高二数学简单线性规划的应用PPT优秀课件
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高二数学简单线性规划PPT优质课件
线性规划的理论知识
y
o
x
复习：画出不等式（组）表示的平面区域：
⑴ y≥2x+1
⑵ 4x-3y>9
x+2y<4 y
y=2x+1
3 2
1
-2 -1
123
o
x x+2y=4
y
o1
-1 -2 -3
4x-3y=9
23
x
说明：划分区域时，找好特殊点，注意不等号。
一、课题引入：
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
可行域 ：由所有可行解组 成的集合叫做可行域；
可行域
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组 成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
二、线性规划的概念（：线性目目标标函函数数）
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
3xx45yy235 x 1
求z求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
课堂练习：
1、解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满
足下列条件：
y x
x
y
1
y 1
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
可行域
y
o
x
复习：画出不等式（组）表示的平面区域：
⑴ y≥2x+1
⑵ 4x-3y>9
x+2y<4 y
y=2x+1
3 2
1
-2 -1
123
o
x x+2y=4
y
o1
-1 -2 -3
4x-3y=9
23
x
说明：划分区域时，找好特殊点，注意不等号。
一、课题引入：
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
可行域 ：由所有可行解组 成的集合叫做可行域；
可行域
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组 成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
二、线性规划的概念（：线性目目标标函函数数）
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
3xx45yy235 x 1
求z求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条 件的解(x，y)叫可行解；
课堂练习：
1、解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满
足下列条件：
y x
x
y
1
y 1
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
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可行域
高二数学必修教学课件简单线性规划的应用
03
代数法在简单线性规划中应用
目标函数构建与转化
目标函数的定义
在简单线性规划中，目标函数是描述问题优化目标的数学表达式 ，通常表示为z=ax+by的形式。
目标函数的转化
根据问题的不同，目标函数可能需要进行转化。例如，当要求最 大值时，可以将目标函数转化为求最小值的形式，或者通过添加 负号实现转化。
高二数学必修教学课件简单线 性规划的应用
汇报人:XX
20XX-01-14
目
CONTENCT
录
• 简单线性规划概述 • 图形解法在简单线性规划中应用 • 代数法在简单线性规划中应用 • 整数解在简单线性规划中应用 • 简单线性规划在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
简单线性规划概述
线性规划定义与特点
案例二
运输问题的优化
问题描述
某公司有若干个仓库和若干个销售点，每个仓库有一定数 量的货物。已知从每个仓库到每个销售点的运输费用和运 输量限制，如何安排运输方案使得总费用最小？
代数法求解
同样地，首先根据题意列出目标函数和约束条件。然后， 通过代数法将目标函数和约束条件转化为标准形式。最后 ，利用线性规划的方法求解得到最优解。
01
02
线性规划定义：线性规划 是一种数学方法，用于在 给定约束条件下最大化或 最小化线性目标函数。它 广泛应用于经济、管理、 工程等领域。
线性规划特点
03
04
05
目标函数和约束条件都是 线性的；
可行域是凸集，即任意两 点的连线上的点都在可行 域内；
最优解如果存在，则一定 在可行域的某个顶点上达 到。
在求解线性规划问题时，必须严格遵守约束条件的限制，否则可能导致无解或得到错误 的最优解。
高二数学简单的线性规划及实际应用PPT教学课件
，得
l1
与
,
15 2
），
当直线 z x 2 y 过点 A 时 z 最小，但 A 不是整点，
而在可行域内，整点（4，8）和（6，7）都使 z 最小，
且 zmin 4 2 8 6 2 7 20 ，所以应分别截第一、
第二种钢板 4 张、8 张，或 6 张、7 张，能满足要求.
0.18x 0.08x
0.09y 0.28y
72 56
得
M（350，100）
即生产圆桌 350 张，生产衣柜 100 个，能使利润最大。
例4 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种钢板， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：每 张钢板的面积为：第一种1m2，第二种2 m2，今需要A、B、 C三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多 少张，可得所需的三种规格成品，且使所用钢板面积最小
分别求下列目x标函1数的最大值，最小值 ： (1)z=6x+10y， (2)z=2x-y, (3)z=2x-y，(x,y均为整数)
(4)z=-2x+y,
(5)z= x2 y2
（3）同上，作出直线 L0：6x+10y=0，再将直线 L0 平移，
当 L0 的平行线过 C 点时，可使 z=2x-y 达到最小值 12 5
当 L0 的平行线过 A 点时，可使 z=2x-y 达到最大值 8
但由于 22 不是整数，而最优解（x,y）中，x,y 必须都是整数 5
所以可行域内的点 C(1, 22 )不是最优解 5
当 L0 的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使 z=2x-y 达到最小值 所以 zmin=-2
3、线性规划的实际应用 例3、某木器厂有生产圆桌和衣柜两种木料,第一种有 72米3,第二种有56米3,假设生产每种产品都需要用两种 木料,生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所 示,每生产一张书桌可获利润6元,生产一个衣柜可获利 润10元,木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多 少,才使获得的利润最多?
人教版高中数学2《简单的线性规划问题》 (共23张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
口
罗
不
–
■
电
•
•
在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
高二数学必修5简单的线性规划问题-PPT
问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ 问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
C 设z＝2ｘ+ｙ
ｙ＝-2ｘ+ z
2ｘ+ｙ=0
o
问题4：z几何意义是:
斜率为-2的直线在y轴上的截距
x-4y=-3
A
3x+5y=25
x B 当直线过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当直线过点A(5,2)时,z最大,即zmax＝ 2×5+2＝12
产安排是什么？
应用举例
【引例】：
某工厂用A、B两种配件生 产甲、乙两种产品，每生 产一件甲产品使用4个A配 件并耗时1h，每生产一件 乙产品使用4个B配件并耗 时2h，该厂每天最多可从 配件厂获得16个A配件和 12个B配件，按每天工作 8h计算，该厂所有可能的 日生产安排是什么？
4 2
2
4
6
8
应用举例
【优化条件】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
4
M(4,2 )
2
2
4
6
8
z y2x2x3yz
33
x -4y≤ - 3
例1、画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域
x≥1
x-4y≤-3
在该平面区域上
3x+5y≤25 x≥1
y x=1
3
故有四个整点可行解.
2
1
x +4y=11
0 1 2 3 4 5x
3x +２y=10
应用举例
练习5： 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两
《 简单的线性规划问题》高二年级上册PPT课件(第3.3.2课时)
＝0 的距离的
a 2 ＋b 2 倍．
|ax ＋b y ＋c|
a ＋b ·
，表示可行域内的点(x ，y )到直线 ax ＋b y ＋c
a 2 ＋b 2
2
2
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
x －y ＋2 ≥0
例 2 、已知x ＋y －4 ≥0
2 x －y －5 ≤0
，求：
(1 )z＝x 2 ＋y 2 －1 0 y ＋2 5 的最小值；
(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该
说法是错误的．
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
x ≥0 ，
2 ．若y ≥0 ，
x ＋y ≤1 ，
1
则 z＝x －y 的最大值为________．
根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令 z
法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取
得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得 zm in ＝－5.]
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[规律方法]
1．解线性规划问题的一般步骤
(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线 ax＋by＝0(目标函数为 z＝ax＋by)；
2 y ＋1
(2 )z＝
的范围.
x ＋1
2 y ＋1
思路探究：①把 z＝x ＋y －1 0 y ＋2 5 化为 z＝x ＋(y －5 ) ，其几何意义是什么？②把 z＝
2
1
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• 1．⑪________——设未知数，写出约束 条件与目标函数，将实际应用问题转化为 数学上的线性规划问题；
• 2．⑫________——解这个线性规划问题；
• 3．⑬________——根据应用题提出的问 题作答．
• 答案：
• ①最大值 ②最小值 ③资源配置 ④环 境优化 ⑤产品配方 ⑥合理下料 ⑦可
• [例2] 某工厂生产甲、乙两种产品，每生 产 值品1．种t如产电下品力表需度(所要千) 示的煤：电(力吨、) 煤劳、动人劳力)动( 力及产产值元(千)
甲
4
3
5
7
乙
6
6
39Βιβλιοθήκη • 该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用 电不超过180千度，用煤每天不得超过150 t， 问每天生产这两种产品各多少时，才能创 造最大的经济效益？
• 1.线性规划的理论和方法主要在哪几类问 题中得到应用？线性规划问题的常见类型 有哪些？
• (1)线性规划的理论和方法主要在两类问题 中得到应用：
• 一是在人力、物力、资金等资源一定的条 件下，如何使用它们来完成最多的任务；
• 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，
• (2)线性规划问题的常见类型有： • ①物资调运问题 • 例如已知A1、A2两煤矿每年的产量，煤需
• 4．3 简单线性规划的应用
• 一、线性规划问题
• 一般地，求线性目标函数在线性约束条件 下的①________或②________问题即为线 性规划问题．
• 二、线性规划解决的常见问题 • (1)③________问题． • (2)④________问题． • (3)⑤________问题．
• 三、线性规划问题的求解步骤
由35xx＋ ＋63yy＝ ＝115500， ， 解得yx＝＝11570700， ， 即点 P 坐标为(1570，1070)． 故每天生产甲种产品1570吨、乙种产品1070吨时，才能 创造最大的经济效益．
经B1、B2两个车站运往外地，B1、B2两车 站的运输能力是有限的，且已知A1、A2两 煤矿运往B1、B2两车站的运输价格，煤矿 应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
• ②产品安排问题
• 例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产 一个单位的甲种或乙种产品所需A、B、C 三种材料的数量、此厂每月所能提供的三 种材料的限制、每生产一个单位甲种或乙 种产品所获利润额都是已知的，这个厂每 月应如何安排产品的生产，才能使每月获 得的总利润最大？
的点M时，z＝5x＋2y取得最大值．
解方程组x4＋x＋2yy＝＝1234，. 得 M 点坐标为(5,4)， 此时 z＝5×5＋2×4＝33(mg)． 故每天应服 5 粒甲种胶囊，4 粒乙种胶囊才能 满足维生素需要量，且能得到最大量的维生素 Z.
• 日常生产生活中，对所支配资料能做到科 学合理的重组与配置，能够提高劳动效率 创造最大经济效益．
• ③下料问题
• 例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢 管，怎样下料能使损耗最小？
• 2．在利用线性规划求解有关应用问题时， 有时候需要根据实际情况，最优解要求是 整数．那么，怎样才能正确地得出整数解？
• 在实际应用问题中，有些最优解往往需要 整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根 据约束条件得到的不一定是整数解，通常 处理的方法有两种：
足维生素的需要量，并能获得最大量的维
解析：设该人每天服用甲种胶囊 x 粒，乙种胶囊 y 粒，得到维生素 Z z mg，由题意得
x＋3y≤19， x＋2y≤13， 4x＋y≤24， 4x＋3y≥12， x≥0， y≥0，
目标函数为 z＝5x＋2y.
• 作出不等式组表示的平面区域如图所示，
• 作出5x＋2y＝0. • 把直线向右上方平移，直线经过可行域上
• 作出不等式组所表示的 平面区域如下图所示．
解方程组64xx＋ ＋37yy＝ ＝81， 0 得 A(1135，1145)． 由图可知，当且仅当直线 y＝－54x＋52z 过点 A 时，纵 截距52z 最小，即 z 最小．故当每份盒饭中面食为1135百克， 米食为1145百克时，既科学，费用又少．
• (1)利用约束条件画出图形，如果得出的是 非整数解，进行适当地调整，可以找与所 求出的最优解(非整数解)接近的整数解进 行验证；
• (2)在直线的附近找出与此直线距离最近的 整点，根据求出的结果给出最优解的整数 解；
• (3)我们也可以运用枚举法验证求最优整数 解，或者运用平移直线求最优整数解．最 优整数解有时并非只有一个，很可能是许 多个，应具体情况具体分析.
解析：设每天生产甲种产品 x 吨，乙种产品 y 吨，所创效益为 z 千元．由题意知
4x＋6y≤180， 3x＋6y≤150， 5x＋3y≤150， x≥0，y≥0
目标函数 z＝7x＋9y. 在图中作出可行域，如下图所示．
把直线 l：7x＋9y＝0 平行移动，当经过 P 点时 z＝7x ＋9y 有最大值．
• 合理的配餐、配料能做到物有所值、物有 超值，经济而又实惠．
• [例1] 某校食堂以面食和米食为主，面食 每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位， 售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位， 含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要给学 生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋
• 解析：设每份盒饭中面 食为x百克，米食为y百 克，费用z元，则z＝0.5x ＋0.4y，
• [变式训练1] 某人需要补充维生素，现有 甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含 有维生素A，C，D，E和最新发现的Z，甲 种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分 别是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg；乙种胶囊 每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3 mg, 2 mg,1 mg,3 mg,2 mg.若此人每天摄入 维生素A至多19 mg，维生素C至多13 mg， 维生素D至多24 mg，维生素E至少12 mg， 那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满
• 1．根据线性约束条件画出⑦________， 即不等式或不等式组所确定的平面区域；
• 2．设z＝0，画出直线l0，平行移动l0，以 确定⑧________的位置；
• 3．解有关方程组，求出最优解对应点的 ⑨________，再代入目标函数求出目标函 数的⑩________.
• 四、简单线性规划问题应用题的求解步骤
• 2．⑫________——解这个线性规划问题；
• 3．⑬________——根据应用题提出的问 题作答．
• 答案：
• ①最大值 ②最小值 ③资源配置 ④环 境优化 ⑤产品配方 ⑥合理下料 ⑦可
• [例2] 某工厂生产甲、乙两种产品，每生 产 值品1．种t如产电下品力表需度(所要千) 示的煤：电(力吨、) 煤劳、动人劳力)动( 力及产产值元(千)
甲
4
3
5
7
乙
6
6
39Βιβλιοθήκη • 该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用 电不超过180千度，用煤每天不得超过150 t， 问每天生产这两种产品各多少时，才能创 造最大的经济效益？
• 1.线性规划的理论和方法主要在哪几类问 题中得到应用？线性规划问题的常见类型 有哪些？
• (1)线性规划的理论和方法主要在两类问题 中得到应用：
• 一是在人力、物力、资金等资源一定的条 件下，如何使用它们来完成最多的任务；
• 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，
• (2)线性规划问题的常见类型有： • ①物资调运问题 • 例如已知A1、A2两煤矿每年的产量，煤需
• 4．3 简单线性规划的应用
• 一、线性规划问题
• 一般地，求线性目标函数在线性约束条件 下的①________或②________问题即为线 性规划问题．
• 二、线性规划解决的常见问题 • (1)③________问题． • (2)④________问题． • (3)⑤________问题．
• 三、线性规划问题的求解步骤
由35xx＋ ＋63yy＝ ＝115500， ， 解得yx＝＝11570700， ， 即点 P 坐标为(1570，1070)． 故每天生产甲种产品1570吨、乙种产品1070吨时，才能 创造最大的经济效益．
经B1、B2两个车站运往外地，B1、B2两车 站的运输能力是有限的，且已知A1、A2两 煤矿运往B1、B2两车站的运输价格，煤矿 应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
• ②产品安排问题
• 例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产 一个单位的甲种或乙种产品所需A、B、C 三种材料的数量、此厂每月所能提供的三 种材料的限制、每生产一个单位甲种或乙 种产品所获利润额都是已知的，这个厂每 月应如何安排产品的生产，才能使每月获 得的总利润最大？
的点M时，z＝5x＋2y取得最大值．
解方程组x4＋x＋2yy＝＝1234，. 得 M 点坐标为(5,4)， 此时 z＝5×5＋2×4＝33(mg)． 故每天应服 5 粒甲种胶囊，4 粒乙种胶囊才能 满足维生素需要量，且能得到最大量的维生素 Z.
• 日常生产生活中，对所支配资料能做到科 学合理的重组与配置，能够提高劳动效率 创造最大经济效益．
• ③下料问题
• 例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢 管，怎样下料能使损耗最小？
• 2．在利用线性规划求解有关应用问题时， 有时候需要根据实际情况，最优解要求是 整数．那么，怎样才能正确地得出整数解？
• 在实际应用问题中，有些最优解往往需要 整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根 据约束条件得到的不一定是整数解，通常 处理的方法有两种：
足维生素的需要量，并能获得最大量的维
解析：设该人每天服用甲种胶囊 x 粒，乙种胶囊 y 粒，得到维生素 Z z mg，由题意得
x＋3y≤19， x＋2y≤13， 4x＋y≤24， 4x＋3y≥12， x≥0， y≥0，
目标函数为 z＝5x＋2y.
• 作出不等式组表示的平面区域如图所示，
• 作出5x＋2y＝0. • 把直线向右上方平移，直线经过可行域上
• 作出不等式组所表示的 平面区域如下图所示．
解方程组64xx＋ ＋37yy＝ ＝81， 0 得 A(1135，1145)． 由图可知，当且仅当直线 y＝－54x＋52z 过点 A 时，纵 截距52z 最小，即 z 最小．故当每份盒饭中面食为1135百克， 米食为1145百克时，既科学，费用又少．
• (1)利用约束条件画出图形，如果得出的是 非整数解，进行适当地调整，可以找与所 求出的最优解(非整数解)接近的整数解进 行验证；
• (2)在直线的附近找出与此直线距离最近的 整点，根据求出的结果给出最优解的整数 解；
• (3)我们也可以运用枚举法验证求最优整数 解，或者运用平移直线求最优整数解．最 优整数解有时并非只有一个，很可能是许 多个，应具体情况具体分析.
解析：设每天生产甲种产品 x 吨，乙种产品 y 吨，所创效益为 z 千元．由题意知
4x＋6y≤180， 3x＋6y≤150， 5x＋3y≤150， x≥0，y≥0
目标函数 z＝7x＋9y. 在图中作出可行域，如下图所示．
把直线 l：7x＋9y＝0 平行移动，当经过 P 点时 z＝7x ＋9y 有最大值．
• 合理的配餐、配料能做到物有所值、物有 超值，经济而又实惠．
• [例1] 某校食堂以面食和米食为主，面食 每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位， 售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位， 含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要给学 生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋
• 解析：设每份盒饭中面 食为x百克，米食为y百 克，费用z元，则z＝0.5x ＋0.4y，
• [变式训练1] 某人需要补充维生素，现有 甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含 有维生素A，C，D，E和最新发现的Z，甲 种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分 别是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg；乙种胶囊 每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3 mg, 2 mg,1 mg,3 mg,2 mg.若此人每天摄入 维生素A至多19 mg，维生素C至多13 mg， 维生素D至多24 mg，维生素E至少12 mg， 那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满
• 1．根据线性约束条件画出⑦________， 即不等式或不等式组所确定的平面区域；
• 2．设z＝0，画出直线l0，平行移动l0，以 确定⑧________的位置；
• 3．解有关方程组，求出最优解对应点的 ⑨________，再代入目标函数求出目标函 数的⑩________.
• 四、简单线性规划问题应用题的求解步骤