第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计(少)
（1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)为偶对称， N=奇数
h(n)幅度函数:
H g ( )
N 1 n0
h(n) cos[(n
N 1)]
2
Q
cos
(
N
1
n)
N
2
1
cos
N 2
1
n
cos
N
1 2
n
对
N 2
1
呈偶对称
上式中：h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，
优点：能借助模拟滤波器已有成果设计
IIR数字滤波器 缺点：相位非线性
(1)语音处理，图象处理等应用要求线性相位，任意幅度。 FIR DF具有严格的线性相位，同时可具有任意幅度特性。 (2)FIR DF单位抽样响应是有限长的，故滤波器是稳定的。 只要经过延时，任何非因果有限长序列都能变成因果。 (3)FIR可以用FFT算法来实现过滤信号。
h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
四. 线性相位条件证明
(1)第一类线性相位的条件证明
若 h(n) h(N 1 n) ，则 ()
N 1
证明： H (z) h(n)zn
n0
2020/6/19
N 1
N 1
H (z) h(N n 1)znm N n 1 h(m)z(N m1)
1
N 1
[ h(n)zn
N 1
z(N 1)h(n)zn ]
2 n0
n0
1NΒιβλιοθήκη 1h(n)[ z nz ( N 1) zn ]
2 n0
2020/6/19
( N 1)
z2
N 1
第七章有限脉冲响应数字滤波器的设计
第七章 有限脉冲响应数字滤波器的设计● IIR 数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。
但设计中只考虑了幅度特性，没有考虑相位特性，所设计的滤波器相位特性一般是非线性的。
● 在IIR 滤波器设计时，如果要得到线性相位特性，必须另外增加相位校正网络，使滤波器设计变得复杂，成本升高。
● FIR 滤波器在保证幅度特性满足要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。
设FIR 滤波器单位脉冲响应()h n 长度为N ，其系统函数()H z 为()()10N n n H z h n z --==∑()H z 是1z -的（N-1）次多项时，它在z 平面上有（N-1）个零点，原点z=0是（N-1）阶重极点。
因此，()H z 永远稳定。
稳定和线性相位特性是FIR 滤波器突出的优点。
FIR 滤波器的设计方法和IIR 滤波器的设计方法有很大不同。
FIR 滤波器设计任务是选择有限长度的()h n ,使传输函数()j H e ω满足技术要求。
7.1 线性相位FIR 数字滤波器的条件和特点1、线性相位条件对于长度为N 的()h n ，传输函数为()()1N j j nn H eh n eωω--==∑ (1.1)()()()j j g H e H eθωωω= (1.2)式中，()g H ω称为幅度特性，()θω称为相位特性。
()j H e ω线性相位是指()θω是ω的线性函数，即(),θωτωτ=-为常数(1.3)如果()θω满足()00,θωθτωθ=-是起始相位(1.4)严格地说，此时()θω不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即()d d θωτω=- 也称这种情况为线性相位。
一般称满足(1.3)式是第一类线性相位；满足(1.4)式为第二类线性相位。
2、线性相位FIR 的时域约束条件（1） 第一类线性相位对()h n 的约束条件 第一类线性相位FIR 数字滤波器的相位函数()θωωτ=-由式(1.1)和(1.2)可得()()()1N j j nj g n H eh n eH e ωωωτω---===∑()()()()10cos sin cos sin N gn h n n j n H ωωωωτωτ-=-=-∑(1.5)可得()()()()11cos cos sin sin N g n N g n H h n nH h n nωωτωωωτω-=-===∑∑ (1.6)将两式相除，可得()()1010cos cos sin sin N n N n h n nh n nωωτωτω-=-==∑∑即()()11cos sin sin cos N N n n h n n h n n ωωτωωτ--===∑∑由三角公式可得()()1sin 0N n h n n ωτ-=-=⎡⎤⎣⎦∑(1.7)如果取()h n 是实序列且对12N -偶对称，即()()1h n h N n =--(1.8)此时FIR 数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，即 ()12N θωω-=-（2） 第二类线性相位对()h n 的约束条件 第二类线性相位FIR 数字滤波器的相位函数为 ()2πθωωτ=--同理可得()()()()()1120cos 0N N j j j ng n n H eh n eH eh n n πωτωωωωτ⎛⎫---+ ⎪-⎝⎭=====-=⎡⎤⎣⎦∑∑ (1.9)如果取()h n 是实序列且对12N -偶对称，即 ()()101h n h N n n N =---≤≤-(1.10)3、线性相位FIR 滤波器幅度特性()g H ω的特点 将时域约束条件()()1h n h N n =±--代入(1.1)式，即()()1N j j nn H eh n eωω--==∑并设()h n 为实序列，即可推导出线性相位条件对FIR 数字滤波器的幅度特性()g H ω的约束条件。
FIR滤波器设计
第7章 FIR 滤波器设计之迟辟智美创作第六章我们介绍了无限冲激响应（IIR ）滤波器的设计方法.其中最经常使用的由模拟滤波器转换为数字滤波器的方法为双线性变换法，因为这种方法无混叠效应，效果较好.但通过前面的例子我们看到，IIR 数字滤波器相位特性欠好（非线性，如图 6-11、图6-13、图6-15 ），也不容易控制.然而在现代信号处置中，例如图像处置、数据传输、雷达接收以及一些要求较高的系统中对相位特性要求较为严格，这种滤波器就无能为力了.改善相位特性的方法是采纳有限冲激响应滤波器.本章首先对FIR 滤波器原理及其使用函数作基本介绍，然后重点介绍窗函数法设计FIR 滤波器，并对最优滤波器设计函数进行介绍.7.1 FIR 滤波器原理概述及滤波函数7.1.1 FIR 滤波器原理及设计方法分类根据第 6 章对数字滤波器的介绍，我们知道FIR 滤波器的传递函数为：∑-=-==1)()()()(N n nz n h z X z Y z H (7-1)可得FIR 滤波器的系统差分方程为：因此，FIR 滤波器又称为卷积滤波器.根据第 4 章中所描述的系统频率响应，FIR 滤波器的频率响应表达式为：()∑-=-=1)(N n jn j en b eH ωω（7-2）信号通过FIR 滤波器不失真条件与（6-6）式所描述的相同，即滤波器在通带内具有恒定的幅频特性和线性相位特性.理论上可以证明（这里从略）：当FIR 滤波器的系数满足下列中心对称条件：)1()()1()(n N b n b n N b n b ---=--=或 （7-3）时，滤波器设计在迫近平直幅频特性的同时，还能获得严格的线性相位特性.线性相位FIR 滤波器的相位滞后和群延迟在整个频带上是相等且不变的.对一个 N 阶的线性相位FIR 滤波器，群延迟为常数，即滤波后的信号简单地延迟常数个时间步长.这一特性使通带频率内信号通过滤波器后仍坚持原有波形形状而无相位失真.本章主要介绍的FIR 数字滤波器设计方法及 MATLAB 信号处置工具箱提供的FIR 数字滤波器设计函数，见表7-1.由于篇幅所限，本章我们主要介绍窗函数法和最优化设计方法.表7-1 FIR 滤波器设计的主要方法相对IIR 滤波器的滤波函数，FIR 数字滤波器滤波函数除dimpulse 和dstep 仅适用于IIR 滤波器外，其他各种函数可直接应用于FIR 滤波器，只是输入的分母多项式向量a=1.另外，MATLAB 还提供了一个函数fftfilt,该函数利用效率高的基于FFT 算法实现对数据的滤波，该函数只适用于FIR 滤波器，调用形式为：y=fftfilt(b,x[,n])式中，b 为FIR 滤波器的系数向量；x 为输入数据；n 为FFT 长度，缺省时，函数选用最佳的FFT 长度，y 为滤波器的输出.该函数执行下面的把持：n=length(x);y=ifft(fft(x).*fft(b,n)./fft(a,n));应注意，y=fftfilt(b,x)等价于y=filter(b,a,x).7.2 FIR 滤波器的窗函数设计7.2.1 窗函数的基来源根基理FIR 滤波器设计的主要任务是根据给定的性能指标确定滤波器的系数b ，即系统单元脉冲序列h(n)，它是一个有限长序列.FIR 滤波器的理想频率响应，可写成复数形式的Fourier 级数形式：()()∑∞-∞=-=n nj dj d en h eH ωω(7-4)式中，h d (n)是对应的单元脉冲响应序列.这说明滤波器的频率响应和单元脉冲响应互为Fourier 变换对.因此其单元脉冲响应可由下式求得，()()⎰-=ππωωωπd e e H n h nj jdd 21(7-5) 求得序列()n h d 后，通过z 变换，可获得()z H d∑∞-∞=-=n ndd z n hz H )()( (7-6)注意，这里()n h d 为无限长序列，因此()z H d 是物理上不成实现的.如何酿成物理上可实现呢？一个自然的想法是只取其中的某些项，即只截取()n h d 中的一部份，比如n=0,…,N-1，N 为正整数.这种处置相当于将()n h d ,n=-∞~∞与函数w(n)相乘，w(n)具有下列形式：w(n)相当于一个矩形，我们称之为矩形窗.即我们可采纳矩形窗函数w(n)将无限脉冲响应()n h d 截取一段h(n)来近似为()n h d ，这种截取在数学上暗示为：h(n)=()n h d w(n) (7-7)这里应该强调的是，加窗函数不是可有可无的，而是将设计酿成物理可实现所必需的.截取之后的滤波器传递函数酿成： ∑-=-=1)()(N n nz n h z H (7-8)式中，N 为窗口宽度，H(z)是物理可实现系统.为了获得线性相位，FIR 滤波器h(n)必需满足中心对称条件（即7-3式），序列h(n)的延迟为()2/1-=N α.这种方法的基来源根基理是用一定宽度的矩形窗函数截取无限脉冲响应序列获得有限长的脉冲响应序列，从而获得FIR 滤波器的脉冲响应，故称为FIR 滤波器的窗函数设计法.经过加矩形窗后所得的滤波器实际频率响应能否很好地迫近理想频率响应呢？图 7-1 示意给出了理想滤波器加矩形窗后的情况.理想低通滤波器的频率响应如图中左上角图，矩形窗的频率响应为左下角图.时间域内的乘积（7-7）式要求实际频率响应为这两个频率响应函数在频域内的卷积（卷积定理），即获得图形为图7-1（右图）.图 7-1 FIR 滤波器理想与实际频率响应 由图可看出，加矩形窗后使实际频率响应偏离理想频率响应，主要影响有三个方面：（1）理想幅频特性陡直边缘处形成过渡带，过渡带宽取决于矩形窗函数频率响应的主瓣宽度.（2）过渡带两侧形成肩峰和波纹，这是矩形窗函数频率响应的旁瓣引起的，旁瓣相对值越年夜，旁瓣越多，波纹越多.（3）随窗函数宽度N的增年夜，矩形窗函数频率响应的主瓣宽度减小，但不改变旁瓣的相对值.为了改善FIR滤波器性能，要求窗函数的主瓣宽度尽可能窄，以获得较窄的过渡带；旁瓣相对值尽可能小，数量尽可能少，以获得通带波纹小,阻带衰减年夜，在通带和阻带内均平稳的特点，这样可使滤波器实际频率响应更好地迫近理想频率响应.这里我们明确两个概念：截断和频谱泄漏.信号是无限长的，而在进行信号处置时只能采用有限长信号，所以需要将信号“截断”.在信号处置中，“截断”被看成是用一个有限长的“窗口”看无限长的信号，或者从分析的角度是无限长的信号x(t)乘以有限长的窗函数w(t).由傅立叶变换性质可知,时间域内的乘积对应于频率域的卷积,即fwX⇔*（7-9）x⊗ttW))()(f)((这里，x(t)是频宽有限信号，而w(t)是频宽无限信号，⇔暗示互为Fourier变换对.截断后的信号也必需是频宽无限信号，这样就是有限频带的信号分散到无限频带中去，这样就发生了所谓频谱泄漏.从能量的角度来看，频谱泄漏也是能量的泄漏，因为加窗后使原来信号集中的窄频带内的能量分散到无限的频带宽度范围内.频谱泄漏是不成防止的，但要尽量减小.上边只考虑了矩形窗，如果我们使窗的主瓣宽度尽可能地窄，旁瓣尽可能地小，可以获得性能更好的滤波器，能否改变窗的形状而到达这个目的呢？回答是肯定的.其实数字信号处置的前驱者们设计了分歧于矩形窗的很多窗函数，这些窗函数在主瓣和旁瓣特性方面各有特点，可满足分歧的要求.为此，用窗函数法设计FIR数字滤波器时，要根据给定的滤波器性能指标选择窗口宽度N和窗函数w(n).下面我们介绍窗函数.7.2.2 MATLAB信号处置中提供的窗函数（1）矩形窗：前面分析中所用的矩形窗可用下面函数来实现w=boxcar (N)，N 为窗的长度（以下函数与此同），w为返回的窗函数序列.（2）汉宁窗：w=hanning(N)汉宁窗的表达式为：Nk N k k w ,...,1,12cos 15.0)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=π (7-10)（3）哈明窗：w=hamming(N)哈明窗的表达式为：1,...,1,0,12cos 46.054.0)1(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+N k N k k w π (7-11)（4）Bartlett 窗：w=bartlett(N)Bartlett 窗的表达式为：当 N 为奇数时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+---+≤≤--=Nk N N k N k N k k w 21,1)1(22211,1)1(2)( (7-12)当 N 为偶数时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+---≤≤--=Nk N N k N N k N k k w 12,1)(2221,1)1(2)( (7-13)（5） Blackman 窗：w= blackman(N)Blackman 窗的表达式为：Nk N k N k k w ,...,1,11408.0112cos 5.042.0)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=ππ (7-14)Blackman 窗比其他相同尺寸窗 (哈明窗,汉宁窗) 具有主瓣较宽和旁瓣泄漏较小的特点.（6）三角窗：w=triang(N) 三角窗的表达式为： 当 N 为奇数时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+++-+≤≤+=Nk N N k N N k N k k w 21,1)1(2211,12)( (7-15)当 N 为偶数时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++--≤≤--=Nk N N k N N k N k k w 12,)1(2221,112)( (7-16)三角窗和Bartlett 窗十分类似.三角窗的两端值不为零，而Bartlett窗则为零，这一点可从例7-1中看出.（7）Kaiser 窗：w=kaiser(n,beta)其中，beta 是Kaiser 窗参数,影响窗旁瓣幅值的衰减率.Kaiser 窗表达式：[]ββ0201211)(I N k I k w ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=(7-17)式中， I 0[.]是修正过的零阶 Bessel 函数.Kaiser 窗用于滤波器设计时，若旁瓣幅值为βαd -，则()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥-+->-=21,02150,2107886.0215842.050,7.81102.04.0ααααααβ （ 7-18 ）（8） Chebyshev 窗：w=chebwin(n,r)式中, r 是窗口的旁瓣幅值在主瓣以下的分贝数.Chebyshev 窗具有主瓣宽度最小，而旁瓣等高,高度可调整的特点. 下面我们在MATLAB 观看各种窗函数的形状和频率域图象来验证上述所讲特点.【例7-1】 用MATLAB 编程绘制各种窗函数的形状.窗函数的长度为21.%Samp7_1 clfNwin=21;n=0:Nwin-1;%数据总数和序列序号 figure(1) for ii=1:4 switch ii case 1w=boxcar(Nwin);%矩形窗 stext='矩形窗'; case 2w=hanning(Nwin);%汉宁窗 stext='汉宁窗'; case 3w=hamming(Nwin);%哈明窗 stext='哈明窗'; case 4w=bartlett(Nwin);%Bartlett 窗 stext='Bartelett 窗'; endposplot=['2,2,'int2str(ii)];%指定绘制窗函数的图形位置 subplot(posplot);stem(n,w);%绘出窗函数 hold onplot (n ,w,'r');%绘制包络线xlabel('n'); ylabel('w(n)'); title(stext);hold off; grid onendfigure(2)for ii=1:4switch iicase 1w=blackman(Nwin);%Blackman 窗stext='Blackman窗';case 2w=triang(Nwin);%三角窗stext='三角窗';case 3w=kaiser(Nwin,4);%Kaiser窗stext='Kaiser窗(Beta=4)';case 4w=chebwin(Nwin,40);%Chebyshev 窗stext='Chebyshev窗(r=40)';endposplot=['2,2,'int2str(ii)];subplot(posplot);stem(n,w);%绘出窗函数hold onplot (n,w,'r');%绘出包络线xlabel('n');ylabel('w(n)');title(stext);hold off;grid on;end法式运行结果见图 7-2 .可以看到各种窗函数的形状.图 7-2 各种窗函数的时间域形状【例 7-2】用 MATLAB 编程，采纳512个频率点绘制各种窗函数的幅频特性.%Samp7_2clf;Nf=512;%窗函数复数频率特性的数据点数Nwin=20;%窗函数数据长度figure(1)for ii=1:4switch iicase 1w=boxcar(Nwin);%矩形窗stext='矩形窗';case 2w=hanning(Nwin);%汉宁窗stext='汉宁窗';case 3w=hamming (Nwin);%哈明窗stext='哈明窗';case 4w=bartlett(Nwin);%Bartlett窗stext='Bartelett窗';end[y,f]=freqz(w,1,Nf);%求解窗函数的幅频特性，窗函数相当于一个数字滤波器mag=abs(y);%求得窗函数幅频特性posplot=['2,2,'int2str(ii)];subplot(posplot);plot(f/pi,20* log10(mag/max(mag)));%绘制窗函数的幅频特性xlabel('归一化频率');ylabel('振幅/dB');title(stext);grid on;endfigure(2)for ii=1:4switch iicase 1w=blackman(Nwin);%Blackman 窗stext='Blackman窗';case 2w=triang(Nwin);%三角窗stext='三角窗';case 3w=kaiser(Nwin,4);%Kaiser窗stext='Kaiser窗(Beta=4)';case 4w=chebwin(Nwin,40);%Chebyshev 窗stext='Chebyshev窗(r=40)';end[y,f]=freqz(w,1,Nf);%以 Nf点数求解窗函数的幅频响应mag=abs(y);%求得窗函数幅频响应posplot=['2,2,'int2str(ii)];subplot(posplot);plot(f/pi,20* log10(mag/max(mag))); %绘制幅频响应xlabel('归一化频率');ylabel('振幅/dB');title(stext);grid on;end法式运行结果见图7-3 .可以看到各种窗函数的幅频形状.对比该图可知这些窗函数具有上面所分析的窗函数的特征.图 7-3 各种窗函数的幅频形状由图7-3 可见，各种窗函数都具有明显的主瓣（Mainlobe）和旁瓣（Sidelobe）.主瓣频宽和旁瓣的幅值衰减特性决定了窗函数的应用场所.矩形窗具有最窄的主瓣，但也有最年夜的旁瓣峰值（第一旁瓣衰减为13 dB）；Blackman窗具有最年夜的旁瓣衰减，但也具有最宽的主瓣宽度.分歧窗函数在这两方面的特点是分歧的，因此应根据具体的问题进行选择.通常来讲，哈明窗和汉宁窗的主瓣具有较小的旁瓣和较年夜的衰减速度，是较为经常使用的窗函数.表7-2总结了各种窗函数主瓣和旁瓣的特征（理论分析可参考其他的数字信号处置教材），年夜家可对比窗函数的幅频形状（图7-3）认真理解体会.表7-2 各种窗函数的特点N将减小窗函数的主瓣宽度，但不能减小旁瓣幅值衰减的相对值（分贝数），这个值是由窗函数决定的.这个特点可由下面的例子清楚地看出.【例7-3】绘制矩形窗函数的幅频响应，窗长度分别为：(1)N=10;(2)N=20;(3)N=50;(4)N=100.%Samp7_3clf;Nf=512;for ii=1:4switch iicase 1Nwin=10;case 2Nwin=20;case 3Nwin=50;case 4Nwin=100;endw=boxcar(Nwin);%矩形窗[y,f]=freqz(w,1,Nf);%用分歧的窗长度求得复数频率特性mag=abs(y);%求得幅频特性posplot=['2,2,'int2str(ii)];%指定绘图位置subplot(posplot);plot (f/pi,20*log10(mag/max(mag)));%绘出幅频形状xlabel('归一化频率');ylabel('振幅/dB');stext=['N='int2str(Nwin)];%给出题目，指出所用的数据个数title(stext);grid on;end图 7-4 数据长度分歧的矩形窗的幅频形状法式运行结果见图7-4.显然，随着N的增年夜，主瓣和旁瓣都变窄，但第一旁瓣相对主瓣的幅值下降分贝数相同，第二旁瓣相对第一旁瓣幅值下降的分贝数也相同.这样，随着N的增年夜，旁瓣也获得抑制，有力地减少了频谱泄漏，但不能完全消除.减少主瓣宽度和抑制旁瓣是一对矛盾，不成兼得，只能根据分歧用途折衷处置.7.2.3 运用窗函数设计数字滤波器用于信号分析中的窗函数可根据用户的分歧要求选择.用于滤波器的窗函数，一般要求窗函数的主瓣宽度窄，以获得较好的过渡带；旁瓣相对值尽可能少，增加通带的平稳度和增年夜阻带的衰减.基于窗函数的FIR数字滤波器设计的算法十分简单，其主要步伐为：(1)对滤波器理想频域幅值响应进行傅立叶逆变换获得理想滤波器的单元脉冲响应h d (n).一般假定理想低通滤波器的截止频率为c ω，其幅频特性满足()⎩⎨⎧≤≤≤≤=πωωωωωc c j e H 001 (7-19) 则根据傅立叶逆变换，单元脉冲响应为： ()[]()απαωωπωωω--==⎰-n n d e n h c n j d c csin 21)(+∞-∞=,n (7-20)其中，α为信号延迟.（2）由性能指标（阻带衰减的分贝数）根据表7-2第3列的值确定满足阻带衰减的窗函数类型w(n).滤波器的阶数越高，滤波器的幅频特性越好，但数据处置的费用也越高，因此像IIR 滤波器一样，FIR 滤波器也要确定满足性能指标的滤波器最小阶数.由前面的讨论（图7-1）可知，滤波器的主瓣宽度相当于过渡带宽，因此，使过渡带宽近似于窗函数主瓣宽（表7-2中的第二列）可求得满足性能指标的窗口长度N ，此时，信号延迟α为(N-1)/2.（3）求实际滤波器的单元脉冲响应h(n)：根据h(n)=h d (n)*w(n).（4）检验滤波器的性能.可设定一些信号采纳 7.1.2 节指出的函数进行滤波.下面采纳实例说明如何根据上面步伐设计FIR 滤波器.【例 7-4】 用窗函数设计一个线性相位FIR 低通滤波器，并满足性能指标：通带鸿沟的归一化频率wp=0.5,阻带鸿沟的归一化频率ws=0.66，阻带衰减不小于30dB ，通带波纹不年夜于3dB.假设一个信号，其中f1=5Hz,f2=20Hz.信号的采样频率为50Hz.试将原信号与通过滤波器的信号进行比力.由题意，阻带衰减不小于30dB,根据表7-2,选取汉宁窗，因为汉宁窗的第一旁瓣相对主瓣衰减为31dB ，满足滤波要求.在窗函数设计法中，要求设计的频率归一化到0~π区间内，Nyquist 频率对应于πππ.法式如下%Samp7_4wp=0.5*pi;ws=0.66*pi;%滤波器鸿沟频率wdelta=ws-wp; %过渡带宽N=ceil(8*pi/wdelta) %根据过渡带宽即是表 7-2中汉宁窗函数主瓣宽求得滤波器所用窗函数的最小长度Nw=N;wc=(wp+ws)/2;%截止频率在通带和阻带鸿沟频率的中点n=0:N-1;alpha=(N-1)/2;%求滤波器的相位延迟m=n-alpha+eps; %eps为MATLAB系统的精度hd=sin(wc*m)./(pi*m);%由（7-20）式求理想滤波器脉冲响应win=hanning(Nw);%采纳汉宁窗h=hd.*win';%在时间域乘积对应于频率域的卷积b=h;figure(1)[H,f]=freqz(b,1,512,50);%采纳 50 Hz 的采样频率绘出该滤波器的幅频和相频响应subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H)))xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB');grid on;subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H)))xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/^o');grid on;%impz(b,1);%可采纳此函数给出滤波器的脉冲响应%zplane(b,1);%可采纳此语句给出滤波器的零极点图%grpdelay(b,1);%可采纳此函数给出滤波器的群延迟f1=3;f2=20;%检测输入信号含有两种频率成份dt=0.02; t=0:dt:3; %采样间隔和检测信号的时间序列x=sin(2*pi*f1* t)+cos(2* pi*f2* t);%检测信号%y=filter(b,1,x);%可采纳此函数给出滤波器的输出y=fftfilt(b,x);%给出滤波器的输出figure(2)subplot(2,1,1), plot(t,x),title('输入信号')%绘输入信号subplot(2,1,2),plot(t,y)%绘输出信号hold on; plot([1 1]*(N-1)/2*dt,ylim, 'r') %绘出延迟到的时刻xlabel('时间/s'),title('输出信号')法式运行结果见图7-5和图7-6.该例设计通带鸿沟Hz, 其中Fs为采样频率，Fnormal为归一化频率.由图7-5上图可以看到，在小于12.5Hz 的频段上，几乎看不到下降，即满足通带波纹不年夜于3dB的要求.在年夜于16.5Hz的频段上，阻带衰减年夜于30dB，满足设计要求.由图7-5下图可见，在通带范围内，相位频率为一条直线，标明该滤波器为线性相位.图7-6给出了滤波器的输入信号和输出信号，输入信号包括3Hz和20Hz的信号，由图7-5可知，20Hz的信号不能通过该滤波器，通过滤波器后只剩下3Hz的信号，输出结果也证明了这一点.但要注意，由于FIR滤波器所需的阶数较高，信号延迟(N-1)/2也较年夜，输出信号前面有一段直线就是延迟造成的.上述法式显示的N取50才华满足设计要求.这样相位延迟为s.验证了FIR滤波器相位延迟的理论.在输出信号的前部，有一些小信号，这是截断信号鸿沟所致，后面的部份就没有了这种信号.若采纳零相位的filtfilt 函数（说明见第六章第三节）输出，则可最年夜限度地减小鸿沟的影响.图 7-5 例7-4所设计滤波器的幅频响应（上图）和相频响应（下图）图7-6 例7-4所设计滤波器的输入和输出信号7.2.4标准型FIR 滤波器7.2.3节给出了运用理想脉冲响应与窗函数乘积的方法给出了滤波器传递函数的设计方法.其实MATLAB 已将上述方法复合成一个函数，提供基于上述原理设计标准型FIR 滤波器的工具函数.fir1就是采纳经典窗函数法设计线性相位FIR 数字滤波器的函数，且具有标准低通，带通，高通,带阻等类型.函数调用格式为：b=fir1(n,wn[,'ftype',window])式中，n 为FIR 滤波器的阶数，对高通,带阻滤波器，n 需取偶数；wn 为滤波器截止频率，范围为0~1（归一化频率）.对带通,带阻滤波器，wn=[w1,w2](w1<w2)；对多带滤波器，如wn=[w1，w2，w3,w4],频率分段为：0<w<w1，w1<w<w2，w2<w<w3，w3<w<w4.‘ ftype'为滤波器的类型：缺省时为低通或带通滤波器；'high'为高通滤波器；‘stop'为带阻滤波器，'DC-1'为第一频带为通带的多带滤波器；'DC-0'为第一频带为阻带的多带滤波器.window 为窗函数列向量，其长度为n+1.缺省时，自动取哈明窗.MATLAB 提供的窗函数有boxcar 、hanning 、hamming 、bartlett 、blackman 、kaiser 、chebwin ，调用方式见上节.b 为FIR 滤波器系数向量，长度为n+1.FIR 滤波器的传递函数具有下列形式：n z n b z b z b b z b ---+++++=)1()3()2()1()(21 (7-21)用函数fir1设计的FIR 滤波器的群延迟为n/2.考虑到n 阶滤波器系数个数为N ，即n+1，这里的延迟与前面所讲的(N-1)/2的延迟一致.注意这里的滤波器的最小阶数比窗函数的长度少1.【例7-5】 用窗函数设计一个线性相位FIR 低通滤波器，技术指标同上节例7-4.%Samp7_5wp=0.5*pi;ws=0.66*pi;%滤波器的鸿沟频率wdelta=ws-wp;%过渡带宽度N=ceil(8* pi/wdelta);%求解滤波器的最小阶数，根据汉宁窗主瓣宽Wn=(0.5+0.66)*pi/2;%截止频率取通带和阻带鸿沟频率的中点b=fir1(N,Wn/pi,hanning(N+1));%设计FIR滤波器,注意fir1要求输入归一化频率[H,f]=freqz(b,1,512,50); %采纳50Hz的采样频率求出频率响应subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H)))xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB');grid on;subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H)))xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/^o');grid on;法式运行与上例中的图7-5一致.【例7-6】设计一个48阶FIR带通滤波器，通带鸿沟的归一化频率为0.35和0.65.假设一个信号，其中含有f1=1Hz，f2=10Hz,f3=20Hz，三种频率成份信号的采样频率为50Hz.试将原信号与通过滤波器的信号进行比力.%Samp7_6wp=[0.35 0.65];N=48;%通带鸿沟频率（归一化频率）和滤波器阶数Fs=50;b=fir1(N,wp);%设计FIR带通滤波器figure(1)[H,f]=freqz(b,1,512,Fs);%以50Hz为采样频率求出滤波器频率响应subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H)))xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB');grid on;subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H)))xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/^o');grid on;f1=1;f2=10;f3=20;%输入信号的三种频率成份t=0:1/50:3;%时间序列x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);%输入信号%y=filter(b,1,x);%可以采纳过滤器进行滤波y=fftfilt(b,x);%采纳fftfilt对输入信号滤波figure(2)subplot(2,1,1), plot(t,x),title('输入信号')%绘出输入信号波形subplot(2,1,2),plot(t,y)%绘出输出信号波形hold on;plot(N/2*0.02*ones(1,2),ylim, 'r') %绘制延迟到的时刻title('输出信号'),xlabel('时间/s')法式运行结果见图7-7和图7-8.通带归一化频率对应于采样频率为Hz(采纳6-19式计算).由图7-7上图可见满足这一设计要求.在这个频带范围内的相位满足线性相位，符合FIR滤波器的一般特点.图7-8为检测滤波器的输入信号和输出信号.输入信号中含有1Hz,10Hz和20Hz的信号.根据图7-7上图可知，1Hz和20Hz的频率在阻带范围内，不能通过该滤波器，只有10Hz的信号可以通过该滤波器，输出信号标明了这一点.滤波器的相位延迟根据N/2*0.02s=0.48s获得，输出信号前面的直线部份年夜体为这个时间延迟,另外滤波后周期为10Hz的信号相位（红线开始部份），跟滤波前的相位（信号开始部份）也一致，说明通过该滤波器滤波后没有改变信号的相位.图 7-7 例 7-6 设计滤波器的幅频特性（上图）和相频特性（下图）图 7-8 例 7-6 滤波器的输入信号和输出信号【例7-7】FIR低通滤波器阶数为40，截止频率为200Hz，采样频率为Fs=1000Hz.试设计此滤波器并对信号x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)滤波，f1=50Hz,f2=250Hz，选取滤波器输出的第81个采样点到第241个采样点之间的信号并与对应的输入信号进行比力.由于采样频率为1000Hz，所以该滤波器的归一化频率的1对应于Nyquist频率500Hz，因此归一化截止频率为200/500(参看（6-19）式).%Samp7_7clf;N=1000;Fs=1000;%数据总数和采样频率fc=200;n=[0:N-1];t=n/Fs;%时间序列f1=50;f2=250;x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);%输入信号b=fir1(40,fc*2/Fs);%设计40阶的低通滤波器，归一化截止频率据6-19式yfft=fftfilt(b,x,256);%对数据进行滤波n1=81:241;t1=t(n1);%选择采样点间隔x1=x(n1);%与采样点对应的输入信号subplot(2,1,1);plot(t1,x1); grid on;%绘制输入信号title('输入信号');n2=n1-40/2;t2=t(n2); %输出信号，扣除相位延迟N/2y2=yfft(n2);subplot(2,1,2);plot(t2,y2);%绘制输出信号title('输出信号');grid on; xlabel('时间/s')法式输出结果见图7-9.可见经过滤波器的滤波，完全滤去了250Hz 的高频成份，只剩下50Hz的低频成份.图 7-9 例7-7设计滤波器的输入信号和输出信号【例7-8】设计采样频率为1000Hz,阻带频率从100Hz~200Hz的100阶的带阻FIR滤波器.对信号x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)滤波，f1=50Hz，f2=150Hz，并与对应的输入信号进行比力.%Samp7_8clf;N=300;Fs=1000;%数据总数和采样频率Order=100; %滤波器阶数n=[0:N-1];t=n/Fs;%时间序列wn=[100 200]/(Fs/2); %鸿沟频率转换为归一化频率，据6-19式b=fir1(Order,wn,'stop');% 设计100阶的带阻滤波器figure(1)[H,f]=freqz(b,1,512,Fs);subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H)))xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB');grid on;subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H)))xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/^o');grid on;f1=50;f2=150; %输入信号频率x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);%输入信号y=fftfilt(b,x,256);% 对数据进行滤波figure(2)subplot(2,1,1);plot(t,x); grid on; %绘制输入信号title('输入信号');subplot(2,1,2);plot(t,y);%绘制输出信号hold on;plot(Order/2/Fs*ones(1,2),ylim, 'r') %绘制延迟到的时刻title('输出信号');grid on; xlabel('时间/s')法式输出结果见图7-10和图7-11.由图7-10上图可见，阻带范围为100~200Hz，完全符合设计要求.在通带的相位是线性的.由图7-11可见，滤波器滤除150Hz（在阻带范围内）的信号，保管了50Hz的信号.相位延迟100/2/Fs=0.05s，与图形一致.图 7-10 例7-8设计带阻滤波器的幅频（上图）和相频特性（下图）图 7-11例7-8设计滤波器的输入和输出信号该小节只给出了FIR低通，带通和带阻滤波器的例子，请年夜家在课下自己设计高通，第一频带为通频带和第一频带为阻频带的多带滤波器的例子，以加深对该函数的理解.7.2.5 多频带FIR滤波器除设计标准型FIR滤波器外，MATLAB信号处置工具箱还提供另一种基于窗函数滤波器设计的工具函数fir2，用于设计具有任意形状频率响应的FIR滤波器，其调用格式为：b=fir2（n，f,m[[,npt],window]）式中，n为滤波器的阶数；f和m分别为滤波器期望幅频响应的频率向量和幅值向量，取值范围为0~1(归一化频率).m，f具有相同的长度,window为窗函数，获得列向量，长度必需为n+1.缺省时自动取哈明窗；npt为对频率响应进行内插的点数，缺省时为512.b为FIR滤波器系数向量，长度为n+1，滤波器具有与（7-21）式相同的形式.【例 7-9】用窗函数设计一个多频带的FIR滤波器，滤波器阶数分别为10和100，滤波器的特性同上一章例6-12，即f=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0],m=[0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0],比力理想和实际滤波器的幅频响应.假设一个信号，其中f1=12Hz,f2=36Hz.信号的采样频率为100Hz.试将原信号与通过滤波器的信号进行比力.%Samp7_9clff=0:0.1:1;%归一化频率点数m=[0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0];%幅频特性值Order=10;% 滤波器的阶数b=fir2(Order,f,m,hamming(Order+1));%设计滤波器[h,w]=freqz(b,1,128);%计算滤波器的频率响应subplot(2,1,1)plot(f,m,w/pi,abs(h),'r:')%绘制理想幅频响应和设计的滤波器幅频响应legend('理想特性', '实际设计') %给出图例title('Order=10');xlabel('归一化频率');ylabel('振幅');Order=100;b=fir2(Order,f,m,hamming(Order+1));%设计阶数为100的滤波器[h,w]=freqz(b,1,128);%计算滤波器的频率响应subplot(2,1,2),plot(f,m,w/pi,abs(h),'r:');%绘制理想幅频响应和设计的幅频响应ylim([0 1])legend('理想特性', '实际设计') %给出图例title('Order=100');xlabel('归一化频率');ylabel('振幅');f1=12;f2=36;% 输入信号的两种频率成份t=0:1/100:2;% 时间序列x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t);%输入信号y=fftfilt(b,x);%对输入信号进行滤波figure(2)subplot(2,1,1), plot(t,x),title('输入信号')%绘制输入信号subplot(2,1,2),plot(t,y)%绘制输出信号hold on;plot(Order/2/100*ones(1,2),ylim, 'r') %绘制延迟到的时刻title('输出信号'),xlabel('时间/s')法式输出结果见图7-12和图7-13.由该例可知，只有取100阶时，实际滤波器的幅频响应才迫近理想滤波器的幅频响应.与第6章例6-12的输出比力可知，相同性能的FIR滤波器阶数比IIR滤波器要高很多.另外，该例中，信号含有两种频率成份，~~15Hz.同理，归一化频率中的~~40Hz.可见12Hz和36Hz的波均在通带的范围内，因此均可通过.该例的输出结果与例6-12的输出结果比力可知，FIR滤波器的相位延迟比IIR滤波器的相位延迟年夜很多.图 7-12 例7-9所设计滤波器的幅频特性上图：阶数为10；下图：阶数为100图 7-13 例7-9所设计滤波器的输入和输出信号MATLAB信号处置工具箱提供了比基于窗函数法FIR滤波器设计工具函数fir1和fir2更为通用的函数firls和remez.它们采纳分歧的优化方法设计最优的标准多频带FIR数字滤波器.函数remez实现Park-McClellan算法，这种算法利用Remez交换算法和Chebyshev近似理论来设计滤波器，使实际频率响应拟合期望频率响应到达最优.从实际和理想频响之间最年夜误差最小化的观点来看，函数remez设计的滤波器是最优的，因此，又称之为最优滤波器.在频率域内，滤波器出现等波纹特点，因此又称之为等波纹滤波器.Park-McClellan滤波器设计方法是FIR滤波器设计中最流行的，应用最广的设计方法.函数firls和remez的调用格式语法规则相同，只是优化算法分歧.7.3.1 基本形式最优滤波器函数基本调用格式为：b=firls(n,f,a)。
课后习题及答案_第7章有限脉冲响应数字滤波器设计--习题（精品pdf）
第6章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计习题1． 已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为：（1） h (n )长度N =6h (0)=h (5)=1.5h (1)=h (4)=2h (2)=h (3)=3（2） h (n )长度N =7h (0)=－ h (6)=3h (1)=－ h (5)=－ 2h (2)=－h (4)=1h (3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。
2． 已知第一类线性相位FIR 滤波器的单位脉冲响应长度为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为：H g (0)=12， H g (1)=8.34， H g (2)=3.79， H g (3)~H g (8)=0根据第一类线性相位FIR 滤波器幅度特性H g (ω)的特点， 求其余7个频域幅度采样值。
3． 设FIR 滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h (n )， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特性函数和相位特性函数。
4． 用矩形窗设计线性相位低通FIR 滤波器， 要求过渡带宽度不超过π/8 rad 。
希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数H d (e j ω)为（1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应h d (n )；（2） 求出加矩形窗设计的低通FIR 滤波器的单位脉冲响应h (n )表达式， 确定)9.01.29.01(101)(4321−−−−++++=z z z z z Hα与N之间的关系；（3）简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。
5．用矩形窗设计一线性相位高通滤波器，要求过渡带宽度不超过π/10 rad。
希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数H d(e jω)为（2）用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？题8图9．对下面的每一种滤波器指标，选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度。
（1）阻带衰减为20 dB，过渡带宽度为1 kHz，采样频率为12 kHz；（2）阻带衰减为50 dB，过渡带宽度为2 kHz，采样频率为20 kHz；（3）阻带衰减为50 dB，过渡带宽度为500 Hz，采样频率为5 kHz。
第七章 无限脉冲响应数字滤波器的
数字滤波器(IIR DF)的设计
7.1
数字滤波器的基本概念
数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线
性系统环节，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的 本质是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另 一组输出的数字序列。 数字滤波器的分类: １） 经典滤波器：即一般滤波器（输入信号中有用的频 率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过以合 适的选频滤波器达到滤波目的）
３）线性相位滤波器设计方法
H (z)
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FIR滤波器：常用（相位特性严格线性，这是AF 无法达到的） IIR滤波器：必须使用全通网络对其非线性相位特 性进行相位校正
IIR DF的设计方法有：间接设计法（AF变换方法）、直接 设计法及采用计算机辅助的优化设计方法。经常用的一类 设计方法是间接设计法：即借助于模拟滤波器的设计方法 进行的。
单位圆周外。
说明S平面的右半平面映射到Z平面的
因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统
但存在映射多值性问题:
ze
sT
s jW
j (W 2 M T M T )T
e e
T
jW T
e e
jw
T
re
jw
令 : r 1,
z e
e
j (W 2
)T
M 为任意整数
s 1 (s 1) W1
2 2
1 jW 1
则对应的DF的二阶基本节的形式为
1 z e 1 2z e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 1T 1 1T
c os W 1T
2 2 1T
c os W 1T z e
如果AF的二阶基本节的形式为
脉冲响应不变法设计数字滤波器
脉冲响应不变法设计数字滤波器1. 概述1.1 任务背景数字滤波器是数字信号处理中的重要组成部分。
它们用于去除信号中的噪声以及滤波所需的频率区域的信号。
而脉冲响应不变法是一种用于设计数字滤波器的常用方法。
1.2 任务目标本文旨在全面探讨脉冲响应不变法的原理、步骤和注意事项，并提供一个详细的设计数字滤波器的示例。
2. 脉冲响应不变法原理脉冲响应不变法是一种通过在连续时间域中设计一个模拟滤波器，然后将其转换为数字滤波器的方法。
该方法基于假设，认为如果两个滤波器具有相同的脉冲响应，则它们在时域中的输出也应该相同。
3. 设计步骤3.1 确定模拟滤波器的性能指标在使用脉冲响应不变法之前，需要确定数字滤波器的性能指标。
这些指标通常包括截止频率、通带波纹和阻带衰减等。
3.2 设计模拟滤波器根据所确定的性能指标，设计一个模拟滤波器，通常采用模拟滤波器的标准设计方法，如巴特沃斯、切比雪夫等。
3.3 确定采样频率采样频率是指将模拟滤波器转换为数字滤波器时使用的采样率。
它应该足够高，以避免混叠现象的发生。
3.4 确定数字滤波器的阶数根据模拟滤波器的阶数和采样频率，确定数字滤波器的阶数。
通常情况下，数字滤波器的阶数要高于模拟滤波器的阶数。
3.5 转换为差分方程使用差分方程将模拟滤波器转换为数字滤波器。
差分方程可以描述数字滤波器的输入和输出之间的关系。
3.6 频率响应替代通过频率响应替代，将差分方程转换为数字滤波器的传输函数形式。
3.7 确定数字滤波器的系数根据所得到的传输函数，确定数字滤波器的系数。
通过将传输函数转换为Z变换域，可以得到数字滤波器的系数。
4. 注意事项设计数字滤波器时，需要注意以下几个问题： - 模拟滤波器和数字滤波器的脉冲响应之间的差异 - 采样频率对滤波器性能的影响 - 数字滤波器的阶数和计算复杂度的权衡5. 示例以下是一个使用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器的示例：1.确定性能指标：截止频率为1kHz，通带波纹为0.1dB，阻带衰减为60dB。
第7章 有限脉冲响应滤波器的设计
2012-6-23
西安建筑科技大学信息与控制学院
4
FIR滤波器的特点 FIR滤波器的脉冲响应h(n)是有限长的(0≤n≤N-1)，其z N 1 n 变换为 H ( z ) h(n) z
n0
是z-1的(N-1)阶多项式，在有限z平面(0<n<∞)上有(N-1) 个零点，而极点位于z平面原点z=0处，且有(N-1)阶。 FIR滤波器最突出的优点有2个： 一是只要对h(n)附加一定的条件，很容易获得严格的线 性相位特性； 二是由于H(z)的极点位于原点z=0处，始终满足稳定条 件，所以FIR滤波器永运稳定。
7-10 7-11 7-12 7-13
式(7-12)是FIR滤波器具有第二类线性相位的充要条件
2012-6-23 西安建筑科技大学信息与控制学院 12
第二类线性相位的必要且充分条件 要求脉冲响应序列h(n)以n=(N-1)/2为奇对称中心，此 时延时τ等于(N-1)/2个抽样周期。h(n)在这种奇对称 情况下，满足h[(N-1)/2]= -h[(N-1)/2]，因而 h((N-1)/2)=0。 这种线性相位情况和前一种不同之处是，除了产生 线性相位外，还有±π/2的固定相移。 由于h(n)有上述奇对称和偶对称两种，而h(n)的点数 N又有奇数、偶数两种情况，因而h(n)可以有4种类 型，如图7-5和图7-6所示，分别对应于4种线性相位 FIR数字滤波器。
H
g
( ) h ( n ) cos[(
n0
N 1
N 1 2
n ) ]
N / 2 1
2 h ( n ) cos[(
N 1 2
n ) ]
n0
2012-6-23
西安建筑科技大学信息与控制学院
第7章 FIR-有限长单位脉冲响应 及其滤波器设计
3 0 1 2
4
5
h(n) 奇 对称， N为偶 数
n
图7-2 h(n) 奇对称
第7章有限长单位脉冲响应（FIR）数字滤波器的设计方法 7.2.2 线性相位FIR滤波器频率响应特点 先看h(n)偶对称的情况: h(n)=h(N-1-n) 其系统函数为
N −1 n=0
0≤n≤N-1
N −1 n=0
（7-13）
h(n) 偶 对称， N为奇 数
n
h(n) 偶 对称， N为偶 数
(N-1)/2 偶对称 中心
h(n)
0
1
图7-1 h(n) 偶对称
2
3
4
5
n
第7章有限长单位脉冲响应（FIR）数字滤波器的设计方法
h(n)
(N-1)/2 奇对称 中心
4 0 1 2 3
5
6
h(n) 奇 对称， N为奇 数
n
h(n)
(N-1)/2 奇对称 中心
jω
（7-20）
式中，grd(group
delay)为群延迟函数。由式（7-20）可
知，当h(n)满足偶对称时，FIR数字滤波器具有(N-1)/2个 采样的延时， 它等于单位脉冲响应h(n)长度的一半。也 就是说，FIR数字滤波器的输出响应整体相对于输入延时 了(N-1)/2个采样周期。 再看h(n)奇对称的情况: h(n)=-h(N-1-n) 0≤n≤N-1 （7-21）
第7章有限长单位脉冲响应（FIR）数字滤波器的设计方法 •再者，只要经过一定延时，任何非因果有限长序列都可以 变成因果有限长序列，因而总能用因果系统来实现。 •还有，FIR滤波器由于单位冲激响应是有限长的，因而可 利用FFT实现信号过滤，从而使运算效率得到大幅提升。 •但是，要取得很好的衰减特性，FIR滤波器H(z) 的阶次比 IIR滤波器的要高。 •IIR滤波器设计中的各种变换法对FIR滤波器设计是不适用 的，这是因为那里是利用有理分式的系统函数，而FIR滤 波器的 系统函数只是z-1的多项式。 •从以上讨论可见，我们最感兴趣的是具有线性相位的FIR 滤波器。对于非线性相位的FIR滤波器，一般可用IIR滤波 器来代替，IIR滤波器所需阶数比FIR滤波器的要少很多。
[整理后]第7章有限脉响应数字滤波器的设计
![[整理后]第7章有限脉响应数字滤波器的设计](https://img.taocdn.com/s3/m/a7429e4627d3240c8447ef5e.png)
d ( ) d
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
所以两种情况都称为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是
第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。 FIR滤波器具有第一类线性相位的条件是： h(n)是 实序列且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-n-1) FIR滤波器具有第二类线性相位的条件是：h(n)是 实序列且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-n-1) 2. 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点
n 0
N 1 2
如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，
N 1 N H ( z ) h(n )[ z n z ( N n 1) ] h( 1) z 2 2 n 0 从上面的公式可以看出，线性相位FIR滤波器比 FIR滤波器的直接型结构节省乘法器近一半。线性相 位滤波器的网络结构图如下： ( N 1) 1 2
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点
FIR 滤波器具有线性相位的特性，它的幅度有特
殊的对称性，零点和网络结构也很特别。 1. 线性相位的条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为
H ( e j ) h ( n ) e j n
n 0
N 1
H g ( )e j ( )
令m=N-n-1,则有
N 1 2 n 0 N 1 2
H ( z ) h(n ) z n h( N m 1) z ( N m1)
m 0
h(n ) h( N n 1)
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
H ( z ) h(n )[ z n z ( N n 1) ]
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
数字信号处理讲义--第7章 滤波器的设计方法
第７章 滤波器的设计方法教学目的1．掌握由连续时间滤波器设计离散时间IIR 滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．了解常用的窗函数，掌握低通IIR 滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR 滤波器的方法；3．掌握FIR 滤波器的逼近原理与设计方法。
教学重点与难点重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。
1．连续时间滤波器设计离散时间IIR 滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．常用的窗函数，掌握低通IIR 滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR 滤波器的方法；3．掌握FIR 滤波器的逼近原理与设计方法。
难点：1. 冲激响应不变法，双线性变换法2. 用窗函数法设计FIR 滤波器 FIR 滤波器的逼近原理与设计方法 7.0 基本概念选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。
在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。
数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。
它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。
因此， 数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。
我们已经知道，一个输入序列x (n )，通过一个单位脉冲响应为h (n )的线性时不变系统后，其输出响应y (n )为将上式两边经过傅里叶变换，可得式中，Y (e j ω)、X (e j ω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H (ej ω)是系统的频率响应函数。
可以看出，输入序列的频谱X (e j ω)经过滤波后，变为X (e j ω)H (e j ω)。
如果|H (e j ω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。
因此，只要按照输入信号频谱的特点和∑∞-∞=-=*=n m n x m h n h n x n y )()()()()()()()(ωωωj j j e H e X e Y =处理信号的目的，适当选择H (ej ω)，使得滤波后的X (e j ω)H (e j ω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
滤波器设计中的有限脉冲响应滤波器
滤波器设计中的有限脉冲响应滤波器在滤波器设计中，有限脉冲响应（Finite Impulse Response，简称FIR）滤波器是一种常用的数字滤波器。
它的特点是在有限的时间内，对于输入信号的激励响应仅持续一段时间，然后逐渐趋于零。
本文将对有限脉冲响应滤波器的原理、设计方法和应用进行探讨。
一、有限脉冲响应滤波器的原理有限脉冲响应滤波器的原理基于线性时不变系统的概念。
在其输入信号被滤波后，输出信号可以通过其输入信号与系统的冲击响应之间的卷积来得到。
有限脉冲响应滤波器的冲击响应是有限长度的，因此其输出信号只在有限时间内有效。
二、有限脉冲响应滤波器的设计方法有限脉冲响应滤波器的设计需要考虑滤波器的阶数、截止频率以及滤波器系数等因素。
常用的设计方法有窗函数法、频率采样法和最小均方差法等。
1. 窗函数法窗函数法是最常用的有限脉冲响应滤波器设计方法之一。
该方法首先选择一个窗函数，然后通过频域设计要求计算出理想的滤波器频域响应，再通过傅里叶反变换将其转化为时域的冲击响应。
最后，根据窗函数的特性对冲击响应进行加窗处理，得到最终的滤波器系数。
2. 频率采样法频率采样法是一种通过选择一组频率点来得到滤波器系数的方法。
首先在频域上规定一组频率点，然后通过将这些频率点的幅度和相位带入到滤波器特征方程等式中，求解出滤波器系数。
频率采样法的优点是设计过程简单，但在某些情况下可能会出现频谱泄漏等问题。
3. 最小均方差法最小均方差法是通过最小化设计误差的平方和来得到滤波器系数的方法。
该方法首先定义误差函数，然后通过求解导数为零的方程，得到滤波器系数的估计值。
最小均方差法能够减小设计误差，但计算复杂度较高。
三、有限脉冲响应滤波器的应用有限脉冲响应滤波器在数字信号处理中有广泛的应用。
其主要应用领域包括音频处理、图像处理和通信系统等。
1. 音频处理在音频处理中，有限脉冲响应滤波器可以用于音频均衡器、音频效果器和声音降噪等方面。
通过调整滤波器的系数和截止频率，可以实现对音频信号的滤波和调节。
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
IIR数字滤波器：
可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性
FIR数字滤波器：
可以严格线性相位，又可任意幅度特性 因果稳定系统
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1、线性相位条件
h(n)为单位取样响应，其频率响应：
H ( e ) h ( n )e
j n 0
N 1
j n
H ( )e j ( )
h(n) w(n)hd (n)
w(n)：窗函数
加窗截断产生因果可实现滤波器 逼近理想滤波器
要选择合适的形状和长度
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
n 有 wn 1(即完全不截断),则 W e j 是周期为 2 的周期脉冲串,因此H e . H e 这种解
如果对全部的
即零点既在实轴上，又在单位圆上
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
§7.2 窗函数设计法 1、设计原理（频率响应逼近理想滤波器特性）
因果可实现滤波器
H (e j ) h(n)e jn H d (e j )
n 0
N 1
理想非因果滤波器
1 hd (n ) 2
H d e j e j n d
N 1 N 1 2
n 0
1 n N21 n N21 h( n) [ z z ] 2
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
H (e ) H ( z )
j
j
z e j
je
j
N 1 N 1 2
n 0
N 1 h(n )sin[ (n )] 2
分析
n 使得 W e j 集中在 0 附近的一 个狭窄频带范围内,则除去H e 变化很突然的地方外, H H e 将与 e 很“相像”。
7有限脉冲响应数字滤波器的设计
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
情况2： h(n)=h(N－n－1)，N为偶数
仿照情况1的推导方法得到:
N 1
M
H (ej ) Hg ()e j = h(n)e jn e j 2h(n) cos((n ))
即
d ()
d
也称这种情况为线性相位。
满足(7.1.3)式是第一类线性相位； 满足(7.1.4)式是第二类线性相位。 θ0=－π/2是第二类线性相位特性常用的情况。
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2. 线性相位FIR的时域约束条件 线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足
线性相位时，对h(n)的约束条件。
n0
n0
M
Hg () 2h(n) cos[(n )] n0
（7.1.12）
幅度特性Hg(ω)分析：
式中， (N 1) / 2 N / 2 1/ 2 。因为Ｎ是偶数，所
以当 时
cos[(n
)]
cos
n
N 2
sin
n
N 2
0
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
因为cos［ω(n－τ)］
2) 第二类线性相位对h(n) 第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数 θ(ω)=－π/2－ωτ，可得:
N 1
H (e j ) h(n)e jn Hg ()e j(/ 2 ) n0 N 1 h(n)cos[(n )] 0 （7.1.9） n0
满足式（7.1.9）的一组解是：
函数h(n)cos[ω(n－τ)]关于求和区间的中心(N－1)/2奇对称。 因为cos[ω(n－τ)]关于n=τ偶对称，如果取τ=(N－1)/2，则要
有限脉冲响应数字滤波器的设计共50页文档
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
有限脉冲响应数字滤波器的设计
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
数字信号处理-7有限脉冲响应数字滤波器的设计共87页文档
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
数字信号处理-7有限脉冲响 应数字滤波器的设计
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
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i 0
N 1
①
H ( z ) ai z
i 0
N 1 i 0
N 1
i
因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示
y(n) h(i) x(n i)
比较①、③得：
③
ai h(i ) H ( z ) h(i ) z i
i 0 N 1
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(7.1.17)
N 1 N 1 c ( n ) 2h ( n ), n 1, 2, , 2 2
(7.1.18)
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶数 类似上面3)情况，推导如下：
N 1 n 0
H g ( )
N 1 N 1 h(n)sin[ ( n)] 2h(n)sin[ n)] 2 2 n 0
H ( z ) h(n ) z
n 0 N 1 n
h ( N n 1) z n
n 0 N 1
N 1
令m=N-n-1,则有
H ( z ) h(m) z
n 0 N 1 ( N m 1)
z
( N 1)
n 0
h(m) z m
H e j H e j h n e jn
n 0 N 1
式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等 式右边的实部与虚部应当ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ自相等，同样实部 与虚部的比值应当相等:
h n sin n sin cos h n cos n
FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)：
优点 ： （1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产 生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、 数据传输等系统中非常重要； （2 ）可得到多带幅频特性； （3 ）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题； （4 ）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的 延时，转变为因果序列， 所以因果性总是满足； （5）无反馈运算，运算误差小。
N 1
N 1 h(n) cos[( n ) ] 2 N 1 2h(n) cos[ ( n)] 2
n 0
N 1 2
n 0
2 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 N 1 2 n cos[( n h(h()n) cos[ ( ) n)] ] 2
H g ( )
(7.1.10)
H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 )
同样可以表示为
1 1 N 1 H ( z ) [ H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 )] h(n )[ z n z ( N 1) z n ] 2 2 n 0 z
按照(7.1.2)式，幅度函数Hg(ω)和相位函数分别为
N 1 H g ( ) h(n ) cos[( n ) ] 2 n 0 1 ( ) ( N 1) 2
N 1
(7.1.8)
(7.1.9)
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(2) 第二类线性相位条件证明：
N 1 ( N 3) / 2 N 1 H g ( ) h( ) 2h(n) cos[(n ) ] 2 2 n 0
令m=(N-1)/2-n,则有
N 1 ( N 1) / 2 N 1 H g ( ) h( ) 2h( m) cos m 2 2 n 0 H g ( )
第一类线性相位 第二类线性相位
θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位 (7.1.4)
种情况都满足群时延是一个常数，即
严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位，但以上两
d ( ) d
•群时延：又称为包络时延,信号传输时,总相移随角频率而变化的速
度,亦即相位一频率特性曲线的斜率。
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
FIR filter概述
FIR数字滤波器的差分方程描述
y (n) ai x(n i)
( N 1 N 1 ) 2 n 0 jω代入上式，得到：
按照上式可以将H(z)表示为
N 1 n 1 n N21 h(n )[ [ z z 2 ]] 2
将z=e
j
H (e ) e
j(
N 1 N 1 ) 2
n 0
N 1 h(n ) cos[( n ) ] 2
对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并， 由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数
表示为
N 1 ( N 3) / 2 N 1 H g ( ) h ( ) 2h ( n ) cos[( n ) ] 2 2 n 0
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
(1) 第一类线性相位条件证明：
H ( z ) h( n ) z n
n 0
N 1
将(7.1.5)式代入上式得
H ( z ) h( N n 1) z n
n 0
N 1
令m=N-n-1,则有
H ( z ) h( m ) z ( N m 1) z ( N 1) h ( m ) z m
m 0 m 0
N 1
N 1
H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 )
(7.1.7)
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
1 1 N 1 H ( z ) [ H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 )] h(n )[ z n z ( N 1) z n ] 2 2 n 0 z
分四种情况
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2. 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点
1) h(n)=h(N-n-1),N=奇数
按照(7.1.8)式，幅度函数H g(ω)为 N 1 N 1 H g ( ) h(n)cos[(n ) ] 2 n 0
式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶
N 1 j N 1 2 2
n 0
h(n) sin[ (n
e
j
N 1 j N 1 2 2
n 0
N 1 h(n) sin[ ( n)] 2
因此，幅度函数和相位函数分别为
N 1 H g ( ) h(n) sin[ ( n)] 2 n 0 N 1 Q( ) ( ) 2 2
式中
( N 1) / 2
n 0
a(n) cos n
(7.1.13)
N 1 a (0) h( 2 ) a ( n ) 2h( N 1 n ), n 1, 2,3, , N 1 2 2
(7.1.14)
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
N /2 m 1
N 1 2
令m=N/2-n,则有
H g ( )
N 1 2h( m) sin[ ( m )] 2 2
(7.1.19)
1 H g ( ) d ( n ) sin[ ( n )] 2 n 1 N N d ( n ) 2h ( n ), n 1, 2,3 , 2 2
W＝π时，余弦项为0，且对W＝π奇对称，
N /2
N N / 2 2 1
(7.1.15)
(7.1.16)
所以第一类线性相位＆N＝偶数的情况下，幅度特性的特 点是：对W＝π奇对称，且在W＝π处有一零点。
这对高通和带阻不适合采用这种情况。
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数
• 满足第一类线性相位的条件是：
——h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即
h(n)=h(N-n-1) • 满足第二类线性相位的条件是： (7.1.5)
——h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即
h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6)
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
FIR滤波器：
N 1
(7.1.11)
(7.1.12)
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2
0
0
2
2
( N 1)
( N 0.5)
h(n) 偶对称
图1 线性相位特性
h(n) 奇对称
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
2. 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点
N 1 N 1 2 n 0
N 1 n 1 n N21 h(n ) [ z z 2 ] 2
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
H (e ) H ( z ) e
j
j
z e j
je
j
N 1 N 1 2
n 0
N 1 h(n) sin[ (n )] 2 N 1 )] 2
H ( e ) h ( n )e j n
j n 0
N 1
(7.1.1) (7.1.2)
H ( e j ) H g ( )e j ( )
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意：
• Hg(ω)不同于|H(ejω)|，Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值， 而|H(ejω)|总是正值。 • H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即 θ(ω)=－τω, τ为常数 (7.1.3)