高二数学9.7直线与平面所成的角和二面角(二) 教案

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(二)教学目的：1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法:(1)根据定义;(2)作二面角棱的垂面;(3)利用三垂线定理或逆定理 教学重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法 教学难点：二面角的平面角的一般作法及其寻求 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1 斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC ⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角.直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=.二、讲解新课：1 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--；二面角的图形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：J第二种是立式法，也称为直立式：l B'O'A'B O A βα2．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角DCBAE1A 说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 三、讲解范例：例1 在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小解：取BC 的中点E，连接,AE DE ，∵正四面体ABCD ，∴,BC AE BC ED ⊥⊥于E ， ∴AED ∠为二面角A BC D --的平面角， 方法一：设正四面体的棱长为1， 则1AE DE AD ===，由余弦定理得1cos 3AED ∠= 方法二：（向量运算）令AB a =，,AC b AD c ==，棱长为1， ∵1111[()][]2224EA ED a b c a b ⋅=-+⋅--=， 又∵3||||2EA ED ==，∴1cos 3AED ∠= 即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为1arccos 3． 例2．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小解：（1）取11B D 中点1O ，连接11,AO CO ， ∵正方体1AC ，∴111111,B D AO CO B D ⊥⊥， ∴1AO C ∠即为二面角11A B D C --的平面角，1A在AOC ∆中，11AO CO AC ===， 可以求得11cos 3AO C ∠=即二面角11A B D C --的大小为1arccos 3．（2）过1C 作1C O BD ⊥于点O ，∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：1tan COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小为．说明：求二面角的步骤：作——证——算——答例3．已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小解：作AO l ⊥于点O ，AB ⊥平面β于点B ，连接BO ， ∵AB β⊥于点B ，AO l ⊥于点O ，∴l OB ⊥，∴AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角， 易知，4AB AO ==，∴60AOB ∠=即二面角l αβ--的大小为60．说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法例4．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角lBOAβαD CBPAB ACD --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过D 作DE AC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ， 则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角， ∴AC DF ⊥，又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ，∴DF EF ⊥，DF BC ⊥， 又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥， 设BD a =，则2AB BC a ==， 在Rt BCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴2DF a =， 同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin 5DF FED DE ∠===， 所以，二面角B AC D --的正弦值为5． 四、课堂练习： 1如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A--的平面角为θ， 求证：cos S S '⋅=证明：过P 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PD ⊥ ∴BC AD ⊥∴PDA ∠为二面角P BC A --的平面角， 即PDA θ∠=∵PA ⊥面ABC ∴PA AD ⊥ ∵PAD ∆是直角三角形 ∴cos ADPAD PD∠=A BC D E FD CFHBAE 又∵11,22PBC ABC S BC PD S S BC AD S ∆∆'=⋅==⋅= ∴cos S PAD S '∠= ∴cos S Sθ'=即cos S S θ'⋅=说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法2．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CDB --的大小解：过A 作AH BD ⊥于H∵二面角A BD C --为直二面角 ∴AH ⊥面BCD取CD 中点E ，F 为DE 中点，连接,HF AF ∵BE CD ⊥ ∴//HF BE ∴EF CD ⊥ ∴HF CD ⊥∴AFH ∠为二面角A BD C --的平面角 令ABa =，则,222AH a BE a ===∴4HF a =∴在Rt AHF ∆中tan AH AFH HF ∠==∴AFH ∠= 即二面角A CD B --的大小为arctan3．设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD 的中点O ，1,AC BC CD ===1）AC 与平面BCD 所成角的大小；（2）二面角A BC D --的大小；（3）异面直线AB 和CD 的大小 解：（1）∵AO ⊥面BCD ∴AO CO ⊥ ∴ACO ∠为AC 与面BCD所成角∵1,BC CD ==∴BD =∴122CO BD ==∴cos 2ACO ∠=O EDCFBA∴6ACO π∠=即AC 与平面BCD 6（2）取BC 中点E ，连接,OE AE ∴//OE CD ∵CD BC ⊥ ∴OE BC ⊥ 又∵AO ⊥面BCD ∴AE BC ⊥∴AEO ∠为二面角A BC D --的平面角又∵11222OE CD AO === ∵AO OE ⊥∴tan 2AO AEO OE ∠==∴arctan 2AEO ∠= 即二面角A BC D --的大小为arctan（3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠=即异面直线AB 和CD 所成角为45五、小结 ：1.二面角的定义、画法.2.二面角的平面角的定义、作法.3.求简单的二面角的大小. 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。