第章几类常见的地图投影

§4.1 圆锥投影
1、单标准纬线等距离圆锥投影
设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即 n0=1。则
A C r0 N 0 co s 0
AS 0 N 0 cot0
s0
0 Md
0
Q
n0
0
r0
1
r0 0
N0 cos0 N0 cot0
sin0
Q 0 c s0
c
0
s0
r0
s0
§4.1 圆锥投影
§4.1 圆锥投影
2、由投影性质决定的变形特点 （1）等角圆锥投影：经线长度比与纬线长度比相等（m=n ），角度没有变形，但面积变形较大（P=m2） 。 （2）等面积圆锥投影：经线长度比与纬线长度比互为倒数 （mn=1），面积没有变形，但角度变形较大。 （3）等距离圆锥投影： 变形介于等角投影与等 面积投影之间，经线长 度比保持为1（m=1）， 纬线长度比与面积比相 等（n=P）。
2
Q nN nm 2
K
1 rN U
N
1 rm U
m
2
K
2
rm
rS U
m
U
S
( rmU
m
rS U
S
)
K
2
rm
rN U
m
U
N
( rmU
m
rN U
N
)
§4.1 圆锥投影
n N n m n S n m ( 1 )( 1 ) 1 2
对于纬差4°为一带的圆锥投影来说。υ2之值为9×10-8， 它对投影计算和实用精度，都没有什么影响，故可略去。
2、双标准纬线等距离圆锥投影
设圆锥面割于地球 1、 2 的两条纬线上，即n1=n2=1。
r1 N 1 c o s 1
r
2
s
1
N 2 cos 2 1 M d
0
s2
2 M d
0
( (
c c
s1 ) s2 )
r1 r2
r1
1
1
1 c s 1
r2
2
1
2 c s 2
双标准纬线规定如下：
1 S 40 2 N 40
投影常数按下式计算：
lg r1 lg r2 lg U 2 lg U 1
K
r1U
1
r2U
2
§4.1 圆锥投影
自1978年以后，我国1∶100万地图采用等角圆锥投影，分
幅与国际分幅一致，但标准纬线与国际上稍有差异，并规定根
据边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件确定投影常数，即：
2
S0
§4.1 圆锥投影
2、双标准纬线等面积圆锥投影
设圆锥面割于地球1、 2的两条纬线上，即n1=n2=1。
r1 N 1 c o s 1
r2 S1
N2
1 0
co M
s2 N co
s
d
S 2
2 M N cos d
0
2 (c S1) r12
2
(c
S2
)
r22
1
r1
1
2 1
2
式： d
M d r
d M d
N cos
M
(1
a c (1
e
2 1
)
e
2 1
sin
2
3
)2
;
N
ac
(1
e
2 1
sin
2
1
)2
d
(1
e
2 1
)
d
(1
e
2 1
sin
2
)
cos
d
1
c
o
s
1
e
2 1
c
o
s
e
2 1
sin
2
d
§4.1 圆锥投影
d
d cos
e1 2
1
1 e1 sin
m
A'D AD
'
d Md
n
A'B' AB
d rd
r
在正轴圆锥投影中，经纬 线投影后仍保持互相垂直，所 以经纬线方向就是主方向，即
m=a，n=b，根据面积比
和角度变形定义有：
P ab mn
sin
2
ab ab
mn mn
§4.1 圆锥投影
现将圆锥投影的一般公式汇集如下：
f ( )
2、双标准纬线等角圆锥投影
设圆锥面割于地球1、 2的两条纬线上，即n1=n2=1。
s 2
e1
U
1
tan
45o
1 2
1
1
e1 e1
sin sin
1 1
2
e1
U
2
tan
45o
2 2
1
1
e1 e1
sin 2 sin 2
2
1 r1
应用该式推求标准纬线，基本符合 边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件。
§4.2 方位投影
一、方位投影的一般公式及其分类 二、等角方位投影 三、等面积方位投影 四、等距离方位投影 五、透视方位投影 六、方位投影变形分析与应用
§4.2 方位投影
一、方位投影的一般公式及其分类 1、方位投影的定义
假设一个平面与地球面相切或相割，根据某种条件（如 等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到该平面上 ，即得到方位投影。
s为赤道到某纬度 的经线弧长。
§4.1 圆锥投影
现将等距离圆锥投影的一般公式汇集如下：
cs
s M d
x s cos y sin m 1 n
r P mnn
sin 1 n 2 1 n
在这组公式中，仍然有常数 α和 c 需要确定，但由于确定的 方法比较多，所以各种不同形式 的等距离圆锥投影也较多。
现将等面积圆锥投影的一般公式汇集如下：
2 2 (c S )
S M N cos d
x s cos y sin
n r
m1 n
P mn1
ta n
45
4
m
在这组公式中，仍然有常数 α和 c 需要确定，但由于确定的方 法比较多，所以各种不同形式的 等面积圆锥投影也较多。
切圆锥投影、割圆锥投影 （2）按圆锥面和地球面的位置关系分：
正轴圆锥投影、横轴圆锥投影、斜轴圆锥投影 （3）按投影的变形性质分：
等角圆锥投影、等积圆锥投影、任意圆锥投影
§4.1 圆锥投影
3、圆锥投影的一般公式
以正轴圆锥投影为例
纬线投影后为同心圆
圆弧，其半径ρ是纬度 的
函数，函数形式由投影性
质和投影条件决定。
根据等面积条件P=1，即mn=1，来确定ρ= f（）的函数
形式：
d
1
M d r
d 1 M d N cos
d 1 M N cos d
d
1
M
N
cos
d
Q S M N cos d
2 2 (c S )
Ｓ为经差1弧度，纬差从
0°到纬度 的椭球面上的梯
形面积。
§4.1 圆锥投影
§4.1 圆锥投影
一、圆锥投影的一般公式及其分类 1、圆锥投影的定义 假设一个圆锥面与地球面相切或相割，根据某种条件（
等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到圆锥面上 ，然后沿圆锥面的一条母线（经线）切开展平，即得到圆锥 投影。
§4.1 圆锥投影
f ( )
§4.1 圆锥投影
2、圆锥投影的分类 （1）按圆锥面与地球面的切割关系分：
1 m 2 ( S N )
nS
K
rSU
S
1
nN
K
rN U
N
1
nm
K
rm U
m
1
Q nS nN
K
rSU
S
K
rN U
N
U
U
N S
rS rN
lg rS lg rN lg U N lg U S
Q nS nm 2
K
1 rSU
S
1 rm U
m
1
1
K
U
1
2 r2
2
1
K
U
2
K K
r1U
1
r2U
2
相减得 lgr1 lgr2
lgU2 lgU1
K r1U1 r2U2
§4.1 圆锥投影
3、应用举例：百万分一地图等角圆锥投影 1962年国际制图会议规定：1∶100万地图按国际标准分
幅，采用双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4°分 带，对每带单独进行投影。北纬84°以北和南纬80°以南的 地区，则采用等角方位投影。
以某一经线的投影为X轴，
经线投影后为相交于 以X轴和最南边纬线s的交点为
一点的直线束，且夹角δ与 原点，建立平面直角坐标系：
经差λ成正比。 f ( )
x
y
s cos sin
§4.1 圆锥投影
设平面梯形A`B`C`D`是地 球面上微分梯形ABCD的投影 ，根据经纬线长度比定义有：
设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即 n0=1，则
AC r0 N0 cos0
AS 0 N0 cot0
e1
U0
tan
45o
0
2
1 1
e1 e1
sin0 sin0
2
n0
0
r0
1
r0
0
N0 cos0 N0 cot0
sin0
0 r 0
1
0
K
U
0
K0U0
r0U0
§4.1 圆锥投影
相减得： r1 r2 s2 s1
相除得： c s1r2 s2r1 r2 r1
§4.1 圆锥投影
五、圆锥投影变形分析及应用 1、由切割关系决定的变形特点
（1）圆锥投影的各种变形均是纬度
的函数，与经度λ无关，同一纬线上 的变形是相同的。 （2）在切圆锥投影中，标准纬线上的长度比n0=1，其余纬线 上长度比均大于1，并向南、北方向增大。 （3）在割圆锥投影中，在双标准纬线处的长度比n1=n2=1， 变形自标准纬线向内、向外增大，在双标准纬线之间，n<1 ，在双标准纬线之外，n>1。
§4.1 圆锥投影
1、单标准纬线等面积圆锥投影
设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即 n0=1。则
A C r0 N 0 cos 0
AS 0 N0 cot0
S 0
0 MN cos d
0
Q
n0
0
r0
1
r0 0
N0 cos0 N0 cot0
sin0
Q
02
2
(c
S0 )
c
2 0
2
S0
r02
U
ta n
4
5
o
2
1
1
e1 sin e1 sin
e1
2
x
s
cos
在这组公式中，仍然有常数
y sin
α和K 需要确定，但由于确定的方
m n
r
法比较多，所以各种不同形式的
P mn n2
等角圆锥投影也比较多。
0
§4.1 圆锥投影
1、单标准纬线等角圆锥投影
§4.1 圆锥投影
3、圆锥投影的应用 地球上广大陆地位于中纬度地区，并且圆锥投影经纬线
形状简单，最适于制作中纬度沿东西方向延伸的地图。 （1）等角圆锥投影：多用于方向保持正确的图种，如我国的 百万分一地形图、中国全图、分省地图等。 （2）等面积圆锥投影：多用于面积比保持正确的图种，如分 布图、类型图、区划图等自然资源图与社会经济图。 （3）等距离圆锥投影：多用于各种变形要求适中的图种，如 原苏联出版的《苏联全图》采用此投影。
x y
s cos sin
m
d
M d
n
r
P
mn
s
i
n
2
m m
n n
在这组公式中，由于ρ的函数 形式未定，δ函数式中还有待定的 圆锥系数α，需要根据投影条件进 一步确定。
§4.1 圆锥投影
二、等角圆锥投影（Lambert Conformal Conic Projection）
根据等角条件ω= 0，即m=n，来确定ρ= f（）的函数形
nN nm nS nm 1
Q nN nS
lg rS lg rN lg U N lg U S
Q nN nm 1
K1
rN
rmU
N
U
m
Q nSnm 1
K1
rS
rmU
S
U
m
两条标准纬线的近似式为：
1 2
S N
35 35
§4.1 圆锥投影
三、等面积圆锥投影（Albers Equivalent Conic Projection）
1 1 e1 sin
d
e1 sin
d
d cos
e1 2
d 1 e1 sin
1 e1 sin
e1 2
d 1 e1 sin
1 e1 sin
ln
ln
ta
n
4
5
o
2
e1 2
ln 1
e1 sin
e1 2
ln 1
e1 sin
ln
K
e1
ln
ln
K
ln
tan
4
5
(c
S1)
2
r2
1
2 2
2
(c
S2)
相减得：
r12 r22 2(S2 S1)
相除得：
c
S1r22 r22
S2r12 r12
§4.1 圆锥投影
四、等距离圆锥投影
根据等距离条件，即m=1，来确定ρ= f（）的函数形
式： d 1 M d d M d
d M d Q s M d
cs
o
2
1
1
e1 sin e1 sin
2
令
U
tan
45o
2
1 1
e1 e1
s s
in in
e1
2
tan
45o
2
ta n e1
45o
2
(sin e1 sin )
ln ln K ln U
K U
§4.1 圆锥投影
现将等角圆锥投影的一般公式汇集如下：
K U
§4.1 圆锥投影
4、标准纬线的选择 （1）如果制图区域纬差不大，可采用单标准纬线圆锥投影。 单标准纬线的选择非常简单，只需要制图区域南北边纬线的
纬度S，N取中数，并凑整即可。
（2）如果制图区域纬差较大，应采用双标准纬线圆锥投影。 双标准纬线的选择可以使用下列近似公式求得。
1S 0.16(NS) 2 N0.12(NS)
第四章 几类常见的地图投影
测绘学院 乔俊军 制作
第四章 几类常见的地图投影
§4.1 圆锥投影 §4.2 方位投影 §4.3 圆柱投影 §4.4 伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆
锥投影
§4.1 圆锥投影
一、圆锥投影的一般公式及其分类 二、等角圆锥投影 三、等面积圆锥投影 四、等距离圆锥投影 五、圆锥投影变形分析及应用