多元函数可微的必要条件分析

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多元函数可微的条件

多元函数可微的条件
多元函数在某一点可微的条件是：该点各偏导数存在且连续。

如果该函数在一定区域内各处都满足这个条件，则称该函数在这个区域内可微。

具体来说，设函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点
$(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，且 $Delta x=x-x_0$，$Delta
y=y-y_0$，则当 $Delta x$ 和 $Delta y$ 趋近于 $0$ 时，函数的
增量 $Delta f$ 可以表示为：
$$Delta f=f(x_0+Delta x,y_0+Delta y)-f(x_0,y_0)$$ 如果 $Delta f$ 可以用 $Delta x$ 和 $Delta y$ 表示为：
$$Delta f=ADelta x+BDelta y+o(sqrt{{Delta x}^2+{Delta y}^2})$$
其中 $A$ 和 $B$ 是常数，$o(sqrt{{Delta x}^2+{Delta
y}^2})$ 表示当 $Delta x$ 和 $Delta y$ 趋近于 $0$ 时，
$o(sqrt{{Delta x}^2+{Delta y}^2})$ 的阶数小于 $sqrt{{Delta x}^2+{Delta y}^2}$，则称函数在点 $(x_0,y_0)$ 可微。

如果一个函数在某个点可微，则该函数在该点一定连续。

但是，连续不一定意味着可微。

例如，函数 $f(x,y)=|xy|$ 在原点处连续，但是不可微。

总之，多元函数可微的条件是该函数在该点各偏导数存在且连续。

如果该函数在一定区域内各处都满足这个条件，则称该函数在这个区域内可微。

多元函数的可导和可微关系

多元函数的可导和可微关系一、多元函数的可导性对于一个多元函数$f(x_1, x_2, ..., x_n)$，如果函数在其中一点$(x_1^0, x_2^0, ..., x_n^0)$处的偏导数存在且连续，并且函数在该点的微分$\Delta f$可表示为：$$\Delta f=f(x_1^0+\Delta x_1, x_2^0+\Delta x_2, ...,x_n^0+\Delta x_n)-f(x_1^0, x_2^0, ..., x_n^0)\tag{1}$$其中$\Delta x_i$表示自变量$x_i$的增量。

如果存在一个线性函数$L(x_1, x_2, ..., x_n)$使得：$$\Delta f=L(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Deltax_n)+R(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n)\tag{2}$$其中$R(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n)$满足：$$\lim_{\Delta x_1,\Delta x_2,..., \Delta x_n \to0}\frac{R(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Deltax_n)}{\sqrt{(\Delta x_1)^2+(\Delta x_2)^2+...+(\Deltax_n)^2}}=0\tag{3}$$那么称函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在点$(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)$处可导，并且线性函数$L(x_1,x_2,...,x_n)$称为函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在该点的导数，记作：$$L(x_1, x_2, ..., x_n)=\frac{\partial f}{\partialx_1}\Delta x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\Deltax_2+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}\Delta x_n\tag{4}$$其中$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示函数$f$对$x_i$的偏导数。

数学分析第十七章多元函数微分学

第17章多元函数微分学
§1 可微性
一、可微性与全微分
f(x)在点 x0可微 : f(x0x)f(x0)Axo(x)
其中 Af(x0).
定义1. 设函数z f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U(P0)
内有定义, 对于U(P0)中点P(x, y) (x0 x, y0 y),
若函数f在点P0处的全增量 z可表示为:
若(x,y)属于该邻,则域存在 x0 1(x-x0)和y0 2(yy0),01,2 1,使得
f(x,y) f (x0,y0) fx(,y)(xx0) fy(x0,)(yy0).(12
偏导数连续
可微连续
偏导数存在
练 :考习 f(x察 ), y x y e x的 y 可 ,求 (微 2 1 在 )的 , 性全 .
y)
x2 y2,
0,
在原点的可微.性
x2 y2 0, x2 y2 0
这个例子 :函说数明即使在一存点 ,在也偏不导一在该点(但可一微元函数在与一导点数可存).微在
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7
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2).
作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0)
AxByo(),
(1)
其中A,B是仅与点P0有关的常数 , x2 y2, o()
是较高阶的无穷小,量则称函数在P点0可微. 并称(1)式
编辑ppt
1
中关 x,y 于的线A 性 xB 函 y为数函 f在数 P 0 点的全微 ,记分作
f (x, y0)在x0的某邻域内有定 ,则义当极限

多元函数的可到可导和可微的关系

多元函数的可到可导和可微的关系多元函数的可到可导和可微的关系多元函数是指有两个或以上自变量的函数，例如f(x,y)。

在数学中，我们经常需要讨论多元函数在某一点的可到、可导和可微性。

这三个概念是密不可分的，它们之间有着显著的联系和区别。

1. 可到性一个多元函数f(x,y)在点(x0,y0)可到指的是当(x,y)趋近于(x0,y0)，函数f(x,y)的值趋近于一个有限值L，即：lim (x,y)->(x0,y0) f(x,y) = L如果在点(x0,y0)上的极限存在，那么称函数在点(x0,y0)可到，否则则称函数在点(x0,y0)不可到。

对于一些简单的函数，如常数函数和初等函数，它们在点(x0,y0)处通常都是可到的。

例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，我们来分析它在点(0,0)的可到性。

当(x,y)趋近于(0,0)时，f(x,y)=x^2+y^2也会趋近于0，即：lim (x,y)->(0,0) (x^2+y^2) = 0证明了在点(0,0)处f(x,y)是可到的。

2. 可导性一元函数的导数是一个标量，而多元函数的导数则是一个向量，称为梯度。

多元函数的可导性是指在该点附近可以找到一个线性逼近函数，它可以用梯度向量来描述。

具体来说，一个函数f(x,y)在点(x0,y0)可导，当且仅当存在常数A和B使得f(x,y) ≈ f(x0,y0) + A(x - x0) + B(y - y0)当(x,y)趋近于(x0,y0)时，A(x - x0) + B(y - y0)的值对f(x,y)的增量趋近于0，而且A和B唯一确定，称为梯度向量：grad f(x,y) = (fx, fy)其中fx和fy分别是函数f在点(x0,y0)处沿着x和y 方向的偏导数。

注：此处可以引入偏导数和全导数的概念及求法例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，我们来分析它在点(0,0)的可导性。

首先，求出f(x,y)在点(0,0)的梯度向量grad f(0,0)=(0,0)，即fx=fy=0。

多元函数微分法极其应用

多元函数微分法极其应用1.前言多元函数微分法是微积分学重要的一部分，在实际应用中有着广泛的应用。

本文将从多元函数的概念，多元函数微分的定义及性质，多元函数的极值判定和应用等四个方面进行详细讲解。

2.多元函数的概念多元函数是指在正则区域内有定义的由两个或两个以上自变量构成的函数.对于函数y=f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn是自变量，y是因变量，每个自变量xi都取正则区域Di内值，函数f称为定义在正则区域D上的n元函数，记作f(x1,x2,...,xn)。

3.多元函数微分的定义及性质3.1定义：对于多元函数y=f(x1,x2,...,xn)，如果存在一组数（Δx1,Δx2,…,Δxn）：使Δy=f(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn) -f(x1,x2,...,xn)-(∂f/∂x1)(x1,x2,...,xn)Δx1-(∂f/∂x2)(x1,x2,...,xn)Δx2-...-(∂f/∂xn)(x1,x2,...,xn)Δxn满足lim[Δy/(√(Δx12+Δx22+…+Δx2n)]=0（其中n≥2）那么就称函数f(x1,x2,...,xn)在(x1_0,x2_0,...,xn_0)可微，并称Δy=(∂f/∂x1)(x1,x2,...,xn)Δx1+(∂f/∂x2)(x1,x2,...,xn)Δx2+...+(∂f/∂xn)(x1,x2,...,xn)Δxn为函数f(x1,x2,...,xn)在点(x1_0,x2_0,...,xn_0)的微分，通常记为dy.3.2性质：函数f(x1,x2,...,xn)在一点(x1_0,x2_0,...,xn_0)可微的充分必要条件是：只要(∂f/∂x1)、(∂f/∂x2)、...、(∂f/∂xn)等偏导数存在且连续，函数f(x1,x2,...,xn)就在该点可微。

4.多元函数的极值判定和应用4.1极值判定：求多元函数在定义域内的极值可先求其偏导数，若(1)∂f/∂xi=0(i=1,2,...,n)(2)(∂^2f)/(∂xi^2)<0(i=1,2,...,n)则f取得局部最大值；若(1)∂f/∂xi=0(i=1,2,...,n)(2)(∂^2f)/(∂xi^2)>0(i=1,2,...,n)则f取得局部最小值。

多元函数连续,可导,可微之间的关系

多元函数连续,可导,可微之间的关系多元函数是描述多维空间中点集合间关系的函数，可以看作是一种把多维空间上的点映射到实数空间的函数。

它在许多领域中有着重要的应用，特别是在几何学和微积分学中。

数字计算和机器学习方面也有广泛的应用。

因此，了解多元函数的连续性、可导性和可微性之间的关系，对于我们理解多元函数以及使用多元函数进行数字计算是非常有必要的。

连续性是指任意一个点附近的任意一条线段都可以无穷接近这个点，也就是说，这个点的函数值可以无穷接近函数的连续点。

一个函数如果在点上有连续性，可以被认为是“连续的”。

对于多元函数来说，要满足连续性，那么它的每一个变量都应该是连续的，而且它的每一阶偏导数也都应该是连续的。

可导性是指函数的每一阶偏导数都是可积分的，一般来说，如果函数的偏导数都为连续函数，那么其是可积分的。

对于多元函数来说，要想让多元函数可导，就要其偏导数矩阵(Jacobian matrix)可逆，也就是说，多元函数的每一阶偏导数都要是连续、可积分的。

可微性是指函数的每一阶偏导数都是可微的，也就是说，多元函数的每一阶偏导数都要是可积分的。

而且，这个函数的偏导数矩阵(Hessian matrix)也要可逆，也就是说，多元函数的每一阶偏导数都要是可微的。

从上述可以看出，多元函数的连续性、可导性和可微性之间是存在紧密关联的。

当一个多元函数满足连续性时，它就一定满足可导性；而当一个多元函数满足可导性时，它就一定满足可微性。

也就是说，如果一个函数满足连续性，那么它就一定满足可微性。

另外，多元函数的可微性也就是它的可导性的延伸，它的可微性的满足要求比可导性的要求更为严格。

因此，一般来说，如果一个函数不满足可微性，那么它就一定不满足可导性，而满足可导性并不一定满足可微性。

从上述可以看出，多元函数的连续性、可导性和可微性之间是有着密切关系的，这些性质对于我们理解和使用多元函数都具有重要意义。

首先，连续性是多元函数的基础。

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高等数学之多元函数连续，可导，可微问题的方法总结
对二元函数z=f(x,y)，称它在点(x,y)可导是指它在点(x,y)处两个一阶偏导数都存在，则二元函数的连续，可导及可微的关系是
多元函数的可导既不能推得连续，也不能推得可微。

题型一：讨论二元函数的可微性
讨论函数的可微性常用以下三种方法：
（1）利用可微的定义
（2）利用可微的必要条件：可微函数必可导，换言之，不可导的函数一定不可微；
（3）利用可微的充分条件：有连续的一阶偏导数的函数一定可微
以上三种办法中，方法一利用可微的定义判断可微性最常用，此时分以下两步进行：
1.考察f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是否都存在，如果f(x,y)在(x0,y0)处的偏
导数中至少有一个不存在，则函数在（x0,y0)处不可微；如果都存在，则进行以下第二步；
2.考察如下极限是否成立？
若上述极限成立，则函数在（x0,y0)处可微，否则就不可微。

例1：
分析：利用定义证明。

证明：
总结：本例给出一个两个一阶偏导数都不连续但函数可微的例子。

数学分析17.1多元函数微分学之可微性

第十七章多元函数微分学1可微性一、可性性与全微分定义1：设函数z=f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上有定义，对于U(P 0)中的点P(x,y)=(x 0+△x,y 0+△y)，若f 在点P 0处的全增量可表示为： △z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=A △x+B △y+o (ρ)，其中ρ=22y x ∆+∆， o (ρ)是较ρ高阶的无穷小量，A,B 是仅与点P 0有关的常数，则称函数f 在P 0可微. 并称A △x+B △y 为函数f 在点P 0的全微分，记作dz|0P =df(x 0,y 0)=A △x+B △y.当|△x|,|△y|充分小时，dz 可作为△z 的近似值，即 f(x,y)≈f(x 0,y 0)+A(x-x 0)+B(y-y 0). 有时也表示为： △z= A △x+B △y+α△x+β△y ；其中)0,0()y x,(lim→∆∆α=)0,0()y x,(lim→∆∆β=0.例1：考察函数f(x,y)=xy 在点(x 0,y 0)处的可微性. 解：在点(x 0,y 0)处函数的全增量为：△z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=y 0△x+x 0△y+△x △y.∵ρy x ∆∆ρy∆≤ρ→0, ρ→0.∴△x △y=o (ρ)，∴f 在(x 0,y 0)处的可微，且df=y 0△x+x 0△y.二、偏导数定义2：设函数z=f(x,y), (x,y)∈D, 若(x 0,y 0)∈D 且f(x,y 0)在x 0的某一邻域内有定义，则极限x )y ,x (f lim00x 0x ∆∆→∆=x)y ,x (f )y x,x (f lim 00000x ∆-∆+→∆存在时，这个极限称为函数f 在(x 0,y 0)关于x 的偏导数，记作： f x (x 0,y 0)或z x (x 0,y 0),)y ,(x 0xf∂∂,)y ,(x 00xz ∂∂.同样定义f 在点(x 0,y 0)关于y 的偏导数为：f y (x 0,y 0)或)y ,(x 00yf ∂∂.若f 在区域D 上每一点(x,y)都存在对x(或对y)的偏导数，则f 在区域D 上对x(或对y)的偏导函数(简称偏导数)，记作：f x (x,y)或xy)f(x,∂∂ (f y (x,y)或y y)f(x ,∂∂) 也简写为f x ,z x 或x f ∂∂,xz ∂∂( f y ,z y 或y f ∂∂,y z ∂∂).注：1、这里符号x ∂∂,y ∂∂专用于偏导数运算，与一元函数的导数符号dxd相似，又有差别；2、定义中，f 在点(x 0,y 0)存在关于x(或y)的偏导数，f 至少在 {(x,y)|y=y 0,|x-x 0|<δ}(或{(x,y)|x=x 0,|y-y 0|<δ})上必须有定义.二元函数偏导数的几何意义：设P 0(x 0,y 0,z 0)是曲面z=f(x,y)上一点，过P 0作平面y=y 0与曲面的交线为C ：其中⎩⎨⎧==y),x (f z y y 0是平面上的一条曲线.因此，f x (x 0,y 0)作为一元函数f(x,y 0)在x=x 0的导数，就是曲线C 在点P 0处的切线T x 对于x 轴的斜率，即T x 与x 轴正向所成倾角的正切tan α.同样的，f y (x 0,y 0)是平面x=x 0曲面z=f(x,y)的交线⎩⎨⎧==y),x (f z x x 0在点P 0处的切线T y 关于y 轴的斜率tan β.例2：求函数f(x,y)=x 3+2x 2y-y 3在点(1,3)关于x 和关于y 的偏导数. 解法1：f x (1,3)=1x dxdf(x,3)==3x 2+12x 1x ==15；f y (1,3)=3y dyy)df(1,==2-3y 23y ==-25.解法2：∵f x (x,y)=3x 2+4xy ，∴f x (1,3)=15；又f y (x,y)=-3y 2+2x 2，∴f x (1,3)=-25.例3：求函数z=x y (x>0)的偏导数. 解：z x =yx y-1；z y =x y lnx.例4：求三元函数u=sin(x+y 2-e z )的偏导数.解：u x =cos(x+y 2-e z )；u y =2ycos(x+y 2-e z )；u z =-e z cos(x+y 2-e z ).三、可微性条件定理17.1：(可微的必要条件)若二元函数f 在定义域内一点(x 0,y 0)可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且△z=A △x+B △y+o (ρ)中A=f x (x 0,y 0), B=f y (x 0,y 0). 即全微分df)y ,(x 00=f x (x 0,y 0)·△x+f y (x 0,y 0)·△y.或dz=f x (x 0,y 0)dx+f y (x 0,y 0)dy. f 在D 上全微分为df(x,y)=f x (x,y)dx+f y (x,y)dy.例5：考察函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy 222222，在原点的可微性.解：根据偏导数的定义，f x (0,0)=x)0,0(f )x,0(f limx ∆-∆→∆=0; 同理f y (0,0)= 0;△z-dz=f(△x,△y)-f(0,0)-f x (0,0)△x-f y (0,0)△y=22yx y x ∆+∆∆∆.∵ρdz-z lim 0ρ∆→=220ρy x y x lim ∆+∆∆∆→不存在，即△z-dz 不是ρ的高阶无穷小量， ∴f 在原点不可微.定理17.2：(可微的充分条件)若函数z=f(x,y)的偏导数在点(x 0,y 0)的某邻域上存在，且f x 与f y 在点(x 0,y 0)连续，则函数f 在点(x 0,y 0)可微. 证：△z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=[f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0+△y)]+[f(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0)]；即全增量等于两个偏增量的和. 对它们分别应用拉格朗日中值定理得： △z=f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)△x+f y (x 0,y 0+θ2△y)△y, 0<θ1,θ2<1. (中值公式) ∵f x 与f y 在点(x 0,y 0)连续，∴f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)=f x (x 0,y 0)+α, f y (x 0,y 0+θ2△y)=f y (x 0,y 0)+β, 其中当(△x,△y)→(0,0)时，α→0, β→0. ∴△z=f x (x 0,y 0)△x+f y (x 0,y 0)△y+α△x+β△y ，即f 在点(x 0,y 0)可微.注1：例2函数f(x,y)=x 3+2x 2y-y 3在点(1,3)可微，且df(1,3)=15dx-25dy ；例3函数z=x y 在D={(x,y)|x>0,- ∞<y<+∞}上可微，且dz=yx y-1dx+x y lnxdy. 注2：偏导数连续并不是函数可微的必要条件，如函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++0y x 00y x y x 1sin )y x (22222222，在原点(0,0)可微，但 f x 与f y 却在点(0,0)不连续. 若z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的偏导数f x ,f y 连续，则称f 在(x 0,y 0)连续可微.定理17.3：(中值公式)设函数f 在点(x 0,y 0)的某邻域上存在偏导数，若(x,y)属于该邻域，则存在ξ=x 0+θ1(x-x 0)和η=y 0+θ2(y-y 0), 0<θ1,θ2<1，使得 f(x,y)-f(x 0,y 0)=f x (ξ,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,η)(y-y 0).注：1、函数可微必连续，但连续不一定存在偏导数，也不一定可微. 如：函数f(x,y)=22y x +(圆锥)在原点连续，但在该点不存在偏导数； 2、函数在某一点存在对所有自变量的偏导数，不保证在该点连续，如：f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy222222，在原点不连续，但两个偏导数都为0.四、可微性几何意义及应用定义3：设P 是曲面S 上一点，T 为通过点P 的一个平面，曲面S 上的动点Q 到定点P 和到平面T 的距离分别为d 与h ，若当Q 在S 上以任何方式趋近于P 时，恒有dh→0，则平面T 为曲面S 到点P 处的切平面，P 为切点.定理17.4：曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))存在不平行于x 轴的切平面T 的充要条件是函数f 在点(x 0,y 0)可微.证：[充分性]若函数f 在点(x 0,y 0)可微，由定义知，△z=z-z 0=f x (x 0,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,y 0)(y-y 0)+o (ρ)；ρ=2020)y -(y )x -(x +. 在过P 的平面T 上任取点(X,Y,Z)，若有Z-z 0=f x (x 0,y 0)(X-x 0)+f y (x 0,y 0)(Y-y 0)；则曲面上任一点Q(x,y,z)到这个平面的距离为： h=)y ,(x f )y ,(x f 1|)y -)(y y ,(x f -)x -)(x y ,(x f -z -z |002y002x000y 000x 0++=)y ,(x f )y ,(x f 1|) (ρ|002y002x++ο，又P 到Q 的距离为d=202020)z -(z )y -(y )x -(x ++=202)z -(z ρ+≥ρ. 由0≤dh <ρh =)y ,(x f )y ,(x f 11ρ|) (ρ|002y 002x ++ο→0, ρ→0，根据定义3知，平面T 为曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))的切平面.[必要性]若曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))存在不平行于x 轴的切平面, 且Q(x,y,z)是曲面上任意一点，则点Q 到这个平面的距离为： h=22000B A 1|)y -B(y -)x -A(x -z -z |++，令△x=x-x 0,△y=y-y 0,△z=z-z 0,ρ=22y x ∆+∆.由切平面定义知,当Q 充分接近P 时,dh →0,∴对于充分接近P 的Q 有d h =22B A 1d |y B -x A -z |++∆∆∆<22BA 121++, 即 |△z-A △x-B △y|<2d=222z y x 21∆+∆+∆=22z ρ21∆+<21(ρ+|△z|)，又|△z|-|A||△x|-|B||△y|≤|△z-A △x-B △y|<21(ρ+|△z|)，∴21|△z|<|A||△x|+|B||△又由ρ|z |∆<2(|A|ρ|x |∆+|B|ρ|y |∆)+1<2(|A|+|B|)+1知，ρ|z |∆有界，从而由ρd =ρz ρ22∆+=2ρz 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+<1+ρz ∆<2(|A|+|B|+1)知，ρd也有界. 于是，当ρ→0时，有ρ|y B -x A -z |∆∆∆=2222B A 1ρd B A 1d |y B -x A -z |++++∆∆∆=22B A 1ρdd h ++→0,ρ→0，即△z= A △x|+B △y+o (ρ)，即函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)可微.注：定理17.4说明，若函数f 在点(x 0,y 0)可微，则曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))的切平面方程为：z-z 0=f x (x 0,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,y 0)(y-y 0)，过切点P 与切平面垂直的直线称为曲面在点P 的法线. 由切面方程知，法线的方向数为：±(f x (x 0,y 0),f y (x 0,y 0),-1)，即过切点P 的法线方程为：)y ,(x f x -x 00x 0=)y ,(x f y -y 00x 0=1-z -z 0.二元函数全微分的几何意义如图所示：当自变量x,y 的增量分别为△x,△y 时，函数z=f(x,y)的增量△z 是竖坐标上的一段NQ ，而二元函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的全微分 dz=f x (x 0,y 0)△x+f y (x 0,y 0)△y 的值是过点P 的切平面PM 1MM 2上相应的增量NM ，于是△z 与dz 之差MQ 的值随着ρ→0而趋于零，而且是较ρ高阶的无穷小量.例6：试求抛物面z=ax 2+by 2在点M(x 0,y 0,z 0)的切平面方程与法线方程. 解：∵f x (x 0,y 0)=2ax 0, f y (x 0,y 0)=2by 0, ∴在点M(x 0,y 0,z 0)的切平面方程为： z-z 0=2ax 0(x-x 0)+2by 0(y-y 0)，即z=2ax 0x+2by 0y-z 0-z=0；在点M(x 0,y 0,z 0)的法线方程为：002ax x -x =002by y -y =1-z -z 0.例7：求1.083.96的近似值.解：设f(x,y)=x y , 令x 0=1, y 0=4, △x=0.08, △y=-0.04, 则 1.083.96=f(x 0+△x,y 0+△y)≈f(1,4)+f x (1,4)△x+f y (1,4)△y =1+4×0.08+0×(-0.04)=1.32.例8：应用公式S=21absinC 计算某三角形面积，现测得a=12.50, b=8.30,C=30⁰，若测量a,b 的误差为±0.01，C 的误差为±0.1⁰，求用此公式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. 解：依题意，测量中a,b,C 的绝对误差限分别为：|△a|=0.01, |△b|=0.01, |△C|=0.1⁰=08001π. ∴S 的绝对误差限分别为： |△S|≈|dS|=a a S ∆∂∂+b b S∆∂∂+C C S ∆∂∂≤a a S ∆∂∂+b b S ∆∂∂+C C S ∆∂∂=21|bsinC||△a|+21|asinC||△b|+21|abcosC|≈0.13. 又S=21absinC ≈25.94，∴S 的相对误差限为：SS ∆≈25.9413.0≈0.5%.习题1、求下列函数的偏导数： (1)z=x 2y ；(2)z=ycosx ；(3)z=22y x 1+；(4)x=ln(x 2+y 2)；(5)z=e xy ；(6)z=arctan x y ；(7)z=xye sin(xy)；(8)u=x y +y z -zx ；(9)u=(xy)z ；(10)u=zy x .解：(1)z x =2xy; z y =x 2. (2)z x =-ysinx; z y =cosx.(3)z x =322)y (x x +-; z y =322)y (x y +-.(4)z x =22y x x 2+; z y=22y x y2+. (5)z x =ye xy ; z y =xe xy . (6)z x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+22x y 1x x-=22y x x -+; z y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+2x y 1x 1=22yx x +. (7)z x =ye sin(xy)+xy 2e sin(xy)cos(xy); z y =xe sin(xy)+x 2ye sin(xy)cos(xy). (8)u x =-2x y -z 1; u y =x 1-2y z ; u z =y 1+2zx. (9)u x =yz(xy)z-1; u y =xz(xy)z-1; u z =(xy)z ln(xy). (10)u x =y z1y z x -; u y =zy z-1zy x lnx; u z =y zzy x lnx·lny.2、设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx，求f x (x,1). 解：∵f(x,1)=x ，∴f x (x,1)=1.3、设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x yx 1ysin 222222，，考察f 在原点(0,0)的偏导数. 解：∵x)0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，∴f x (0,0)=0；又y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=20y y)(1sin lim ∆→∆不存在，f y (0,0)不存在.4、证明函数z=22y x +在点(0,0)连续，但偏导数不存在.证：∵22)0,0()y x,(y x lim +→=0=z(0,0)，∴z=22y x +在点(0,0)连续. 又x)0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x |x |lim 0x ∆∆→∆，y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=x |x |lim0x ∆∆→∆，即两个极限都不存在，∴两个偏导数都不存在.5、考察函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x yx 1xysin 222222，在点(0,0)的可微性. 解：∵x)0,0(f )x,00(f lim 0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，∴f x (0,0)=0；同理f y (0,0)=0；又ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=2222y)(x)(1siny)(x)(y x ∆+∆∆+∆∆∆≤2222y)(x)(2y)(x)(∆+∆∆+∆=2y)(x)(22∆+∆→0,ρ→0，∴f 在点(0,0)可微.6、证明函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x y x 2222222，在点(0,0)连续且偏导数存在，但在此点不可微.证：∵222yx y x +≤2xy y x 2=2x→0,(x,y)→0，即)0,0()y x,(lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f 在点(0,0)连续. 又x )0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0， ∴f x (0,0)=0; f y (0,0)=0. 但ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=3222]y)(x)[(y x)(∆+∆∆∆. 当△x=△y 时，3222]y)(x)[(y x)(∆+∆∆∆=81，当y=0时，3222]y)(x)[(yx)(∆+∆∆∆=0.∴ρy)0,0(f -x )0,0(f f lim y x 0ρ∆∆-∆→不存在，∴f 在点(0,0)不可微.7、证明函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++0y x 00y x y x 1sin )y x (22222222，在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f 在点(0,0)可微. 证：∵2222y x 1sin)y x (++≤x 2+y 2→0,(x,y)→0，即)0,0()y x,(lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f 在点(0,0)连续.当x 2+y 2≠0时，f x (x,y)=2xsin 22yx 1+-22y x x +cos 22y x 1+， ∵)0,0()y x,(lim →2xsin 22yx 1+=0，而)0,0()y x,(lim→22yx x +cos22yx 1+不存在，∴)0,0()y x,(lim →f x (x,y)不存在，即f x (x,y)在点(0,0)不连续，同理f x (x,y)在点(0,0)不连续. 但x)0,0(f )x,00(f lim 0x ∆-∆+→∆=x 1x sin lim 0x ∆∆→∆=0，∴f x (0,0)=0;同理f y (0,0)=0. ∴ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=222222y)(x)(1siny)(x)(y)(x)(∆+∆∆+∆∆+∆≤22y)(x)(∆+∆→0,ρ→0，∴f 在点(0,0)可微.8、求下列函数在给定点的全微分： (1)z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0), (1,1)；(2)z=22yx x +在点(1,0),(0,1).解：(1)∵z x =4x 3-8xy 2，z y =4y 3-8x 2y 在(0,0)和(1,1)都连续，∴z 在(0,0)和(1,1)都可微；又z x (0,0)=0, z y (0,0)=0; z x (1,1)=-4, z y (1,1)=-4;∴dz|(0,0)=0；dz|(1,1)=-4(dx+dy).(2)∵z x =2222222yx y x x y x ++-+=3222)y (x y +在(1,0)和(0,1)都连续；z y =2222yx y x xy ++-=322)y (x xy -+在(1,0)和(0,1)也都连续；∴z 在(1,0)和(0,1)都可微；又z x (1,0)=0, z y (1,0)=0; z x (0,1)=1, z y (0,1)=0; ∴dz|(1,0)=0；dz|(0,1)= dx.9、求下列函数的全微分：(1)z=ysin(x+y)；(2)u=xe yz +e -z +y. 解：(1)∵z x =ycos(x+y), z y =sin(x+y)+ycos(x+y)在R 2上都连续， ∴z 在R 2上可微；且dz=ycos(x+y)dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dy. (2)∵u x =e yz , u y =xze yz +1, u z =xye yz -e -z 在R 3上都连续， ∴u 在R 3上可微；且dz=e yz dx+(xze yz +1)dy+(xye yz -e -z )dz.10、求曲面z=arctan xy 在点(1,1,4π)的切平面方程和法线方程. 解：∵z 在(1,1)处可微，∴切平面存在. 又z x (1,1)=-21,z x (1,1)=21， ∴切平面方程为-21(x-1)+21(y-1)-(z-4π)=0，即x-y+2z=2π;法线方程：21-1-x =211-y =14π-z -，即2(1-x)=2(y-1)=4π-z.11、求曲面3x 2+y 2-z 2=27在点(3,1,1)的切平面与法线方程.解：3x 2+y 2-z 2=27两边对x 微分得：6x-2z·z x =0，∴z x =3x 1z 2z6x ===9;3x 2+y 2-z 2=27两边对y 微分得：2y-2z·z y =0，∴z y =1x 1z 2z2y===1;∴切平面方程为9(x-3)+(y-1)-(z-1)=0，即9x+y-z-27=0; 法线方程：93-x =11-y =11-z -，即x-3=9(y-1)=9(1-z).12、在曲面z=xy 上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+z+9=0, 并写出该切平面方程和法线方程.证：设该点为(x 0,y 0,x 0y 0)，∵z x (x 0,y 0)=y 0; z y (x 0,y 0)=x 0；∴切平面方程为y 0(x-x 0)+x 0(y-y 0)-(z-x 0y 0)=0，即y 0x+x 0y-z-x 0y 0=0; 由切平面平行于平面x+3y+z+9=0知，y 0=-1; x 0=-3. ∴该点切平面方程为-x-3y-z-3=0，即x+3y+z+3=0. 由00y x -x =00x y -y =1-y x -z 00得1-3x +=3-1y +=1-3-z . ∴该切平面的法线方程为： 3(x+3)=y+1=3(z-3).13、计算近似值：(1)1.002×2.0032×3.0043；(2)sin29⁰·tan46⁰.解：(1)设u=xy 2z 3; x 0=1,y 0=2,z=3; △x=0.002, △y=0.003, △z=0.004；则 u(1,2,3)=108; u x (1,2,3)=108; u y (1,2,3)=108; u z (1,2,3)=108.由u(1.002,2.003,3.004)=u(1,2,3)+u x (1,2,3)△x+u y (1,2,3)△y+u z (1,2,3)△z, 得1.002×2.0032×3.0043≈108(1+0.002+0.003+0.004)=108.972. (2)设z=sinxtany; x 0=6π,y 0=4π; △x=-180π, △y=180π；则 z(6π,4π)=21;z x (6π,4π)=tan 4πcos 6π=23; u z (6π,4π)=sin 6πsec 24π=1;∴sin29⁰·tan46⁰≈21-23×180π+180π≈0.5023.14、设圆台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm, 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm ，求此圆台体积变化的近似值. 解：圆台体积为：V(R,r,h)=3πh(R 2+Rr+r 2), ∴V R (30,20,40)=3π(2×40×30+40×20)=33200π, V r (30,20,40)=3π(2×40×20+40×30)=32800π, V h (30,20,40)=3π(302+30×20+202)=31900π, 当△R=0.3,△r=0.4,△h=0.2时， △V ≈33200π×0.3+32800π×0.4+31900π×0.2=820π≈2576(cm 3). ∴此圆台体积约增加了2576cm 3.15、证明：若二元函数f 在点P(x 0,y 0)的某邻域U(P)上的偏导函数f x 与f y 有界，则f 在U(P)上连续.证：∵f x ,f y 在U(P)有界, 设此邻域为U(P;δ1)，则存在M>0, 使|f x |<M, |f y |<M 在U(P;δ1)内成立. 又|△f|=|f(x+△x,y+△y)-f(x,y)|=|f x (x+θ1△x,y+△y)△x+f y (x,y+θ2△y)△y| ≤M|△x |+M|△y|, ∴∀ε>0, ∃δ=min{δ1,1)2(M ε}, 使当|△x |<δ,|△y |<δ时，就有|f(x+△x,y+△y)-f(x,y)|< ε,∴f 在U(P; δ)上连续.16、设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续. (1)若在intD 内有f x ≡0，试问f 在D 上有何特性？ (2)若在intD 内有f x =f y ≡0，f 又怎样？(3)在(1)的讨论中，关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？解： (1)f(x,y)=φ(y). 即函数值与x 无关. 理由如下：对intD 内任意两点(x 1,y),(x 2,y)，由中值定理知： f(x 2,y)-f(x 1,y)=f x (x+θ(x 2-x 1),y)(x 2-x 1)=0，即f(x 2,y)=f(x 1,y)，由(x 1,y),(x 2,y)的任意性知，f(x,y)=φ(y).(2)若在intD 内有f x =f y ≡0，则f(x,y)=常数，即函数值与x,y 无关. 证：对intD 内任意两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)，由中值定理知存在 ξ=x 1+θ1(x 2-x 1), η=y 1+θ2(y 2-y 1)，使得f(x 2,y 2)-f(x 1,y 1)=f x (ξ,y 2)(x 2-x 1)+f x (x 1,η)(y 2-y 1)，∵f x =f y ≡0，∴f(x 2,y 2)≡f(x 1,y 1). 由(x 1,y 1),(x 2,y 2)的任意性知，f(x,y)=常数.(3)(1)中关于f 在D 上的连续性假设不能省略，否则不一定成立.例如，在矩形区域D=⎢⎣⎡-23,⎥⎦⎤23×[0,2]上二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧>>中其它部分D 00y 0,x y 3，在intD 内，f x ≡0，但不连续，f(1,1)=1; f(-1,1)=0，显然f 与x 有关，结论不成立.(1)中长方形区域不能改为任意区域，否则不一定成立.例如，设I={(x,y)|x=0,y ≥0}, D=R 2-I ，则二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧>>中其它部分D 0y 0,x y 3，在D 上连续，且f x ≡0，但f(1,1)=1; f(-1,1)≡0，即f 与x 有关，结论不成立.17、试证在原点(0,0)的充分小邻域内，有arctan x y1yx ++≈x+y. 证：设f(u,v)=arctan uv1vu ++，u 0=0,v 0=0,△u=x,△v=y ，则 arctanx y1yx ++≈f(u 0,v 0)+f u (u 0,v 0)△u+f v (u 0,v 0)△v ，其中 f(u 0,v 0)=arctan0=0, f u (u 0,v 0)=f v (u 0,v 0)=1，∴arctan x y1yx ++≈△u+△v=x+y.18、求曲面z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与Ox 轴的交角.解：∵z x (2,4)=2x|x=2=1；∴切线与Ox 轴的交角为arctan1=4π.19、试证(1)乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和； (2)商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 证：(1)设u=xy, 则du=ydx+xdy ，∴u u ∆≈u du =y dy x dx +≤x dx +ydy. (2)设v=yx , 则dv=y dx -2y xdy，∴v v ∆≈v dv =y dy x dx -≤x dx +ydy .20、测得一物体的体积V=4.45cm 3, 其绝对误差限为0.01cm 3;又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.01g. 求由公式d=VW算出的密度d 的相对误差限和绝对误差限. 解：|△d|≈|d W ·△W+d v ·△V|=V VW V W 2∆-∆=01.045.430.804.4501.02⨯-≈0.017. 方法一：d d ∆=W d V ∆=30.80017.045.4⨯≈0.25%；方法二：d d ∆≈W dW +VdV ≈0.032%+0.225%≈0.26%； ∴密度d 的相对误差限为约0.25%(或0.26%)，绝对误差限为0.017.。

数学分析第十七章多元函数微分学

1.04
2.02
f (1.04,2.02)
f (1,2) f x (1,2)x f0 0.02 1.08.
课堂练习: P116, 12
小结
1、理解可微和全微分的概念，会证明可微性； 2、掌握偏导数定义和计算，会求全微分； 3、了解可微的必要条件和充分条件，及其有关例子；
这个例子说明: 函数即使在一点偏导数存在, 也不一定在该点可微 (但一元函数在一点可微与导数存在等价 ).
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2). 作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
定理 1 7.2(可微的充分条件) 若函数f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内存在偏导数, 且f x与f y在点( x0 , y0 )处连续, 则函数f在该点可微.
因此, f在( x0 , y0 )的全微分(2)可唯一地表示为 df |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y.
因 dx x, dy y, 故全微分可写为 dz |( x , y ) f x ( x0 , y0 )dx f y ( x0 , y0 )dy.
下面证明过P0的平面 Z z0 f x ( x0 , y0 )( X x0 ) f y ( x0 , y0 )( Y y0 ) 就是z f ( x, y )在P0的切平面。事实上，
h z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) 1 f x2 ( x0 , y0 ) f y2 ( x0 , y0 )
它是关于x的一元函数z f ( x, y0 )在x x0处的导数.

一全微分的定义二可微的条件三小结

z f ( x x, y y) f ( x, y).
全微分的定义
如果函数z f (x, y)在点(x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)
可以表示为 z Ax By o( )，
其中 A, B不依赖于x、y而仅与 x、y有关，
(x)2 (y)2 ，则称函数 z f ( x, y) 在点
特别地，当y 0时，上式仍成立，此时 | x |,
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
lim
x0
f ( x x, y) x
f (x, y)
A
z x
,
同理可得
B
z y
.
一元函数在某点的导数存在
多元函数的各偏导数存在
例如，
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
x2 y2 ( x2 y2)3
2
lim sin2 cos2 0
0
lim f ( x, y)
( x, y)(0,0)
lim
( x, y)(0,0)
x2 y2 ( x2 y2)3
2
lim sin2 cos2 0
0
f (0,0),
故函数 f ( x, y)在点(0, 0)连续。
f
dz
z x
dx
z y
dy.
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分
之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du
u x
dx
u y
dy
u z
dz.
例 1 计算函数 z e xy 在点 (2, 1) 处的全微分.

多元函数的连续性与可微性

多元函数的连续性与可微性多元函数的连续性与可微性是微积分的重要概念。

在解析几何中，我们经常需要研究多元函数的性质，而连续性与可微性是我们理解和分析多元函数的基础。

在本文中，我将讨论多元函数的连续性与可微性的概念、定义以及它们在实际问题中的应用。

首先，我们来定义多元函数的连续性。

假设有一个定义在某个区域D上的多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量。

我们称函数f在某点(a1, a2, ..., an)处连续，如果当自变量x1, x2, ..., xn逐渐接近(a1, a2, ..., an)时，函数值f(x1, x2, ..., xn)也逐渐接近f(a1, a2, ..., an)。

用数学语言表达，即：lim┬(x→a) ⁡f(x) = f(a)其中，lim表示极限的概念。

如果函数f在集合D的每个点都连续，我们称函数f在D上连续。

那么，多元函数的可微性又是什么意思呢？我们称多元函数f(x1,x2, ..., xn)在某点(a1, a2, ..., an)处可微，如果该函数在该点附近的某个区域内有一个线性逼近函数。

这个线性逼近函数被称为多元函数的导数。

用数学语言表达，即：f(x1, x2, ..., xn) ≈ f(a1, a2, ..., an) + ∑┬(i=1)ⁿ ∂f/∂xi (a1, a2, ..., an)(xi - ai)其中，∂f/∂xi表示函数f对自变量xi的偏导数，xi - ai表示自变量与其对应的变化量。

连续性与可微性是密切相关的，一般来说，可微性是连续性的强化形式。

根据数学定义，若一个函数在某点可微，那么它在该点也是连续的。

而连续函数并不一定可微。

多元函数的连续性与可微性在数学中具有广泛的应用。

例如，在物理学中，我们经常需要利用多元函数来描述物体的运动轨迹、能量分布等。

通过研究函数的连续性，我们可以了解物体在不同时刻的位置、速度以及加速度等信息。

多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系

多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限
存在的关系
多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系
在高等数学中，我们熟悉的多元函数可微性是指函数在某一点处沿着任意方向的增量与对应的线性主部之比存在极限，而偏导数是指函数在某一点关于某一变量的导数，即在其他变量不变的情况下，该变量的导数存在极限。

那么多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在之间存在着怎样的关系呢？
首先，多元函数在某一点处可微，则必然在该点处连续，并且在该点处偏导数存在，反之亦然。

这可以从定义出发进行证明。

其次，多元函数在某一点处连续，则必然在该点处偏导数都存在，但不一定可微。

这是因为连续性只能保证存在单向导数，而可微性需要同时满足双向导数都存在且相等。

第三，偏导数在某一点处存在，但不一定连续。

例如函数
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy^2}{x^2+y^4},&(x,y)\neq(0,0) \\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$在$(0,0)$处$x$和$y$的偏导数都存在，但不连续。

综上所述，多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在之间存在着一定的关系，但彼此之间并不完全等价。

在实际问题中，我们
需要根据具体情况选择适合的理论工具来研究多元函数的性质，以解决相应的问题。

多元函数的可微性

x0
x
2022年9月1日10时41分
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9
类似地可定义关于 y 的偏导数
f y
( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )
lim
y y0
f ( x0 , y) f ( x0 , y0 ) y y0
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
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22
例6. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
z
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x (x0, y0 )
x0
x
作平面 y =y0 , 得曲线 L ,
z f (x, y)
y
y0
在点 P0 ( x0 , y0 , f (x0 , y0 ))处
作曲线L的切线 Tx
由一元函数导数的几何意义：
z = tan
x ( x0 , y0 )
A( x x0 ) B( y y0 )
dz
从而
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) A( x x0 ) B( y y0 )
2022年9月1日10时41分
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5
在使用上，⑴式常写成下列形式：
其中
z Ax By x y
lim lim 0

可微分的充分必要条件

可微分的充分必要条件
可微分的充分必要条件是指一个函数在某一点可微分的充分必要条件。

在数学中，可微性是函数微积分学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的局部变化率。

一个函数在某一点可微分的充分必要条件是该函数在该点处存在切线，并且在该点处的导数存在。

换句话说，如果一个函数在某一点可微分，那么该函数在该点处的导数存在，反之亦然。

从几何上来理解，一个函数在某一点可微分意味着该函数在该点处是光滑的，没有断点或拐点。

这意味着函数在该点处的切线可以很好地近似描述函数在该点的局部行为。

如果一个函数在某一点不可微分，那么在该点处函数可能有跳跃或间断，或者在该点处函数的斜率不存在。

可微分的充分必要条件在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，描述运动的函数通常是可微分的，因为我们希望能够准确地计算物体在某一时刻的速度或加速度。

在经济学中，描述市场供求关系的函数也通常是可微分的，因为我们希望能够准确地计算价格的变化率。

在工程学中，描述信号传输的函数也通常是可微分的，因为我们希望能够准确地计算信号的频率或幅度。

可微分的充分必要条件是函数在某一点可微分的充分必要条件。

它描述了一个函数在某一点的局部行为，以及该函数在该点处的导数存在与否。

这一概念在数学和应用领域都有着重要的意义，对于理
解函数的性质和行为具有重要的指导作用。

多元函数可微的充分必要条件

多元函数可微的充分必要条件
庞通
【期刊名称】《中国科教创新导刊》
【年(卷),期】2012(000)010
【摘要】以二元函数可微的必要条件、充分条件和充要条件来阐述多元函数在点(x,y)处可微与偏导数的关系.
【总页数】2页(P113-114)
【作者】庞通
【作者单位】广西机电职业技术学院南宁 530007
【正文语种】中文
【中图分类】O172
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浅谈多元函数的持续及可微

浅析多元函数的持续及可微
摘要：在学习多元函数以前，咱们关于一元函数的熟悉都是超级熟悉的，对一元函数持续、可微之间的关系也都超级清楚.而多元函数是一元函数的推行，它具有比一元函数更复杂的性质.就一样的二元函数来讲，学习数学分析以后，咱们明白当二元函数的两个偏导数都持续时，函数可微.第一证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数持续时，函数可微.然后考虑了一样的多元函数的情形，取得了当多元函数的某个偏导数持续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，要紧研究二元函数的持续性，偏导存在性，可微性等概念和它们之间因果关系.在了解本文以后，读者会对多元函数有更深刻的熟悉！
关键词：可微; 偏导数; 持续。

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