动态一致性风险度量_何信

第12卷第3期　2003年9月系统工程理论方法应用SYS T EM S EN GIN EERIN G-T HEO RY M ET HO DO L O GY A PP LIC A T IO N SVol.12No.3　Sep.2002　 文章编号:1005-2542(2003)03-0243-05动态一致性风险度量何　信,　张世英,　孟利锋(天津大学管理学院,天津300072)【摘要】以投资期限的划分为分界点,提出了静态和动态两种类型的金融风险度量方法。

以风险度量的一致性标准为纽带,分析和证明了动态风险度量的一致性。

最后,对一般概率通过函数变换,应用Choquet 积分思想,对动态一致性风险度量的特征进行了探讨,指出它在实际应用中为多期风险度量方法提供的理论依据,对长期组合投资具有重要的现实指导意义。

关键词:风险度量;一致性度量;静态风险;动态风险中图分类号:F 830 文献标识码:ADynamic Coherent Risk MeasuresHE X in ,　Z HAN G Shi -ying ,　MEN G Li -f eng(School of M anag em ent,Tianjin Univ.,Tianjin 300072,China)【Abstract 】This paper takes the inv estment perio d as the point of div isio n ,tw o types of financial risk mea-surem ent including static and dynamic are giv en clearly .The co herence between tw o methods is analy zed and v erified via coherent standard of risk m easurem ent.Finally,based o n the Cho quet integral of disto r-tion probability,the characterization of dynamic coherent measures is discussed.It provides theoretical ev-idence fo r the methods o f different transaction dates risk m easurement in em pirical application .It is very im po rtant to long po rtfolio.Key words :risk measures;coherent m easures;sta tic risk;dy namic risk 收稿日期:2002-12-30　修订日期:2003-04-04基金项目:国家自然科学基金资助项目(70171001)作者简介:何　信(1970-),男,博士生。

主要从事社会经济系统建模与控制研究。

自20世纪70年代以来,随着经济全球化和金融一体化,金融风波迭起,危机频发,引起了各国政府和金融界的严重关注。

我国加入W TO 后,随着金融领域的进一步改革与开放,在本来薄弱的金融体制基础上,产生风险的因素又逐渐增加,因此,金融风险的研究和规避意义重大。

风险主要来源于资产、商品、利率等价格的随机波动,人们常常通过风险度量来评定这些波动的大小,决定是否追加投资来规避风险。

因此,金融风险度量对资产投资组合、保险公司理赔时不同理赔额的确定、资产业绩的评判、风险控制等方面有着十分重要的意义。

目前,关于金融风险测度和规避正成为金融数学研究的热点之一[1～4]。

随着金融市场和金融交易产品复杂性的增加,金融理论和金融工程的发展,金融市场风险测量针对不同的风险源、风险管理的不同目标,产生了不同的风险度量方法[5]:方差及其变化模型(标准离差,半方差,半标准离差等);含基准点的风险度量模型;Va R 及其变化模型(尾部TailVa R 、条件Cv a R 、条件自回归C AV aR 等)。

但这些方法都是从静态的角度去研究风险度量,本文将以投资期限的划分为分界点,从动态的角度提出了一致性动态风险度量,并就此展开深入的探讨。

1　单期和多期风险度量文献[6]在讨论保险领域作为衡量资本准备金要求的风险度量时,开拓性地提出了风险度量d (x )满足的4条公理化要求,并且称满足这4条性质的风险度量是一致的:(1)转移不变性。

d(X+T)=d(X)-T,T为任意实数;(2)次可加性。

d(X1+X2)≤d(X1)+d(X2);(3)正齐次性。

d(aX)=a d(X),a为正实数;(4)单调性X≤Y,则d(X)≤d(Y)。

从此,很多学者开始了对风险度量问题的研究:运用风险度量的一致性概念研究保险业的资本保证金[7];研究一致性风险度量和各种经济参数间内在联系,从而达到规避风险的目的[8];不同的一致性风险度量被提出,如C v a R(Co nditional Value at Risk)[9,10];运用一致性风险度量进行最优组合投资[11,12]……但是,所有这些研究只考虑了单期资产的变化情况,即只考虑资产从0时刻到T时刻的变化(T可以是1h,1d,7d或1a等),都是基于固定投资期限的一种风险度量[6]。

当然,用单期连续度量方法也可以处理多期投资问题,但在许多情况下常常导致一些错误的结论。

在实际中,投资组合由于许多中间现金流的存在常呈现多期风险,动态风险度量正是在这种背景下而产生。

根据文献[3],风险管理实质上是一种最优化问题,它不断地调整影响风险的因素,从而控制风险。

如果这种最优化问题是动态的,那么参与风险管理的风险度量就是动态的。

关于多期风险度量问题的文献是相当有限的。

文献[3]运用现代随机理论中的极大-极小准则介绍了一种动态风险度量,他们的目标是在特定的投资期内对负债进行完全的保值。

文献[13]使用连续时间市场模型度量风险,在静态Va r R约束下最大化效用函数。

文献[14]在连续时间模型下使用期权最小化Va R。

下面把投资期限细分来研究多期风险的度量问题,从而引出本文要讨论的动态风险度量,它是对金融资产在不同时间标度上的不同幅度的价格波动产生风险的动态度量。

2　动态风险度量定义1　如果风险用概率空间上的有限实随机变量X:K→R来表示,G是所有风险的集合:G= {K→R},t∈[0,T],那么风险度量d(x)就是风险集G到R上的一个映射,d:X(t)→R(1)此时,把式(1)称为静态风险度量,以区别于下面将要提出的动态风险度量。

现在把投资期限时间间隔0～T进行N等分:令Δ={t0=0,…,t n=T},考虑N+1期多期资产的变化情况。

投资组合由m种资产组成,对于任意时刻t∈Δ,对应一种投资组合策略S,用等式W(s j,t j)= (w1(s j,t j),w2(s j,t j),…,w m(s j,t j))∈R m表示,其中:j=0,1,…N;每一个w i(i=1,…,m)显示了每一种资产的投资数量,即权重。

资产或负债的所有可能单位价值用集合V= {v1,v2,…,v m}表示。

为方便起见,用V i(s j,t j)<0表示资产的收益,i=1,…,k;相反用V i(s j,t j)≥0表示负债的损失,i=k+1,…,m,为证明和计算方便,假定第一种资产V1(s j,t j)=-1(单位标准)。

定义2　设K是全体自然事件集合,F是K子集所形成的集,如果:①K∈F;②若集合A∈F,则A的补集A′∈F;③若A n∈F,对于n=1,2,…,则A n的并∪nn=1A n∈F。

那么,称F是全体事件生成的e代数,包括有K和e 代数F的有序对(K,F)称为可测空间。

F中的任一集合,成为可测集,P(K)=1,(K,F,P)就是常讲的概率可测空间。

定义3　F t表示F的子e代数增序列,包括下列两层意义,它代表了t以前可以得到的信息的全体:①F t是e代数且F t F;②F t F t+1,即{F t}单调增序列。

引入了滤波集{F t},称四元组(K,F,F t,P)为完备概率空间。

设M是定义在(K,F,F t,P)上的随机变量,关于F t可测,t∈Δ,w∈K,那么每一种投资组合W(s j,t j)对应一种随机风险d j(x),且与d k(x),k= 0,…,j-1相关。

显然,每一个d j(x)就是一种静态风险度量,基于固定投资期限,当考虑N+1期多期资产的变化情况时,风险度量就变得复杂化。

如何量化整个过程的风险M(x),将是本文所要讨论的动态风险度量。

定理1　设d(x)是静态一致性风险度量,X j(s j,t j)=V(s j,t j)W′(s j,t j)则对于x∈R m,有M(x)=infj=0,1,…,Nd[X j(s j,t j)](2)是一种基于N+1期的动态一致性风险度量。

证明　m是静态一致性风险度量,用文献[6]中的4条公理化要求进行证明。

(1)正齐次性。

对于固定的w∈R m,λ≥0,由于d(x)具有正齐次性X*j(s j,t j)=V(s j,t j)W′*(s j,t j)=V(s j,t j)λW′(s j,t j)=λX j(s j,t j)即有M(λx)=λM(x)—244— 系　统　工　程　理　论　方　法　应　用第12卷　 (2)次可加性。

M(x1+x2)=inf d(x1+x2)≤inf[d(x1)+d(x2)]根据数学知识,一般情况下有,inf[d(x1)+d(x2)]≥inf[d(x1)]+inf[d(x2)] 由于d(x)具有单调性,上式等号成立,即M(x1+x2)≤inf[d(x1)+d(x2)]= inf[d(x1)]+inf[d(x2)]=M(x1)+M(x2) (3)转移不变性。

对于固定的V={v1,v2,…, v m}和W(s j,t j)=(w1(s j,t j),w2(s j,t j),…,w m(s j,t j))∈R m投资无风险资产使得投资组合的风险减少,M(x+a)=infj=0,1,…,N(d[x]-a)=M(x)-a (4)单调性。

对于x,x*∈R m,如果当i=2,…, k时,x i≤x*i;而当i=1(i=k+1,…,m)时,x i≥x*i,那么,由于d(x)的单调性,M(x)≤M(x*)。

文献[6]提出了静态一致性风险度量是未来所有情景集的函数,一种风险度量的选择对应于一种情景集的选择。

这样,度量可以用有界概率测度上的期望值的上确界表示:d(X)=supP∈P(K)E P[X](3)当然同样的方法,可以用在动态一致性风险度量上。