2010年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷

2010年上海市普通高等学校春季招生考试

10、各棱长为1的正四棱锥的体积

11、方程09

3

11

4

21

2=-x x

12、根据所示的程序框图（其中[x 大整数），输出r =__________13、在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S=______cm 2。

14、设n 阶方阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-+-+-+--+++-+++-=125)1(23)1(21)1(2165

434141452321

2125312n n n n n n n n n n n n n n n n A n

，

任取n A 中的一个元素，记为1x ；划去1x 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1-n 阶方阵1-n A ，任取1-n A 中的一个元素，记为2x ；划去2x 所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为n x ，记n n x x x S +++= 21，则n n x x x S +++= 21，则1

lim

3+∞→n S n

n =______________。

10．使得函数14

()121x f x m m x

=的最小值是非负数的整数m 值的集合为 ．

15、若空间三条直线a 、b 、c 满足c b b a ⊥⊥,，则直线a 与c

（A ）一定平行；

（B ）一定相交；

（C ）一定是异面直线；

（D ）平行、相交、是异面直线都有可能

21、已知地球半径约为6371千米。上海的位置约为东

经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°。 （1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？

（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）

22、在平面上，给定非零向量，对任意向量

，定义b a a '

)(2⋅-

=。

（1）若)3,1(),3,2(-==b a ，求'a ；

23、已知首项为1x 的数列}{n x 满足1

1+=

+n n

n x ax x （a 为常数）。 （1）若对于任意的11-≠x ，有n n x x =+2对于任意的*

N n ∈都成立，求a 的值； （2）当1=a 时，若01>x ，数列}{n x 是递增数列还是递减数列？请说明理由；

（3）当a 确定后，数列}{n x 由其首项1x 确定，当2=a 时，通过对数列}{n x 的探究，写出“}{n x 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。

说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。

20．（12分）在直角坐标平面xoy 上的一列点1122(1

,),(2,),,(,),,n n A a A a A n a 简记为{}n A ．若由1n n n b A A j +=⋅ 构成的数列{}n b 满足1n n b b +>其中j

是与y 轴正方向同的单位向量），则称{}

n A 为T 点列(1,2,,)n = ．

北极

南极

赤道

（1）判断1231

11(1,1),(2,),(3,),,(,),,23n A A A A n n

是否为T 点列，并说明理由；

（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方，

任取其中连续三点12,,,k k k A A A ++判断12k k k A A A ++∆的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；

（3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足,m q n p +=+求证：n q m p A A j A A j ⋅>⋅

．

【解】（1） 1n a n =

， 111

1(1)

n b n n n n -∴=-=++，显然有1n n b b +>， ∴ {}n A 是T 点列. …………………………………………………………3分

（2）在△12k k k A A A ++中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-

， ()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--

.……………………………… 5分

点2A 在点1A 的右上方，1210b a a ∴=->， {}n A

为T 点列，10n b b ∴

≥>，

()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<

.

∴ 12k k k A A A ++∠为钝角，∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形.……………………… 7分

（3）[证明] 1,

m n p q m q n p ≤<<<+=+ ，0q p n m ∴-=->. ①

1121q p q q q q p p a a a a a a a a ---+-=-+-++- 12()q q p p b b b q p b --=+++≥- . ② 同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤- . ③ ……………………… 10分 由于{}n A 为T 点列，于是1p n b b ->，④ 由①、②、③、④可推得

q p n m a a a a ->-，∴->-q n p m a a a a ，

即 >⋅⋅

n q m p A A j A A j . …………………………………………………… 12分

19、解 （1）设OA 中点C ，连接NC 、CM ，则//NC SO ， 故MNC ∠即为NM 与高SO 所成的角α， 2 分 又NC MC ⊥且tan 2α=所以2MC NC SO ==，4 分

又MC =SO =5 分