中考数学 第五部分 抛物线中的定点和定值问题(第18课时)复习学案
抛物线中的三个定值定点问题
0 2
C
2 p ky k
C
2 p ky 2 p ky
0 0
2
p 为定值. y
0
2 pk 2
2 pk 2
练习： 2 1、已知抛物线 y=3x 上两个不同的点 A、B（不在原点） ，满足 OA OB ，若总存在点 M，使 1 OB R ，则M 点的坐标为 得 OM OA . 2 2 2、 已知 F 是抛物线 y x 的焦点， 点 A ，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA OB 2 （其中 O 为坐标原点） ，则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 . 2 3、过点（m，0）作直线 l1，l2 与抛物线 E：y =4x 相交，其中 l1 与 E 交于 A、B 两点，l2 与 E 交于 C、 D 两点， AD 过 E 的焦点 F， 若 AD,BC 的斜率 k1， k2 满足 k1=2k2， 则实数 m 的值为 . 简解： 1 1 1、设OH =2OM OA 1 OB， A、B 、H 共线， H （0，），从而M 0 ， 3 6 2、不妨设 A 在 x 轴上方，显然直线 AB 过点（-1，0） （舍去）或（2,0） ， y y 2，
1 （本结论另一种证明方法：设直线 OA 的斜率为 k，所以直线 OB 的斜率为 ，求出点 A,B k
的坐标，写出直线 AB 的方程，从而得出结论，当直线 AB 的斜率不存在的时候另行讨论） 备注：此结论可以推广为： （1）如图，A，B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点且 OA OB ，则直线 AB 恒过定点（ p （ 为常数且 -p 2）
p . y
抛物线中的定点定值问题
抛物线练习（定点定值垂直等）例1.已知,A B是抛物线22(0)=>上的两点，且y px p⊥．OA OB求证：（1）求AB两点的横坐标之积和纵坐标之积;（2）直线AB恒过定点;（3）求弦AB中点P的轨迹方程;（4）求AOB△面积的最小值；（5）O在AB上的射影M轨迹方程.思考1：若将O点改为抛物线上任意点，AB直线是否仍过定点？⊥，即表示OA、OB斜率之积为-1，若k OA k OB=m(m为不为零的常思考2：本题中，OA OB数),直线AB是否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究；思考3：若k OA+ k OB=n(n为非零常数), 直线AB过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；思考4：把问题3和问题4中的O点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？思考5：上述结论在椭圆中成立吗？例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A ，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B 和C,有BC 斜率为定值（简称一定二动斜率定值）试着以抛物线24y x =上点A （4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC 分别交抛物线于B 、C 两点，证明：BC 斜率为定值。
例3.类比于专题7例4---例6已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在点P ，使PF 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
思考1：若上述问题改为过求出的定点P ，做两条直线，分别交抛物线于点A,B 且满足直线AP 与BP 斜率之和为0，且A 、B 不关于x 轴对称，证明直线AB 过定点.思考2：若上述问题改为过求出的定点P ，做一条直线，交抛物线于点A,B 探究,AF BF K K 的关系。
思考3：若题中出现的点不是焦点，是否有类似规律,如下题：已知定点(3,0)H -，动点P 在y 轴上，动点Q 在x 轴的正半轴上，动点M 满足:0HP PM ⋅=，32PM =-.设动点M 的轨迹为曲线C ，过定点(,0)(D m 0)m >的直线l 与曲线C 相交于A B 、两点．（1）求曲线C 的方程；（2）若点E 的坐标为(,0)m -，求证：AED BED ∠=∠； （3）是否存在实数,a 使得以AD 为直径的圆截直线:l x a '=所得的弦长恒为定值？若存在求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.例4：类比于专题8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明：如图：若AB 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的弦，M 是AB 的中点, l 是抛物线的准线,l MN ⊥，N 为垂足，l BD ⊥,l AH ⊥,D ,H 为垂足.证明： （1）AN BN ⊥；即以AB 为直径的圆和抛物线的准线相切． （2）HF DF ⊥； （3）FN AB ⊥；（4）A 、O 、D 三点共线；（能否推广？F(a,0),:l x a =-）思考：若AB 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的弦，过A 和B 分别做抛物线的切线，切线交于点M ，试着猜想M 的轨迹并证明；（参考专题8例3）抛物线练习（定点定值垂直等）例1.已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，且OA OB ⊥．求证：（1）求AB 两点的横坐标之积和纵坐标之积;（2）直线AB 恒过定点;（3）求弦AB 中点P 的轨迹方程; （4）求AOB △面积的最小值；（5）O 在AB 上的射影M 轨迹方程.（1）（2）（3）（5）222()x p y p -+=思考1：若将O 点改为抛物线上任意点，AB 直线是否仍过定点？思考2：本题中，OA OB ⊥，即表示OA 、OB 斜率之积为-1，若k OA k OB =m (m 为不为零的常数),直线AB 是否过定点，试先举特例研究，思考3：若k OA + k OB =n (n 为非零常数), 直线AB 过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；思考4：把问题3和问题4中的O 点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？思考5：上述结论在椭圆中成立吗？例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A ，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B 和C,有BC 斜率为定值（简称一定二动斜率定值）试着以抛物线24y x =上点A （4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC 分别交抛物线于B 、C 两点，证明：BC例3.类比于专题7例4---例6已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在点P ，使PF 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
(中考数学复习)第18讲-二次函数综合应用-课件-解析
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浙派名师中考 (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)把x＝0，y＝2，及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，
B．4 s
C．3 s
D．2 s
B
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浙派名师中考 B
图18－1
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4．(2013·宁波)如图18－2所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
图18－2 A．abc<0 B．2a＋b<0 C．a－b－c<0 D．4ac－b2<0
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5．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成 的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图18－3所示)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )
函数图象得
∴函数关系式为y＝－x＋180.
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(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是 商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最 大，最大利润是多少？ 解： W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140) 2＋1 600， 当售价定为140元，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．
抛物线中的定值、定点问题资料讲解
抛物线中的定值、定点问题抛物线中的定值、定点问题 例1 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，求证：221p y y -=.【规范解答】证法一：因直线AB 过焦点)0,2(p F ，可设其方程为2p my x +=，代入px y 22= 得)2(22p my p y +=，即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ，由韦达定理：221p y y -=.证法二：因B A ,在抛物线上，故可设).,2(),,2(222121y py B y p y A 又)0,2(p F ，故),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线，所以 122221)22()22(y p p y y p p y ⋅-=⋅- 移项分解因式得：0))((21221=-+y y p y y ，其中,21y y ≠故221p y y -=.证法三：如图1，过点F B A ,,分别作准线的垂线，垂足为.,,111F B A 要证明221p y y -=，只要证明.211111F F F B F A =⋅ 21,1∠=∠∴=AA AF ；同理.43∠=∠而011180=∠+∠BF B AF A （A A 1∥B B 1），故01804321=∠+∠+∠+∠，所以.90310=∠+∠01190=∠FB A .由直角三角形的性质得：.211111F F F B F A =⋅【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）；（2）从解题细节来看，证法一选择设直线方程为2p my x +=而非)2(p x k y -=，为什么？首先，这样代入可消去x 直达目标221p y y -=，运算便捷；其次，本题中直线可能与y 轴平行而斜率不存在，但不可能与y 轴垂直，设2p my x +=省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑；（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2p “寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！借题发挥在证法一中若改变AB 直线的预设并在联立方程中消去y 后,观察21,x x 之积得：变式1 条件同例1，则4221p x x ==定值。
抛物线中的定点定值问题
抛物线练习（定点）求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．巩固练习：1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3） B．（1，0） C．（﹣1，3） D．（﹣1，0）2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．23.某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标： _________ ．4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标： _________ ．5．二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是 _________ ．6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点 _________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式： _________ ．8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标9.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．。
抛物线复习课教案
抛物线复习课
授课教师
教
学
目
标
知识与
技能
1、理解并掌握抛物线的定义。
2、理解并熟练掌握抛物线的标准方程。
3、能灵活运用抛物线的定义和标准方程解决有关问题。
过程与
方法
启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题培养学生分析问题解决问题的能力
情感态度
与价
值观
教育学生养成良好的分析解决问题的习惯，树立联系的辩证观。
（二）抛物线的标准方程
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
1、焦点位置的判断：一次变量定焦点，开口方向看正负。
2、准线方程的求法
二、典型例题解析：
1、已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点()
A．(2,0) B．(1,0) C．(0,1) D．(0，－1)
三、知识拓展：
例已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是 时，AC＝4AB.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是 时，l的方程为y＝ (x＋4)，即x＝2y－4.
∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－ (x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0得：k>0或k<－4.∴b∈(2，＋∞)．
小结：理解并掌握抛物线的定义和抛物线的标准方程。
能灵活运用抛物线的定义和标准方程解决有关问题。
全效学习中考数学 第五单元 函数及其图象 第18课时 二次函数的应用练习(含解析)-人教版初中九年级
二次函数的应用(60分)一、选择题(每题6分，共12分)1．[2015·某某]某某省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图18－1所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C)图18－1A．－20 m B．10 mC．20 m D．－10 m【解析】根据题意B的纵坐标为－4，把y＝－4代入y＝－125x2，得x＝±10，∴A(－10，－4)，B(10，－4)，∴AB＝20 m．即水面宽度AB为20 m.2．[2015·某某]图18－2②是图18－2①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－1400(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10 m，则桥面离水面的高度AC为(B)A．16940 m B.174mC．16740 m D.154m图18－2【解析】 ∵AC ⊥x 轴，OA ＝10 m ， ∴点C 的横坐标为－10，当x ＝－10时，y ＝－1400(x －80)2＋16＝－1400(－10－80)2＋16＝－174，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，－174，∴桥面离水面的高度AC 为174 m.二、填空题(每题6分，共18分)3．[2014·某某]科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度T /℃－4 －2 0 1 4 植物高度增长量l /mm4149494625科学家经过猜想，推测出l 与T 之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__－1__℃.【解析】 设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，选(0，49)，(1，46)， (4，25)代入后得方程组⎩⎪⎨⎪⎧c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，16a ＋4b ＋c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49，所以y 与x 之间的二次函数解析式为y ＝－x 2－2x ＋49， 当x ＝－b2a ＝－1时，y 有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1℃.4．[2015·某某]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图18－3所示的三处各留1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m ，则能建成的饲养室面积最大为__75__m 2.【解析】 设垂直于墙的材料长为x m ，则平行于墙的材料长为27＋3－3x ＝30－3x ， 则总面积S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75，故饲养室的最大面积为75 m 2.图18－35．如图18－4，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过__3__s ，四边形APQC 的面积最小．【解析】 S 四边形APQC ＝12×12×24－12(12－2t )×4t ＝4t 2－24t ＋144，∴当t ＝－b 2a ＝－242×4＝3时，S 四边形APQC 最小．三、解答题(共30分)6．(15分)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30 m 的篱笆围成．已知墙长为18 m(如图18－5)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.(1)若平行于墙的一边的长为y m ，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值X 围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值； (3)当这个苗圃园的面积不小于88 m 2时，试结合函数的图象，直接写出x 的取值X 围．图18－5【解析】 (1)用x 表示y ；(2)由矩形面积公式列关系式求最值；(3)令y ＝88，求x 的值，根据图象写出符合要求的x 的取值X 围． 解：(1)y ＝30－2x (6≤x ＜15)； (2)设矩形苗圃园的面积为S ，则S ＝xy ＝x (30－2x )＝－2x 2＋30x ＝－2(x －7.5)2，由(1)知6≤x ＜15；∴当x ，S 最大，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边长为7.5 m 时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 m 2；图18－4(3)图象略.6≤x ≤11.7．(15分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x (元/件)与每天销售量y (件)之间满足如图18－6所示的关系．图18－6(1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w 与销售单价x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．由所给函数图象经过点(130，50)，(150，30)，得⎩⎪⎨⎪⎧130k ＋b ＝50，150k ＋b ＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝180，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋180； (2)w ＝(x －100)y ＝(x －100)(－x ＋180) ＝－x 2＋280x －18 000 ＝－(x －140)2＋1 600，当售价x 定为140元/件时，w 最大＝1 600元，∴当售价定为140元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是1 600元．(25分)8．(10分)[2014·某某]如图18－7，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y (m)与运行的水平距离x (m)满足关系式y ＝a (x－6)2＋h .已知球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m.图18－7(1)当h ，求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值X 围)； (2)当h ，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值X 围．解：(1)∵h ，球从O 点正上方2 m 的A 处发出，∴抛物线y ＝a (x －6)2＋2.6过(0，2)点， ∴2＝a (0－6)2，解得a ＝－160， 故y 与x 的关系式为y ＝－160(x －6)2＋2.6； (2)当x ＝9时，y ＝－160(x －6)2，∴球能越过球网；当y ＝0时，－160(x －6)2＋2.6＝0，解得x 1＝6＋239＞18，x 2＝6－239(舍去)， ∴球会出界；(3)由题意，抛物线y ＝a (x －6)2＋h 过点(0，2)， 代入点(0，2)的坐标得a (0－6)2＋h ＝2， 即36a ＋h ＝2且a ＜0，∴a ＝2－h36，且h ＞2.若球一定能越过球网，则当x ＝9时，y ≥， 即9a ＋h ，①若球不出边界，则当x ＝18时，y ≤0，即144a ＋h ≤0，②将a ＝2－h 36代入①②解得h ≥83.故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值X 围是h ≥83.9．(15分)[2015·某某]某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x (m)，与桌面的高度为y (m)，运动时间为t (s)，经过多次测试后，得到如下部分数据：t (s) 0… x (m) 012… y (m)…(1)当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？(2)乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？ (3)乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y ＝a (x －3)2＋k . ①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为0.14 m ，球桌长(1.4×2)m.若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A ，求a 的值．图18－8解：以点A 为原点，以桌面中线为x 轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系． (1)由表格中的数据，可得t ＝0.4(s)． 答：当t 为0.4 s 时，乒乓球达到最大高度；(2)由表格中数据，可画出y 关于x 的图象，根据图象的形状，可判断y 是x 的二次函数，设y ＝a (x －1)2＋0.45. 将(0，)代入，可得a ＝－0.2. ∴y ＝－0.2(x －1)2＋0.45.当y ＝0时，x 1＝52，x 2＝－12(舍去)，即乒乓球与端点A 的水平距离是52m ；(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.代入y ＝a (x －3)2＋k ，得a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－32＋k ＝0，化简整理，得k ＝－14a ； ②由题意，可知扣杀路线在直线y ＝110x 上．由①得y ＝a (x －3)2－14a .令a (x －3)2－14a ＝110x ，整理得20ax 2－(120a ＋2)x ＋175a ＝0.当Δ＝(120a ＋2)2－4×20a ×175a ＝0时符合题意． 解方程，得a 1＝－6＋3510，a 2＝－6－3510.当a 1＝－6＋3510时，求得x ＝－352，不符合题意，舍去；当a 2＝－6－3510时，求得x ＝352，符合题意．答：当a ＝－6－3510时，能恰好将球沿直线扣杀到点A .(15分)10．(15分)[2015·某某]某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图18－9中的折线ABD ，线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)，销售价y 2(单位：元)与产量x (单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝k 1x ＋b 1，图18－9∵y 1＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1，b 1＝60，∴这个一次函数的表达式为y 1x ＋60(0≤x ≤90)； (3)设y 2与x 之间的函数关系式为y 2＝k 2x ＋b 2， ∵y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)．∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝120，130k 2＋b 2＝42， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2，b 2＝120，∴这个一次函数的表达式为y 2x ＋120(0≤x ≤130)， 设产量为x kg 时，获得的利润为w 元，当0≤x ≤90时，w ＝xxx ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2 250， ∴当x ＝75时，w 的值最大，最大值为2 250；当90≤x ≤130时，w ＝xx ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2 535， 当x ＝90时，w ＝－0.6(90－65)2＋2 535＝2 160，由－0.6＜0知，当x ＞65时，w 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，w ≤2 160， 因此当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大利润为2 250元．。
抛物线中的定值、定点问题(学案)
抛物线中的定值、定点问题
例1 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，求证：221p y y -=.
变式1 条件同例1，则4
2
21p x x ==定值。
变式2 条件同例1，则以AB 为直径的圆与准线相切。
变式3 条件同例1，则12||AB x x p =++。
变式4 条件同例1，设直线AB 的倾斜角为θ，则θ2sin 2||p AB =.（由此立刻得到：当090=θ时焦点弦最短，,2min p AB =我们称这条弦为通径）
变式5 条件如变式3，则AOB
S ∆.sin 22θ
p =.
变式6 条件同例1，求证：
||1||1BF AF +为定值p
2.
变式7 一条直线与抛物线)0(22>=p px y 交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，满足：221p y y -=(或
4
2
21p x x =)，则这条直线过此抛物线的焦点.
变式8 一条直线与抛物线)0(22>=p px y 交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，满足：0=⋅OB OA ，则这条直线过定点.
变式9 一条直线与抛物线)0(22>=p px y 交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，满足：2=⋅，则这条直线过定点.。
抛物线中的最值、定值、定点问题
狓２ ＋１求导得狔′＝２狓，所以犽１ ＝２狓１，犽２ ＝２狓２．
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教学
２０２０年１２月 解法探究
评注：通过本题的求解，有利于提高学生运用“设 而不求”技巧的解 题 能 力，也 有 利 于 培 养 学 生 数 学 运 算的核心素 养，进 一 步 强 化 字 母 形 式 的 代 数 运 算 能 力．
类型三、处理有关“定点”问题
抛物线往往与直线、圆、向量等知识交汇在一起，
处理有关定点问题时，一般需要灵活运用“设而不求”
犘犇
，所以 犘犉 犘犃
犘犇 ＝ 犘犃
＝ｓｉｎ∠犘犃犇．
过两 点 的 直 线 斜 率 公 式 得 犽犘犃
＝
１ ４狓２ ０
＋１ ，所
以
狓０
１ ４狓２ ０ ＋１ 狓０ ＝
１ ２狓０，解得狓０
＝±２．
由于抛物线具有对称性，不妨取点 犘（２，１），则可
得 犃犇 ＝２，犘犇 ＝１－（－１）＝２，所以在Ｒｔ△犘犃犇
类型二、处理有关“定值”问题
灵活运用“设而不求”技巧，可巧妙处理抛物线中 有关定值 问 题，其 关 键 是 设 出 相 关 点 的 坐 标，根 据 题 意实施字 母 形 式 的 代 数 运 算，进 而 化 简，可 获 得 结 果 为定值．特 别 提 醒：化 简 运 算 基 本 功 必 须 过 关，否 则， 对目标问题的求解很难顺利获得．
＞狔１），由犗犕 ⊥犗犖，得狔１狔２ ＝－１６．
由
于犽犕犖
＝ 狔１
４ ，因此，直线 ＋狔２
犕犖
的方程是狔－
抛物线中的定值与定点问题
解 析 ：设
＋ ２Ｐ ， 所以
ｘ＝ ｋ ｙ ＋ ｍ
＝ ＝ ＞
＝ ２Ｐ ＝ ＝ ＞Ｘ＝
（ห้องสมุดไป่ตู้ Ｈ ］ ， 设
直线过定 点 （ ２ Ｐ， ０ ）。
解析设 Ａ （ ｘ ， Ｙ １ ） ， 曰 （ ， Ｙ ２ ）， 直 线 的 方
．
注： 若直线过 （ ２ ｐ， ０ ），那 么 是 否
一
ｋ ｍ（ ｙ ｌ ＋Ｙ ２ ） ＋ｍ ＝－ ４＝ ＝ ＞ ｍ ＝２
故 所 求 定 点 坐标 为 （ ２ ， ０ ） 。
通 过 以 上 例 题 我 们 发 现 定 点 问题 与 定 值 问 题 是 存在 内 在 联 系 的 ， 定 值 问题 与 定 点问题是在大 家心中觉得很“ 难缠 ” ， 其 实 并 不是 这 样 ， 把 两 者 之 间 合 为 同一 个 问题 ， 难度瞬间下 降。
‘
框架 １ ： Ａ， Ｂ是 抛 物 线 Ｙ ：２ ｐ ｘ （ ｐ＞０ ）
上 异于 顶 点的 两动 点 ， 其中Ｏ ｔ ， 分 别 为 Ｏ Ａ， ０Ｂ 的 倾 斜 角 （ 如图１ ） 。
框架２： 若 Ｄ 上 ＤＢ ， 则 我们有 如框 架 （ 如 图２） 。
＝ ——
｛ １ － Ｉ － ｍ ＝ ＝ ＞ ｙ ２ — ２ ｐ 一 ２ ｐ ： ０ ＝ ＝ ＞
：
０呢 ， 答案 是 肯定 的 ， 所 以 说 两者
程： ＝Ｉ ｌ ｝ ｙ＋ ｍ
｛
ＹＬ Ｙ２＝ — — ２ｐｍ
ｙ ２ － ２ ｐ 妙 － ２ ｐ ｏ ｒ ＝ ０
之间是相互联 系的 ， 其 实也 就 是 同 一 个 问
图 １
图 ２
ｏ ６
高中数学抛物线中的定值、定点问题
抛物线中的定值、定点问题例1 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，求证：221p y y -=.【规范解答】证法一：因直线AB 过焦点)0,2(p F ，可设其方程为2p my x +=，代入px y 22= 得)2(22p my p y +=，即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ，由韦达定理：221p y y -=.证法二：因B A ,在抛物线上，故可设).,2(),,2(222121y py B y p y A 又)0,2(p F ，故),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线，所以 122221)22()22(y p p y y p p y ⋅-=⋅- 移项分解因式得：0))((21221=-+y y p y y ，其中,21y y ≠故221p y y -=.证法三：如图1，过点F B A ,,分别作准线的垂线，垂足为.,,111F B A 要证明221p y y -=，只要证明.211111F F F B F A =⋅ 21,1∠=∠∴=AA AF Θ；同理.43∠=∠而011180=∠+∠BF B AF A （A A 1∥B B 1），故01804321=∠+∠+∠+∠，所以.90310=∠+∠01190=∠FB A . 由直角三角形的性质得：.211111F F F B F A =⋅【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）；（2）从解题细节来看，证法一选择设直线方程为2p my x +=而非)2(p x k y -=，为什么？首先，这样代入可消去x 直达目标221p y y -=，运算便捷；其次，本题中直线可能与y 轴平行而斜率不存在，但不可能与y 轴垂直，设2p my x +=省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑；（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2p “寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！借题发挥在证法一中若改变AB 直线的预设并在联立方程中消去y 后,观察21,x x 之积得： 变式1 条件同例1，则4221p x x ==定值。
抛物线有关的定点定值问题ppt课件
过点P作两条斜率互为相反数的直线l 1 , l 2 ，分别交 抛物线于点A,B,C,D，探究直线AC与BD的交点是否
为定点？
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
问题1.已知抛物线 y 2 x 的焦点为F，过点F作
直线 l
交抛物线于A,B两点，证明：y A
y
为定值。
B
y
A
o
B
F
1 4
,
0
x
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
问 题 4： 已 知 抛 物 线 y2x,点 P(m,0)m0， 过 点 P
作 不 重 合 的 两 条 直 线 l1,l2， 分 别 交 抛 物 线 于 点 A,B,C,D， 直 线 AC交 BD于 点 E， 直 线 AD与 CB交 于 点 F， 探 究 点 E， 点 F
是 否 为 定 点 ？ y
(
已知抛物线 y 2 x 和 x 轴上点p (m , 0 )
过点P作直线 l 交抛物线于A,B两点， 则 yAyB m
y
逆命题：直线l 交抛物线 y 2 x
A
(
y
2 1
,
y1
)
o
P (m ,0)
x
于A,B两点，且 yAyB m
B
(
初中数学定点问题讲解教案
初中数学定点问题讲解教案【教学目标】1. 理解定点问题的概念及其在实际问题中的应用。
2. 掌握解决定点问题的基本方法和技巧。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学内容】1. 定点问题的定义及分类。
2. 定点问题的解决方法。
3. 实际问题中的应用。
【教学过程】一、导入（5分钟）1. 引入定点问题的概念，让学生初步了解定点问题的基本特点。
2. 通过举例，让学生了解定点问题在实际问题中的应用。
二、讲解定点问题的定义及分类（15分钟）1. 讲解定点问题的定义，让学生明确定点问题的本质。
2. 讲解定点问题的分类，让学生了解不同类型的定点问题。
三、讲解定点问题的解决方法（20分钟）1. 讲解解决定点问题的基本方法，如方程法、代入法、图解法等。
2. 通过具体例子，让学生掌握各种方法的运用技巧。
四、讲解定点问题在实际问题中的应用（10分钟）1. 通过实际问题，让学生了解定点问题在生活中的应用。
2. 引导学生运用所学方法解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
五、课堂练习（10分钟）1. 提供几个定点问题的练习题，让学生独立解决。
2. 对学生的解答进行讲解和指导，巩固所学知识。
六、总结（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生明确定点问题的重要性和解决方法。
2. 鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，运用所学知识解决实际问题。
【教学评价】1. 学生对定点问题的理解程度。
2. 学生掌握解决定点问题的方法和技巧。
3. 学生在实际问题中运用定点问题的能力。
【教学资源】1. 定点问题的练习题。
2. 相关实际问题的案例。
【教学建议】1. 在讲解定点问题时，要注意举例生动有趣，激发学生的学习兴趣。
2. 在讲解解决方法时，要注重引导学生思考，培养学生的逻辑思维能力。
3. 在课堂练习环节，要关注学生的解答过程，及时给予指导和纠正。
4. 在实际问题中的应用环节，要引导学生联系生活实际，提高学生的解决实际问题的能力。
专题——抛物线定值问题
专题——抛物线定值问题引言抛物线定值问题是一个常见的数学问题，它涉及到在一个给定的抛物线上确定一个点的坐标。
这个问题可以应用于很多实际情景，比如物体的抛射运动、抛物线型轨道的设计等。
本文将讨论抛物线定值问题的基本原理和解决方法。
基本原理抛物线的基本方程为 `y = ax^2 + bx + c`，其中a、b、c是抛物线的参数。
给定一个点的坐标(x0, y0)，我们可以通过解方程组来确定抛物线的参数。
解决方法方法一：代入法在抛物线方程中将已知点的坐标代入，然后解方程组，得到抛物线的参数。
例如，已知点(-2, 1)在抛物线上，代入方程 `y = ax^2 + bx + c`，我们得到以下方程组：-2^2 * a + (-2) * b + c = 1解方程组可以得到抛物线的参数。
方法二：坐标法我们可以通过已知点的坐标绘制抛物线，并确定抛物线与坐标轴的交点。
通过交点的坐标，可以得到抛物线的参数。
例如，对于一个抛物线，如果已知三个不共线的点在抛物线上，我们可以通过求解这三个点的交点坐标来确定抛物线的参数。
应用案例抛物线定值问题可以应用于很多实际情景。
以下是一些应用案例：1. 物体的抛射运动：通过已知的时间和位置点坐标，可以确定抛物线的参数，进而预测物体的运动轨迹。
2. 抛物线型轨道设计：在某些工程领域，比如建筑和交通规划，需要设计抛物线型轨道。
通过抛物线定值问题，可以确定合适的抛物线参数，以满足特定工程要求。
3. 图形设计：抛物线形状常常被用于图形设计中，通过抛物线定值问题，可以确定合适的抛物线参数来绘制想要的图案或图形。
结论抛物线定值问题涉及到确定抛物线上一个点的坐标。
通过代入法或坐标法，我们可以解决这个问题。
这个问题在物理学、工程学以及图形设计中有广泛的应用。
理解和掌握抛物线定值问题的解决方法有助于我们更好地应用数学知识解决实际问题。
第18课时 二次函数(复习学案)
第18课时二次函数（复习学案）第18课时二次函数一、复习目标1、识记二次函数的一般形式和顶点式，并能用待定系数法求它的解析式。
2、掌握二次函数的图像和性质。
二、重点、难点重点：⑴用待定系数法求二次函数的解析式；⑵用配方法求二次函数的最值。
难点：深入理解二次函数图像的特征。
三、复习过程㈠知识梳理1、二次函数的解析式⑴一般形式：。
⑵顶点式：。
2、二次函数的图像与性质二次函数y?a(x?h)?k的图像是，它的对称轴是直线，顶点坐标是当a?0时，抛物线开口，函数在x? 时，达到最值；当a?0时，抛物线开口，函数在x? 时，达到最值。
3、二次函数与一元二次方程的联系抛物线y?ax数根。
⑴当b?4ac 时，一元二次方程ax2222?bx?c与x轴是否有交点取决于一元二次方程ax2?bx?c?0是否有实?bx?c?0有两个不相等的实数根（x1?x2），抛物线就与x轴有两个不同的交点，其坐标是（）和（）。
反之亦然。
⑵当b?4ac 时，一元二次方程ax22?bx?c?0有两个相等的实数根（ x1?x2 ），抛物线就与x轴只有一个交点，其坐标是（），这一点就是抛物线的顶点。
反之亦然。
⑶当b?4ac 时，一元二次方程ax点。
反之亦然.㈡问题导学 1、填表抛物线 y?2x y?2x2222?bx?c?0没有实数根，抛物线就与x轴没有交对称轴顶点坐标开口方向最大（最小）值 ?3 2y?2(x?3)y??2(x?3)2?3 2、已知抛物线的顶点是（1，-4），且经过点（0，-3），则这条抛物线的解析式是。
3、抛物线y?x?2x?3与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是4、二次函数y??x?2x?3的最大值是。
5、将抛物线y?2(x?1)?3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为．㈢合作探究例1 求满足下列条件的二次函数的解析式⑴图像经过A（-1,3）、B（1,3）、C （2,6）三点；⑵图像经过A（-1,0）、B（3,0），函数有最大值8；⑶图像顶点坐标是（-1,9），与x轴两交点的距离是6.㈣达标检测1．抛物线y??x?1??4的顶点坐标是( )A．（1,4） B．（1.-4） C．（-1，4） D．(-1,-4)2、抛物线y??x?bx?c的部分图象如图所示，当y?0时，x的取值范围是（）A．?4?x?1 B．x??4或x?1 C．?3?x?1 D．x??3或x?13、抛物线的对称轴是直线x?2，与x轴的两个交点的距离是8，则这两个交点的坐标是。
定值与定点问题学案(教师版)
定值与定点问题一、证明某一代数式为定值 例1、《金牌学案》P51例2练习1、已知椭圆()轴轴、与直线的离心率为y x a ex y l e b a by a x +=>>=+:.012222分别交于点为定值求证：与该椭圆的一个公共点是直线，、ABAMl M B A ..解：设()a B e a A ,0,0,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=由题意得λ。
由⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=a b y c x b yax a ex y 22222,1得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴aab e ac e aa e a ab e ac a b c M λλλλ222,,,,,,即 ，而 222221,011,e ABAMe e b a c -=>--=∴-=故且λ为定值。
▲利用辅助元练习2、已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．证明FM →·AB →为定值.解：由已知条件，得F (0，1)，λ＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ．所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22． 解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)．所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0所以FM →·AB →为定值，其值为0． 二、证明曲线过定点例2、设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求： （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程;（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论. 解:（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=. （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－2，1）．练习3、已知一动圆M,恒过点F (1,0)，且总与直线:1l x =-相切. （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）探究在曲线C 上,是否存在异于原点的1122(,),(,)A x y B x y 两点,当1216y y =-时,直线AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.解：(1) 因为动圆M,过点F (1,0)且与直线:1l x =-相切,所以圆心M 到F 的距离等于到直线l 的距离。
解析几何中的定点、定值问题学案
解析几何中一类定点和定值的问题【教学目标】(l)通过圆的直径的一个简单性质类比到椭圆，学生能通过自主探究得到椭圆的直径的一个性质；(2)会从不同视角证明这个性质；(3)能证明性质成立的充要条件，并能利用性质解决相关问题；(4)通过问题解决领悟其中蕴涵的数学思想方法，在探究与发现中体验数学之美．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学方法】探究式、讨论式【教学过程】一、回归问题背景，追溯题根本质。
选修2-1课本（人教版）第41页上例3的一个问题：设点A ，B 的坐标分别为（-5，0）(5，0)，直线,AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94-，求点M 的轨迹方程。
（斜率之积为94，则为教材55页探究问题） 思考：问题 设点A ，B 的坐标分别为（-2，0）(2，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为41-（或41），求点M 的轨迹方程。
变式：设点A ，B 的坐标分别为（-2，0）(2，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为-1，求点M 的轨迹方程。
二、 提出目标 明确任务思考一问题1.设点A ，B 的坐标分别为（-2，0）(2，0)，M （与A,B不重合）为圆422=+y x 的任意一点，则直线AM 、BM 的斜率之积是不是定值，如果是定值求出定值？问题2.点A,B 为椭圆1422=+y x 长轴上的两个顶点．M （与A,B 不重合）为椭圆的任意一点，则直线AM 、BM 的斜率之积是不是定值，如果是定值求出定值？问题3.点A,B 为双曲线1-422=y x 实轴上的两个顶点．M （与A,B 不重合）为双曲线的任意一点，则直线AM 、BM 的斜率之积是不是定值，如果是定值求出定值？思考二问题4.如点A(0.2)为圆422=+y x 上一点．PQ 为圆的任意一条不过点A 的直径，则该问题中存在不变量吗？问题5. 点A(0,1)为椭圆1422=+y x 一点．PQ 为椭圆的任意一条不过点A 的弦，问题4中的不变量有保持不变的吗？为什么？思考三问题6.当点A 在椭圆1422=+y x 上运动时．PQ 为椭圆的任意一条不过点A 的直径，设 AP 、AQ 的斜率为21k k ，．则21k k ⋅仍是定值吗？为什么？三、提升问题高度，追溯一般结论 问题7. 当点A 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上运动时．PQ 为椭圆的任意一条不过点A 的直径，设AP 、AQ 的斜率为21k k ，．则21k k ⋅仍是定值吗？问题8 当点A 在双曲线1-2222=by a x 上运动时．PQ 为双曲线的任意一条不过点A 的弦，设AP 、AQ 的斜率为21k k ，．则21k k ⋅仍是定值吗？思考四也可以研究椭圆中任意弦与过椭圆中心和弦中点的直线的斜率关系对照以上研究的问题，同学们能猜想出什么结论？问题9.如图,BC 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一条不过中心的弦，设BC 的中点为M ，假设 BC 、OM 的斜率存在，则直线BC 、OM 的斜率乘积为定值双曲线是否具有类似的性质?思考五问题10.点A(0．1)为椭圆1422=+y x 上一点．P 、Q 为椭圆上的任意两点（与点A 不重合）．设AP.AQ 的斜率为21k k ，．且41-21=⋅k k ，直线PQ 能过一定点吗？为什么？ 问题11.点A(0．1)为椭圆1422=+y x 上一点．P 、Q 为椭圆上的任意两点（与点A 不重合）．设AP.AQ 的斜率为21k k ，．且-121=⋅k k ，直线 PQ 能过一定点吗？如过定点，求出该定点，如不过定点，说明理由．( 如将11中的上顶点，改为其它顶点时，其余条件保持不变，直线PQ 能过一定点吗？如过定点，求出该定点，如不过定点，说明理由．更一般地，如将问题11中的上顶点改为椭圆任意一定点（与P 、Q 不重合）．直线PQ 能过一定点吗？如过定点，求出该定点，如不过定点，说明理由．这些问题请同学们课后研究．)三、知识迁移应用，深化解题思维 例题 12 如图，设点P 是椭圆E ：1422=+y x 上的任意一点（异于左、右顶点A 、B ）设直线PA 、PB 分别交直线l ：x=4于点M 、N ，求线段MN 长度的最小值.。
初中定点问题解题技巧教案
初中定点问题解题技巧教案教学目标：1. 理解定点问题的概念和特点；2. 学会运用图形和几何性质解决定点问题；3. 掌握定点问题的解题方法和技巧；4. 能够独立解决初中数学中的定点问题。
教学重点：1. 定点问题的概念和特点；2. 运用图形和几何性质解决定点问题；3. 定点问题的解题方法和技巧。
教学难点：1. 理解定点问题的几何性质；2. 灵活运用解题方法和技巧。
教学准备：1. 教师准备相关定点问题的例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平面几何的基本概念，如点、线、角等；2. 提问：什么是定点问题？请大家举例说明。
二、讲解定点问题的概念和特点（10分钟）1. 解释定点问题的定义：在平面几何中，定点问题是指在给定的条件下，求解某个点的坐标或位置的问题；2. 分析定点问题的特点：定点问题通常涉及到点的运动和变化，需要运用动态思维和几何性质进行解决；3. 强调定点问题的解题关键是理解和运用几何性质。
三、讲解定点问题的解题方法和技巧（15分钟）1. 方法一：图形法a. 画出题目中给定的图形；b. 根据题目条件，分析图形的性质和变化；c. 通过图形的变化，找出解题的突破口，得出答案。
2. 方法二：方程法a. 根据题目条件，建立适当的方程；b. 解方程，得出答案；c. 验证答案是否符合题意。
3. 方法三：代入法a. 根据题目条件，假设某个点的坐标或位置；b. 将假设的坐标或位置代入题目中的方程或条件；c. 验证假设的坐标或位置是否符合题意。
四、经典例题讲解（15分钟）1. 出示经典例题，引导学生独立思考和解答；2. 讲解例题的解题思路和技巧；3. 引导学生总结例题的解题规律。
五、练习巩固（10分钟）1. 出示练习题，让学生独立解答；2. 引导学生运用所学的解题方法和技巧；3. 讲解练习题的答案和解题思路。
六、总结和反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容和解题技巧；2. 提问：你们在解题过程中遇到了哪些困难和问题？如何解决？3. 引导学生总结解题经验和教训。
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抛物线中的定点和定值问题
一、考点分析 定点和定值问题是中考压轴题的热点问题．
二、考点要求
1． 初步掌握二次函数综合题的解题思路；
2．渗透数形结合的数学思想方法；
三、考点梳理：根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a
；
四、典型例题
例题1 在平面直角坐标系xOy 中，过点P （0，2）作一直线与二次函数y ＝ax 2（a ＞0）图象交于A 、B 两点，且使∠AOB ＝90°．判断A 、B 两点纵坐标的乘积是否为定值，并说明理由；
例题2（11年•武汉）如图，将抛物线y=x 2+4x+3平移，当顶点至原点时，过Q （0,3）作不
平行于x 轴的直线交抛物线于E 、F 两点，问在y 轴的负半轴上是否存在一定点P,使△PEF 的内心在y 轴上，求出点P 的坐标；
五、方法点睛
六、巩固练习
1.过原点任作一条直线与抛物线y=-x 2-2x+1交于A 、B 两点，若抛物线 上存在定点C ，使∠ACB=900，求C 点坐标.
2. （15中考）如图，抛物线y ＝x 2-1与x 轴交于A
包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠O MP，BQ交直线PM于点Q，求证△PBQ 的周长的周长为定值.。