2-3 Taylor定理
Taylor定理
第二章 一元微分学第三节 Taylor 公式及应用有关知识： （1）Taylor 定理:(I)设)(x f 在0x 的某邻域)(0x U 内有直至1+n 阶的导数,则对)(0x U x ∈∀,有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 其中 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ1000)1()()!1()]([++-+-+=n n x x n x x x f θ,ξθ,10<<介于0x 与x 之间．（II ）设)(x f 在0x 的某邻域)(0x U 内有直至1-n 阶的导数,且)(0)(x fn 存在,则])[()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-''+-'+= （2）记住几个简单函数x x x x a e x x cos ,sin ,)1(),1ln(,,α++的Maclaurin 公式．一般而言，其他函数的Taylor 公式可利用这几个简单函数的Maclaurin 公式再结合某些运算得到．（3）Taylor 定理的应用很广,技巧性强．用Taylor 定理解决问题时,要掌握几个关键点（I ）选择什么余项，（II ）在哪点展开，展开哪点的函数值．（III ）用一个展式，还是多个（主要是二个）展式,多个展式如何复合使用．例1：求)1ln()(x e x f x+=的4阶带皮亚诺余项的Maclaurin 公式。
解： )1ln()(x e x f x+=))(413121))((61211(432332x o x x x x x o x x x +-+-++++= )()61413141()212131()121(4432x o x x x x ++-+-++-++-+=)(3121432x o x x x +++=例２：求xe e xx f -=11)(的3阶带皮亚诺余项的Maclaurin 公式。
泰勒公式详解(Taylor formula)【一元分析学经典讲义】
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn( x) ( x x0 )n1
Rn ( x) Rn( x0 ) ( x x0 )n1 0
Rn (1 ) (n 1)(1 x0 )n
(1在x0与x之间)
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两函数Rn ( x)及(n 1)( x x0 )n 在以 x0及 1 为端点
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0
)
1 2
f ( )( x
x0 )2
令 x 0, x 1,则有
f (0)
f ( x0 )
f
(
x0
) x0
1 2
f (1 ) x02
(1)
f (1)
f ( x0 )
f ( x0 )(1
x0
)
1 2
f (2 )(1
x0 )2
(2)
1 2
由 x0 的任意性,可知命题成立.
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五、小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y x
y sin x
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2.Taylor 公式的数学思想---局部逼近.
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思考题
利用泰勒公式求极限
e x sin x x(1 x)
lim
x0
x3
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思 e x 1 x x2 x3 o( x3 )
1 的n x
阶泰勒公式
.
二、求函数 f ( x) xe x 的n 阶麦格劳林公式 .
20.Taylor级数展开定理
f ( n) (0) ( 1)( n 1),
于是
(1 z )
1z
( 1)
2!
z
2
( 1)( 1)( n 1)
n!
z 1 .
例2
求幂函数 (1 z ) (为复数)的主值
f ( z ) e ln(1 z ) , f (0) 1
在z=0点的Taylor展开式.
) 在复平面中割去从点 解 运行下面的 语句. -1沿负 显然, f ( zMATLAB
>> syms z a; 实轴向左的射线的区域内解析 . 因此在 z 1 内, y >> f=(1+z)^a; f ( z ) 可展开为 z的幂级数.
R1 >> taylor(f,z,4) 根据复合函数求导法则, x ans = 1 o 1 按照直接方法展开如下: 1+a*z+1/2*a*(a-1)*z^2+1/6*a*(a-1)*(a-2)*z^3
f ( z ) e
ln(1 z )
1 e ( 1)ln(1 z ) , 1 z
f ( z ) ( 1)e( 2)ln(1 z ) ,
f ( n) ( z ) ( 1)( n 1)e( n)ln(1 z ) ,
令z=0, 有
f (0) 1, f (0) , f (0) ( 1), ,
D
n 0, 1, 2, .
系数cn按上述表示的幂级数称为
f ( z ) 在 z0 点的Taylor级数.
z f ( z ) e 在 z 0的Taylor展开式. 例1 求
第三节、泰勒公式
一、泰勒（Taylor）定理
定理1(Taylor中值定理)
设函数f ( x)在x0处n阶可导,则
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2！
)
(x
x0 )2
f
n( x0 n！
)
(x
x0 )n
o(( x
x0
)n )
f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
...
f (2m1) (0) x 2m1 (2m 1)!
f (2m) (0) x 2m (2m)!
R2m ( x).
sin x
x
x3 3!
x5！5 (1)m1
(2xm2m11)！
f (2) 3(2)2 4(2) 3 23. f (2) 6(2) 4 12 4 16.
f (2) 6. f (4) ( ) 0.
f ( x) 26 23( x 2) 8( x 2)2 ( x 2)3
x2 x x x 2 ln 2 o( x 2 )( x 0).
例3、设f ( x)在[a, b]上满足f ( x) 0, 证明:
对任意的x1 , x2 [a, b], 都有
证明
f
(
1 3
x1
2 3
x2 )
1 3
f ( x1 )
2 3
f ( x2 ).
令
:
x0
泰勒展开定理的内容
泰勒展开定理的内容泰勒展开定理（Taylor Series Theorem）是一类由英国数学家泰勒于1797年研究发明的函数展开定理。
它把一类可展开的复杂函数通过不断地展开若干次，用更加简单的函数近似表示出来，其代表展开式也被成为泰勒级数展开式。
泰勒展开定理的基本内容是：任意在某一闭区间[a,b]内可连续展开的函数f(x)，可用其在某一点x=x0近似的泰勒级数展开式，来表示它在该闭区间所有点的值。
由此可知，泰勒级数展开式是一种形式比较复杂的函数近似展开系数表示法，通过高次（指定次数）的展开矩阵，将不可分拆解的函数表示成可以计算机求解的一系列多项式形式组合。
一般来说，泰勒级数展开式可以把一个函数看成是多项式函数的一个近似，用它表示某一函数f(x)，可用形式：f(x)=a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 +…+ a_n(x-x_0)^n+…式中x=x_0是近似点，a_i（i=0,1,2,3…）是系数，n为次数，满足微元积分解：a_n=1/n! * (f^(n))(x_0)其中(f^(n))(x_0)表示函数f(x)的n次导数在点x_0的值。
若在区间（a,b）上对函数f(x)展开，即x_0在区间（a,b）上，将在此区间内的任意可展开的函数投影到一条n次多项式上，此时将分别用适当的系数替代a_i中的系数，则可得到此区间特定的多项式表示。
这一定理有一定的几何意义，即是椭圆函数的展开式。
因为椭圆函数也是连续可导的函数，这意味着它可以经过泰勒级数展开来表示它的曲线，即：当x_1在[a,b]区间内任取一点时，函数f(x)展开后的多项式就是椭圆的曲线，那么在x_1点处，曲线就是最接近函数f(x)的。
总之，泰勒展开定理是将复杂函数通过多项式拆分为一系列多项式函数，可以在一定范围内准确地近似表示可展开函数f(x)，具有重要的应用价值。
高等数学：第三节 泰勒公式
n
f (x)
k0
f (k)(0) xk k!
f (n1) ( ) xn1
n1 ! o( xn )
f ( x)的按幂xn展开的带PLeaagnroa余ng项e余项的Maclaurin公式
15
三、常见函数的Taylor ( Maclaurin )公式
例 1 求 f ( x) e x的 n 阶麦克劳林公式.
回顾 微分应用中用dy近似代替y，即
y dy f '( x0 )x，
或
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )，
例如, 当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
2
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) p1( x),
n阶泰勒(Taylor)多项式.
至此，问题（1）已解决. 问题（2）（3）可由 下面定理得到解决.
7
二、泰勒（Taylor）中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含
有 x0 的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1)阶的导 数,则对任一 x (a, b),
f (x)
f ( x0 )
n k0
f
(k ) ( x0 k!
)
(x
x0 )k
.
6
当f ( x)在x0处有直到n阶的导数时，用f (k)( x0 )构造出
pn( x)的系数ak
f (k) ( x0 ) , 从而得 k!
n
pn ( x) ak ( x x0 )k ,
k0
这个多项式在x0点与f ( x)具有相同的函数值及相同 直至n阶的导数值，该多项式称为函数f ( x)在x0处的
taylor 公式 几何解释
Taylor公式是数学分析中的重要定理，它为我们提供了一种用多项式逼近函数的方法。
通过Taylor公式，我们可以将一个光滑函数在某一点附近用无限次可微函数的幂级数表示出来。
这一定理的证明和推导非常复杂，但是它的几何解释却可以让我们更直观地理解它的意义和应用。
1. Taylor公式的基本形式在介绍Taylor公式的几何解释之前，我们先来回顾一下它的基本形式。
对于一个无限次可微的函数f(x)，在点x=a处的Taylor展开式如下所示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，依此类推。
这个级数可以无限展开下去，将函数f(x)表示为以a为中心的幂级数。
2. 几何解释Taylor公式的几何解释可以通过以a为中心的Taylor多项式来进行解释。
在点x=a处，多项式f(a)+f'(a)(x-a)实际上是函数f(x)在该点处的一阶切线的近似。
也就是说，通过f(a)和f'(a)可以构造出一个线性函数，它与函数f(x)在点x=a附近的曲线具有相似的斜率和截距性质。
这就是Taylor多项式的几何意义之一，它可以在某一点上近似地描述出函数的局部行为。
3. 高阶近似随着Taylor多项式阶数的增加，我们可以得到更高阶的近似多项式。
当我们将Taylor多项式展开到二阶时，就可以得到一个二次多项式f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2，它比一阶多项式在点x=a处对函数f(x)的近似要更精确。
同样地，当我们展开到三阶、四阶乃至更高阶时，我们获得的多项式都能够更准确地描述函数在该点处的局部性质。
泰勒公式简介
泰勒公式（Taylor's Theorem）是微积分中一个重要的定理，它描述了一个函数在某一点附近的局部近似。
泰勒公式的一般形式如下：
如果函数f(x)f(x)在x=ax=a处具有nn阶导数，那么在该点附近的泰勒展开式为：
其中：
f(a)f(a) 是函数在点x=ax=a处的函数值。
f'(a)f′(a) 是函数在点x=a处的一阶导数。
f''(a)f′′(a) 是函数在点x=a处的二阶导数。
f'''(a)f′′′(a) 是函数在点x=a处的三阶导数。
f(n)(a)f (n)(a) 是函数在点x=a处的第n阶导数。
这个展开式允许我们将一个复杂的函数在某一点近似为一个多项式，这在数学分析、工程、物理学和计算机科学等领域中有广泛的应用。
特别是在数值计算中，泰勒公式可以用来构建数值逼近方法，以便在计算机上近似复杂函数的值。
泰勒的定理
泰勒的定理泰勒定理（Taylor's theorem）是微积分中的重要定理之一，它以英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）命名。
泰勒定理在微积分中具有广泛的应用，能够帮助我们理解和近似复杂的函数关系。
泰勒定理的核心思想是将一个函数在某个点展开为一个无限级数，这个级数被称为泰勒级数。
泰勒级数的每一项都与函数在给定点的各阶导数有关，这使得我们能够通过一定的近似，以更简单的方式来描述函数的特性。
泰勒定理的最基本形式是一阶泰勒展开，它表达了函数在某点的值与该点的导数之间的关系。
一阶泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)在此展开中，f(x)是函数在点x的值，f(a)是函数在点a的值，f'(a)是函数在点a的导数。
这个展开式的意义在于，通过给定的点和导数，我们可以近似计算函数在其他点的值。
除了一阶展开外，泰勒定理还可以推广到更高阶的展开。
在一般形式的泰勒展开中，我们可以通过一系列的导数来近似计算函数在某点的值。
泰勒展开的一般形式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + fⁿ⁺¹(a)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!在这个展开中，fⁿ⁺¹(a)表示函数在点a的(n+1)阶导数。
展开的每一项都带有一个(x-a)的幂次，并且除以这一项对应的阶乘。
通过逐项相加，我们可以得到函数在给定点附近的近似值。
泰勒定理的应用非常广泛，特别是在数学物理和工程领域。
它可以用来近似计算复杂函数的值和性质，进而解决实际问题。
例如，在天文学中，泰勒定理可以用来预测行星的运动轨迹；在工程领域，泰勒定理可以用来设计电路和控制系统。
然而，泰勒定理也有其局限性。
它要求函数在展开的点附近具有足够的连续性和可导性。
当函数在某些点上不连续，或者存在奇点时，泰勒展开的逼近效果就会变差。
泰勒中值定理泰勒公式定理1皮亚诺...
第二讲 一元函数微分学考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径（数三不要求）．§2.1 导数与微分一、内容概要 1.导数与微分的概念 （1）导数的定义定义 ()0f x '=()()0000limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆()()000l i mx x f x f x x x →-=-． )()())((lim)(')(x x f x x f x f x ααα0000-+=→，其中00=→)(lim x x x α．左导数：()()()()()000000lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x ---→∆→-+∆-'==-∆； 右导数：()()()()()0000000lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++→∆→-+∆-'==-∆． 函数在0x 处导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数等于右导数．注：当讨论函数在一个点是否可导时候，必须严格按照定义来判断，有必要时候，也要分别从左、右两个方向来考虑，只有当左导数、右导数都要存在且相等时，才能保证函数在此点可导．这是考研经常出现的题型，考生必须要熟练掌握．例1（*）（2001年数学1）设0)0(=f ，则)(x f 在点0=x 可导的充要条件为（ ）（A ）20)cos 1(lim h h f h -→存在． (B)he f h h )1(lim 0-→存在．（C ）sinh)(1lim 20-→h f h h 存在． （D ）hh f h f h )()2(lim0-→存在．例2（*）设函数)(x f 在a x =处可导，则函数)(x f 在a x =处不可导的充分条件是( ) （A ）0)(=a f 且0)('=a f (B)0)(=a f 且0)('≠a f （C ）0)(>a f 且0)('>a f （D ）0)(<a f 且0)('<a f（2）微分的定义定义 设函数()y f x =在点0x 处有增量x ∆时，若相应函数的增量可表示为()()00y f x x f x ∆=+∆-=()A x o x ∆+∆ ，其中A 与x ∆无关，()o x ∆是0x ∆→时比x ∆高阶的无穷小，则称()f x 在0x 处可微，并称y ∆中的线性主部A x ∆为()f x 在点0x 处的微分，即0|x x dy ==A x ∆．（3）导数与微分的几何意义、物理意义以及经济意义几何上()0f x '表示曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线的斜率． 切线方程：()()()000y f x f x x x '-=-； 法线方程：()()()()()000010y f x x x f x f x '-=--≠', ． 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()S f t =，如果()0f t '存在，则()0f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度，()0f t ''表示物体在时刻0t 时的瞬时加速度．导数的经济意义：边际问题．例3 设()f x 在点0x 处可导，且()00f x '≠，则当0x ∆→时，()f x 在点0x 处的微分与增量的差()dy y -∆是 （A ）比x ∆，y ∆都低阶的无穷小． （B ）比x ∆，y ∆都高阶的无穷小． （C ）比x ∆阶的低无穷小，比y ∆高阶的无穷小． （D ）比x ∆高阶的无穷小，比y ∆低阶的无穷小．2.高阶导数的概念如果函数()y f x =的导数()y f x ''=在点0x 处仍可导，则把()y f x ''=在点0x 处的导数称为()y f x =在点0x 处的二阶导数，记为0x x y =''或()0f x ''或22x x d y dx =等，也称()f x 在点0x 处二阶可导，即()()()0000l i mx x f x f x f x x x →''-''=-．类似地，如果()f x 的()1n -阶导数仍可导，则称其导数为()f x 的n 阶导数，记为()()()n n n n d y y fx dx ，，等，即()()()(1)(1)()0lim.n n n h f x h f x f x h--→+-= 3. 导数与微分计算 （1）导数与微分基本公式()0c '= ()0d c =()()1aa x axa -'= 实常数 ()1a a dx ax dx a -= 实常数()sin cos x x '=s i n c o s d x xd x = ()cos sin x x '=-cos sin d x xdx =-()2tan sec x x '= 2t a n s e c d x d x= ()2cot csc x x '=-2c o t c s cd x x d x=- ()sec sec tan x x x '= s e c s e c t a n d x x x d x=()csc csc cot x x x '=- csc csc cot d x x xdx =- ()()1log 01ln a x a a x a '=>≠ ， ()log 01ln a dx d x a a x a =>≠ ， ()1ln x x '= 1ln d x dx x=()()ln 01xxa aa a a '=>≠ ，()l n 01xxda a adx a a =>≠ ，()xxe e'=x x de e dx =()arcsin x '=a r c s i n d x d x=()arccos x '=a r c c o s d x d x= ()21arctan 1x x '=+ 21a r c t a n 1d x d x x=+ ()21arc cot 1x x '=-+ 21a r c c o t 1d x d x x =-+(ln x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(ln d x +=(ln x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(ln d x +=（2）导数和微分的运算法则四则运算微分法则()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦ ()()()()d f x g x d f x d gx±=±⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+⎡⎤⎣⎦()()()()()()d f x g x g x d f x f x dg x=+⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()()2f x f xg x f x g x g x g x '⎡⎤''-=⎢⎥⎣⎦ ()()()()()()()()()20f x g x d f x f x d g x d g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 复合函数求导和微分法则设()()y f u u x ϕ==，，如果()x ϕ在x 处可导，()f u 在对应点u 处可导，则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在x 处可导，且有()()dy dy duf x x dx du dxϕϕ''==⎡⎤⎣⎦； ()()()dy f u du f x x dx ϕϕ'''==⎡⎤⎣⎦．由于公式()dy f u du '=不管u 是自变量或中间变量都成立，因此称之为一阶微分形式不变性．反函数求导法则：若函数)(y x ϕ=在区间y I 内单调可导，且导数0≠)('y ϕ，则它的反函数在对应区间x I 内可导，且有.)(')('dydxy dx dy x f 11===ϕ 二阶导数：（3）各类函数导数（微分）求法初等函数的求导方法：直接利用导数（微分）公式以及相应的求导（微分）法则．参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩确定的函数()y y x =的一阶导数和二阶导数 方法：.)(',)(')('0≠==t t t dtdx dt dydx dy ϕϕψ二阶导数：例4（2013年数学1）设⎩⎨⎧+==t t t y t x cos sin sin t 为参数，则==422|πt dx yd ．方程()0,=y x F 确定的隐函数()x y y =的一阶导数和二阶导数方法：①求导法：方程两边同时对x 求导，注意遇到关于y 的函数时，要认为是关于x 的复合函数，得到有关'y 的方程，解出'y ；如果需要求二阶导数，在等式两边再同时对x 求导，解出"y ．②微分法：利用一阶微分形式不变性两边同时求微分，解出dxdy y ='； ③直接利用公式：.),(,),(),(0≠-=y x F y x F y x F dx dy y y x例5（2013年数学1）设函数)(x f y =由方程)1(y x ex y -=-确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→11lim n f n n ．分段函数 方法：讨论分段函数在分界点处是否可导时必须用定义，其它可导点的导数可用导数公式及求导法则．幂指函数 ()()(),0g x y f x f x =>：只需要变换形式()()ln ()(),()0.g x g x f x y f x e f x ==>变限积分函数 ()()xax f t d tΦ=⎰当)(x f 在区间],[b a 上连续时，()()xax f t dt Φ=⎰是可导的，且)()('x f x =Φ；若)(x ϕ是可导的函数，则)(')((')()(x x f dt t f x aϕϕϕ=⎪⎭⎫⎝⎛⎰．)(')]([)(')]([')()()(x x f x x f dt t f x x ααβββα-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ （4）高阶导数求法求n 阶导数的一般表达式的方法：先求出y y y ''',",'，找出规律，得用数学归纳法证明． 常用的初等函数的n 阶导数公式如下． （1）x y e = ()n x y e = （2）sin y x = )2sin()(πn x y n +=； c o s y x = )2cos()(πn x y n += （3）b ax y +=1，111++-=n n n n b ax a n y )(!)()( （4）ln y x =nn n x n y 1)!1()1(1)(--=-两个函数乘积的n 阶导数莱布尼兹公式：若)(),(x v v x u u ==都在x 处具有n 阶导数，则∑=-=nk k n k k n n v u c uv 0)()()()(． 例6 已知x e x y 22=，求.)(20y二、重要公式与结论1. 导数定义与极限相联系的结论（1）设()f x 在0x 处连续，则0()limx x f x a x x →=-⇔0()0f x =，0()f x a '=； 例7（2007年数学1）设函数)(x f 在0=x 处连续，下列命题错误的是（A ） 若x x f x )(lim0→存在，则0)0(=f ； （B ）若xx f x f x )()(lim -+→0存在，则0)0(=f ；（C ） 若x x f x )(lim 0→存在，则)('0f 存在； （D ）若xx f x f x )()(lim 0--→存在，则)('0f 存在．2. 可导、可微、连续及极限间的关系函数)(x f y =在0x x =处可导⇔可微⇒连续⇔00lim ()()x x f x f x →=．3. 奇偶函数、周期函数的导数结论（1）奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数．. （2）设()f x 为偶函数，且(0)f '存在，则(0)0f '=．（3）周期函数的导数仍为同周期的函数，且00()()f x kT f x ''+=，其中T 为()f x 的周期，k 为整数． 三、典型题型与方法1. 有关导数或微分的基本概念题方法：利用导数的定义，微分的定义．例8 设()f x 可导，且曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线2y x =-垂直，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的微分dy 是x ∆的（A ）高阶无穷小． （B ）低阶无穷小．（C ）等价无穷小． （D ）同阶但不等价的无穷小．例9 设()f x 二阶可导，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若x ∆＞0，则必有（A ）0＜dy ＜y ∆． （B ）0＜y ∆＜dy ． （C ）y ∆＜dy ＜0． （D ）dy ＜y ∆＜0．例10 （*）设()f x =()cos ,0,0g x xx xa x -⎧≠⎪⎨⎪=⎩，其中()g x 具有二阶连续导数，且(0) 1.g = （1）确定a 的值，使()f x 在0x =处连续；（2）求()f x '； （3）讨论()f x '在点0x =的连续性．2. 导数的几何应用问题例11（*）已知)(x f 是周期为5的连续函数，它在0=x 的某邻域内满足关系式)()sin ()sin (x x x f x f α+=--+8131，其中)(x α是当0→x 时比x 高阶的无穷小，且)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点6=x 处的切线方程．例12 设()y y x =由参数方程2arctan 25tx ty ty e =⎧⎨-+=⎩确定，则曲线()y y x =在相应于0t =处的切线方程为 ．例13 （*）(2014年数学2）曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．3. 导数与微分的计算问题例14 设(1sin )x y x =+，则x dy π== ．例15 设y =1()1x f x -+，()f x '=2arctan x ，求'(0)y ．例16 设()y y x =由参数方程22sin ,cos 0u x t t y ue u du⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰，求22,dy d y dx dx ．例17 设ln xy e x =+，求22,(0)dx d xx dy dy>．§2.2 微分中值定理一、内容概要 1．费马定理若函数()f x 满足：（1）函数在0x 的某邻域内有定义，且在该邻域内恒有)()(0x f x f ≤或)()(0x f x f ≥；（2）)(x f 在0x x =处可导，则00=)('x f ．2. 罗尔定理设函数()f x 满足（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =， 则至少存在一点()a b ξ∈，，使得()0f ξ'=．推论1 若()f x 在[,]a b 上的最值在开区间内某点0x 处取得，且0()f x '存在，则()00.f x '= 3. 拉格朗日中值定理设函数()f x 满足：（1）在闭区间[]a b ，上连续；（2）在开区间()a b ，内可导，则至少存在一点()a b ξ∈，，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．如果取x 与x x ∆+为[,]a b 上任意两个不同的点，则在以x ，x x ∆+为端点的区间上得x x x f x f x f x x f ∆∆∆∆)(')(')()(θξ+==-+ )(10<<θ推论2 若()f x 在()a b ，内可导，且()0f x '≡，则()f x 在()a b ，内为常数．推论3 若()()f x g x ，在()a b ，内都可导，且()()f x g x ''≡，则在()a b ，内，()()f x g x c =+，其中c 为任意常数．4. 柯西中值定理设函数()f x 和()g x 满足：（1）在闭区间[]a b ，上皆连续；（2）在开区间()a b ，内皆可导且()0g x '≠，则至少存在一点()a b ξ∈，，使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-.5. 泰勒中值定理（泰勒公式）定理1 （皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）设()f x 在0x 的某邻域()0U x δ内具有1n +阶导数，则对()0x U x δ∀∈，有()()()()()()()()()()200000002!!nnn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中()()()00nn R x o x x x x ⎡⎤=-→⎣⎦称为皮亚诺型余项．定理2 （拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）设()f x 在包含0x 的区间()a b ，内具有1n +阶导数，则对[]x a b ∀∈，，有()()()()()()()()()()200000002!!nnn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ ，其中()()()()()1101!n n n f R x x x n ξ++=-+（ξ在0x 与x 之间）称为拉格朗日余项．特别地，当00x =时，称为n 阶麦克劳林公式，即()()()()()()()200002!!nnn f f f x f f x x x R x n '''=+++++ ，其中()()n n R x o x =或()()()()111!n n n f R x x n ξ++=+．6．常用的麦克劳林公式2e 1()2!!n xn x x x o x n =+++++ ． 352121sin (1)()3!5!(21)!n nn x x x x x o x n ++=-+-+-++ ．2422cos 1(1)()2!4!(2)!n n n x x x x o x n =-+-+-+ ． 2(1)(1)(1)(1)1()2!!m nn m m m m m n x mx x x o x n ---++=+++++ ． 2311(1)()1n n n x x x x o x x =-+-++-++ 211()1n n x x x o x x=+++++- ． 2311ln(1)(1)()231n n n x x x x x o x n +++=-+-+-++ ． 2311ln(1)()231n n x x x x x o x n ++-=-----++ ．二、典型题型与方法在考虑微分中值定理选择时，一般来讲题设中：（1）仅涉及到一个函数)(x f ，且可以找到)()(b f a f =，一般用罗尔中值定理；（2）仅涉及到一个函数)(x f ，但无法找到)()(b f a f =条件，一般用拉格朗日中值定理； （3）涉及到两个函数)(),(x g x f ，一般可考虑用柯西中值定理； （4）有些问题要用两次或者两个中值定理，甚至要分区间去考虑； （5）涉及二阶及以上导数的问题，可以考虑用泰勒公式展开去做． 利用罗尔定理证明中值问题常用到辅助函数法，常用辅助函数构造法： （1）不定积分求原函数法；（2）求解微分方程得到原函数法．例18（*） （2002年数学3） 设)(x f 在],[10上连续，在(0,1)内可导，且满足110(1)()(1)x k f k xe f x dx k -=>⎰．求证至少存在一点(0,1)ξ∈，使得1()(1)()f f ξξξ-'=-．例19 （*）设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)21(,0)0(===f f f ．证明： （1）存在)1,21(∈η，使得ηη=)(f ；（2）对任意的),(+∞-∞∈k ，存在),0(ηξ∈，使得1])([)(=--'ξξξf k f ．例20 （*）设函数)(x f 在区间[]1,0上连续，在开区间()1,0内可导，且0)0(=f ，31)1(=f ，证明：在区间)1,0(存在两个不同的点ηξ,，使得22)(')('ηξηξ+=+f f ．例21 （*）（2007年数学1）设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明:存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.例22（*）（2013年数学1、2、3） 设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： （1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．例23（*）设函数)(x f 在[b a ,]上连续，在(b a ,)内可导，且1)()(==b f a f ．试证存在,(,)a b ξη∈，使[()()] 1.e f f ηξηη-'+=例24（*）设函数)(x f 在[1,1]-具有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,(0)0,f f f '-===求证存在(1,1)ξ∈-，使() 3.f ξ'''=例25（*）（2002年数学1）设函数)(x f 在),(+∞0上有界且可导，则（A ）当0=+∞→)(lim x f x 时，必有0=+∞→)('lim x f x ．（B ）当)('lim x f x +∞→存在时，必有0=+∞→)('lim x f x ．（C ）当00=+→)(lim x f x 时，必有00=+→)('lim x f x ．（D ）当)('lim x f x +→0存在时，必有00=+→)('lim x f x ．例26（*） （2007年数学1）设函数)(x f 在（0，+∞）上具有二阶的导数，且0>'')(x f 令),)(( 21==n n f u n ，则下列结论正确的是(A) 若,21u u >则{}n u 必收敛． (B) 若,21u u >则{}n u 必发散． (C) 若,21u u <则{}n u 必收敛． (D) 若,21u u <则{}n u 必发散．§2.3 导数应用——利用导数研究函数性态一、内容概要 1. 函数单调性判定法定理1 设()x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则（1）若对()(),,0x a b f x '∀∈>，则()x f 在区间(,)a b 内单调增加； （2）若对()(),,0x a b f x '∀∈<，则()x f 在区间(,)a b 内单调减少． 2．函数的极值及其求法 （1）极值的必要条件定理2 若函数()f x 在0(,)x a b ∈处取得极值，则()00f x '=或()0f x '不存在． （2）极值的充分条件定理3（第一充分条件）设()f x 在0x 处连续，且()00='x f 或()0x f '不存在．若()f x '在点0x 左、右异号，则0x 必为()x f 的极值点，且左增（()0f x '>）右减（()0f x '<）取极大值；左减（()0f x '<）右增（()0f x '>）取极小值．定理4（第二充分条件） 设函数()f x 在0x 处有二阶导数且()()0000f x f x '''=≠，，则当()00f x ''<时，()0f x 为极大值，0x 为极大值点；当()00f x ''>时，()0f x 为极小值，0x 为极小值点．（3）求单调区间与极值方法步骤①定域：求出函数()f x 的定义域；②找点：求出函数()f x 不可导的点和驻点； ③分段：用上述的点把定义域分成若干个小区间；④判断：对每个子区间利用导数)('x f 的符号进行判断，得到结论． （4）求函数的最大值和最小值方法步骤①找点：求出函数()f x 不可导的点和驻点；②算值：计算上述点处的函数值，及区间端点处的函数值；③比较：对上述的函数值进行比较，最大者就是函数在该区间内的最大值，最小者就是函数在该区间内的最小值．3. 曲线的凹凸性与拐点 （1）凹凸性定义设()f x 在区间I 上连续，若对任意不同的两点1x ，2x ，恒有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫>+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭或()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭在几何上，曲线()y f x =上任意两点的割线在曲线下（上）面，则()y f x =是凸（凹）的． 如果曲线()y f x =有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则()y f x =是凸（凹）的． （2）凹凸性的判别定理定理5 设函数()f x 在()a b ，内具有二阶导数，若在()a b ，内的每一点x 都有()0f x ''>，则曲线()y f x =在()a b ，内是凹的；若在()a b ，内的每一点x 都有()0f x ''<，则曲线()y f x =在()a b ，内是凸的． （3）拐点的求法定理6（必要条件）若点()()00,x f x 为曲线()y f x =的拐点，则()00=''x f 或()0x f ''存在． 定理7（充分条件）（1）若函数()f x 在连续点0x 两侧()x f ''异号，则点()()00,x f x 必为曲线()y f x =的拐点． （2）若()()0,000≠'''=''x f x f ，则()()00,x f x 必是曲线()y f x =的拐点． （4）求曲线凹凸区间与拐点步骤1）定域：求出()f x 的定义域；2）找点：找()0f x ''=与()f x ''不存在点； 3）分段：用上述点分定义域为若干段；4）判断：看每个子区间内f ''的符号，得出结论． 4. 曲线的渐近线（1）垂直渐近线（铅直渐近线）若0lim ()x x f x →=∞或 0lim ()x x f x +→=∞或0lim ()x x f x -→=∞，则0x x =是曲线()y f x =的一条垂直渐近线． （2）水平渐近线若lim ()x f x c →∞=或 lim ()x f x c →+∞=或lim ()x f x c →-∞=，则y c =是曲线()y f x =的一条水平渐近线．（3）斜渐近线若()lim0x f x a x→∞=≠，()lim x f x ax b →∞-=⎡⎤⎣⎦或()lim0x f x a x→+∞=≠，()lim x f x ax b →+∞-=⎡⎤⎣⎦或()lim0x f x a x→-∞=≠，()lim x f x ax b →-∞-=⎡⎤⎣⎦，则y ax b =+是曲线()y f x =的一条斜渐近线． 5. 曲率(数学一和数学二要求)设曲线()y f x =，它在点(),M x y 处的曲率()3/221y k y ''=⎡⎤'+⎣⎦若0k ≠，则称1R k=为点(),M x y 处的曲率半径，在M 点的法线上，凹向这一边取一点D ，使MD R =，则称D 为曲率中心，以D 为圆心，R 为半径的圆二、典型题型与方法1. 求函数单调区间与极、最值问题例27 求函数2221()()x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极值．例28 设函数()f x 在0x =处取得极大值的一个充分条件是（ ） （A ）2()(0)lim1x f x f x→-=； （B ）()f x 具有二阶导数，且(0)"(0)'(0),()()f f f e f x f x =-=-； （C ）()f x 具有四阶导数，且'(0)"(0)(0)0f f f '''===，(4)(0)0f >； （D ）()f x 具有二阶导数，且0"()'(0)0,lim1sin x f x f x→==-。
泰 勒 公 式
第三节、泰 勒 公 式
对于一些较复杂的函数，为了方便研究，往往希 望用一些简单的函数来近似表达．在各种函数中，多 项式函数是最简单的一种，只要对自变量进行有限次 加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此， 我们希望用多项式来近似表示函数．那么，如何从理 论上建立一个复杂函数与一个简单的多项式之间的关 系呢？1712年，英国数学家泰勒（Taylor）解决了这 个问题.这正是本节所要介绍的泰勒公式的核心内容．
Rn(x)=o［(x－x0)n］. (3-6) 这样，我们提出的问题完满地得到解决．
二、泰勒公式及其余项
在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也 可以写成
(3-7) Rn(x)的表达式(3-6)称为佩亚诺(Peano)型余 项，式(3-7)称为f(x)按(x－x0)的幂展开的带有佩 亚诺型余项的n阶泰勒公式．
因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
二、泰勒公式及其余项
由泰勒中值定理可知，以多项式pn(x)近似表达函数f(x)时， 其误差为|Rn(x)|．如果对于某个固定的n，当x∈(a,b)时， |f(n+1)(x)|≤M，则有估计式
(3-5) 及limx→x0Rn(x)/(x－x0)n=0.由此可见，当x→x0时误差|Rn(x)|是 比(x－x0)n高阶的无穷小，即
一、泰勒中值定理
泰勒首先提出下面的问题：设函数f(x)在含有x0的开区间 内具有直到（n+1）阶导数，试找出一个关于(x－x0)的n次多 项式
pn(x)=a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2+…+an(x－x0)n（3-1） 来近似表达f(x)，要求pn(x)与f(x)之差是比(x－x0)n高阶的无 穷小，并给出误差|f(x)－pn(x)|的具体表达式．
3-3泰勒Taylor级数展开-文档资料
CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆
证明：由柯西公式
1 f( ) f( z ) d C 2 i R z 1
1 将 z 展开为幂级数
1 1 1 1 z( z ) ( z z ) z 1 ( z z ) /( z ) 0 0 0 0 0
一、定理(泰勒定理)：
设f(z)在以z0为圆心的圆域 CR内解析，则对于圆内任意 z点，f(z)可展开为幂级数
k f (z ) a ( z z ) k 0 k 0
其中
( k ) f ( z ) 1 f ( ) 0 a d k k 1 C 2 i R z ) k ! 1( 0
1 ( 1 ) (z 1 )k1 C k 1 k0
k
令z=1代入，得C=ln1=ln|1|+n•2π i=n•2π i (n=0,±1,±2，...)
k ( 1 ) k 1 ln z n 2 i ( z 1 ) (| z 1 | 1 ) k 1 k 0
例5：把函数 表示成形如 an (z a)n 的 n0 幂级数，其中a、b是不相等的常数。
1 1 z b (z a) (ba) 1 1 1 1 ba z a 1 ba 1 z a ba ba
1 z b
则当 z a 1 时，有
ba 2 n 1 z a z a z a 1 ... ... z a b a b a b a 1 b a
1 f( ) k f( z ) ( z z ) d 0 k 1 R 2 iC z ) 1( k 0 0
f (k)( z ) k 0 ( z z ) 0 k ! k 0
高等数学《中值定理-泰勒》课件
3x 4 2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
21!
1 2
(
1 2
1)
(
3 4
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
4 3x
2
3 4
x
1 4
196
x2
o( x2 )
原式
lim
x0
1 2
9 16
x2
o(
x2
)
x2
9 32
例7 证明
证明
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
使其精确到0.005,试确定 x 的适用范围.
解 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得 x 0.588
即当 x 0.588 时,由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
例6 求
用洛必塔法则
解 用泰勒公式将分子展到 x2 项,由于 不方便 !
由f（x）、Pn（x）的性质知，Rn（x）在（a ，b）内
有直至（n+1）阶的导数，且有
Rn(n1) (x) f (n1) (x)
而 Rn (x0) Rn(x0) Rn(n) (x0) 0
对于函数Rn（x）与（x－x0）n+1在以 x0、x 为端 点的区间上，应用柯西中值定理，则有
பைடு நூலகம்(x
x
x0
n1
泰勒中值定理公式
泰勒中值定理公式
泰勒中值定理（Taylor'sMeanValueTheorem）是微积分中的一个重要定理，它与泰勒级数展开密切相关。
该定理表达了一个函数在某个区间内存在一个点，使得该点处的导数等于函数在该区间两个端点处导数的平均值。
泰勒中值定理的公式形式如下：
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。
则存在一个介于a和b之间的数c，使得：
f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a)
其中，f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数。
这个公式说明，对于满足定理条件的函数，其在区间[a,b]上的平均变化率等于某一点处的瞬时变化率。
换句话说，存在一个点使得函数的瞬时变化率等于平均变化率。
泰勒中值定理是数学中许多重要定理的基础，它在微积分的应用中经常被使用，例如用于证明极限存在、判断函数的凸凹性质以及解方程等。
1/ 1。
3.3 Taylor(泰勒)定理
x0 )n1 . (
在
x0
与
x
之间)
13
3.3 Taylor定理
定理 3.8 设函数 f 在 x0 的某邻域 N ( x0 ) 内具有 n 1阶导
数，则对 x N ( x0 ) ，有
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 ) n!
(k 1)! (1 x)k
，
故 ak
f (k ) (0) (1)k1 (k 1)! (1)k1
k!
k!
k
(k 1,2, , n) ，
ln(1 x) x x 2 x 3 x4 (1)n1 x n o( x n ) ，
234
n
9
3.3 Taylor定理
（3） f ( x) sin x ∵ f (n)( x) sin( x n ) ，
f ( x0 )( x x0 )
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
],
Rn( x) f ( x) Pn( x) 在 (a, b) 内具有直到 (n 1) 阶的导数，且
Rn ( x0 ) 0 ， Rn ( x0 ) 0 ， Rn( x0 ) 0 ，…， Rn(n) ( x0 ) 0 由洛必达法则知 lim Rn ( x) lim Rn ( x)
f 在 x0 处带有 Peano 余项的 n 阶 Taylor 公式。
特别地，称在 x0 0 的泰勒公式为 Maclaurin(麦克劳林)公式:
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn o( xn )
(整理)第三节Taylor中值定理
第三节Taylor中值定理Taylor（1685-1731，英国）18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。
1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。
他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。
同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。
1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。
最后在1731年12月29日于伦敦逝世。
泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的著名定理－－泰勒定理：式内v为独立变量的增量，及为流数。
他假定z随时间均匀变化，则为常数。
上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x=0时便称作麦克劳林定理。
1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。
泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。
泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。
他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。
此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。
1715年，他出版了另一名著《线性透视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719）。
他以极严密之形式展开其线性透视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用“没影点”概念，这对摄影测量制图学之发展有一定影响。
另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。
一、引入常用近似公式x e x +≈1，x x ≈sin |(|x 充分小），将复杂函数用简单的一次多项式函数来近似表示，这是一个进步。
常见泰勒公式的推导或麦克
常见泰勒公式的推导或麦克泰勒展开推导过程对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数在微分的应用中已经知道,当lxl很小时,有如下的近似等式:，ex≈1+x，ln(1+x)≈x这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子。
显然，在x =0处这些一次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。
但是这种近似表达式的精确度不高，它所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小。
为了提高精确度，自然想到用更高次的多项式来逼近函数。
于是，提出如下问题：设f(x)在x0处具有n阶导数,试找出一个关于(x−x0)的n次多项式：pn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+···++an(x−x0)n (3−1)来近似表达f(x)，要求使得p(x)与f(x)之差是当x→x0时比(x−x)n高阶的无穷小.下面我们来讨论这个问题，假设pn(x)在x0处的函数值及它的直到n 阶导数在x处的值依次与f(x),f′(x),…,f(n)(x)相等，即满足：pn(x0)=f(x0),pn′(x0)=f′(x0),pn″(x0)=f″(x0),···,pn(n)(x0)=f(n)(x0),按这些等式来确定多项式(3-1)的系数a0,a1,a2,…,an，为此，对(3-1)式求各阶导数,然后分别代入以上等式，得：，，，，a0=f(x0)，1·a1=f′(x0),2!a2=f″(x0)，···，n!an=f(n)(x0)，即得：a0=f(x0),a1=f′(x0),a2=12!f″(x0),···,an=1n!f(n)(x0)将求得的系数a0,a1,a2,…,an代人(3-1)式，有：pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+···+f(n)(x0)n!(x−x0)n (3−2)下面的定理表明，多项式(3-2)的确是所要找的n次多项式泰勒(Taylor)中值定理1如果函数f(x)在x0处具有n阶导数，那么存在的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+···+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x) (3−3)其中佩亚诺余项Piano：Rn(x)=o((x−x0)n)泰勒(Taylor)中值定理2如果函数f(x)在x的某个邻域U(x)内具有(n+1)阶导数，那么对任一x ∈U(x0)，有：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+···+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x) (3−5)其中拉格朗日余项Lagrange：Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1这里ξ是x与x0之间的某个值在泰勒公式(3-3)中，如果取x=0，那么有带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式：此时，系数an=f(n)(0)n!f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+···+f(n)(0)n!xn+o(xn) (3−8)在泰勒公式(3-5)中，如果取x=0，那么ξ在0与x之间，因此可以令ξ=θx (0<θ<1)，从而泰勒公式(3-5)变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+···+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1 (3−9)f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n当x0=0f(x)=∑n=0∞f(n)(0)n!(x)n常用低阶泰勒展开式导数可参考我的这篇文章考研数学三角函数记不住？看这篇就够了！【记忆版】254 赞同·10 评论文章sinx=x−x33!+x55!+o(x3) arcsinx=x+x33!+o(x3)cosx=1−x22!+x44!+o(x4) arccosx=π2−x−x33!+o(x3)tanx=x+x33+2x515+o(x3) arctanx=x−x33+o(x3)从上面可以看出（反）三角函数的泰勒展开是跳阶的(1、3、5...其中tanx的系数不像sinx和cosx那么规律)，根据导数公式可以看出有的是加减交替而有的不是；而其他函数的泰勒展开式是逐阶的。
泰勒公式(泰勒中值定理)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
特例:
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
精选可编辑ppt
9
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(1) f (x) ex
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn
(x)
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
精选可编辑ppt
20
例如 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
计算
lim
x0
e
x
2
2 cos x4
x
3
.
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
cos x 1 x2 x4 o(x5) 2! 4!
ex2 2 cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o(x4 ) 2! 4!
2 ! n ! (n 1) !
由于 0 e e 3, 欲使
Rn (1)
(n
泰勒中值定理公式(一)
泰勒中值定理公式(一)泰勒中值定理公式什么是泰勒中值定理泰勒中值定理（Taylor’s Mean Value Theorem），也称为拉格朗日中值定理（Lagrange’s Mean Value Theorem），是微积分中的一个重要定理，用于研究函数在某个区间上的性质。
它是由英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）和法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）独立发现的。
泰勒中值定理公式泰勒中值定理给出了函数在某个区间上的近似表示，其公式形式为：f(b) = f(a) + f'(c)(b-a)其中，a和b是区间的两个端点，c是位于a和b之间的某个点，f’(c)表示函数f(x)在点c处的导数。
泰勒中值定理的应用应用1：函数估值根据泰勒中值定理，我们可以使用函数在某个点的导数来估计该函数在这个点的函数值。
例如，考虑函数f(x) = x^2，在区间[1, 3]上应用泰勒中值定理，假设c=2，则根据定理：f(3) = f(1) + f'= 1 + 2(3-1)= 5因此，根据泰勒中值定理，我们可以估计函数f(x)在x=3处的函数值为5。
应用2：导数为零的点根据泰勒中值定理，如果函数在某个区间上的导数恒为零，那么函数在该区间上的函数值也是恒定的。
例如，考虑函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 2，在区间[0, 1]上应用泰勒中值定理，假设c为位于0和1之间的某个点，则根据定理：f(1) = f(0) + f'(c)(1-0)= 2 - 2(3c^2 - 2c + 3)由于题设中导数恒为零，即f’(c) = 0，则有：f(1) = 2 - 2(3c^2 - 2c + 3)= 2因此，根据泰勒中值定理，函数f(x)在区间[0, 1]上的函数值为恒定的2。
应用3：函数的变化率根据泰勒中值定理，我们可以利用函数在某个点的导数来研究函数的变化率。
泰 勒 公 式
(x
x0 )n
，
称为函数 f (x) 按 (x x0 ) 的幂展开的 n 阶泰勒多项式．
泰勒公式
泰勒利用柯西中值定理得到了如下结论．
泰勒中值定理 设 f (x) 在 (a ，b) 内具有 n 1 阶导数， x0 (a ，b) ，则 对 x (a ，b) 有
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
泰勒公式
函数 Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 是关于 x x0 的 n 次多
项式函数，设函数 Pn (x) 满足：
Pn (x0 ) f (x0 ) ， Pn (x0 ) f (x0 ) ， Pn (x0 ) f (x0 ) ，
Rn(1) Rn(x0 ) (n 1)(1 x0 )n (n 1)(x0
x0 )n
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
( 2 介于 x0 与1 之间)，
泰勒公式
依此类推，应用 n 1 次柯西中值定理后得
Rn (x)
Rn (1)
(x x0 )n1 (n 1)(1 x0 )n
泰勒公式
依此类推可求得 a2
f
(x0 2!
)
，a3
f (x0 ) ， 3!
，an
f (n) (x0 ) n!
，即 a1 ，a2 ，
，an
的值均可由 f (x) 在 x0 点的各阶导数值确定，故
Pn (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) n!
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第二章 一元微分学第三节 Taylor 公式及应用有关知识： （1）Taylor 定理:(I)设)(x f 在0x 的某邻域)(0x U 内有直至1+n 阶的导数,则对)(0x U x ∈∀,有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=其中 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ1000)1()()!1()]([++-+-+=n n x x n x x x f θ,ξθ,10<<介于0x 与x 之间．（II ）设)(x f 在0x 的某邻域)(0x U 内有直至1-n 阶的导数,且)(0)(x fn 存在,则])[()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-''+-'+=（2）记住几个简单函数x x x x a e xxcos ,sin ,)1(),1ln(,,α++的Maclaurin 公式．一般而言，其他函数的Taylor 公式可利用这几个简单函数的Maclaurin 公式再结合某些运算得到．（3）Taylor 定理的应用很广,技巧性强．用Taylor 定理解决问题时,要掌握几个关键点（I ）选择什么余项，（II ）在哪点展开，展开哪点的函数值．（III ）用一个展式，还是多个（主要是二个）展式,多个展式如何复合使用．例1：求x x x f arcsin )(=的6阶带皮亚诺余项的Maclaurin 公式。
分析：由于该函数中已有因子x ，故只须将x x g arcsin )(=展到5x 项，又由x arcsin 为奇函数，所以其Maclaurin 展开式中没有偶数次幂项。
如直接去计算)0(),0(),0()5(g g g ''''也可以，但会很繁。
解：x x g arcsin )(=，则)(83211)1()(442212x o x x x x g +++=-='- 从而9)0(,0)0(,1)0(,0)0(,1)0()5()4(==='''=''='g g g g g故 )(!59!31)(553x o x x x x g +++= 所以 x x x f arcsin )(=)(!59!316642x o x x x +++=另解：由x x g arcsin )(=为奇函数且1)0(='g ，因此它的Maclaurin 公式的形式如下：x arcsin )(553x o bx ax x +++=又))(sin()sin(arcsin 553x o bx ax x x x +++==))((553x o bx ax x +++=3553))((!31x o bx ax x +++-)55553())((!51x o x o bx ax x +++++)()120121()61(553x o x a b x a x ++-+-+=比较系数得 403,61==b a ，从而)(40361)(6642x o x x x x f +++=例２：求xe e xx f -=11)(的3阶带皮亚诺余项的Maclaurin 公式。
解：)(111332x o x x x x++++=-，)(61211332x o x x x e eex++++=)(]))((61))(21(21))(6121(1[(33222332)(6121332x o x o x x o x x x o x x x e ee x o x x x ++++++++++==+++)()651(332x o x x x e ++++= )(62332))(651())(1()(33233232x o x e ex ex e x o x x x e x o x x x x f ++++=++++++++= 应用之一：用Taylor 公式求极限和确定无穷小的阶解决此类问题要知道：（1）选择皮亚诺余项，（2）当考虑0x x →时，应在0x 处展开，当考虑∞→x 时，可作变换xt 1=，化为0→t 。
单侧极限也是如此 用Taylor 公式求极限问题在前面已讲过，此处不再重复。
用Taylor 公式确定无穷小的阶在大多数情况下都会比用其它工具更方便。
例3：设3232232n n n n n a n ++-+=， ,2,1=n ，n a 是关于n1的几阶穷小？并求它的一个等价无穷小。
解：)]1()23(91)23(311()1(2111[)23121(22222232no n n n n n o n n n n n n n a n ++-++-+-+=++-+=)1(61))1(61(22n o n no n n +-=+-= 所以n a 与n 1为同阶穷小，且n a 与n 61-为等价无穷小。
注：本题考虑的是数列，其极限过程一定是∞→n ，因此01→n ，从而用Taylor 公式时，以n1为自变量在=x 0处作Taylor 展开。
下面展开式是错误的：)(!2)121(21211122n o n n n +-⨯++=+ 用Taylor 公式求极限或确定无穷小的阶时，该展开到几阶？这需在具体场合去尝试。
下面例子更能说明这一点。
例4：确定b a ,，使得当0→x 时，2211cos )(bxax x x f ++-=为尽可能高阶的无穷小，并指出是x 的几阶无穷小。
分析：首先可以看出对任意的b a ,，当0→x 时，2211cos )(bx ax x x f ++-=都是无穷小。
其阶数与b a ,的具体值有关。
这种关系用Taylor 展开就能看得很清楚:+-+-=642!61!41!211cos x x x x +-+-+-+=+-+-+=++63242263422222)()()(1)1)(1(11x b ab x ab b x b a x b x b bx ax bxax 2211cos )(bxax x x f ++-= +--++-+--=623422)!61()!41()21(x ab b x ab b x a b 可见当021≠--a b 时,)()21()(22x o x a b x f +--=为x 的2阶无穷小;当021=--a b 时,)(x f 至少为x 的4阶无穷小;021=--a b 且0!412=+-ab b 时, )(x f 至少为x 的6阶无穷小,此时121,125=-=b a ,且0!6123≠--ab b ,故此时)(x f 为x 的6阶无穷小．因此本题的答案是：121,125=-=b a ，且为x 的6阶无穷小．解答过程学生自己完成。
注：展开式中的“…”，一则表示是它前面一项的高阶无穷小，二则为方便“尝试”。
练习题１．确定k a ,,使得当0→x 时，x x x f cos )cos(sin )(-=与kax 为等价无穷小．（答案：4,61） ２．确定b a ,，使得当0→x 时，bx ax e x f x++-=11)(为尽可能高阶的无穷小．（答案：21,21-） ３．设当0→x 时，x x f sec )(= 与二次多项式)(2x p 的差为2x 的高阶无穷小，则__)(2=x p ．（（答案：2211x +） ４．设n n n n n a )11()111(1+-++=+， ,2,1=n ，n a 是关于n1的几阶穷小？（答案：2）应用之二：用Taylor 公式证明介值问题.这种问题一般涉及二阶或更高阶的导数．有含介值的等式和不等式两类．要注意：（１）选择拉氏余项，（２）常需二个展开式．例５：设)(x f 在],[b a 上三阶可导，证明：),(b a ∈∃ξ，使得 3))((241))(2()()(a b f a b b a f a f b f -'''+-+'+=ξ 分析：本题涉及三阶导，可用Taylor 公式试一下，又欲证的结论中出现了)2(),(),(ba fb f a f +'，故可以想到在同一点2ba x +=处展开两点b x a x ==,处的函数值)(),(b f a f ，得到两个展开式，对两个展开式复合使用．证明：由Taylor 公式知，),(,21b a ∈∃ξξ，使得312)2(!3)()2(!2)2(2)2()2()(a b f a b ba f ab b a f b a f b f -'''+-+''+-+'++=ξ 322)2(!3)()2(!2)2(2)2()2()(b a f b a b a f b a b a f b a f a f -'''+-+''+-+'++=ξ 两式相减得24)(2)()())(2()()(321a b f f a b ba f a fb f -'''+'''+-+'=-ξξ 由达布定理知 ),(b a ∈∃ξ，使得 2)()()(21ξξξf f f '''+'''='''所以 3))((241))(2()()(a b f a b b a f a f b f -'''+-+'+=ξ 例６：设)(x f 在],[b a 上二阶可导，,0)()(='='b f a f 证明：),(b a ∈∃ξ，使得|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ证明：（将)2(ba f +分别在b a ,两点展开）由Taylor 公式知 )(,2121b a <<<∃ξξξξ，使得 21)2(2)()()2(a b f a f ba f -''+=+ξ （１）22)2(2)()()2(a b f b f ba f -''+=+ξ （２） （１） －（２）得2)()(4)()()(212ξξf f a b a f b f ''-''-=-那么 2|)(||)(|4)(2|)()(|4)(|)()(|212212ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤''-''-=- 取⎩⎨⎧''<''''≥''=|)(||)(| ,|)(||)(| ,212211ξξξξξξξf f f f则 |)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ． 另解：若)()(b f a f =，结论成立若)()(b f a f ≠，不妨设)()(b f a f <，2ba c += （１）若)()()(2b f a f c f +≥2)(!2)()()(a c f a f c f -''+=ξ 2)2)(()]()([2)()(|)()(|a b f a f c f a f b f a f b f -''=-≤-=-ξ⇒结论； 或：令))())()((4()(2)()(22a b a f b f k a x k x f x F --=--= )()(,0)(a F c F a F ≥='⇒-''=-≤2))((21)()(0a c F a F c F ξ结论 （2）若)()()(2b f a f c f +<，略例７：设)(x f 在]1,0[上二阶可导，,0)1()0(==f f 2)(max ]1,0[=∈x f x ，证明：)1,0(∈∃ξ，使得16)(-≤''ξf分析：由题设知)(x f 在]1,0[上的最大值在)1,0(内的某点0x 取得，从而0)(,2)(00='=x f x f ， 结合题设我们知道： 0)(,2)(,0)1()0(00='===x f x f f f ，因此想到在同一点0x 处展开1,0==x x 两点处的函数值)1(),0(f f证明：由题设知),1,0(0∈∃x 使得2)(max )(0==x f x f ，从而0)(0='x f ． 由Taylor 公式知 )1,(),,0(0201x x ∈∈∃ξξ，使得20102)()()0(x f x f f ξ''+= （１）2020)1(2)()()1(x f x f f -''+=ξ （２） 由（１）得 214)(x f -=''ξ，由（２）得 202)1(4)(x f --=''ξ若]21,0(0∈x ，则16)(1-≤''ξf ，若)1,21(0∈x ，则16)(2-≤''ξf 综上知 )1,0(∈∃ξ，使得 16)(-≤''ξf注：仔细体会一下以上三个例子在用Taylor 公式时相似的地方和不同的地方． 应用之三：用Taylor 公式说明导数的界．这类问题一般是已知低阶和高阶导数的界，估计中间阶导数的界．要注意：（１）选择拉氏余项，（２）常需二个展开式，且经常是在任意点x 处展开某两点的函数值．例８：设)(x f 在]1,0[上二阶可导，]1,0[,2|)(|,1|)(|∈≤''≤x x f x f ，证明：对任意]1,0[∈x ，有： 3|)(|≤'x f 。