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2020届甘肃省武威第六中学高三上学期第六次诊断考试数学(理)试题(解析版)

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甘肃省武威第六中学2021届高三数学上学期第六次诊断考试试题 文(含解析).doc

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甘肃省武威第六中学2021届高三数学上学期第六次诊断考试试题 文（含解析）一、选择题：共12题，每题5分，共60分1.设集合()(){}|130A x x x =--≥，集合11|13x B x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ）A. {}1x x ≤ B. {}3x x ≤C. {}13x x ≤≤D. {}1【答案】B 【解析】 【分析】计算{}13A x x =≤≤，{}1B x x =<，再计算AB 得到答案.【详解】()(){}{}|13013A x x x x x =--≥=≤≤，{}11113x B xx x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 故{}3A B x x ⋃=≤. 故选：B .【点睛】本题考查了并集运算，意在考查学生的计算能力. 2.已知复数3z ai =+的模为5，则实数a =（ ） A. 2± B. 8±C. 4±D. 5±【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模公式直接计算得到答案.【详解】3z ai =+，故5z ==，故4a =±. 故选：C .【点睛】本题考查了根据复数模求参数，意在考查学生的计算能力. 3.若非零向量a ，b 满足223a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A.4π B.2π C.34π D. π【解析】 【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可． 【详解】∵（a ﹣b ）⊥（3a +2b ）， ∴（a ﹣b ）•（3a +2b ）=0， 即3a 2﹣2b 2﹣a •b =0，即a •b =3a 2﹣2b 2=23b 2， ∴cos ＜a ，b ＞=a b a b ⋅=2223bb =即＜a ，b ＞=4π， 故选A ．【点睛】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．4.已知直线a ，b 和平面α，若a α⊂，b α⊄，则“a b ⊥”是“b α⊥”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理与性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可得到“a b ⊥”是“b α⊥”的必要不充分条件．【详解】由线面垂直的判定定理得：若a α⊂，b α⊄，则“a b ⊥”不能推出“b α⊥”， 由“b α⊥”，根据线面垂直的性质定理，可得“a b ⊥”， 即“a b ⊥”是“b α⊥”的必要不充分条件，【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有众兄弟辈出钱买物，长兄出钱八文，次兄以下各加一文，顺至小弟出钱六十文.问：兄弟辈及共钱各若干？意思是：众兄弟出钱买一物品，长兄出了八文钱，每位兄弟比上一位兄长多出一文钱，到小弟的时候，小弟出了六十文钱，问兄弟的个数及一共出的钱数分别是多少.则兄弟的个数及一共出的钱数分别是（ ） A. 52，1768 B. 53，1768C. 52，1802D. 53，1802【答案】D 【解析】 【分析】设众兄弟出钱数为n a ，则{}n a 为首项为8，公差为1的等差数列，计算得到答案. 【详解】设众兄弟出钱数为n a ，则{}n a 为首项是8，公差为1的等差数列，7n a n =+.760n a n =+=，故53n =；535352538118022S ⨯=⨯+⨯=. 故选：D .【点睛】本题考查了等差数列通项公式，前n 项和，意在考查学生的计算能力和应用能力. 6.已知直线l 过点()2,0-且倾斜角为α，若l 与圆()22320x y -+=相切，则3πsin(2)2α-（ ） A.35B. 35-C.45D. 45-【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线与圆相切得tan α，再根据诱导公式以及弦化切求结果. 【详解】设直线():2l y x tan α=+,因为l 与圆()22320x y -+=1tan 2α==±，因此222222113πcos sin 1tan 34sin(2)=cos 2,12cos sin 1tan 514αααααααα-----=-=-=-=-+++选A. 【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.7.已知函数()2,01,02xx x f x x x ≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则不等式()6f x ≤的解集是（ ）A. (],3-∞B. []2,3-C. []0,3D. []1,3-【答案】B 【解析】 【分析】讨论0x ≥和0x <两种情况，根据函数()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减解不等式得到答案. 【详解】当0x ≥时，()26f x x =≤，即3x ≤，故03x ≤≤；当0x <时，()126x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=≤，()26f -=，函数()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，故2x ≥-，即20x -≤<； 综上所述：23x -≤≤. 故选：B .【点睛】本题考查了分段函数解不等式，判断函数()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减是解题的关键.8.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱CD ，11A D 的中点，则异面直线EF 与1BC 所成角的余弦值是（ ）A.3 B.3 C.2 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，M 为1AA 中点，连接MF ，ME ，1AD ，确定MFE ∠是异面直线EF 与1BC 所成角，利用余弦定理计算得到答案.【详解】如图所示：M 为1AA 中点，连接MF ，ME ，1AD .M 为1AA 中点，F 是11A D 的中点，故1//MF AD ，易知11//BC AD ，故MFE ∠或其补角是异面直线EF 与1BC 所成角. 设正方体边长为2，则2MF =，156EF =+=，156ME =+=.在MEF ∆中，根据余弦定理：2223cos 26MF ME EF MFE MF ME +-∠==⋅. 故选：B .【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 9.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 1-B. 12-C. 22-D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像得到2A =，()03f =3πϕ=，根据7212f π⎛⎫=-⎪⎝⎭得到242,7k k Z ω=+∈，得到2ω=，代入数据计算得到答案.【详解】根据图像知：2A =，()()2si 30n f ϕ==即3sin 2ϕ=，02πϕ<<，故3πϕ=.772sin 212123f πππω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故732,1232k k Z πππωπ+=+∈， 即242,7k k Z ω=+∈，根据图像知：2712T ππω=>，故247ω<， 当0k =时，2ω=满足条件，故()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故32sin 12334f πππ⎛⎛⎫+=- ⎪⎝= ⎭⎫⎪⎝⎭. 故选：A .【点睛】本题考查了根据三角函数图像求解析式，计算函数值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 10.已知()()()32140,03f x x ax b x a b =++->>在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为（ ） A.323+ B. 322+ C. 3D. 22【答案】C 【解析】 【分析】求导()2'24f x x ax b =++-，根据极值点得到23a b +=，()2112123a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()()32143f x x ax b x =++-，故()2'24f x x ax b =++-， 根据题意()'11240f a b =++-=，即23a b +=.()()2112112212553333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当22b aa b=，即1a b ==时等号成立. 故选：C .【点睛】本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.11.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A.14B. 13C. 12D.23【答案】C 【解析】 【分析】 不妨设P第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1tan 2PAF ∠=得到2120e e --=，解得答案.【详解】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，21tan 2b a PAF ac ∠==+，即2220a ac c --=， 即2120e e --=，解得12e =，1e =-（舍去）.故选：C .【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力. 12.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A. 50-B. 0C. 2D. 50【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分 13.曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________.【答案】12-． 【解析】 【分析】先对函数21()ln 2f x x x x =+求导，求出其在点(1(1))f ，处的切线斜率，进而可求出结果. 【详解】因为21()ln 2f x x x x =+，所以()ln 1f x x x '=++， 因此，曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线斜率为(1)112k f '==+=； 又该切线与直线10ax y --=垂直，所以12a =-. 故答案为12-【点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.14.已知动点(),P x y 满足不等式组236010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最小值是________.【答案】2- 【解析】 【分析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到最值. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数：根据图像知，当1,0x y ==时，2z y x =-有最小值为2-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.15.如图，已知平面四边形ABCD 满足2,60,90AB AD A C ==∠=︒∠=︒，将ABD ∆沿对角线BD 翻折，使平面ABD ⊥平面CBD ，则四面体ABCD 外接球的体积为__________．323【解析】由题意可知，△ABD 是等边三角形，找到△ABD 的中心F ，作GF ⊥平面ABD ，由题意可知，外接球的球心在直线GF 上，由等边三角形的性质，有AF BD E ⊥=，利用面面垂直的性质可知：AE ⊥平面BCD ，则外接球的球心在直线AE 上，结合AE GF F ⋂=可知点F 为外接球球心，外接球半径AF 为△ABD 的外接圆圆心，设外接球半径为R ，则22,sin 603R R =∴=，外接球的体积334432333273V R πππ==⨯= ⎪⎝⎭.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.已知P 是直线3x ＋4y －10＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________．【答案】22【解析】圆的标准方程为()()22121x y -++=，则圆心为()12C -，，半径为1，则直线与圆相离，如图：PACB PACPBC S SS=+四边形，而1122PACS PA CA PA =⋅=，1122PBCS PB CB PB =⋅=，又21PA PC =-21PB PC =-PC 取最小值时，PA PB =取最小值，即PACPBC SS=取最小值，此时CP l ⊥，2232410153534CP -⨯-===+，则23122PA =-=122122PACPBCSS==⨯=PACB 面积的最小值是222三、解答题：共6题 共70分17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c 23sin 2cos 2B Ca C c +=. （1）求角A 的大小；（2）若7a =，ABC ∆153，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）23π；（2）15 【解析】 【分析】（123sin 2sin sin2A A C C =，化简得到tan 32A=，得到答案. （2）根据面积得到15bc =，再根据余弦定理得到8+=b c ，计算得到周长. 【详解】（1）ABC 中，A B C π++=，所以coscos sin 222B C A Aπ+-==， 23sin 2sin sin 2A A C C =， 因为sin 0C ≠232sin2A A =，所以2cos 2sin 222A A A =，又sin 02A ≠sin 22A A =，所以tan 2A =0,022A A ππ<<<<，所以23A π=，故23A π=.（2）由题意得1sin 2bc A ==15bc =， 由余弦定理，得22222cos 49b c bc A b c bc +-=++=， 即()249b c bc +-=，所以()21549,8b c b c +-=+=， 故ABC 的周长为15a b c ++=.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生综合应用能力和计算能力.18.已知数列{}n a 满足0n a ≠，且1133n n n n a a a a ++-=，等比数列{}n b 中，2146,3,9b a b b ===．(1)证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式(2)求数列{}1n n a a +的前n 项和n S ． 【答案】（1）证明见解析，32n a n =+（2）3.3n nS n =+ 【解析】 【分析】（1）将已知的递推式的左右两边同时除以13,n n a a +得出11113n n a a +-=，可得证，再通过等比数列{}n b 中的项求出1a ，可以求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得出1n n a a +的表达式，再利用裂项相消的求和方法可求得n S ． 【详解】（1）0n a ≠，且1331n n n n a a a a +-=+，等号两边同时除以13,n n a a +得11113n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列.因为{}n b 是等比数列，所以2264,b b b =又463,9b b ==，所以299b =，所以21b =， 所以121a b ==，故()()111112111,333n n n n a a +=+-=+-= 所以32n a n =+. （2）由（1）知()()191192323n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以11111111399.344523333n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查根据数列的递推公式求数列的通项公式和裂项相消的求和方法，本题的关键是根据递推式是关于n a 和1n a +的齐次式，需将递推式左右两边同时除以13,n n a a +，得出11113n n a a +-=，属于中档题. 19.如图，在三棱锥A-BCD 中，39045BD BDC AD DC AB =∠=︒===，，，，点E 为棱CD 上的一点，且AE CD ⊥.（1）求证:平面ABE ⊥平面BCD ；（2）若三棱锥A-BCD 的体积为43E-ABD 的高. 【答案】（1）见解析；（23【解析】 【分析】（1）证明AD BD ⊥，BD DC ⊥，再证明AE ⊥平面BCD 得到答案. （2）计算6ABDBCDSS==，根据体积计算AE 23=E 为棱CD 的中点，根据体积1·23C ABD ABDV S h -==计算得到答案.【详解】（1）因为345BD AD AB ===，，，所以222AB BD AD =+，所以AD BD ⊥. 因为90BDC ∠=︒，所以BD DC ⊥， 又ADCD D =，所以BD ⊥平面ADC ，又AE ⊂平面ADC ，所以AE BD ⊥.又AE CD BD CD D ⊥⋂=，，所以AE ⊥平面BCD . 因为AE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面BCD . （2）因390904BD ADB BDC AD DC =∠=︒∠=︒==，，，，所以13462ABDBCDSS==⨯⨯=.AE ⊥平面BCD ，因为三棱锥A-BCD 的体积为所以13BCDS AE ⋅=6BCD AE S ∆===在Rt ADE 中，2DE ===，所以点E 为棱CD 的中点.设三棱锥E-ABD 的高为h ，则点C 到平面ABD 的距离为2h ，所以1·23C ABD ABD V S h -==6ABD h S ===所以三棱锥E-ABD .【点睛】本题考查了面面垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.已知点M 在椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>上，且椭圆的离心率为3．（1）求椭圆G 的方程；（2）若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底做等腰三角形，顶点为(3,2)P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92 【解析】 【分析】（1）由点M 在椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>上，且椭圆的离心率为．可得22621a b +=，c a =222a b c =+联立解得即可． （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点(,)N m n ，直线AB 的方程为：y x t =+．与椭圆方程联立可得22463120x tx t ++-=，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得34tm =-，4tn =．利用1PN k =-，解得t ．再利用点到直线的距离公式可得点P 到直线AB 的距离d ．弦长公式||AB 1||2APB S d AB ∆=即可得出．【详解】解：（1）点M在椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>上，．∴22621a b +=，c a =222a b c =+， 解得212a =，24b =．∴椭圆G 的方程为221124x y +=． （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点(,)N m n ，直线AB 的方程为：y x t =+． 联立22312y x tx y =+⎧⎨+=⎩，化为22463120x tx t ++-=， 12322t x x m ∴+=-=，2123124t x x -=．解得34tm =-，4t n ∴=．241334PNt k t -∴=-=-+，解得2t =． ∴直线AB 的方程为：2y x =+． ∴点P 到直线AB的距离d ．||AB ．119||222APB S d AB ∆∴==⨯=．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21.已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明3()24f x a≤--. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）先求函数导数(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当0a ≥时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)2a -单调递增，在1(,)2a -+∞单调递减.（2）证明3()24f x a≤--，即证max 3()24f x a ≤--，而max 1()()2f x f a =-，所以需证11ln()1022a a-++≤，设g （x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得max ()(1)0g x g ==，即得证. 试题解析：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞），()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=. 若a ≥0，则当x ∈（0，+∞）时，’)(0f x ＞，故f （x ）在（0，+∞）单调递增. 若a ＜0，则当x ∈’)(0f x ＞时，’)(0f x ＞；当x ∈1()2a∞-+，时，’)(0f x <.故f （x ）在’)(0f x ＞单调递增，在1()2a∞-+，单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在12x a=-取得最大值，最大值为111()ln()1224f a a a-=---. 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤. 设g （x ）=ln x -x +1，则’1(1)g x x=-. 当x ∈（0,1）时，()0g x '>；当x ∈（1，+∞）时，()0g x '<.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，11ln()1022a a-++≤，即3()24f x a ≤--.【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22.已知在平面直角坐标系xoy中，曲线11:1x C y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,1M ，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离. 【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()2224x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）消去参数得到20x y +-=，再利用极坐标公式化简得到答案. （2）根据直线过圆心得到()2,0，计算得到答案.【详解】（1）曲线1:C 1212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得20x y +-=， 其极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4cos ρθ=，24cos ρρθ=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）由题意及（1）知直线1C 过圆2C 的圆心()2,0，则点N 的坐标为()2,0，又()1,1M ，所以MN ==.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，线段长度，意在考查学生的计算能力.。

2020年甘肃省武威第六中学高考第六次诊断考试物理试题及答案解析

2020年甘肃省武威第六中学高考第六次诊断考试物理试题及答案解析

2020年甘肃省武威第六中学高考第六次诊断考试物理试题一、单选题1．组成“北斗”卫星导航定位系统中的地球静止轨道卫星（同步卫星）和中轨道卫星绕地球在圆轨道上运行，由地球静止轨道卫星和中轨道卫星的轨道半径之比可求A．地球静止轨道卫星与地球的质量之比B．地球静止轨道卫星与中轨道卫星的质量之比C．地球静止轨道卫星和中轨道卫星受地球的万有引力之比D．地球静止轨道卫星和中轨道卫星绕地球运动的周期之比2．下列有关说法正确的是（）A．普朗克为了解释黑体辐射的实验规律，首先提出了量子化，并成功解释了光电效应现象B．利用碳14的半衰期可以估算古生物的年龄C．爱因斯坦提出了光子说和物质波，并指出一切微观粒子都具有波粒二象性D．目前人类利用的核能主要来自轻核聚变3．下列说法中正确的是A．用手竖直握住一瓶子，此时瓶子受重力一定与手所受最大静摩擦力相平衡B．用手托住一个瓶子，瓶子对手的压力就是重力C．静止的水平桌面放一本书，桌面对书的支持力与书的重力二力平衡D．静止的水平桌面放一本书，桌面对书的支持力是由于书发生了弹性形变引起的4．如图所示，MN是点电荷电场中的一条直线，a、b是直线上两点，已知直线上a点的场强最大，大小为E，b点场强大小为12E，已知a、b间的距离为L，静电力常量为k，则场源电荷的电量为（）A．2kB．2ELkC．22ELkD．22ELk5．图甲中理想变压器原、副线圈的匝数之比n1∶n2＝5∶1，电阻R＝20 Ω，L1、L2为规格相同的两只小灯泡，S1为单刀双掷开关．原线圈接正弦交变电源，输入电压u随时间t的变化关系如图乙所示．现将S1接1、S2闭合，此时L2正常发光．下列说法正确的是（）A ．只断开S 2后，原线圈的输入功率增大B ．输入电压u 的表达式)u t π=C ．若S1换接到2后，原线圈的输入功率为1.6 WD ．若S1换接到2后，R 消耗的电功率为0.8 W二、多选题6．下列说法正确的是A ．蒸发是发生在液体表面和内部的汽化现象B ．绝对湿度越大，感觉空气越潮湿C ．当液晶中电场强度不同时，液晶表现出光学各向异性D ．当分子间的距离小于r 0=10-10m 时，分子间的距离越大，分子势能越小7．一列沿x 轴传播的简谐横波在0t =时的波形如图所示，已知振源振动的周期41T s x m ==，处的质点P 比x=3m 处的质点Q 先回到平衡位置，则下列说法中正确的是A ．该波沿x 轴负方向传播，波速为2m/sB ．质点P 经过3s 振动的路程0.3mC ．t=1s 时，质点Q 的速度方向和加速度方向相同D ．质点Q 在 4.5t s =时恰好位于波峰8．长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v ，下列说法正确的是（ ）A ．vB ．v 由零逐渐增大，向心力也增大C ．当vD ．当v9．如图甲所示，滑块沿倾角为α的光滑固定斜面运动，某段时间内，与斜面平行的恒力作用在滑块上，滑块的机械能E 随时间t 变化的图线如图乙所示，其中0~t 1、t 2时刻以后的图线均平行于t 轴，t 1-t 2的图线是一条倾斜线段，则下列说法正确的是A ．t =0时刻，滑块运动方向一定沿斜面向上B ．t 1时刻，滑块运动方向一定沿斜面向下C ．t 1~t 2时间内，滑块的动能减小D ．t 2~t 3时间内，滑块的加速度为g sinα10．如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B ，其边界为一边长为L 的正三角形（边界上有磁场），A 、B 、C 为三角形的三个顶点．今有一质量为m 、电荷量为+q 的粒子（不计重力），以速度4v m=从AB 边上的某点P 既垂直于AB 边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC 边上某点Q 射出．若从P 点射入的该粒子能从Q 点射出，则A ．PB L < B ．PB <C ．QB L ≤D ．12QB L ≤三、实验题11．在“探究小车速度随时间变化规律”的实验中(1)根据打点计时器打出的纸带，可以直接测量得到的物理量是________（填选项代号）.A ． 位移B ． 速度C ． 加速度D ． 平均速度(2)为了能够较准确地测出加速度，下列操作中正确的有_________（填选项代号）A .把附有滑轮的长木板放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面B.把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路C.再把一条细绳拴在小车上，细绳跨过滑轮，下边挂上合适的钩码D.把纸带穿过打点计时器，并把它的一端固定在小车的后面E.把小车停在靠近打点计时器处，接通直流电源后，放开小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列的点，随后立即关闭电源，换上新纸带，重复三次F.从三条纸带中选择一条比较理想的纸带，舍掉开头比较密集的点，在后边便于测量的地方找一个开始点，并把每打五个点的时间作为时间单位．在选好的开始点下面记作0，往后第六个点作为计数点1，依此标出计数点2、3、4、5、6，并测算出相邻两点间的距离G．根据公式a1＝(x4－x1)/3T2，a2＝(x5－x2)/3T2，a3＝(x6－x3)/3T2及a＝(a1＋a2＋a3)/3求出a 12．（1）如图为简单欧姆表原理示意图，其中电流表的满偏电流I g=500μA，内阻R g=100Ω，可变电阻R的最大阻值为20KΩ，电池的电动势E=7.5V，内阻r=1.0Ω，图中与接线柱A相连的表笔颜色应是_____色．按正确使用方法测量电阻R x的阻值时，指针指在刻度盘的正中央，则R x=____kΩ．若该欧姆表使用一段时间后，电池电动势不变．内阻变大，但此表仍能调零，按正确使用方法在测上述R x，其测量结果与原结果相比将_____（填“变大”．“变小”或“不变”）．（2）用多用电表的欧姆档测量阻值约为几十千欧的电阻R x，以下给出的是可能的实验操作步骤，其中S为选择开关，P为欧姆档调零旋钮．把你认为正确步骤前的字母按合理的顺序填写在横线上_________a．将两表笔短接，调节P使指针对准刻度盘上欧姆档的0刻度，断开两表笔b．将两表笔分别连接到被测电阻的两端，读出R x的阻值后，断开两表笔c．旋转S使其尖端对准欧姆档×1kd．旋转S使其尖端对准欧姆档×100e．旋转S使其尖端对准交流500V，并拔出两表笔（3）根据如图所示指针位置，此被测电阻的阻值约为______Ω．四、解答题13．如图所示，半径R＝0.8 m的光滑14圆弧轨道固定在水平地面上，O为该圆弧的圆心，轨道上方的A处有一个可视为质点的质量m＝1 kg的小物块，小物块由静止开始下落后恰好沿切线进入1 4圆弧轨道．此后小物块将沿圆弧轨道下滑，已知AO连线与水平方向的夹角θ＝45°，在轨道末端C点紧靠一固定在地面上的长木板，木板上表面与圆弧轨道末端的切线相平，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.4， g取10 m/s2.求：（1）小物块刚到达C点时的速度大小；（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力；（3）小物块在长木板上滑行的最远距离。

甘肃武威市六中2020届高三一轮第三阶段复习过关考理科数学卷附答案详析

甘肃武威市六中2020届高三一轮第三阶段复习过关考理科数学卷附答案详析

甘肃武威市六中2020届高三一轮第三阶段复习过关考理科数学卷一、选择题（51260⨯=）1．若集合A ＝{x |x >0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是（ ）A.{1，2}B.{x |x ≤1}C.{－1，0，1}D.R 2．若复数z 满足i i zi ()1(=+是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 21-B ．21- C ．i 21 D ． 213．设函数f （x ）＝ln （1＋x ）－ln （1－x ），则f （x ）是（ ）A. 偶函数，且在（0，1）内是增函数B.奇函数，且在（0，1）内是减函数C. 奇函数，且在（0，1）内是增函数D.偶函数，且在（0，1）内是减函数 4．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝（ ）A ．6425B ．4825C ．1D ．16255．若f （x ）＝2xf ′（1）＋x 2，则f ′（0）等于（ ）A ．2B ．0C ．－2D ．－46．函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的部分图象如图所示，则 （ ）A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 7．函数f （x ）＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f （2＋log 23）的值为（ ）A.24B.16C.12D.89．已知m ∈R ，“函数y ＝2x＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在（0，＋∞）上为减函数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10．已知f （x ）为偶函数，且当x ∈[0，2）时，f （x ）＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞）时，f （x ）＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f （4）等于（ ） A.－3＋2 B.1 C.3 D.3＋211．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S且))sin :sin :sin 11A B C=的ABC △，则其面积为（ ）A ．4B ．2C ．4D ．212．定义域为R 的可导函数y ＝f （x ）的导函数，f ′（x ），满足f （x ）< f ′（x ），且f （0）＝2，则不等式f（x ）<2e x的解集为（ ）A. （2，＋∞）B.（－∞，2）C.（0，＋∞）D. （－∞，0） 二、填空题（4520⨯=）13．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________.14．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.15．已知f （x ）为偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝ln （－x ）＋3x ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，－3）处的切线方程是________. 16．将函数f （x ）＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a （a >0）个单位后的图象关于y 轴对称，则a的最小值是________. 三、解答题17．（本小题12分）设p ：实数x 满足x 2－5ax ＋4a 2<0（其中a >0），q ：实数x 满足2<x ≤5.（1）若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围.（2）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．（本小题12分）已知函数f （x ）＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin （x ＋π）.（1）求f （x ）的最小正周期； （2）若将f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，求函数g （x ）在区间[0，π]上的最大值和最小值.19．（本小题12分）已知函数f （x ）＝ln x ，g （x ）＝12ax 2＋2x .（1）若函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； （2）若函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围.20．（本小题12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C （a cos B ＋b cos A ）＝c .（1）求C ；（2）若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.21．（本小题12分）设函数f （x ）＝x 22－k ln x ，k >0.（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，e]上仅有一个零点.22．（本小题满分10分）坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α（α为参数），以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π6（ρ∈R ）. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值.理科数学答案一、选择题二、填空题 13.32 14. 4 15. 2x ＋y ＋1＝0 16. π3三、解答题17．解(1)当a ＝1时，x 2－5ax ＋4a 2<0即为x 2－5x ＋4<0，解得1<x <4， 当p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <4. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是(2，4).(2) q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，即p 是q 的必要不充分条件. 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A ⊆.由x 2－5ax ＋4a 2<0得(x －4a )(x －a )<0， ∵a >0，∴A ＝{x |a <x <4a }，又B ＝{x |2<x ≤5}，则a ≤2且4a >5，解得54<a ≤2.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤54，2.18. 解 (1)f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，于是T ＝2π1＝2π.(2)由已知得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－1，2]，故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. 19．解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，①所以h ′(x )＝1x －ax －2，由h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，②即a >1x 2－2x有解.设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可.而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.(2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，③即a ≥1x 2－2x 恒成立.设G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.20．解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 由C ∈(0，π)知sin C ≠0， 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13， 从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.21．解: (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得x ＞0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去).f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x )f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k （1－ln k ）2.(2)证明 由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k （1－ln k ）2.因为f (x )存在零点，所以k （1－ln k ）2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点.当k >e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点.综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点.22．解 (1)将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α＋2，y ＝4sin α消去参数α得x 2＋y 2－4x －12＝0，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4x －12＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12， ∴曲线C 的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝12. (2)设A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，⎝⎛⎭⎫ρ2，π6，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ＝12，θ＝π6消去θ得ρ2－23ρ－12＝0， 根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－23ρ－12＝0的两根， ∴ρ1＋ρ2＝23，ρ1ρ2＝－12，∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝215.。

甘肃省武威市第六中学2020届高三上学期第一次阶段性复习过关考试数学(理)试题 Word版含答案

甘肃省武威市第六中学2020届高三上学期第一次阶段性复习过关考试数学(理)试题 Word版含答案

武威六中2020届高三一轮复习过关考试（一）数 学（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（）i 2ii 1z =-A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限2．已知，函数的定义域为，，则下列结论U R =ln(1)y x =-M 2{|0}N x x x =-<正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．M N N ⋂=()U M C N φ⋂=M N U ⋃=()U M C N ⊆3．知f(x)=ax²+bx 是定义在[a-1,3a]上的偶函数，那么a+b=（ ）A. B. C. D.14-1212-4．设，则不等式f(x)f(-1)的解集是（ ）246(0)()6(0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩A.(-3,-1)(3,+) B.（-3，-1）（2，+）C.（-3，+）D.（-，-3）（-1，3）5．已知命题：N ,，命题：N ,，则下列p x ∀∈*1123xx⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭q x ∃∈*122x x -+=命题中为真命题的是( )A ． B. C. D.p q ∧()p q ⌝∧()p q ∧⌝()()p q ⌝∧⌝6．已知实数满足则的零点所在的区间是( )b a ,,23,32==b a b x a x f x -+=)(A. B. C. D.)1,2(--)0,1(-)1,0()2,1(7．已知函数，则的大致图象为（ ）()324x f x x =+()fx A ． Ｂ． C ． D ．8．若()f x 是奇函数，且在()0,+∞内是增函数，又(3)0f =，则()0xf x <的解集是（ ）A.{303}x x x -<<>或； B.{33}x x x <-<<或0C.{33}x x x <->或； D.{303}x x x -<<<<或09．设函数f (x)= f ()lgx ＋1，则f (10)的值为（）1x A ．1 B ．-1 C ．10 D ．11010．定义在R 上的函数)1(+=x f y 的图象如图1所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①)0(f =1；②1)1(=-f ；③若0>x ，则0)(<x f ；④若0<x ，则0)(>x f ，其中正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．已知函数，若，则( )ax a x e e x f +--+=)(c b a ==3log 3A.<< B.<<)(a f )(b f )(c f )(b f )(c f )(a f C.<<D.<<)(a f )(c f )(b f )(c f )(b f )(a f 12．已知函数，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴1,)21(1,2542{)(≤>-+-=x x x x x xf的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围为（）A．1,64⎡+⎢⎣ B．1,64⎡⎢⎣C ．][1,2ln2,64⎛-∞-⋃ ⎝ D ．][1,2ln2,64e ⎛-∞-⋃ ⎝第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数的图像过点，则的值为____________；()y f x=12⎛ ⎝()22log f 14．已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数，当时，)(x f R ]1,0(∈x ，则____________)1lg()(+=x x f =+14lg 52018(f 15．已知函数，，对任意的，存在，()4f x x x =+()2x g x a =+11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,32x ∈有，则的取值范围为____________.()()12f x g x ≤a 16．设函数f (x) 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝－f (x)，已知当x ∈[0，1]时，f (x)＝3x .则① 2是f (x)的周期； ② 函数f (x)的最大值为1，最小值为0；③ 函数f (x)在(2，3)上是增函数； ④ 直线x ＝2是函数f (x)图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知m ＞0，p ：x 2﹣2x﹣8≤0，q ：2﹣m≤x≤2+m ．（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若m=5，“p ∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题，求实数x 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数.1()ln f x x ax x =+-（1）若在处的切线与轴平行，求的值；()f x 1x =x a （2）当时，求的单调区间.2a =-()f x 19.（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

【精准解析】甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学(理)试卷

【精准解析】甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学(理)试卷

武威六中2020届高三第六次诊断考试数学（理）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|0A x x =<<，13|log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =( ) A. {}|0x x >B. 1|09x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C. {|0x x <<D. 1|9x x ⎧<<⎨⎩【答案】D 【解析】 【分析】 先解不等式13log 2x <，得19x >，然后再求两集合的交集.【详解】解：由13log 2x <，得19x >，所以1|9B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，所以A B=1|9x x ⎧<<⎨⎩故选：D【点睛】此题考查了对数不等式的解法，集合的交集运算等，属于基础题. 2. 已知复数z 满足()1234i z i +=-，则(z = )A.5B. 1C.D. 5【答案】C 【解析】试题分析：由题意3412i z i -=+，34341212i i z i i --====++ 考点：复数的运算．3. 5G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如下统计图，根据该统计图，下列说法错误的是（ ）A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图，逐项分析即可.【详解】对于A ，由柱状图可得五月出货量最高，故A 正确; 对于B ，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B 正确;对于C,根据曲线上数据可得仅仅四月五月比同比高，其余各月均低于2018年， 且明显总出货量低于2018年，故C 正确;对于D ，可计算的2018年12月出货量为()3044.4114.7%3569.05÷-=，8月出货量为()3087.51 5.3%3260.33569.05-÷=<，故12月更高，故D 错误,故选：D【点睛】本题主要考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于容易题. 4. 已知向量()2,a m =-，()1,2b =，()1122a ab ⋅+=，则实数m 的值为（ ） A. 1 B.12C. 12- D. -1【答案】C 【解析】 分析】求出向量2a b +的坐标，由()1122a ab ⋅+=，根据向量数量积的坐标表示，即求实数m 的值. 【详解】()()()2,,1,2,23,22a m b a b m =-=∴+=-+.()()()()11112,232222a ab m m ⋅+=∴-⨯-+⨯+=， 解得12m =-. 故选：C .【点睛】本题考查向量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题.5. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，M 为ON 的一个靠近点N 的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）A.13B.23C.49D.59【答案】D 【解析】 【分析】设ON r =，扇形的圆心角为α，求出整个扇形的面积和扇环的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设ON r =，扇形的圆心角为α，则整个扇形的面积为212S r α'=， 扇环的面积为222112522318r S r r ααα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由几何概型的概率公式得225518192r p r αα==. 故选：D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解答的关键在于计算出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于基础题.6. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前50项和50T =（ ） A.5051B.4950C.100101D.50101【答案】D 【解析】 【分析】根据1S ，2S ，4S 成等比数列结合公差为2，求得n a ，得到n b ，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+， 由题意得()()211122412a a a +=+， 解得11a =， 所以21n a n =-， 则()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，则501111111150123355799101101T ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7. 函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可 【详解】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x xx e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ；又因为()()()33311211x x xe f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →,故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象8. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A. ②③ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误；由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.9. 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，与圆222x y a +=相切的直线1PF 交双曲线C 于点P （P 在第一象限），且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）． A.103B.53C.32D.54【答案】B 【解析】 【分析】先设PF 1与圆相切于点M ,利用|PF 2|= |F 1F 2|,及直线PF 1与圆x 2 + y 2 = a 2相切，可得a ，c 之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值. 【详解】设PF 1与圆相切于点M ,如图，因为212PF F F =，所以12PF F △为等腰三角形，N 为1PF 的中点， 所以1114F M PF =， 又因为在直角1F MO 中，2222211F M FO a c a =-=-， 所以1114F M b PF ==①， 又12222PF PF a c a =+=+ ②，222c a b =+ ③，由①②③可得2222c a c a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即为4()c a c a -=+， 即35c a =， 解得53c e a ==， 故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于中档题. 10. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A. ()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. ()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. ()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后逐项验证即可. 【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象， 又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<，所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11. 已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A. B.323πC. 12πD.643π【答案】B 【解析】 【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作⊥OH AG 于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、223312OA m ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得32m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解. 【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作⊥OH AG 于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，ABC 是边长为3，2CD =，∴33AG =，13BD =11O G =，设1OO m =，则33HA m =-， ∴222211134OD DO OO m =+=+，2222331OA OH HA m ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭， 由22OD OA =可得22133314m m ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，解得32m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径21324R m =+=，∴此三棱锥外接球的体积343233V R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.12. 已知M 是函数()238sin ()f x x x x R π=--∈的所有零点之和，则M 的值为（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】D 【解析】【详解】因为(3)328sin(33)238sin3()f x x x x x f x π-=---=--= 所以()f x 关于32x =对称 由图知,()f x 有8个零点,所以所有零点之和为3422⨯⨯=12,选D点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线1()e xf x x=+在1x =处的切线斜率为_________． 【答案】e 1-【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可解决. 【详解】∵21()e xf x x '=-，∴'(1)e 1f =-．由导数的几何意义知曲线1()e x f x x=+在1x =处的切线斜率为e 1-． 故答案为：e 1-【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 14. 已知抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠过点()14P -,，则抛物线C 的准线方程为______.【答案】116y =- 【解析】 【分析】代入()14P -,求解抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠,再化简成标准形式求解准线方程即可.【详解】由题, ()2414m m =⋅-⇒=,故221:44C y x x y =⇒=.故抛物线C 的准线方程为116y =-. 故答案为：116y =-【点睛】本题主要考查了根据抛物线上的点抛物线方程以及准线的问题.属于基础题. 15. 已知下列命题：①命题“2,35x R x x ∀∈+<”的否定是“2,35x R x x ∃∈+<”；②已知 ,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”；③在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件；④“若xy =0，则x =0且y =0”的逆否命题为真命题.其中，所有真命题的序号是__________. 【答案】② 【解析】 【分析】根据全称命题的否定的求解，或且非命题真假的判断，正弦定理以及逆否命题的求解，对选项进行逐一分析，则问题得解.【详解】对①：“2,35x R x x ∀∈+<”的否定是“2,35x R x x ∃∈+≥”，故①是假命题； 对②：若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题，故“()()p q ⌝∧⌝为真命题”； 对③：在ABC 中，“A B >”等价于a b >，由正弦定理，其又等价于sinA sinB >， 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故③是假命题；对④：“若xy =0，则x =0且y =0”是假命题，故其逆否命题也是假命题，故④错误； 综上所述，真命题的序号是②. 故答案为：②.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的否定的求解，复合命题真假的判断，充要条件的求解，属综合基础题.16. 天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】 (1). 243 (2). 3402 【解析】 【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列， 所以，a n ＝9＋（n －1）×9＝9n ， 所以，a 27＝9×27＝243， 前27项和为：1272727()27(9243)22a a S ++==＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 3sin A B 且b c =.（1）求角A 的大小；（2）若a =B 的平分线交AC 于点D ，求ABD ∆的面积.【答案】（1）23π（2【解析】 【分析】（1）把已知条件中角的关系化为边的关系后可用余弦定理求角A ；（2）在（1）基础上得6B C π==，从而由a =AB ，在ABD ∆中应用正弦定理可求得AD ，从而可得ABD ∆面积． 【详解】（1）由sin 3sin A B 及正弦定理知3a b ，又b c =，由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=22223122b b b b +-==-. ()0,A π∈，23A π=. （2）由（1）知6B C π==，又a =ABC ∆中，由正弦定理知：2AB =，在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB ADD ABD =∠及12ABD π∠=，4D π∠=解得31AD =-，故332ABDS ∆【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．解题时注意边角关系的互化． 18. 如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//BC AD ，90BAD ∠=︒，222AD PD AB BC ====，M 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面PCD（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面PAD ，异面直线BC 与PD 所成角为60°，且PAD △是钝角三角形，求二面角B PC D --的正弦值 【答案】（Ⅰ）详见解析；42． 【解析】 【分析】（Ⅰ）取PD 的中点N ，连接,CN MN ，证明四边形BMNC 为平行四边形，得到//BM CN 即可（Ⅱ）由条件得出120ADP ∠=︒，然后证明AB ⊥平面PAD ，然后以A 为坐标原点，,AD AB 所在直线为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC 和平面PCD 的法向量即可. 【详解】（Ⅰ）证明：取PD 的中点N ，连接,CN MN ， 因为M 为PA 的中点，则//MN AD ，且12MN AD =， 又//BC AD ，且12BC AD =，所以//MN BC ，MN BC =， 所以四边形BMNC 为平行四边形，所以//BM CN ，CN ⊂平面PCD ，BM ⊄平面PCD ， 所以//BM 平面PCD（Ⅱ）由题意可知//BC AD ，所以ADP 或其补角为异面直线BC 与PD 所成角， 又AD PD =，PAD △为钝角三角形，所以120ADP ∠=︒， 又平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD 平面PAD AD =，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，以A 为坐标原点，,AD AB 所在直线为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,1B ，()0,2,0D，()0,1,1C ，)3,3,0P ，向量()3,2,1PC =--，()3,3,1PB =--， 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =由00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得300z x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1x =，得平面PBC 的一个法向量为(1,0,3n =，同理可得平面PCD 的一个法向量为(1,3,3m =--设二面角B PC D --的平面角为θ， 则7cos 727m n m nθ⋅===则sinθ==故二面角B PC D--的正弦值为7【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.19. 某公司为提高市场销售业绩，促进某产品销售，随机调查了该产品的月销售单价x（单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件），对近5个月的月销售单价i x和月销售量()1,2,3,4,5iy i=的数据进行了统计，得到如下表数据：（Ⅰ）建立y关于x的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程ˆˆy bx a=+，其中1221ˆni iiniix y nxybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-．参考数据：51392i iix y==∑，521502.5iix==∑．【答案】（Ⅰ） 3.240ˆy x=-+（Ⅱ）可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润【解析】分析】（Ⅰ）根据参考数据由回归系数公式计算ˆb，再由ˆˆa y bx=-计算ˆa，即可写出回归直线方程；（Ⅱ）由回归直线方程预测7x =时的估计值，检测即可知是否理想； （Ⅲ）写出销售利润，利用二次函数求最值即可. 【详解】（Ⅰ）因为()11110.5109.59105x =++++=，()1568101185y =++++=． 所以23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯，所以()ˆ8 3.21040a=--⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为： 3.240ˆyx =-+． （Ⅱ）当7x =时，ˆ 3.274017.6y=-⨯+=，则17.6180.40.5-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）设销售利润为M ，则()()()5 3.240511M x x x =--+<≤23.256200M x x =-+-，所以8.75x =时，M 取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，利用线性回归方程解决实际问题，二次函数求最值，属于中档题.20. 已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为2，且经过点1,2⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) 2214x y += (2)见解析【解析】 【分析】（1）由题得a,b,c 的方程组求解即可（2）直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数，即1212y y0x t x t+=--，整理)()1212t y y 2my y 0+-=.设直线l的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)ca =，22131a4b +=，又222a b c -=，解得2a 4=，2b 1=.所以，椭圆C 的方程为22x y 14+=(2)存在定点Q 3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.设直线l的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，整理得，()224m y10+--=.设()22B x ,y ，11x xy y 12+=，定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠则由韦达定理可得，12y y +=，1221y y 4m -=+. 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数.所以，1212y y 0x t x t+=--，即得()()1221y x t y x t 0-+-=.又11x my 0+=，22x my 0+=，所以，))1221y my t y my t 0-+-=，整理得，)()1212t y y 2my y 0+-=.从而可得，)21t 2m 04m --⋅=+，即()2m 40-=，所以，当t =Q ⎫⎪⎪⎝⎭时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直线l 为x轴时，Q 3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述，存在x轴上的定点Q 3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.21. 已知函数()1ln f x ax x =--（a ∈R ）．（1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，x ∀∈（0，+∞），()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的最大值．【答案】（1）0a ≤时，()f x 在（0，+∞）上没有极值点；当0a >时，()f x 在（0，+∞）上有一个极值点.（2）211e - 【解析】 【分析】（1）首先求得函数的定义域和导函数()'f x ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况，讨论()f x 的极值点个数.（2）利用()'10f =求得a 的值，将不等式()2f x bx ≥-分离常数，转化为1ln 1x b x x+-≥，构造函数()1ln 1xg x x x=+-利用导数求得()g x 的最小值，由此求得b 的取值范围，进而求得实数b 的最大值.【详解】（1）()f x 的定义域为（0，+∞），()11ax f x a x x-'=-=. 当0a ≤时，()0f x '≤在（0，+∞）上恒成立，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减. ∴()f x 在（0，+∞）上没有极值点. 当0a >时，由()0f x '≤，得10x a<<； 由()0f x '>，得1x a>， ∴()f x 在（0，1a ）上递减，在（1a，+∞）上递增，即()f x 在1x a=处有极小值. 综上，当0a ≤时，()f x 在（0，+∞）上没有极值点； 当0a >时，()f x 在（0，+∞）上有一个极值点. （2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴()110f a '=-=，则1a =，从而()1ln f x x x =--.因此()1ln 21x f x bx b x x≥-⇒+-≥， 令()1ln 1x g x x x =+-，则()2ln 2x g x x-'=， 令()0g x '=，得2x e =，则()g x 在（0，2e ）上递减，在（2e ，+∞）上递增，∴()()22min 1e 1e g x g ==-，即211eb ≤-. 故实数b 的最大值是211e-.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 选修4－4；坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为424x cos y sin θθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为x my ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）直线l 与曲线C 相交于M ，N两点，若()P -，求2211||PN PM+的值．【答案】（1）4sin ρθθ=-；（2）14【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）曲线C的参数方程为4cos (24sin x y θθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩为参数），转换为直角坐标方程为22((2)16x y ++-=，整理得2240x y y ++-=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，转换为极坐标方程为24sin cos ρρθθ=-，即0ρ=或4sin ρθθ=-（包含0ρ=），所以曲线C的极坐标方程为4sin ρθθ=-．（2）直线l的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩转换为直线的标准参数式为12(x t ty ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入圆的直角坐标方程为2120t --=，2412600∆=+⨯=>，设方程两根为12,t t ，所以12t t +=1212t t =-， 所以212122222221212()2111112241||||()124t t t t PM PN t t t t +-++=+===． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线标准参数方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．选修4－5：不等式选讲23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数 ()212f x x x =--+（Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式21(3)35m f x x +≥+++有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1(,)(3,)3-∞-+∞；（2）(,3][2,)-∞-⋃+∞【解析】分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；（2）(3)3525210f x x x x +++=+++，利用绝对值的三角不等式求得25210x x +++的最小值min ，然后解不等式21min m +≥即可．详解：（1）()13,2131,223,2x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=---<<⎨⎪-+≤-⎪⎪⎩， 当30x ->时，得3x >；当310x -->时，得123x -<<-；当30x -+>时，得2x ≤-， 综上可得不等式()0f x >的解集为()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）依题意()()min 21335m f x x +≥+++，令()()33525210g x f x x x x =+++=+++ 252105x x ≥--++= ∴215m +≥，解得2m ≥或3m ≤-，即实数m 的取值范围是][(),32,-∞-⋃+∞. 点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别： （1）“能成立”：存在x 使不等式()t f x ≥成立min ()t f x ⇔≥，存在x 使不等式()t f x ≤成立max ()t f x ⇔≤；（2）“恒成立”：对任意的x 不等式()t f x ≥恒成立max ()t f x ⇔≥，对任意的x 不等式()t f x ≤恒成立min ()t f x ⇔≤．。

2020届甘肃省武威第六中学高三下学期第二次诊断考试数学(理)试题(解析版)

2020届甘肃省武威第六中学高三下学期第二次诊断考试数学(理)试题(解析版)

武威六中2020届高三第二次线上诊断考试理科数学试题一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =( )A. }{1x x < B. }{11x x -≤< C. {}2x x ≤ D. {}21x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可．【详解】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ．【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小． 2.纯虚数z 满足()124z z i +⋅=-，则z 的共轭复数为（ ） A. 2i - B. 2iC. 4i -D. 4i【答案】B 【解析】 【分析】设()0z bi b =≠，，由复数的模和共轭复数的概念，结合复数相等的条件，解方程可得b ，进而得到所求z 的共轭复数．【详解】由题意，设()0z bi b =≠，，则()()1124,z z bi b b b b i i +⋅=+⋅=+⋅=-则复数相等的条件可得2,2,2,2.4b b z i z i b b ⎧=⎪∴=-=-=⎨⋅=-⎪⎩故选B.【点睛】本题考查复数的模和共轭复数的概念，以及复数相等的条件，考查运算能力，属于基础题．3.各项均为正数的等比数列{}n a 中，1a ={}n a 的前n 项和为3,2n S S =+.则7a =（ ）A. B. C. 8D. 14【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为,q 利用等比数列通项公式,结合3123S a a a =++得到关于q 的方程,解方程求出公比q ,然后代入等比数列通项公式求出7a 即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意知,则)2312312S a a a q q=++=++=+解得q =由等比数列通项公式可得,6671a a q ===故选:A【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式;考查运算求解能力;熟练掌握等比数列通项公式和前n 项和公式是求解本题的关键;属于基础题.4.在ABC ∆中，2CM MB =，0AN CN +=，则（ ）A. 2136MN AB AC =+ B. 2736MN AB AC =+ C. 1263MN AC AB =-D. 7263MN AC AB =-【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理分析求解即可.【详解】由已知可得点M 是靠近点B 的三等分点，又点N 是AC 的中点．2132MN MC CN BC CA =+=+21()32AC AB AC =--1263AC AB =-故选C【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.5.把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]2,5上任取x ，则[]x =的概率为（ ）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】 【分析】由题意分类，求得使[x]＝[2x ]成立的x 的范围，再由长度比计算即可得答案． 【详解】当2≤x ＜3时，[x]＝[2x ]＝2； 当3≤x ＜4时，[x]＝3，[2x ]＝2； 当4≤x ＜4.5时，[x]＝4，[2x ]＝2； 当4.5≤x ＜5时，[x]＝4，[2x ]＝3．符合条件的x ∈[2，3），由长度比可得，[x]＝[2x ]的概率为321523-=-． 故选B ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率、分类讨论思想，属于基础题． 6.函数1lg1y x =-的大致图象为（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性及在对称轴右侧的单调性即可判断函数图象的大致形状，利用排除法选出答案. 【详解】由题意得，函数1lg1y x =-的关于1x =对称，排除B 、D ； 当1x >时，函数1lg1y x =-为单调递减函数，排除A ，故选C. 【点睛】本题主要考查了含绝对值的对数型函数的对称性，单调性，图象，属于中档题. 7.设向量()()3,3,1,1a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=（ ） A. 3 B. 1C. ±1D. 3±【答案】D【分析】根据()()3,3,1,1a b ==-，求得()()3,3,3,3a b a b λλλλλλ+=+--=-+，再根据()()a b a b λλ+⊥-，有()()2330λλ+-=求解.【详解】因为向量()()3,3,1,1a b ==-，所以()()3,3,3,3a b a b λλλλλλ+=+--=-+， 因为()()a b a b λλ+⊥-， 所以()()2330λλ+-=， 解得3λ=±. 故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.已知实数a ，b 满足11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A. 11a b> B. 22log log a b >C.< D. sin sin a b >【答案】B 【解析】 【分析】首先利用指数函数的性质得到a ，b 的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案. 【详解】11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由指数函数的单调性, 可得：0a b >>对于A ，由0a b >>，可得11a b<，故A 错误； 对于B ，由0a b >>，可得22log log a b >，故B 正确；对于C ，由0a b >>>C 错误；对于D ，根据sin y x =图象可得，由0a b >>，sin a 与sin b 的大小无法确定，故D 错误；【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 9.已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 89-B.89C.79D. 79-【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.10.已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作垂直于x 轴的弦MN ，交双曲线于M 、N 两点，若1MF N ∠=2π，则双曲线的离心率e =（ ）A.B.C.D.1【答案】D 【解析】 【分析】根据过右焦点2F 作垂直于x 轴的弦MN ，则2bMF a=，再根据1MF N ∠=2π，则有12MF F F = ，即22b c a=求解.【详解】因为过右焦点2F 作垂直于x 轴的弦MN ，所以2b MF a=，又因为1MF N ∠=2π， 所以12MF F F = ，即22b c a=，所以2222b c a ac =-=，2210e e --=，解得21e =+.故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.１７世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin1314︒=（ ）A. 35+B. 45+ C. 251- D. 51+【答案】D 【解析】 【分析】在ABC ，由正弦定理可知：sin sin 36sin sin 72BC BAC AC ABC ︒︒∠==∠，即可求得cos36︒值，根据诱导公式化简sin1314cos36︒︒=-，即可求得答案.【详解】ABC ，由正弦定理可知：sin sin 36sin 361sin sin 722sin 36cos362cos36BC BAC AC ABC ︒︒︒︒︒︒∠=====∠∴cos364︒==又()sin1314sin 3360234︒︒=⨯+︒()sin 234sin 18054sin54︒︒︒︒==+=- ()sin 9036cos36︒︒︒=--=-=故选：D.【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12.22,2()1log ,22a x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为R，则f 的取值范围是 A. 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 5,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C. 5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 51,42⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】因为22,()21x f x x x ≤=-≥- ，所以1101,log 21024a a a <<-≥-⇒<≤因此(f 14115log log 224a =≥=-，(f 11log 22a =<-即(f 的取值范围是51,42⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，选D. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.二、填空题（每小题5分，共20分）13.将函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()2sin g x x =的图象，则A ωϕ++=__________. 【答案】46π+【解析】 【分析】根据三角函数平移和伸缩变换可得到sin 2sin 212A x x ωπωϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，进而对应相等可求得,,A ωϕ的值，从而求得结果.【详解】()f x 向右平移12π个单位得：sin 1212f x A x ππωωϕ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭横坐标扩大为原来的2倍得：()sin 2sin 212g x A x x ωπωϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭2A ∴=，2ω=，()2126k k Z ππωϕϕπ+=-+=∈，又2πϕ<，6πϕ∴=，22466A ππωϕ++=++=+∴.故答案为：46π+.【点睛】本题考查根据三角函数图象的变换求解函数解析式的问题，关键是能够熟练掌握三角函数的平移变换和伸缩变换的基本原则. 14.已知数列{}n a ，若数列{}13n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，则5a 的值为________.【答案】16 【解析】 【分析】利用前n 项和公式可得第五项的值. 【详解】∵数列{}13n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，∴()515454554111113666655555a T T -⎛⎫⎛⎫=-=⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=46∴445462163a ===，故答案为16【点睛】本题考查由前n 项和公式求项值，考查计算能力，解题关键是理解前n 项和与项的关系. 15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有_______种． 【答案】29 【解析】 【分析】由第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，可以得到第一天售出但第二天未售出的商品种数，同理得到第二天售出但第一天未售出的商品种数，进而得到前两天共售出的商品的种数，根据第三天售出但第二天未售出的商品种数，当这些商品都在第一天售或第二天售出时，三天售出的商品种数最少.【详解】由题意，第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种， 所以第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种，第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种，所以前两天共售出的商品有19+10=29种， 如图所示：第三天售出18种商品，后两天都售出的商品有4种，得第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14种， 当这14种商品都在第一天售出或第二天售出商品中时，三天售出的商品种数最少有29种. 故答案为：29【点睛】本题主要考查集合的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.16.在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为______． 【答案】823π【解析】 【分析】：先将三棱锥还原到长方体中，根据题意建立长方体体对角线与AB 的函数关系式，求解体对角线的最小值，由此得出外接球的体积的最小值．【详解】：如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-,AB BD ⊥,所以22AD AB DB =+．由题意，体积的最小值即为AD 最小，22(4)AD x x =+-，所以当2x =时，AD 的最小值为22，所以半径为2，故体积的最小值为823π．【点睛】：根据题意把三棱锥还原到长方体是解决三棱锥外接球问题的常见解法，不同题目背景，还原方法不一样，但三棱锥的四个顶点一定是长方体的顶点．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在公差不为0的等差数列{}n a 中，148,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前项和为n T ，求n T ． 【答案】（1）83n n a +=； （2）9nn +. 【解析】 【分析】（1）根据条件列关于公差与首项的方程组，再将结果代入通项公式得结果，（2）利用裂项相消法求和. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由148,,a a a 成等比数列可得，2418•a a a =，即()()211137a d a a d +=+，22211116+97a a d d a a d ∴+=+，0d ≠，1=9a d ∴.由数列{}n a 的前10项和为45，得101104545S a d =+=， 即904545d d +=，故13d =，13a =.故数列{}n a 的通项公式为83n n a +=； （2）()()1191198989n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，111111111199++=9=19101011111289999n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-⋯--- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭9n n =+ 【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +. 18.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均2，D 为棱1BB （不包括端点）上一动点，E 是AB 的中点．（Ⅰ）若1AD A C ⊥，求BD 的长；（Ⅱ）当D 在棱1BB （不包括端点）上运动时，求平面1ADC 与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围．【答案】（Ⅰ）BD=1；（Ⅱ）212]. 【解析】【试题分析】(I)由1,CE AB CE AA ⊥⊥得到CD ⊥平面11ABB A ,所以CE AD ⊥,由于1AD A C ⊥,所以AD ⊥平面1A CE ,所以1AD A E ⊥,由此得到D 为1BB 的中点,所以1BD =.(I)以E 为空间坐标原点建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量来求得它们夹角的余弦值的取值范围. 【试题解析】证明：（Ⅰ），由AC=BC ，AE=BE ，知CE⊥AB， 又平面ABC⊥平面ABB 1A 1，所以CE⊥平面ABB 1A 1而AD ⊂平面ABB 1A 1，∴AD⊥CE，又AD⊥A 1C 所以AD⊥平面A 1CE ， 所以AD⊥A 1E ．易知此时D 为BB 1的中点，故BD=1．（Ⅱ）以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴， 过E 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴， 建立空间直角坐标系，设 BD=t ，则A （-1，0，0），D （1，0，t ），C 1（032），AD =（2，0，t ），1AC =（13，2），设平面ADC 1的法向量n =（x ，y ，z ）， 则1·20·320n AD x tz n AC x z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，取x=1，得21,33n t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 平面ABC 的法向量m =（0，0，1），设平面ADC 1与平面ABC 的夹角为θ，∴cosθ=··m n m n=222414133tt t⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭2327t t -+()2316t -+由于t∈（0,2）,故cosθ∈（217，22]． 即平面ADC 1与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围为（217，22]． 19.某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（1）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）0.0035a =，平均数：670元；（2）分布列见解析，9()10E X =；（3）列联表见解析，有． 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，列方程解出a 的值，再由频率分布直方图求样本平均数，即可得解；（2）由题意可知随机变量X 服从超几何分布，确定X 的取值，求出对应概率，可得X 的分布列，再计算数学期望即可；（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，由此完成列联表，并由公式计算2K ，查表判断即可.【详解】（1）由题意知，100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=， 解得0.0035a =，样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．（2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人． 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，()337310k kC C P X k C -==（0,1,2,3k =）， 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．【点睛】本题考查了频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、列联表以及独立检验的应用，考查了计算能力与数据分析能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为23（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，且满足2OM ON ⋅=（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22143x y +=；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义，22222b a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆，得到二次方程，向量坐标化得到221612234k k -=+，进而求得参数值．解析：（1）由题意得：22222b a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程是22143x y +=（2）当直线l的斜率不存在时，(M，(0,N3OM ON ⋅=-，不符合题意当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y由221432x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 整理得：()22341640k x kx +++= ()()221616340k k ∆=-+>，解得12k <-或12k >1221634k x x k +=-+，122434x x k=+ ∴1212OM ON x x y y ⋅=+= ()()21212124kx xk x x ++++()222222413216124343434k k k k k k +-=-+=+++∵2OM ON ⋅= ∴221612234k k-=+解得2k =±，满足0∆>所以存在符合题意的直线，其方程为2k x =+ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.已知函数()()21ln f x a x x =-+，a R ∈.（1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）切线方程为1y x =-；（2）实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 【解析】【试题分析】（1）当2a =时，求出切点和斜率，利用直线方程点斜式可求得切线方程.（2）先化简得到()22ln g x x x m =-+.利用导数求得其最小值为()g e ，由此得到()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的条件是()21101120g m g m e e ⎧=->⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解这个不等式求得m 的范围. 【试题解析】（1）当2a =时，()()221ln f x x x =-+ 224ln 2x x x =-++. 当1x =时，()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ， 又()1'44f x x x=-+，因此()'11k f ==. 因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-. （2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+，则()()()2112'2x x g x x x x-+-=-=.因为1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当()'0g x =时，1x =，且当11x e<<时，()'0g x >；当1x e <<时，()'0g x <； 故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-. 又2112g m e e⎛⎫=--⎪⎝⎭，()22g e m e =+-， ()221122g e g m e m e e ⎛⎫-=+--++ ⎪⎝⎭24e =-+ 210e <，则()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()g e ，故()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的条件是()21101120g m g m e e ⎧=->⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 2112m e ⇒<≤+， 所以实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数导数与切线，考查函数导数与零点问题，考查化归与转化的数学思想方法.第一问要求函数在某一点的切线方程，只需求出切点和斜率，利用点斜式即可求得对应的切线方程.第二问利用导数研究()g x 图像得到其最小值后列不等式组来求m 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为A （异于极点），l 与曲线M 的交点为B ，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. 【答案】(1) 4sin ρθ= ；(2) 2y x = 【解析】【分析】(1)先消去参数α，得到曲线C 的普通方程，再化成极坐标方程；(2)由题意知，直线l 是过原点的，所以求出l 的斜率k 或tan β的值即可写出l 的方程. 【详解】解：（1）由题意知曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=， 即224x y y +=， 所以24sin ρρθ=，即4sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （2）因为曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，所以ρ=将θβ=代入，得OB =因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=所以OA OB ⋅===则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x =【点睛】设P 为平面上一点，其直角坐标为(),x y ，极坐标为(),ρθ，则cos x ρθ=，sin y ρθ=，()222+x y OP ρρ==，()tan 0yx x θ=≠． 23.已知函数()()120f x x a x a a=+-->. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≤-；（2）若不等式()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(,1]-∞-.（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）()()120f x x a x a a=+-->，当1a =，()1f x ≤-，可得|2||1|1x x +--≤-，即可求得答案； （2）由()3f x ≤，可得111||2||||22x a x x a x a a a a+--≤+-+=+，结合已知，即可求得答案. 【详解】（1）()()120f x x a x a a=+--> 当1a =，()1f x ≤- 可得|2||1|1x x +--≤-若2x -≤则2(1)1x x ----≤-， 即31-≤-，显然成立若21x -<<，2(1)1,x x +--≤- 可得22x ≤-，故1x ≤- 若1x ≥，2(1)1,x x +--≤- 可得31≤-，显然不成立. 综上所述，(,1]x ∈-∞- （2）()3f x ≤∴111||2||||22x a x x a x a a a a+--≤+-+=+ 1112|2|2a x a x a a a a∴--≤+--≤+ 要保证不等式()3f x ≤恒成立，只需保证123a a+≤， 解得112a ≤≤ 综上所述，1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了求解带绝对值不等和根据不等式恒成立求参数，解题关键是掌握带绝对值不等式和不等式恒成立求参数范围的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.。

甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学(理)试题

甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学(理)试题

武威六中2020届高三第六次诊断考试数 学（理）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}|02A x x =<<，13|log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =( )A ．{}|0x x >B ．1|09x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}|02x x << D ．1|29x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 2．已知复数z 满足()1234i z i +=-，则(z = )A ．55B ．1C ．5D ．53．5G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况得到如下统计图，根据该图，下列说法错误的是（ ）A ．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B ．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C ．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D ．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量 4．已知向量()2,a m =-，()1,2b =，()1122a a b ⋅+=，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．12C ．12- D ．-15．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，M 为ON 的一个靠近点N 的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ） A ．13B ．23C ．49D ．596．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前50项和50T =（ ）Ａ．5051B ．4950C ．100101D ．501017．函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A. ②③B. ②③④C. ①④D. ①②③9．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，与圆222x y a +=相切的直线1PF 交双曲线C 于点P （P 在第一象限），且212PF F F =，则C 的离心率为（ ）．A.103B.53C.32D.5410．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后得到()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 11．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，AB C ∆是边长为3的正三角形，BCD∆是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A.B.323π C. 12π D. 643π12．已知M 是函数)(sin 832)(R x x x x f ∈--=π的所有零点之和，则M 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．曲线1()e x f x x=+在1x =处的切线斜率为_________． 14. 已知抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠过点()14P -,，则抛物线C 的准线方程为______. 15．已知下列命题： ①命题“x x R x 53,2<+∈∀”的否定是“x x R x 53,2<+∈∃”；②已知q p ,为两个命题，若“q p ∨”为假命题，则“)()(q p ⌝∧⌝为真命题”； ③在AB C ∆中，“B A >”是“sinB sinA >”的既不充分也不必要条件； ④“若0=xy ，则0=x 且0=y ”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是__________．16．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层(如图1所示)，上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围为扇面形石(如图2所示).上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是________；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是________.（第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 3sin A B 且b c =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若23a =，角B 的平分线交AC 于点D ，求ABD ∆的面积.18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//BC AD ，90BAD ∠=︒，222AD PD AB BC ====，M 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面PCD（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面PAD ，异面直线BC 与PD 所成角为60°，且PAD △是钝角三角形，求二面角B PC D --的正弦值19．（本小题满分12分）某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），并对近5个月的月销售单价i x 和月销售量()1,2,3,4,5i y i =的数据进行了统计，得到如下表数据：（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程ˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23，且经过点），（231-（Ⅰ）求椭圆C 的方程.（Ⅱ）过点）（0,3作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R ).（Ⅰ）讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数f (x )在x ＝1处取得极值，x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的最大值.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为424x cos y sin θθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为x my ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 与曲线C 相交于M ，N两点，若()P -，求2211||PN PM+的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数 ()212f x x x =--+ （Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式21(3)35m f x x +≥+++有解，求实数m 的取值范围.武威六中2020届高三第六次诊断考试理科数学答案一、选择题1--5 DCDCD 6---10 DDCBC 11---12 BD 二、填空题13.e 1- 14.116y =-15. ② 16.243 3402三、解答题17.解：（1）由sin 3sin AB 及正弦定理知3ab ， 又bc =，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=22223122b b b b +-==-.()0,A π∈，23A π=.---------6分 （2）由（1）知6B C π==， 又23a =，在ABC ∆中，由正弦定理知：2AB =，在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB AD D ABD =∠及12ABD π∠=，4D π∠=，解得31AD =-， 故332ABDS ∆.---------12分18.【详解】（Ⅰ）证明：取PD 的中点N ，连接,CN MN ，因为M 为PA 的中点，则//MN AD ，且12MN AD =， 又//BC AD ，且12BC AD =，所以//MN BC ，MN BC =，所以四边形BMNC 为平行四边形， 所以//BM CN ，CN ⊂平面PCD ，BM ⊄平面PCD ， 所以//BM 平面PCD ……5分（Ⅱ）由题意可知//BC AD ，所以ADP 或其补角为异面直线BC 与PD 所成角，又AD PD =，PAD △为钝角三角形，所以120ADP ∠=︒，又平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD 平面PAD AD =，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，以A 为坐标原点，,AD AB 所在直线为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,1B ，()0,2,0D ，()0,1,1C ，()3,3,0P，向量()2,1PC =--，()3,1PB =--，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，由00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得00z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1x =，得平面PBC 的一个法向量为(1,0,3n =，同理可得平面PCD的一个法向量为(1,m =，设二面角B PC D --的平面角为θ，则2cos 727m n m nθ⋅===，则sinθ==，故二面角B PC D --的正弦值为7…………12分 19.解（Ⅰ）因为()11110.5109.59105x =++++=，()1568101185y =++++=． 所以23925108ˆ 3.2502.5510b -⨯⨯==--⨯，所以()ˆ8 3.21040a =--⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为： 3.240ˆyx =-+．----------6分 （Ⅱ）当7x =时，ˆ 3.274017.6y=-⨯+=，则17.6180.40.5-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．…… 8分 （Ⅲ）设销售利润为M ，则()()()5 3.240511M x x x =--+<≤23.256200M x x =-+-，所以8.75x =时，M 取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．…………12分 20.解：(1)由题意可得ca ＝32，1a 2＋34b2＝1， 又a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)存在定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my －3＝0，x 24＋y 2＝1，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t ，0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2).由根与系数的关系可得，y 1＋y 2＝23m4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m 2. 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，则直线QA 与直线QB 的斜率互为相反数， 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0. 又x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0，所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0，整理得，(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0， 从而可得，(3－t )·23m4＋m 2－2m ·－14＋m 2＝0，即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意. 综上所述，在x 轴上存在定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0，使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.21.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x .当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减. ∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点.当a >0时，由f ′(x )<0，得0<x <1a ；由f ′(x )>0，得x >1a ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，故f (x )在x ＝1a 处有极小值.综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点； 当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点. (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝a －1＝0，则a ＝1，从而f (x )＝x －1－ln x . 因此f (x )≥bx －21＋1x －ln xx ≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln xx ，则g ′(x )＝ln x －2x 2， 令g ′(x )＝0，得x ＝e 2，则g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(e2)＝1－1e2，即b≤1－1e2.故实数b的最大值是1－1 e2.22.解（1）曲线C的参数方程为4cos(24sinxyθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩为参数），转换为直角坐标方程为22((2)16x y++-=，整理得2240x y y++-=，根据222cossinxyx yρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，转换为极坐标方程为24sin cosρρθθ=-，即4sinρθθ=-所以曲线C的极坐标方程为4sinρθθ=-．（2）直线l的参数方程为x my⎧=-⎪⎨=⎪⎩转换为直线的标准参数式为12(x tty⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）代入圆的直角坐标方程为2120t--=，2412600∆=+⨯=>，设方程两根为12,t t，所以12t t+=1212t t=-，所以212122222221212()2111112241||||()124t t t tPM PN t t t t+-++=+===．23．解：（1），()13,2131,223,2x xf x x xx x⎧-≥⎪⎪⎪=---<<⎨⎪-+≤-⎪⎪⎩当30x->时，得3x>；当310x-->时，得123x-<<-；当30x-+>时，得2x≤-，综上可得不等式()0f x>的解集为()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭.（2）依题意()()min21335m f x x+≥+++，令()()33525210g x f x x x x=+++=+++252105x x≥--++=.∴215m+≥，解得2m≥或3m≤-，即实数m的取值范围是][(),32,-∞-⋃+∞.。

甘肃省武威市第六中学2020届高三上学期第一次阶段性复习过关考试数学试题(理)

甘肃省武威市第六中学2020届高三上学期第一次阶段性复习过关考试数学试题(理)

甘肃省武威市第六中学2020届高三上学期第一次阶段性复习过关考试数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 为虚数单位，复数2ii 1z =-在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限2．已知U R =，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，2{|0}N x x x =-<，则下列结论正确的是（ ）A ．M N N ⋂=B ．()U MC N φ⋂= C ．M N U ⋃=D ．()U M C N ⊆3．知f (x )=ax ²+bx 是定义在『a -1,3a 』上的偶函数，那么a +b =（ ）A.14-B. C.12 D.12-4．设246(0)()6(0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩，则不等式f (x )f (-1)的解集是（ ）A.(-3,-1)(3,+)B.（-3，-1）（2，+）C.（-3，+）D.（-，-3）（-1，3）5．已知命题p ：x ∀∈N *,1123xx⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：x ∃∈N *,122x x -+=，则下列命题中为真命题的是( )A ．p q ∧B .()p q ⌝∧ C . ()p q ∧⌝ D .()()p q ⌝∧⌝6．已知实数b a ,满足,23,32==b a 则b x a x f x -+=)(的零点所在的区间是( ) A.)1,2(-- B.)0,1(- C.)1,0( D.)2,1(7．已知函数()324x f x x =+，则()f x 的大致图象为（ ）A ． Ｂ． C ． D ． 8．若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A. B.C.D.9．设函数f (x )=f (1x )lgx ＋1，则f (10)的值为（ ）A ．1B ．-1C ．10D ．11010．定义在R 上的函数的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①=1；②；③若，则；④若，则，其中正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．已知函数ax a x e e x f +--+=)(，若c b a ==3log 3，则( )A.)(a f <)(b f <)(c fB.)(b f <)(c f <)(a fC.)(a f <)(c f <)(b fD.)(c f <)(b f <)(a f12．已知函数1,)21(1,2542{)(≤>-+-=x x x x x x f ，若函数的图象与轴的交点个数不少于2个，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．()f x ()0,+∞(3)0f =()0xf x <{303}x x x -<<>或{33}x x x <-<<或0{33}x x x <->或{303}x x x -<<<<或0)1(+=x f y )0(f 1)1(=-f 0>x 0)(<x f 0<x 0)(>x f ()()g x f x mx m =--x m 1,6304⎡⎤+⎢⎥⎣⎦1,6304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．已知幂函数()y f x =的图像过点12,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()22log f 的值为____________；14．已知函数)(x f 是定义在实数集R 上周期为2的奇函数，当]1,0(∈x 时，)1lg()(+=x x f ，则=+14lg )52018(f ____________15．已知函数()4f x x x =+，()2x g x a =+，对任意的11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]2,32x ∈，有()()12f x g x ≤，则a 的取值范围为____________.16．设函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R 恒有f (x ＋1)＝－f (x )，已知当x 『0，1』时，f (x )＝3x .则① 2是f (x )的周期； ② 函数f (x )的最大值为1，最小值为0； ③ 函数f (x )在(2，3)上是增函数； ④ 直线x ＝2是函数f (x )图象的一条对称轴. 其中所有正确命题的序号是三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知m ＞0，p ：x 2﹣2x ﹣8≤0，q ：2﹣m ≤x ≤2+m ． （1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若m =5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数1()ln f x x ax x =+-.（1）若()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；][1,2ln2,6304⎛-∞-⋃ ⎝][1,2ln2,6304e ⎛-∞-⋃ ⎝（2）当2a =-时，求()f x 的单调区间.19.（本小题满分12分）已知定义域为的函数是奇函数。

2020届甘肃省武威高三上学期第六次诊断考试数学（理）试题

2020届甘肃省武威高三上学期第六次诊断考试数学（理）试题

2020届甘肃省武威第六中学高三上学期第六次诊断考试数学（理）试题一、选择题(51260⨯=)1. 已知集合P ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝( )A.(0，2]B.[－2，e)C.(0，1]D.(1，e)2. 已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( ) A.－5 B.－1C.－13D.－533. 已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则sin 2θ 的值为( )A.35B.45C.15D.－154．已知不重合的两条直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β.其中正确的命题是( ) A.①④B.③④C.①②D.①③5. 已知f (x )满足∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1e x ＋k (k 为常数)，则f (ln 5)的值为( ) A.4B.－4C.6D.－66．直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，则“m ＝－1或m ＝－7”是“l 1∥l 2”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，c ＝3，且a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12，则a ＝( ) A.1或 2 B.1或3 C.1或2D.2或 38．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M 是线段AB的中点，则OC →·OM →的值为( )A. 3B.2 3C.2D.39．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.1410．正项等比数列{a n }中，a 2 018＝a 2 017＋2a 2 016，若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n的最小值等于( )A.1B.32 C.53 D.136 11．已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( ) A.g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上的最小值为－1B.g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度得到 C.g (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D.g (x )的一个单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π212. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B .[0，1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125 二、填空题(4520⨯=）13．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ＋2≥0，x ＋y －1≤0，y ≥m ，且x －y 的最大值为5，则实数m 的值为________.14. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝－n2－n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2（n ＋1）a n 的前40项的和为________.15．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________.16．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图为一个“堑堵”，即三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其中AC ⊥BC ，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为________.三、解答题17.（本小题12分）已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R ).（1）求f (x )的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值.18．（本小题12分）在单调递增的等差数列{b n }中，前n 项和为S n ，已知b 3＝6，且b 2，S 5＋2，b 4成等比数列.（1）求{b n }的通项公式；（2）设a n ＝b n2(e)b n ，求数列{a n }的前n 项和T n .19. （本小题12分）在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，底面△ABC 是边长为2的正三角形，A 1A ＝A 1C ，A 1A ⊥A 1C .（1）求证：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求二面角B 1－A 1C －C 1的正弦值.20. （本小题12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，直线x ＋3y －1＝0被以椭圆C 的短轴为直径的圆截得的弦长为 3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (4，0)的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且λ＝|MA |·|MB |，求λ的取值范围.21. （本小题12分）已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R .（1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1x f x x e ≤⋅-恒成立，求t 的取值范围.22．(本小题满分10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ（θ为参数），M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP→＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.（1）求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值.2020届武威六中第六次阶段性过关测试卷理科数学答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDBABBCDDBCA二、填空题13. －2 14. －4041 15. －43或－34 16.68173π 三、解答题 17.解 (1)f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 当2x －π6＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π－π6(k ∈Z )时，f (x )min ＝－2.此时自变量x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π6，k ∈Z .(2)由f (C )＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1.又C ∈(0，π)，则－π6<2C －π6<11π6，所以2C －π6＝π2，C ＝π3.在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，由正弦定理， b ＝2a .①又c ＝3，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，∴a 2＋b 2－ab ＝3，② 联立①，②得a ＝1，b ＝2.18. 解 (1)设等差数列{b n }的公差为d ，因为b 3＝6，且b 2，S 5＋2，b 4成等比数列，所以⎩⎨⎧b 1＋2d ＝6，（b 1＋d ）（b 1＋3d ）＝⎝⎛⎭⎪⎫5b 1＋5×42d ＋22，解得，b 1＝2，d ＝2或b 1＝10，d ＝－2. 因为{b n }单调递增，所以d >0， 所以b 1＝2，d ＝2，所以{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)因为a n ＝b n2(e)b n ，所以a n ＝n e n . 所以T n ＝1·e 1＋2e 2＋3e 3＋…＋n e n ，① 所以e T n ＝1·e 2＋2e 3＋3e 4＋…＋n e n ＋1.② 以上两个式子相减得，(1－e)T n ＝e ＋e 2＋e 3＋…＋e n －n e n ＋1，所以(1－e)T n ＝e －e n ＋11－e －n e n ＋1，所以T n ＝n e n ＋2－（n ＋1）e n ＋1＋e（1－e ）2.19. (1)证明 如图，取A 1C 1的中点D ，连接B 1D ，CD ，∵C 1C ＝A 1A ＝A 1C ， ∴CD ⊥A 1C 1，∵底面△ABC 是边长为2的正三角形， ∴AB ＝BC ＝2，A 1B 1＝B 1C 1＝2， ∴B 1D ⊥A 1C 1，又B 1D ∩CD ＝D ， ∴A 1C 1⊥平面B 1CD ，且B 1C 平面B 1CD ，∴A 1C 1⊥B 1C .(2)解 法一 如图，过点D 作DE ⊥A 1C 于点E ，连接B 1E . ∵侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，∴侧面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，又B 1D ⊥A 1C 1，侧面AA 1C 1C ∩平面A 1B 1C 1＝A 1C 1， ∴B 1D ⊥侧面AA 1C 1C ，又A 1C平面AA 1C 1C ， ∴B 1D ⊥A 1C ，又DE ⊥A 1C 且B 1D ∩DE ＝D ， ∴A 1C ⊥平面B 1DE ，∴B 1E ⊥A 1C ， ∴∠B 1ED 为所求二面角的平面角， ∵A 1B 1＝B 1C 1＝A 1C 1＝2，∴B 1D ＝3，又ED ＝12CC 1＝22，∴tan ∠B 1ED ＝B 1D ED ＝322＝6，∴二面角B 1－A 1C －C 1的正弦值为427.法二 如图，取AC 的中点O ，以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，OA 1分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，B (3，0，0)，A 1(0，0，1)，B 1(3，－1，1)，C 1(0，－2，1)，C (0，－1，0)∴＝(3，－1，0)，＝(0，－1，－1)， 设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1B 1C 的法向量， ∴令y ＝3，得m ＝(1，3，－3)，又＝(3，0，0)为平面A 1C 1C 的一个法向量， 设二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角， cos θ＝|cos 〈m ，〉|＝＝77，则sin θ＝427，∴二面角B 1－A 1C －C 1的正弦值为427.20.解 (1)原点到直线x ＋3y －1＝0的距离为12，由题得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝b 2(b >0)，解得b ＝1.又e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝34，得a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率为0时，λ＝|MA |·|MB |＝12.当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：x ＝my ＋4，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.由Δ＝64m 2－48(m 2＋4)>0，得m 2>12， 所以y 1y 2＝12m 2＋4.λ＝|MA |·|MB |＝m 2＋1|y 1|·m 2＋1|y 2| ＝(m 2＋1)|y 1y 2|＝12（m 2＋1）m 2＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m 2＋4. 由m 2>12，得0<3m 2＋4<316，所以394<λ<12.综上可得：394<λ≤12，即λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤394，12.21.（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证（2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q >所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x e x ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞22. 解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由＝a ，得⎩⎨⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝xa ，y 0＝y a .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x a ＝2＋2cos θ，y a ＝2sin θ，即⎩⎨⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a ，0)为圆心，以2a 为半径的圆. (2)法一 A 点的直角坐标为(1，3)，∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离 d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3， ∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.法二 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得：ρ＝4a cos θ， 令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)， ∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝a |2sin αcos α－23cos 2α| ＝a |sin 2α－3cos 2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3，∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ， 依题意(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.。

甘肃省武威第六中学2020届高三数学上学期第六次诊断考试试题文2-含答案

甘肃省武威第六中学2020届高三数学上学期第六次诊断考试试题文2-含答案

甘肃省武威第六中学2020届高三数学上学期第六次诊断考试试题 文一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．设集合}0)3)(1(|{≥--=x x x A ,集合}1)31(|{1>=-x x B ,则=⋃B AA. }1|{x ≤xB. }3|{x ≤xC. }31|{x ≤≤xD. }1{2．已知复数ai z +=3的模为5,则实数=aA.±2B.±8C.±4D.±53．若非零向量b a ρρ,满足||322||b a ρρ=,且)23()(b a b a ρρρρ+⊥-,则b a ρρ与的夹角为 A.4π B.2π C.43π D. π4．已知平面α,直线n m ,满足αα⊄⊂n m ,,则“m n ⊥”是“α⊥n ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“今有众兄弟辈出钱买物,长兄出钱八文,次兄以下各加一文,顺至小弟出钱六十文.问:兄弟辈及共钱各若干?”意思是:众兄弟出钱买一物品,长兄出了八文钱,每位兄弟比上一位兄长多出一文钱,到小弟的时候,小弟出了六十文钱,问兄弟的个数及一共出的钱数分别是多少.则兄弟的个数及一共出的钱数分别是A.52,1 768B.53,1 768C.52,1 802D.53,1 8026．已知直线l 过点)0,2-（且倾斜角为α,若l 与圆20)3(22=+-y x 相切,则=-)223sin(απA. 53B. 53-C.54 D 54-7．已知函数0,)21(0,2)(<-≥⎩⎨⎧=x x x x x f x 则不等式6)(≤x f 的解集是 A. ]3,(-∞B. ]3,2[-C. ]3,0[D. ]3,1[-8．已知在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是棱CD ,A 1D 1的中点,则异面直线EF 与BC 1所成角的余弦值是A.33 B.63 C.32 D.62 9．已知函数)20,0,0sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f ）（的部分图象如图所示,则=)43(πfA. 1-B. 21-B. C. 22-D. 23-10．已知)0,0()4(31)(23>>-++=b a x b ax x x f 在1=x 处取得极值,则ba 12+的最小值为 A.3223+ B. 223+C.3D. 2211．已知椭圆)012222>>=+b a by a x （的右焦点为F ,左顶点为A ,点P 在椭圆上,且AF PF ⊥,若21tan =∠PAF ,则椭圆的离心率e 为 A.41 B. 31C.21 D.32 12．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A.－50B.0C.2D.50二、填空题：共4题 每题5分 共20分 13．曲线x x x x f ln 21)(2+=在点))1(,1(f 处的切线与直线01=--y ax 垂直,则=a .14．已知动点),(y x P 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-033010632y x y x y x ,则x y z 2-=的最小值是 .15．如图，已知平面四边形ABCD 满足AB ＝AD ＝2，∠A ＝60°，∠C ＝90°，将△ABD沿对角线BD 翻折，使平面ABD ⊥平面CBD ，则四面体ABCD 外接球的体积为________.16．已知P 是直线01043=-+y x 上的动点，PA ，PB 是圆044222=++-+y x y x 的两条切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________. 三、解答题：共6题 共70分17．（12分）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,, ,且2cos2sin 32CB cC a +=. (1)求角A 的大小;(2)若7=a , ABC ∆的面积是4315,求ABC ∆的周长.18．（12分）已知数列}{n a 满足0≠n a ,且1133++=-n n n n a a a a ,等比数列}{n b 中,9,3,6412===b b a b .(1)证明:数列}1{na 为等差数列,并求数列}{n a 的通项公式. (2)求数列}{1+n n a a 的前n 项和n S .19．（12分）如图,在三棱锥A -BCD 中,BD =3,∠BDC =90°,AD =DC =4,AB =5,点E 为棱CD 上的一点,且CD AE ⊥.(1)求证:平面ABE ⊥平面BCD ;(2)若三棱锥A -BCD 的体积为34,求三棱锥E -ABD 的高.20．（12分）已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.21．（12分）已知函数x a ax x x f )12(ln )(2+++= .(1)讨论)(x f 的单调性; (2)当0<a 时,证明243)(--≤ax f .22．（10分）已知在平面直角坐标系xoy 中,曲线为参数）t t y tx C (221221:1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,在以坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4= (1)写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程;(2)已知M (1,1),曲线1C , 2C 相交于A ,B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离.高三文科数学答案1.B 2 .C 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B 8.B 9.A 10.C 11.C 12.C13. 14.-2 15.323π2716.17.(1)在△ABC中,A+B+C=π,所以cos=cos=sin,根据正弦定理,得sin A sinC=2sin C,因为sin C≠0,所以sin A=2,解法一所以2sin cos,又sin≠0,所以cos=sin,所以tan,易知0<A<π,0<,所以,故A=.解法二sin A=1-cos A,所以sin A+cos A=1,即sin(A+)=,又<A+,所以A+,A=.(2)由题意得bc sin A=bc=,得bc=15,由余弦定理,得b2+c2-2bc cos A=b2+c2+bc=49,即(b+c)2-bc=49,所以(b+c)2-15=49,b+c=8,故△ABC的周长为a+b+c=15.18.(1)a n≠0,且3a n-3a n+1=a n a n+1,等号两边同时除以3a n a n+1,得,所以数列{}是公差为的等差数列.因为{b n}是等比数列,所以b2b6=,又b4=3,b6=9,所以9b2=9,所以b2=1,所以a1=b2=1,故(n-1)=1+(n-1)=,a n=.(2)由(1)知a n a n+1==9(),所以S n=9(+…+)=9()=.19.(1)因为BD=3,AD=4,AB=5,所以AB2=BD2+AD2,所以AD⊥B D.因为∠BDC=90°,所以BD⊥DC,又AD∩CD=D,所以BD⊥平面ADC.因为AE⊂平面ADC,所以AE⊥BD.又AE⊥CD,BD∩CD=D,所以AE⊥平面BCD.因为AE⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面BCD.(2)因为BD=3,∠ADB=90°,∠BDC=90°,AD=DC=4,所以S△ABD=S△BCD=×3×4=6.由(1)知,AE⊥平面BCD,因为三棱锥A-BCD的体积为4,所以S△BCD·AE=4,所以AE==2.在Rt △ADE 中,DE ==2,所以点E 为棱CD 的中点.设三棱锥E -ABD 的高为h ,则点C 到平面ABD 的距离为2h , 所以V C -ABD =S △ABD ·2h =4,所以h =,所以三棱锥E -ABD 的高为.20.解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－124，由Δ＝36m 2－16(3m 2－12)>0得m 2<16， 则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m .因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2，满足m 2<16.此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32，又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32，所以△PAB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.21.(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f '(x )=+2ax +2a +1=.若a ≥0,则当x ∈(0,+∞)时,f '(x )>0,故f (x )在(0,+∞)单调递增.若a <0,则当x ∈(0,-)时,f '(x )>0;当x ∈(-,+∞)时,f '(x )<0.故f (x )在(0,-)单调递增,在(-,+∞)单调递减.(2)由(1)知,当a <0时,f (x )在x =-取得最大值,最大值为f (-)=ln(-)-1-.所以f (x )≤--2等价于ln(-)-1-≤--2,即ln(-)++1≤0.设g (x )=ln x-x +1,则g'(x )=-1.当x ∈(0,1)时,g'(x )>0;当x ∈(1,+∞)时,g'(x )<0.所以g (x )在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x =1时,g (x )取得最大值,最大值为g (1)=0.所以当x >0时,g (x )≤0.从而当a <0时,ln(-)++1≤0,即f (x )≤--2.22.解:(1)曲线C 1:(t 为参数),消去参数t ,得x +y -2=0,其极坐标方程为ρ(cosθ+sin θ)=2,即ρsin(θ+)=.ρ=4cos θ⇒ρ2=4ρcos θ⇒x 2+y 2-4x =0,所以曲线C 2的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=4.(2)通解由题意知,M(1,1)在曲线C1:(t为参数)上,将曲线C1的参数方程代入x2+y2-4x=0,得t2+2t-2=0.设A,B对应的参数分别为t1,t2,所以t1+t2=-2,t1t2=-2,所以点N对应的参数t==-.所以|MN| =|t|=.优解由题意及(1)知直线C1过圆C2的圆心(2,0),则点N的坐标为(2,0),又M(1,1),所以|MN|=.。

武威第六中学2020届高三数学上学期第六次诊断考试试题文含解析

武威第六中学2020届高三数学上学期第六次诊断考试试题文含解析

甘肃省武威第六中学2020届高三数学上学期第六次诊断考试试题 文(含解析）一、选择题：共12题，每题5分，共60分1。

设集合()(){}|130A x x x =--≥,集合11|13x B x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ) A. {}1x x ≤B 。

{}3x x ≤ C. {}13x x ≤≤ D 。

{}1【答案】B【解析】【分析】 计算{}13A x x =≤≤,{}1B x x =<，再计算A B 得到答案.【详解】()(){}{}|13013A x x x x x =--≥=≤≤,{}11113x B xx x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭, 故{}3A B x x ⋃=≤.故选:B .【点睛】本题考查了并集运算，意在考查学生的计算能力。

2.已知复数3z ai =+的模为5,则实数a =（ ）A. 2± B 。

8± C. 4± D. 5±【答案】C【解析】【分析】根据复数模公式直接计算得到答案.【详解】3z ai =+，故5z ==，故4a =±.故选:C .【点睛】本题考查了根据复数模求参数，意在考查学生的计算能力.3。

若非零向量a ，b 满足223a b =,且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为( ）A. 4π B 。

2π C. 34π D 。

π【答案】A【解析】 【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可． 【详解】∵（a ﹣b ）⊥（3a +2b ）， ∴（a ﹣b ）•（3a +2b )=0,即3a 2﹣2b 2﹣a •b =0，即a •b =3a 2﹣2b 2=23b 2，∴cos＜a ，b ＞=a b a b ⋅=222b b =2, 即＜a ，b ＞=4π， 故选A ．【点睛】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．4.已知直线a ，b 和平面α,若a α⊂,b α⊄，则“a b ⊥"是“b α⊥"的( ）．A 。

2020届甘肃省武威第六中学高三下学期第二次诊断考试数学(理)试题(解析版)

2020届甘肃省武威第六中学高三下学期第二次诊断考试数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前武威六中2020届高三第二次线上诊断考试理科数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =( )A. }{1x x < B. }{11x x -≤< C. {}2x x ≤ D. {}21x x -≤<答案：C 【分析】先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可．解：解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ．点评：本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小． 2.纯虚数z 满足()124z z i +⋅=-，则z 的共轭复数为（ ） A. 2i - B. 2iC. 4i -D. 4i答案：B 【分析】设()0z bi b =≠，，由复数的模和共轭复数的概念，结合复数相等的条件，解方程可得b ，进而得到所求z 的共轭复数．解：由题意，设()0z bi b =≠，，则()()1124,z z bi b b b b i i +⋅=+⋅=+⋅=-则复数相等的条件可得2,2,2,2.4b b z i z i b b ⎧=⎪∴=-=-=⎨⋅=-⎪⎩故选B.点评：本题考查复数的模和共轭复数的概念，以及复数相等的条件，考查运算能力，属于基础题．3.各项均为正数的等比数列{}n a 中，1a ={}n a 的前n 项和为3,2n S S =+.则7a =（ ）A. B. C. 8D. 14答案：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为,q 利用等比数列通项公式,结合3123S a a a =++得到关于q 的方程,解方程求出公比q ,然后代入等比数列通项公式求出7a 即可. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意知,则)2312312S a a a q q=++=++=+解得q =由等比数列通项公式可得,6671a a q ===故选:A点评：本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式;考查运算求解能力;熟练掌握等比数列通项公式和前n 项和公式是求解本题的关键;属于基础题.4.在ABC ∆中，2CM MB =，0AN CN +=，则（ ）A. 2136MN AB AC =+ B. 2736MN AB AC =+ C. 1263MN AC AB =-D. 7263MN AC AB =-答案：C 【分析】利用平面向量基本定理分析求解即可.解：由已知可得点M 是靠近点B 的三等分点，又点N 是AC 的中点．2132MN MC CN BC CA =+=+21()32AC AB AC =--1263AC AB =-故选C点评：本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.5.把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]2,5上任取x ，则[]2x x ⎡⎤=⎣⎦的概率为（ ）A.14B.13C.12D.23答案：B 【分析】由题意分类，求得使[x]＝[2x ]成立的x 的范围，再由长度比计算即可得答案． 解：当2≤x ＜3时，[x]＝[2x ]＝2； 当3≤x ＜4时，[x]＝3，[2x ]＝2； 当4≤x ＜4.5时，[x]＝4，[2x ]＝2； 当4.5≤x ＜5时，[x]＝4，[2x ]＝3．符合条件的x ∈[2，3），由长度比可得，[x]＝[2x ]的概率为321523-=-． 故选B ．点评：本题主要考查几何概型的概率、分类讨论思想，属于基础题． 6.函数1lg1y x =-的大致图象为（ ） A. B. C. D.答案：C 【分析】根据函数的对称性及在对称轴右侧的单调性即可判断函数图象的大致形状，利用排除法选出答案. 解：由题意得，函数1lg1y x =-的关于1x =对称，排除B 、D ； 当1x >时，函数1lg1y x =-为单调递减函数，排除A ，故选C. 点评：本题主要考查了含绝对值的对数型函数的对称性，单调性，图象，属于中档题. 7.设向量()()3,3,1,1a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=（ ）A. 3B. 1C. ±1D. 3±答案：D 【分析】根据()()3,3,1,1a b ==-，求得()()3,3,3,3a b a b λλλλλλ+=+--=-+，再根据()()a b a b λλ+⊥-，有()()2330λλ+-=求解.解：因为向量()()3,3,1,1a b ==-，所以()()3,3,3,3a b a b λλλλλλ+=+--=-+， 因为()()a b a b λλ+⊥-， 所以()()2330λλ+-=， 解得3λ=±. 故选：D点评：本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.已知实数a ，b 满足11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A. 11a b> B. 22log log a b >C.< D. sin sin a b >答案：B 【分析】首先利用指数函数的性质得到a ，b 的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案. 解：11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由指数函数的单调性, 可得：0a b >>对于A ，由0a b >>，可得11a b<，故A 错误； 对于B ，由0a b >>，可得22log log a b >，故B 正确；对于C ，由0a b >>>C 错误；对于D ，根据sin y x =图象可得，由0a b >>，sin a 与sin b 的大小无法确定，故D 错误； 故选：B ．点评：本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 9.已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 89-B.89C.79D. 79-答案：C 【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 解：1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C点评：本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.10.已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作垂直于x 轴的弦MN ，交双曲线于M 、N 两点，若1MF N ∠=2π，则双曲线的离心率e =（ ）A.B.C.D.1答案：D 【分析】根据过右焦点2F 作垂直于x 轴的弦MN ，则2bMF a=，再根据1MF N ∠=2π，则有12MF F F = ，即22b c a=求解. 解：因为过右焦点2F 作垂直于x 轴的弦MN ，所以2b MF a=，又因为1MF N ∠=2π， 所以12MF F F = ，即22b c a=，所以2222b c a ac =-=，2210e e --=，解得21e =+.故选：D点评：本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.１７世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin1314︒=（ ）A. 358+-B. 458+-C. 251- D. 514-答案：D 【分析】在ABC ，由正弦定理可知：sin sin 36sin sin 72BC BAC AC ABC ︒︒∠==∠，即可求得cos36︒值，根据诱导公式化简sin1314cos36︒︒=-，即可求得答案.解：ABC ，由正弦定理可知：sin sin 36sin 361sin sin 722sin 36cos362cos36BC BAC AC ABC ︒︒︒︒︒︒∠=====∠∴cos364︒==又()sin1314sin 3360234︒︒=⨯+︒()sin 234sin 18054sin54︒︒︒︒==+=- ()sin 9036cos36︒︒︒=--=-=. 故选：D.点评：本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12.22,2()1log ,22ax x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为R，则f 的取值范围是 A. 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 5,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C. 5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 51,42⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ 答案：D因为22,()21x f x x x ≤=-≥- ，所以1101,log 21024a a a <<-≥-⇒<≤因此(f 14115log log 224a =≥=-，(f 11log 22a =<-即(f 的取值范围是51,42⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，选D.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.二、填空题（每小题5分，共20分）13.将函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()2sin g x x =的图象，则A ωϕ++=__________. 答案：46π+【分析】根据三角函数平移和伸缩变换可得到sin 2sin 212A x x ωπωϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，进而对应相等可求得,,A ωϕ的值，从而求得结果. 解：()f x 向右平移12π个单位得：sin 1212f x A x ππωωϕ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭横坐标扩大为原来的2倍得：()sin 2sin 212g x A x x ωπωϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭2A ∴=，2ω=，()2126k k Z ππωϕϕπ+=-+=∈，又2πϕ<，6πϕ∴=，22466A ππωϕ++=++=+∴.故答案为：46π+.点评：本题考查根据三角函数图象的变换求解函数解析式的问题，关键是能够熟练掌握三角函数的平移变换和伸缩变换的基本原则. 14.已知数列{}n a ，若数列{}13n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，则5a 的值为________.答案：16 【分析】利用前n 项和公式可得第五项的值. 解：∵数列{}13n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，∴()515454554111113666655555a T T -⎛⎫⎛⎫=-=⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=46∴445462163a ===，故答案为16点评：本题考查由前n 项和公式求项值，考查计算能力，解题关键是理解前n 项和与项的关系.15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有_______种． 答案：29 【分析】由第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，可以得到第一天售出但第二天未售出的商品种数，同理得到第二天售出但第一天未售出的商品种数，进而得到前两天共售出的商品的种数，根据第三天售出但第二天未售出的商品种数，当这些商品都在第一天售或第二天售出时，三天售出的商品种数最少.解：由题意，第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，所以第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种，第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10种，所以前两天共售出的商品有19+10=29种， 如图所示：第三天售出18种商品，后两天都售出的商品有4种，得第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14种， 当这14种商品都在第一天售出或第二天售出商品中时，三天售出的商品种数最少有29种. 故答案为：29点评：本题主要考查集合的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.16.在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为______． 82π【分析】：先将三棱锥还原到长方体中，根据题意建立长方体体对角线与AB 的函数关系式，求解体对角线的最小值，由此得出外接球的体积的最小值．解：：如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-, AB BD ⊥,所以22AD AB DB =+．由题意，体积的最小值即为AD 最小，22(4)AD x x =+-，所以当2x =时，AD 的最小值为22，所以半径为2，故体积的最小值为823π．点评：：根据题意把三棱锥还原到长方体是解决三棱锥外接球问题的常见解法，不同题目背景，还原方法不一样，但三棱锥的四个顶点一定是长方体的顶点．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在公差不为0的等差数列{}n a 中，148,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前项和为n T ，求n T ． 答案：（1）83n n a +=； （2）9nn +. 【分析】（1）根据条件列关于公差与首项的方程组，再将结果代入通项公式得结果，（2）利用裂项相消法求和. 解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由148,,a a a 成等比数列可得，2418•a a a =，即()()211137a d a a d +=+，22211116+97a a d d a a d ∴+=+，0d ≠，1=9a d ∴.由数列{}n a 的前10项和为45，得101104545S a d =+=，即904545d d +=，故13d =，13a =.故数列{}n a 的通项公式为83n n a +=；（2）()()1191198989n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，111111111199++=9=19101011111289999n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-⋯--- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 9nn =+ 点评：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +. 18.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均2，D 为棱1BB （不包括端点）上一动点，E 是AB 的中点．（Ⅰ）若1AD A C ⊥，求BD 的长；（Ⅱ）当D 在棱1BB （不包括端点）上运动时，求平面1ADC 与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围．答案：（Ⅰ）BD=1；（Ⅱ）（217，22].【试题分析】(I)由1,CE AB CE AA ⊥⊥得到CD ⊥平面11ABB A ,所以CE AD ⊥,由于1AD A C ⊥,所以AD ⊥平面1A CE ,所以1AD A E ⊥,由此得到D 为1BB 的中点,所以1BD =.(I)以E 为空间坐标原点建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量来求得它们夹角的余弦值的取值范围.【试题解析】证明：（Ⅰ），由AC=BC，AE=BE，知CE⊥AB，又平面ABC⊥平面ABB1A1，所以CE⊥平面ABB1A1而AD⊂平面ABB1A1，∴AD⊥CE，又AD⊥A1C所以AD⊥平面A1CE，所以AD⊥A1E．易知此时D为BB1的中点，故BD=1．（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BD=t，则A（-1，0，0），D（1，0，t），C1（032），AD=（2，0，t），1AC=（13，2），设平面ADC1的法向量n=（x，y，z），则1·20·320n AD x tzn AC x z⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，取x=1，得21,33ntt⎛⎫=-⎪⎝⎭，平面ABC的法向量m=（0，0，1），设平面ADC1与平面ABC的夹角为θ，∴cosθ=··m nm n=222414133ttt⎛⎫+-+⎪⎝⎭2327t t-+()2316t-+由于t∈（0,2）,故cosθ∈（217，22]．即平面ADC1与平面ABC212]．19.某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（1）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）答案：（1）0.0035a =，平均数：670元；（2）分布列见解析，9()10E X =；（3）列联表见解析，有． 【分析】（1）根据频率和为1，列方程解出a 的值，再由频率分布直方图求样本平均数，即可得解；（2）由题意可知随机变量X 服从超几何分布，确定X 的取值，求出对应概率，可得X 的分布列，再计算数学期望即可；（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，由此完成列联表，并由公式计算2K ，查表判断即可.解：（1）由题意知，100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=， 解得0.0035a =， 样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．（2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人． 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，()337310k kC C P X k C -==（0,1,2,3k =）， 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．点评：本题考查了频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、列联表以及独立检验的应用，考查了计算能力与数据分析能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为23（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，且满足2OM ON ⋅=（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．答案：(1)22143x y +=；(2)答案见解析.试题分析：（1）根据椭圆的几何意义，22222b a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆，得到二次方程，向量坐标化得到221612234k k-=+，进而求得参数值． 解析：（1）由题意得：22222b a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程是22143x y +=（2）当直线l的斜率不存在时，(M，(0,N3OM ON ⋅=-，不符合题意当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y由221432x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 整理得：()22341640k x kx +++= ()()221616340k k ∆=-+>，解得12k <-或12k >1221634k x x k +=-+，122434x x k =+ ∴1212OM ON x x y y ⋅=+= ()()21212124kx xk x x ++++()222222413216124343434k k k k k k +-=-+=+++∵2OM ON ⋅= ∴221612234k k -=+解得2k =±，满足0∆>所以存在符合题意的直线，其方程为22k x =±+ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.已知函数()()21ln f x a x x =-+，a R ∈.（1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.答案：（1）切线方程为1y x =-；（2）实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.【试题分析】（1）当2a =时，求出切点和斜率，利用直线方程点斜式可求得切线方程.（2）先化简得到()22ln g x x x m =-+.利用导数求得其最小值为()g e ，由此得到()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的条件是()21101120g m g m e e ⎧=->⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解这个不等式求得m 的范围. 【试题解析】（1）当2a =时，()()221ln f x x x =-+ 224ln 2x x x =-++. 当1x =时，()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ， 又()1'44f x x x=-+，因此()'11k f ==. 因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-. （2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+，则()()()2112'2x x g x x x x -+-=-=. 因为1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当()'0g x =时，1x =，且当11x e<<时，()'0g x >；当1x e <<时，()'0g x <；故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-.又2112g m e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()22g e m e =+-， ()221122g e g m e m e e ⎛⎫-=+--++ ⎪⎝⎭24e =-+ 210e <，则()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()g e ，故()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的条件是 ()21101120g m g m e e ⎧=->⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 2112m e ⇒<≤+， 所以实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+⎥⎝⎦. 点评：本题主要考查函数导数与切线，考查函数导数与零点问题，考查化归与转化的数学思想方法.第一问要求函数在某一点的切线方程，只需求出切点和斜率，利用点斜式即可求得对应的切线方程.第二问利用导数研究()g x 图像得到其最小值后列不等式组来求m 的取值范围.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为A （异于极点），l 与曲线M 的交点为B ，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. 答案：(1) 4sin ρθ= ；(2) 2y x = 【分析】(1)先消去参数α，得到曲线C 的普通方程，再化成极坐标方程；(2)由题意知，直线l 是过原点的，所以求出l 的斜率k 或tan β的值即可写出l 的方程.解：解：（1）由题意知曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=， 即224x y y +=， 所以24sin ρρθ=，即4sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （2）因为曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，所以ρ=将θβ=代入，得OB =因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=所以OA OB ⋅===则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x =点评：设P 为平面上一点，其直角坐标为(),x y ，极坐标为(),ρθ，则cos x ρθ=，sin y ρθ=，()222+x y OP ρρ==，()tan 0yx x θ=≠． 23.已知函数()()120f x x a x a a=+-->. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≤-；（2）若不等式()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：（1）(,1]-∞-.（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）()()120f x x a x a a=+-->，当1a =，()1f x ≤-，可得|2||1|1x x +--≤-，即可求得答案； （2）由()3f x ≤，可得111||2||||22x a x x a x a a a a+--≤+-+=+，结合已知，即可求得答案.解：（1）()()120f x x a x a a=+--> 当1a =，()1f x ≤- 可得|2||1|1x x +--≤-若2x -≤则2(1)1x x ----≤-， 即31-≤-，显然成立若21x -<<，2(1)1,x x +--≤- 可得22x ≤-，故1x ≤- 若1x ≥，2(1)1,x x +--≤- 可得31≤-，显然不成立. 综上所述，(,1]x ∈-∞- （2）()3f x ≤∴111||2||||22x a x x a x a a a a+--≤+-+=+ 1112|2|2a x a x a a a a∴--≤+--≤+ 要保证不等式()3f x ≤恒成立，只需保证123a a+≤， 解得112a ≤≤ 综上所述，1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦点评：本题主要考查了求解带绝对值不等和根据不等式恒成立求参数，解题关键是掌握带绝对值不等式和不等式恒成立求参数范围的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.。

甘肃省武威六中高三数学理科第六次诊断性考试卷 人教版

甘肃省武威六中高三数学理科第六次诊断性考试卷 人教版

甘肃省武威六中高三数学理科第六次诊断性考试卷 人教版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四处备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数ii z -+=1)1(2等于A ．－1－iB ．－1+ iC ．1－iD ．1+ i2．曲线233x x y -=有一条切线与直线03=+y x 平行，则此切线方程为A ．013=+-y xB ．053=++y xC ．013=--y xD ．013=-+y x3．已知集合A x x x =-=-{|()}332，B x x x =-=-{|}33，p x A ：∈，q x B ：∈，则p 是q 的A. 充分条件，但不是必要条件B. 必要条件，但不是充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件，也不是必要条件4．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据。

结果用右侧的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 A.0.6h B.0.9h C.1.0hD.1.5h5．已知函数)(1x fy -=的图象过点（1，0），则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点A 、（0，2）B 、（2，0）C 、（2，1）D 、（1，2）. 6．方程x ＝sinx 在x ∈-[]ππ，上实根的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 47．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 3+a 7+a 11为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 A ．S 7B ．S 11C ．S 12D ．S 138．设θ是三角形的一个内角，且θθcos sin +=15，则方程1cos sin 22=-θθy x 表示的曲线是A 、焦点在x 轴上的双曲线B 、焦点在x 轴上的椭圆C 、焦点在y 轴上的双曲线D 、焦点在y 轴上的椭圆9．已知三条直线l n m ,,，三个平面γβα,,，以下四个命题中正确的是A βαγβγα||,⇒⊥⊥B ββ⊥⇒⊥l m m l ||,C n m n m ||||,||⇒γγD n m n m ||,⇒⊥⊥γγ10．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，若021=⋅PF PF ，则△F 1PF 2的面积是A 、1B 、25 C 、2D 、511．某省举行的一次民歌大奖赛中，全省六个地区各送了一对歌手参赛，现从这12名选手中选出4名优胜者，则选出的4名优胜者中，恰有两人是同一地区来的歌手的概率是A 、338 B 、16564 C 、3316 D 、116 12．如右图，正方形ABCD 的顶点A （0，22），B （22，0），顶点C 、D 位于第一象限，直线)20(≤≤=t t x l ：将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数)(t f S =的图象大致是二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中相应的横线上．13．在2524(4)x x+-的展开式中含4x 项的系数是___________（用数字作答）。

【物理】甘肃省武威第六中学2020届高三上学期第六次诊断考试试题(解析版)

【物理】甘肃省武威第六中学2020届高三上学期第六次诊断考试试题(解析版)

甘肃省武威第六中学2020届高三上学期第六次诊断考试一、选择题(共14题，每题4分，共56分。

第1—10小题只有一项正确选项；第11—14小题有多个正确选项，错选得0分，漏选得2分。

)1.2018年10月15日，我国以“一箭双星”方式成功发射第39、40颗北斗导航卫星，并到达预定轨道，这两颗卫星属于中国地球轨道卫星，离地高度小于地球同步卫星的高度。

则第39、40颗北斗导航卫星的（ ）A. 线速度小于同步卫星的线速度B. 角速度小于同步卫星的角速度C. 周期小于同步卫星的周期D. 向心加速度小于同步卫星的向心加速度【答案】C【解析】【分析】考查万有引力与航天。

【详解】A ．由万有引力提供向心力的线速度公式： 22GMm mv r r=解得v = 轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，所以线速度大于同步卫星的线速度，A 错误； B ．由万有引力提供向心力的角速度公式：22GMm m r rω=解得ω=轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，所以角速度大于同步卫星的角速度，B 错误； C ．由万有引力提供向心力的周期公式：2224GMm m r r Tπ=解得2T =轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，所以周期小于同步卫星的周期，C 正确；D ．由万有引力提供向心力的向心加速度公式：n 2m rGM ma = 解得n 2GM a r= 轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，所以向心加速度大于同步卫星的向心加速度，D 错误。

故选C 。

2.有一个质量为1kg 的小球，在4个不同方向的共点力的作用下做匀速直线运动，现同时撤去大小分别为2N 和3N 的两个力，其余的力保持不变，关于此后该小球的运动情况，下列说法正确的（ ）A. 可能做加速度大小为10m/s 2的匀减速直线运动B. 可能做加速度大小为10m/s 2的匀加速直线运动C. 可能做加速度大小为3m/s 2的匀变速曲线运动D. 可能做向心加速度大小为2m/s 2的匀速圆周运动【答案】C【解析】【分析】考查共点力平衡的特点，力的合成与分解。

甘肃省武威第六中学2020届高三上学期第六次诊断考试数学(文)试题

甘肃省武威第六中学2020届高三上学期第六次诊断考试数学(文)试题

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2020届甘肃省武威第六中学高三上学期第六次诊断考试数学（理）试题一、单选题 1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，集合表示函数的定义域，由，即，，解得，所以.由，得，所以，所以，故选C.2．若复数12az i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．53-B ．13- C ．1- D ．5-【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算化简2155a a z i ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，实部与虚部何为0即可得解.详解：复数()()()122112121255a i a a a z i i i i i i +⎛⎫=+=+=++ ⎪--+⎝⎭. 由题意可知：21055a a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：53a =-. 故选A.点睛：复数除法运算的原理为：分母实数化，从而得到实部和虚部. 3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin 2θ的值为 A ．35B ．45 C ．15D ．15-【答案】B【解析】由题意得1tan ()1tan 2,2θθ⋅-=-∴= 所以22222sin cos 2tan 224sin 2.sin cos tan 1215θθθθθθθ⨯====+++ 选B.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.4．已知不重合的两条直线m ，l ，平面α，β，且m α⊥，l β⊂，给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥；②若αβ⊥，则//m l ；③若m l ⊥，则αβ⊥；④若//m l ，则αβ⊥.其中正确的命题是（ ）. A ．①④ B ．③④C ．①②D ．①③【答案】A【解析】结合图像，逐一判断四个命题的正确性. 【详解】对于①，画出图像如下图所示，由图可知①正确. 证明如下：由于,//m βαα⊥，所以m β⊥，由于l β⊂，所以m l ⊥.对于②，画出图像如下图所示，由图可知②错误.对于③，画出图像如下图所示，由图可知③错误.（和①图像相同）对于④，画出图像如下图所示，由图可知④正确.证明如下：由于,//m m l α⊥，所以l α⊥，由于l β⊂，所以αβ⊥.故选：A 【点睛】本小题主要考查空间点线面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题. 5．已知()f x 满足x R ∀∈，()()0f x f x ，且当0x ≤时，1()=+xf x k e （k 为常数），则(ln5)f 的值为（ ）. A ．4 B ．-4C ．6D ．-6【答案】B【解析】首先判断函数()f x 的奇偶性，结合()00f =求得k ，由此求得()ln5f 的值. 【详解】由于()f x 满足x R ∀∈，()()0f x f x ，所以()f x 为奇函数，由()010f k =+=，解得1k =-，所以0x ≤时，()11xf x e =-.所以 ()()()1ln 511ln 5ln 5ln 15145f f f e ⎛⎫⎛⎫⎪=--=-=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查对数运算，属于基础题.6．直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=，则“1m =-或7m =-”是“12l l //”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：由两条直线平行，求解7m =-，在根据充要条件的判定方法，即可得到结论.详解：由题意，当直线12l l //时，满足3453258m mm +-=≠+，解得7m =-， 所以“1m =-或7m =-”是“12l l //”的必要不充分条件，故选B.点睛：本题主要考查了两直线的位置的判定及应用，以及必要不充分条件的判定，其中正确求解两条直线平行式，实数m 的值是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题属于基础题.7．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若b,且1sin cos sin cos 2a B C c B A +=则a = A ．1B ．1C ．1或2D【答案】C【解析】由1sin cos sin cos 2a B C c B A +=，1sin (cos cos )sin 2B aC c A b B +==，又b=1,所以1sin 2B =，又c>b,所以B 角一定是锐角，所以6B π=．再由13sin6C C ππ===或23C π=，当3C π=，2A π=，2a =，当23C π=，为等腰三角形，所以1a =，选C.【点睛】解三角形常利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．8．已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =，1233OC OA OB =+，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（ ）. A ．3 B ．23C ．2D ．3【答案】D【解析】判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB 为基底表示出OM ，由此求得OC OM ⋅的值.【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB =+.所以OC OM ⋅12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+21422cos603323=+⨯⨯⨯+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以2221=4,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．正项等比数列{}n a 中，2018201720162a a a =+，若2116m n a a a =，则41m n+的最小值等于( ) A ．32B ．1C ．53D ．136【答案】A【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由2018201720162a a a =+，解得q ；由2116m n a a a =，利用等比数列的通项公式可得 6.m n +=再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得结果． 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，2018201720162a a a =+，22q q ∴=+，解得2q =．2116m n a a a =，2221116m n a q a +-∴=，24m n ∴+-=，即6m n +=．则()411411413556662n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当2m n =时，等号成立， 所以41m n +的最小值等于32，故选A ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”与基本不等式的求最值，属于综合题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．已知函数12cos cos ()(3)x x f x ϕ+=+是偶函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()g x =cos(2)-x ϕ的正确描述是（ ）. A ．()g x 在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为－1B ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象向上平移2个单位长度，向右平移3π个单位长度得到C ．()g x 的图象的一个对称中心是,012π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()g x 的一个单调递减区间是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】根据()f x 为偶函数，求得ϕ的值，由此求得()g x 的解析式，根据三角函数最值、图像变换、对称中心、单调区间的知识，判断四个选项的正确性. 【详解】由于()f x 为偶函数，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,3πϕπϕ==.所以()cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 对于A 选项，,2123233x x πππππ-≤≤-≤-≤，所以()[]0,1g x ∈，最小值为0，故A 选项错误.对于B 选项，()()()212cos cos 12cos cos2cos 2f x x x x x x ππ=++=-=-=+，而()cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()f x 项右移23π得()2cos 2cos 233x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 选项错误. 对于C 选项，由于cos cos 012632g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项正确. 对于D 选项，()110cos ,cos 32332g g πππ⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是()g x 的减区间，所以D 选项错误. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最值、图像变换、对称中心、单调区间等知识，属于中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是（ ） A ．12[0,]5B ．[0,1]C ．12[1,]5 D ．12(0,)5【答案】A【解析】设(,)C a b ，圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1，设点M (x ，y )，根据MA ＝2MO ，可得点M 的轨迹是圆D ：x 2＋(y ＋1)2＝4，根据两圆有公共点列式可解得结果. 【详解】设(,)C a b ，因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1，设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO = 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上， 由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即13≤≤，由22(23)1a a +-≥得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由22(23)a a +-≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125， 所以点C 的横坐标a 的取值范围为12[0,]5. 故选：A. 【点睛】本题考查了求满足条件的动点的轨迹方程，考查了圆与圆的位置关系，考查了解一元二次不等式，属于中档题.二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件22010x y x y y m ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，且x y -的最大值为5，则实数m 的值为________. 【答案】-2【解析】画出可行域，根据x y -的最大值为5求得m 的值. 【详解】由10x y y m +-=⎧⎨=⎩，解得()1,C m m -.画出可行域如下图所示，平移基准直线0x y -=到点()1,C m m -时，目标函数x y -取得最大值为5，即1125,2m m m m --=-==-. 故答案为：2-【点睛】本小题主要考查线性目标函数的最优解求参数值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S n n =--，则数列2(1)⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n n a 的前40项的和为________. 【答案】4041-【解析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩取得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求得数列2(1)⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n n a 的前40项的和.【详解】由于2n S n n =--，当1n =时，112a S ==-，当2n ≥时，()()22111n S n n n n -=----=-+，所以12n n n a S S n -=-=-.当1n =时上式也符合，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =-.()2211(1)(1)21n n a n n n n ⎛⎫==-- ⎪++⋅-+⎝⎭.所以40111111401122340414141S ⎛⎫⎛⎫=--+-++-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：4041- 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，属于基础题.15．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 ． 【答案】43-或34- 【解析】试题分析：根据反射定律，反射光线就是过点(2,3)-所作圆的切线，设其斜率为k ，反射光线所在直线方程为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，所以2322311k k k ----=+，解得3443k =--或．【考点】直线与圆的位置关系．16．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图为一个“堑堵”，即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为___________.6817π【解析】设AC x =，BC y =，又AC CB ⊥，且该“堑堵”的高6h =，所以“堑堵”的体积1163482ABC V Sh xy xy =⨯=⨯==，解得16xy =，“堑堵”外接球的直径222222221636d AC BC CC x y x y =++=++=++2211113623668172222R d x y xy ==++≥+==4x y ==时，等号成立，所以该“堑堵”的外接球体积的最小值为33446817πππ(17)33V R =≥=6817π三、解答题 17．已知函数231()2cos 2f x x x =--． （1）求()f x 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合． （2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．【答案】（1）最小值为2-；{|6x x k ππ=-，}k Z ∈；（2）1a =，2b =【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()sin(2)16f x x π=--，利用正弦函数的图象和性质即可求解． （2）由已知可求sin(2)106C π--=，结合范围0C π<<，可求3C π=，由已知及正弦定理可得2b a =，进而由余弦定理可得223a b ab +-=，联立即可解得a ，b 的值． 【详解】解：（1）211cos21()2cos 2sin(2)12226x f x x x x x π+=----=--， ∴当2262x k ππ-=π-，即()6x k k Z ππ=-∈时，()f x 的最小值为2-，此时自变量x 的集合为：{|6x x k ππ=-，}k Z ∈（2）f （C ）0=，sin(2)106C π∴--=，又0C π<<，112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，可得：3C π=，sin 2sin B A =，由正弦定理可得：2b a =①，又c =∴由余弦定理可得：2222cos3a b ab π=+-，可得：223a b ab +-=②，∴联立①②解得：1a =，2b =.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想及转化思想的应用，属于中等题．18．在单调递增的等差数列{}n b 中，前n 项和为n S ，已知26b =，且2b 4b 成等比数列.（1）求{}n b 的通项公式；（2）设2=n b nn b a ，求数列{}n a 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n b n =（2）212(1)(1)++-++=-n n n ne n e eT e 【解析】（1）根据等比中项的性质以及等差数列的基本量计算，求得1,b d ，由此求得{}n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n a 的前n 项和n T . 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为36b =，且2b ，52+S，4b 成等比数列，所以()()1211126543(52)2b d b d b d b d +=⎧⎪⎨⨯++=++⎪⎩， 解得，12b =，2d =或110b =，2d =-. 因为{}n b 单调递增，所以0d >， 所以12b =，2d =，所以{}n b 的通项公式为2n b n =. （2）因为()2=b nn b a e n ，所以=n n a ne . 所以123123=⋅++++…nn T e e e ne ，① 所以2341123+=⋅++++…n n eT e e e ne .②以上两个式子相减得，231(1)+-=++++-…n n n e T e e e e ne ，所以11(1)12++--=--n n n e e e T ne ，所以212(1)(1)++-++=-n n n ne n e eT e . 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列的基本量计算，考查错位相减求和法，属于中档题.19．在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的正三角形，11A A A C =，11⊥A A AC .（1）求证：111AC B C ⊥；（2）求二面角111B AC C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）42【解析】（1）取11A C 的中点D ，连接1B D ，CD ，通过证明11⊥CD A C ，111B D A C ，证得11A C ⊥平面1B CD ，由此证得111AC B C ⊥.（2）解法一：利用几何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的正切值，再求得其正弦值.解法二：建立空间直角坐标系，利用平面11A B C 和平面11AC C 的法向量，计算出二面角的余弦值，再求得其正弦值. 【详解】（1）证明：如图，取11A C 的中点D ，连接1B D ，CD ， ∵111==C C A A A C ， ∴11⊥CD A C ，∵底面ABC 是边长为2的正三角形， ∴2AB BC ==，11112A B B C ==， ∴111B DA C ，又1⋂=B D CD D ，∴11A C ⊥平面1B CD ，且1B C 平面1B CD ， ∴111AC B C ⊥.（2）解法一：如上图，过点D 作1DE A C ⊥于点E ，连接1B E . ∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ， ∴侧面11AA C C ⊥平面111A B C ，又111B DA C ，侧面11AAC C 平面11111ABC A C =，∴1B D ⊥侧面11AAC C ，又1A C 平面11AAC C ，∴11B D AC ⊥，又1DE A C ⊥且1⋂=B D DE D ， ∴1A C ⊥平面1B DE ，∴11⊥B E AC ， ∴1∠B ED 为所求二面角的平面角， ∵1111112A B B C AC ===，∴13B D =， 又11222==ED CC ，∴113tan 62∠===B DB ED ED， ∴二面角111B AC C --的正弦值为427. 法二：如图，取AC 的中点O ，以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，1OA 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(3,0,0)B ，1(0,0,1)A ，1(3,1,1)-B ，1(0,2,1)-C ，(0,-1,0)C∴11(3,1,0)A B =-，1(0,1,1)AC =--， 设(,,)m x y z =为平面11A B C 的法向量，∴111300m A B x y m A C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令3y =，得(1,3,3)=-m ，又(3,0,0)n =为平面11AC C 的一个法向量，设二面角111B AC C --的大小为θ，显然θ为锐角， 37|cos ,|73m n cos m n m nθ⋅=〈〉===⨯⋅， 则242sin 1cos 7θθ=-=，∴二面角111B AC C --的正弦值为427.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知椭圆()2222:1>>0x y C a b a b +=的离心率e =10x +-=被以椭圆C （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点() 4,0M 的直线交椭圆于 ,A B 两点，且=?MA MB λ⋅，求λ的取值范围．【答案】(1)2214x y +=；(2)39(12]4，. 【解析】试题分析：（1）由直线与圆的位置关系可得1b =.由椭圆的离心率可得2a =，则椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB λ=⋅=，当直线l 的斜率不为0时，设直线l在y 轴上的截距式方程为4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程可得()2248120my my +++=，满足题意时212m >，结合韦达定理可知231214MA MB m λ⎛⎫=⋅=-⎪+⎝⎭，据此可知39124λ<<.综上可得39124λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，. 试题解析：（1）因为原点到直线10x +-=的距离为12，所以222122b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =. 又22222314c b e a a ==-=，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB λ=⋅=，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+，()21222121312144m MA MB m m λ+⎛⎫=⋅===-⎪++⎝⎭，由212m >，得2330416m <<+，所以39124λ<<. 综上可得：39124λ<≤，即39124λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，. 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R . （1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞【解析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；（2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞ 【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数），M 为曲线1C 上的动点，动点P 满足OP aOM =（0a >且1a ≠），P 点的轨迹为曲线2C . （1）求曲线2C 的方程，并说明2C 是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为(2,)3π，射线θα=与2C 的异于极点的交点为B ，已知AOB ∆面积的最大值为4+，求a 的值.【答案】（1）见解析；（2）2【解析】分析：（1）设(),P x y ，()00,M x y ，根据OP aOM =，推出00x x ay y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入到1C ，消去参数即可求得曲线2C 的方程及其表示的轨迹；（2）法1：先求出A 点的直角坐标，再求出直线OA 的普通方程，再根据题设条件设B 点坐标为()22cos ,2sin a a a αα+，然后根据两点之间距离公式及三角函数的图象与性质，结合AOB ∆面积的最大值为4+，即可求得a 的值；法2：将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()22224x a y a -+=，即可求得()4cos ,B a αα，再根据三角形面积公式及三角函数的图象与性质，结合AOB ∆面积的最大值为4+，即可求得a 的值. 详解：（1）设(),P x y ，()00,M x y ，由OP aOM =得0x ax y ay =⎧⎨=⎩.∴00x x a y y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵M 在1C 上∴222xcos a y sin aθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即222x a acos y asin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数θ得()()222241x a y a a -+=≠.∴曲线2C 是以()2,0a 为圆心，以2a 为半径的圆. （2）法1：A点的直角坐标为(.∴直线OA的普通方程为y =0y -=.设B 点坐标为()22cos ,2sin a a a αα+，则B0y -=的距离2cos 6d a πα⎛⎫==++ ⎪⎝⎭.∴当6πα=-时，)max 2d a =∴AOB S ∆的最大值为)12242a ⨯⨯=+∴2a =.法2：将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()22224x a y a -+=并整理得：4cos a ρθ=，令θα=得4cos a ρα=. ∴()4cos ,B a αα∴2 14sin2sin cos23sin22sin23AOBS OA OB sin AOB acos aa aπαααααπααα∆⎛⎫=⋅⋅⋅∠=-=-⎪⎝⎭⎛⎫=-=--⎪⎝⎭∴当12πα=-时，AOBS∆取得最大值(2a+，依题意(24a=+∴2a=.点睛：本题主要考查把参数方程转化为普通方程，在引进参数和消去参数的过程中，要注意保持范围的一致性；在参数方求最值问题中，将动点的参数坐标，根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.。

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