1.4.3正切函数的性质与图像

y
T2
O
O T1
x A(1,0)
1.当角 在(-π/2,0)内增加时 当角x在 内增加时,tanx=AT1由-∞到0增大 增大; 当角 内增加时 增大 2.当角 在[0,π/2 )内增加时 当角x在 内增加时,tanx=AT2由0到+∞增大 增大. 当角 内增加时 到+∞增大 由此反映出正切函数y=tanx在(-π/2,π/2)内是增函数. 在 内是增函数. 由此反映出正切函数 内是增函数 同时也反映出正切函数 正切函数y=tanx在 (-π/2,π/2)内的值域 同时也反映出 正切函数 在 内的值域 是(-∞,+∞).
一,问题提出
1.正,余弦函数的图象是通过什么方法作出的? 余弦函数的图象是通过什么方法作出的?
描点法(不精确)→几何作图法(精确,繁杂)→五点法(粗略,简单实用) 描点法(不精确)→几何作图法(精确,繁杂)→五点法(粗略,简单实用) )→几何作图法 )→五点法
2.正,余弦函数的基本性质包括哪些内容? 余弦函数的基本性质包括哪些内容?
π ω
π ω
1 π π 7π 5 π ∵ f ( ) = tan( + ) = tan = tan < 0; 2 4 3 12 12 3 3 π π 17 π 7π f ( ) = tan( + ) = tan = tan < 0; 4 8 3 24 24 π π π π 5 f (1 = tan( + ) = tan ) = tan < 0. 2 3 6 6 π 7π 5π π < < < , 又 0< ∵ 6 24 12 2 y ( 且 = tan x在 0, ∴0 < tan
所以:tan1670<tan1730 所以
y 0 π/2
π 3π/2
x
-3π/2
-π -π/2
例2.若直线 若直线mx+y+2=0与线段 有交点,其中 - 与线段AB有交点 其中A( 若直线 与线段 有交点 其中 5,3),B(4,2),求实数 及倾斜角α的取值范围 求实数m及倾斜角 求实数 及倾斜角α的取值范围.
2,tan(-11/4π)与tan(-13/5π) , π与 π 解:因为 tan(-11/4π)=tan(- 3/4π) π π tan(-13/5π)=tan(-3/5π) 又有: π 又有:-3π/2< - 3/4π< -3/5π< -π/2 π π π tan(- 3/4π)< tan(-3/5π) π π 即 tan(-11/4π) <tan(-13/5π) π π
练习 求函数 y=tan(x+ π/4)的定义域 练习3:求函数 的定义域. 的定义域
解(换元法 :令z=x+ π/4, 换元法): = 换元法 , 则函数y= 则函数y=tanz的定义域是 {z|z≠ k π+ π/2, k ∈z} y= 的定义域是 ≠ 还原 x+ π/4 =z≠k π+ π/2 整理得 x ≠ k π+ π/2 –π/4 = k π+ π/4 π 所以 ,y=tan(x+ π/4)的定义域是 的定义域是 {x|x≠ k π+ π/4, k ∈z} ≠
结合正切函数的周期性! 结合正切函数的周期性!
下面利用正切线画出正切函数 y=tanx , x∈(-π/2,π/2) 的图像 的图像. ∈ 再利用其周期性画出整个定义 域内的图像,并验证上述性质. 域内的图像,并验证上述性质
三,正切函数的图像
y
1 o1
-π/2 -π/4
o -1
π/4
π/2
x
y=tanx, x ∈(-π/2, π/2) π
解法 :取k=1时,此 解法1: 时 函数的一个单调递增 区间为(1/3,7/3), 区间为 又1/3<1/2<3/4<1<7/3, 故f(1/2)<f(3/4)<f(1). 解法 : 解法2:
练习1.直线 为常数) 练习 直线y=a(a为常数)与正切曲线 直线 ( 为常数 与正切曲线y=tanx 相交的相邻两点间的距离是 A A,π , B,π/2 , C,2π , π
和 π 的大小. 练习4:试比较 练习 试比较tan7和tan(-28π/3)的大小 试比较 的大小
解:∵tan7=tan(-2π+7) ≈tan0.72≈tan40.3°>0 ∵ ° 又∵tan(-28π/3)=tan (-10π+2π/3)=tan 2π/3<0 π
∴tan7>tan(-28π/3).
π
π
6 1 3 ) ∴ f ( ) < f ( ) < f (1 < 0. 2 4
< tan
)上 增 数 是 函 . 2 7π 5 π < tan , 24 12
二,正切函数的性质
有了前面的知识准备, 我们可以从一个新的角度 来 有了前面的知识准备 , 我们可以从一个 新的角度来 新的角度 研究正切函数的性质!研究特点是:先性质后图像. 研究正切函数的性质!研究特点是:先性质后图像. 思考1 正切函数的定义域是什么? 思考1:正切函数的定义域是什么?
思考2 你能判断正切函数是周期函数吗? 思考2:你能判断正切函数是周期函数吗?
2.根据诱导公式 根据诱导公式:tan(x+π)=tanx (x∈R,x≠kπ+π/2,k∈Z) 根据诱导公式 ∈ ∈ 则正切函数y=tanx是周期函数,且可知最小正周期是π. 则正切函数 是周期函数,且可知最小正周期是 是周期函数
周期性,定义域,值域(最值) 奇偶性(对称性) 单调性,特殊点. 周期性,定义域,值域(最值),奇偶性(对称性),单调性,特殊点.
3.在前面我们是用怎样的方法来研究正,余弦函数 3.在前面我们是用怎样的方法来研究正, 在前面我们是用怎样的方法来研究正 的性质? 通过图像来研究函数的性质(看图说话). 的性质? 通过图像来研究函数的性质(看图说话). 4.三角函数包括正,余弦函数和正切函数.我们已经 三角函数包括正,余弦函数和正切函数 我们已经 三角函数包括正 研究了正,余弦函数的图象和性质,因此, 研究了正,余弦函数的图象和性质,因此,进一步 研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然. 研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然
思考3:正切函数y=tanx具有怎样的奇偶性? 具有怎样的奇偶性? 思考3 正切函数 具有怎样的奇偶性
3.根据诱导公式:tan(-x)= -tanx (x∈R,x≠kπ+π/2,k∈Z) 根据诱导公式: 根据诱导公式 ∈ ∈ 则正切函数y=tanx是奇函数,其图像关于原点(0,0)对称 是奇函数,其图像关于原点 对称. 则正切函数 是奇函数 对称
不是.例如:虽然0<π 但是tan0=tanπ 不是.例如:虽然0<π,但是tan0=tanπ=0. 0< tan0=tan 不会.(1)在每一个单调区间内只增不减; 不会.(1)在每一个单调区间内只增不减; .(1)在每一个单调区间内只增不减 (2)若至少包含一个k (2)若至少包含一个kπ+π/2这样的数,其函数值不存在. 若至少包含一个 /2这样的数,其函数值不存在. 这样的数
1.根据三角函数的定义 根据三角函数的定义:tanα=y/x可知 α≠ kπ+π/2,k∈Z. 可知,α 根据三角函数的定义 可知 ∈ 故正切函数y=tanx的定义域为 ∈R | x≠kπ+π/2,k∈Z} 的定义域为{x 故正切函数 的定义域为
用区间表示为: (
π
2
+ kπ ,
π
2
+ kπ ) (k ∈Z)
y x –π/2 0 π/2 –π/2
(2)tanx <1 )
y 1 0 π/2 π/4 x
(kπ,kπ+π/2) k∈z π π π/2) ∈
1. tanx=0 2. 1+tanx >0 3. tan(x+π/4)≥1 π ≥ 4. 5. tan(3x–π/3)<–1 π tan(–2x+π/6)>1 π
五,小结与作业
互相平行的直线x=kπ+π/2所隔开的无 1.正切函数的图象是被互相平行的直线 正切函数的图象是被互相平行的直线 所隔开的无 数支相同形状的曲线组成, 关于点( 数支相同形状的曲线组成 , 且 关于点 (kπ/2,0) 对称 , 正切函 ) 对称, 数的性质应结合图象去理解和记忆. 数的性质应结合图象去理解和记忆. 轴的交点及渐近线, 是确定图象形状, 2. 正切曲线与 x 轴的交点及渐近线 , 是确定图象形状 , 位置的 关键要素,作图时一般先找出这些点和线,再画正切曲线. 关键要素,作图时一般先找出这些点和线,再画正切曲线.
4.正切函数在每一个单调区间内只增不减! 4.正切函数在每一个单调区间内只增不减! 正切函数在每一个单调区间内只增不减
作业: 46, 作业:P46,A 6,7,8,9.
思考1:观察正切曲线 写出满足下列条件的 的值的范围. 写出满足下列条件的x的值的范围 思考 :观察正切曲线,写出满足下列条件的 的值的范围 (1) tanx >0 )
(kπ–π/2,kπ+π/4)k∈z π π/2, π π/4) ∈
思考2:求满足下列条件的 的取值范围 思考 求满足下列条件的x的取值范围 求满足下列条件的 的取值范围.
思考3 思考3:比较下列各值 1,tan1670 与 tan1730 ,
解:900〈1670〈1730〈1800 又有y=tanx, 在(900,2700)上 又有 上 是增函数
化为: 解:将直线mx+y+2=0化为: 将直线 化为 y=-mx-2(显然直线不垂直 轴). 显然直线不垂直x轴 显然直线不垂直 它表示过定点M(0,-2),且 它表示过定点 - 且 斜率为k=- 的一条直线 的一条直线. 斜率为 -m的一条直线