(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
【典型例题】
[例1] b ka a n n +=+1型。

（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ⇒=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+⋅= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1
比较系数：b m km =- ∴
1-=
k b m
∴
}1{-+
k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a
∴
11)1(1-⋅-+=-+
n n k k b a k b a ∴
1)1(11--⋅-+=-k b
k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。

（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。

例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1
1+=
-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。

解：
∵
11
1)1(11+-
=+=
-+n n n n a a n n
∴
n n a a n n 1111--=
-- 112121---=---n n a a n n
21
3132--
-=---n n a a n n ……
312123-=
-a a 21112-=-a a
对这（1-n ）个式子求和得：
n a a n 111-
=- ∴ n a n 1
2-
=
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1
∴ ⎩⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2
)1(1-+-=k a k b B
∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列
∴ 1
1)(-⋅++=++n n k B A a B An a
∴
B An k B A a a n n --⋅++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n
q n f =)(（≠q 0，1）
等式两边同时除以1
+n q 得q q a q k q a n n n n 1
11+⋅=++ 令
n n n q a C =
则q C q k C n n 1
1+
=+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型
[例3] n n a n f a ⋅=+)(1型。

（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。

（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。

例：已知：
311=
a ，1121
2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。

解：123537532521232121212233
2211+=
⋅--⋅--⋅+-=⋅⋅⋅-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ∴
1211231+=
+⋅
=n n a a n
[例4]
11
--+⋅⋅
=n n n a m a m k a 型。

考虑函数倒数关系有)11(11m a k a n n
+=- ∴ m k a k a n n +
⋅=-111 令n n a C 1
=
则}{n C 可归为b ka a n n +=+1型。

练习：
1. 已知}{n a 满足31=a ，121+=+n n a a 求通项公式。

解：
设)(21m a m a n n +=++ m a a n n +=+21 ∴ 1=m ∴ }1{1++n a 是以4为首项，2为公比为等比数列
∴ 1
241-⋅=+n n a ∴ 121-=+n n a
2. 已知}{n a 的首项11=a ，n a a n n 21+=+（*
N n ∈）求通项公式。

解：
)1(21-=--n a a n n )2(221-=---n a a n n )3(232-=---n a a n n …… 2223⨯=-a a
1
212⨯=-+a a
n n n a a n -=-+++=-21)]1(21[2
∴
12
--=n n a n 3. 已知}{n a 中，n
n a n n
a 21+=
+且21=a 求数列通项公式。

解：
)1(231422413211122332211+=⋅--⋅--⋅-⋅+-=⋅⋅⋅-----n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n
∴ )1(21
+=n n a a n ∴ )1(4+=n n a n 4. 数列}{n a 中，n n n
n n a a a +⋅=+++1
11
22，21=a ，求}{n a 的通项。

解：
n n n n n a a a 1
11
221++++= ∴ 1121
11+++=n n n a a
设
n n a b 1=
∴ 1121+++=n n n b b ∴ n
n n b b 21
1+=-
∴
n n n b b 21
1=
-- 12121
---=-n n n b b 23221---=-n n n b b ……
32321=
-b b
21221=
-+b b
n n b b 212121321+++=- n
n 2121211])21(1[211
2-=--=- ∴
n
n n n b 212212121-=+-= ∴ 122-=n
n
n a 5. 已知：11=a ，2≥n 时，1221
1-+=
-n a a n n ，求}{n a 的通项公式。

解：
设]
)1([21
1B n A a B An a n n +-+=++-
B A An a a n n 212121211---=
-
∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-12121221
B A A 解得：⎩⎨⎧=-=64B A ∴ 3641=+-a ∴ }64{+-n a n 是以3为首项，21
为公比的等比数列 ∴ 1)21(364-⋅=+-n n n a ∴ 6
423
1-+=-n a n n
【模拟试题】
1. 已知}{n a 中，31=a ，n
n n a a 21+=+，求n a 。

2. 已知}{n a 中，11=a ，231+=-n n a a （2≥n ）求n a 。

3. 已知}{n a 中，11=a ，n n n a a 221+=-（2≥n ）求n a 。

4. 已知}{n a 中，41=a ，
14
4--
=n n a a （2≥n ）求n a 。

5. 已知}{n a 中，11=a ，其前n 项和n S 与n a 满足
1222
-=
n n
n S S a （2≥n ） （1）求证：}1
{
n S 为等差数列 （2）求}{n a 的通项公式
6. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2
)2(81+=n
n a S
（1）求证：}{n a 是等差数列 （2）若n b 3021-=n a ，求}{n b 的前n 项和的最小
值
【试题答案】
1. 解：
由n n n a a 21+=+，得1
12--+=n n n a a ∴ 112--=-n n n a a
2212---=-n n n a a ……
2
12=-+a a
∴ 2221)21(211-=--=--n n n a a ∴
12221+=+-=n
n n a a 2. 解：
由231+=-n n a a 得：)1(311+=+-n n a a
∴ 3
11
1=++-n n a a 即}1{+n a 是等比数列
113)1(1-⋅+=+n n a a ∴ 13213)1(111-⋅=-⋅+=--n n n a a
3. 解：
由n
n n a a 221+=-得12211
=---n n n n a a
∴ }2{
n n
a 成等差数列，)1(212-+=n a n n ∴ 122--⋅=n n n n a
4. 解：
n
n n n a a a a )2(24221-=-
=-+ ∴ 2121)2(2211-+=-=-+n n n n a a a a （1≥n ） ∴ 21212
1
1=--
-+n n a a （1≥n ）设21
-=n n a b
即
)1(21
1≥=
-+n b b n n
∴ }{n b 是等差数列 ∴ 221)1(21211n n a a n =⋅-+-=- 22+=n a n
5. 解：
（1）
1222
1
-=
--n n n n S S S S ∴ 112--=-n n n n S S S S
2111
=--n n S S ∴ }1{n S 是首项为1，公差为2的等差数列
∴ 121
-=n S n
（2）121-=
n S n ∴ )
2(384211212)
121(
222
≥+--=--⋅-=n n n n n a n
又 ∵ 11=a ∴
⎪⎩⎪⎨⎧≥+--==)
2(3842
112n n n n a n
6. 解：
（1）2
111)2(81
+==a S a ∴ 21=a
2≥n 时，2
121)2(81
)2(81+-+=-=--n n n n n a a S S a
整理得：0)4)((11=--+--n n n n a a a a
∵ }{n a 是正整数数列 ∴ 01≠+-n n a a ∴ 41=--n n a a
∴ }{n a 是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ 24-=n a n
（2）
31230)24(21
-=--=
n n b n
∴ }{n b 为等差数列 ∴
n n S n 302
-=
∴ 当15=n 时，n S 的最小值为2251530152
-=⨯-。