ+cos 2θ=1,即cos 2θ=15,所以sin 2θ=45,又θ∈)2,0(π,所以sin θ=255,cos θ=55．(2)因为5cos(θ－φ)=5(cos θcos φ+sin θsin φ)=5cos φ+25sin φ=35cos φ,所以cos φ=sin φ,所以cos 2φ=sin 2φ=1－cos 2φ,即cos 2φ=12．因为0<φ<π2,所以cos φ=22．13．(选做题)已知：sin(α－2β)=22, cos(2α－β)=－22,且π4<α<π2,0<β<π4,求cos(α+β)．解 因为π4<α<π2,0<β<π4,所以π4<2α－β<π．因为cos(2α－β)=－22,所以π2<2α－β<π．所以sin(2α－β)=22．因为π4<α<π2,0<β<π4,所以－π4<α－2β<π2．因为sin(α－2β)=22,所以0<α－2β<π2,所以cos(α－2β)=22,所以cos(α+β)=cos [(2α－β)－(α－2β)]=cos(2α－β)cos(α－2β)+sin(2α－β)sin(α－2β)=－22×22+22×22=0．。
3.1.1 两角差的余弦公式
是否可以联系单位圆上的三角函
数线解决？
尝试探索：
作角：
∠P1Ox= α ，
∠POP1=β， 则∠POx = α -β.
y
P1
β
O
P
1x
找线:
cos(α -β)
O
M
cosαcosβ+sinαsinβ
cosα·OA+sinα·AP
OB
CP
AB⊥x轴 ∠PAB=∠P1Ox=α
CP⊥A
Hale Waihona Puke yA P1 βC P
O B M1 x
即:
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
思考：以上结果为α 、β、
α -β均为锐角，且α >β的情
况下得到的，此式是否对任意 角都成立呢？
y
P1
A
βC
OB
P
M 1x
探究2 对任意α 、β ，如何证明它的正确性？
议一议：结合向量的数量积的定义和向量的工具性， 看能否用向量的知识进行证明？
解：cos15 cos(45 30) cos45cos30 sin 45sin 30
2 3 21 6 2
2 2 22
4
变式: 求sin75°的值.
应用 2:已知两个单角函数值求差角的余弦.
例2
已知 sin α 4 ,α π ,π ,cos β 5 是,β 第三象限角，
5 2
第三章 三角恒等变换
3.1.1 两角差的余弦公式
探 究
1
如何用任意角α, β的正弦、余弦 值 来表示cos(α-β)呢？
思路 第一步：探求表示结果 指导
3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1两角差的余弦公式【知识导航】1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式及其应用.【知识梳理】两角差的余弦公式(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.(2)此公式简记作C(α-β).【做一做1】cos 17°等于()A.cos 20°cos 3°-sin 20°sin 3°B.cos 20°cos 3°+sin 20°sin 3°C.sin 20°sin 3°-cos 20°cos 3°D.cos 20°sin 20°+sin 3°cos 3°【做一做2】cos(30°-45°)等于()A.2B.3C.2+34 D.2+64解析:cos(30°-45°)=cos30°cos45°+sin30°sin45°=32×22+12×22=2+64.答案:D利用C(α-β)求特殊角的余弦值剖析:常见的特殊角有0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°,其中任意两个角的差的余弦值均能用C(α-β)求出.此外,30°-45°=45°-60°=120°-135°=135°-150°=-15°,45°-30°=60°-45°=135°-120°=150°-135°=15°,135°-60°=75°,60°-135°=-75°,135°-30°=150°-45°=105°,30°-135°=45°-150°=-105°.由此看来,±15°,±75°,±105°等角的余弦值也均能用C(α-β)求出.【典例分析】题型一化简求值问题【例1】求值:(1)sin 285°;(2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°).分析:解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦公式的形式求解.解:(1)sin285°=sin(270°+15°)=-cos15°=-cos(60°-45°)=-(cos60°cos45°+sin60°sin45°)=−6+2.(2)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin100°sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60°=−1.反思解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路:(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,应先利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,再逆用公式求值.【变式训练1】12cos 15°+32sin 15°的值是()A.2B.−2C.6D.−6解析:1cos15°+3sin15°=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=2.答案:A题型二给值(式)求值问题【例2】已知sin α=13,α∈0,π2,cos β=27,β是第四象限角,求cos(α−β)的值.分析:分别求得cosα,sinβ的值,利用C(α-β)求得.解:∵sinα=13,α∈0,π2,∴cosα=1-sin2α=22.∵cosβ=27,β是第四象限角,∴sinβ=−1-cos2β=−357.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=22×2+1×-35=42-35.反思已知sinα(或cosα),cosβ(或sinβ),求cos(α-β)的步骤:(1)利用同角三角函数的基本关系式,求得cosα(或sinα),sinβ(或cosβ)的值;(2)代入两角差的余弦公式得cos(α-β)的值.【变式训练2】已知sin α=14,α为锐角,则cos α-π3=.解析:∵sinα=1,α为锐角,∴cosα=15,∴co s α-π=cosαco sπ+sinαsi nπ=154×12+14×32=158+38=15+38.答案:15+38题型三应用角的变换求值【例3】已知si n α+π4=45,且π4<α<3π4,求cos α的值.分析:先根据si n α+π=4求出co s α+π的值,再根据α= α+π−π构造两角差的余弦,求出cosα的值.解:∵si n α+π=4,且π<α<3π,∴π2<α+π4<π.∴co s α+π4=−1-452=−35.∴cosα=cos α+π-π=co s α+πcosπ+sin α+πsinπ=−35×22+45×22=210.【变式训练3】(1)若sin α-sin β=3,cos α−cos β=1,则cos(α−β)的值为() A.1B.3C.3D.1(2)已知α,β为锐角,cos(α+β)=1213,cos(2α+β)=35,求cos α的值.(1)解析:两式两边平方后相加得sin2α-2sinαsinβ+sin2β+cos2α-2cosαcosβ+cos2β=1,即2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1, ∴cos(α-β)=1.答案:A(2)解:∵α,β为锐角,∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1213>0,∴0<α+β<π,∴0<2α+β<π.又∵cos(2α+β)=3,∴0<2α+β<π,∴sin(α+β)=5,sin(2α+β)=4,∴cosα=cos[(2α+β)-(α+β)]=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)=3×12+4×5=56.题型四易错辨析易错点记错公式中的正负号致错【例4】co sπ12=.错解:co sπ12=cosπ4-π6=co sπcosπ−sinπsinπ=6-2.错因分析:错解的原因是记错了公式,错记为cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.正解:co sπ12=cosπ4-π6=cosπ4cosπ6+sinπ4sinπ6=6+24.答案:6+24反思在两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ中,要注意它的结构特点,等式右边是余弦之积与正弦之积的和,应用时应特别注意.。
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（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定
该角的三角函数值符号.
3.在差角的余弦公式中， ， 既可以是单角，也可以 是复角，运用时要注意角的变换， 如 ） ， ） 等. （ （
3 3
同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆 向和变式形式的选择.
解：(1)原式 cos(53 23 ) cos 30 3 . 2
(2)原式 cos80 cos35 sin 80 sin 35 2 cos(80 35) cos 45 . 2
计算： (1)cos23°cos113°+sin23°sin113°
cos cos ( )
cos( ) cos sin( )sin 3 1 4 3 3 4 3 . 5 2 5 2 10
1.两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
例1 利用差角余弦公式求cos15的值.
解法1 cos 15 cos （45 -30） = cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3 2 1 2 2 2 2 6 2 . 4
15还有其它的拆法吗？
解法2 cos 15 cos （60 -45） = cos 60 cos 45 sin 60 sin 45
4 2 , 2 9 3 3 4 故cosx+cosy的取值范围是 [- 4 2 ， 2 ]. 3 3
cos( ) cos cos sin sin . 4 解：由sin , ( , ), 5 2 3 得cos =- 1 sin 2 ; 5 5 又由 cos , 是第三象限角，得 13 12 sin 1 cos 2 . 13 cos( ) cos cos sin sin 3 5 4 12 ( ) ( ) ） （ 5 13 5 13 33 . 65
3 3 cos( ) cos sin( ) sin 3 3 3 3 12 1 5 3 12 5 3 . 13 2 13 2 26
1 3 3已知 cos = ， )=- ， , , cos( 0 2 5 2 求 cos .
3.1.1 两角差的余弦公式
复习回顾 1.2.2 同角三角函数的基本关系
sin cos 1
2 2
基本变形
sin 1 cos , 2 2 cos 1 sin , 2 (sinα+ cosα) = 1 + 2sinαcosα, 2 (sinα- cosα) = 1 - 2sinαcosα，
(2)cos(β-15°)cos(β+15°)+sin(β-15°)sin(β+15°) 【解析】(1)原式=cos(23°-113°)
=cos(-90°)
=0
（2）原式=cos［(β-15°)-(β+15°)］
=cos(-30°)=cos30°=
3 2
1．cos45°·cos15°+sin45°·sin15°等于(
【例】已知sinx+siny= 2 , 求cosx+cosy的取值范围.
3
【审题指导】由题目可知sinx+siny=
2 , 欲求cosx+cosy 3
的取值范围.可从条件与结论入手分析其特点，设法与三角 公式联系起来，利用三角函数的有界性即可解决.
【规范解答】设cosx+cosy=t，两边平方得
O
A
P1 P x
C
B M
y 法二（向量法）
OA cos ,sin ， OB cos ,sin ， OA OB OA OB cos( )
A
在单位圆中
α
B
β
1 x
o
-1
cos( ).
1 2 3 2 2 2 2 2 2 6 . 4
完成本题后，你会求 sin 75 的值吗？
sin 75 cos15 2 6 . 4
4 5 例2 已知sin , ( , ), cos , 5 2 13
是第三象限角，求 cos( )的值.
2
3
(C) α= π ,β= π
6
(D) α= π ,β= π
3
4
【解析】选B.由条件cosαcosβ=
3 -sinαsinβ得 2 3 π ,α= , 2 2
cosαcosβ+sinαsinβ= 3 ， 满足条件. 3
4.化简：
sin(α -β )sinα +cos(α -β )cosα =__________________. 【解析】原式=cos［(α-β)-α］=cos(-β)=cos β 答案:cosβ
2 2
3 例1.已知 sin ，且 是第三象限角， 5
cos , tan 的值。 2 2 解：因为 sin cos 1 ，所以
求
2 2
3 16 cos 1 sin 1 5 25
因为
2
4 sin 3 cos , tan 5 cos 4
第三象限角，所以
例2:已知 sin 5 ， 求cosθ 的值.
13
例2:已知 sin 5 ， 求cosθ 的值.
13
【规范解答】∵ sin 5 0， ∴θ是第一或第二象限角.
13
当θ为第一象限角时，
5 12 cos 1 sin 2 1 ） ， （ 2 13 13 5 sin 13 5 tan . cos 12 12 13
cos(
2
3
) cos cos
3
sin sin
3
3 1 4 3 34 3 ( ) . 5 2 5 2 10
12 2.已知 cos( ) , 为锐角，求 cos . 3 13 5
解： （0， ）， ( , ). 2 3 3 6 12 5 cos( ) ， sin( ) . 3 13 3 13 cos cos[( ) ]
成立吗?
令 60 , 30 , 显然cos(60 30 ) cos 60 cos30.
怎样求 cos( ) ？
法一（三角函数线） 如图，设角 ，为锐角，且 ， y 作PM x轴，PA OP，
1
cos( ) OM OB BM OA cos AP sin cos cos sin sin .
(A) 1 2 (B) 3 2 (C) 3 3 (D) 3
)
【解析】选B.cos45°·cos15°+sin45°·sin15° =cos(45°-15°)=cos30°=
3 . 2
2.下列式子中，正确的个数为(
)
（1）cos(α -β )=cos α -cos β ; （2）cos( π -α )=-sin α ;
提示：拆角思想:cos cos ( ) .
1 3 解： 由 cos = ， , 得 sin 0 , 2 2 2
3 由 cos( )=- ， , 0 5 4 得sin( + )= . 5
利用差角公式
求值时，常常进行 角的分拆与组合. 即公式的变用.
例2:已知 sin 5 ， 求cosθ 的值.
13
【规范解答】∵ sin 5 0， ∴θ是第一或第二象限角.
13
当θ为第一象限角时，
5 12 cos 1 sin 2 1 ） ， （ 2 13 13 5 sin 13 5 tan . cos 12 12 13
2
（3）cos(α -β )=cosα cosβ -sinα sinβ (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
【解析】选A.直接套用两角差的余弦公式.
3.满足cosα cosβ =
3 -sinα sinβ 的一组α ,β 的值是 2
(
(A) α= 13 π，β= 3π
12 2 4
)
(B) α= π ,β= π
公式的逆用:
cos cos sin sin cos( ).
cos( ) cos cos sin sin .
2.求值：（1） cos53 cos 23 sin 53 sin 23；
（2） cos80 cos 35 cos10 cos 55.
当θ为第二象限角时， 1 sin 2 12， cos
5 sin 5 tan 13 . cos 12 12 13
13
cos15 ° =cos(45 ° -30 °) =cos45 ° -cos30 ° 成立吗?
若 ， 为两个任意角, 则 cos( ) cos cos
1 例3：已知cos( a + b )cosb + sin(a + b )sin b = , 3
且
3 ,2 2
, 求 cos(
4
)
的值.
1 1 例4：已知 cos cos 2 , sin sin 3 , 求cos( )
3 3 1.已知cos = ， ，2 ，求cos( ). 5 3 2