专题23 面积的计算

合集下载

三年级巧求面积题型

三年级巧求面积题型
作为一名三年级的学生，掌握面积知识是非常重要的。

面积是物体表面或平面图形的大小，它在我们的生活实践中有着广泛的应用。

为了帮助同学们更好地学习面积知识，本文将对三年级常见的面积题型进行总结，并提供一些解题技巧和方法。

一、常见面积题型的分类
1.基本图形面积计算：如正方形、长方形、三角形、平行四边形等图形的面积计算。

2.复合图形面积计算：由多个基本图形组合而成的复合图形的面积计算。

3.几何图形面积的应用：如求解实际问题中涉及到的面积问题，如墙壁、地面、窗户等。

二、解题技巧和方法
1.熟记基本图形的面积公式：如正方形面积=边长×边长，长方形面积=长×宽，三角形面积=底×高÷2等。

2.学会将复合图形分解为基本图形：将复合图形分解为基本图形，分别计算面积后再进行加减运算。

3.掌握面积单位换算：熟练掌握面积单位的换算，如1平方米=100平方分米=10000平方厘米。

4.几何图形面积的应用技巧：学会将实际问题转化为几何图形面积问题，如墙壁面积=长×高，窗户面积=宽×高等。

三、实例分析
例如：一个长方形的长是10厘米，宽是6厘米，求这个长方形的面积。

解：根据长方形面积公式，面积=长×宽，所以面积=10厘米×6厘米=60平方厘米。

四、总结
通过以上分析，我们可以看出，掌握面积知识和解题技巧对于三年级学生来说非常重要。

专题23 压强、浮力综合计算类题型-2021年中考物理(力学、热学和光学部分)(原卷版)

专题23 密度、压强、浮力综合计算类题型一．计算题1．如图所示，将质量为0.12kg的蜡块放入装水的玻璃杯中后，玻璃杯、水和蜡块的总重为10N，杯底面积为100cm2．（g＝10N/kg）求：（1）蜡块在水中静止后受到的浮力；（2）蜡块在水中静止后，玻璃杯对桌面的压强。

【解析】（1）由图可知蜡块在水中处于漂浮状态，则蜡块在水中静止后受到的浮力：F浮＝G＝mg＝0.12kg×10N/kg＝1.2N；（2）蜡块在水中静止后，玻璃杯对桌面的压力：F＝G总＝10N；水平支持面受到的压强：p＝＝＝1000Pa。

答：（1）蜡块在水中静止后受到的浮力为1.2N；（2）蜡块在水中静止后，玻璃杯对桌面的压强为1000Pa。

2．2019年10月1日我们伟大的祖国迎来70年华诞，在阅兵仪式上出现一种轻型水陆两栖坦克如图所示。

这种轻型水陆两栖坦克的质量约为22t，每条履带的着地面积为2m2，当它以54km/h的航速在水中匀速行驶时，发动机的功率为450kW．求：（1）坦克在水中航行时受到的浮力；（2）该水陆两栖坦克在路面上行驶时对路面产生的压强。

【解析】（1）坦克的重力：G＝mg＝22000kg×10N/kg＝2.2×105N；因为坦克在水中航行时处于漂浮状态，则其受到的浮力：F浮＝G＝2.2×105N；（2）坦克对水平地面的压力：F＝G＝2.2×105N，受力面积S＝2m2×2＝4m2，则坦克对水平地面的压强：p＝＝＝5.5×104Pa。

答：（1）坦克在水中航行时受到的浮力为2.2×105N；（2）该水陆两栖坦克在路面上行驶时对路面产生的压强为5.5×104Pa。

3．如图所示，小明将一质量为2kg的合金坦克模型悬挂于弹簧测力计下端，并浸没在水中处于静止状态，此时测力计的示数为10N，已知图中盛水容器的底面积S＝0.02m2，取g＝10N/kg。

中考物理真题分类汇编专题23力学压轴题含解析

专题23力学压轴题1.（2006天津，34）在日常生活中，为了提高烹煮食物的温度，缩短烹煮的时间，人们利用水的沸点随气压的升高而升高的性质制造出了高压锅.某种规格的高压锅出气口的直径为3.2 mm ，计算出它的面积约为8 mm 2.要使锅内的气压达到2个标准大气压，请你帮助计算该高压锅应配的限压阀的质量为多少克?(设外界气压为1个标准大气压，1个标准大气压取105Pa ，g 取10 N ／kg)【答案】80g【解析】p 阀=p 内-p 外=2p 0-p 0=p 0=105Pa 因为SmgS G S F p ===阀所以g g S p m 80kg 108N/kg10m 108Pa 102265=⨯=⨯⨯==--阀所以限压阀的质量为80g 。

2.（2009天津，28）天津在支援四川德阳地区抗震救灾活动中，一辆满载物资的总重为G 牛顿的运输车，将物资沿ABCD 路线运至D 处，AB 段海拔高度为h 1米，CD 段海拔高度为h 2米，如图甲所示。

在整个运输过程中，汽车以恒定速度v 米／秒运动，汽车t =0时经过A 处，t l 时经过B 处，t 2时经过C 处，在此过程中汽车牵引力功率P 随时间，变化的图象可简化为图乙所示(P 1、P 2、t l 和t 2也为已知量)。

（1）请分析说明汽车在AB 段和BC 段运动时牵引力的大小关系。

（2）请用已知量求汽车沿斜坡BC 段运动时所受总阻力的表达式(总阻力包括摩擦力和空气阻力)。

【答案】（1）BC 段运动时牵引力较大；（2）)()()()(1212122牛t t v h h G t t P f ----=【解析】（1）设汽车的牵引力为F ，根据Fv t Fs t W P ===，得vPF =，又因为P 2大于P l 且速度一定，所以汽车在BC 段运动时牵引力较大。

（2）汽车沿斜坡BC 段运动时所受总阻力为f ，BC 段长为L 、高为h ，由功的关系可得：)()()()()()()()()(1212122121212212122牛t t v h h G t t P f t t fv h h G t t P fL h h G t t P fLGh W F ----=-+-=-+-=-+= 即汽车沿斜坡BC 段运动时所受总阻力)()()()(1212122牛t t v h h G t t P f ----=3.（2011天津，28）如图1所示，某桥梁工程部门在一次工程作业中，利用汽车将重为G ，高为h 0的柱形实心铁块，从水深为h 1的河底竖直打捞上来。

2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练23 平方差公式与几何图形

专题23 平方差公式与几何图形【例题讲解】图①、图②分别由两个长方形拼成：(1)图②中的阴影部分的面积是：()()a b a b +-，那么图①中的阴影部分的面积为______________． (2)观察图①和图②，请你写出代数式22()()a b a b a b +-、、之间的等量关系式________________． (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若22630x y x y +=--=，，求x y -的值．【解答】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a 的大正方形的面积减去边长为b 的小正方形的面积，即为：22a b -．故答案为：22a b -；（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等， ∴得出等式：22()()a b a b a b -=+-．故答案为：22()()a b a b a b -=+-；（3）解：∵2230x y -=， ∴()()30x y x y +-=．将6x y +=-代入上式，得：6()30x y --=，解得：5x y -=-．【综合解答】1．在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a b >，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（）A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．2()a a b a ab +=+D ．22()()a b a b a b +-=-2．如图所示，在边长为a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a b a ab b +=++C ．()2222a b a ab b -=-+D ．()2a ab a a b -=-3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是（）A ．30B ．40C ．50D ．604．4张长为m ，宽为()n m n >的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为m n 的正方形，图中空白部分的面积为1S ，阴影部分的面积为2S ，若12S S ，则m ，n 满足的关系式是（）A ． 1.5m n =B ．2m n =C ． 2.5m n =D ．3m n =5．如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．6．如图①是将一个边长为a 的大正方形的一角截去一个边长为b 的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．(1)请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：___________方法二：___________(2)根据探究的结果，直接写出22,,a b a b a b +--这三个式子之间的等量关系___________ (3)利用你发现的结论，求22647353-的值7．如图①是一张边长为a 的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b 的小正方形，然后将图①剩余部分(阴影部分)剪拼成如图②的一个大长方形(阴影部分)(1)请分别用含a b 、的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：图①阴影部分面积为：；图②阴影部分面积为：；(2)请探究并直接写出22a b a b a b -+-、、这三个式子之间的等量关系； (3)利用(2)中的结论，求22542.7457.3-的值．8．如图，在边长为a 的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b 的正方形．(1)余下纸片的面积为_____________(2)已知14.4a =， 2.8b =，你能利用所学的因式分解计算出剩余部分的面积吗？请写出利用因式分解求解的过程．9．小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r 的半圆中画两个直径均为r 的小半圆（如图1），小华在半径为r 的半圆中画两个直径分别为a 、b 的小半圆（如图2），分别计算剩余的阴影部分面积1S 和2S ，并比较它们的大小．(1)用r 的代表式表示阴影部分的面积1S =_________； (2)用a 、b 的代数式表示阴影部分的面积2S =_________；(3)设(),0a r c b r c c =+=->，那么（）；A .12S S ；B ．12S S >；C ．12S S <；D ．1S 与2S 的大小关系无法确定 (4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．10．如图1，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．(1)设图1中的阴影部分面积为S 1，图2中的阴影部分面积为S 2，请直接用含有a 、b 的代数式表示，则S 1＝________，S 2＝_______________；(2)请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：_______________________；(3)请你利用（2）中的公式计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）＋1．11．七年级教材下册“第九章整式乘法与因式分解”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式；逆向思考，得到了多项式因式分解的方法，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本77页，在边长为a 的正方形纸片上剪去一个边长为b ()b a <的小正方形（如下图），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的结论：．其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．h^活动材料：如下图，4张A 型直角三角形纸片、1张B 型正方形纸片．活动要求：利用这两种纸片(每种纸片需全部使用)拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．活动内容：（1）根据要求，小腾拼出了如下图的大正方形，请你根据此图说明222+=a b c成立的理由．（2）利用（1）的结论计算：若12b a-=，2254c=，求22b a-的值．12．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1图2图3图4（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．图1：；图2：；图3：．其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：从“数”的角度解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：从“形”的角度解：∵a+b＝3，∴S大正方形=9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S 1+S 4＝S 大正方形﹣S 2﹣S 3＝9﹣1﹣1＝7．即a 2+b 2＝7．类比迁移：（2）若（5﹣x ）▪（x ﹣1）＝3，则（5﹣x ）2+（x ﹣1）2＝；（3）如图，点C 是线段AB 上的一点，以AC ，BC 为边向两边作正方形，设AB ＝10，两正方形的面积和S 1+S 2＝72，求图中阴影部分面积．13．如图①是将一个边长为a 的大正方形的一角截去一个边长为b 的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．（1）请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：；方法二：；（2）根据探究的结果，直接写出22,,a b a b a b +--这三个式子之间的等量关系；（3）利用你发现的结论，求22854146-的值．14．在边长为a 的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（a ＞b ），如图①．（1）由图①得阴影部分的面积为．（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为．（3）由（1）（2）的结果得出结论：＝．（4）利用（3）中得出的结论计算：20212﹣20202．15．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a 、b 、c ，其中a 、b 是直角边．正方形的边长分别是a 、b ．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：；方法二：；（2）观察图②，试写出（a+b ）2，a 2，2ab ，b 2这四个代数式之间的等量关系是：；（3）借助以上经验，利用以下两个完全一样的直角梯形，验证等式22()()a b a b a b -=+-．请画出图形，并写出验证过程．16．如图所示的两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形.（1）若图1中的阴影部分的面积用大正方形减去小正方形表示为22a b -，则图2中的阴影部分的面积用长乘以宽可表示为______.（用含字母a 、b 的代数式表示）（2）由（1）可以得到等式______. （3）根据所得到的等式解决下面的问题： ①计算：2267.7532.25-. ②解方程：()()22114x x +--=-.17．【操作发现】如图1，在边长为x 的正方形内剪去边长为y 的小正方形，剩下的图形面积可以表示为；把剩下的这个图形沿图2的虚线剪开，并拼成图3的长方形，可得长为、宽为，那么这个长方形的面积可以表示为，不同的方法求得的面积应相等，由此可以得到一个等式.【数学应用】利用得到的等式解决以下问题：（1）()()100-0.51000.5⨯+ （2）22100-99【思维拓展】（3）利用得到的等式计算1009999989897++++++…3221++++ 解：原式=1009999989897++++++（）（）（）…3221++++（）（）请你把接下来的计算过程补充完整.18．从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个） A ．a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2 B ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b ） C ．a 2＋ab ＝a(a ＋b)（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x 2－4y 2＝12，x ＋2y ＝4，求x －2y 的值． ②计算：（1－212）（1－213）（1－214）…（1－212018）（1－212019）．专题23 平方差公式与几何图形【例题讲解】图①、图②分别由两个长方形拼成：(1)图②中的阴影部分的面积是：()()a b a b +-，那么图①中的阴影部分的面积为______________． (2)观察图①和图②，请你写出代数式22()()a b a b a b +-、、之间的等量关系式________________． (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若22630x y x y +=--=，，求x y -的值．【解答】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a 的大正方形的面积减去边长为b 的小正方形的面积，即为：22a b -．故答案为：22a b -；（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等， ∴得出等式：22()()a b a b a b -=+-．故答案为：22()()a b a b a b -=+-；（3）解：∵2230x y -=， ∴()()30x y x y +-=．将6x y +=-代入上式，得：6()30x y --=，解得：5x y -=-．【综合解答】1．在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a b >，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（）A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．2()a a b a ab +=+D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】D【分析】根据图2长方形面积=图1中阴影部分面积，列式即可得出答案．【解答】解：由图可得 (a +b )(a -b )= a 2-b 2，故选：D ．【点评】本题考查平方差公式的几何意义，熟练掌握数形结合思想的运用是解题的关键． 2．如图所示，在边长为a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．()2222a b a ab b +=++C ．()2222a b a ab b -=-+ D ．()2a ab a a b -=-【答案】A【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）．【解答】解：左边图形的阴影部分的面积=a 2-b 2 右边的图形的面积1222b a a b =（a +b ）（a -b ）．∴()()22a b a b a b -=+-，故选：A ．【点评】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键． 3．如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是（）A ．30B ．40C ．50D ．60【答案】B【分析】设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则AE a b =-，由题意可得2280a b -=，将S 阴影部分转化为ΔΔACE ADE S S +，即221()2a b -，代入计算即可．【解答】解：如图，设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则AE a b =-，由于大正方形与小正方形的面积之差是80，即2280a b -=，ΔΔACE ADE S S S =+阴影部分11()()22a b a a b b =-⋅+-⋅ 1()()2a b a b =+- 221()2a b =- 1802=⨯ 40=，故选：B ．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 4．4张长为m ，宽为()n m n >的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为m n 的正方形，图中空白部分的面积为1S ，阴影部分的面积为2S ，若12S S ，则m ，n 满足的关系式是（）A ． 1.5m n =B ．2m n =C ． 2.5m n =D ．3m n =【答案】D【分析】先用含有m 、n 的代数式分别表示S 2=2mn +2n 2，S 1=m 2-n 2，再根据S 1=S 2，整理可得结论．【解答】解：由题意可得：S 2=4×12n （m +n ） =2n （m +n ）； S 1=（m +n ）2-S 2 =（m +n ）2-（2mn +2n 2） =m 2+2mn +n 2-2mn -2n 2 =m 2-n 2； ∵S 1=S 2，∴2n （m +n ）=m 2-n 2，∴2n （m +n ）=（m -n ）（m +n ）， ∵m +n ＞0， ∴2n =m -n ， ∴m =3n ．故选：D ．【点评】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．5．如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．【答案】(a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣4【分析】根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式．【解答】∵图①中阴影部分面积＝(a +2)(a ﹣2)，图②中阴影部分面积＝a 2﹣4， ∵图①和图②的阴影面积相等， ∴(a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣4，故答案为：(a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣4．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，结合图形得到阴影部分的面积是解题的关键． 6．如图①是将一个边长为a 的大正方形的一角截去一个边长为b 的小正方形（阴影部分），然后将图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．(1)请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：___________方法二：___________ (2)根据探究的结果，直接写出22,,a b a b a b +--这三个式子之间的等量关系___________ (3)利用你发现的结论，求22647353-的值【答案】(1)22a b -，()()a b a b +-(2)()()22a b a b a b -=+-(3)29400【分析】（1）方法一：根据图②中大长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；方法二：根据②中答长方形的长为a b +，宽为a b -，即可求解；（2）由（1）种结论，即可求解；（3）利用平方差公式计算，即可求解．【解答】（1）解：方法一：图②中大长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即22a b -；方法二：图②中答长方形的长为a b +，宽为a b -，则大长方形的面积为()()a b a b +-；故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（2）解：根据题意得：()()22a b a b a b -=+-；故答案为：()()22a b a b a b -=+-（3）解：22647353-()()647353647353=+-1000294=⨯ 29400=【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．7．如图①是一张边长为a 的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b 的小正方形，然后将图①剩余部分(阴影部分)剪拼成如图②的一个大长方形(阴影部分)(1)请分别用含a b 、的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：图①阴影部分面积为：；图②阴影部分面积为：；(2)请探究并直接写出22a b a b a b -+-、、这三个式子之间的等量关系； (3)利用(2)中的结论，求22542.7457.3-的值．【答案】(1)22a b -；()()a b a b +- (2)22()()a b a b a b -=+- (3)85400【分析】（1）用a 为边长的正方形面积减去小正方形面积即可得图①阴影部分面积，直接读取图②中大长方形的长与宽，再求面积；（2）根据22a b -与()()a b a b +-表示同一个图形的面积进行判断；根据图形可以写出等量关系；（3）根据22()()a b a b a b -=+-进行计算即可求解．【解答】（1）解：(1)22a b -； ()()a b a b +-；（2）22()()a b a b a b -=+-；（3）原式(542.7457.3)(542.7457.3)100085.485400=+-=⨯=．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．8．如图，在边长为a 的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b 的正方形．(1)余下纸片的面积为_____________(2)已知14.4a =， 2.8b =，你能利用所学的因式分解计算出剩余部分的面积吗？请写出利用因式分解求解的过程．【答案】(1)a 2-4b 2 (2)176【分析】（1）利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可；（2）利用平方差公式分解因式后代入计算即可．【解答】（1）解：余下纸片的面积是a 2-4b 2，故答案为：a 2-4b 2；（2）解：能， ∵a =14.4，b =2.8， ∴a 2-4b 2=（a +2b ）（a -2b ）=（14.4+2×2.8）（14.4-2×2.8） =20×8.8 =176．【点评】此题考查了平方差公式与几何图形，利用平方差公式分解因式，正确理解平方差公式及因式分解的方法是解题的关键．9．小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r 的半圆中画两个直径均为r 的小半圆（如图1），小华在半径为r 的半圆中画两个直径分别为a 、b 的小半圆（如图2），分别计算剩余的阴影部分面积1S 和2S ，并比较它们的大小．(1)用r 的代表式表示阴影部分的面积1S =_________； (2)用a 、b 的代数式表示阴影部分的面积2S =_________； (3)设(),0a r c b r c c =+=->，那么（）；A .12S S ；B ．12S S >；C ．12S S <；D ．1S 与2S 的大小关系无法确定 (4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．【答案】(1)214r π(2)14ab π (3)C(4)答案见解析【分析】（1）用半径为r 的半圆的面积减去直径为r 的圆的面积即可；（2）用直径为（a +b ）的半圆的面积减去直径为a 的半圆的面积，再减去直径为b 的半圆的面积即可；（3）（4）将a ＝r +c ，b ＝r ﹣c ，代入S 2，然后与S 1比较即可．（1）解：S 1＝222111244r r r πππ-=；（2）解：S 2＝22211111222424a b a b πππ+⎛⎫=-⨯-⨯ ⎪⎝⎭()222111888a b a b πππ=+--， 14ab π= ，故答案为：14ab π；（3）解：选：B ；（4）解：将a ＝r +c ，b ＝r ﹣c ，代入S 2，得：S 2＝()()()221144r c r c r c ππ+-=-，∵c ＞0， ∴r 2＞r 2﹣c 2，即S 1＞S 2．故选B ．【点评】本题考查了列代数式表示图形的面积，解题的关键是：结合图形分清各个半圆的半径及熟记圆的面积公式．10．如图1，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着虚线剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的长方形．(1)设图1中的阴影部分面积为S 1，图2中的阴影部分面积为S 2，请直接用含有a 、b 的代数式表示，则S 1＝________，S 2＝_______________；(2)请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式：_______________________；(3)请你利用（2）中的公式计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）＋1．【答案】(1)22a b -，()()a b a b +- (2)22()()a b a b a b +-=- (3)322【分析】（1）根据图形直接求面积；（2）根据（1）中的12S S 得出等量关系；（3）根据（2）中的公式逐步运算即可．（1）解：图①中的面积S 1＝22a b -，图②中面积S 2＝()()a b a b +-；故答案为：22a b -，()()a b a b +- （2）由（1）可知（1）12S S ， ∴22()()a b a b a b +-=-，故答案为：22()()a b a b a b +-=-；（3）()()()()24816(21)212121211++++++()()()()24816(21)(21)212121211=-++++++()()()()()22481621212121211=-+++++()()()()44816212121211=-++++()()161621211=-++322=．【点评】本题考查平方差公式，数形结合思想，熟练掌握平方差公式是解题的关键．11．七年级教材下册“第九章整式乘法与因式分解”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式；逆向思考，得到了多项式因式分解的方法，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本77页，在边长为a 的正方形纸片上剪去一个边长为b ()b a <的小正方形（如下图），通过计算图中的阴影面积，发现了一个重要的结论：．其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理．h^活动材料：如下图，4张A 型直角三角形纸片、1张B 型正方形纸片．活动要求：利用这两种纸片(每种纸片需全部使用)拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式．活动内容：（1）根据要求，小腾拼出了如下图的大正方形，请你根据此图说明222+=a b c 成立的理由．（2）利用（1）的结论计算：若12b a -=，2254c =，求22b a -的值．【答案】22()()a b a b a b -=+-；（1）222+=a b c ；（2）74【分析】先用大小正方形的面积差表示第一图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可；活动内容：（1）根据大正方形的面积减去4个全等直角三角形的面积等于中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可；（2）用（b -a ）2及a 2+b 2=c 2求得ab ，再由（a +b ）2求得a +b ，进而由平方差公式求得结果．【解答】解：第一图的阴影部分面积为：a 2-b 2，第二图阴影部分的面积为：（a +b ）（a -b ）， ∴重要的结论为：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）；（1）2()S a b =+，2142S ab c =⨯+∴221()42a b ab c +=⨯+∴22222a ab b ab c ++=+ ∴222+=a b c（2）解：由题意知：222254a b c +==2221()24b a b ab b -=-+=∴26ab =∴2222549()2644b a b ab b +=++=+= 0b a +> ∴72b a +=∴22717()()224b a b a b a -=+-=⨯=【点评】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，结合图形得出关系式是解题的关键． 12．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1 图2 图3 图4（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．图1：；图2：；图3：．其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：从“数”的角度解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：从“形”的角度解：∵a+b＝3，∴S大正方形=9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．类比迁移：（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．【答案】（1）（a+b）2 =a2＋2ab+b2；（a－b）2 =a2－2ab+b2；（a+b）（a－b）= a2－b2；（2）10；（3）7【分析】（1）图1和图2根据阴影部分是正方形，其面积等于两个较小正方形的面积和两个相同长方形的面积之和，即可得出结论；图3可根据左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得出结论；（2）仿照“方法一”进行计算求解即可；（3）根据（2）介绍的方法求出AC和CF边的乘积关系，然后利用直角三角形的面积计算公式求解即可．【解答】解：（1）图1：阴影部分面积等于两个较小正方形面积和两个相同长方形面积之和，即：（a+b）2 =a2＋2ab+b2；图2：阴影部分面积等于大正方形面积减去最小正方形的面积以及两个小长方形的面积，(12AC CF x =∴图中阴影部分面积为【点评】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，熟悉基本的乘法公式是解题关键．是将一个边长为图①剩余部分拼接成如图②的一个大长方形（阴影部分）．（1）请用两种不同的方法列式表示图②中大长方形的面积：方法一：；方法二：；（2）根据探究的结果，直接写出22,,a b a b a b +--这三个式子之间的等量关系；（3）利用你发现的结论，求22854146-的值．【答案】（1）22,()()a b a b a b -+-；（2）22()()a b a b a b -=+-；（3）708000【分析】（1）方法1：用a 为边长的正方形面积减去小正方形面积即可；方法2：直接读取图②中大长方形的长与宽，再求面积；（2）根据a 2-b 2和（a +b ）（a -b ）表示同一个图形的面积进行判断；根据图形可以写出等量关系；（3）根据a 2-b 2=（a +b ）（a -b ），进行计算即可得到答案．【解答】解：（1）由图可知，方法1：图②中大长方形的面积为：a 2-b 2，方法2：图②中大长方形的面积为：（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2，（a +b ）（a -b ）；（2）由图可得，22,,a b a b a b +--这三个式子之间的等量关系是：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）；（3）解：原式=854146854-146+⨯（）（）=1000708⨯=708000【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．14．在边长为a 的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（a ＞b ），如图①．（1）由图①得阴影部分的面积为．（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为．（3）由（1）（2）的结果得出结论：＝．（4）利用（3）中得出的结论计算：20212﹣20202．【答案】（1）a 2﹣b 2；（2）（a +b ）（a ﹣b ）；（3）a 2﹣b 2，（a +b ）（a ﹣b ）；（4）4041【分析】（1）根据阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积和正方形的面积公式即可得到结论；（2）根据梯形的面积公式即可得到结论；（3）由（1）（2）的结论即可得到结果；（4）根据（3）所得的结论进行求解即可．【解答】解：（1）由图①得：阴影部分的面积为a 2﹣b 2．故答案为：a 2﹣b 2；（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为：12（2a +2b ）•（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ）．故答案为：（a +b ）（a ﹣b ）；（3）由（1）（2）的结果得出结论：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）．故答案为：a 2﹣b 2，（a +b ）（a ﹣b ）；（4）20212﹣20202＝（2021+2020）×（2021﹣2020）＝4041．【点评】此题考查了列代数式和含乘方的有理数混合运算，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．15．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a 、b 、c ，其中a 、b 是直角边．正方形的边长分别是a 、b ．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：；方法二：；（2）观察图②，试写出（a+b ）2，a 2，2ab ，b 2这四个代数式之间的等量关系是：；（3）借助以上经验，利用以下两个完全一样的直角梯形，验证等式22()()a b a b a b -=+-．请画出图形，并写出验证过程．【答案】（1）（a+b ）2；a 2+2ab+b 2；（2）（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；（3）证明见解析【分析】（1）方法一：根据大正方形面积公式可得；方法二：等于两个小正方形的面积加上四个直角三角形的面积的和；（2）根据（1）中两种表示方法可以得到（a+b ）2，a 2，2ab ，b 2这四个代数式之间的等量关系；（3）拼成一个正方形和一个梯形，根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．【解答】解：（1）由题意可得，方法一：（a+b ）2；方法二：a 2+ 12ab×4+b 2=a 2+2ab+b 2，故答案为：（a+b ）2，a 2+2ab+b 2；（2）由题意可得，（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故答案为：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；（3）用两个完全一样的直角梯形拼成如下两个图形，阴影部分的面积=a 2-b 2=12（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ）．所以()()22a b a b a b -=+-．【点评】本题考查了列代数式、完全平方公式、平方差公式及应用．由面积相等得到代数式相等是解决本题的关键．16．如图所示的两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形.（1）若图1中的阴影部分的面积用大正方形减去小正方形表示为22a b -，则图2中的阴影部分的面积用长乘以宽可表示为______.（用含字母a 、b 的代数式表示）（2）由（1）可以得到等式______.（3）根据所得到的等式解决下面的问题：①计算：2267.7532.25-.②解方程：()()22114x x +--=-. 【答案】（1）()()a b a b +-；（2）()()22a b a b a b -=+-；（3）①3550；②x=-1 【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可得出答案；（2）根据阴影部分面积相等即可得出答案；（3）①运用平方差公式计算即可得出答案；②先用平方差公式将左边展开即可得出答案.【解答】（1）图2中的阴影部分的面积为()()a b a b +-.（2）()()22a b a b a b -=+-.（3）①2267.7532.25-()()67.7532.2567.7532.25=+-10035.5=⨯3550=.②()()22114x x +--=-， ()()11114x x x x ++-+-+=-，44x =-，=1x -.【点评】本题考查的是平方差公式的计算与应用，需要熟练掌握平方差公式的特征.17．【操作发现】如图1，在边长为x 的正方形内剪去边长为y 的小正方形，剩下的图形面积可以表示为；把剩下的这个图形沿图2的虚线剪开，并拼成图3的长方形，可得长为、宽为，那么这个长方形的面积可以表示为，不同的方法求得的面积应相等，由此可以得到一个等式.【数学应用】利用得到的等式解决以下问题：（1）()()100-0.51000.5⨯+（2）22100-99【思维拓展】（3）利用得到的等式计算1009999989897++++++…3221++++解：原式=1009999989897++++++（）（）（）…3221++++（）（）请你把接下来的计算过程补充完整.【答案】（1）9999.75；（2）199；（3）9999【分析】利用割补法求得图形面积;利用上一问得到的等式进行计算.【解答】解：图1中剩下图形面积为大正方形面积-小正方形面积，即22x y - ；图3长方形中，长为（x+y ）,宽为(x-y)，所以这个长方形的面积为)()x y x y +-（，因此得到一个等式为：22x y -=)()x y x y +-（（1）()()100-0.51000.5⨯+22=100-0.5100000.259999.75=-=（2）22100-99 =100+99100-99=1991=199⨯（）（）（3）1009999989897++++++…3221++++原式=1009999989897++++++（）（）（）…3221++++（）（） 2=199+197+195+...+5+3199+3=210199(1001)(1001)10019999⨯=⨯=+-=-=（）99【点评】利用面积法推出平方差公式，利用平方差公式使得计算简便是本题的解题关键.18．从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A ．a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2B ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b ）C ．a 2＋ab ＝a(a ＋b)（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x 2－4y 2＝12，x ＋2y ＝4，求x －2y 的值．②计算：（1－212）（1－213）（1－214）…（1－212018）（1－212019）．【答案】(1) B ;(2)① 3； ②10102019.。

中考数学专题复习专题23 平行四边形(教师版含解析)

中考专题23 平行四边形问题1.平行四边形定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，读作“平行四边形ABCD”。

2.平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分。

3.平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4.平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah【经典例题1】(2020年•温州)如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为( )A．40°B．50°C．60°D．70°【标准答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【答案剖析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝(180°﹣40°)÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．【知识点练习】(2019•山东临沂)如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND【标准答案】A【答案剖析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵OM＝AC，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．【经典例题2】(2020年•凉山州)如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于16 ．【标准答案】16．【答案剖析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，则AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出标准答案．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴▱ABCD的周长＝2×(AB+AD)＝2×8＝16；【知识点练习】(2019•湖北武汉)如图所示，在▱ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为．【标准答案】21°．【答案剖析】设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°。

面积总结归纳

面积总结归纳在日常生活中，面积是一种用来描述物体表面大小的计量单位。

它在各个领域都有着广泛的应用，无论是在建筑设计、农业生产还是科学研究中，都需要准确地计算和比较不同物体的面积。

本文将对面积的概念进行简要介绍，并总结归纳面积的计算方法和应用场景。

一、什么是面积面积是平面几何中一种用来描述物体表面大小的量度。

它通常以平方单位（如平方米、平方厘米）表示。

在二维平面中，一个物体的面积等于其所占据的平面区域的大小。

二、常见物体的面积计算方法1. 矩形的面积计算：对于一个矩形，其面积可以通过将其宽度与长度相乘得到。

公式为：面积 = 宽度 ×长度。

2. 正方形的面积计算：对于一个正方形，其面积可以通过将其边长的平方得到。

公式为：面积 = 边长 ×边长。

3. 圆的面积计算：对于一个圆，其面积可以通过将其半径的平方乘以π（圆周率）得到。

公式为：面积 = 半径 ×半径× π。

4. 三角形的面积计算：对于一个三角形，其面积可以通过将其底边长度与高的乘积再除以2得到。

公式为：面积= （底边长度×高）/ 2。

三、面积的应用场景1. 建筑设计中的面积计算：在建筑设计过程中，需要计算各个房间、楼层、建筑物的面积，以便进行合理的空间规划和材料使用。

面积计算还有助于评估建筑的使用效率和设计质量。

2. 农业生产中的面积计算：在农业生产中，面积计算是农田规划、种植布局和农作物产量评估的重要依据。

通过计算田地面积，农民可以准确地安排种植区域，合理使用肥料和水资源，提高农作物的产量和质量。

3. 科学研究中的面积计算：在科学研究中，面积计算在各个学科领域都有广泛的应用。

例如，在地理学中，需要计算陆地和海洋的面积以研究地球表面的特征和分布；在生物学中，需要计算生物群落的面积以评估生态系统的健康状况。

4. 商业活动中的面积计算：在商业活动中，面积计算是商场、仓库和办公室管理的重要环节。

通过准确计算商业场所的面积，可以合理配置商品陈列、库存管理和工作空间，提高经营效率和顾客体验。

2022年中考化学真题分项汇编专题23 化学计算试题及答案

专题23 化学计算1、化学式计算2、技巧计算3、化学方程式的计算4、溶液的计算5、综合计算（包含选择计算题、计算题）1．（2022年安徽省中考）荷叶中含有的荷叶碱（化学式为C19H21NO2）具有降脂、抑菌等作用。

下列有关荷叶碱的说法，正确的是（）A．含有O2B．由四种非金属元素组成C．属于氧化物D．其中氢元素的质量分数最大2．（2022年四川省自贡市中考）4月28日我国化学家团队公布了最新研究成果：通过电催化结合生物合成的方式，将二氧化碳高效还原合成高浓度乙酸，进一步利用微生物可以合成葡萄糖（C6H12O6）和脂肪酸。

这项突破为人工和半人工合成“粮食”提供了新技术。

葡萄糖中碳、氢、氧的元素质量比为（）A．1：1：1B．1：2：1C．6：1：6D．6：1：8 3．（2022年四川省南充市中考）人被有些蚊虫叮咬后，蚊虫在人的皮肤内分泌出蚁酸（化学式为HCOOH），使叮咬处痛痒。

下列有关蚁酸说法错误的是（）A．蚁酸由碳、氢、氧三种元素组成B．蚁酸由5个原子构成C．蚁酸的相对分子质量为46D．蚁酸中氧元素的质量分数最大4．（2022年湖南省衡阳市中考）大米、面粉、豆类等，在温度为30°C-80°C，相对湿度超过80%时，容易发生霉变，滋生黄曲霉菌，其衍生物约有20种。

其中以黄曲霉素B1的毒性最大，致癌性最强。

黄曲霉素B1的化学式为C17H12O6，下列有关该物质的说法正确的是（）A．黄曲霉素B1由35个原子构成B．黄曲霉素B1中碳元素、氢元素、氧元素的质量之比是17：12：6C．黄曲霉素B1中氧元素的质量分数最小D．黄曲霉素B1由三种元素组成5．（2022年湖南省怀化市中考）疫情防控期间用到一种免洗手消毒凝胶，其中含有正丙醇（C3H8O）。

下列有关正丙醇的说法正确的是（）A．正丙醇相对分子质量为60gB．碳元素的质量分数是60%C．碳、氢元素的质量比为3：8D．正丙醇是混合物6．（2022年江苏省连云港市中考）中国科学家成功以二氧化碳和水为原料人工合成葡萄糖(C6H12O6)。

专题23 平行四边形-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(原卷版)

专题23 平行四边形【考查题型】【知识要点】知识点一平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

平行四边形的性质：1)对边平行且相等；2)对角相等、邻角互补；3)对角线互相平分；4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

平行四边形的判定定理：1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2)角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．3)边与角：⑥一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；4)对角线：⑦对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形的面积公式：面积=底×高平行线的性质：1）平行线间的距离都相等；2）两条平行线间的任何平行线段都相等；3）等底等高的平行四边形面积相等。

考查题型一添加一个条件成为平行四边形典例1．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（）A．B．C．D．变式1-1．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为___________ （写一个即可）．变式1-2．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件______________，使．（填一种情况即可）变式1-3．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．考查题型二平行四边形的证明典例2．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形．变式2-1．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．(1)求证：∠ACB＝∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．变式2-2．（2022·北京·统考中考真题）如图，在中，交于点，点在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若求证：四边形是菱形．变式2-3．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若AC平分，，求四边形AFCE的面积．变式2-4．（2022·江西·统考中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位）(1)求证：四边形为平行四边形；(2)求雕塑的高（即点G到的距离）．（参考数据：）变式2-5．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在中，点、分别在边、上，且．（1）探究四边形的形状，并说明理由；（2）连接，分别交、于点、，连接交于点．若，，求的长．变式2-6．（2021·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．考查题型三利用平行线的性质求解典例3．（2022·广东·统考中考真题）如图，在中，一定正确的是（）A．B．C．D．变式3-1．（2022·福建·统考中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（）A．96B．C．192D．变式3-2．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（）A．4B．3C．D．2变式3-3．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）在中（如图），连接，已知，，则（）A．B．C．D．变式3-4．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（）A．B．C．D．变式3-5．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2B．1C．D．变式3-6．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图,在中，，是上的点,∥交于点，∥交于点，那么四边形的周长是（）A．5B．10C．15D．20变式3-7．（2021·天津·统考中考真题）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（）A．B．C．D．变式3-8．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（）A．1B．2C．3D．4变式3-9．（2021·湖北荆门·统考中考真题）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（）A．B．C．D．变式3-10．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．变式3-11．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．变式3-12．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．变式3-13．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______．变式3-14．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB 的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为_______．考查题型四利用平行线的性质证明典例4．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．(1)求证：BE＝DF；(2)求证：ABE≌CDF．变式4-1．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．变式4-2．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点．(1)请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）；(2)根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．证明：∵四边形是平行四边形，∴∵______（两直线平行，内错角相等）又∵平分，平分，∴，∴∴______（______）（填推理的依据）又∵四边形是平行四边形∴∴四边形为平行四边形（______）（填推理的依据）．变式4-3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．变式4-4．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．（1）求证：；（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．考查题型五利用平行线的性质与判定求解典例5．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A．四边形周长不变B．C．四边形面积不变D．变式5-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1变式5-2．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（）A．5.5B．5C．4D．3变式5-3．（2021·江西·中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______．变式5-4．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC 上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是_____．变式5-5．（2021·山西·统考中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A 的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．知识点二三角形中位线三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。

2019中考数学《面积的计算》专题复习考点讲解(含答案)

面积的计算考点图解技法透析面积法是一种重要方法，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：(1)常见图形的面积计算公式：正方形面积＝边长×边长；矩形的面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆的面积＝×半径的平方；扇形面积＝2360n r（n为圆心角，r为半径）(2)计算面积常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形的面积相等；②等底的两个三角形的面积比等于对应高的比；③等高的两个三角形的面积比等于对应底的比；④三角形一边上的中线平分这个三角形的面积．(3)面积计算常用到以下方法：①和差法：把所求图形的面积转化为常见图形面积的和、差表示，运用常见图形的面积公式；②等积法：找出与所求图形面积相等的或者关联的特殊图形，通过代换转化来求出图形的面积；③运动法：通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状；④代数法：通过寻求图形面积之间的关系列方程（组）；把几何问题转化为代数问题．(4)非常规图形的面积计算往往采用“等积变换”，所谓“等积变换”就是不改变几何图形的面积，而是把它的形状改变成能够直接求出面积的图形，等积变换的主要目的，是把复杂的图形变成简单的图形，把不规则的图形变成规则的图形．(5)“等积变换”的方法①公式法，即运用某些图形的面积公式及其有关推论．②分割法，即把一个图形分割成熟知的若干部分图形．③割补法，即把一个图形的某一部分分割出来，然后用与其等积图形填补到某一位置．名题精讲考点1 用面积公式计算常规图形面积例1 如图，将直角三角形BC 沿着斜边AC 的方向平移到 △DEF 的位置（A 、D 、C 、F 四点在同一条直线上）．直角边DE 交BC 于点G ．如果BG ＝4，EF ＝12，△BEG 的面积等于4，那么梯形ABGD 的面积是 ( )A ．16B ．20C ．24D ．28【切题技巧】【规范解答】 B【借题发挥】把不能直接求出面积的图形通过转化或找出与它面积相等的特殊图形，从而能够求解．【同类拓展】 1．如图所示，A 是斜边长为m 的等腰直角三角形，B ，C ，D 都是正方形，则A ，B ，C ，D 的面积的和等于 ( )A ．94m 2B ．52m 2C ．114m 2D ．3m 2考点2 用面积的和、差计算非常规图形有面积例2 如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB ＝5， S △PAD ＝2，请你求出S △PAC （即阴影部分的面积）．【切题技巧】 △APC 的底与高显然无法求，则应用已知三角形的面积的和或差来计算△APC 的面积．【规范解答】【借题发挥】对于不能直接求的图形可以把图形进行分解和组合，通过图形的面积和或差进行计算．【同类拓展】 2．如图，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为a ， △CDG 的面积为b ，则阴影四边形的面积等于 ( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2a bD ．无法确定考点3 列方程（组）求面积例3 如图所示，△ABC 的面积是1cm 2．AD ＝DE ＝EC ， BG ＝GF ＝FC ，求阴影四边形的面积．【切题技巧】条件中有两组等分点，易知△BCE，△ACF的面积为13，但仍然不能求阴影部分面积，因此，只要求出△BCE中另两块面积即可，【规范解答】如图，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD．设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y．因为△ABC的面积是1cm2，且AD＝AE＝EC，BG＝GF＝FC．【借题发挥】求一些关系复杂的图形面积，列方程是一个重要方法，它不但可以使我们熟悉列方程和了解方程在几何中的应用，而且能清晰地表明图形面积之间的关系，从而可以化解或降低解题的难度．【同类拓展】3．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1、S2、…、S8，试比较S3与S2＋S7＋S8的大小，并说明理由．考点4 面积比与线段比的转化例4 如图所示，凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，若△AOD的面积是2，△COD的面积是1，△COB的面积是4，则四边形ABCD的面积是 ( )A．16 B．15 C．14 D．13【切题技巧】分析△AOD，△DOC，△AOB，△COB四个三角形的面积，只有通过线段比联系起来，相邻两个三角形的面积都存在着一种比例关系．【规范解答】【借题发挥】两三角形的高相等时，面积比等于对应底之比，则可以将面积比与对应线段比相互转化，这是．解答面积问题、线段比等问题的常用技巧．【同类拓展】 4．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则AGCD ABCDS S 四边形矩形等于 ( )A ．56B ．45C ．34D ．23考点5例5 如图所示，在四边形ABCD 中，AM ＝MN ＝ND ， BE ＝EF ＝FC ，四边形ABEM 、MEFN 、NFCD 的面积分别记为S 1，S 2和S 3．求213?S S S =+【切题技巧】把四边形分割成多个三角形，运用三角形等积变换定理即可求出，【规范解答】连接A ．E 、EN 、PC 和AC ．【借题发挥】等积变形的题目中，常将多边形面积转化为三角形面积，再运用等底同高来进行等积代换，因此，在转化时只要抓住题设中的等分点，就可以将多边形面积进行等积变换了．【同类拓展】 5．如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A 处有一口井，张大爷欲想从A 处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由．考点6 格点多边形的面积例6 如图，五边形ABCDE 的面积为多少？我们把方格纸上两组互相平行且垂直的直线的交点叫格点．顶点在格点上的多边形叫格点多边形．可以通过图形的分割，转化为规则图形，再求面积．【规范解答】如图，标上字母F 、G 、H 、I 、J 点，使得△ABF ， △BCG ，△CDH ，△DEI ，△EAJ 为直角三角形，【借题发挥】格点多边形面积有如下计算规律：格点多边形的面积等于其所包含有格点个数，加上由其边界上的格点的个数之半，再减去1．此规律对凹多边形也适用．即：若格点多边形的面积为S ，格点多边形内部有且只有n 个格点，它各边上格点的个数和为x ．则S ＝12x ＋n －1．【同类拓展】 6．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形格中，阴影部分面积与正方形ABCD 面积的比是 ( ) A ． 3：4 B ．5：8 C ．9：16 D ．1：2 参考答案1．A 2．A 3．S 3＝S 2＋S 7＋S 8． 4．D 5．S △ABF ＝S 四边形AFCD ． 6．B2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝32或t＝72，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．点P（﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.4．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧，交边AD于点F；②再分别以B，F为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD内部的点G处；③连接AG并延长交BC于点E，连接BF，若3BF=， 2.5AB=，则AE的长为( )A.2B.4C.8D.55．如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是边，的中点，则的最小值是( )A. B.1 C. D.26．方程组的解是( )A.B. C. D.7．多项式4x-x 3分解因式的结果是( ) A ．()2x 4x-B ．()()x 2x 2x -+C ．()()x x 2x 2-+D ．2x(2x)-8．一几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A ．四棱锥B ．圆锥C ．三棱柱D ．四棱柱9．如图，水平的讲台上放置的圆柱笔筒和长方体形粉笔盒，它的俯视图是（）A．B． C．D．10．从甲，乙，丙三人中任选一名代表，甲被选中的可能性是A.12B.1C.23D.1311．分解因式3a2b﹣6ab+3b的结果是（）A．3b（a2﹣2a）B．b（3a2﹣6a+1）C．3（a2b﹣2ab）D．3b（a﹣1）212．在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．在实数范围中，也有a＝bq+r(a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b)，若被除数是，除数是2，则q与r的和( )A．﹣4 B．﹣6 C．-4 D．-2二、填空题13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为_____．14．计算：（﹣12）2=_____．15．如图，扇形纸扇完全打开后，∠BAC=120°，AB=AC=30厘米，则BC的长为_____厘米．（结果保留π）16．若关于x 的一元二次方程2230x x m -+-=有两个相等的实数根，则m 的值是______________.17．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．18．计算：（a+b ）（2a ﹣2b ）＝_____．三、解答题19．已知：△ABC 的两边AB 、BC 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+2）x+k 2+2k ＝0的两个实数根，第三边长为10．问当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？20．如图，已知⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆,点D 在圆上，过A 作AE ∥BC 交CD 延长线于E.（1）求证：EA 是⊙O 的切线；（2）若BD 经过圆心O ，其它条件不变，则△ADE 与圆重合部分的面积为_____.(在备用图中画图后，用阴影标出所求面积)21．小张在网上销售一种成本为20元/件的T 恤衫，销售过程中的其他各种费用(不再含T 恤衫成本)总计40(百元)，若销售价格为x(元/件)，销售量为y(百件)，当30≤x≤50时，y 与x 之间满足一次函数关系，且当x ＝30时，y ＝5，有关销售量y(百件)与销售价格x(元/件)的相关信息如下：(1)请在表格中直接写出当30≤x≤50时，y与x的函数关系式；(2)求销售这种T恤衫的纯利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数关系式；(3)销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，点O在AB上，以点O为圆心，OB 为半径的圆经过点D，交BC于点E（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB＝2，CD留π）．23．为考察甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别抽取了6株苗，测得它们的高度（单位：cm）如下：甲：98，102，100，100，101，99；乙：100，103，101，97，100，99．（1）你认为哪种农作物长得高一些？说明理由；（2）你认为哪种农作物长得更整齐一些？说明理由．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过C作CF∥AB交DE延长线于点F，连接AF、DC．求证：（1）DE＝FE；（2）四边形ADCF是菱形．25．已知，抛物线C1:y=- 12x2+mx+m+12（1）①当m=1时，抛物线与x轴的交点坐标为_______;②当m=2时，抛物线与x轴的交点坐标为________;（2）①无论m取何值，抛物线经过定点P________;②随着m的取值的变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，记为函数C2，则函数C2的关系式为：________ ；（3）如图，若抛物线C1与x轴仅有一个公共点时，①直接写出此时抛物线C1的函数关系式；②请在图中画出顶点M满足的函数C2的大致图象，在x轴上任取一点C，过点C作平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，求点C的坐标；（4）二次函数的图象C2与y轴交于点N，连接PN，若二次函数的图象C1与线段PN有两个交点，直接写出m的取值范围．【参考答案】***一、选择题二、填空题14．415．20π16．417．4218．2a 2﹣2b 2三、解答题19．k ＝8或10【解析】【分析】因为方程有两个实根，所以△＞0，从而用k 的式子表示方程的解，根据△ABC 是等腰三角形，分AB ＝AC ，BC ＝AC ，两种情况讨论，得出k 的值．【详解】∵△＝[﹣(2k+2)]2﹣4(k 2+2k)＝4k 2+8k+4﹣4k 2﹣8k=4>0，∴x ＝()222k --+⎡⎤⎣⎦，∴x 1＝k+2，x 2＝k ，设AB ＝k+2，BC ＝k ，显然AB≠BC，而△ABC 的第三边长AC 为10，(1)若AB ＝AC ，则k+2＝10，得k ＝8，即k ＝8时，△ABC 为等腰三角形；(2)若BC ＝AC ，则k ＝10，即k ＝10时．△ABC 为等腰三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，公式法，解本题要充分利用条件，选择适当的方法求解k 的值，从而证得△ABC 为等腰三角形．20．（1）见解析；（2）23π．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠O AE=90°，可得：AE 是⊙O 的切线；（2）如备用图，根据等边三角形的性质得到BD ⊥AC ，∠ABD=∠CBD=30°，∠BAD=∠BCD=90°，根据平行线的性质得到∠AED=∠BCD=90°，解直角三角形得到AD=2，连接OA ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．(1)证明：如图1，连接OA，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）如备用图，∵△ABC是等边三角形，BD经过圆心O，∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=30°，∠BAD=∠BCD=90°，∵EA是⊙O的切线，∴∠EAD=30°，∵AE∥BC，∴∠AED=∠BCD=90°，∵∴AD=2，∵OA=OB ，∴∠OAB=OBA=30°，∴∠AOD=60°，∴△ADE 与圆重合部分的面积=S 扇形AOD -S △AOD=260212236023ππ⋅⨯-⨯=故答案为：23π【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定和性质，扇形的面积计算，正确的作出图形是解题的关键．21．(1)y ＝﹣110x+8；(2)见解析；(3)销售价格定为60元/件时，获得的利润最大，最大利润是60百元．【解析】【分析】（1）把x ＝50代入y ＝150x得y ＝3，设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx+b ，把x ＝30，y ＝5；x ＝50，y ＝3，代入解方程组即可得到结论；（2）根据x 的范围分类讨论，由“总利润＝单件利润×销售量”可得函数解析式；（3）结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．【详解】(1)把x ＝50代入y ＝150x得y ＝3，设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx+b ，∵当x ＝30时，y ＝5，当x ＝50时，y ＝3，∴530350k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：1k 10b 8⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣1x+8；故答案为：y ＝﹣110x+8； (2)当30≤x≤60时，w ＝(x ﹣20)(﹣0.1x+8)﹣40＝﹣0.1x 2+10x ﹣200；当60＜x≤80时，w ＝(x ﹣20)• 150x ﹣40＝﹣3000x+110； (3)当30≤x≤60时，w ＝﹣0.1x 2+10x ﹣200＝﹣0.1(x ﹣50)2+50，∴当x ＝50时，w 取得最大值50(百元)；当60＜x≤80时，w ＝﹣3000x +110， ∵﹣3000＜0，∴w 随x 的增大而增大，当x ＝60时，w 最大＝60(百元)，答：销售价格定为60元/件时，获得的利润最大，最大利润是60百元．【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．22．（1）见解析；（2）23π-【解析】【分析】（1）欲证明AC 是⊙O 的切线，只要证明OD ⊥AC 即可．（2）证明△OBE 是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵BD 为∠ABC 平分线，∴∠1＝∠2，∵OB ＝OD ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵∠C ＝90°，∴∠ODA ＝90°，∴OD ⊥AC ，∴AC 是⊙O 的切线．（2）过O 作OG ⊥BC ，连接OE ，则四边形ODCG 为矩形，∴GC ＝OD ＝OB ＝2，OG ＝CD ，在Rt △OBG 中，利用勾股定理得：BG ＝1，∴BE ＝2，则△OBE 是等边三角形，∴阴影部分面积为260?2360π⨯﹣12＝23π- 【点睛】本题考查切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，思想的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．甲组数据的平均数为100cm ；乙组数据的平均数为100cm ；（2）甲种农作物长得比较整齐．【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式分别把这6株农作物的高度加起来，再除以6即可；（2）先算出甲与乙的方差，再进行比较，方差越小的，农作物长势越整齐，即可得出答案．【详解】（1）甲组数据的平均数＝16×（98+102+100+100+101+99）＝100（cm ）；乙组数据的平均数＝16×（100+103+101+97+100+99）＝100（cm ）；（2）s 2甲＝16×[（98﹣100）2+（102﹣100）2+…+（99﹣100）2]＝53； s 2乙＝16×[（100﹣100）2+（103﹣100）2+…+（100﹣99）2]＝103． s 2甲＜s 2乙．所以甲种农作物长得比较整齐．【点睛】本题考查了平均数与方差，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差大，波动性越大，反之也成立．24．（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）由“AAS ”可证AED CEF ∆≅∆，可得DE EF ＝；（2）由直角三角形的性质可得CD AD ＝，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形ADCF 是平行四边形，即可证四边形ADCF 是菱形．【详解】（1）证明：∵CF AB ∥ ，∴DAC ACF ∠∠＝，又∵AE EC AED CEF ∠∠＝，＝，∴AED CEF AAS ≌（）， ∴DE EF ＝．（2）∵90ACB ∠︒＝，D 是AB 的中点，∴CD AD ＝∵DE EF AE EC ＝，＝∴四边形ADCF 是平行边形又∵AD CD ＝∴四边形ADCF 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．25．（1）（﹣1，0）（3，0）；（﹣1，0）（5，0）；（2）（-1，0）； y=12 (x+1)；（3）点C 的坐标为（1，0）或（-3，0）；（4）-12＜m≤0 【解析】【分析】（1）①把m=1,y=0分别代入抛物线C1，得到一个一元二次方程，解方程即可求出交点横坐标。

专题23 反比例函数图象和性质(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法

专题23 反比例函数图象和性质一、单选题1．如图，等腰ABC 中，AC BC =，双曲线(0)k y k x=≠经过ABC 的三个顶点，AC 边交x 轴于点D ，原点O 在BC 上，若2OC CD =且OCD 面积为2，则k 的值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】A【分析】如图（见解析），先根据反比例函数的性质可得110,,22AOE COF k OC AC S S k >===，从而可得12,32CDF S k AD CD =-=，再根据相似三角形的判定与性质可得24CAO COD S AC SOC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而可得16,62AOD ADE S S k ==+，然后又根据相似三角形的判定与性质可得29ADECDF S AD S CD ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由此可得一个关于k 的方程，解方程即可得．【详解】如图，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，连接OA ，由反比例函数的性质可知，1110,,222AOE COF k OC OB BC AC S S k >=====，122CDF COF COD S S S k ∴=-=-， 2OC CD =，4,3AC CD AD AC CD CD ∴==-=，在COD △和CAO △中，2OC AC CD OC OCD ACO⎧==⎪⎨⎪∠=∠⎩，COD CAO ∴~，24CAO COD S AC S OC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，解得4428CAO COD S S ==⨯=，6AOD CAO CODS S S ∴=-=， 162ADE AOD AOE S S S k ∴=+=+，又AE x ⊥轴，CF x ⊥轴， //AE CF ∴，ADE CDF ∴~，2239ADE CDF S AD CD S CD CD ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1629122k k +=-，解得6k =，经检验，6k =是所列分式方程的解，则k 的值为6，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数的性质和相似三角形的判定是解题关键．2．如图，点A 是函数()90y x x=>图象上一点，连结OA 交函数()40y x x =>的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO AC =，则ABC ∆的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B【分析】分别过A 、B 两点作x 轴的垂线段AE 、BD ，则AOE ∆面积19 4.52=⨯=，BOD ∆面积1422=⨯=，由AO AC =，得到AOC ∆面积2AOE =⨯∆面积9=．易知OBD OAE ∆∆∽，根据面积比等于相似比的平方，可得出13AB OA =，所以ABC ∆面积13AOC =⨯∆面积1933=⨯=．【详解】解：分别过A 、B 两点作x 轴的垂线段AE 、BD ，则AOE ∆面积19 4.52=⨯=，BOD ∆面积1422=⨯=． AO AC =，AOC ∴∆面积2AOE =⨯∆面积9=．//BD AE ，OBD OAE ∴∆∆∽． ∴2()OBD OAE S OB S OA ∆∆=，即22()4.5OB OA=， ∴23OB OA =，即13AB OA =， ABC ∆∴面积13AOC =⨯∆面积1933=⨯=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义、相似三角形的判定和性质，解决此类问题要熟知反比例函数图象上的某点到x 轴垂线段与此点与原点连线组成的三角形面积为1||2k ． 3．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k y k x=>在第一象限经过ABO ∆的顶点A ，且点B 在x 轴上，过点B 作x 轴的垂线交反比例函数图像于点C ，连结OC 交AB 于点D，已知OC =32AO AD OB DB ==，则k 的值为（）A ．6B ．8C ．D ．【答案】C【分析】过A 向OB 作垂线，垂足为F ，交OC 于E ，根据AF∥BC ，得出32AE AD BC BD ==，设t AF BC=，则AF=tBC ，得t 3=t 2EF AF AE BC AE BC BC BC --==－，又1t OF BC OB AF ==，可推导出31t =2t －，求出t 的值，得出AF=2BC ，OB=2OF 进一步导出OA=3OF ，在Rt∥AOF 中，AF=,=2OF AF OF BC OB OF••==，在Rt∥OBC 中，222OB BC OC +=即可求出OF 的长，求出k 的值．【详解】解：如图，过A 作AF 垂直OB 于F 点，交OC 于E 点，∥AF∥BC ，∥∥AED∥∥BCD ， ∥32AE AD BC BD ==， ∥EF AF AE BC BC -=，设t AF BC=，则AF=tBC ，∥t 3=t 2EF AF AE BC AE BC BC BC --==－又OF×AF=OB×BC ， ∥1tOF BC OB AF ==，又EF∥BC ，∥∥OEF∥∥OCB ∥OF EF OB BC=， ∥31t =2t －，解得t=2，∥AF=2BC ，OB=2OF又∥32OA OB =， ∥322OA OF =， ∥OA=3OF ，在Rt∥AOF 中，勾股定理可得AF=，∥=2OF AF OF BC OB OF••==，在Rt∥OBC 中，222OB BC OC +=，∥())(2222OF +=，解得（舍去）∥AF==4，∥k=OF×AF=，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形结合的综合性题目，主要涉及到反比例函数的图像与性质，相似三角形的性质，线段之间比例关系的转化，解题关键在于做出辅助线，设出线段比例关系，通过不断转化得出线段等量关系，最后求出k 值．4．如图，菱形ABCD 的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC 、BD 交于原点O ，DF AB ⊥交AC 于点G ，反比例函数0)y x =>经过线段DC 的中点E ，若4BD =，则AG 的长为（）A 2B 1C ．1D 【答案】D【分析】过E 作y 轴和x 的垂线EM ，EN ，垂足分别为,M N ，证明四边形MENO 是矩形，设E （b ，a ），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab=EM EN =进而可计算出CO 长，根据三角函数可得∥DCO=30°，再根据菱形的性质可得∥DAB=∥DCB=2∥DCO=60°，∥1=30°，AO=CO=∥3=30°，然后利用直角三角形的性质计算出DG 长，进而可得AG 长．【详解】解：过E 作y 轴和x 的垂线EM ，EN ，垂足分别为,M N ，设E （b ，a ），∥反比例函数y =（x ＞0）经过点E ，∥ab=EM EN =∥四边形ABCD 是菱形，4,BD =∥BD∥AC ，DO=12BD=2， ∥EN∥x ，EM∥y ，∥四边形MENO 是矩形，∥ME∥x ，EN∥y ，∥E 为CD 的中点，11,,22EM CO EN DO ∴==∥DO•CO=∥CO=∥tan∥DCO=DO CO = ∥∥DCO=30°，∥四边形ABCD 是菱形，∥∥DAB=∥DCB=2∥DCO=60°，∥1=30°，AO=CO=∥DF∥AB ，∥∥2=30°，∥DG=AG ，设DG=r ，则AG=r ，GO=r ，∥AD=AB ，∥DAB=60°，∥ABD △是等边三角形，∥∥ADB=60°，∥∥3=30°，在Rt DOG 中，∥2,r r ∴=解得：r =∥3AG =故选：D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用，锐角三角函数的应用，等边三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，三角形中位线的性质，关键是掌握菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k ．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x 与反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图象交于点A ，将直线y ＝x 沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ．若OA ＝2BC ，则b 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】解析式联立，解方程求得A 的横坐标，根据定义求得C 的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得C 的坐标，代入y x b =+即可求得b 的值．【详解】解：直线y x =与反比例函数4(0)y x x =>的图象交于点A ，∴解4x x=求得2x =±， A ∴的横坐标为2，如图，过C 点、A 点作y 轴垂线，OA//BC ，∥CBG AOH ∠=∠，∥OHA BGC ~，2OA BC =， ∥2OA AH BC GC==， ∥22BC BC GC =，解得GC =1， C ∴的横坐标为1，把1x =代入4y x=得，4y =， (1,4)C ∴，将直线y x =沿y 轴向上平移b 个单位长度，得到直线y x b =+，∴把C 的坐标代入得41b =+，求得3b =，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及函数的交点、一次函数平移、待定系数法求函数解析式等知识，求得交点坐标是解题的关键．6．如图，平面直角坐标系中，已知(),)3,31(0,A B -，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AB '，点'B 恰好在反比例函数()0k y k x=≠的图像上，则k 等于（）A ．3B ．4C ．6-D ．8 【答案】C【分析】如图，过B '作B E x '⊥轴于,E 过A 作AC B E '⊥于C ，交y 轴于,D 证明,AB C BAD '≌得到,,B C AD AC BD '==结合已知条件得到B '的坐标，从而可得答案．【详解】解：如图，过B '作B E x '⊥轴于,E 过A 作AC B E '⊥于C ，交y 轴于,D90,ACB ADB '∴∠=∠=︒90,B AC AB C ''∴∠+∠=︒由旋转得：90,BAB '∠=︒ ,AB AB '=90,BAC B AC '∴∠+∠=︒,BAC AB C '∴∠=∠,AB C BAD '∴≌,,B C AD AC BD '∴==()()3,3,0,1,A B -4,3,BD AC B C AD '∴====1,6,CD OE B E B C CE ''∴===+=()1,6,B '∴-把()1,6B '-代入()0k y k x=≠得： 166,k =-⨯=-故选C ．【点睛】本题考查的旋转的旋转，三角形全等的判定与性质，求解反比例函数的解析式，图形与坐标，掌握以上知识是解题的关键．二、解答题7．如图，在平面直角坐标系中，直线y 1＝k 1x+b 与反比例函数y 2＝2k x的图象交于A 、B 两点，已知A （1，2），B （m ，1）．（1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）结合图象，当k 1x+b ＞2k x时，求自变量x 的取值范围；（3）若点P 是直线AB 上的一动点，将直线AB 向下平移n 个单位长度（0＜n ＜3），平移后直线与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，当∥PED 的面积为1时，求n 的值．【答案】（1）m ＝2；y 1＝-x+3；（2）1＜x ＜2和x ＜0；（3）n∥1或n∥2【分析】（1）根据反比例函数y 2＝2k x的图象过点A ，得k 2以及反比例函数的解析式；结合点B 在反比例函数上，可得m 的值及点B 坐标；结合直线y 1＝k 1x+b 图象过A 、B 两点，通过建立二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）根据题意分析，即可得到答案；（3）设点P （m ，3-m ），则平移后直线的表达式为：y ＝-x+3-n ，从而得到点D 、E 的坐标；再根据∥PED 的面积S ＝四边形PEOD 面积-S ∥ODE ＝S ∥OPD +S ∥OPE -S ∥OED ，通过求解方程即可得到答案．【详解】（1）反比例函数y 2＝2k x的图象过点A ，且A （1，2）则k 2＝1×2＝2 ∥反比例函数的表达式为：y 2＝2x； ∥点B 在反比例函数上∥m×1＝2解得：m ＝2，∥点B （2，1）；将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得：11221k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：113k b =-⎧⎨=⎩∥一次函数的表达式为：y 1＝-x+3；（2）从图象看，当k 1x+b ＞2k x时，即点A 和点B 之间，以及x ＜0 ∥A （1，2），点B （2，1）∥自变量x 的取值范围为：1＜x ＜2和x ＜0；（3）∥点P 是直线AB 上的一动点∥设点P （m ，3-m ），平移后直线的表达式为：y ＝-x+3-n ，当x ＝0，则y ＝3-n ，当y ＝0，则x ＝3-n ，∥点D 、E 的坐标分别为（3-n ，0）、（0，3-n ），即OD ＝OE ＝3-n ，连接OP ，如下图∥PED 的面积S＝四边形PEOD 面积-S ∥ODE＝S ∥OPD +S ∥OPE -S ∥OED ＝12×OE×y P +12×OD×x P -12×OD×OE ()()()()()11133333222n m n m n n =⨯-⨯-+⨯-⨯-⨯-⨯- ()()13332n m m n =⨯-⨯-+--⎡⎤⎣⎦ ()132n n =⨯-⨯ ＝1解得：n ＝1或n ＝2∥n ＝1或n ＝2均满足0＜n ＜3∥n ＝1或n ＝2．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程的性质，从而完成求解． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OAB 如图放置，点P 是AB 边上的一点，过点P 的反比例函数(0,0)k y k x x=>>与OA 边交于点E ，连接OP ．（1）如图1，若点A 的坐标为(3,4)，点B 的坐标为(5,0)，且OPB △的面积为5，求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）如图2，若60AOB ︒∠=，过P 作//PC OA ，与OB 交于点C ，若12PC OE =，并且OPC 的面积为OE 的长．（3）在（2）的条件下，过点P 作//PQ OB ，交OA 于点Q ，点M 是直线PQ 上的一个动点，若OEM △是以OE 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为______．【答案】（1）210y x =-+，8y x =；（2）4OE =；（3）(-或(5．【分析】（1）过点P 作PD∥OB 于点D ，根据点B 的坐标为（5，0），且OPB △的面积为5求出PD 的长，求出直线AB 的解析式，故可得出P 点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；（2）作EF∥OB 于F ，PD∥OB 于D ，则//EF PD ，先证明OEF CPD ∽，设OE=m ，根据相似三角形对应边成比例求得11,,22OF OE m EF ====1,,4CD m PD ==进而求得P 的坐标，求得OC 的长，然后根据OPC ，列出关于m 的方程，解方程求得即可．（3）先求得,E P 的坐标，再根据//,PQ OB 设(,M x 分两种情况讨论，当90MOE ∠=︒，90OEM ∠=︒，再利用勾股定理列方程，解方程可得答案．【详解】解：（1）如图1，过点P 作PD∥OB 于点D ，∥点B 的坐标为（5，0）， OPB △的面积为 5，∥152OB PD =， 552PD ∴=，解得：PD=2，设直线AB 的解析式为 y=ax+b （a≠0），∥A （3，4），B （5，0），∥ 3450a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：210a b =-⎧⎨=⎩， ∥直线AB 的解析式为210y x =-+，当y=2时，-2x+10=2，解得x=4，∥P （ 4，2），∥点P 的反比例函数k y x= （x ＞0）上， ∥2=4k ，解得：k=8， ∥反比例函数的解析式为：8y x =；（2）如图2，作EF∥OB 于F ，PD∥OB 于D ，则//EF PD ，∥//PC OA ， 12PC OE = ∥OEF CPD ∽， ∥2OF EF OE CD PD CP===，设OE=m ， ∥∥AOB=60°，∥11,,2222OF OE m EF m ====∥1,,4CD m PD ==∥12E m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，P ， ∥E 、P 都是反比例函数k y x=（k ＞0，x ＞0）上的点，∥设P 的横坐标为x ，则 132m m =， x m ∴=，∥OD=m ，∥1344OC OD CD m m m =-=-=，∥OPC ，∥13322OC PD =，即 13,2442m m ⨯⨯= 解得：m=4，（负根舍去）∥OE=4．（3）∥(2E ， (4,P //,PQ OB如图3，当∥EOM=90°时，设(,M x由222,OM OE ME +=(()22222222,x x ∴+++=-+412,x ∴-=3,x ∴=-(3,M ∴-如图4，当∥OEM=90°时，由222,OE EM OM += (()22222222,x x ∴++-+=+ 420,x ∴-=-5,x ∴=(5.M ∴∥M 的坐标为(-或(5．故答案为：(-或(5．【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象交于第一象限C （1，4）、D （4，m ）两点，与坐标轴交于A 、B 两点，连接OC 、OD （O 是坐标原点）．（1）求∥DOC 的面积；（2）将直线AB 向下平移多少个单位长，直线与反比例函数图像只有1个交点？（3）双曲线上是否存在一点P ，使∥POC 与∥POD 的面积相等？若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）152COD S ∆=；（2）1或9；（3）存在，()2,2或()2,2-- 【分析】（1）把C （1，4）代入y=k x 求出k=4，把（4，m ）代入y=4x求出m 即可，将A 、C 两点坐标代入y ax b =+，获得直线解析式，然后利用COD AOB BOC AOD S S S S ∆∆∆∆=--，代入即可求解；（2）设平移后的解析式为5y x m =-+-，而当直线与反比例函数只有一个交点时，两者相切，联立平移后的直线和反比例函数解析式，形成的新的方程的判别式为0，代入数值即可求解；（3）双曲线上存在点P ，使得S ∥POC =S ∥POD ，这个点就是∥COD 的平分线与双曲线的y=4x交点，易证∥POC∥∥POD ，则S ∥POC =S ∥POD ．【详解】（1）把C （1，4）代入y=k x，得k=4，把（4，m ）代入y= k x，得m=1； ∥反比例函数的解析式为y= 4x，m=1；把C （1，4），D （4，1）代入y=ax+b 得出414k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∥一次函数的解析式为5y x =-+当x=0时，y=5；当y=0时，x=5，即A 点坐标为（5，0），B 点坐标为（0，5） ∥111155551512222COD AOB BOC AOD S S S S ∆∆∆∆=--=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ∥152COD S ∆=；（2）设平移后的解析式为5y x m =-+-∥直线与反比例函数图像只有1个交点∥平移后的直线和反比例函数相切，即联立形成的方程判别式为0∥联立平移后的直线和反比例函数解析式，得54y x m y x =-+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∥整理得：()2540x m x --+= ∥()254140m ⎡⎤∆=---⨯⨯=⎣⎦，整理得21090m m -+= 解得1m =或9∥直线AB 向下平移1或9个单位，直线与反比例函数图像只有1个交点（3）双曲线上存在点P （2，2），使得S ∥POC =S ∥POD ，理由如下：∥C 点坐标为：（1，4），D 点坐标为：（4，1），，∥当点P 在∥COD 的平分线上时，∥COP=∥POD ，又OP=OP ，∥∥POC∥∥POD ，∥S ∥POC =S ∥POD ．∥C 点坐标为：（1，4），D 点坐标为：（4，1），可得∥COB=∥DOA ，又∥这个点是∥COD 的平分线与双曲线的y=4x交点， ∥∥BOP=∥POA ，∥P 点横纵坐标坐标相等，即xy=4，x 2=4，∥x=±2，∥x ＞0，∥x=2，y=2，故P 点坐标为（2，2），使得∥POC 和∥POD 的面积相等．利用点CD 关于直线y=x 对称，得到另一点坐标为()2,2--综上所述，P 点坐标为()2,2或()2,2--．【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质，掌握一次函数、反比例函数与一元二次方程的关系．10．如图，一次函数y ＝x +1的图象与反比例函数的图象交于点A （1，n ）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点P（m，0）在x轴上一点，点M是反比例函数图象上任意一点，过点M作MN∥y轴，求出∥MNP 的面积；（3）在（2）的条件下，当点P从左往右运动时，判断∥MNP的面积如何变化？并说明理由．【答案】（1）y＝2x；（2）1；（3）∥MNP的面积是不变的常数1，理由见解析．【分析】（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），进而求解；（2）MN∥y轴，故MN∥x轴，则∥MNP的面积S＝S∥OMN＝12k＝1；（3）由（2）知∥MNP的面积为1，为常数，即可求解．【详解】解：（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），设反比例函数的表达式为：y＝kx，将点A的坐标代入上式得：2＝1k，解得：k＝2，故反比例函数表达式为：y＝2x；（2）∥MN∥y轴，故MN∥x轴，则∥MNP的面积S＝S∥OMN＝12k＝1；（3）由（2）知∥MNP的面积为1，为常数，故∥MNP的面积是不变的常数1．【点睛】此题主要考查一次函数、反比例函数和几何综合，熟练掌握函数图象和性质是解题关键．11．当k 值相同时，我们把正比例函数1yx k 与反比例函数k y x=叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以12y x =与2y x =为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整；（1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A ，B ，则点A 的坐标为(-2，-1)，点B 的坐标为_______．（2）点P 是函数2y x =在第一象限内的图象上一个动点（点P 不与点B 重合)，设点P 的坐标为2,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0t >且2t ≠． ∥结论1：作直线PA PB ，分别与x 轴交于点C D ，，则在点P 运动的过程中，总有PC PD =．证明：设直线PA 的解析式为y ax b =+，将点A 和点P 的坐标代入，得12_________a b -=-+⎧⎨⎩，解得12a t t b t ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 则直线PA 的解析式为12t y x tt-=+，令0y =，可得2x t =-，则点的坐标为()2,0t -，同理可求，直线PB 的解析式为12t y x t t +=-+，点D 的坐标为_________．请你继续完成证明PC PD =的后续过程：∥结论2：设ABP ∆的面积为S ，则S 是t 的函数．请你直接写出S 与t 的函数表达式．【答案】（1）()2,1B ；（2）∥2at b t +=，()2,0t +；证明见解析；∥()()40242t t t S t t t⎧-<<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．【分析】（1）联立直线12y x =与反比例函数2y x =，然后求解即可；（2）∥设直线PA 的解析式为y ax b =+，将点A 和点P 的坐标代入，然后可得直线PA 的解析式，进而可得点C 坐标，同理可得点D 坐标，如图，过点P 作 PM x ⊥轴于点M ，则点M 的坐标为t ，则有CM DM =，进而可进行求解；∥根据题意可分两种情况进行分类求解，即当02t <<时和当2t >时，则ABP ∆的面积为S 与t 的函数关系式可求解．【详解】解：（1）∥∥与2y x =∥，联立∥∥解得，2211x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（是A 的纵横坐标）， ()2,1B ∴故答案为：()2,1；()2∥设直线PA 的解析式为y ax b =+，将点A 和点P 的坐标代入，得122a bat b t-=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得12a t t b t ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则直线PA 的解析式为12t y x t t-=+，令0y =， 2x t ∴=-，则点C 的坐标为()2,0t -，同理．直线PB 的解析式为12t y x t t+=-+；令0y =， 120t x t t+∴=-+， 2x t ∴=+，∴点D 的坐标为()2,0t +，如图，过点P 作 PM x ⊥轴于点M ，则点M 的坐标为t ，(22)CM t t ∴=--=；()22DM t t =+-=，CM DM ∴=，M ∴为CD 的中点，PM ∴垂直平分CD ，PC PD ∴=，故答案为()2,2,0at b t t=++；∥当02t <<时，()()()12114222121222PCD AOC BOD S S S S t t t t t t t ∆∆∆=+-=+-+⨯+-⨯-+⨯=-，当2t >时，4BOD AOC POC S S S S t t∆∆∆=+-=-．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键． 12．已知：如图所示，一次函数y=﹣2x 的图象与反比例函数y=m x的图象分别交于点A 和点B ，过点B 作BC∥y 轴于点C ，点E 是x 轴的正半轴上的一点，且S ∥BCE =2，∥AEB=90°．（1）求m 的值及点E 的坐标；（2）连接AC ，求∥ACE 的面积．【答案】（1）4m =-，点E ，0）；（2）．【分析】（1）由题意得：BCE BCO 122S S m ===，求出4m =-，再证明∥NBE=∥AEM ，则tan∥NBE=tan∥AEM ，列出比例式，即可求解；（2）由题意得：∥ACE 的面积=ACO S +AOE S +OEC S ，求解即可．【详解】（1）∥BC//x 轴，故∥BCE 和∥BCO 高相等，故二者底均为BC ，则BCE BCO 122S S m ===，解得4m =-（正值已舍去），故反比例函数表达式为4y x =-，联立一次函数和反比例函数表达式，24y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x =故点A 、B 的坐标分别为(，、，-)，设点E （s ，0）（s ＞0），分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，∥∥AEB=90°，∥∥BEN+∥AEM=90°，∥∥BEN+∥NBE=90°，∥∥NBE=∥AEM ，∥tan∥NBE=tan∥AEM ，∥NE AM BN EM ==解得s =（负值已舍去），故点E ，0）；（2）由题意得：∥ACE 的面积=ACO S +AOE S +OEC S=12+12+12【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，三角形面积公式，锐角三角函数等知识，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．13．如图，一次函数y =2x -1与反比例函数k y x=在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，且AB =3BC ．（1）求点A 的坐标及反比例函数的解析式．（2）现以点A 为中心，把线段AC 逆时针旋转90°得到AC′．请直接写出C′的坐标，并判断C′是否在已知的双曲线上．【答案】（1）(2,3)A ，6y x=；（2）(6,1)C '，C '在已知的双曲线上，证明见详解．【分析】（1）通过证得BOC BDA ∆∆∽，求得3AD =，即可得到A 的纵坐标，代入21y x =-求得横坐标，即可通过待定系数法求得反比例函数的解析式；（2）根据AAS 证明ACF ∆≅∥AC D '，即可得出2AE AF ==，314EC FC '==+=，从而求得C '的坐标为(6,1)，根据61k ⨯=即可判定C '在双曲线上．【详解】解：（1）由一次函数21y x =-可知(0,1)C -，1OC ∴=，作AD x ⊥轴于D ，//∴AD OC ，BOC BDA ∴∆∆∽， ∴3AD AB OC BC==， 3AD ∴=，D ∴点的纵坐标为3，代入21y x =-得，321x =-，解得2x =，(2,3)A ∴，反比例函数k y x=经过点A 、 236k ∴=⨯=，∴反比例函数的解析式为6y x=；（2）作AF y ⊥轴于F ，C E AD '⊥于E ，90CAC ∠'=︒，90DAF∠=︒，CAF EAC ∴∠=∠' 在ACF ∆和∥AC E '中90CAF C AE AFC AEC AC AC ∠=∠'⎧⎪∠=∠'=︒⎨⎪='⎩ACF ∴∆≅∥()AC E AAS '，2AE AF ∴==，314EC FC '==+=，(6,1)C ∴'，61k ⨯=，C ∴'在已知的双曲线上．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，通过三角形相似和三角形全等求得点的坐标是解题的关键． 14．如图，反比例函数y= k x（x >0）过点A （4，3），直线AC 与x 轴交于点C （6，0），过点C 作x 轴的垂线BC 交反比例函数图象于点B ．（1）求k 的值与B 点的坐标；（2）在平面内有点D ，使得以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出符合条件的所有D 点的坐标．【答案】（1）()12,6,2k B =；（2）（4，1）或（4，5）或（8，﹣1）【分析】（1）将A 的坐标代入即可求出k 的值，点B 的横坐标为6，代入求出点B 的坐标，（2）根据不同情况，分别求出相应的点D 的坐标．【详解】解：（1）把点A （4，3）代入y= k x（x ＞0），得 k=xy=3×4=12，故该反比例函数解析式为：y= 12x． ∥点C （6，0），BC∥x 轴，∥把x=6代入反比例函数y= 12x，得y=122=6．则B （6，2）．综上所述，k 的值是12，B 点的坐标是（6，2）（2）A （4，3），B （6，2）、C （6，0），BC=2，∥过A 作BC 的平行线，在这条平行线上截取AD 1=BC ，AD 2=BC ，此时D 1（4，1），D 2（4，5），∥过点C 作AB 的平行线与过B 作AC 的平行线相交于D 3，过点A 作AM∥BC ，垂足为M ，过D 3作D 3N∥BC ，垂足为N ，∥ABCD 3是平行四边形，∥AC=BD 3，∥ACM=∥DBN ，∥∥ACM∥∥D 3BN （AAS ）∥D 3N=AM=6-4=2，CM=BN=3，∥D 3的横坐标为6+2=8，CN=3-2=1∥D 3（8，-1）∥符合条件的所有D 点的坐标为（4，1），（4，5），（8，-1）．【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和判定，分类讨论各种不同的情况下的结果是解决问题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB ，AC 相交于点D ，3OA =，2OC =，且//BE AC ，//AE OB ．（1）求证：四边形AEBD 是菱形；（2）求经过点E 的双曲线对应的函数解析式；（3）设经过点E 的双曲线与直线BE 的另一交点为F ，过点F 作x 轴的平行线，交经过点B 的双曲线于点G ，交y 轴于点H ，求OFG ∆的面积．【答案】（1）见解析；（2）92yx ；（3）34 【分析】（1）先证明四边形AEBD 是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB ，即可证出四边形AEBD 是菱形；（2）连接DE ，交AB 于M ，由菱形的性质得出AB 与DE 互相垂直平分，求出EM 、AM ，得出点E 的坐标；设经过点E 的反比例函数解析式为：k y x=，把点E 坐标代入求出k 的值即可；（3）设经过点B 的反比例函数解析式为1k y x =，结合点B 坐标求出表达式，利用OFG OGH OFH S S S ∆∆∆=-求出结果.【详解】解：（1）证明：//BE AC ，//AE OB ，∴四边形AEBD 是平行四边形，四边形OABC 是矩形，12DA AC ∴=，12DB OB =，AC OB =， DA DB ∴=，∴平行四边形AEBD 是菱形；（2）解：如图1，连接DE ，交AB 于点M ，四边形AEBD 是菱形，AB ∴与DE 互相垂直且平分,3OA =，2OC =，1322EM DM OA ∴===，112AM AB ==, ∴点E 的坐标为9,12⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设经过点E 的反比例函数解析式为k y x=，把点9,12E ⎛⎫⎪⎝⎭代得92=k ， ∴双曲线的函数解析式为92y x；（3）解：如图2，设经过点B 的反比例函数解析式为1k y x=，把点()3,2B 代入得16k =， ∴经过点B 的反比例函数解析式为6y x=，直线//FG x 轴，1116322OGH S k ∆∴==⨯=，1199||2224OFH S k ∆==⨯=， 93344OFG OGH OFH S S S ∆∆∆∴=-=-=．【点睛】本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E 的坐标才能得出结果．16．如图，直线y ＝﹣34x +6与反比例函数y ＝k x （x ＞0）分别交于点D 、A （AB ＜AC ），经探索研究发现：结论AB ＝CD 始终成立．另一直线y ＝mx （m ＞0）交线段BC 于点E ，交反比例函数y ＝k x （x ＞0））图象于点F ．（1）当BC ＝5时：∥求反比例函数的解析式．∥若BE ＝3CE ，求点F 的坐标．（2）当BE ：CD ＝1：2时，请直接写出k 与m 的数量关系．【答案】（1）∥y ＝9x ；∥F （10）；（2）k=396(41)(43)m m ++ 【分析】（1）∥先求出OA=6，OD=8，进而求出AD=10，再根据AB=CD ，求出AB=52，再判断出∥ABG∥ADO ，得出6AG ＝8BG ＝52，进而求出B （2，92），即可得出结论； ∥先求出AE=254，同∥的方法求出点E （5，94），进而得出直线OE 的解析式为y=209x ，即可得出结论；（2）先设出BE=a ，得出CD=2a=AB ，进而得出AE=3a ，同（1）∥的方法求出点E （125a ，6-95a ），代入直线解析式中得出a=1043m +，进而求出点C 的坐标，将点C 坐标代入反比例函数解析式中，即可让得出结论．【详解】解：（1）∥针对于直线y ＝﹣34x +6，令x ＝0，则y ＝6， ∥A （0，6），∥OA ＝6，令y ＝0，则0＝﹣34x +6， ∥x ＝8，∥D （8，0），∥OD＝8，∥AD＝10，∥BC＝5，∥AB+CD＝AD﹣BC＝5，∥AB＝CD，∥AB＝52，过点B作BG∥y轴于G，∥∥AGB＝90°＝∥AOD，∥∥BAG＝∥DAO，∥∥ABG∥ADO，∥AG BG AB OA OD AD==，∥52 6810 AG BG==，∥AG＝32，BG＝2，∥OG＝OA﹣AG＝92，∥B（2，92），∥点B在反比例函数y＝kx（x＞0））图象上，∥k＝2×92＝9，∥反比例函数的解析式为y＝9x；∥∥BC＝5，∥BE+CE＝5，∥BE＝3CE，∥BE＝154，∥AE＝AB+BE＝254，过点E作EH∥y轴于H，∥∥AHE＝90°＝∥AOD，∥∥HAE＝∥OAD，∥∥HAE∥∥OAD，∥AH EH AE OA OD AD==，∥254 6810 AH BG==，∥AH＝154，BG＝5，∥OH＝OA﹣AH＝94，∥E（5，94），∥直线OE的解析式为y＝920x，联立9920yxy x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，yy⎧=-⎪⎨=⎪⎩（舍）或yy⎧=⎪⎨=⎪⎩∥F（）；（2）∥BE：CD＝1：2，∥BE＝a，则CD＝2a，∥AB＝CD＝2a，∥AE＝AB+BE＝3a，过点E作EH∥y轴于H，同（1）的方法得，∥HAE∥∥OAD，∥AH EH AE OA OD AD==，∥3 6810 AH EH a==，∥AH＝95a，EH＝125a，∥OH＝OA﹣AH＝6﹣95 a，∥E（125a，6﹣95a），将点E坐标代入直线y＝mx（m＞0）中，解得125am＝6﹣95a，∥a＝1043 m+，将点E的坐标代入反比例函数y＝kx（x＞0）中，解得，k＝125a（6﹣95a）＝3625a（10﹣3a）＝3625×1043m+（10﹣1043m+）＝()()3964143mm++．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，直线和双曲线的交点坐标的求法，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形，求出点E的坐标是解本题的关键．17．在平面直角坐标系中，反比例函数kyx=和一次函数y=ax+b的图象经过点A(1，5)和点B(n，1)．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点M是线段AB下方反比例函数kyx=图象上的一动点，过点M作x轴的垂线，与一次函数y=ax+b的图象交于点P，连接OP、OM，求POM的面积的最大值．【答案】（1）5yx=，6y x=+-；（2）3【分析】（1）由已知的点A坐标求得反比例函数解析式5yx=，由解析式确定点B的坐标，再用待定系数法求直线AB 的解析式；（2）假设点M 横的坐标是m ，可以根据解析式分别写出M 、P 的纵坐标，从而表示出POM 的底，高即是m ，因此可以写出面积的表达式，再计算最值.【详解】解：（1）∥反比例函数k y x=的图象经过点A （1，5）和点B （n ，1）. ∥ 1×5＝n×1＝5∥ k ＝5，n ＝5 ∥反比例函数的表达式为5y x= ∥一次函数y ax b =+的图象经过点A （1，5）和点B （5，1）∥551a b a b +=⎧⎨+=⎩∥16a b =-⎧⎨=⎩ 一次函数的表达式为：6y x =+-（2）设点M （m ，5m），则点P （m ，-+6m ），∥PM ＝ -+6m ﹣5m∥(6)15--2POM Δ=S m m+m∥32215--2POM Δ=S m +m ∥231-（-）+22POM Δ=S m （ 15m <<） ∥1-02<，开口向下，S 有最大值 ∥当m ＝3时，POM ΔS 最大，最大值为2【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，要先确定需要的点；考查了面积的最大值与二次函数的结合，假设点的坐标是关键.18．如图，一次函数y =12x +b 与反比例函数y =k x的图象交于点A (4，a )、B (﹣8，﹣2)．(1)求k 、a 、b 的值；(2)求关于x 的不等式12x +b ＞k x的解集； (3)若点P 在y 轴上，点Q 在反比例函数y =k x的图象上，且A 、B 、P 、Q 恰好是一个平行四边形的四个顶点，试求点P 的坐标．【答案】(1)b=2，k=16，a=4；(2)﹣8＜x＜0或x＞4；(3)点P的坐标为(0，143)，(0，﹣143)或(0，6)【分析】(1)由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出k，b的值，由点A的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出a值；(2)观察两函数图象的上下位置关系，由此可得出不等式12x+b＞kx的解集；(3)设点P的坐标为(0，m)，点Q的坐标为(n，16n)，分AB为边及AB为对角线两种情况考虑：∥AB为边，利用平行四边形的性质(对角线互相平分)可得出关于m，n的方程组，解之即可得出点P的坐标；∥AB为对角线，利用平行四边形的性质(对角线互相平分)可得出关于m，n的方程组，解之即可得出点P的坐标．综上，此题得解．【详解】(1)∥一次函数y=12x+b的图象过点B(﹣8，﹣2)，∥﹣2=﹣4+b，∥b=2；∥反比例函数y=kx的图象过点B(﹣8，﹣2)，∥k=(﹣8)×(﹣2)=16；当x=4时，a=16x=4，∥点A的坐标为(4，4)；(2)观察函数图象，可知：当﹣8＜x＜0或x＞4时，一次函数y=12x+2的图象在反比例函数y=16x的图象上方，∥不等式12x+b＞kx的解集为﹣8＜x＜0或x＞4；(3)设点P的坐标为(0，m)，点Q的坐标为(n，16n)．分两种情况考虑：∥AB为边，如图2所示．当四边形AP1Q1B为平行四边形时，4081642nmn+=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：12143nm=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∥点P1的坐标为(0，143)；当四边形ABP 2Q 2为平行四边形时，4081642n m n +=-+⎧⎪⎨+=-+⎪⎩，解得：12143n m =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∥点P 2的坐标为(0，143-)； ∥AB 为对角线，如图3所示．∥四边形APBQ 为平行四边形， ∥4801642n m n -=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得：46n m =-⎧⎨=⎩， ∥点P 的坐标为(0，6)．综上所述：当A ，B ，P ，Q 恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点P 的坐标为(0，143)，(0，﹣143)或(0，6)．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出k ，a ，b 的值；(2)根据两函数图象上下位置关系，找出不等式的解集；(3)分AB 为边及AB 为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点P的坐标．19．综合与探究如图1，平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+4分别与x轴、y轴交于点A，B．双曲线y＝kx（x＞0）与直线l交于点E（n，6）．（1）求k的值；（2）在图1中以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在第一象限、顶点D在y轴负半轴上．线段CD交x 轴于点G．直接写出点A，D，G的坐标；（3）如图2，在（2）题的条件下，已知点P是双曲线y＝kx（x＞0）上的一个动点，过点P作x轴的平行线分别交线段AB，CD于点M，N．请从下列A，B两组题中任选一组题作答．我选择组题．A．∥当四边形AGNM的面积为5时，求点P的坐标；∥在∥的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与∥PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．B．∥当四边形AGNM成为菱形时，求点P的坐标；∥在∥的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与∥PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）k＝6；（2）A（﹣2，0），D（0，﹣1），G（12，0）；（3）A.∥ P（3，2）；∥Q（3，1）、Q（﹣。

高考化学试题分项版解析专题23物质结构与性质选修含解析

专题23 物质结构与性质（选修）1．【2018新课标1卷】Li是最轻的固体金属,采用Li作为负极材料的电池具有小而轻、能量密度大等优良性能,得到广泛应用。

回答下列问题：（1）下列Li原子电子排布图表示的状态中,能量最低和最高的分别为_____、_____（填标号）。

A． B．C． D．（2）Li+与H−具有相同的电子构型,r(Li+)小于r(H−),原因是______。

（3）LiAlH4是有机合成中常用的还原剂,LiAlH4中的阴离子空间构型是______、中心原子的杂化形式为______。

LiAlH4中,存在_____（填标号）。

A．离子键 B．σ键 C．π键 D．氢键（4）Li2O是离子晶体,其晶格能可通过图(a)的Born−Haber循环计算得到。

可知,Li原子的第一电离能为________kJ·mol−1,O=O键键能为______kJ·mol−1,Li2O晶格能为______kJ·mol−1。

（5）Li2O具有反萤石结构,晶胞如图(b)所示。

已知晶胞参数为0.4665 nm,阿伏加德罗常数的值为N A,则Li2O 的密度为______g·cm−3（列出计算式）。

【答案】 D C Li+核电荷数较大正四面体 sp3 AB 520 498 2908【解析】精准分析：（1）根据核外电子排布规律可知Li的基态核外电子排布式为1s22s1,则D中能量最低；选项C中有2个电子处于2p能级上,能量最高；（4）第一电离能是气态电中性基态原子失去一个电子转化为气态基态正离子所需要的最低能量,根据示意图可知Li 原子的第一电离能是1040 kJ/mol ÷2＝520 kJ/mol ；0.5mol 氧气转化为氧原子时吸热是249 kJ,所以O ＝O 键能是249 kJ/mol ×2＝498 kJ/mol ；晶格能是气态离子形成1摩尔离子晶体释放的能量,根据示意图可知Li 2O 的晶格能是2908 kJ/mol ；（5）根据晶胞结构可知锂全部在晶胞中,共计是8个,根据化学式可知氧原子个数是4个,则Li 2O 的密度是373A m 87416g /cm V (0.466510)ρ-⨯+⨯==⨯N 。

2023年新高考数学大一轮复习专题23 立体几何中的压轴小题(原卷版)

专题23 立体几何中的压轴小题【题型归纳目录】题型一：球与截面面积问题题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题题型四：立体几何中的交线问题题型五：空间线段以及线段之和最值问题题型六：空间角问题题型七：立体几何装液体问题【典例例题】题型一：球与截面面积问题例1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知球O 的体积为125π6，高为1的圆锥内接于球O ，经过圆锥顶点的平面α截球O 和圆锥所得的截面面积分别为12,S S ，若125π8S =，则2S =（）A．2 B C D ．例2．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122CC AB ==，E 为1CC 的中点，P 为棱1AA 上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，有如下四个命题： ①平面α⊥平面11A B E ；①平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形； ①当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为11π8； ①存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π3．则正确的命题个数为（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例3．（2022·四川资阳·高二期末（理））如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，2BD =，1DE =，点P 在线段EF 上．给出下列命题：①存在点P ，使得直线//DP 平面ACF ； ①存在点P ，使得直线DP ⊥平面ACF ；①直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是⎤⎥⎣⎦；①三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截得的截面面积是9π8．其中所有真命题的序号（） A ．①① B ．①①C ．①①①D ．①①①例4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，圆锥的轴截面PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，2PA =，C 为PA 中点．若底面O 所在平面上有一个动点M ，且始终保持0MA MP ⋅=，过点O 作PM 的垂线，垂足为H ．当点M 运动时，①点H 在空间形成的轨迹为圆 ①三棱锥O HBC -的体积最大值为112①AH HO +的最大值为2①BH 与平面PAB 上述结论中正确的序号为（）． A ．①① B ．①①C ．①①①D ．①①①例5．（2022·安徽省舒城中学一模（理））已知正三棱锥A BCD -的高为3，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为3π，E 为棱BD 上一点，且12BE =，过点E 作正三棱锥A BCD -的外接球的截面，则截面面积S 的最小值为（）A ．54π B ．34π C ．4π D ．4π例6．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =．过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（） A ．128π B ．132π C ．144π D ．156π例7．（2022·全国·高三专题练习）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，其底面ABCD 是平行四边形，外接球体积为36π，若1AC BD ⊥，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为（） A ．8π B ．24310π C ．8110π D ．6π例8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知正三棱锥A BCD -的外接球是球O ，正三棱锥底边3BC =，侧棱AB =点E 在线段BD 上，且BE DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（） A ．9,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3ππC ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦例9．（2022·浙江省江山中学模拟预测）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1AD 上的动点，给出以下四个命题：①异面直线1PC 与直线1B C 所成角的大小为定值； ①二面角1P BC D --的大小为定值；①若Q 是对角线1AC 上一点，则PQ QC +长度的最小值为43； ①若R 是线段BD 上一动点，则直线PR 与直线1A C 不可能平行．其中真命题有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个例10．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知正方体1111,ABCD A B C D O -为对角线1AC 上一点（不与点1,A C 重合），过点O 作垂直于直线1AC 的平面α，平面α与正方体表面相交形成的多边形记为M ，下列结论不正确的是（）A ．M 只可能为三角形或六边形B ．平面ABCD 与平面α的夹角为定值C ．当且仅当O 为对角线1AC 中点时，M 的周长最大D ．当且仅当O 为对角线1AC 中点时，M 的面积最大例11．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，M ，N 分别为11A D ，11B C 的中点，E ，F 分别为棱AB ，CD 上的动点，则三棱锥M NEF -的体积（）A ．存在最大值，最大值为83B ．存在最小值，最小值为23C ．为定值43D ．不确定，与E ，F 的位置有关例12．（2022·山西运城·模拟预测（文））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段1CD 上有两个动点E ，F ，且12EF =，点P ，Q 分别为111A B BB ，的中点，G 在侧面11CDD C 上运动，且满足1B G ∥平面1CD PQ ，以下命题错误的是（）A ．1AB EF ⊥B ．多面体1AEFB 的体积为定值C ．侧面11CDD C 上存在点G ，使得1B G CD ⊥ D ．直线1B G 与直线BC 所成的角可能为6π例13．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，给出下面几个命题：①四边形1BFD E 一定是平行四边形； ①四边形1BFD E 有可能是正方形； ①平面1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ；①设1D F 与DC 的延长线交于M ，1D E 与DA 的延长线交于N ，则M ､N ､B 三点共线； ①四棱锥11B BFD E -的体积为定值．以上命题中真命题的个数为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5例14．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1A C 上的动点，点,M N 分别为线段111,AC CC 的中点，则下列说法错误．．的是（）A ．11A P AB ⊥ B ．三棱锥1M B NP -的体积为定值C ．[]160,120APD ∠∈︒︒ D ．1AP D P +的最小值为23例15．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11A C 上的动点（点P 与1A ，1C 不重合），则下列说法不正确的是（）A ．BD CP ⊥B ．三棱锥C BPD -的体积为定值C ．过P ，C ，1D 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面1111D C B A 所成角的正弦值最大为13例16．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -内切球的表面积为π，P 是空间中任意一点： ①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥； ①若M 是棱11C D 中点，则直线AM 与1CC 是相交直线； ①若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC -体积为定值；①E 为AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 以上命题为真命题的个数为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5例17．（2022·江西南昌·三模（理））已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，BC =13AA =，P 为矩形1111D C B A 内一动点，设二面角P AD C --为α，直线PB 与平面ABCD 所成的角为β，若αβ=，则三棱锥11P A BC -体积的最小值是（） AB．1 CD．2例18．（2022·浙江·高三阶段练习）如图，在四棱锥Q EFGH -中，底面是边长为4QE QF QG QH ====，M 为QG 的中点．过EM 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为1V ，2V ，则12V V 的最小值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15例19．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））已知四面体ABCD,M N 分别为棱,AD BC 的中点，F 为棱AB 上异于,A B 的动点．有下列结论： ①线段MN 的长度为1；①点C 到面MFN的距离范围为⎛ ⎝⎭； ①FMN1；①MFN ∠的余弦值的取值范围为⎡⎢⎣⎭．其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例20．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，M ，N 分别为11A D ，11B C 的中点，E ，F 分别为棱AB ，CD 上的动点，则三棱锥M NEF -的体积（）A ．存在最大值，最大值为83B ．存在最小值，最小值为23C ．为定值43D ．不确定，与E ，F 的位置有关例21．（2022·全国·高三专题练习（理），该几何体的表面积最小值是1S ，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是2S ，则1S 和2S 的值分别是（）A ．3B ．4；12C ．4D ．3；12例22．（2022·全国·高三专题练习）已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1A Q 、BC 点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（）A B C D例23．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与1A C 、不重合），有以下四个结论：①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ①存在点M ，使得//DM 平面11B D C ；①若1A DM 的周长为L ，则L①若1A DM 的面积为S ，则S ∈⎝．则正确的结论为（） A ．①① B ．①①①C ．①①①D ．①①例24．（2022·河南·模拟预测（文））已知四面体ABCD ，M 、N 分别为棱AD 、BC 的中点，F 为棱AB 上异于A 、B 的动点．有下列结论： ①线段MN 的长度为1；①存在点F ，满足CD ⊥平面FMN ；①MFN ∠的余弦值的取值范围为⎡⎢⎣⎭； ①FMN1．其中所有正确结论的编号为（） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①例25．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的点，过1A 的平面α与直线PD 垂直，当P 在线段1BC 上运动时，平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积的最小值是（）A ．1B ．54C D例26．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））如图，正方形EFGH 的中心为正方形ABCD 的中心，AB =截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥P EFGH -（A ，B ，C ，D 四点重合于点P ），则此四棱锥的体积的最大值为（）A B C ．43D例27．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1ACD △内一点，若1PB D 1DD AP 体积的最大值为（）A BC D例28．（2022·四川省宜宾市第四中学校三模（理））函数()sin 2sin 2π0e 2x x f x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，设球O 的半径为()cos 4f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（）A ．球O 的表面积随x 增大而增大B ．球O 的体积随x 增大而减小C ．球O 的表面积最小值为24e π D ．球O 的体积最大值为343e π题型四：立体几何中的交线问题例29．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为4，E ，F 分别为BB '，C D ''的中点，点P 在平面ABB A ''中，=PF N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（）①点P 的轨迹长度为2π；①线段FP 的轨迹与平面A B CD ''的交线为圆弧；①NP ；①过A 、E 、F 作正方体的截面，则该截面的周长为103A ．4 B ．3C ．2D ．1例30．（2022·全国·高三专题练习）在正四棱锥P ABCD -中，已知2PA AB ==，O 为底面ABCD 的中心，以点O PCD 的交线长度为（）A B C D例31．（2022·全国·高三专题练习）已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为A．4π B ．C ．D ．12π例32．（2022·四川成都·模拟预测（理））如图，①ABC 为等腰直角三角形，斜边上的中线AD ＝3，E 为线段BD 中点，将①ABC 沿AD 折成大小为2π的二面角，连接BC ，形成四面体C －ABD ，若P 是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（）A ．点P 落在三棱锥E －ABC 内部的概率为12B ．若直线PE 与平面ABC 没有交点，则点P 的轨迹与平面ADCC ．若点P 在平面ACD 上，且满足P A ＝2PD ，则点P 的轨迹长度为23π D ．若点P 在平面ACD 上，且满足P A ＝2PD ，则线段PB 长度为定值例33．（2022·江苏徐州·高二期中）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点（不含端点），将ABE △沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点（不含端点），则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的是（）A ．B ､E ､C ､F 四点一定共面 B ．存在点F ，使得CF ∥平面BAEC ．侧面BEC 与侧面BAD 的交线与直线AD 相交 D ．三棱锥B ADC -的体积为定值例34．（2022·河南·模拟预测（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是2，E ，F 分别是棱11B C 和1CC 的中点，点P 在正方形11BCC B （包括边界）内，当//AP 平面1A EF 时，AP 长度的最大值为a ．以A 为球心，a 为半径的球面与底面1111D C B A 的交线长为（）A ．2πB ．πC D例35．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122CC AB ==，E 为1CC 的中点，P 为棱1AA 上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则（）A ．平面α⊥平面11AB EB ．平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C ．当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为11π8D ．存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π3例36．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段AB 是圆柱下底面的直径，点O 是下底面的圆心．线段EF 是圆柱的一条母线，且EO AB ⊥．已知平面α经过A ，B ，F 三点，将平面α截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”．记平面α与圆柱侧面的交线为曲线C ．则（）A ．曲线C 是椭圆的一部分B ．曲线C 是抛物线的一部分C ．二面角F AB E --的大小为4πD ．马蹄体的体积为V 满足134V π<<例37．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）如图，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1边长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（）A ．BPB ．PA PC + C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1A B PC - 的体积不变D ．以点B 1AB C例38．（2022·全国·高三专题练习）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边为1，侧棱长为a ，M 是1CC 的中点，则（） A ．任意0a >，1A M BD ⊥B ．存在0a >，直线11AC 与直线BM 相交C ．平面1A BM 与底面1111D C B AD ．当2a =时，三棱锥11B A BM -外接球表面积为3π题型五：空间线段以及线段之和最值问题例39．（2022·山东·高一阶段练习）已知三棱锥P ABC -三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且6PA PB PC ===，M ､N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最小值为（）A ．3B ．6C ．6-D ．例40．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥S ABC -外接球表面积为3π，SA <点M ，N 分别是线段AB ，AC 的中点，点P ，Q 分别是线段SN 和平面SCM 上的动点，则AP PQ +的最小值为（）A B C D例41．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则1A F EF +的最小值为（）A B ．6 C D ．7例42．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A B C ．1D ．3例43．（2022·湖北·高一阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中,[0,1]λμ∈，则下列选项正确的是（）A ．12μ=时，11A P ED ⊥ B ．14λ=时，1B P PD +C ．1λμ+=时，直线1A P 与面11BDE D ．1λμ+=时，正方体被平面1PAD 截的图形最大面积是例44．（2022·湖南岳阳·三模）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，各棱长均为2，π3ABC ∠=，则下列说法正确的是（）A ．三棱锥1A ABC -B ．异面直线1AB 与1BCC ．当点M 在棱1BB 上运动时，1MD MA +最小值为D ．N 是ABCD 所在平面上一动点，若N 到直线1AA 与BC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线例45．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1DP DD DA λμ=+，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则以下说法正确的是（）A ．当λμ=时，//BP 平面11CB D B ．当12μ=时，存在唯一点P 使得DP 与直线1CB 的夹角为3πC ．当1λμ+=时，CPD ．当1λμ+=时，CP 与平面11BCC B 所成的角不可能为3π例46．（2022·全国·模拟预测）如图，点M 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A ．存在无数个点M 满足1CM AD ⊥B ．当点M 在棱1DD 上运动时，1||MA MB +1C ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30 D ．满足1||2MD MD =的点M 的轨迹是一段圆弧例47．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，,,E F G 分别是侧棱111,,AA BB CC 上的点，且AE CG BF >>，设直线,CA CB 与平面EFG 所成的角分别为,αβ，平面EFG 与底面ABC 所成的锐二面角为θ，则（）A ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+≤+B ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+<+C ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+>+D ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+≥+例48．（2022·浙江·高三专题练习）在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（） A ．若12θθ=，则AC BC = B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅=C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=例49．（2022·全国·高三专题练习）在三棱台111BCD B C D -中，1CC ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，12BC CD CC ===，111B C =．若A 是BD 中点，点P 在侧面11BDD B 内，则直线1DC 与AP 夹角的正弦值的最小值是（）A ．16B C D例50．（2022·浙江台州·高三期末）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱BC 的中点，直线l 在平面1111D C B A 内．若二面角A l E --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（）A B ．1121C D ．35例51．（2021·全国·高二课时练习）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为3，E 为棱AB 上的靠近点B 的三等分点，点P 在侧面CC D D ''上运动，当平面B EP '与平面ABCD 和平面CC D D ''所成的角相等时，则D P '的最小值为（）A B C D例52．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知点P 是正方体ABCD A B C D ''''-上底面A B C D ''''上的一个动点，记面ADP 与面BCP 所成的锐二面角为α，面ABP 与面CDP 所成的锐二面角为β，若αβ>，则下列叙述正确的是（） A ．APC BPD ∠>∠B ．APC BPD ∠<∠C ．{}{}max ,max ,APD BPC APB CPD ∠∠>∠∠ D ．{}{}min ,min ,APD BPC APB CPD ∠∠>∠∠例53．（2022·全国·高三专题练习）如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+> D ．2αβθ+>例54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大题型七：立体几何装液体问题例55．（2022·全国·高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（）A B ．12C D ．2例56．（2022·全国·高一课时练习）一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点11,,,E F F E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（）A ．32B ．74C ．2D ．94例57．（2022·湖北宜昌·一模（文））已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱111ABC A B C -容器，如图1，ABC ∆为正三角形，2AB =，13AA =，里面装有体积为BC 旋转至图2．在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（）①液面刚好同时经过A ，1B ，1C 三点；①当平面ABC 1； ①当液面与水平桌面的距离为32时，AB 与液面所成角的正弦值为34．A ．0B ．1C ．2D ．3例58．（2022·全国·高一课时练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（）A ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,63⎛⎫ ⎪⎝⎭例59．（2022·全国·高一课时练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（） A ．202,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．417,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．172,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．420,33⎛⎫ ⎪⎝⎭例60．（2022·重庆·高二期末（文））已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为（） A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3例61．（2022·福建厦门·高一期末）如图（1）平行六面体容器1111ABCD A B C D -盛有高度为h 的水，12AB AD AA ===，1A AB ∠=160A AD BAD ∠=∠=︒．固定容器底而一边BC 于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过A ，1B ，1C ，D 四点，则h 的值为（）A B C D 例62．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题是（）A ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值B ．随着容器倾斜度的不同，11AC 始终与水面所在平面平行C ．没有水的部分有时呈棱柱形有时呈棱锥形D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值例63．（2022·山东·高三专题练习）一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形①直角三形①正方形①梯形，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个。

培优专题23反比例函数的比例系数K和面积的关系-解析版

y
k x
(k
0,
x
0)
的图象经过
OA
的中点
D
，与直角边
AB
交于点 C
，若点
A
的坐标为 4,3，则△AOC
的面
积为（）
A． 5
B． 3
5 C． 2
D． 4.5
【答案】D
【分析】直接根据点 D 是 OA 的中点即可求出 D 点坐标，由 D 点坐标即可求出反比例函数的解析式，故可
得出 AOBC 的面积，由 SA AOC SA AOB SAOBC 即可得出结论
对称的任意两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，△ABC 的面积记为 S，则（）
A． S m
B． S 2m
C． m S 2m
D． S 2m
【答案】B
【分析】根据 A、B 两点在曲线上可设 A、B 两点的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，即可得到答
案．
【详解】设点 A（x，y），则点 B（-x，-y），
（）
A．4 【答案】C
B．2
C．1
D．6
【分析】根据反比例函数
y=
k x
（k≠0）系数
k
的几何意义得到
SA POA
1 2
4
2, SA BOA
1 2
2
1 ，然后利用
SA POB SA POA SA BOA 进行计算即可．
【详解】解：∵PA⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B，
∴
SA POA
1 2
m m m，
k k，
PA 与 PB 的关系无法确定，结论②错误；
③ 点
P
在反比例函数
y
k x

小升初数学试题专题23 全国通用有答案

23.平面图形的测量知识要点梳理一、基本图形周长面积计算公式二、组合图形求周长、面积 1．阴影面积＝整体－空白 2．代换法梯形中的蝴蝶定理： ①S 1＝S 4 ②S 1×S 3＝S 2×S 4 3．分割法 4．等高三角形（1）等高三角形面积的比等于底之比。

（2）等高三角形的常用判定方法：有一个公用的顶点，其余顶点均在同一直线上，所有顶点均在同一对平行线上。

（3）等底三角形的面积之比等于高之比。

5.交叉定理 bc ad =考点精讲分析典例精讲考点1组合图形的周长和面积【例1】求下面图形的周长和面积。

（单位：米）【精析】要求它的周长，可用长方形的2个长＋1个宽＋圆的周长的一半；要求它的面积，可用图中长方形的面积加上半圆的面积即可。

【答案】周长：2.5×2＋2＋3.14×2÷2 ＝5＋2＋3.14 ＝10.14（米）面积：2.5×2＋3.14×2)22(÷2 ＝5＋3.14×1÷2 ＝5＋1.57 ＝6.57（平方米）答：这个图形的周长是10.14米，面积是6.57平方米【归纳总结】组合图形的计算，一般都要把它分割成规则图形再进行计算。

考点2 等积变换法求面积【例2】如图，ABCD 是直角梯形，AB ＝3厘米，AD ＝4厘米，BC ＝6厘米，求阴影部分的面积。

【精析】阴影部分的面积为三角形ABE 和三角形DEC 的面积之和，利用△ABE 和△DEC 是等高三角形则阴影部分的面积可以变换为BC 边的长乘以高，再除以2。

【答案】 6×3÷2＝9（平方厘米）【归纳总结】高一定，阴影部分面积＝底之和×高÷2。

考点3 割补法求面积【例3】如图，是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么，阴影部分的面积是多大？【精析】如果按常规解法，此题较麻烦，如果用割补法、平移法则较简单。

2023年中考数学总复习专题23二次函数推理计算与证明综合问题 (学生版)

专题23二次函数推理计算与证明综合问题【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P （2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【例4】（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．一．解答题（共20题）1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．2．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．3．（2022•新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．（1）抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为；（2）若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．4．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．5．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．6．（2022•沂水县二模）抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q （x0，y0）是抛物线上的点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m 的取值范围．7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．（1）求证：y1，y2的图象必有交点；（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．8．（2022•西城区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．（1）求此抛物线的顶点的坐标；（2）若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范围．9．（2022•黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1．（1）当抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．①求抛物线解析式；②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；（2）设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1（m≠n）时，M＝N．求证：a+b＝1．10．（2022•路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）．（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+t（t是常数）在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．11．（2022•安徽模拟）已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；（2）设P点的纵坐标为y p，当y p取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．12．（2022•富阳区一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣）．（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，试判断点（2，﹣9）在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．13．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）与y轴交于点A（0，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DP A ＝90°，PD＝P A．（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；（ii）点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．14．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．15．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M （x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；（3）当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．16．（2022•开福区校级一模）已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；（2）当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．17．（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（﹣2，2），该图象与直线x＝2相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；（3）点M（m，0）、N（n，0）是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围．18．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．19．（2022•亭湖区校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣（3a﹣1）x﹣2（a为常数且a≠0）与y 轴交于点A．（1）点A的坐标为；对称轴为（用含a的代数式表示）；（2）无论a取何值，抛物线都过定点B（与点A不重合），则点B的坐标为；（3）若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；（4）将点A与点B之间的函数图象记作图象M（包含点A、B），若将M在直线y＝﹣2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．20．（2022•义安区模拟）已知抛物线的图象经过坐标原点O．（1）求抛物线解析式．（2）若B，C是抛物线上两动点，直线BC：y＝kx+b恒过点（0，1），设直线OB为y ＝k1x，直线OC为y＝k2x．①若B、C两点关于y轴对称，求k1k2的值．②求证：无论k为何值，k1k2为定值．。

初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题23 圆与圆的位置关系

专题23圆与圆的位置关系【阅读与思考】两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质.解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：1.相交两圆作公共弦或连心线；2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.熟悉以下基本图形和以上基本结论.【例题与求解】【例1】如图，大圆⊙O 的直径a AB cm ，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形3241O O O O 的面积为________cm 2.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：易证四边形3241O O O O 为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.【例2】如图，圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切.若⊙A ，⊙B ，⊙C 的半径分别为a ，b ，c （b a c <<<0），则a ，b ，c 一定满足的关系式为（）A .c a b +=2B .c a b +=2C .ba c 111+=D .ba c111+=（天津市竞赛试题）解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.【例3】如图，已知两圆内切于点P ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，PC 的延长线交大圆于点D .求证：（1）∠APD =∠BPD ；（2）CB AC PC PB P A ∙+=∙2.（天津市中考试题）解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC ·BC =PC ·CD 入手.【例4】如图⊙O 1和⊙O 2相交于点A 及B 处，⊙O 1的圆心落在⊙O 2的圆周上，⊙O 1的弦AC 与⊙O 2交于点D .求证：O 1D ⊥BC .（全俄中学生九年级竞赛试题）解题思路：连接AB ，O 1B ，O 1C ，显然△O 1BC 为等腰三角形，若证O 1D ⊥BC ，只需证明O 1D 平分∠B O 1C .充分运用与圆相关的角.【例5】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1,AB =2，DC =22，点P 在边BC 上运动（与B ，C 不重合）.设PC =x ，四边形ABPD 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若以D 为圆心，21为半径作⊙D ，以P 为圆心，以PC 的长为半径作⊙P ，当x 为何值时，⊙D 与⊙P 相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积.（河南省中考题）解题思路：对于（2），⊙P 与⊙D 既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于x 的方程.【例6】如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，求NCBN的值.（全国初中数学联赛试题）解题思路：AB 为两圆的公切线，BC 为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法.【能力与训练】A 级1.如图，⊙A ，⊙B 的圆心A ，B 在直线l 上，两圆的半径都为1cm .开始时圆心距AB ＝4cm ，现⊙A ，⊙B 同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A 运动的时间为_______秒.（宁波市中考试题）2.如图，O 2是⊙O 1上任意一点，⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，E 为优弧AB 上的一点，EO 2及延长线交⊙O 2于C ，D ，交AB 于F ，且CF ＝1，EC ＝2，那么⊙O 2的半径为_______.（四川省中考试题）（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，半圆O 的直径AB ＝4,与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M .设⊙O 1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是_________________.（要求写出自变量x 的取值范围）（昆明市中考试题）4.已知直径分别为151+和315-的两个圆，它们的圆心距为115-，这两圆的公切线的条数是__________.5.如图，⊙O 1和⊙O 2相交于点A ，B ，且⊙O 2的圆心O 2在圆⊙O 1的圆上，P 是⊙O 2上一点.已知∠A O 1B ＝60°，那么∠APB 的度数是（）A .60°B .65°C .70°D .75°（甘肃省中考试题）6.如图，两圆相交于A 、B 两点，过点B 的直线与两圆分别交于C ，D 两点.若⊙O 1半径为5，⊙O 2的半径为2，则AC ：AD 为（）A .52:3B .3:52C .1:52D .2:5（第5题图）（第6题图）（第7题图）7.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点T ，它们的半径之比为3:2，AB 是它们的外公切线，A ，B 是切点，AB ＝64，那么⊙O 1和⊙O 2的圆心距是（）A .65B .10C .610D .1339208.已知两圆的半径分别为R 和r （r R >），圆心距为d .若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（）A .外切B .内切C .外离D .外切或内切（连云港市中考试题）9.如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，点O 1在⊙O 2上，点C 为⊙O 1中优弧AB ⌒上任意一点，直线CB 交⊙O 2于D ，连接O 1D .（1）证明：DO 1⊥AC ；（2）若点C 在劣弧AB ⌒上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论.（大连市中考试题）图1图210.如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 过点P 且分别交⊙O 1和⊙O 2于点A ，B ，BH 切⊙O 2于点B ，交⊙O 1于点C ，H .（1）求证：△BCP ∽△HAP ；（2）若AP :PB ＝3：2，且C 为HB 的中点，求HA :BC .（福州市中考试题）11.如图，已知⊙B ，⊙C 的半径不等，且外切于点A ，不过点A 的一条公切线切⊙B 于点D ，切⊙C 于点E ，直线AF ⊥DE ，且与BC 的垂直平分线交于点F .求证：BC ＝2AF .（英国数学奥林匹克试题）12.如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点.正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过△ABC 得内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上.（1）若正方形的顶点F 也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；（2）若正方形DEFG 的面积为100，且△ABC 的内切圆半径4 r ，求半圆的直径AB .（杭州市中考试题）B 级1.相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，这两圆的圆心距为_______.2.如图，⊙O 过M 点，⊙M 交⊙O 于A ，延长⊙O 的直径AB 交⊙M 于C .若AB ＝8，BC ＝1，则AM ＝_______.（黑龙江省中考试题）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3.已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm .4.如图，已知PQ ＝10，以PQ 为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P .正方形ABCD 的顶点A ，B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q .若AB ＝n m +，其中m ，n 为整数，则=+n m ___________.（美国中学生数学邀请赛试题）5.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点M ，且分正方形为4个三角形，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，⊙O 4，分别为△AMB ，△BMC ，△CMD ，△DMA 的内切圆.已知AB ＝1.则⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，⊙O 4所夹的中心（阴影）部分的面积为（）A .(4)(316π--B .(34π-C .(4)(34π--D .416π-（太原市竞赛试题）（第5题图）（第6题图）（第7题图）6.如图，⊙O 1与⊙O 2内切于点E ，⊙O 1的弦AB 过⊙O 2的圆心O 2，交⊙O 2于点C ，D .若AC ：CD :BD ＝2:4:3，则⊙O 2与⊙O 1的半径之比为（）A .2:3B .2:5C .1:3D .1:47.如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，两圆的一条外公切线与⊙O 1相切于点B ，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O 1与⊙O 2的半径之比为（）A .2:5B .1:2C .1:3D .2:3（全国初中数学联赛试题）8.如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .（1）求证：PA PE PC PD∙=∙（2）当AD 与⊙O 2相切且PA ＝6，PC ＝2，PD ＝12时，求AD 的长.（黄冈市中考试题）9.如图，已知⊙O 1和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线，切点为B ，C .连接BA 并延长交⊙O 1于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E ，F .（1）求证：CD 是⊙O 1的直径；（2）试判断线段BC ，BE ，BF 的大小关系，并证明你的结论.（四川省中考试题）10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径，大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F ，AD ，BE 相交于点G ，连接BD .（1）求BD 的长；（2）求2ABE D ∠+∠的度数；（3）求BGAG的值.（淄博市中考试题）11.如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙O 1与△BCH 的外接圆⊙O 2相交于点D ，延长AD 交CH 于点P .求证：P 为CH 的中点.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）12.如图，已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点，以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A与半圆O相交于点C，以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M.求证：MP分别与⊙A，⊙B相切.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）专题23圆与圆的位置关系例121a 6提示：连接14QP CP ==必过点O ，则34O O ⊥AB ，设⊙3O ，⊙4O 的半径为xcm ，在Rt △31O O O 中，有222a a a x =x 424⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得x=a 6.例2D提示：连接AB ，1AA ，1BB ，作2AB ⊥1BB ，则22222AB AB BB =+，即()()2222a b =b a AB ++-，得22211=A B 4ab AB =，同理，211A 4ac C =，2114bc C B =，由111111=A B A C C B +++例3提示：⑴过P 点作两圆的公切线.⑵即证PA PB PC PD ∙=∙.例412BO C BAC ∠=∠，1112BO D BAC BO C ∠=∠=∠，则1O D 为1BO C ∠的平分线，又11O B O C =，故1O D BC ⊥.例5⑴过D 作DQ ⊥BC 于Q ，则BQ=AD=1，AB=DQ=2，CQ=，故()1y=13x 2=4x 2+-⨯-（0<x<3）.⑵分两种情况讨论：①当⊙P 与⊙D 外切时，如图1，QC=2，PC=x ，QP=2x -，PD=x+12，DQ=2，在Rt △DQP 中，由()22212x 2=x+2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得，31x=20，3149y=4=2020-.②当⊙P 与⊙D 内切时，如图2，PC=x ，QC=2，PQ=x-2，PD=x-12，DQ=2，在Rt △DPQ 中，由()2221x 22=x-2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得，31x=12，3117y=4=1212-.例6就图1给出解答：连接CP 并延长交AB 于点Q ，连接BP ，得∠BPC90°，又22QA QP CQ QB =∙=，得AQ=QB=12AB ，在Rt △CQP 中，2214BQ QP CQ QP BC CP CQ CP ∙===∙.过Q 作QM ∥BC 交AN 于M ，则MQ=12BN .由△MQP ∽△NCP ，得14MQ QP CN CP ==，故BN NC ＝2142MQ MQ =.A 级1．12或32 2.23．y ＝214x -＋x (0＜x ＜4) 4.3条5．D 6．D 7．B 8．D9．提示：(1)连结AB ，A 1O ，并延长交⊙1O 于E ，连结CE ．(2)结论仍然成立．10．(1)略(2)提示：设AP ＝3t ，由BC ·BH ＝BP ·BA ，BH ＝2BC ，BC ＝5t .易证△HAP ∽△BAH ，得HA ＝15t ，故155HA t BC t =＝3.11．连结BD ，CE ，作BM ⊥CE 于M ，作HN ⊥CE 于N ，则BM ∥HN ．∵H 是BC 的中点，故N 是CM 的中点，∴CN ＝12CM ＝12（CE －EM ）＝12(CE －BD )，而AH ＝BH －AB ＝12BC －AB ＝12(AB ＋AC )–AB ＝12(AC －AB )，因此CN ＝AH ．由CE ⊥DE ，AF ⊥DE ，得CE //AF ，故∠NCH ＝∠HAF ，又∠CNH ＝∠AHF ＝90°，得△CNH ≌△AHF ，从而BC ＝2CH ＝2AF .12.(l )5:2提示：由题意，设正方形边长为l ，则22212R l l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得R :l ＝5:2．由2ED ＝AD ×DB ，DE＝10，得AD ×DB ＝l 00．设AC 与内切圆交点S ，CB 与内切圆交点H ，设AD ＝r ，DB ＝100x ．AB ＝x ＋100x，AS ＝AD ＝x ，BH ＝BD ＝100x ．又△ABC 为直角三角形。

初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题23 面积的计算

专题23面积的计算○阅○读○与○思○考计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：1.常见图形的面积公式；2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；3.等比定理：(1)同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.(2)相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.熟悉下列基本图形、基本结论：例题与求解【例1】如图，△ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD的面积为x，则x＝________.（黄冈市竞赛试题）解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.例1图【例2】如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE＝6，那么△ABC的面积等于()(全国初中数学联赛) A．12B．14C．16D．18解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系.例2图【例3】如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使BE AB ＝CF BC ＝DG CD ＝AH DA＝m ，若S 四边形EFGH ＝2S 四边形ABCD ，求m 的值.解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于m 的方程.例3图【例4】如图，P ，Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，PA 与CQ 相交于点E ，且∠PAD ＝∠QAD ，求证：S 矩形ABCD ＝S △APQ .解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化.例4图【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，移动速度为每秒2个单位长度.过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1)求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少？(江西省中考试题)解题思路：对于(1)利用△ADE ∽△ABC 可得y 与x 的关系式；对于(2)先写出S 关于x 的函数关系式，再求最大值.例5图【例6】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F .求证：(1)PD AD ＋PE BE ＋PFCF＝1；(2)PA AD ＋PB BE ＋PC CF＝2解题思路：过点A ，P 分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把PAAD转化为面积比，利用面积法证明.例6图○能○力○训○练A级1．如图，ABCD 中，AE ∶BE ＝1∶2，S △AEF ＝6cm 2，则S △CDF 的值为________.(济南市中考试题)2．如图，正六边形ABCDEF 的边长为23cm ，P 为正六边形内任一点，则点P 到各边距离之和为_______.第1题图第2题图第3题图3．如图，P 是边长为8的正方形ABCD 外一点，PB ＝PC ，△PBD 的面积等于48，则△PBC 的面积为_____________.(北京市竞赛试题)4．如图，已知△BOF ，△AOF ，△BOD ，△COE 的面积分别为30，40，35，84，则△ABC 的面积为________.(浙江省竞赛试题)5．如图，已知AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，DE 是Rt △ADC 斜边上的高，如果DC ∶AD ＝1∶2，S △DCE ＝a ，那么S △ABC 等于()(金华市中考试题)A ．4aB ．9aC ．16aD ．25a第4题图第5题图第6题图6．如图，已知M 是ABCD 边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分面积与ABCD 的面积之比为（）（山西省中考试题）A ．16B ．14C ．13D ．5127．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若S △ADE ＝2S △DCE ，则S △ADES △ABC等于()(浙江省宁波市中考试题)A ．14B ．12C ．23D ．498．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（）cm 2.(广东省竞赛试题)A ．4B ．23C ．33D ．43第7题图第8题图第9题图9．如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ′B ′C ′D ′，且正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′在正方形ABCD 的中心，当正方形A ′B ′C ′D ′绕A ′转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值.这个结论对吗？证明你的判断.（“希望杯”邀请赛试题）10．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB ，CD 的中点分别为K ，M .求证：S 四边形ABCD ＝S △ABM ＋S △DCK..第10题图11．如图1，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC ，S △DAC ，S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝S △DAC ＋S △DBC2………..①.(1)如图2，若图1中AB 与CD 不平行时，①式是否成立？请说明理由.(2)如图3，若图1中AB 与CD 相交于点O 时，问S △DMC 与S △DAC 和S △DBC 有何相等关系？试证明你的结论.（安徽省中考试题）12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ′.(1)如图1，当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ，证明：△A ′CD 是等边三角形；(2)如图2，连接A ′A ，B ′B ，设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S △ACA ′和S △BCB ′.求证：S △ACA ′∶S △BCB ′＝1∶3.(3)如图3，设AC 的中点为E ，A ′B ′的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝_____时，EP 长度最大，最大值是____________.（安徽省中考试题）B级1．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7cm 2和11cm 2，则△CDE 的面积等于___________cm 2.（武汉市竞赛试题）2．如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA ＝PB ＝10，并且P 到CD 边的距离也等于10，那么正方形ABCD 的面积是_______________.(北京市竞赛试题)3．如图，四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 上，DF FC ＝1，CEBE ＝2，若△ADF 的面积为m ，四边形AECF 的面积为n (n ＞m )，则四边形ABCD 的面积为___________.(全国初中数学联赛试题)第1题图第2题图第3题图第4题图4．如图，图形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 和BD 相交于点O ，若AC ＝5，BD ＝12，中位线长为132，△AOB 的面积为S 1，△OCD 的面积为S 2，则S 1＋S 2＝_________.(山东省竞赛试题)5．如图，分别延长△ABC 的三边AB ，BC ，CA 至A ′，B ′，C ′，使得AA ′＝3AB ，BB ′＝3BC ，CC ′＝3AC ，若S △ABC ＝1，则S △A ′B ′C ′等于().A ．18B ．19C ．24D ．27(山东省竞赛试题)6．如图，若ABCD 是2×2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于点I ，BD 和AF 相交于点H ，那么四边形BEIH 的面积是()A ．13B ．52C ．715D ．815(江苏省竞赛试题)第5题图第6题图第7题图7．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的点，已知S △ABE ＝S △ADF ＝13S ABCD ，则S △AEF S △CEF的值等于()(北京市竞赛试题)A．2B．3C．4D．58．(1)探究：如图1，在ABCD的形外分别作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，∠FAB ＝∠EAD＝90°，连接AC，EF.在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明.(2)应用：以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF，GH，IJ，KL，若ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________.（长春市中考试题）9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2cm，BC＝4cm，在等腰△PQR中，∠QPR＝120°，底边QR＝6cm，点B，C，Q，R在同一条直线l上，且C，Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/s 的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S cm2.(1)当t＝4时，求S的值；(2)当4≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.(广州市中考试题)第9题图10．有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm，如图1将直尺的短边DE放置与直角三角纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合将直尺沿AB方向平移，如图2，设平移的长为x cm(0≤x≤10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积S cm2.x时，S＝________；(1)当x＝0时，S＝________，当10(2)当0＜x≤4时，求S关于x的函数关系式；(3)当4＜x＜10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值.(徐州市中考试题)11．如图，设H 是等腰三角形ABC 的三边上的高线的交点，在底边BC 保持不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时HBC ABC S S ∆∆⋅的值变大、变小、还是不变?证明你的结论.(全国初中数学联赛试题)第11题图12．(1)请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(2)如图2，点M 是矩形ABCD 内一定点，请你在图2中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(3)如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ，OB ＝6，BC ＝4，CD ＝4.开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P (4，2)处.为了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分.你认为直线l 是否存在?若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由.(陕西省中考试题)专题23面积的计算例1．22提示：连接AF ．例2．选C 提示：连接DE ．例3．12-提示：连接GA ，HB ，EC ，FD ，AC ，BD ，则(1)(1)HAE HAB ABD S m S m mS =+=+∙△△△，同理(1)FCG BCD S m m S =+△△，故+(1)HAE FCG ABCD S S m m S =+∙△△，同理+(1)EBF GDH ABCD S S m m S =+△△.例4．提示：过E 作EF ∥BC 交AB 于F ，△AEF ≌△ADE ≌△ADQ ，又△AED ∽△PEC ，则AD DEPC CE=，积AD ·CE =PC ·DE ．例5．提示：（1）362y x =-+（0≤x ≤4）（2）22336(2)622S x x x =-+=--+，当x =2时，S 最大值=6.例6．（1）如图，分别过P ，A 作BC 的垂线，垂足为P 1，A 1．11111212PBCABCBC PP S PP PDS AA AD BC AA === △△则．同理PCA ABC S PE BE S =△△，=PABABCS PF CF S △△，故++=1BPC PCA PABABCS S S PD PE PF AD BE CF S ++=△△△△．（2）=3()2PD PB PC PD PE PFAD BE CF AD BE CF++-++=.A 级1．54cm2．18cm3．324．3155．C6．C7．D 8．C9．提示：当正方形ABCD 与正方形A ’B ’C ’D ’的对应边平行时，两者重合部分面积为正方形面积的14；转动后，两者重合面积仍为定值．10．提示：过A 、K 、B 分别作CD 的垂线．11．（1）结论仍然成立，证明略．（2）2DBC DACDMC S S S -=△△△12．（1）略（2）△ACA ’∽△BCB ’2213ACA BCB S AC S BC''==△△（3）120°，32aB级12．2563．3122n m +4提示：S 梯形ABCD=2+5．B 6．C 7．D 8．（1）略（2）109．提示：（1）当t =4时，Q 与B 重合，P 与D 重合，如图a ，重合部分是△BDC ，S △BDC=122⨯⨯=．（2）①当4≤t ≤6时，如图b ，BQ =t －4，CR =6－4，由△PQR ∽△BQM ∽△CRN ，得22(),CRN PQR S CR S PQ == PQRBQM S S ∆∆＝(PQ BQ )2＝(324-t )2，∴S ＝S △PQR －S △BQM －S △CRN ＝235)532+--t ．当t ＝5时，S 最大值＝325．②当6＜t ≤10时，如图c ，BR ＝10－t ，BK ⊥RK ，且∠KRB ＝30°，所以BK ＝21BR ＝21(10－t )，KR ＝23(10－t )，S ＝21BK ·KR ＝83(10－t )2．当t ＝6时，S 最大值＝23．综合①②，当t ＝5时，S 最大值＝325．10．提示：（1）S ＝2cm 2；S ＝2cm 2．（2）当0＜x ≤4时，如图a ，DG ＝AD ＝x ，AE ＝EF ＝x ＋2，S ＝2)(DEDG EF ⨯+＝2x ＋2cm 2．（3）当4＜x ＜10时，应分两种情况进行讨论：①当4＜x ＜6时，如图b ，DG ＝AD ＝x ，EF ＝BE ＝12－x －2＝10－x ，S ＝S △ABC －S △ADG －S △BEF ＝－x 2＋10x－14＝－(x －5)2＋11，故当x ＝5时，S 最大值＝11．②当6≤x ＜10时，如图c ，BD ＝DG ＝12－x ，EF ＝BE ＝10－x ，S ＝22－x ，当x ＝6时，S 最大值＝10．综上所述，4＜x ＜10时，S 的最大值为11cm 2．11．∵∠HBD ＝∠HAE ，∴Rt △BDH ∽Rt △ADC ．∴HD DC BD AD =．又BD ＝DC ＝21BC ，∴AD ·HD ＝BD ·DC ＝41BC 2．∴S △ABC ·S △HBC ＝(21AD ·BC )(21HD ·BC )＝161BC 4．而BC 是不变的，∴当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC ·S △HBC 保持不变．12．（1）（2）略（3）如图，存在符合条件的直线l ．过点D 作DA ⊥OB 于A ，则点P (4，2)为矩形ABCD 的对称中心．∴过点P 的直线只要平分△DOA 的面积即可．易知，在OD 边上必存在点H ，使得直线PH 将△DOA 的面积平分，从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积，直线PH 即为所求直线l ．设直线PH 的表达式为y ＝kx ＋b ，且点P (4，2)，∴2＝4k ＋b ，即b ＝2－4k ，∴y ＝kx ＋2－4k ．∵直线OD 的表达式为y ＝2x ，∴⎩⎨⎧=-+=x y k kx y 242，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=k k y k k x 284242，∴点H 的坐标为(k k --242，kk --284)．∴PH 与线段AD 的交点F 的坐标为(2，2－2k )，∴0＜2－2k ＜4，∴－1＜k ＜1．∴S △DHF ＝21(4－2＋2k )·(2－k k --242)＝21×21×2×4，解得k ＝2313-(k ＝2313--不合题意，舍去)．∴b ＝8－213，∴直线l 的表达式为y ＝2313-x ＋8－213．。

专题23 与垂径定理有关的拓展探究(解析版)

专题23 与垂径定理有关的拓展探究1．问题提出（1）如图①，O 的半径为8，弦83AB =，则点O 到AB 的距离是__________．问题探究（2）如图②，O 的半径为5，点A 、B 、C 都在O 上，8AB =，求ABC 面积的最大值．问题解决（3）如图③，是一圆形景观区示意图，O 的直径为80m ，等腰直角三角形ABP 的边AB 是O 的弦，直角顶点P 在O 内，延长AP 交O 于点C ，延长BP 交O 于点D ，连接CD AD BC 、、．现准备在ABP △和CDP 区域内种植草坪，在ADP △和BCP 区域内种植花卉．记ABP △和CDP 的面积和为1S ，ADP △和BCP 的面积和为2S ．①求种植草坪的区域面积1S ． ②求种植花卉的区域面积2S 的最大值．【答案】（1）8；（2）32；（3）①211600m =S ，②21600m ．【分析】（1）作OC AB ⊥交AB 于点C ，连接OA ，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC ；（2）作CD AB ⊥交AB 于点D ，连接OA ，可知当CD 经过圆心O 的时候ABC 面积最大，由垂径定理和勾股定理可求出8=+=CD OC OD ，进一步可求出ABC 的面积；（3）①连接OD ，OA ，求出AD ，进一步可求出()21221122=+=AP CP AD S ；②表示出2=⋅S AP DP ，利用完全平方公式求出2222+=≤x S y xy ，当AP DP =时，2S 有最大值为21600m ．【详解】解：作OC AB ⊥交AB 于点C ，连接OA ，∵83AB =，由垂径定理可知：=43=AC BC ， ∵8OA =，∴224=-=OC OA AC ；（2）作CD AB ⊥交AB 于点D ，连接OA ，∵8AB =，若使ABC 面积最大，则CD 应最大， ∴当CD 经过圆心O 的时候取值最大，由垂径定理可知：4AD BD ==， ∵5==OA OC ， ∴3OD =，∴8=+=CD OC OD ， ∴188322ABCS=⨯⨯=，（3）①连接OD ，OA ，则40m ==OD OA ，∵ABP △是等腰直角三角形， ∴45ABP ∠=︒，∴90AOD ∠=︒，即AOD △是等腰直角三角形， ∴22402m =+=AD OA OD ，∵45∠=∠=︒DCP ABP ，90APB CPD ∠=∠=︒， ∴CDP 是等腰直角三角形， ∵212=ABP S AP △，212=CDP S DP △， ∴()22221111600m 22=+==AD S AP DP ， ②由①可知：21122=⋅⋅+⋅⋅=⋅AP DP BP CP AP S DP ，设AP x =，DP y =，故2=S xy ， ∵()2222-=+-≥0x y x y xy ，∴222x y xy ≤+，当x y =时，等号成立，∴2222+=≤x S y xy ，当AP DP =时，2S 有最大值为21600m ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式的应用，等腰直角三角形的判定及性质，（3）小问较难，解题的关键是表示出()21221122=+=AP CP AD S ，求出AD ，利用完全平方公式求出2222+=≤x S y xy ．2．问题提出：（1）如图1，已知ABC 是边长为2的等边三角形，则ABC 的面积为______．问题探究：（2）如图2，在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，63BC =ABC 的最大面积．问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD ，其宽20AB =米，长24BC =米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角45AMB ∠=︒．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）93；（3）存在，MC 的长度为8米或12米．【分析】（1）作AD ⊥BC 于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；（2）作△ABC 的外接圆⊙O ，可知点A 在BC 上运动，当A 'O ⊥BC 时，△ABC 的面积最大，求出A 'H 的长，从而得出答案；（3）以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且∠AOB =90°，过O 作HG ⊥AB 于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而⊙O 上存在点M ，满足∠AMB =45°，此时满足条件的有两个点M ，过M 1作M 1F ⊥AB 于F ，作EO ⊥M 1F 于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【详解】】解：（1）作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴BD =1，∴AD =22AB BD -=3，∴△ABC 的面积为12332⨯⨯=，故答案为：3；（2）作△ABC 的外接圆⊙O ， ∵∠BAC =120°，BC =63， ∴点A 在BC 上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，∴∠BOA'=60°，BH=CH=33，∴OH=3，OB=6，∴A'H=OA'-OH=6-3=3，∴△ABC的最大面积为1363932⨯⨯=；（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB=20米，∴AH=OH=10米，OA=102米，∵BC=24米，∴OG=14米，∵102＞14，∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，∴EF =OH =10米，OM 1=102米， ∴EM 1=14米，∴OE =2211OM M E -=2米， ∴CM 1=BF =8米，同理CM 2=BH +OE =10+2=12（米）， ∴MC 的长度为8米或12米．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理圆周角定理等知识，掌握以上知识是解题的关键． 3．【学习心得】（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是ABC 外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数．若以点A 为圆心，AB 长为半径作辅助圆A ，则C ，D 两点必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，BDC ∠是A的圆周角，则BDC ∠=______°．【初步运用】（2）如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，24BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数；【方法迁移】（3）如图，已知线段AB 和直线l ，用直尺和圆规在l 上作出所有的点P ，使得30APB ∠=︒（不写作法，保留作图痕迹）；【问题拓展】（4）①如图，已知矩形ABCD ，2AB =，BC m =，M 为边CD 上的点．若满足45AMB ∠=︒的点M 恰好有两个，则m 的取值范围为______．②如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的高，且6BD =，2CD =，求AD 的长．【答案】（1）45︒；（2）24︒；（3）见解析；（4）①221m ≤<+；②427+ 【分析】（1）根据圆周角定理求解即可；（2）如图所示，取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则1=2AE BE DE CE BD ===，即可得到A 、B 、C 、D 在以E 为圆心，12BD 为半径的圆心，则==24BAC BDC ︒∠∠；（3）先作等边三角形OAB ，再以O 为圆心，AB 的长为半径画弧与直线l 的交点即为所求；（4）①如图所示，在BC 上截取一点F 使得BF =BA ，连接AF ，以AF 为直径作圆O ，过点F 作EF ⊥AD 交AD 于E ，过点O 作OG ⊥EF 交EF 于H 交圆O 于G ，过点G 作圆O 的切线分别交AD ，BC 于K 、Q ，则当BF m BQ ≤<时满足题意，据此求解即可；②如图所示，作△ABC 的外接圆，过圆心O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AD 于F ，连接OB ，OC ，OA ，则四边形OFDE 是矩形，分别求出AF 、DF 即可得到答案．【详解】解：（1）∵AB =AC =AD ，∴B 、C 、D 三点都在以A 为圆心，以AB 长为半径的圆上， ∵∠BAC =90°，∴1==452BDC BAC ︒∠∠，故答案为：45︒；（2）如图所示，取BD 中点E ，连接AE ，CE ， ∵∠BAD =∠BCD =90°，E 为BD 的中点，∴1=2AE BE DE CE BD ===，∴A 、B 、C 、D 在以E 为圆心，12BD 为半径的圆心， ∴==24BAC BDC ︒∠∠；、（3）如图所示，1P 、2P 即为所求；（4）①如图所示，在BC 上截取一点F 使得BF =BA ，连接AF ，以AF 为直径作圆O ，过点F 作EF ⊥AD 交AD 于E ，过点O 作OG ⊥EF 交EF 于H 交圆O 于G ，过点G 作圆O 的切线分别交AD ，BC 于K 、Q ，则四边形ABFE 为正方形 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABE =90°， ∴B 在圆O 上，2222AF AB BF =+=，∴2OG OF ==， ∵OH ⊥EF ， ∴11122FH EF AB ===， ∴221OH OF OH =-=， ∴=21GH OG OH -=-， ∴BF m BQ ≤<，∴2221m ≤<+-，即221m ≤<+②如图所示，作△ABC 的外接圆，过圆心O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AD 于F ，连接OB ，OC ，OA ，则四边形OFDE 是矩形 ∵∠BAC =45°， ∴∠BOC =90°，在直角△BOC 中BC =BD +CD =8， ∴42BO CO ==， ∵OE ⊥BC ， ∴142BE BC ==， ∴DE =OF =2，224OE DF OB BE ==-=， ∴2227AF AO OF =-=，∴427AD AF DF =+=+【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 4．小航在学习中遇到这样一个问题：如图，点C 是AB 上一动点，直径AB ＝8cm ，过点C 作CD ∥AB 交AB 于D ，O 为AB 的中点．连接OC ，OD ，当△ABC 的面积为3.5cm 2时，求线段CD 的长．小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：(1)根据点C 在AB 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段CD ，OC 的长度和△OCD 的面积，得到下表的几组对应值（当点C 与点A 或点B 重合时，△OCD 的面积为0）．CD /cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 OCD S ∆2/cm 01.93.95.6m7.87.96.8填空：m ＝（结果保留一位小数）；(2)将线段CD 的长度作为自变量x ，△OCD 的面积是x 的函数，记为y ，请在平面直角坐标系xOy 中画出函数的图象，并写出△OCD 面积的最大值；(3)在同一坐标系中画出所需的图象，并结合图象直接写出：当△OCD 的面积为3.5cm 2时，线段CD 长度的近似值（结果保留一位小数）．【答案】(1)6.9(2)图见解析，△OCD 面积的最大值为7.9cm 2 (3)1.8cm 或7.8cm【分析】（1）由直径AB ＝8cm ，当CD ＝4 cm 时，OC ＝OD ＝4 cm ，可得△OCD 为等边三角形，即可求出△OCD 的面积；（2）根据表格中的数据，先描点，再用光滑的曲线连接起来，即可画出函数图象；结合函数图象及表格可得△OCD 面积的最大值；（3）设CD xcm =，OH hcm =，利用1722OCD S hx ∆==得出关于x 的方程，求解方程得到2337.8x =+≈或233 1.8x =-≈即可． (1)解：∵直径AB ＝8cm ， ∴OC ＝OD ＝4.0cm ，∴当CD ＝4.0cm 时，△OCD 为等边三角形，设△OCD 的高为h ，则h ＝4×sin60°＝23cm ， ∴142343 6.92OCD S ∆=⨯⨯=≈cm 2，故答案为：6.9； (2)解：如图所示，结合函数图象及表格得，△OCD 面积的最大值为7.9cm 2； (3)解：当 3.5y =时，如图所示：由图象可知：设CD ＝x cm 时，过O 作OH ⊥CD ，垂足为H ，则2x CH =cm ，OC ＝4 cm ，设高OH ＝h cm ，则h 2＝2164x -，根据题意得1722OCD S hx ∆==，∴221722hx ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2249h x = 将22164x h =-代入上式得2216494x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，令2t x =，则16494t t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2641960t t -+=，∵()2644119633120∆=--⨯⨯=>，∴()64331264122332623212t --±±===±⨯，∴()()2222326233232323323x =±=±⨯⨯+=±，∴2337.8x =+≈或233 1.8x =-≈，∴当△OCD 的面积为3.5cm 2时，线段CD 长度的近似值为1.8cm 或7.8cm ．【点睛】本题考查了函数与几何综合问题．（1）在圆的背景下，准确发现等边三角形是解该问关键；（2）结合统计表，准确描点作图，读懂表与图是解出该问的关键；（3）准确表示出三角形面积，掌握方程的恰当求解是解决此问的关键．5．【教材回顾】（1）如图①，点D 、E 分别是ABC 的边AB 、边AC 的中点，连结DE ，则DE 是ABC 的一条中位线．则DE 和BC 的数量关系是____，位置关系是_____．【提出问题】如图④，AB 是以MN 为直径的⊙O 的一条弦，连结OA 、OB ，点M 在AB 的上方，点N 在AB 的下方，MP AB ⊥于P ，NQ AB ⊥于Q ，点P 、Q 均在弦AB 上．已知5MN =，30OAB ∠=︒，求MP NQ -的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：【分析问题】先看两种特殊情况：（2）如图②，当点N 与点B 重合时，点Q 也与点B 重合，点P 与点A 重合，此时MP MA =，0NQ =（点看成是长度为0的线段），则MP NQ -=_____．（写出具体的数值）（3）如图③，当MN AB ⊥时，P 、Q 重合，此时MP NQ -与OP 的数量关系是____，先根据条件易求OP 的长度，则MP NQ -=____．（写出具体的数值）【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求MP NQ -的值．【答案】（1）12DE BC =；//DE BC ；（2）52；（3）2MP NQ OP -=；52；（4）52【分析】（1）直接用中位线性质定理得出结论；（2）由等边三角形判定得出△MOA 为等边三角形，得到12MP MA MN ==，即可得到答案；（3）由直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，得到1122OP OA ON ==，即OP PN =，计算即可得知分别是ABC的边是ABC的一条中位线，12BC，DE故答案为：12 DE=MN为直径，N与点B MAB＝90°，O∴1524OP PN OA ===，∴522MP NQ OP -==，故答案为：2MP NQ OP -=；52．（4）∵MP AB ⊥于P ，NQ AB ⊥于Q ，∴过圆O 作直径CD ⊥AB 交于点E ，连接PN 与CD 交于点F ，如图：∴点O 为MN 的中点，////MP CD NQ ， ∴点F 为PN 的中点，点E 为PQ 的中点， ∴在△MNP 中，OF 是△MNP 的中位线， ∴2MP OF =，在△PNQ 中，EF 是△PNQ 的中位线， ∴2NQ EF =，∴()22MP NQ OF EF OE -=-=， ∵在Rt △AOE 中，30OAB ∠=︒，5MN =， ∴15222OE OA MN ===， ∴52MP NQ -=．【点睛】本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键．6．学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：已知，如图1，在ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 是ABC 外一点，且AD ＝AC ，求∠BDC 的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助圆⊙A ，则点C 、D 必在⊙A 上，∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，从而可容易得到∠BDC ＝．（直接写答案）问题解决：如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∠BDC ＝25°，求∠BAC 的度数；问题拓展：如图3，在ABC 中，∠BAC ＝45°，AD 是BC 边上的高，且BD ＝4，CD ＝2，求AD 的长．【答案】（1）45°；（2）25°；（3）317+【分析】（1）利用同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠；（3）作ABC 的外接圆，过圆心O 作OE BC ⊥于点E ，作OF AD ⊥于点F ，连接OA 、OB 、OC ．利用圆周角定理推知BOC 是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得1DE OF ==，3OE DF ==，进而求解．【详解】解：（1）如图，AB AC =，AD AC =，∴点B 、C 、D 在以点A 为圆心，AB 长为半径的圆上，BAC ∠是BC 所对的圆心角，而BDC ∠是BC 所对的圆周角，1452BDC BAC ∴∠=∠=︒，故答案为：45︒；（2）如图，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．90BAD BCD ∠=∠=︒，点O 为BD 的中点，∴12OA OB OC OD BD ====∴点A 、B 、C 、D 在以点O 为圆心，OA 长为半径的圆上，∵BC BC =BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒， 25BAC ∴∠=︒；（3）如图，作ABC 的外接圆，过圆心O 作OE BC ⊥于点E ，作OF AD ⊥于点F ，连接OA 、OB 、OC ．45BAC ∠=︒，290BOCBAC，∵4BD =，2CD =， ∴6BC BD CD =+=，在Rt BOC 中，22236OB OC BC +==，又∵OB OC =，32BO CO ∴==．∵OB OC =，OE BC ⊥，90BOC ∠=°，132OE BE BC ∴===， 1OF DE BD BE ∴==-=，3DF OE ==，∵在Rt AOF 中，32AO =，1OF =，222(32)117AF AO OF ∴=-=-=，317AD DF AF ∴=+=+．【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的定义、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．7．小航在学习中遇到这样一个问题：AB ，AB的垂直平分线交AB于C，取线段CD的中点O，连如图，点F是线段AB上一动点，线段8cm接FO并延长交AB于E，连接AE．若AEF是等腰三角形，求线段AF的长度．小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点F在线段AB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AF，EF，AE的长度，得到下表的几组对应值．AF/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0EF/cm 6.7 5.6 4.5 3.5 m 3.5 4.5 n 6.7AE/cm 6.7 6.5 6.2 5.7 5.0 4.2 3.6 3.2 2.9填空：m的值为_________，n的值为___________；（2）将线段AF的长度作为自变量x，EF和AE的长度都是x的函数，分别记为W y和kx y，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数kx y的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数w y的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当AEF为等腰三角形时，线段AF长度的近似值（结果保留一位小数）．【答案】（1）3.0,5.6；（2）见解析；（3）3.3cm,4.6cm,或5.4cm【分析】（1）根据垂径定理和图表数据，即可求出m的值；根据表中EF长度数据的对称性，求出n的值；（2）根据表格描点连线即可；（3）根据横坐标即为AF的长，W y表示AF与EF的函数关系，kx y表示AF与AE的函数关系，将等腰三角形的分类讨论转化为求函数交点即可．【详解】（1）∵CD⊥AB，∴4==,AD BD由表可知，当AF=4时，点F与点D重合，如图，则E与C重合，EF=CD,AC=AE,在Rt△AEF中，已知AF=4.0,AE=5.0,∴EF=3.0，即m=3.0;由表可知，EF的长度数据关于m对称，∴当AF=7.0时和当AF=1.0时，EF的长度相等，∴EF=5.6，故填5.6；（2）如图，描点连线：（3）如图，作直线y=x,AEF为等腰三角形有三种情况：①AE=EF时，即AF=x为kx y与w y的交点横坐标，如图，AF=5.4cm，②当AF=EF时，即求y=x与w y的交点横坐标，如图，AF=3.3cm,③当AE=AF时，即求kx y与y=x的交点横坐标，如图，AF=4.6cm，综上所述，当△AEF 为等腰三角形时，AF 的长为3.3cm ,4.6cm ,或5.4cm ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的分类讨论，函数的图像与性质，解题关键是理解题意，熟练掌握相关知识点． 8．问题提出（1）如图①，已知直线//a b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，则ACDS _______BCD S △（填“＞”“＜”或“＝”）；问题探究（2）如图②，⊙O 的直径为20，点A ，B ，C 都在⊙O 上，12AB =，求ABC 面积的最大值；问题解决（3）如图③，在ABC 中，90ACB ∠=︒，20AB =，10BC =，根据设计要求，点D 为ABC ∠内部一点，且60ADB ∠=︒，过点C 作//CE AD 交BD 于点E ，连接AE ，CD ，试求满足设计要求的四边形ADCE 的最大面积．【答案】（1）=；（2）108；（3）753．【分析】（1）由平行线的性质，据同底等高的两三角形面积相等作答；（2）AB 长不变，只要AB 边上的高最大，ABC 面积最大．由图知当C 是优弧AB 的中点时，AB 边上的高最大，ABC 面积最大．求得优弧AB 的中点到AB 的距离就可求得ABC 最大面积；（3）过C 作CF ∥BD 交AD 的延长线于F ，得∠F=60ADB ∠=︒，先证得四边形ADCE 的面积=△ACF 的面积；据∠F=60°得点F 在以AC 为边向ABC 外作的等边三角形AGC 的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F 运动到点G 时，△ACF 的面积最大，即四边形ADCE 的面积最大．最后计算出△ACF 的面积即是四边形ADCE 的面积最大值．【详解】（1）如下图①所示，分别过A 、B 两点向直线b 作垂线，垂足为M 、N ．∵a∥b∴∠MAB=∠AMN=90°∴四边形AMNB是矩形，∴AM=BN∴CD AM CD BN⋅=⋅又12ACDS CD AM=⋅△、12BCDS CD BN=⋅△∴=ACD BCDS S；（2）取优弧AB的中点记为1C，过1C作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知1C D过O且AD=BD，如下图②所示．过C作AB的平行线a，∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即ABC的AB边上的高增大，得当a运动到最高点1C时，ABC 的AB边上的高最大，又AB为常数，∴当C运动到1C时ABC的面积最大，下面计算1ABC的面积．连接OB 在RT △OBD 中：∵AB =12、圆O 的直径为20 ∴BD =6、BO =10、110OC = 由勾股定理得22221068OD BO BD =-=-= ∴1181018C D OD OC =+=+= ∴1ABC 的面积为111121810822AB C D ⋅=⨯⨯=， ∴ABC 面积的最大值为108；（3）过C 作CF ∥BD 交AD 的延长线于F ，如下图③-1所示∴∠F =∠ADB =60° ∵AD ∥CE∴四边形DECF 是平行四边形 ∴DF=CE ，FC=DE 又DC=CD ∴△DFC ≌△CED ∴DFC S S =△△CED又由（1）的结论知DAC DAE S S =△△∴DAE CED DAC DFC ADCE S S S S S S =+=+=△△△△△ACF 四边形所以只需求得ACF S ∆最大值即得ADCE S 四边形的最大值．以AC 为边向ABC 外作等边三角形AGC ，再作等边AGC 的外接圆，过G 作GJ ⊥AC 于J ，如下图③-2所示．∵∠F=60°∴点F 在AGC 的外接圆上，由第（2）问的解决知，当F 运动到点G 时，ACF S ∆最大=ACG S ∆．在RT △ABC 中：由勾股定理得22222010103AC AB BC =-=-= ∴1532AJ AC == ∴3103152GJ =⨯= ∴111031575322ACGAC G S J ∆=⨯=⨯⨯= ∴四边形ADCE 的最大面积是753．【点睛】此题考查了三角形等积变形、定角对定边的三角形的面积最大值、正三角形及其外接圆、平行四边形等考点，熟悉相关知识并能综合应用是关键． 9．【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距．【探究】等弧所对弦的弦心距相等．（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明．【应用】（2）如图2，O 的弦AB ，CD 的延长线相交于点P ，且AB CD =，连接OP ．求证：OP 平分APC ∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）在圆上取相等的两段弧，使AB CD =，则有AB CD =，然后过圆心分别作弦AB 、CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，然后通过三角形全等证明弦心距OE OF =；（2）过点O 作OE AB ⊥，OF CD ⊥，垂足分别为E 、F ，结合（1）的结论证明Rt OPE Rt OPF ≌△△，利用全等三角形的性质得到OPE OPF ∠=∠．【详解】（1）已知：AB CD =，OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ．求证：OE OF =．证明：∵AB CD =，∴AB CD =． ∵OE AB ⊥，OF CD ⊥， ∴12BE AB =，12CF CD =，∴BE CF =．在Rt OBE 和Rt OCF 中，90OEB OFC ∠=∠=°，,.OB OC BE CF =⎧⎨=⎩∴Rt OBE Rt OCF ≌△△（HL ）， ∴OE OF =．（2）证明：过点O 作OE AB ⊥，OF CD ⊥，垂足分别为E 、F ，连接OP ．由（1）可知，当AB CD =时，OE OF =．在Rt OPE 和Rt OPF △中，90OEP OFP ∠=∠=︒，∵OE OFOP OP =⎧⎨=⎩∴Rt OPE Rt OPF ≌△△（HL ）， ∴OPE OPF ∠=∠，即OP 平分APC ∠．【点睛】本题考查圆的弦、弦心距等相关问题，解答时，垂径定理、直角三角形全等的证明等知识点的运用是关键．10．[阅读材料]如图1所示，对于平面内⊙P ，在⊙P 上有弦AB ，取弦AB 的中点M ，我们把弦AB 的中点M 到某点或某直线的距离叫做弦AB 到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO 的长度即为弦AB 到原点O 的“密距”，过点M 作y 轴的垂线交y 轴于点N 线段MN 的长度即为弦AB 到y 轴的“密距”．[类比应用]已知⊙P 的圆心为P （0，4），半径为2，弦AB 的长度为2，弦AB 的中点为M ．（1）当AB//y 轴时，如图2所示，圆心P 到弦AB 的中点M 的距离是____，此时弦AB 到原点O 的“密距”是；（2）①如果弦AB 在⊙P 上运动，在运动过程中，圆心P 到弦AB 的中点M 的距离变化吗?若不变化，请求出PM 的长，若变化，请说明理由．②直接写出弦AB 到原点O 的“密距”d 的取值范围；[拓展应用]如图3所示，已知⊙P 的圆心为P （0，4），半径为2,点A （0，2），点B 为⊙P 上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB 到直线y=-x-3的“密距”的最大值是．（直接写出答案）【答案】【类比应用】（1）3；19；（2）①不变化，PM 长为3；②4343d -≤≤+；【拓展应用】32+1．【分析】[类比应用]：（1）理解“密距”之意义，运用垂径定理相关知识，构造直角三角形，运用勾股定理容易作答．（2）①运用同圆中等弦的的弦心距相等，易得答；②运用两点之间线段最短，易得弦AB 到原点O 的“密距”d 的取值范围．[拓展应用]：先证得弦AB 的中点M 运动轨迹是以(0,3)为圆心，以1为半径的圆，再求出此圆心到直线y=-x-3的“密距”，加1即可得弦AB 到直线y=-x-3的“密距”的最大值．【详解】[类比应用]（1）如下图2连接PA 、PM 、OM 、∵P 为圆心，M 是弦AB （非直径）的中点 ∴PM ⊥AB在RT △PAM 中，由勾股定理得222221()2132PM PA AM PA AB =-=-=-=即圆心P 到弦AB 的中点M 的距离是3； ∵AB ∥y 轴∴PM ⊥y 轴在RT △OMP 中，由勾股定理得 2222(3)419OM PM OP =+=+=∴由“密距”的意义得弦AB 到原点O 的“密距”是19．（2）①不变化连接PM 、PA 、∵点M 是弦AB （非直径）的中点，P 为圆心， ∴PM ⊥AB ，MA=MB=1， ∴PM=223PA PM -=②由图知OP PM OM OP PM -≤≤+ ∴4343d -≤≤+； [拓展应用]：如下图3C 是PA 中点，连接CM 、过C 作CD ⊥EF 于D ∵M 是AB （非直径）中点，P 是⊙P 的圆心 ∴PM ⊥AB 又∵C 是PA 中点 ∴12APCM == 当AB 是⊙P 的直径时，CM=CP=1∴当B点在⊙P上运动是，M的运动轨迹是以C为圆心，以1为半径的圆．易知直线y=-x-3与两坐标轴的交点为E(0,-3)、F(-3,0)∴OE=OF=3，∴EC=AO+OE+AC=2+3+1=6又∵x轴⊥y轴∴∠DEC=45°∴sin6sin4532=∠=︒=CD CE DEC由图易知M到EF的最远距离为CD+CM=32+1所以弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值为32+1．【点睛】此题主要考查垂径定理的相关知识．其关键是读懂题意理解“密距”，在拓展应用中还有一关键是发现弦AB的中点的轨迹是圆．11．问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是．问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．问题解决（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．【答案】（1）12；（2）9；（3）能实现；170（米）．【分析】（1）当AD⊥BC时，△ABC的面积最大．（2）由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）由题意，AC＝100，∠ADC＝60°，即点D在优弧ADC上运动，当点D运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．【详解】（1）如图①中，∵BC＝6，AD＝4，×6×4＝12．∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝12故答案为12．（2）∵矩形的周长为12，∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．（3）如图③中，∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，∴AC2＝AB2+BC2∴∠ABC＝90°，作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，∵∠ADC＝60°，∴点D在优弧ADC上运动，当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠AFC＝30°＝1∠ADC，2∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，∴DF＝DA，∵DF+DC≥CF，∴DA+DC≥D′A+D′C，∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170（米）．【点睛】本题主要是最大值的考查，求最大值，常用方法为：（1）利用平方为非负的性质求解；（2）利用三角形两边之和大于第三边求解，在求解过程中，关键在与将要求解的线段集中到一个三角形中12．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．(1)试探究线段P A，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(2)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【答案】(1)P A+PB=PC；(2)P为AB的中点，四边形最大面积为3【分析】（1）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得结论；（2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为AB的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．（1）解：在PC上截取PD=AP，如图，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD =AP =PD ，∠ADP =60°，则∠ADC =120°．又∵∠APB =∠APC +∠BPC =120°， ∴∠ADC =∠APB ，在△APB 和△ADC 中， APB ADC ABP ACD AP AD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△APB ≌△ADC （AAS ）， ∴BP =CD ，又∵PD =AP ， ∴PC =BP +AP ．（2）当点P 为AB 的中点时，四边形APBC 的面积最大．理由如下，如图，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ．过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ． ∵S △APB =12AB •PE ，S △ABC =12AB •CF ， ∴S 四边形APBC =12AB •（PE +CF ），当点P 为AB 的中点时，PE +CF =PC ，PC 为⊙O 的直径， ∴此时四边形APBC 的面积最大．又∵⊙O 的半径为1，此时60,90,,,2,30,ACB PAC PBC CA CB PA PB PC ACP ∠=︒∠=∠=︒===∠=︒ ∴ABC 为等边三角形， ∴,AB AC BC ==∴2211,2132AP PC AC BC AB ====-== ∴S 四边形APBC =12332⨯⨯=．【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，掌握圆周角定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．如图，△ABC 是圆内接等腰三角形，其中AB=AC ，点P 在BC 上运动（点P 与点A 在弦BC 的两侧），连结PA ，PB ，PC ，设∠BAC=α，PB PCPA+=y ，小明为探究y 随α的变化情况，经历了如下过程（1）若点P 在弧BC 的中点处，α=60°时，y 的值是______．（2）小明探究α变化获得了一部分数据，请你填写表格中空缺的数据．在如图2平面直角坐标系中以表中各组对应值为点的坐标进行描点，并画出函数图象： α … 30° 60° 90° 120° 150° 170° … y ．．0.521.731.931.99…（3）从图象可知，y 随着α的变化情况是______；y 的取值范围是______．【答案】(1)1；(2)图象见解析；(3)y 随α增大而增大，02y <<.【分析】（1）连OB ，OC ，由△ABC 是圆内接等腰三角形及α＝60°可知△ABC 是⊙O 的内接正三角形，由点P 是弧BC 的中点，根据垂径定理的推论得到AP 为⊙O 的直径，易得△OBP 和△OPC 都是等边三角形，于是得到结论；（2）当α＝60°时，由(1)可知y=1；当α＝90°时，使三角形ACP 绕A 点旋转使得AC 与AB 重合；求出P 、B 、P’共线即可得出答案；（3）观察图像可知y 随着α增大而增大，并可看出y 的取值范围. 【详解】解：(1) 解：（1）连OB ，OC ，如图∵△ABC 是圆内接等腰三角形，α＝60°， ∴△ABC 是⊙O 的内接正三角形，∵点P 是弧BC 的中点，△ABC 是⊙O 的内接正三角形， ∴AP 为⊙O 的直径，∴∠BPO=∠ACB ，∠APC=∠ABC ， ∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形， ∴∠ACB=∠ABC=60°， ∴∠BPO=∠APC=60°，∴△OBP 和△OPC 都是等边三角形， ∴PB=PC=OP=OA ， ∴PB+PC=PA ，则1+==PB PCy PA. (2) 当α＝60°时，由(1)可知y=1；当α＝90°时使三角形ACP 绕A 点旋转使得AC 与AB 重合，如图∵∠4=∠5, ∵∠3+∠4=90°， ∴∠3+∠5=90°，又∵∠1+∠2=180°， ∴P 、B 、P’共线，∵△APP’为直角三角形且AP=AP’， ∴PB PC PA +=+PB P'C PA =PP'PA=2 ≈1.41 α... 30° 60° 90° 120° 150° 170° ... y...0.5211.411.731.931.99...(3)由图象可知：y 随α增大而增大，y 的取值范围是：02y <<．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、圆的性质、垂径定理等，正确的作出辅助线是解题的关键．。

专题23 代数式、整式、分式

专题23 代数式、整式、分式A 基础训练1、若8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，则（m+n ）3的平方根为（）A ．4B ．8C ．±4D ．±82、计算（﹣2m ）2•（﹣m •m 2+3m 3）的结果是（）A ．8m 5B ．﹣8m 5C ．8m 6D ．﹣4m 4+12m 53、若m 2+2m ＝1，则4m 2+8m ﹣3的值是（）A ．4B ．3C ．2D ．14、已知43=m ，2342=-n m .若x n =9，则x 的值为（）A.8B.4C. 22D. 25、（泰安市2020年）下列运算正确的是（）A. 32xy xy -=B. 3412x x x ⋅=C. 1025x x x --÷=D.()236x x -=6、如果分式的值为0，那么x 的值为（）A ．﹣1B ．1C ．﹣1或1D ．1或07、222142x x x ÷--的计算结果为（）A. 2x x +B. 22xx + C. 22xx - D.2(2)x x + 8、化简的结果是（）A ．a+bB ．a ﹣bC ．D ．9、分式化简后的结果为（）A ．B ．C ．D ．10、计算．21(1)1aa a a +÷=-- 。

11、要使分式21x x +-有意义，x 需满足的条件是_________.12、计算：（1）（a+1）2+a （2﹣a ）．（2）（x ﹣1）2﹣x （x+7）．（3）13、先化简，再求值：22(2)(2)()2(2)(2)x y x y x x y x y x y +++-+-++，其中21,21x y =+=-．B 提升训练1、若8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，则（m +n ）3的平方根为（）A ．4B ．8C ．±4D ．±82、图（1）是一个长为2a ，宽为2b （a ＞b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是A. B. ()2a b - C.D. 3、下列计算正确的是（） A ．7ab ﹣5a ＝2bB ．（a +）2＝a 2+C ．（﹣3a 2b ）2＝6a 4b 2D ．3a 2b ÷b ＝3a 24、下列运算正确的是（） A. 222()-=- B. 222()x y x y -=- C. 235+= D. 22(3)9a a -=5、已知51x =-，51y =+，那么代数式()32x xy x x y --的值是（） A. 2 B. 5 C. 4 D. 256、若单项式32m x y 与3m n xy +是同类项，则2m n +的值是__________.7、计算：221yx x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____________． 8、已如m +n =-3.则分式n m n m m nm 222---÷+的值是____________。