精选2019届高三数学上学期入学考试试题理普通班

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精选2019届高三数学上学期入学考试试题理实验班

定远育才学校2018-2019学年第一学期入学考试高三实验班（理科）数学（满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。

）1.已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题若sin 3x =，则2cos2sin x x =，则下列命题为真命题的上（）A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝ 2.已知，均为正实数，则“3log 0ab <”是“1b a<”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.曲线()y f x =在点()00,x y 处切线为21y x =+，则()()0002lim x f x f x x x∆→--∆∆ 等于( )A. B. C. 4 D. 2 4.已知集合，，若，则实数的取值范围是（） A.B.C.D.5.若集合{|14}M x x =-≤＜，2{|70}N x x =-＜，则M N ⋂等于（）A. {|1x x -＜B. {|17}x x -＜＜C. {|04}x x ≤＜D. {|04}x x ≤<6.已知函数()f x x =+0a >）的最小值为2，则实数（）A. 2B. 4C. 8D. 167.函数f （x ）是周期为π的偶函数，且当时，，则的值是（） A.﹣4B.﹣2C.0D.2 8.设函数()1,0{2,0xx x f x x +≤=>，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的的取值范围是A. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B. (),0-∞ C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.如图，点为坐标原点，点()1,1A ，若函数x y a =（0a >，且1a ≠）及log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段分别交于点，，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足（）．A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a >>D. 1a b >>10.定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),4f x f x f x f x x -=-=+∈，且当()1,0-时，()125x f x =+，则()2log 20f = ( )A. 1B. 45C.D. 45-11.函数sin y x x =⋅在[],ππ-的图像大致为（）A. B.C.D.12.若()()21ln 22f x x a x =-++在()1,-+∞上是减函数，则的取值范围是( ) A. [)1,-+∞ B. ()1,-+∞ C. (],1-∞- D. ()1,1-第II 卷（非选择题 90分）二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。

2019届湖北省部分重点中学高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版)

2019届湖北省部分重点中学高三上学期开学考试数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题1．已知集合，,则=( )A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：求出集合，即可得到.详解：，选A.点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题.2．已知复数满足，则（）A．B．C．D．【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B3．设等差数列的前项和为.若，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】又.可得，则故选D.4．已知命题：，，那么命题为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】【分析】含有量词的命题的否定形式，量词换为相反，然后否定结论即可。

【详解】根据含有量词的命题的否定形式，则为，所以选C【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定，属于基础题。

A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.详解：由题得所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6．执行程序框图，假如输入两个数是、，那么输出的=( )A．B．C．4 D．【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，的值，用裂项法即可得解．详解：模拟执行程序框图，可得是、，，满足条件，满足条件满足条件不满足条件，退出循环，输出的值为4．故选C ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基础题． 7．有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览的不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，即可求解概率.详解：由题意，4为游客到甲乙丙三个不同的景点游览，共有中不同的方法，其中每个景点都有人去游览共有中不同的方法，所以所求概率为，故选D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．8．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的图象与性质求出和，写出函数的解析式，再求的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，，，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象，图象关于轴对称，，即，又，，令，解得，，得的图象关于点对称，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9．已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据表达式的几何意义，画不等式表示的可行域，在可行域内找到最优解，然后代入点坐标求得参数m的值。

2019届高三上学期入学考试数学(理)试题 (2)

第Ι卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}21,2,3,|30,,A B x x x a a A ==-+=∈，若AB =∅，则a 的值为A. 1B. 2C.3D.1或2 2. 已知复数z 满足zi=2i+x （x∈R），若z 的虚部为2，则|z|=A ．2B ．2C ．D ．3.等差数列{}n a 的公差为2，若2a ,4a ,8a 成等比数列，则{}n a 的前8项和8S = A.72B.56C.36D. 164.若函数⎩⎨⎧-=-x ＞＞g(x),＜0,22)(x x f x 为奇函数，则=)2((g fA.-2B.2C.-1D.15.某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是A.24B.32C.48D. 846. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是A ．B ．C ．D ．7.已知函数()y f x ＝与xy e ＝互为反函数，函数()y g x ＝的图象与()y f x ＝的图象关于x 轴对称，若()1g a ＝，则实数a 的值为 A ．e - B ．1e -C ．1eD ．e 8.已知命题x e x p xln )21(,:>>∃;命题22log 2log ,1,1:≥+>>∀a b b a q b a ,则下列命题中为真命题的是A. q p ∧B. q p ∧⌝)(C. )(q p ⌝∧D. )(q p ⌝∨ 9.已知函数)1(+=x f y 的图象关于直线1-=x 对称，且当0≤x 时，)1ln()(3x x x f -+-=,设)10(log ),8(log ),6(log 543f c f b f a ===,则a, b, c 的大小关系是A. a>b>cB. c>b>aC. b>c>aD. b>a>c10.如右图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,则过D M C ,,三点的抛物线与CD 围成阴影部分的面积是A.32 B. 34C.2D. 3811、过抛物线()=>220y px p 焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，以为直径的圆的方程为()()-+-=223216x y ，则=pA ．1B ．2C ．3D ．412.已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与椭圆C 相交于点A ，B ，2l 与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述不正确的是 A ．存在直线1l ，2l 使得||||AB CD +值为7 B ．存在直线1l ，2l 使得||||AB CD +值为487C ．四边形ABCD 的面积存在最大值，且最大值为6 D ．四边形ABCD 的面积存在最小值，且最小值为57649第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13.执行如图所示的程序框图，若输入5,6p q ==，则输出a 的值为.14．在5(1)(2)x x ++的展开式中，3x 的系数为_________（用数字作答）．15.已知点M （a,b ）由004x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内运动，则动点N （a+b,a-b ）所在平面区域的面积为______________.16.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A .以F 为圆心，FA为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，APQ ∆的一个内角为60，则C 的离心率为．三、解答题:（本题包括6小题，共70分。

2019-2020年高三上学期入学考试数学(理)试题含答案

2019-2020年高三上学期入学考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（）A ．20B ．25C ．50D ．不存在4．设，则“ ”是“ ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若，满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则的最大值为（）A ．0B ．1C ．D ．26．已知函数，则函数的图象的一条对称轴是（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点（2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A. -=1B. -=1C. -=1D. -8．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A. 2 B .4 C.8 D. 169．已知点，若函数的图象上存在两点B 、C 到点A 的距离相等，则称该函数为“点距函数”，给定下列三个函数：①；②；③．其中，“点距函数”的个数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 310．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若则实数的取值范围是A B C D 11．在△中，=2,=3 , ·=1，则= ( )A. B. C. D.12．已知定义在上的函数满足=2，当时，．设在上的最大值为（），且{}的前项和为，则=（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．在的展开式中，含项的系数为 14．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是．________15．已知P 为△ABC 所在的平面内一点，满足，△ABC 的面积为xx ，则ABP 的面积为．16．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分14分）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（Ⅰ）求最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.18．（本小题满分14分）已知是递增的等差数列，，是方程的根。

2019届四川省成都高三上学期入学数学试卷(理科)Word版含解析

2019届四川省成都高三上学期入学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U=R ，若集合A={x ∈N||x ﹣2|＜3}，B={x|y=lg （9﹣x 2）}，则A ∩∁R B （） A ．{x|﹣1＜x ＜3} B ．{x|3≤x ＜5} C ．{0，1，2} D ．{3，4}2．已知复数z=x+yi （x ，y ∈R ），且有=1+yi ，是z 的共轭复数，则的虚部为（）A ．B ． iC ．D ．i3．已知x ，y画散点图分析可知，y 与x 线性相关，且回归直线方程=x+1，则实数m 的值为（）A ．1.426B ．1.514C ．1.675D ．1.7324．已知函数f （x ）的部分图象如图所示．向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计f （x ）dx 的值约为（）A ．B ．C ．D ．5．已知点P （3，3），Q （3，﹣3），O 为坐标原点，动点M （x ，y ）满足，则点M 所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为（）A ．B ．C ．D ．6．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=AD=，若∠A 1AD=∠A 1AB=45°，∠BAD=60°，则点A 1到平面ABCD 的距离为（）A ．1B ．C ．D ．7．在△ABC 中，若4（sin 2A+sin 2B ﹣sin 2C ）=3sinA •sinB ，则sin 2的值为（）A ．B ．C ．D ．8．若直线xcos θ+ysin θ﹣1=0与圆（x ﹣cos θ）2+（y ﹣1）2=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（）A ．B ．C ．D ．9．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ﹣2）=﹣f （x ），且在区间[0，1]上是增函数，又函数f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若方程f （x ）=m 在区间[﹣4，4]上有4个不同的根，则这些根之和为（） A ．﹣3 B ．±3 C ．4 D ．±4 10．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R ），λ•μ=，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）=，g （x ）=，则函数h （x ）=g （f （x ））﹣1的零点个数为（）个．A ．7B ．8C ．9D ．1012．若对任意的x 1∈[e ﹣1，e]，总存在唯一的x 2∈[﹣1，1]，使得lnx 1﹣x 1+1+a=x 22e x2成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[，e+1]B ．（e+﹣2，e]C ．[e ﹣2，）D ．（，2e ﹣2]二、填空题13．已知P 1（x 1，x 2），P 2（x 2，y 2）是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2=θ（θ为钝角）．若sin（）=，则的x1x 2+y 1y 2值为．14．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x i （i=1，2，3，4）（单位：立方米）．根据如图所示的程序框图，若知x 1，x 2，x 3，x 4分别为1，1.5，1.5，3，则输出的结果S 为．15．已知a ＜b ，二次不等式ax 2+bx+c ≥0对任意实数x 恒成立，则M=的最小值为．16．设x ∈R ，定义[x]表示不超过x 的最大整数，如[]=0，[﹣3.1415926]=﹣4等，则称y=[x]为高斯函数，又称取整函数．现令{x}=x ﹣[x]，设函数f （x ）=sin 2[x]+sin 2{x}﹣1（0≤x ≤100）的零点个数为m ，函数g （x ）=[x]•{x}﹣﹣1（0≤x ≤100）的零点个数为n ，则m+n 的和为．三、解答题17．设函数f （x ）=x 2+mx ﹣，已知不论α，β为何实数时，恒有f （sin α）≤0且f （2+cos β）≥0，对于正项数列{a n }，其前n 项和S n =f （a n ）（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若=，n ∈N +，且数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与的大小并证明之．18．2016年7月23日至24日，本年度第三次二十国集团（G20）财长和央行行长会议在四川省省会成都举行，业内调查机构i Research （艾瑞咨询）在成都市对[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次“消费”生活习惯是否符合理财观念的调查，若消费习惯符合理财观念的称为“经纪人”，否则则称为“非经纪（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n ，a ，p 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计众数、中位数和平均数（结果保留三位有效数字）；（Ⅲ）从年龄在[40，55]的三组“经纪人”中采用分层抽样法抽取7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，则有多少种不同的站法？请用数字作答．19．如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD=AD=2EC=2．（1）请在方框内画出该几何体的正（主）视图和侧（左）视图；（2）求证：BE ∥平面PDA ．（3）求二面角A ﹣PB ﹣E 的余弦值．20．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，左、右焦点分别是P和Q ，以P 为圆心，以3为半径的圆与以Q 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 1上．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设椭圆C 2：+=1的左、右焦点分别为F 1和F 2，若动直线l ：y=kx+m （k ，m ∈R ）与椭圆C 2有且仅有一个公共点，且F 1M ⊥l 于M ，F 2N ⊥l 于N ，设S 为四边形F 1MNF 2的面积，请求出S 的最大值，并说明此时直线l 的位置；若S 无最大值，请说明理由．21．设函数f （x ）=e x ﹣ax+a （a ∈R ），设函数零点分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，设f ′（x ）是f （x ）的导函数．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求证：f ′（）＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的参数方程为（t 为参数）（p ＞0），直线l 经过曲线C 外一点A （﹣2，﹣4）且倾斜角为．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 分别交于M 1，M 2，若|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，求p 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．若函数f （x ）=x 2﹣x+c ，满足|x ﹣a|＜1．（Ⅰ）若x ∈（﹣1，1），不等式|x ﹣a|＜1恒成立，求实数a 的取值范围构成的集合；（Ⅱ）求证：|f （x ）﹣f （a ）|＜2|a|+2．2019届四川省成都高三上学期入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U=R，若集合A={x∈N||x﹣2|＜3}，B={x|y=lg（9﹣x2）}，则A∩∁RB（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|3≤x＜5} C．{0，1，2} D．{3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】确定集合A，B，求出∁R B，再根据集合的基本运算即可求A∩∁RB【解答】解：由题意：全集U=R，集合A={x∈N||x﹣2|＜3}={0，1，2，3，4}，B={x|y=lg（9﹣x2）}={x|﹣3＜x＜3}，则∁RB={x|x≥3或x≤﹣3}，那么：A∩∁RB={3，4}故选D2．已知复数z=x+yi（x，y∈R），且有=1+yi，是z的共轭复数，则的虚部为（）A．B． i C．D． i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求出实数x、y的值，得到复数z，求出，再由复数求模公式得到|z|，代入，然后运用复数的除法运算化简即可得答案．【解答】解：∵复数z=x+yi（x、y∈R），且有=1+yi，∴．∴x+xi=2+2yi∴x=2y=2．解得：y=1，x=2．则z=2+i，|z|=|2+i|=，．∴==．则的虚部为：．故选：C．画散点图分析可知，y与x线性相关，且回归直线方程=x+1，则实数m的值为（）A．1.426 B．1.514 C．1.675 D．1.732【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，代入回归方程求出a．【解答】解：∵=3.2， =，回归直线方程=x+1．∴=3.2+1，解得m=1.675．故选：C．4．已知函数f（x）的部分图象如图所示．向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计f（x）dx的值约为（）A． B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用阴影部分与矩形的面积比等于落入阴影部分的豆子数与所有豆子数的比，由此求出阴影部分的面积．【解答】解：由题意设阴影部分的面积为S，则，所以S=；故选：A．5．已知点P（3，3），Q（3，﹣3），O为坐标原点，动点M（x，y）满足，则点M所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据向量数量积化简约束条件，画出可行域，数形结合得答案．【解答】解：∵P（3，3），Q（3，﹣3），O为坐标原点，∴，又动点M（x，y），即，∴由，得，画出可行域如图，由点到直线的距离公式可得O 到直线x+y ﹣3=0的距离d=．∴点M 所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为=．故选：A ．6．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=AD=，若∠A 1AD=∠A 1AB=45°，∠BAD=60°，则点A 1到平面ABCD 的距离为（）A ．1B ．C ．D ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】记A 1在面ABCD 内的射影为O ，O 在∠BAD 的平分线上，说明∠BAD 的平分线即菱形ABCD 的对角线AC ，在三角形AA 1O 中，求出A 1O 即为高．【解答】解：记A 1在面ABCD 内的射影为O ， ∵∠A 1AB=∠A 1AD ，∴O 在∠BAD 的平分线上，又AB=AD ，∴∠BAD 的平分线即菱形ABCD 的对角线AC ，故O 在AC 上；∵cos ∠A 1AB=cos ∠A 1AO ×cos ∠OAB∴cos ∠A 1AO=，∴sin ∠A 1AO=，在△A 1AO 中，AA 1=∴点A 1到平面ABCD 的距离为A 1O=1．故选：A ．7．在△ABC中，若4（sin2A+sin2B﹣sin2C）=3sinA•sinB，则sin2的值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】先根据正弦定理找到角与边的关系，即用角的正弦表示出边，然后再用余弦定理可求出角C的余弦值，从而利用二倍角公式化简所求得到答案．【解答】解：在△ABC中，根据正弦定理设ka=sinA，kb=sinB，kc=sinC，∵4（sin2A+sin2B﹣sin2C）=3sinA•sinB．∴4（k2a2+k2b2﹣k2c2）=3ka•kb，即：a2+b2﹣c2=a•b，∴由余弦定理cosC===．∴sin2====．故选：D．8．若直线xcosθ+ysinθ﹣1=0与圆（x﹣cosθ）2+（y﹣1）2=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，从而求得直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的斜率﹣的值．【解答】解：由题意可得圆心（cosθ，1）到直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的距离等于半径，即=，化简可得|sinθ﹣sin2θ|=，即 sinθ﹣sin2θ=，求得sinθ=．再结合θ为锐角，可得θ=，故直线xcosθ+ysinθ﹣1=0的斜率为﹣=﹣，故选：A．9．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）=﹣f（x），且在区间[0，1]上是增函数，又函数f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若方程f（x）=m在区间[﹣4，4]上有4个不同的根，则这些根之和为（）A．﹣3 B．±3 C．4 D．±4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的周期及对称中心，作出f（x）的函数图象草图，利用对称性得出四个根之和．【解答】解：∵f（x﹣2）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+2），∴f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）的周期为4．又f（x﹣1）关于（1，0）对称，∴f（x）的图象关于（0，0）对称，∴f（x）是奇函数．作出f（x）的大致函数图象如图所示：设方程f（x）=m在区间[﹣4，4]上有4个不同的根从小到大依次为a，b，c，d，当m＞0，a+b=﹣6，c+d=2，∴a+b+c+d=﹣4，当m＜0时，a+b=﹣2，c+d=6，∴a+b+c+d=4．故选：D．10．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λ•μ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由λ•μ=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），因为=λ+μ所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），所以λ+μ=1，λ﹣μ=，解得：λ=，μ=，又由λ•μ=得： =，解得：b2=c2，所以a2=c2，所以，e=．故选：A．11．已知函数f（x）=，g（x）=，则函数h（x）=g（f（x））﹣1的零点个数为（）个．A．7 B．8 C．9 D．10【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令h（x）=0得出g（f（x））=1，设g（t）=1的解，作出f（x）的函数图象，根据图象判断f（x）=t的解得个数．【解答】解：令h（x）=0得g（f（x））=1，令g（x）=1得或，解得x=0或x=e或x=．∴f（x）=0或f（x）=e或f（x）=．作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f （x ）=0有4个解，f （x ）=e 有两个解，f （x ）=有4个解，∴h （x ）共有10个零点．故选：D ．12．若对任意的x 1∈[e ﹣1，e]，总存在唯一的x 2∈[﹣1，1]，使得lnx 1﹣x 1+1+a=x 22e x2成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[，e+1]B ．（e+﹣2，e]C ．[e ﹣2，）D ．（，2e ﹣2]【考点】函数恒成立问题．【分析】设f （x ）=lnx ﹣x+1+a ，g （x ）=x 2e x ，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值，建立条件关系进行求解即可．【解答】解：设f （x ）=lnx ﹣x+1+a ，f ′（x ）=，当x ∈[e ﹣1，1）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（1，e]时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在[e ﹣1，1）上是增函数，在x ∈（1，e]上是减函数，∴f （x ）max =a ，又f （e ﹣1）=a ﹣，f （e ）=2+a ﹣e ，∴f （x ）∈[a+2﹣e ，a]，设g （x ）=x 2e x ，∵对任意的x 1∈[e ﹣1，e]，总存在唯一的x 2∈[﹣1，1]，使得lnx 1﹣x 1+1+a=x 22e 成立，∴[a+2﹣e ，a]是g （x ）的不含极值点的单值区间的子集，∵g ′（x ）=x （2+x ）e x ，∴x ∈[﹣1，0）时，g ′（x ）＜0，g （x ）=x 2e x 是减函数，当x ∈（0，1]，g ′（x ）＞0，g （x ）=x 2e x 是增函数，∵g （﹣1）=＜e=g （1），∴[a+2﹣e ，a]⊆（，e]，∴，解得．故选：B ．二、填空题13．已知P 1（x 1，x 2），P 2（x 2，y 2）是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2=θ（θ为钝角）．若sin（）=，则的x 1x 2+y 1y 2值为 ﹣ ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由条件求得cos （）的值，可得cos θ 的值，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得 x 1x 2+y 1y 2的值．【解答】解：由题意可得＜θ＜π，sin （）=＞0，∴还是钝角，∴cos （）=﹣，∴，∴cos θ=﹣．∴•=x 1•x 2+y 1•y 2=||•||cos θ=1×1×（﹣）=﹣，故答案为：﹣．14．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x i （i=1，2，3，4）（单位：立方米）．根据如图所示的程序框图，若知x 1，x 2，x 3，x 4分别为1，1.5，1.5，3，则输出的结果S 为．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加S的值并输出，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：第一（i=1）步：s1=s1+xi=0+1=1第二（i=2）步：s1=s1+xi=1+1.5=2.5第三（i=3）步：s1=s1+xi=2.5+1.5=4第四（i=4）步：s1=s1+xi=4+3=7，s=×7=第五（i=5）步：i=5＞4，输出s=．故答案为：．15．已知a＜b，二次不等式ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立，则M=的最小值为8 ．【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得 b＞a＞0，再由△≤0，得到c≥，把c代入M，将关于a，b的不等式利用基本不等式的性质就能求得最小值．【解答】解：∵a＜b，二次函数y=ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立．∴△≤0，解得：c≥，a＞0，b﹣a＞0，∴M=≥==≥=8．当且仅当2a=b﹣a，取得等号．∴M的最小值是8，故答案为：816．设x∈R，定义[x]表示不超过x的最大整数，如[]=0，[﹣3.1415926]=﹣4等，则称y=[x]为高斯函数，又称取整函数．现令{x}=x﹣[x]，设函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}﹣1（0≤x≤100）的零点个数为m，函数g（x）=[x]•{x}﹣﹣1（0≤x≤100）的零点个数为n，则m+n的和为127 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】根据定义分别求出f （x ）=0和g （x ）=0，将函数方程转化为sin 2[x]+sin 2{x}﹣1=0和[x]•{x}=+1，分别利用图象讨论两个函数零点的个数．【解答】解：由f （x ）=sin 2[x]+sin 2{x}﹣1=0得sin 2{x}=1﹣sin 2[x]=cos 2[x]．则{x}=+2k π+[x]或{x}=﹣+2k π+[x]，即{x}﹣[x]=+2k π或{x}﹣[x]=﹣+2k π．即x=+2k π或x=﹣+2k π．若x=+2k π，∵0≤x ≤100，∴当k=0时，x=，由x=+2k π≤100，解得k ≤15.68，即k ≤15，此时有15个零点，若x=﹣+2k π，∵0≤x ≤100，∴当k=0时，x=﹣不成立，由x=﹣+2k π≤100，解得k ≤16.28，此时有15个零点，综上f （x ）=sin 2[x]+sin 2{x}﹣1的零点个数为15+15=30个．∵{x}=，∴[x]•{x}=，由g （x ）=0得[x]•{x}=+1，分别作出函数h （x ）=[x]{x}和y=+1的图象如图：由图象可知当0≤x ＜1和1≤x ＜2时，函数h （x ）=[x]{x}和y=+1没有交点，但2≤x ＜3时，函数h （x ）=[x]{x}和y=+1在每一个区间上只有一个交点，∵0≤x ＜100，∴g （x ）=[x]•{x}﹣﹣1的零点个数为100﹣2﹣1=97个．故m=30，n=97．m+n=127．故答案为：127．三、解答题17．设函数f （x ）=x 2+mx ﹣，已知不论α，β为何实数时，恒有f （sin α）≤0且f （2+cos β）≥0，对于正项数列{a n }，其前n 项和S n =f （a n ）（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若=，n ∈N +，且数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与的大小并证明之．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）令α=0，β=，根据f （cos α）≤0，f （2﹣sin β）≥0化简后，列出方程求出m ，根据函数解析式和条件表示出S n 和S n+1，根据a n+1=S n+1﹣S n 化简后，由等差数列的定义判断出{a n }是等差数列，求得a 1利用等差数列的通项公式求出a n ；（Ⅱ）把a n 代入中求得b n ，利用裂项法求出T n ，即可证明T n ＜．【解答】解：（Ⅰ）∵对任意实数α、β，恒有f （cos α）≤0，f （2﹣sin β）≥0，∴f （cos0）=f （1）≤0，且f （2﹣sin）=f （1）≥0，即f （1）=0，则=0，解得m=，∴f （x ）=x 2+x ﹣，∴S n =f （a n ）=a n 2+a n ﹣（n ∈N +），可得S n+1=a n+12+a n+1﹣，故a n+1=S n+1﹣S n =（a n+12﹣a n 2）+（a n+1﹣a n ），即（a n+1+a n ）（a n+1﹣a n ﹣2）=0，∵{a n }是正数数列，∴a n+1+a n ＞0，∴a n+1﹣a n =2，即数列{a n }是等差数列，又a 1=a 12+a 1﹣，且a 1＞0，可得a 1=3，∴a n =3+2（n ﹣1）=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得， =，则bn=＜==（）∴Tn＜，证明如下：T n =b1+b2+…+bn= [（）+（）+…+（）]=（）=＜．18．2016年7月23日至24日，本年度第三次二十国集团（G20）财长和央行行长会议在四川省省会成都举行，业内调查机构i Research （艾瑞咨询）在成都市对[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次“消费”生活习惯是否符合理财观念的调查，若消费习惯符合理财观念的称为“经纪人”，否则则称为“非经纪（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n，a，p的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计众数、中位数和平均数（结果保留三位有效数字）；（Ⅲ）从年龄在[40，55]的三组“经纪人”中采用分层抽样法抽取7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，则有多少种不同的站法？请用数字作答．【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）根据频率分布表，结合频率分布直方图，即可求出n、p和a的值；再补全频率分布直方图即可；（Ⅱ）根据频率分布直方图，求出众数、中位数和平均数；（Ⅲ）求出年龄在[40，55]的三组“经纪人”的数量以及采用分层抽样法抽取7的人数，利用排列组合法求出不同的站法即可．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布表知，第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以样本容量为n==1000；由题可知，第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以p==0.65；第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60；补全频率分布直方图如下；（Ⅱ）根据频率分布直方图知，众数为最高小矩形的底边中点坐标，是=32.5；又0.2+0.3=0.5，所以中位数为35；平均数为=27.5×0.2+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=36.5；（Ⅲ）年龄在[40，55]的三组“经纪人”的数量是60、30和15，现从中采用分层抽样法抽取7人，则分别抽取的人数为4、2和1；这7人站成一排照相，相同年龄段的人必须站在一起，共有••=288种不同站法．19．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．（1）请在方框内画出该几何体的正（主）视图和侧（左）视图；（2）求证：BE∥平面PDA．（3）求二面角A﹣PB﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）按照三视图所在的平面两两垂直，看不见的线用虚线，看得见的用实线画出．（2）由EC∥PD，得EC∥平面PDA，同时，有BC∥平面PDA，因为EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC且EC∩BC=C，得到平面BEC∥平面PDA，进而有BE∥平面PDA．（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣PB﹣E的余弦值．【解答】解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：证明：（2）∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA，∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，且EC∩BC=C，∴平面BEC∥平面PDA，又∵BE⊂平面EBC，∴BE∥平面PDA．解：（3）∵底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PC，且PD=AD=2EC=2，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，2，1），=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣1），设平面APB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PBE的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，1，2），设二面角A﹣PB﹣E的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣PB﹣E的余弦值为．20．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，左、右焦点分别是P 和Q ，以P 为圆心，以3为半径的圆与以Q 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 1上．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）设椭圆C 2： +=1的左、右焦点分别为F 1和F 2，若动直线l ：y=kx+m （k ，m ∈R ）与椭圆C 2有且仅有一个公共点，且F 1M ⊥l 于M ，F 2N ⊥l 于N ，设S 为四边形F 1MNF 2的面积，请求出S 的最大值，并说明此时直线l 的位置；若S 无最大值，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，计算即可得到b ，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）将直线l 的方程y=kx+m 代入椭圆C 的方程3x 2+4y 2=12中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=0，即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d 1=|F 1M|，d 2=|F 2N|．当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1﹣d 2|=|MN|×|tan θ|，即可得到四边形F 1MNF 2面积S 的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S 的最大值【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，|PF 1|+|PF 2=|2a=4，可得a=2，又=，a 2﹣c 2=b 2，可得b=1，即有椭圆C 1的方程为+y 2=1；（Ⅱ）椭圆C 2： +=1．将直线l 的方程y=kx+m 代入椭圆C 的方程3x 2+4y 2=12中，得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0．由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2﹣4（4k 2+3）（4m 2﹣12）=0，化简得：m 2=4k 2+3．设d 1=|F 1M|=，d 2=|F 2M|=当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1﹣d 2|=|MN|×|tan θ|，∴S=••|d 1﹣d 2|•（d 1+d 2）==，∵m 2=4k 2+3，∴当k ≠0时，|m|＞，∴|m|+，∴S ＜2．当k=0时，四边形F 1MNF 2是矩形，S=2．所以四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2．21．设函数f （x ）=e x ﹣ax+a （a ∈R ），设函数零点分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，设f ′（x ）是f （x ）的导函数．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求证：f ′（）＜0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f （x ）=e x ﹣ax+a ，知f ′（x ）=e x ﹣a ，再由a 的符号进行分类讨论，能求出f （x ）的单调区间，然后根据交点求出a 的取值范围；（2）由x 1、x 2的关系，求出＜0，然后再根据f ′（x ）=e x ﹣a 的单调性，利用不等式的性质，问题得以证明．【解答】（1）解：f'（x ）=e x ﹣a ．若a ≤0，则f'（x ）＞0，则函数f （x ）是单调增函数，这与题设矛盾．∴a ＞0，令f'（x ）=0，则x=lna ．当x ＜lna 时，f'（x ）＜0，f （x ）是单调减函数；x ＞lna 时，f'（x ）＞0，f （x ）是单调增函数；于是当x=lna 时，f （x ）取得极小值．∵函数f （x ）=e x ﹣ax+a （a ∈R ）的图象与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），∴f （lna ）=a （2﹣lna ）＜0，即a ＞e 2．此时，存在1＜lna ，f （1）=e ＞0；存在3lna ＞lna ，f （3lna ）=a 3﹣3alna+a ＞a 3﹣3a 2+a ＞0，又f （x ）在R 上连续，故a ＞e 2为所求取值范围．（2）证明：∵，两式相减得a=．记=t ，则=﹣= [2t ﹣（e t ﹣e ﹣t ）]，设g （t ）=2t ﹣（e t ﹣e ﹣t ），则g ′（t ）=2﹣（e t +e ﹣t ）＜0，∴g （t ）是单调减函数，则有g （t ）＜g （0）=0，而＞0，∴＜0．又f'（x ）=e x ﹣a 是单调增函数，且＞，∴f ′（）＜0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的参数方程为（t 为参数）（p ＞0），直线l 经过曲线C 外一点A （﹣2，﹣4）且倾斜角为．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 分别交于M 1，M 2，若|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，求p 的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C 的参数方程为（t 为参数）（p ＞0），消去t 可得普通方程．利用点斜式可得直线l 的参数方程．（2）把直线l 的参数方程代入抛物线方程可得：t 2﹣+8p+32=0，可得t 1+t 2=p ，t 1t 2=8p+32.0＜t 1＜t 2．不妨设|AM 1|=t 1，|M 1M 2|=t 2﹣t 1，|AM 2|=t 2，则|M 1M 2|=t 2﹣t 1=．由于|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，可得=|AM 1|×|AM 2|．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为（t 为参数）（p ＞0），消去t 可得：y 2=2px ．直线l 经过曲线C 外一点A （﹣2，﹣4）且倾斜角为，可得参数方程为：．（2）把直线l 的参数方程代入抛物线方程可得：t 2﹣+8p+32=0，∴t 1+t 2=p ，t 1t 2=8p+32.0＜t 1＜t 2．不妨设|AM 1|=t 1，|M 1M 2|=t 2﹣t 1，|AM 2|=t 2，则|M 1M 2|=t 2﹣t 1===．∵|AM 1|，|M 1M 2|，|AM 2|成等比数列，∴=|AM 1|×|AM 2|， ∴8p 2+32p=8p+32，化为p 2+3p ﹣4=0，p ＞0．解得p=1．[选修4-5：不等式选讲]23．若函数f （x ）=x 2﹣x+c ，满足|x ﹣a|＜1．（Ⅰ）若x ∈（﹣1，1），不等式|x ﹣a|＜1恒成立，求实数a 的取值范围构成的集合；（Ⅱ）求证：|f （x ）﹣f （a ）|＜2|a|+2．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）先解绝对值不等式，再根据集合之间的关系即可求出a 的范围（Ⅱ）化简|f （x ）﹣f （a ）|为|x ﹣a||x+a ﹣1|，小于|x+a ﹣1|即|（x ﹣a ）+（2a ﹣1）|．再由|（x ﹣a ）+（2a ﹣1）|≤|x ﹣a|+|2a ﹣1|＜1+2|a|+1，从而证得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵|x ﹣a|＜1，∴a ﹣1＜x ＜a+1，∵x ∈（﹣1，1），不等式|x ﹣a|＜1恒成立，∴，解得a=0，∴实数a 的取值范围构成的集合{0}（Ⅱ）证明：∵函数f （x ）=x 2﹣x+c ，实数a 满足|x ﹣a|＜1，∴|f （x ）﹣f （a ）|=|x 2﹣x+c ﹣（a 2﹣a+c ）|=|x ﹣a||x+a ﹣1|＜|x+a ﹣1|=|（x ﹣a ）+（2a ﹣1）|≤|x ﹣a|+|2a ﹣1|＜1+2|a|+1=2（|a|+1），即|f （x ）﹣f （a ）|＜2（|a|+1）成立．。

2019届高三数学上学期开学考试试题理

哈师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若全集U R =，集合{}24M x x =>，301x N xx ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则()U MC N =（）A ．{2}x x <-B ．{2x x <-或3}x ≥C ．{3}x x ≥D ．{23}x x -≤< 2．若复数满足(12)5i z +=,为虚数单位,则的虚部为（） A.2i - B. C. D. 3．与函数y x =相同的函数是（）A ．y =B ．2xy x=C ．2y =D ．log (01)x a y a a a =>≠且4．幂函数2231()(69)mm f x m m x -+=-+在(0+)∞，上单调递增，则的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 5．函数ln 1()1x f x x-=-的图象大致为（）6．下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”；B. “2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题:,21000n p n N ∃∈>，则:,21000n p n N ⌝∀∈>；D. 命题“(),0,23xxx ∃∈-∞<”是假命题.7．设0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5b =，则（）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>8.已知定义在上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时()21xf x =-，则（）A. ()()11672f f f ⎛⎫<-<⎪⎝⎭ B. ()()11672f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C. ()()11762f f f ⎛⎫-<<⎪⎝⎭D. ()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭9．若函数,1()(4)2,12x a x f x ax x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在其定义域上为增函数，则实数的取值范围是（） A. ()48，B. [)48， C. ()1+∞， D. ()18， 10．已知函数3log ,03,()4,3x x f x x x <≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数的取值范围是（） A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. ()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. [)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦11．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，给出以下四个命题：①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-；②()12,1,1x x ∀∈-且12x x ≠，有()()12120f x f x x x ->-；③()12,0,1x x ∀∈，有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭；④()1,1x ∀∈-，()2f x x ≥. 其中所有真命题的序号是（）A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④12.已知函数()l n (2)24(0f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 使得1()0f x >，且2()0f x >，则实数的取值范围为（）A. (ln 3,2)B. (]0,2ln3-C. (0,2ln 3)-D.[)2ln3,2- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．设函数23(1)()4(1)xx f x x x <⎧=⎨-≥⎩，则[])2(f f =． 14．若函数()y f x ＝的定义域是1[,2]2，则函数()2log y f x ＝的定义域为________．15．已知函数111+,0,22()12,22x x x f x x -⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则122()()x f x f x -的最小值为．16．设R b a ∈,，已知函数)(x f y =是定义域为的偶函数，当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2l o g 20,21)(16x x x x f x．若关于的方程0)()]([2=++b x af x f 有且只有个不同实数根，则ab的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）设函数()=271f x x -+. （Ⅰ）求不等式()f x x ≤的解集；（Ⅱ）若存在使不等式()21f x x a --≤成立，求实数的取值范围．18．（本题满分12分）已知曲线的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（为参数），曲线的参数方程是3,423x t t y =-⎧⎪+⎨=⎪⎩（为参数）．（Ⅰ）将曲线，的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）求曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值．19．（本题满分12分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在(]80,90内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.20．（本题满分12分）已知点()0,2A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>是椭圆的右焦点，直线AF （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的动直线与椭圆相交于,P Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求直线的方程．21．（本题满分12分）设函数23()=xx axf x e+（a R ∈）．（Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，求实数的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[)3+∞，上为减函数，求实数的取值范围. 22. （本题满分12分）已知函数2()ln f x x mx =-，21()2g x mx x =+，m R ∈,令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数的最小值.哈师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（理）答案一、选择题.1.B2.B3.D4.C5.D6.C7.A8.B9.B10.A 11.D 12.B二、填空题13. 0 14.4⎤⎦15.916-16.11,25⎛⎫--⎪⎝⎭三、解答题17.解：（Ⅰ）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，∴，∴不等式f（x）≤x的解集为；…… 5分（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，则，∴g（x）min=﹣4，∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，∴g（x）min≤a，∴a≥﹣4. …… 10分18. 解：（1）曲线C1的参数方程是（θ为参数），则，∵sin2θ+cos2θ=1，，∴曲线C1的普通方程是；…… 3分曲线C2的参数方程是（t为参数），消去参数t，t=3﹣x，代入，即2x+3y﹣10=0∴曲线C2的普通方程是2x+3y﹣10=0．…… 6分（2）设点P（2cosθ，sinθ）为曲线C1上任意一点，则点P到直线2x+3y﹣10=0的距离为d，则（其中43sin,cos55ϕϕ==） (10)分。

2019-2020最新高三数学上学期入学考试试题理普通班(1)

22. （10分）以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为 (t为参数) ．
(1)若曲线C在点(1,1)处的切线为l，求l的极坐标方程；
(2)若点A的极坐标为，且当参数t∈[0，π]时，过点A的直线m与曲线C有两个不同的交点，试求直线m的斜率的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。）
A. B. C. D.
二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。）
13.在正方体中, 分别是的中点, 则异面直线与所成角的大小是_________.
14.若某一射手射击所得环数的分布列如下：
4
5
67Leabharlann 89100.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数”的概率是_________.
（2）①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.
当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.
一类是82，88，93，94，共1种；
另一类是76，88，93，94，共3种.所以 .
②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4
,
,
,
,
.
的分别列为
0
1
2
3
4
.
19. 解：(I)取中点,连结，依题意可知均为正三角形，所以,
21.解：（1）令，∵，∴，即，∴．
令，得，即，∴．
令，得，即，∴．
（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．
①当时，，结论成立．
②假设当时，结论成立，
即，
则当时，，

2019-2020年高三上学期开学考试数学(理)试题含答案

秘密★启用前2019-2020年高三上学期开学考试数学（理）试题含答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集，集合，，则=（）A ．B ．C ．D ．2．命题“，则或”的逆否命题为（）A ．若，则且B ．若，则且C ．若且，则D ．若或，则3．“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的零点在区间上，则的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知，为方程的解，则的值为（）A ．B ．5C ．﹣5D ．﹣16．已知存在实数，使得关于的不等式有解，则的最大值为（）A ．2B ．C ．4D ．87．已知，，则sin cos )4ααπα-的值为（）A ．B ．C ．D ．8．（原创）已知关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．9．下列命题中：①若，则幂函数在上单调递增；②函数与函数的图象关于直线对称；③若函数的图象关于对称，则为偶函数；④若是定义域为R 的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称，其中正确的命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．（原创）已知点P 为曲线上一点，曲线C 在点P 处的切线交曲线C 于点Q （异于点P ），若直线的斜率为，曲线C 在点Q 处的切线的斜率为，则的值为（）A ．﹣5B ．﹣4C ．﹣3D ．211．（原创）已知是定义在R 上且以4为周期的奇函数，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（）A ．16B ．32C ．48D ．5212．（原创）已知函数32()2log )21x f x x =-++，，，，则（） A ． B ． C ． D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题，第12题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：共4小题，每小题5分13．=_________14．设函数，则不等式的解集为_________15．化简：=_________16．（原创）若函数与函数的图象有且仅有一个交点，则实常数的值为_________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知函数（1）已知，且，，求的值；（2）求函数的最大值18．（本小题满分12分）设命题P：函数的定义域为R；命题q：函数在区间上有唯一零点，（1）若p为真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围19．（本小题满分12分）现今中国社会人口老龄化日趋严重，机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（原创）（本小题12分）已知函数（为常数）（1）若函数在内单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在（其中为自然对数的底），使得成立，求实数的取值范围21．（本小题满分12分）已知为常数，函数，（1）当=0时，求函数的最小值；（2）若有两个极值点①求实数的取值范围；②（原创）求证：且（其中为自然对数的底）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。

2019届高三数学上学期开学考试试题理

三、解答题（共 70 分）
17（ 10 分）、设△ ABC的内角 A，B，C所对边分别为 a，b，c．向量 m a， 3 b ，n sinB ， cosA ，
-3-
且 m n．
（1）求 A的大小；
（2）若 n
6 ，求 cosC 的值． 4
1
18（ 12 分）设数列
an 的前 n 项和为 Sn ，满足 an
根，当 0 k 4 时， f x k 0 有三个相异实根，给出下列命题：
① f x 4 0和 f ' x 0 有一个相同的实根；
② f x 0 和 f ' x 0 有一个相同的实根；
③ f x 3 0 的任一实根大于 f x 1 0 的任一实根；
④ f x 5 0 的任一实根小于 f x 2 0 的任一实根．
5、某几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为
（
）
）则正视
图中 x 的值为
-1-
A． 5
B
．4 C
．3
6、函数 y ex 2 x 1 的大致图象是（
D ．2 ）
A
B
C.
D.
7、两个单位向量，的夹角为
，则
（）
A. B.
C.
D.
8、已知函数
的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当
时，的最大值和单调区间分别为（）
理科数学参考答案一、单项选择 1、【答案】 C
【解析】集合 M＝ {0 ， x} ， N＝ {1,2} ，若 M∩ N＝ {2} ，则 x 2 .
所以 M N＝ 0,1, 2 .
故选 C.
22（ 12 分）、已知函数 f x
4x axln

【全国百强校】四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试题

P K
2
a b c d a c b d
0.05 3.841 0.025 5.024
n ad bc
2
．

2
k0

0.10 2.706
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
k0
20.（本小题满分 12 分）如图 O 为坐标原点，圆 O : x 2 y 2 4, 点 F1( 3, 以线段 F1 M 为直径的圆 N 0), F2( 3, 0)，内切于圆 O，切点为 P，记点 M 的轨迹为曲线 C. （I）证明： | F1M | | F2 M | 为定值，并求曲线 C 的方程；（II）设 Q 为曲线 C 上的一个动点，且 Q 在 x 轴的上方，过 F2 作直线
1.设 z A． 0
1 i 2i ，则 | z | 1 i
B．
1 2
C． 1
D． 2
2.设集合 A x | y log 2 ( 2 x ) ，若全集 U A ， B x | 1 x 2，则 CU B A．
,1
B． ,1
C． 2,
18届涨100分学生达20人罗老师18215571552
周末班、寒暑假班、全日制、志愿填报、自主招生中学小班教学、一对一教学，针对性布局
书山有路勤为径优径皆在为学溪
认为直播答题模式可持续认为直播答题模式不可持续
360 240
280 120
(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过 0.5% 的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？ (II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前 8 个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数 X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率. 参考公式： K 临界值表：

2019届高三上学期开学考试数学(理)试题

一、单选题1．已知＝a＋i (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于A．－4 B．4 C．－10 D．102．下列说法中，正确的是A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．命题“存在x0∈R，x－x0>0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件3．如图为某几何体的三视图，则其体积为A．B．C．D．4．若圆：上的点到直线：的最小距离为2，则A．B．C．D．5．现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有A．6种B．8种C．12种D．16种6．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是A．B．C．D．7．已知定义域为R的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为A．B．C．D．8．设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是A．若则B．若则C．若则D．若则9．已知为正项等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则的值是A．29 B．30 C．31 D．3210．已知，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是A．3 B．5 C．7 D．811．已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为n，则二项式展开式中x2项的系数为A．11 B．20 C．15 D．1612．在中，若，，依次成等差数列，则A．，，依次成等差数列B．，，依次成等比数列C．，，依次成等差数列D．，，依次成等比数列二、填空题13．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|等于______．14．若满足，则的最小值为______．15．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于______．16．设为数列的前项和, 已知, 对任意N, 都有，则N)的最小值为__________.三、解答题17．已知函数f（x）=sincos+cos2+m的图象过点（，0）．（1）求实数m值以及函数f（x）的单调递减区间；（2）设y=f（x）的图象与x轴、y轴及直线x=t（0＜t＜）所围成的曲边四边形面积为S，求S 关于t的函数S（t）的解析式．18．某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1、2、3、4、5、6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ<5的为二等品，ξ<3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：131163341 2412531263 1612122534 5（1）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率；（2）已知该厂生产一件产品的利润y(单位：元)与产品的等级系数ξ的关系式为，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z，求Z的分布列和均值．19．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，．（1）证明：；（2）若直线与平面所成角为30°，求二面角的余弦值．20．在直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，其中也是抛物线：的焦点，点为与在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点，若线段上存在定点使得以、为邻边的四边形是菱形，求的取值范围．21．若函数f(x)＝lnx，g(x)＝x －．（1）求函数φ(x)＝g(x)－f(x)的单调区间；（2）若对所有的x∈[e，＋∞)，都有xf(x)≥ax－a成立，求实数a的取值范围．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），点是曲线上的动点，点在曲线上，且满足．（1）求曲线的普通方程；（2）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线，分别交于，两点，求．23．选修4-5：不等式选讲已知函数，．（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围．数学答案参考答案1．A【解析】【分析】利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案．【详解】∵===a+i，∴=a，=﹣1，解得：b=﹣7，a=3．∴a+b=﹣7+3=﹣4．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数分母实数化是化简的关键，考查复数相等与运算能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】A．原命题的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，由于m=0时不成立；B．利用“全称命题”的否定是“特称命题”即可判断出正误；C．由“p或q”为真命题，可知：命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，即可判断出正误；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即可判断出正误．【详解】A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，m=0时不成立；B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”，正确；C．“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确．故选：B．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．3．A【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥．【详解】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥．则体积V=+=．故选：A．【点睛】本题考查了四棱锥与圆柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．D【解析】【分析】根据圆的性质可知圆心到直线的距离为4，利用点到直线的距离公式列方程解出即可．【详解】圆C的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心C到直线l的距离d=，∵圆C上的点到直线l的最小距离为2，∴圆心到直线l的距离d=2+r=4．∴=4，∴a=±4．故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题．5．C【解析】【分析】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求．【详解】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有3=6种方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法．综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有6+6=12种，故选：C．【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．6．D【解析】【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．【详解】如图所示：∵，∴．故选：D．【点睛】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．7．B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得f（log2x）＞2⇔|log2x|＞1；化简可得log2x ＞1或log2x＜﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】f（x）是R的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以f（log2x）＞2=f（1）⇔f（|log2x|）＞f（1）⇔|log2x|＞1；即log2x＞1或log2x＜﹣1；解可得x＞2或．故选：B．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是通过对函数奇偶性、单调性的分析，得到关于x的方程．8．C【解析】【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m⊂β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m⊥与β相交、平行或m⊂β．【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9．C【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．【详解】设正项等比数列的公比为q，则a4=16q3，a7=16q6，a4与a7的等差中项为，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（负值舍去），则有S5===31．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．10．B【解析】【分析】函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1=[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）=和f（x）=1的根，画出函数f（x）=的图象，数形结合可得答案．【详解】函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1=[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）=和f（x）=1的根，函数f（x）=的图象如下图所示：由图可得方程f（x）=和f（x）=1共有5个根，即函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1有5个零点，故选：B．【点睛】本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．11．C【解析】【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中x2项的系数．【详解】∵f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，故函数的最小值为6，再根据函数的最小值为n，∴n=6．则二项式（x﹣）n=（x﹣）6展开式中的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x2项的系为=15，故选：C．【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．12．C【解析】试题分析：若，，依次成等差数列，则，则，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，即，，依次成等差数列，选C考点：正弦定理，余弦定理13．【解析】【分析】运用向量的数量积的定义，可得，•=||•||cos60°=1，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【详解】由向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，可得||=2，•=||•||cos60°=2•1•=1，则|+2|===2．故答案为：2．【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查运算求解的能力，属于基础题．14．2【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（0，1）时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．将A（0，1）的坐标代入目标函数z=x+2y，得z=2．即z=x+2y的最小值为2；故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．【解析】【分析】渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【详解】∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y=±3x∴=3，得b2=9a2，c2﹣a2=9a2，此时，离心率e==．故答案为：．【点睛】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．16．【解析】由题可设，则，则数列是以2 为首项，2 为公差的等差数列，，，当且仅当时取得最小值，由，所以或，因为，即得最小值为点睛：本题考查数列的递推公式即等差数列的有关性质，解题时注意17．（1），单调递减区间是，k∈Z；（2）．【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式降幂，化为y=的形式，把点（，0）代入函数解析式求得m的值，再代入函数解析式后利用复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间；（2）对（1）中所求函数f（x）求0到t上的积分，即求被积函数f（x）的原函数，代入积分上限和下限后作差得答案．【详解】（1）f（x）=sincos+cos2+m==．∵f（x）的图象过点（，0），∴，解得．∴f（x）=，由，得，k∈Z．故f（x）的单调递减区间是，k∈Z；（2）由（1）得，f（x）=．∴===．∴（）．【点睛】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．（1）一、二、三等品的概率分别为；（2）分布列见解析，均值为3.8．【解析】【分析】（1）由样本数据，结合行业规定，确定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）确定Z的可能取值为：2，3，4，5，6，8．用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得Z的分布列，从而可求数学期望．【详解】（1）由题意在抽取的30件产品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，故该厂生产一等品概率为P1＝＝，二等品概率为P2＝＝，三等品概率为P3＝＝.（2）由题意得：Z的可能取值为2、3、4、5、6、8，而从该厂大量产品中任取两件取得一等品、二等品、三等品是相互独立的，故：P(Z＝2)＝×＝，P(Z＝3)＝2××＝，P(Z＝4)＝×＝，P(Z＝5)＝2××＝，P(Z＝6)＝2××＝，P(Z＝8)＝×＝.∴Z的分布列为∴E(Z)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋8×＝3.8.【点睛】本题考查统计知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题时利用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．19．（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）取AD的中点为O，连接PO，CO，说明PO⊥AD．证明CO⊥AD，然后证明AD⊥平面POC，推出AD⊥PC；（2）证明平面，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量代入公式即可.【详解】（1）取的中点为，连接，∵为等边三角形，∴.底面中,可得四边形为矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.又,所以.（2）由面面,知，平面，∴两两垂直，直线与平面所成角为，即，由知得.分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，∴,,设平面的法向量为.∴.则，设平面的法向量为.∴.则，∴，∴由图可知二面角的余弦值.【点睛】本题直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（1）；（2）的取值范围是．【解析】试题分析：（1）运用题设条件及椭圆的定义进行求解；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行分析探求：试题解析：解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，又∵，∴，∴椭圆方程是：．（Ⅱ）设中点为，因为以、为邻边的四边形是菱形，则，设直线的方程为，联立整理得，∵在椭圆内，∴恒成立，∴，∴，∴，∴，即，整理得，∵，∴，∴，所以的取值范围是．点睛：本题旨在考查圆锥曲线中的椭圆、抛物线的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识与基本思想方法的综合运用。

2019届高三数学上学期入学考试试题理(含解析)

2019届高三数学上学期入学考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数为纯虚数（其中是虚数单位），则实数的值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】化简复数为,然后由复数的实部等于零且虚部不等于零,求出实数即可.【详解】为纯虚数，，即．故选:D【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的基本概念;属于基础题.2.设集合A=，，则的真子集个数为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法求出集合,由集合的交运算求出，再由真子集的定义求出集合的真子集即可.【详解】由得，，，或,所以集合，又因为A=,所以，即的真子集为,所以的真子集个数为.故选:B【点睛】本题考查集合的交运算和集合真子集个数的求解;属于基础题、常考题型.3.若平面向量满足，则下列各式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直，推出，解得，配凑，即可求解.【详解】∵，∴，即，∴，即.故选：C.【点睛】本题考查向量垂直关系转化成数量积，运用配凑法构造模长关系，属于基础题.4.已知m，n是两条不同直线，是一个平面，，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若由线面平行的定义知成立，即充分性成立，若，则m与n可能平行可能异面直线，故必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的性质定理是解决本题的关键．5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：）A. 48B. 36C. 24D. 12【答案】C【解析】【分析】由开始，按照框图，依次求出s，进行判断．【详解】，故选C.【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键．6.若，则的最小值是（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由,可得,利用对任意恒成立即可求解.【详解】，，因为对任意恒成立,所以，当且仅当时取等号，此时有最小值为4，故选:D【点睛】本题考查利用基本不等式求最值;属于中档题.7.设的内角，，的对边分别为，，，且，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理把边化成角,再由和两角和的正弦公式进行展开化简,求出即可.【详解】根据题意,由正弦定理可得：，即，因为,，，，，解得，，.故选：C【点睛】本题考查利用正弦定理边化角和两角和的正弦公式求三角形内角;属于中档题、常考题型.8.若函数的图象关于原点对称，则实数等于（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意知，函数为奇函数,利用,化简整理即可求出实数.【详解】因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，则有，即，化简可得，，解可得.故选:A【点睛】本题考查奇函数的定义和性质;根据题意,挖掘题中隐含的条件:函数为奇函数是求解本题的关键;属于中档题.9.在的展开式中，已知各项系数之和为64，则的系数是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B【解析】【分析】令,可得展开式各项系数和为,据此求出,对于利用二项式定理展开即可求解.【详解】在的展开式中，令，则展开式各项系数之和为，，则，则的系数是，故选：B【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中某项的系数; 令,求出各项系数和是求解本题关键;属于基础题、常考题型. 10.如图是函数（其中，的部分图象，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合正弦函数的图象知,,据此求出,再根据五点法作图可得,求出即可求解.【详解】由题意知,，因为，所以，再根据五点法作图可得，因为，，函数，则，故选：B【点睛】本题考查结合正弦函数的图象与性质求的解析式;考查数形结合的思想和等价转化的思想;属于中档题、常考题型.11.若双曲线上存在点与右焦点关于其渐近线对称，则该双曲线的离心率（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意知,过右焦点且垂直渐近线的直线方程为：，联立渐近线方程与，求出对称中心的点坐标,再利用中点坐标公式求出点的坐标,把点代入双曲线的方程即可求解.【详解】根据题意知,过右焦点且垂直渐近线的直线方程为：，联立渐近线方程与，解之可得，，故对称中心的点坐标为，，设点，由中点坐标公式可得,解得,所以对称点的坐标为，，将点代入双曲线的方程可得，结合，化简可得，故可得．故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,两直线的位置关系,意在考查学生对数学知识的熟练掌握程度和综合运用能力、运算能力;属于中档题.12.在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】明确恰好得5分所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.【详解】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上13.如图，是圆的内接正方形，将一颗豆子随机扔到圆内，记事件：“豆子落在正方形内”，事件：“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则条件概率__．【答案】【解析】【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出,然后代入条件概率公式即可求解.【详解】如图,设正方形边长为，由几何概型的概率公式可得,（A），，由条件概率公式可得,．故答案为：【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率的求解;熟练掌握概率公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__【答案】【解析】【分析】通过分析三视图,得出该几何体是圆柱，挖去一部分，然后结合图中数据,代入圆柱的体积公式求解即可.【详解】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱，挖去一部分，如图:结合图中数据知,该几何体的体积.故答案为：【点睛】本题考查三视图还原几何体及求几何体的体积;根据三视图正确还原几何体是求解本题的关键;重点考查学生的空间想象能力属于中档题、常考题型.15.化简________.【答案】8【解析】【分析】由二倍角公式得出，再将分子分母同乘以结合商数关系化简得出，逆用两角差的正弦公式，二倍角的正弦公式求解即可.【详解】原式.故答案为：8【点睛】本题主要考查了利用两角差的正弦公式，商数关系以及二倍角公式化简求值，属于中档题.16.有如下结论：若无穷等比数列的公比满足，则它的各项和．已知函数，则的图象与轴围成的所有图形的面积之和为__．【答案】4【解析】【分析】由已知可得,函数与轴围成的所有图形的面积构成一个首项为，公比为的无穷等比数列,代入公式求解即可.【详解】当时，，与轴围成的封闭图形面积为：；当时，，故当时，函数图象与轴围成的封闭图形长扩大2倍，高缩小到,故面积为：；同理，当时，函数图象与轴围成的封闭图形面积为：；依次类推可得,函数的图象与轴围成的所有图形的面积构成一个首项为，公比为的无穷等比数列，根据题中的公式得,函数的图象与轴围成的所有图形的面积之和.故答案为：4【点睛】本题考查利用定积分求函数与轴围成的封闭图形的面积和无穷等比数列的求和公式;通过计算,得出函数的图象与轴围成的所有图形的面积构成一个首项为，公比为的无穷等比数列是求解本题的关键;属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列满足，且，其中．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见详解.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意,,利用累加法求出数列的通项公式即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）知,，利用放缩法知，,再由裂项相消法求和即可证明.【详解】（Ⅰ）因为数列满足，且，即，由累加法得，，即，故数列的通项公式为.（Ⅱ）证明：因为，所以，因为，即.【点睛】本题主要考查累加法求通项公式、裂项相消法求和和利用放缩法证明不等式;考查推理论证能力、运算求解能力；累加法和放缩法的应用是求解本题的关键;属于中档题.18.如图，在三棱柱中，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若平面平面，且直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）取中点，连结，,则,由线面垂直的判定定理可得,平面,由线面垂直的性质即可得证;（Ⅱ）由平面平面及可得,，从而,设,则,易证两两互相垂直,建立空间直角坐标系如图,利用法向量求出二面角的余弦值即可.【详解】（Ⅰ）证明:如图:取中点，连结，，，，，，为正三角形，，，由线面垂直的判定定理知,平面，又平面，．（Ⅱ）因为，所以为等边三角形,所以，因为平面平面,由面面垂直的性质知,平面,所以即为直线与平面所成角,即，即，设，则，，由平面知,两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示:则，0，，，，0，，所以，，，，0，，设平面的一个法向量为，则，令,则,所以平面的一个法向量为，因为平面的法向量为，0，，所以，二面角的平面角为钝角，二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质以及利用空间向量求二面角;考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；属于中档题、常考题型.19.大型中华传统文化电视节目《中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨，深受广大观众喜爱，各基层单位也通过各种形式积极组织、选拔和推荐参赛选手．某单位制定规则如下：（1）凡报名参赛的诗词爱好者必须先后通过笔试和面试，方可获得入围正赛的推荐资格；（2）笔试成绩不低于85分的选手进入面试，面试成绩最高的3人获得推荐资格．在该单位最近组织的一次选拔活动中，随机抽取了一个笔试成绩的样本，据此绘制成频率分布直方图（如图．同时，也绘制了所有面试成绩的茎叶图（如图2，单位：分）．（Ⅰ）估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数；（Ⅱ）若从面试成绩高于（不含）中位数的选手中随机选取3人，设其中获得推荐资格的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）60人；（Ⅱ）分布列见解析，【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出对应的频率,利用茎叶图估计所求的总人数即可;（Ⅱ）根据题意知,可能的取值为,计算对应概率,列出分布列,代入数学期望公式求解即可.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图知，笔试成绩不低于85分的频率为，由茎叶图知，参加面试的人数为15人，所以估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数为（人；（Ⅱ）面试成绩高于（不含）中位数的选手有7人，其中获得推荐资格的有3人，所以从7人中随机选取3人，获得推荐资格的人数，1，2，3，计算,,,,所以随机变量的分布列为：所以数学期望为．【点睛】本题考查频率分布直方图和茎叶图的应用及利用排列组合、二项式定理求随机变量的分布列、数学期望;考查学生的运算能力;属于中档题、常考题型.20.设动圆经过点，且与圆为圆心）相内切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）设经过的直线与轨迹交于、两点，且满足的点也在轨迹上，求四边形的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）因为圆的圆心，半径为，由圆与圆相内切，利用椭圆的定义可知,动圆圆心的轨迹是以，为焦点且长轴长为的椭圆即可求解；（Ⅱ）设直线的方程为，一定存在），代入，并整理得，利用韦达定理、向量的坐标运算,结合已知条件即可求解.【详解】（Ⅰ）由已知可得,圆的圆心，半径为，由圆与圆相内切，得，由椭圆定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点且长轴长为的椭圆，其方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，一定存在），代入，并整理得，所以判别式△恒成立，设，，，，由韦达定理可得,,,设，,则由，得，即，即，又点在轨迹上，故，即，解得，（舍负），因为,所以四边形为平行四边形,所以平行四边形的面积为,即,因为，所以四边形的面积为．【点睛】本题考查椭圆的定义及其几何性质、直线与椭圆的位置关系；重点考查学生的运算求解能力；方程思想和韦达定理的应用与向量的坐标运算相结合是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.21.已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．（Ⅰ）若在区间，上的最小值为1，求的值；（Ⅱ）若“，使”为假命题，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求得函数导数,利用导数判断函数的单调性,求函数的极值即最值,由题意知, 函数的最小值只能在或处取得,分别解方程求解即可.（Ⅱ）若“，使”为假命题，等价于，为真命题,即，恒成立,通过分离参数法和构造函数法,令,结合导数判断函数的单调性,由零点存在性定理求出函数的最小值,进而求出实数的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）由题意知,函数的导数为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时有极大值即最大值，即有的最小值只能在或处取得．若（1）,解得,此时与函数最小值为1相矛盾，故不符合题意；若（e），解得，此时符合题意；综上可知；（Ⅱ）若“，使”为假命题，即，为真命题，等价于，可得恒成立,化简可得，恒成立，令,则，令，则在上单调递增，因为,，由零点存在性定理知,函数在，存在唯一零点，即有，则，两边同时取以为底的对数可得，，所以当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以当时,函数有极小值即最小值,，所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数的极值、最值;通过构造函数,判断函数的单调性、求最值，解决恒成立问题是求解本题的关键;重点考查学生的运算求解能力、转化与化归能力;属于综合型强、难度大型试题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数，且，在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）中，曲线的极坐标方程为，设直线经过定点，且与曲线交于、两点．（Ⅰ）求点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求证：不论为何值时，为定值．【答案】（Ⅰ）直角坐标为，；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意,令直线的参数方程中即可求出点的直角坐标，整理化简曲线的极坐标方程,结合,即可得到曲线的直角坐标方程;（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义,利用韦达定理即可证明为定值.【详解】（Ⅰ）因为直线的参数方程为（其中为参数，且，所以当时，得点，即点的直角坐标为；又曲线的极坐标方程为，，，，，即曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）证明：将直线的参数方程代入，整理得，其中，所以判别式△，由韦达定理可得,，，由参数方程中参数的几何意义可得,，即不论为何值时，都为定值1．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及参数方程中参数的几何意义;利用参数方程中参数的几何意义是证明为定值的关键;属于中档题、常考题型.23.已知不等式的解集为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设为中的最大元素，正数，满足，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用分段讨论法,分，,三种情况分别去绝对值解不等式,然后再取并集即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，先平方,利用均值不等式求出的最大值,然后再开方即可。

[精品]2019届高三数学上学期入学考试试题理目标版新版

2019高三开学考试试题高三数学(理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数()22)(x x f π=的导数是（）A. x x f π4)(='B. x x f 24)(π=' C.x x f 28)(π=' D. x x f π16)(='2. 点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 3．2(sin cos )x a x dx π+⎰＝2,则实数a 等于（）A 、－1B 、 1C 、－D4.复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种6.已知命题12222112-=++++-n n 及其证明：（1）当1=n 时，左边＝1，右边＝1121=-所以等式成立；（2）假设k n =时等式成立，即12222112-=++++-k k 成立，则当1+=k n 时，122121222211112-=--=+++++++-k k kn ，所以1+=k n 时等式也成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n 等式都成立。

经判断以上评述（） A ．命题、推理都正确 B 命题不正确、推理正确 C ．命题正确、推理不正确 D 命题、推理都不正确 7.小王通过英语听力测试的概率是31，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（） A.94 B.92 C.274 D.272 8.给出下列四个命题，其中正确的一个是（）A ．在线性回归模型中，相关指数R 2=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80%B ．在独立性检验时，两个变量的2×2列表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大C ．相关指数R 2用来刻画回归效果，R 2越小，则模型的拟合效果越好D ．随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E （e ）=09. ()211n x --展开式中，二项式系数最大的项是（）A ．第n -1项B ．第n 项C ．第n -1项与第n +1项D ．第n 项与第n +1项10.随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（）A.32 B. 31C. 1D. 0 11.若函数f (x ) = -x 2px p +在(1，+∞)上是增函数，则实数p 的取值范围是（） A ．),1[∞+-B ．),1[∞+C ．]1,(--∞D ．]1,(-∞12.如图，用5种不同颜色给图中标有1、2、3、4各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（） A ．160种 B ．240种 C ．260种 D ．360种二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把正确答案写在题中横线上）13.甲乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%，则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为__________. 14..曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是______.15．观察下列各式9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 .16.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有种．三、解答题：(本大题共6小题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）（1）已知复数z 满足242z z i z i ⋅+⋅=+，求复数z ；(2)已知22)nx+的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求展开式中的常数项.18.（本小题满分12分）已知函数.),2,1()(3)(3l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= （1）求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程；（2）求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =.19. 在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．20. （本小题满分12分）设函数xe x xf 221)(=．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]2,2[-∈x 时，不等式恒m x f <)(成立，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）.某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（2）求η的分布列及期望E η．22.[选做题]选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），已知P 为半圆C ：O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π。

四川省2019届高三上学期开学考试数学(理科)试卷含答案(2套).doc

2018-2019学年高三上学期开学考试数学（理）试题考试说明：（1）本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.（2）第I卷、第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I卷（选择题，共60分.）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列复数是纯虚数的是A. 3 — 3iB. 1 + i2018C. i2019D. 1i42.某校共有500名高二学生，在一次考试中全校高二学生的语文成绩X服从正态分布N（110,/）（b>0）,若P（1OO<X <110） = 0.3，则该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为A. 70 B. 80 C. 90 D. 100° 13.已知集合A = {x\x2 >x,xe7?}, B = {x \ — < x < 2, x e R} f则=A. [x\-^< x< 1}B. {x | -^- < x < 2}C. {x\x< \^x> 2}D. [x\x<^或x> 1}4.已知命题"：>0 ,使得（x0 + 2）e< 1,则-7?为A. VxWO,总有O + 2）/nlB. 3x0 > 0 ,使得（x0 + 2）e Xo < 1C. Vx> 0,总有（x + 2）Cl D・ 3x（）<0,使得（x0 + 2）^ < 1x-y+2>05.若无，y满足约束条件<2x+y — 350,贝ij z = x-2y的最小值是、13A. — 1B. —3C. -----D. —56. —个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件4为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取岀一个黄球，一个绿球”, 则 P(B\A) =7.方程6/x 2+2x + l = 0至少有一个负根的充要条件是8•设*2。

2019-2020年高三上学期开学数学试卷(理科)含解析(VI)

2019-2020年高三上学期开学数学试卷（理科）含解析(VI)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B=．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为．9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x|＞0}=（﹣1，+∞）∴A∩B=（﹣1，2）={x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】首先分析题目已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，求¬p．由否命题的定义：否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．可直接得到答案．【解答】解：已知命题p：∀x∈（1，+∞），log2x＞0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定．则¬p为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．即答案为∃x∈（1，+∞），log2x≤0．【点评】此题主要考查否命题的概念问题，需要注意的是否命题与命题的否定形式的区别，前者是对条件结论都否定，后者只对结论做否定．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．4．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即A（﹣3，2），由x﹣a＞0，得x＞a，即B=（a，+∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．5．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】排列组合．【分析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，根据概率公式计算即可【解答】解：从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同只有2种，故从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率P==；故答案为：．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为2x﹣y﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求切线方程．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y﹣=2（x﹣），即为2x﹣y﹣=0．故答案为：2x﹣y﹣=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键．7．已知（+）n的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n=8．【考点】二项式定理．【专题】计算题；二项式定理．【分析】展开式中前三项的系数分别为1，，，成等差数列可得n的值【解答】解：展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得2×=1+，∴n=8或1（舍）．故答案为：8．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．8．若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而可以求出a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+∞）上单调递减，并可判断x＜0时，f（x）＜1，且f（1）=3，从而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），从而便得到0＜x＜1，这便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范围．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴1﹣a•2x=a﹣2x；∴a=1；∴；①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法．9．已知α为第二象限角，，则cos2α=．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】指数函数单调性的应用．【专题】开放型；函数的性质及应用．【分析】根据式子f（1+x）=f（1﹣x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断m的最小值．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）x=a为对称轴，∴a=1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（x）在[m，+∞）上单调递增，∴m的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题．11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）==1，当x＜0时，f（x）==﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．12．已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；函数的图象．【专题】不等式的解法及应用．【分析】①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2﹣2x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0]，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上可得，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是[﹣5，﹣2]．【考点】指数函数综合题；特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，解得m≥﹣5且m≤﹣2，故﹣5≤m≤﹣2，故答案为：[﹣5，﹣2]【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知，求值：（1）tanα；（2）．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出tanα；（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值．【解答】解：（1）由题意，可得，解得tanα=﹣（2）==由（1）tanα=﹣，∴==﹣【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题16．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）分别求出命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出关于M、N的x的范围，根据N⊆M，得到不等式组，解出即可．【解答】解：（1）若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得：m＞2，即命题p：m＞2，若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴或，解得：m≥3或1＜m≤2．（2）∵M∪N=M，∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（1，3），∴，解得：3≤m≤6．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题．17．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c 时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．18．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．设cosα=，且α为锐角，则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．【点评】本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F （x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．20．设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．【选修4-4：坐标系与参数方程】21．在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），曲线与直线l：y=x相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将曲线C的参数方程化为普通方程为：x=8y2（亦可直接用参数方程解A，B点），与直线l构造方程组，解得求出点的坐标，根据点到点的距离公式即可求出答案．【解答】解：∵，∴x=（4y）2，即x=8y2，∴方程组，解得或，所以，故AB==．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在极坐标系中，求圆ρ=2cosθ的圆心到直线的距离．【考点】圆的参数方程；直线的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离．【解答】解：将圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，普通方程为x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），又，即，∴直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．23．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C，D，E五种商品有购买意向．已知该网民购买A，B两种商品的概率均为，购买C，D两种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这五种商品相互独立．（1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，由互斥事件概率加法公式能求出该网民至少购买4种商品的概率．（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出η的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件A i，i=4，5，则：，，…所以该网民至少购买4种商品的概率为．答：该网民至少购买4种商品的概率为．…（2）随机变量η的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，=，=，，．…所以：随机变量η的概率分布为：η0 1 2 3 4 5P故．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题．24．设P n=（1﹣x）2n﹣1，Q n=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出P n与Q n的大小关系；（2）当n≥3时，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）分n=1和n=2两种情况进行解答；（2）分类讨论：x=0，x＞0和x＜0三种情况．利用复合函数的单调性进行解答即可．【解答】解：（1）当n=1时，P n=1﹣x，Q n=1﹣x，则P n=Q n；当n=2，x=0时，P n=1，Q n=1，则P n=Q n；当n=2，x＞0时，P n=（1﹣x）3=1﹣3x+3x2﹣x3，Q n=1﹣3x+3x2，则P n﹣Q n=﹣x3＜0，所以P n＜Q n；当n=2，x＜0时，P n﹣Q n=﹣x3＞0，所以P n＞Q n；（2）当n≥3时，①当x=0时，P n=Q n；②当x≠0时，令F（x）=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2，则F′（x）=﹣（2n﹣1）（1﹣x）2n﹣2+（2n﹣1）﹣2（n﹣1）（2n﹣1）x，F″（x）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣2（n﹣1）（2n﹣1）=（2n﹣1）（2n﹣2）（1﹣x）2n﹣3﹣1．当x＞0时，F″（x）＜0．F″（x）单调递减；当x＜0时，F″（x）＞0．F″（x）单调递增；∴F′（x）＜F′（0）=0，∴F（x）单调递减；当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，当x＜0时，F（x）＞F（0）=0，∴当x＞0时，P n＜Q n．当x＜0时，P n＞Q n．【点评】本题考查了不等式比较大小．总结：不等式大小比较的常用方法．（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．。

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