山西省运城市康杰中学2018届高考模拟(四)数学(文)试卷

康杰中学2018年数学（文）模拟试题（四）
【满分150分，考试时间120分钟】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数5
122i
z i -=+的实部为 A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
2. 设集合{}
2log ,04A y y x x ==<≤，集合{}
1x
B x e =>，则A B U 等于 A. (],2-∞
B. (0,)+∞
C. (,0)-∞
D. R
3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是 A. 492
B. 382
C. 185
D. 123
4. 给出下列四个结论： ①命题“1
0,2x x x
∀>+
≥.”的否定是“00010,2x x x ∃>+<.”
； ②“若3
π
θ=
，则3sin θ=
.”的否命题是“若,3
π
θ≠则3sin θ≠.”； ③若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则命题,p q 中一真一假； ④若1
:
1;:ln 0p q x x
≤≥，则p 是q 的充分不必要条件. 其中正确结论的个数为 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 已知1tan 4tan θθ+
=，则2cos 4πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
A.
1
2 B.
1
3
C. 14
D. 15
6. 已知实数,x y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，若z x ay =-只在点（4，3）处取得最大值，则a
的取值范围是 A. (,1)-∞- B. (2,)-+∞
C. (,1)-∞
D. 1
()2
+∞，
7. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为 A.
83
B.
43
C.
82
3
D.
42
3
8. 已知a r 与b r 为单位向量，且a r ⊥b r ，向量c r 满足||c a b --r r r
＝2，则｜c r ｜的取值范围为
A. [112]+，
B. [2222]+－，
C. [222]，
D. [322322]+－，
9. 将函数2sin (0)y x ωω=>的图象向左平移
(0)2
ϕπ
ϕω<≤个单位长度后，
再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若()1g x >-对任意(,)123x ππ
∈-恒成立，则ϕ的取值范围是 A. [
,]122
ππ
B. [
,]63
ππ
C. [
,]123
ππ
D. [
,]62
ππ
10. 设双曲线2
2
13y x -=的左、右焦点分别为12,F F . 若点P 在双曲线上，且12F PF ∆为锐角三角形，则12PF PF ｜｜+｜｜的取值范围是
A. (27,8)
B. (23,27)
C. (27,)+∞
D. (8,)+∞
11. 如图，在ABC ∆中，6,90AB BC ABC ︒==∠=，点D 为AC 的中点，
将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -. 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A. 7π
B. 5π
C. 3π
D. π
正视图
侧视图
俯视图
12. 设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且
()(4),(4)0,(2)1f x f x f f ''=-==，则使得()20x f x e -<成立的x 的取值范围是
A. (2,)-+∞
B. (0,)+∞
C. (1,)+∞
D. (4,)+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 幂函数2
()(33)m
f x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m ＝_______.
14. 已知向量(2,1),(,)a b x y ==r r
，若{}{}1,0,1,2,1,0,1x y ∈-∈-，则向量//a b r r 的概率为
_______.
15. 在△ABC 中，,,a b c 分别是内角A ，B ，C 的对边且B 为锐角，若
sin 5sin 2A c
B b
=
，757sin ,ABC B S ∆=
=，则b 的值为________. 16. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线与椭圆交于
,A B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于,A B 的动点且14PAB PBF S S ∆∆=，则该椭圆
的离心率为__________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考 题，每个试题考生必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
已知数列{}n a 满足2
*22cos ,2
n n a n N π
=+∈，等差数列{}n b 满足11222,a b a b ==. （1）记212122n n n n n c a b a b --=+，求数列{}n c 的通项公式n c ； （2）求数列{}n n a b 的前2n 项和2n S . 18.（12分）
已知四棱锥E ABCD －的底面为菱形，且
602,ABC AB EC ∠==o ＝， 2,AE BE O ==为AB 的中点.
（1）求证：EO ⊥平面ABCD ；
（2）求点D 到平面AEC 的距离. 19. （12分）
设关于某产品的明星代言费x （百万元）和其销售额y （百万元），有如下表的统计表格：
表中3
(1,2,3,4,5).i i x i ω=＝
（1）在给出的坐标系xOy 中，作出销售额y 关于广告费x 的回归方程的散点图，根据散点图指出：3
ln ,y a b x y c dx =+=+哪一个适合作销售额y 关于明星代言费x 的回归方程（不需要说明理由）；并求y 关于x 的回归方程（结果精确到0.1）
（2）已知这种产品的纯收益z （百万元）与x ，y 有如下关系：
0.20.72([1.0,2.0])z y x x =-∈，
用（1）中的结果估计当x 取何值时，纯收益z 取最大值？ 附：对于一组数据1122(,),(,),,(,),n n u v u v u v L 其回归线v u αβ+＝的斜率和截距的最
小二乘估计分别为1
2
1
()
n
i
i
i n
i
i u v n u v
u u β∧
==⋅-⋅⋅-∑∑＝
，.v u αβ∧∧
-＝
20. （12分）
已知动点M 到定点)0,1(F 的距离比M 到定直线2-=x 的距离小1. （1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线21l l 和，分别交曲线C 于点B A ,和N K ,．设线段AB ，KN 的中点分别为Q P ,，求证：直线PQ 恒过一个定点. 21．（12分）
已知函数2
()2(1)2ln 21()f x x a x ax x a a R =-++++∈.
（1）2a =-时，求()f x 在(0,2)上的单调区间； （2）0x ∀>且2ln 1,
211
ax x
x a x x ≠>+--恒成立，求实数a 的取值范围. （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.（10分）
选修4—4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t α
α=⎧⎨
=+⎩
（t 为参数，0απ≤<），
曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y β
β
=⎧⎨=+⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）设C 与l 交于M N 、两点（异于O 点），求OM ON +的最大值. 23.（10分）
选修4—5：不等式选讲 已知函数(),f x x x a a R =-∈
（1）若(1)(1)1f f +->，求a 的取值范围；
（2）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式5
()4
f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.
数学文答案（四）
A 卷 1—5 BDDCC 6—10 CABBA 11—12 A
B B 卷 1—5 ACCBB 6—10 DBDD
C 11—12 BC 1. 解析 由复数的性质可求得
2. 本题考查集合的运算，指数函数，对数函数的基本性质. 解析 (],2,(0,)A B =-∞=+∞，故A B R =U
3. 本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识 解析 321434243123⨯+⨯+⨯+=
4. 本题考查了命题真假判断、充要条件等基础知识 解析 ①②③对，④错
5. 解析 由1tan 4,tan θθ+
=得：sin cos 14cos sin sin cos θθθθθθ+==1
sin 22
θ∴=，则21cos(2)
1sin 212cos ()4224
π
θπθθ++-+=== 6. 解析 本题考查线性规划.由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z x ay =-，变形为11
(0)y x z a a a
=
-≠只在(4,3)A 处取得最大值，则11a >或1
0a
<，可得01a <<或0a <，由0a =时z 在点A 处取得最大值，所以(,1)a ∈-∞
7. 本题考查三视图还原直观图的方法，几何体体积的计算，考查空间想象能力
及运算求解能力.
解析 如图，在棱长为2的正方体中，点,,A B C 为正方体的顶点，点,D E 为
所在棱的中点，由三视图还原后的几何体为四棱锥A BCDE -，分析知四棱锥的侧面
ABE ⊥底面BCDE ，点A 到直线BE 的距离即为棱锥的高，易求得为
45
5
，故四棱锥的体积为1458
25353
V =
⨯⨯⨯= 8. 解析 本题考查向量的几何运算及向量的模。

因为a r 与b r 为单位向量，且a r ⊥b r
，故可设
A B
C
D
E
(1,0),(0,1),(,)a b c x y
===r r r
又||
c a b --r r r ＝2，∴|1,1|2,x y --=∴
22(1)(1)2x y -+-=，即22(1)(1)4x y -+-=，其表示圆心为（1，1），半径2r =的圆，∴222222c x y ≤+≤+－｜｜=.
9. 解析 本题考查三角函数的图象变换与性质. 易知由2sin y x ω=经向左向下平移后，得到()2sin()1,g x x ωϕ=+-由已知得函数()g x 的最小正周期为π，则2ω=，当
(,)123x ππ∈-时，22(,),63x ππϕϕϕ+∈-++()1,02g x πϕ>-<≤Q ，06
23
π
ϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪∴⎨
⎪+≤⎪⎩，解得
6
3
π
π
ϕ≤≤
.
10. 解析
11. 解析 本题考查三棱锥外接球表面积计算，由题意可得PCD ∆3且BD ⊥平面PCD . 设三棱锥P BDC -外接球的球心为,O PCD ∆外接圆的圆心为1O ，则
1OO ⊥平面PCD ，所以四边形1OO DB 为直角梯形，由131BD O D =，＝及OB OD =，
可得1132OO BD =
=故22117OB OO O D =+=，即外接球的半径为7
，则其表
面积为7π.
12. 解析 本题考查导数的应用. 设()()x f x F x e =
，则()()
()0x
f x f x F x e
'-'=<，即函数()F x 在R 上单调递减，因为()(4)f x f x ''=-，即导函数()y f x '=关于直线2x =对称，
所以函数()y f x =是中心对称图形，且对称中心（2，1），由于(4)0f =，即函数()y f x =过点（4，0），其关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数()y f x =上，所以有(0)2f =，所以0(0)(0)2f F e =
=，而不等式()20x
f x e -<即()2x
f x e
<，即()(0),F x F <所以0x >，故使得不等式()20x
f x e -<成立的x 的取值范围是(0,)+∞. 13. 2 14. 16
15. 解析
16. 解析 本题考查椭圆离心率的求法：因为2AF x ⊥轴且2(,0)F c ，假设A 在第一象限，
则2
(,)b A c a ，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知12AF F ∆～1BF C ∆，由14PAB PBF S S ∆∆=得
113AF BF =，所以212133,AF BC F F CF ==，所以2
5(,)33b B c a --，代入椭圆方程得
22
2
225199c b a a +=，即222259,c b a +=又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为3
3
c e a =
=.
17. 解：（1）由题意知2,3cos 4,n n a n n π⎧=+=⎨
⎩为奇数为偶数
2分
于是1121
1,42
b a b =
==， 故数列{}n b 的公差为3，故13(1)32n b n n =+-=-， 4分 所以2[3(21)2]4(322)3618n c n n n =--+⨯-=-
6分
（2）由（1）知，数列{}n c 为等差数列.
212112212()
182
n n n n n n c c S a b a b c c c n +=++=+++=
=…… 12分
18. 证明：
19. 解：（1）散点图如图所示
根据散点图可知3
y c dx =+适合作销售额y 关于 明星代言费x 的回归方程。

4分
令3x ω=，则y c dw =+是y 关于ω的线性回方 方程
∴5
1
5
2
1
5132.625 4.016
1.2110.14
()
i
i
i i
i w y w y
d w ω∧
⋅-⋅-⨯⨯=
=
≈-∑∑＝＝
6 1.21 4.01 1.1c y d w ∧∧
=-⋅=-⨯≈
7分 ∴3
1.1 1.2 1.1 1.2y x ω=+=+
8分
（2）3
0.20.720.2(1.1 1.2)0.72z y x x x =-=+-
3
0.240.72+0.22[1.02.0]x x x ∈＝－，
9分
20.720.720z x '=≥－ 对[1.02.0]x ∈，恒成立
∴ 2.0x =时 z 取得最大值
11分 即当明星代言费 2.0x ＝百万元时，纯收益z 最大值
12分
20. 解：(1)由题意可知：动点M 到定点(1,0)F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离，根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线。

2分 2p =Q ，∴抛物线方程为：24y x =
4分
（2）设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则点P 的坐标为1212,2
2x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭． 由题意可设直线1l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，
由24(1)
y x
y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 2242(24)416160k k k ∆=+-=+>.
6分
因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以
121212
244
2,(2)x x y y k x x k k
+=+
+=+-=， 所以点P 的坐标为2
221,k k ⎛
⎫+
⎪⎝
⎭
.
由题知，直线2l 的斜率为1
k
-，同理可得点Q 的坐标为2(12,2)k k +-. 7分 当1k ≠±时，有222
112k k +
≠+，此时直线PQ 的斜率22
22
221112PQ
k
k k k k k k
+==-+--.
所以，直线PQ 的方程为22
2(12)1k
y k x k k
+=---， 整理得2(3)0yk x k y +--=.
于是，直线PQ 恒过定点(3,0)E ；（10分）
当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3,0)E ． 11分 综上所述，直线PQ 恒过定点(3,0)E ．
12分
21. 解：
22. 解：
（1）曲线C 的普通方程为2
2
(2)4x y +-=
化简得2
2
4x y y +=，则24sin ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=
4分
（2）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0,2)，也就是圆C 的圆心，则2
MON π
∠=
不妨设12(,),()2M N π
ρθρθ+
，其中(0,)2
π
θ∈ 5分
7分
8分
11分 12分
则124sin 4sin()4(sin cos ))24
OM ON π
π
ρρθθθθθ+=+=++=+=+ 所以当4
π
θ=时，OM ON +
取得最大值为 10分
23. 解：
（1）(1)(1)111f f a a +-=--+>
若1a ≤-，则111a a -++>，得21>，即1a ≤-时恒成立； 若11a -<<，则1(1)1a a --+>，得12a <-
，即112
a -<<-； 若1a ≥，则(1)(1)1a a ---+>，得21->，即不等式无解.
综上所述，a 的取值范围是1
(,)2
-∞-. 5分 （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需max min 5
[()][]4
f x y y a ≤+
+- 当(],x a ∈-∞时，2
2
max
(),[()]()24
a a f x x ax f x f =-+==
∵5544y y a a +
+-≥+，∴当5[,]4y a ∈-时，min
555
444y y a a a ⎡⎤++-=+=+⎢⎥⎣⎦ 则25
44
a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是(]0,5 10分。