电磁感应习题课
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1.4连接, 1 2 12 21 L1 I L2 I MI MI L2 ' L1 L2 2 M ( 2) L! L2 联接（１），（２）方 程得：M 0.15H 4
L2 ' I
1
2
3
4
1
2
3
4
H dl I 0 t D dS L s
7．玻印廷矢量： S E H
习题课 二、基本定律
第七章 电磁感应
d m 1.法拉第电磁感应定律： dt
负号表明方向
2．楞次定律：（略）
三、基本运算： 1）动生电动势：
ab
(v B ) dl
0 I (t ) （t ) vtdx l0 2x 0 I (t ) l0 l vt ln 2 lo0
l0 l
v a I d b l2 c l
0 I 0 cos t l0 l （t ) vt ln 2 lo0
o
l0
x
习题课 c、计算 t 时刻的电动势
m
1 BH 2
1 m dV BH dV 2 V V
b.磁场能量： W m
5）其它物理量的计算
习题课
i
d m dt
第七章 电磁感应
定律
楞次定律 麦氏方程组
D ds qi 0
s i
电 磁 感 应
其它计算
AB
电动势
L
s (v B ) dl
第七章 电磁感应
l 0 l 0 I 0 cos t l0 l d 0 I 0 sin t （t ) vt ln v ln dt 2 lo0 2 lo0
0 I 0 l0 l ln (vt sin t v cos t） 2 lo0
l2 d、计算 t= 时刻的电动势 v
0 IL 0 Ir0 ro L cos ln 2 2 cos 2 cos r0
a
I
O’
x
o
l
dl L
r0
习题课
第七章 电磁感应
4.两个半径分别为R和r的同轴圆形线圈相距x，且 R >>r，x >>R．若大线圈通有电流I而小线圈沿x轴 方向以速率v运动，试求x =NR时(N为正数)小线圈 回路中产生的感应电动势的大小．
L
电动势的方向从a
b
习题课
第七章 电磁感应
2、半径为a 的金属圆环，置于磁感应强度为B的均匀 磁场中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗 细的金属直线放在金属环上，当直导线以v在圆环上向 右运动到离环心a/2处时。求：此时感应电流在环心处 产生的磁感应强度。（设金属单位长度的电阻为r0） b c v
习题课 5．磁场的能量及能量密度： a.能量密度:
第七章 电磁感应
m
b.磁场能量： W m 6.麦克斯韦方程组：
D ds q 0
s
1 m dV BH dV 2 V V
B dS 0
s
1 BH 2
E dl t B dS L s
c
B b o a R
d
习题课
第七章 电磁感应
解：
d dt
B ds Bs abmn
s abmn
dB 3.68mV dt
c
电动势的方向为逆时针
B b o a R
d
习题课
第七章 电磁感应
6、如图所示，长直导线中电流为I，矩形线圈abcd与长 直导线共面，且ad//AB，dc边固定，ab边沿da及cb以速 度v无摩擦地匀速平动。时，ab边与cd边重合。设线圈 自感忽略不计。（1）如I=I0，求ab中的感应电动势。 （2）如I=I0cost，求ab边运动到图示位置线圈中的总 感应电动势。
二者大小相等，方 向相反，互相抵消
3 0 I 2a
0 I B0 (cos 1 cos 2 ) 4r
习题课
第七章 电磁感应
3 、一无限长竖直导线上通有稳定电流 I ，电流方向向上。 导线旁有一与导线共面、长为L的金属棒，绕其一端O在 该平面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为， O 点 到导线的垂直距离为r0 (r0>L)。试求金属棒转到与水平面 成角时，棒内感应电动势的大小和方向。
0 r RI
2
2
2x
3
习题课
第七章 电磁感应
由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为
d 30 r 2 IR2 d x i 4 dt 2x dt 3 0 r 2 R 2 I v 4 2x
当x =NR时，小线圈回路中的感应电动势为
i 30r Iv /(2N R )
L
I r0
o
习题课
第七章 电磁感应
a r0 L cos r0
解：
(v B ) dl
o
0 I l dl 2x
dx dl cos
其中：x r0 l cos
r0 L cos r0
0 I x r0 dx ( ) 2x cos cos
v a I l0 d b l2 c
百度文库
l
习题课
1 ） ab 解：（
b
第七章 电磁感应
l0 l 0 I 0 0 I 0v l0 l (v B ) dl v dx ln 2x 2 l0 a l
0
(2)
a、规定正方向abcda
b、计算 t 时刻的磁通量
习题课 一、基本概念
第七章 电磁感应
dI 1.电流密度矢量 ： j n ds
2.电动势：
E K dl
B 3.涡旋电场： L E k dl s ds t D ds 4.位移电流： I 0 s t D 5.位移电流密度： j D t
习题课
第七章 电磁感应
r1 r2 4 Rr ( 3 )ar0 r1 r2 9
3vB I 4 R ( 3 )r0 9
bc
I 1 r1 I 2 r2 I1 : I 2 1 : 2
0 I1 2 0 I1 B1 3 2R 3a 0 I 2 1 0 I 2 B2 3 2R 6a
B
B ds 0
i
dI 1 M dt
B E d l ds t L s D H d l I ds 0 t L s
d m dt
A
dI L dt
M
21
L I
x r I R
v
x
习题课
第七章 电磁感应
解：由题意，大线圈中的电流Ｉ在小线圈回路处 产生的磁场可视为均匀的． 2 2 0 0 IR 2IR B 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 4 ( R x ) 2( R x ) 故穿过小回路的磁通量为 2 0 IR 2 BS r 2 2 3/ 2 2 (R x )
习题课
第七章 电磁感应
8、两个线圈顺接，如图（a），1、4 间的总自感为 1.0H 。 在它们的形状和位置都不变的情况下 ,如图 （ b）那样反接后 1、 3之间的总自感为 0.4H.求两线圈 之间的互感系数.
1
2
3
4
1
2
3
4
习题课
第七章 电磁感应
解：2.3连接, 1 2 12 21 L1 I L2 I MI MI L1 ' I L1 ' L1 L2 2 M (1)
a
O
习题课
解：由 (v B ) dl 得
a b
第七章 电磁感应
bc
(v B ) dl
b
c
3vBa
方向：c b
b
利用几何关系
r
3ar0
4 r1 ar0 3 2 r2 ar0 3
I2 a I1 I O v r1 r2 c
12 21 I2 I1
m
1 BH 2
Wm
S EH
V D jD t
m
dV
Wm
1 LI 2 2
习题课
第七章 电磁感应
四、典型例题：
1、求长度为L的金属杆在均匀磁场 B中绕平行于磁场方 向的定轴转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场 B的方位角为，杆的角速度为 ，转向如图所示。
b
2）感生电动势： i
B E 涡 dl dS t
a
习题课
第七章 电磁感应
3) 自感与互感
dI L L L dt I dI 2 12 b.互感电动势： 12 M M dt I1 4）电磁场能量
a.能量密度:
a.自感电动势：
在导体MN内Ei方向由M向N．
习题课 (2) 对于非均匀时变磁场
第七章 电磁感应
B Kx cos t
取回路绕行的正向为O→N→M→O，则
dΦ B d S B d
tg
d B tg d K cos t tg d
2
1 3 d K cos t tg d Kx cos t tg 3 0
2
x
习题课
第七章 电磁感应
dΦ i dt
1 K x 3 sin t tg Kx 2v cos t tg 3
1 3 2 Kv tg ( t sin t t cos t ) 3
3
Ei >0，则Ei方向与所设绕行正向一致，Ei <0， 则Ei方向与所设绕行正向相反．
M C
O
B
x N
v
D
习题课
第七章 电磁感应
解：(1) 由法拉第电磁感应定律：
M
1 B xy 2
C
y tg x
O
x vt
B
x d
v
N D
d 1 i d /d t ( B tg x 2 ) dt 2 1 B tg 2 x d x /d t B tg v 2 t 2
2 4 2
习题课
第七章 电磁感应
5、均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内， 方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路 abcd ，梯 形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。 设 磁 场 以 dB/dt=1T/s 的 匀 速 率 增 加 ， 已 知 =/3 ， Oa=Ob=6cm求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
0 I 0 l0 l ln (l 2 sin t v cos t） 2 lo0
习题课
第七章 电磁感应
7、如图所示，有一弯成 角的金属架COD放在磁 场中，磁感强度B的方向垂直于金属架COD所在平面． 一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度V向 右滑动，与MN垂直．设t =0时，x = 0． 求下列两情形，框架内的感应电动势． (1) 磁场分布均匀，且不随时间改变. (2) 非均匀的时变磁场 B Kx cos t
B
L
习题课
第七章 电磁感应
解： 1.规定导线的正方向ab 2.选坐标 3.找微元dl 4.确定微元处v 和B 5.积分求解
ab
L (v B ) dl vBdl sin 0 0 b
B
b
(v B )
v
a
1 l sin dl sin BL2 sin 2 2 0
L2 ' I
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3
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2
3
4
H dl I 0 t D dS L s
7．玻印廷矢量： S E H
习题课 二、基本定律
第七章 电磁感应
d m 1.法拉第电磁感应定律： dt
负号表明方向
2．楞次定律：（略）
三、基本运算： 1）动生电动势：
ab
(v B ) dl
0 I (t ) （t ) vtdx l0 2x 0 I (t ) l0 l vt ln 2 lo0
l0 l
v a I d b l2 c l
0 I 0 cos t l0 l （t ) vt ln 2 lo0
o
l0
x
习题课 c、计算 t 时刻的电动势
m
1 BH 2
1 m dV BH dV 2 V V
b.磁场能量： W m
5）其它物理量的计算
习题课
i
d m dt
第七章 电磁感应
定律
楞次定律 麦氏方程组
D ds qi 0
s i
电 磁 感 应
其它计算
AB
电动势
L
s (v B ) dl
第七章 电磁感应
l 0 l 0 I 0 cos t l0 l d 0 I 0 sin t （t ) vt ln v ln dt 2 lo0 2 lo0
0 I 0 l0 l ln (vt sin t v cos t） 2 lo0
l2 d、计算 t= 时刻的电动势 v
0 IL 0 Ir0 ro L cos ln 2 2 cos 2 cos r0
a
I
O’
x
o
l
dl L
r0
习题课
第七章 电磁感应
4.两个半径分别为R和r的同轴圆形线圈相距x，且 R >>r，x >>R．若大线圈通有电流I而小线圈沿x轴 方向以速率v运动，试求x =NR时(N为正数)小线圈 回路中产生的感应电动势的大小．
L
电动势的方向从a
b
习题课
第七章 电磁感应
2、半径为a 的金属圆环，置于磁感应强度为B的均匀 磁场中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗 细的金属直线放在金属环上，当直导线以v在圆环上向 右运动到离环心a/2处时。求：此时感应电流在环心处 产生的磁感应强度。（设金属单位长度的电阻为r0） b c v
习题课 5．磁场的能量及能量密度： a.能量密度:
第七章 电磁感应
m
b.磁场能量： W m 6.麦克斯韦方程组：
D ds q 0
s
1 m dV BH dV 2 V V
B dS 0
s
1 BH 2
E dl t B dS L s
c
B b o a R
d
习题课
第七章 电磁感应
解：
d dt
B ds Bs abmn
s abmn
dB 3.68mV dt
c
电动势的方向为逆时针
B b o a R
d
习题课
第七章 电磁感应
6、如图所示，长直导线中电流为I，矩形线圈abcd与长 直导线共面，且ad//AB，dc边固定，ab边沿da及cb以速 度v无摩擦地匀速平动。时，ab边与cd边重合。设线圈 自感忽略不计。（1）如I=I0，求ab中的感应电动势。 （2）如I=I0cost，求ab边运动到图示位置线圈中的总 感应电动势。
二者大小相等，方 向相反，互相抵消
3 0 I 2a
0 I B0 (cos 1 cos 2 ) 4r
习题课
第七章 电磁感应
3 、一无限长竖直导线上通有稳定电流 I ，电流方向向上。 导线旁有一与导线共面、长为L的金属棒，绕其一端O在 该平面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为， O 点 到导线的垂直距离为r0 (r0>L)。试求金属棒转到与水平面 成角时，棒内感应电动势的大小和方向。
0 r RI
2
2
2x
3
习题课
第七章 电磁感应
由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为
d 30 r 2 IR2 d x i 4 dt 2x dt 3 0 r 2 R 2 I v 4 2x
当x =NR时，小线圈回路中的感应电动势为
i 30r Iv /(2N R )
L
I r0
o
习题课
第七章 电磁感应
a r0 L cos r0
解：
(v B ) dl
o
0 I l dl 2x
dx dl cos
其中：x r0 l cos
r0 L cos r0
0 I x r0 dx ( ) 2x cos cos
v a I l0 d b l2 c
百度文库
l
习题课
1 ） ab 解：（
b
第七章 电磁感应
l0 l 0 I 0 0 I 0v l0 l (v B ) dl v dx ln 2x 2 l0 a l
0
(2)
a、规定正方向abcda
b、计算 t 时刻的磁通量
习题课 一、基本概念
第七章 电磁感应
dI 1.电流密度矢量 ： j n ds
2.电动势：
E K dl
B 3.涡旋电场： L E k dl s ds t D ds 4.位移电流： I 0 s t D 5.位移电流密度： j D t
习题课
第七章 电磁感应
r1 r2 4 Rr ( 3 )ar0 r1 r2 9
3vB I 4 R ( 3 )r0 9
bc
I 1 r1 I 2 r2 I1 : I 2 1 : 2
0 I1 2 0 I1 B1 3 2R 3a 0 I 2 1 0 I 2 B2 3 2R 6a
B
B ds 0
i
dI 1 M dt
B E d l ds t L s D H d l I ds 0 t L s
d m dt
A
dI L dt
M
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L I
x r I R
v
x
习题课
第七章 电磁感应
解：由题意，大线圈中的电流Ｉ在小线圈回路处 产生的磁场可视为均匀的． 2 2 0 0 IR 2IR B 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 4 ( R x ) 2( R x ) 故穿过小回路的磁通量为 2 0 IR 2 BS r 2 2 3/ 2 2 (R x )
习题课
第七章 电磁感应
8、两个线圈顺接，如图（a），1、4 间的总自感为 1.0H 。 在它们的形状和位置都不变的情况下 ,如图 （ b）那样反接后 1、 3之间的总自感为 0.4H.求两线圈 之间的互感系数.
1
2
3
4
1
2
3
4
习题课
第七章 电磁感应
解：2.3连接, 1 2 12 21 L1 I L2 I MI MI L1 ' I L1 ' L1 L2 2 M (1)
a
O
习题课
解：由 (v B ) dl 得
a b
第七章 电磁感应
bc
(v B ) dl
b
c
3vBa
方向：c b
b
利用几何关系
r
3ar0
4 r1 ar0 3 2 r2 ar0 3
I2 a I1 I O v r1 r2 c
12 21 I2 I1
m
1 BH 2
Wm
S EH
V D jD t
m
dV
Wm
1 LI 2 2
习题课
第七章 电磁感应
四、典型例题：
1、求长度为L的金属杆在均匀磁场 B中绕平行于磁场方 向的定轴转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场 B的方位角为，杆的角速度为 ，转向如图所示。
b
2）感生电动势： i
B E 涡 dl dS t
a
习题课
第七章 电磁感应
3) 自感与互感
dI L L L dt I dI 2 12 b.互感电动势： 12 M M dt I1 4）电磁场能量
a.能量密度:
a.自感电动势：
在导体MN内Ei方向由M向N．
习题课 (2) 对于非均匀时变磁场
第七章 电磁感应
B Kx cos t
取回路绕行的正向为O→N→M→O，则
dΦ B d S B d
tg
d B tg d K cos t tg d
2
1 3 d K cos t tg d Kx cos t tg 3 0
2
x
习题课
第七章 电磁感应
dΦ i dt
1 K x 3 sin t tg Kx 2v cos t tg 3
1 3 2 Kv tg ( t sin t t cos t ) 3
3
Ei >0，则Ei方向与所设绕行正向一致，Ei <0， 则Ei方向与所设绕行正向相反．
M C
O
B
x N
v
D
习题课
第七章 电磁感应
解：(1) 由法拉第电磁感应定律：
M
1 B xy 2
C
y tg x
O
x vt
B
x d
v
N D
d 1 i d /d t ( B tg x 2 ) dt 2 1 B tg 2 x d x /d t B tg v 2 t 2
2 4 2
习题课
第七章 电磁感应
5、均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内， 方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路 abcd ，梯 形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。 设 磁 场 以 dB/dt=1T/s 的 匀 速 率 增 加 ， 已 知 =/3 ， Oa=Ob=6cm求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
0 I 0 l0 l ln (l 2 sin t v cos t） 2 lo0
习题课
第七章 电磁感应
7、如图所示，有一弯成 角的金属架COD放在磁 场中，磁感强度B的方向垂直于金属架COD所在平面． 一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度V向 右滑动，与MN垂直．设t =0时，x = 0． 求下列两情形，框架内的感应电动势． (1) 磁场分布均匀，且不随时间改变. (2) 非均匀的时变磁场 B Kx cos t
B
L
习题课
第七章 电磁感应
解： 1.规定导线的正方向ab 2.选坐标 3.找微元dl 4.确定微元处v 和B 5.积分求解
ab
L (v B ) dl vBdl sin 0 0 b
B
b
(v B )
v
a
1 l sin dl sin BL2 sin 2 2 0