可降阶方程与幂级数解法(第十六课时)
幂级数解法
幂级数解法《幂级数解法》是数学中常用的一种数值解法，它既可以用来计算数值解，也可以用来求解解析解。
它广泛应用于物理学、工程学、统计学等领域，其原理和方法能够有效解决复杂的数值模拟问题。
本文将从简介、正式定义、求解、应用及优点等方面对幂级数解法进行介绍，以期让读者更加深入的了解这种数值解法。
一、简介幂级数解法是一种用来解决数学问题的解法，它主要是利用了“幂级数”的性质，可以将复杂的问题化简为多项式，再求解。
二、正式定义幂级数解法是一种由多项式组成的数列，它具有自然界现象的性质，在求解数值问题时，可以将它用来表示物理量，并以尽可能高精度的形式求出未知物理量的数值解。
三、求解求解幂级数通常要经过三个步骤：首先，将问题转化为多项式的形式；其次，通过恰当的拆分多项式，可以将问题分解为更容易求解的子问题；最后，利用化简法、分解法和拆分法等算法，逐步求解。
四、应用幂级数解法在计算机科学领域有着广泛的应用，主要用于以下几种情况：1、非线性问题的求解：例如常见的微分方程，在数值解法上通常都采用幂级数解法来求解。
2、离散数学和抽象代数问题的求解：幂级数解法将问题从离散的表达形式转化为多项式的形式，通过对函数的分析、转换和处理，让问题更加容易解决。
3、函数逼近：采用幂级数解法可以进行函数逼近，也是一种精确地数值拟合方法，能够有效减少数据的误差。
五、优点1、计算简单：幂级数解法可以有效的缩小多项式的规模，使计算更加简单，具有高精度的数值计算能力，适合求解复杂的数值模拟问题。
2、易于理解：幂级数解法比较容易理解，步骤简单，过程易懂，很容易用数学公式表达出来，非常合适于实验室等场合使用。
3、可以精确到想要的范围：采用幂级数解法可以将函数表示为一系列多项式，可以进行精确的推导，而不像使用其他数值方法时，往往会受限于计算范围的限制。
综上所述，幂级数解法是一种有效的数值解法，它在物理学、工程学、统计学等领域也有着广泛的应用，它具有计算简单易懂、精确度高等优点，能够帮助我们有效地解决复杂的数值模拟问题。
幂级数解方程(偏微分方程)
k(k 1)ak xk k(k 1)ak xk2 2kak xk
k 2
k 2
k 1
l(l 1)ak xk 0 k 0
将各求和号内k的起点统一化：
k(k 1)ak xk2 2a2 6a3x k(k 1)ak xk2
1
k
k
因此，级数解 pl(x) 和 ql(x) 收敛于|x|<1而发散于 |x|>1；但勒让德方程中的x=cosθ定义于[-1,1]上， 因此还要考虑级数解在x=±1处的收敛性。
高斯判别法：
对于正项级数 uk ， 当 k 1 lim uk 1 u k k 1
时，若前后邻项之比可表示为：
（1） 任选某个点z0，在其邻域上把待求的解 表为系数待定的幂级数；
（2） 将这个幂级数形式解代入方程和定解 条件，求出所有待定幂级数系数。
高阶方程的降阶法和幂级数解法
y c1e
x
( 2)
1 dt t
c1t
x
( 4)
c1t
x
( 3)
c1 2 t c2 2
c1 3 c1 4 c2 2 t c 2 t c3 x t t c3t c4 24 2 6
5 3 2
9
t c2 t c3 t c4 t c5 x c1
7
2014-2-21
常微分方程-重庆科技学院-李可人
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
特别，对于二阶方程
F (t , x, x) 0
x y,
x y
F (t , y, y) 0
y (t, c1 )
x (t , c1 )
2014-2-21 常微分方程-重庆科技学院-李可人
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
2)不显含自变量
t 的方程
(4.59)
可降低一阶
( n) F ( x, x ,, x ) 0
方法
x y d d dy dx dy x ( x) y y dt dt dx dt dx
y xk y an2 x xk y 2 xk
a1
x
(n)
x
( n1)
(n)
xk y
( n1)
y xk y nxk
2014-2-21
( n 1)
n(n 1) (n) ( n2) xk y xk y 16 2
xk
( n2)
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
4.3高阶微分方程的降价和幂级数解法
F (t, x(k) , x(k1) , , x(n) ) 0 (4.57)
解题步骤: 第一步: 令x(k) y,则方程化为
F (t, y, y', , y(nk) ) 0
第二步: 即
求以上方程的通解
y (t, c1, , cnk ) x(k) (t, c1, , cnk )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
练习题：
谢谢观看！ 2020
§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F (t, x, x', , x(n) ) 0
1、 不显含未知函数 x
或更一般不显含未知函数及其直到 k 1 (k 1)
阶导数的方程：
F (t, x(k) , x(k1) , , x(n) ) 0 (4.57)
第三步: 解方程
dx dt
(x, c1,
, cn1)
即得原方程的通解。
例2
求方程x
d2x dt 2
( dx)2 dt
0的通解.
解：令 dx y,并以x作为新的自变量,
dt
则方程化为 xy dy y2 0
从而可得
dx y 0, 及
dy dx
y, x
这两方程的全部解是 y c1x,
再代回原来变量得到
2、 不显含自变量t的方程 一般形式:
F (x, x', , x(n) ) 0,
解题步骤:
(4.59)
第一步: 令y x',并以y为新的未知函数, x为新的 自变量,原方程化为
G(x,
y,
dy dx
,
,
d (n1) y dx(n1)
幂级数ppt
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
15
收敛半径为R 1 ，收敛区间为（1，2）.
2
当x 2时，原级数化为收敛的 交错级数
(1)n
;
x 1时，原级数化为
1 ,发散.
n0 2n 1
n0 2n 1
因此原级数的收敛域为 （1，2 ].
三、幂级数的运算
1、代数运算性质
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
17
（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt
§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法可降阶方程类型(1)不显含x,x ’,…,x (k-1)12(,,,,)n k y t c c c ϕ-=L ()12(,,,,)k n k xt c c c ϕ-=L 12(,,,,)n x t c c c ϕ=L例1 求方程的解解44ddxyt=d1dyyt t-=y ct=44ddxctt=53212345 x c t c t c t c t c=++++5454d1dd dx xtt t-=可降阶方程类型（2）不显含t :11d d ,,,()d d k k y y y k n x x --≤L 11d d ,,,,0d d k k y yG x y x x --⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭L 2222d d d d d ',''',''',d d d d d y y y y y x y x x y x y y t x x x t ⎛⎫=====+ ⎪⎝⎭例2 求解方程解2''(')0xx x +=d ''d yx y x =2d 0d y xy y x +=d 00d yy x y x=+=或cy x ='c x x =212x c t c =+(3)齐次线性方程（3）齐次线性方程''''()()'(1)''(2)'',''''2',(1)2!k k k k k n n n n n k k k k x x y x y x x y x y x y n n x x y nx yx y x y--=+=++-=++++L LL ()(1)11()()'()0n n n n xa t xa t x a t x --++++=L ()'(1)()(1)11[()][()()]0n n n n k kk n k k kx ynx a t x yx a t x a t x y --+++++++=LL (1)(2)121()()'()0n n n n z b t z b t z b t z ----++++=L(续) 齐次线性方程已知k 个特解•事实上，(1)(2)121()()'()0n n n n zb t zb t z b t z ----++++=L ''d k k xz y x x z t x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰或'1,2,,1i i kx z i k x ⎛⎫==-⎪⎝⎭L 1122110k k z z z ααα--+++≡L 112121'''0k k k k k x x x x x x ααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≡⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 112121k k kk k k x x x x x x αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≡- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1122110k k k k x x x x αααα--++++≡L(续) 齐次线性方程已知k 个特解1d k z z u t-=⎰(2)(2)12()()0n n n uc t uc t u ---+++=L 1'1,2,,2i i k z u i k x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭L (1)(2)121()()'()0n n n n z b t z b t z b t z ----++++=L二阶齐次线性方程方程可解1d x x y t=⎰'111d [2()]0d y x x p t x y t++=()d 211p t ty c ex -⎰=()d 112211[d ]p t tx x c c et x -⎰=+⎰()d 1211d p t tx x e tx -⎰=⎰22d d ()()0d d x xp t q t x t t++=例3 已知是方程的解，求方程的通解。
幂级数解法
n =1
由于正交关系（12.2.12），上式右边除 n = m 的一项之外全为零，
ò ò b
a f (x ) ym (x )r(x )dx
=
fm
b a
[
ym
(x
)]2
r
(x
)dx
记
ò N
2 m
=
b a
[
ym
(x
)]2
r
(x
)dx
（12.2.9）
把积分（12.2.15）的平方根 Nm 叫作 ym (x) 的模．于是
dx (1 x2 )[Pl (x)]2
综合可得如下结论：
（12.1.9）
（1）当 l 不是整数时，勒让德方程在区间[-1,1] 上无有界的解．
（2）当 l = n 为整数时，勒让德方程的通解为 y(x) = c1Pn (x) + c2Qn (x) ，其中 Pn (x) 称为第
一类勒让德函数（即勒让德多项式）， Qn (x) 称为第二类勒让德函数.
dx
dx
． (12.2.2)
施图姆－刘维尔型方程（12.2.1）附加以齐次的第一类、第二类或第三类边界条件，或
自然边界条件，就构成施图姆－刘维尔本征值问题．
讨论
(1) a = -1,b = +1； k(x) = 1 - x2 , q(x) = 0, r(x) = 1．
或 a = 0,b = π ，k(q ) = sinq , q(q ) = 0, r (q ) = sinq ．再加上自然边界条件：y(±1)
ò 1
fm
=
N
2 m
b
a f (x ) ym (x )r (x )dx
（12.2.10）
幂级数解法
幂级数解法在数学中，幂级数解法是指将一类复杂的数学问题转化成一系列的简单的计算问题，从而解决复杂问题的数学方法。
它可以通过计算把一个一般性函数表示成一系列的均匀分布参数，从而用最简单、最全面的方法解决复杂问题，它在数学与物理等科学领域有着重要的应用。
幂级数解法是根据数学定义来有效处理复杂问题的方法。
它可以将一个复杂函数分解为一系列简单的函数，每一步都能够获得有效的计算结果。
它一般分为几步：第一步，将函数的定义矩阵按顺序排列，然后将每行参数和每列参数的乘积累加计算，从而得出函数的一阶导数值；第二步，根据一阶导数的变化规律，分别计算出二阶的导数值和三阶的导数值，以此类推；第三步，从每一阶导数中求出函数的幂级数系数，以及它们之间的关系；第四步，根据计算出的系数和关系，将函数表示成一系列的幂级数，从而实现函数的幂级数分解。
幂级数解法不仅可以实现复杂函数的分解，而且可以计算出函数的在某些特定点的取值。
它的优点是可以很完整地分析复杂函数的变化趋势，可以根据系数和关系，对复杂的函数进行完整的分析，用最全面的方法来解决复杂问题。
幂级数解法在数学、统计学、物理学、工程学等学科领域有着广泛的应用。
它可以用来分析函数随时间变化的规律，可以用来计算非常复杂的多项式函数，也可以用来研究特殊的解析数学问题。
例如，在统计学中，幂级数解法可以用来求解偏差方程，从而确定特定数据集的参数估计；在工程学中，幂级数解法可以用来近似计算复杂的几何图形的变化趋势；在物理学中，幂级数解法可以用来解决模拟电路、混沌系统等问题；在地理学中，幂级数解法可以用来表示地形。
总之，幂级数解法是一种通过计算实现复杂问题分解的数学方法，它不仅能帮助我们解决数学问题，而且还能为科学研究带来全新的思路和刺激。
只要加以运用，就可以迅速发现解决各种复杂问题的有效方法，并使我们更加深入地了解各种问题的发展趋势。
高阶微分方程的降阶和幂级数解法
目 录
• 高阶微分方程的降阶 • 幂级数解法 • 高阶微分方程的特解 • 高阶微分方程的通解
01
CATALOGUE
高阶微分方程的降阶
降阶方法一：变量代换法
总结词
通过引入新的变量来简化微分方程的形式，从而降低其阶数。
详细描述
这种方法通常用于将高阶微分方程转化为更容易处理的低阶微分方程或常微分方程。通过选择适当的变量代换， 可以将高阶微分方程转化为较低阶数的形式，从而简化求解过程。
降阶方法二：常数变易法
总结词
通过将微分方程中的常数项视为未知函数，从而减少微分方程的阶数。
详细描述
常数变易法是一种常用的降阶方法，适用于某些特定类型的高阶微分方程。通过将常数项视为未知函 数，并将其代入原方程，可以将其转化为较低阶数的微分方程，从而简化求解过程。
降阶方法三：线性组合法
总结词
通过对方程进行线性组合，将其转化为 较低阶数的微分方程。
验证解的正确性
通过将求得的解代入原微分方程进行验证，确保解的 正确性和有效性。
幂级数解法的应用实例
二阶常系数线性齐次微分 方程
对于形如y''+py'+qy=0的二阶常系数线性 齐次微分方程，可以通过幂级数解法求解其 通解。
非齐次项为多项式的高阶微 分方程
对于非齐次项为多项式的高阶微分方程，可以通过 将多项式转化为幂级数的形式，再利用比较系数法 求解。
VS
详细描述
线性组合法是一种常用的降阶方法，适用 于某些特定类型的高阶微分方程。通过对 方程进行线性组合，可以将其转化为较低 阶数的微分方程，从而简化求解过程。这 种方法通常需要对原方程进行适当的变形 和整理，以便进行线性组合。
《可降阶微分方程》课件
非线性微分方程在自然现象和社会现象中广泛存在，如生态学、化学反应 、经济学和气象学等。
微分方程的解与通解
微分方程的解是指满足方程的函数表达式。对于线性微分方程，解的形式通常是多项式函数、三角函 数和指数函数等。
通解是指满足微分方程的任意常数都可以代入得到的解，也称为一般解或全解。对于非线性微分方程， 通解通常很难找到，需要通过数值计算等方法求解。
01
线性微分方程是指方程中未知函数及其导数的项都 是一次的，没有高次项、指数项和幂次项。
02
线性微分方程的解法通常包括分离变量法、变量代 换法、常数变易法和特征根法等。
03
线性微分方程在物理、工程和经济等领域有广泛的 应用，如电路分析、控制系统和人口动态等。
非线性微分方程
非线性微分方程是指方程中含有未知函数的非线性项，如高次项、指数项 和幂次项等。
连续时间投资组合优化
描述投资者在连续时间内调整投资组合的微分方程，以实现最优 收益和风险控制。通过求解该方程，可以得到最优的投资策略。
供需关系模型
描述市场供需关系的微分方程，如商品价格和需求量的变化。 通过求解该方程，可以预测市场价格的走势和供需平衡状态。
生物问题中的应用
要点一
种群动态模型
描述生物种群数量变化的微分方程，如种群的增长率、出 生率和死亡率等。通过求解该方程，可以预测种群数量的 变化趋势和生态平衡状态。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的解法来求解微分方程，并考虑初始条件和边界条件等因素 。
03
可降阶微分方程的求解方法
变量分离法
总结词
通过将方程转化为易于求解的形式，简化求解过程。
高等数学第六版可降阶高阶微分方程课件(1)
即为:
本节讨论三种可降阶的二阶方程的解法.
方程两边再积分一次得:
对于n阶方程
例1.
解:
型的微分方程
为降阶, 设
原方程化为一阶方程
设其通解为
则得
再一次积分, 得原方程的通解
二、
此方程的特点是方程右端不显含未知函数 y .
例2. 求解
解:
代入方程得
可降阶高阶微分方程(10)
第五节
一、
二、
三、
第十二章
型的微分方程
型的微分方程
型的微分方程
一、
此方程的特点是方程右端仅含自变量x.
方程两边积分一次得:
通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的方程的通解 .
分离变量
积分得
利用
于是有
两端再积分得
利用
因此所求特解为
三、
型的微分方程
为降阶, 令
故方程化为
设其通解为
即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
此方程的特点是方程右端不显含自变量 x .
例3. 求解
代入方程得
两端积分得
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
解:
设
例4. 解初值问题
解: 令
代入方程得
积分得
利用初始条件,
根据
积分得
故所求特解为
得
内容小结
可降阶微分方程的解法
—— 降阶法
逐次积分降阶法
令
令
则
变量代换降阶法
思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
一般说, 用前者方便些.
幂级数解法
幂级数解法幂级数解法是求解微分方程的一种技术，它可用于求解普通微分方程的无穷多解，也可用于求解常微分方程的特解，以及线性微分方程的非独立解。
因此，在研究微分方程的求解过程中，对“幂级数解法”的研究具有重要的实际意义。
一、幂级数的概念幂级数是由不同幂次的可积函数的和所组成的级数，可以表示为： $$sum_{k=0}^{infty}a_{k}x^{k}$$其中，$a_{k}$叫做幂级数的系数，$x$叫做幂级数的变量，$k$叫做幂级数的项次，$infty$叫做幂级数的项数。
幂级数不仅可用于数学上的应用，也可用于物理学上的应用，像振动波、涡旋波、周期性复原函数等物理概念都可以用幂级数来表示。
二、幂级数解法的内容1.入一类特殊的线性微分方程：$$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+cdots+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$式中，$y^{(n)}$表示微分方程的最高次导数，$p_{n-1}(x)$，$cdots$，$p_{1}(x)$，$p_{0}(x)$表示微分方程的n-1次，$cdots$，1次，0次项的系数函数，$Q(x)$表示微分方程右端项的函数。
2.先检查保守性，判断微分方程是否具有定常解。
微分方程具有定常解的充要条件是$p_{n-1}(x)=p_{n-2}(x)=cdots=p_{2}(x)=0$，此时微分方程可以化简为：$$y^{(n)}+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$无论$p_{1}(x)$、$p_{0}(x)$是否全等于0，都可以说明它具有定常解。
3.后利用相关定理，在特定条件下构造一个“幂级数解”，其形式为：$$y=sum_{k=0}^{infty}c_{k}x^k$$其中$c_{k}$是待求的系数，由解法的特殊条件所确定。
4.所得“幂级数解”代入微分方程，并根据其定义，求出$c_{0}$，$c_{1}$，$c_{2}$，$cdots$，$c_{n-1}$的值，即求出微分方程的解的系数。
高阶微分方程的降阶和幂级数解法课件
示例问题
考虑一个具有特定边界条件的高 阶微分方程。
操作步骤
按照降阶方法的步骤，将高阶微 分方程逐步转化为低阶方程。
结果和评估
通过降阶方法得到的解是否满足 原始微分方程和边界条件。
幂级数解法的示例和具体操作步骤
通过实际示例和具体操作步骤，我们将演示如何使用幂级数解法求解复杂的高阶微分方程。通过这些示例，你 将掌握幂级数解法的应用技巧。
Hale Waihona Puke 步骤幂级数解法的基本步骤包括 确定幂级数的形式、求解级 数展开系数、验证解的收敛 性。
优劣评价
幂级数解法在某些情况下可 以得到精确解，但对于某些 特定问题可能需要考虑级数 截断误差。
降阶方法的示例和具体操作步骤
通过一些具体的示例和操作步骤，我们将展示降阶方法在实际问题中的应用。这些示例将帮助你了解如何正确 使用降阶方法解决复杂的高阶微分方程。
1
原理
通过引入新的变量和代换，将高阶微分方程转化为一系列低阶方程。
2
应用
降阶方法可用于解决各种工程和科学领域中的复杂微分方程问题。
高阶微分方程的幂级数解法
幂级数解法是一种通过幂级数展开法求解高阶微分方程的技术。通过将未知函数表示为幂级数的形式，将微分 方程转化为求解级数展开系数的问题。
基本概念
幂级数是一种无穷级数的形 式，由常数项和幂次递增的 项组成。
高阶微分方程的降阶和幂 级数解法课件
本课件介绍了高阶微分方程的降阶方法和幂级数解法。将详细探讨降阶方法 的原理和应用，以及幂级数解法的基本概念和步骤。
高阶微分方程的降阶方法
降阶方法是一种将高阶微分方程转化为低阶微分方程的技术。它的原理是通过引入新的变量和适 当的代换，将高阶微分方程简化为一系列较低阶的微分方程。
riccati方程及其幂级数解法
riccati方程及其幂级数解法拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程是一类常微分方程，其表达形式为：$$y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x)$$其中，a(x), b(x), c(x)为连续函数，y'表示对y的导数。
拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程在物理、化学和数学等领域有着重要的应用，其解可以用幂级数的方法求解。
幂级数的定义是：若存在一系列常数$a_0$,$a_1$,$a_2$,...,$a_n$，则有：$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$这可以看作一种特殊的函数，称为幂级数。
设$y=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n$，将$y$代入Riccati方程，可以得到：$$\sum_{n=0}^\inftyb_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$$$\sum_{n=1}^\inftynb_nx^{n-1}=a_0x+2a_1x^2+3a_2x^3+...+na_nx^n$$将上面两式相减，得：$$\sum_{n=1}^\infty (nb_n-a_n)x^{n-1}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+(n-1)a_{n-1}x^{n-1}$$令$nb_n-a_n=0$，从而得到：$$b_n=\frac{a_n}{n}$$由此得到：$$y=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n}x^n$$这样，就可以通过幂级数方法求解Riccati方程。
拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程在物理、化学和数学等领域有着重要的应用，它的解可以用幂级数的方法求解，具体的求解过程为：首先将$y$代入Riccati方程，然后将两式相减，令$nb_n-a_n=0$，得到$b_n=\frac{a_n}{n}$，最后得到：$y=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n}x^n$，这样就可以求出Riccati方程的解。
可降阶的高阶微分方程-高阶线性微分方程及其通解结构省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
解
设y
P( y), 则y
P
d d
p y
,
将y,
y代入原方程得：
2 yP
d d
p y
1
P 2，分离变量得
2p 1 p2
dp
1 y
dy,
两端积分,得 ln(1 p2 ) ln y ln C, 即1 p2 Cy,
y 1, y 1,
x0
x0
p 1, y1
则得 C 2.
于是有1 p2 2 y, p 2 y 1.
解法：作变量代换u y , 即 y xu, 则 d y u x d u .
x
dx
dx
其它变量代换: dy ( x y),令u x y
dx
2
4. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 dy P( x) y 0 dx
（2）通解公式 y Ce P( x)dx
5. 一阶线性非齐次微分方程
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
8
例4 求微分方程yy y2 0的通解.
解 设y P( y),则y P d p ,将y, y代入原方程得：yP d p P2 0，
dy
dy
在y
0、p
0时,
约去p并分离变量再积分得： dPp
d y， y
即ln
p ln
y ln C1，
15
阐明: y P( x) y Q( x) y 0
(1)
1. 若y1( x)、y2( x)是y P( x) y Q( x) y 0 的解
则由定理1知y y1( x) y2( x)、y 2 y1( x)、y 2iy1( x)是方程(1)的解.
幂级数解法
线性微分方程的幂级数解法常系数齐次线性微分方程可以用代数的方法进行求解，然而，对于变系数线性微分方程来说，由于方程的系数是自变量的函数，就不能用代数的方法求解。
微积分学的知识告诉我们，在满足某一些条件下，可以用幂级数表示一个函数，由此自然想到能否用幂级数表示微分方程的解呢？本章以二阶方程为例，讨论线性微分方程的幂级数解法。
考虑变系数线性微分方程 (5.1)0)()()(22=++y x c dxdy x b dxy d x a 其中)(),(),(x c x b x a 均为x 的解析函数。
如果系数函数)(),(),(x c x b x a 中含有公因子)(0x x -，那么可把其削去，考虑原方程的同解方程即可。
因此，不妨假设系数函数没有公因子)(0x x -。
下面分两种情况考虑方程)1.5(的初值问题解的存在唯一性。
)1( 0)(0≠x a ，则由)(x a 的解析性，在0x x =的某一邻域内0)(≠x a 。
此时，可把方程)1.5(改写成如下形式(5.2)0)()(22=++y x q dxdy x p dxy d 其中)()()( ,)()()(x a x c x q x a x b x p ==在0x x =的某一邻域内是解析函数。
考虑方程)2.5(的初值条件）（是给定的常数）其中3.5 ,()( ,)(2120'10y y y x y y x y ==则初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。
此时，称0x x =为方程)1.5(的一个常点。
)2( 0)(0=x a ，由于)(),(),(x c x b x a 中不含有公因子)(0x x -，则)(0x b 和)(0x c 中至少有一个不等于零。
因此，在|)(|0x p 和|)(|0x q 中至少有一个为∞+。
此时，无法确定初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。
在这一种情况下称0x x =为方程)1.5(的一个奇点。
4-25 -高阶方程的降阶法、幂级数解法
4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法(Power series solution to second order linear ODE )[教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程.[教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response ）； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.[教学方法] 预习1、2；讲授1、2 [考核目标]1. 知道共振现象.2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质.3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.1. 高阶方程降阶法例68. 数学摆方程及其求解 解：（1）模型描述：一根长度为l 的线一端是质量为m 的质点，另一端系于固定点O ，质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。
取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角ϕ的正方向，质点运动加速度为22dt d ml ϕ，所受的力为ϕsin mg -. 于是单摆方程为ϕϕsin 22l gdt d -=. 下面考察如下柯西问题：ϕϕsin 22lgdt d -=，0)0(',)0(0==ϕϕϕ.（2）令dt d v ϕ=，下面导出ϕd dv，由ϕϕd dt dt dv d dv ⋅=知，dt d d dv dt dv dt d ϕϕϕ⋅==22. 于是原方程化为ϕϕsin lgv d dv -=，这是一个一阶可分离变量型方程。
解得C l gv +=ϕcos 212，再由初始条件0)0(',)0(0==ϕϕϕ得到 )cos (cos 20ϕϕ-±=lgv ，其中±号由摆运动位置确定. （3）将v 返回原变量得到)cos (cos 20ϕϕϕ-±=lgdt d ，这也是一个一阶可分离变量型方程。
先考察摆从最大正角0ϕ到0ϕ-之间运动情形：)cos (cos 20ϕϕϕ--=lgdt d l g t dt l g d t 22cos cos 000-=-=-⎰⎰ϕϕϕϕϕ，特别地令⎰---=0000cos cos 2ϕϕϕϕϕd g l T ，则0T 表示摆从最大正角0ϕ到0ϕ-之间运动所需时间. 在考察摆从0ϕ-运动到最大正角0ϕ之间运动情形：)cos (cos 20ϕϕϕ-=lgdt d l g T t dt l g d t T 2)(2cos cos 00-==-⎰⎰-ϕϕϕϕϕ，容易得到， ⎰--==-00000cos cos 2ϕϕϕϕϕd g l T T t ，因此单摆完成一个周期所需时间为02T .注解：(1)⎰--ϕϕϕϕϕcos cos d 称为椭圆积分函数，其反函数)(t ϕ称为椭圆函数.(2) 当初始偏角0ϕ很小时，（近似公式推导如下）⎰⎰-=-=000220002sin 22sin 224cos cos 242ϕϕϕϕϕϕϕϕd g l d g l T ⎰⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=02002sin 2sin 12sin2ϕϕϕϕϕd g l ，令)2/sin()2/sin(0ϕϕ=s ，则) )2/(arcsin(sin 20s ϕϕ=，于是当0ϕ很小时，ds s ds d 2)2/(sin 12202≈-=ϕϕ，得到g lsds g l T π21421020=-≈⎰. 作业58. 求解方程(1) 0)dt dx ()dt dx (dt x d x 3222=+-; (2) 0)dtdx (x 12dt x d 222=-+.2. 二阶线性方程的幂级数解法（1）幂级数收敛：+∞<<∞-=∑+∞=x ,e n!x x0n n ；+∞<<∞-=∑+∞=x x,cos (2n)!x (-1)0n 2n n .Geometric series:1x 1 ,x11x 0n n <<--=∑+∞=; Binomial series:a 320n n n a x)(1x 3!2)1)(a a(a x 2!1)a(a ax 1x C +=+--+-++=∑+∞= . （2）幂级数一些性质：(a) 幂级数相等(Identity Principle)：I x ,x b x an n n 0n nn∈=∑∑+∞=+∞=当且仅当 0,1,2,n ,b a n n ==.(b) 幂级数收敛半径(Radius of Convergence)：给定幂级数∑+∞=0n nn xc ，如果),0(lim1+∞∈=+∞→ρnn n c c ，则幂级数收敛区间为)1,1(ρρ-，端点处敛散性单独考虑.(c) 幂级数求导法则：如果∑+∞==n nn xc f(x)在开区间I 上收敛，则f(x )在I 上可导且导数为I x ,x nc (x)' f 1n 1n n ∈=∑+∞=-.(d) 幂级数指标调换（Shift of Index of summation ）：例如∑∑+∞=++∞=-+=0n n 1n 1n 1n nx 1)c (n xnc .例69. 用幂级数方法求解方程02y dxdy3)(x =+-. 解：令,x c 1)(n 'y ,xc y 0n n 1n 0n nn ∑∑∞=+∞=+==代入方程比较系数得到0x c 2x 1)c (n 3x1)c(n 0n n n 0n n1n 0n 1n 1n =++-+∑∑∑∞=∞=+∞=++，调整指标得到0x c 2x 1)c (n 3xnc 0n n n 0n n1n 1n nn=++-∑∑∑∞=∞=+∞=，于是，0)x 2c 1)c 3(n -(nc 2c 3c 1n n n 1n n 01=++++-∑∞=+，解得,c 1)3(n 2n c ,c 32c n 1n 01++==+ 得到， 1,2,n ,c 31n c 0n n =+=由31c c lim n 1n n =+∞→知， 原方程的幂级数解()∑∞=+=0n nnx 31n c x y ，收敛区间为3) 3,(I -=. 作业59. 运用幂级数方法求解方程0x dtxd 22=+.。
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y2 y1
1 P ( x ) dx e dx , 2 y1
刘维尔公式
齐次方程通解为
y y1 (C1 C2
1 P ( x )dx e dx ). 2 y1
(6)
sin t 2 例3 已知 x 是方程 x x x 0 的解, t t 试求方程的通解.
(1) 形如 F (t , x( k ) , x( k 1) ,
, x( n) ) 0 的方程
若令 x( k ) y, 则方程降为关于 y 的n k阶方程
F (t , y, y,
, y ( n )的通解
y (t , c1 , c2 ,
2 解 这里 p( t ) ,由公式(7)可得 t
sin t t2 1 x (c1 c2 2 dt ) 2 t sin t t sin t (c1 c2 cot t ) t 1 (c1 sin t c2 cos t ). t
4.3.2、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P ( x ) y Q( x ) y 0中的系数
y P ( x ) y Q( x ) y 0
设y1是方程(5)的一个非零特解，
(5)
令 y2 u( x ) y1
代入(5)式, 得
P ( x ) y1 )u ( y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 )u 0, y1 u (2 y1 P ( x ) y1 )u 0, 即 y1 u (2 y1
2 n1
(a0 , a1是任意常数)
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
练 习 题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y xy x 1 ； 2、 xy ( x m ) y my 0 .( m 为自然数 ) 二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解: 1 2 3 1、 y y x , y x 0 ； 2 d2x dx 0. 2、 2 x cos t 0 , x t 0 a , dt t 0 dt
练习题答案
1 3 x 一、1、 y Ce [1 x 1 3 x 2 n 1 ] ； 1 3 5 ( 2n 1) k m x x 2、 y C1e C 2 . k 0 k! 1 1 1 2 1 3 9 4 x ； 二、1、 y x x x 2 4 8 16 32 1 2 2 4 9 55 8 2、 x a (1 t t t . 2! 4! 6! 8!
x2 2
作业 : P183 1(4),(6); 2(2); 6.
令v u,
P ( x ) y1 )v 0, 则有 y1v (2 y1
P ( x ) y1 )v 0 y1v (2 y1
v 的一阶方程
降阶法
1 P ( x ) dx P ( x ) dx 1 解得 v 2 e , u 2e dx y1 y1
P ( x ) 与Q ( x ) 可在 R x R 内展为 x 的幂级数,
那么在 R x R 内原方程必有形如
y an x n
n 0
的解.
作法
设解为 y an x n ,
n 0
将 P( x ), Q( x )展开为 x 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y. 例2 求方程 y xy y 0的解.
设 x1 , x2 ,
n n 1
an ( t ) x 0
(4)
, xk 是方程(4)的k个线性无关解, 若令
x xk y 则方程可降低 1 阶,做类似的变换,可将方 程(4)降低k阶.
特别地, 对一个二阶微分方程, 只要知道其一个 特解, 就可将其化成一个一阶微分方程,
考虑二阶微分方程
解 设方程的解为 y an x n ,
则 y nan x n1 ,
n 0
n 0
y n( n 1)a n x
n1
n 2
( n 2)(n 1)an 2 x n ,
n 0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
$4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法
4.3.1 可降阶的一些方程类型 (1)方程不显含x, 或更一般地,方程不显含 x , x , ,x
(k ) ( k 1 )
. 即 , ,x )0
( n)
F (t , x , x
( k 1)
(1)
(2) 不显含自变量 t 的方程. (3)知道k个线性无关特解的齐次线性微分方程.
n 0
( n 2)(n 1)an 2 x x na n x
n
n 0
n 0
n 1
an x n 0,
n 0
n [( n 2 )( n 1 ) a ( n 1 ) a ] x 0, n 2 n
a n 2
an , n 2
n 0,1,2,
a0 a0 a 2 , a4 , 8 2 a1 a1 a3 , a5 , 3 15
原方程的通解
2n
a0 a2 k , k k! 2 a1 a 2 k 1 , ( 2k 1)!!
k 1,2,3,
x x y a0 n a1 n 0 2 n! n 0 ( 2n 1)!!
即
, cnk ),
, cnk ),
x
(k )
(t , c1 , c2 ,
再经k次积分便得方程(1)的通解为:
x (t , c1 , c2 ,
, cn )
d5x 1 d4x 例1 求方程 5 0 的解. 4 dt t dt
(2) 不显含自变量 t 的方程
F ( x, x, ,x )0
( n)
(3)
只要令 x y, 并把 x 看成是新的自变量,则方程 (3)可降低一阶. x y(?)
dy G( x, y, , dx
d y , n 1 ) 0 dx
n 1
例2 求解方程 xx ( x) 0
2
(3) 齐次线性微分方程
d x d x a1 ( t ) n1 n dt dt