03动量与角动量习题解答

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第3章动量守恒和角动量守恒

第3章动量守恒角动量守恒

上一章我们研究了牛顿定律，特别是牛顿第二定律给出了力的瞬时作用规律。实际上，力对物体的作用总是要延续一段时间。在这段时间内，力的作用将积累起来产生一个总效果。力的时间积累效应的规律，就是动量定理。把动量定理应用于质点系，导出一个重要的守恒定律——动量守恒定律。对用于质点系，引入质心的概念，并说明了外力和质心运动的关系。然后，研究和动量概念相关的、描述物体转动特征的重要的物理量——角动量。在牛顿第二定律的基础上，导出角动量变化率和外力矩的关系——角动量定理，并进一步导出了另一条重要的守恒定律——角动量守恒定律。动量守恒定律、角动量守恒定律以及与之相关的动量定理、角动量定理和能量定理深刻反映了机械运动与其他运动形式相互转化之间的关系，具有普遍的意义，它们是自然界最基本、最普遍的规律。这一章我们着重研究动量守恒定律、角动量守恒定律以及与之相关的动量定理、角动量定理。

3.1 冲量与动量定理

3.1.1 冲量

物体运动状态的变化必须在物体运动的过程中受到力的作用，力作用到质点上，可以使质点的动量或速度发生变化。在许多实际情况下，我们要考虑力按时间积累的效果。这一效果可以直接从牛顿第二定律得出：

1、牛顿第二定律的微分形式

P d dt F = （3.1-1）

式中乘积dt F 就表示力在时间dt 内的积累量，叫做在时间dt 内质点所受合外力的冲量。此式表明：在时间dt 内质点所受合外力的冲量等于在同一时间内质点动量的增量。这一关系叫做动量定理的微分形式，实际上是牛顿第二定律公式数学形式的变化。

第一册第三章动量与角动量

★ 力矩的时间累积作用规律
冲量矩、质点的动量矩（角动量）、质点的冲量矩、质点的动量矩（角动量）、质点的）、动量矩定理、动量矩定理、质点的动量矩守恒定律
6
一、力的时间累积作用规律
1．冲量(Impulse)
I x = ∫ Fx dt
t1 t2
v t2 v I t1 ~ t2 = ∫ Fdt
t1
v 解： F合外 = 0 （A+B）粒子动量守恒） v v v v m Av AD + m B v BD = m Av A + m B v B
粒子B的速度 ★ 粒子的速度
v v v vB = i − 5 j
α 见书P ～冲击摆、见书 139～141：冲击摆、粒子散射
21
6．火箭飞行原理
系统动量守恒
一段时间内，质点所受的合外力的冲量冲量等在t1到t2一段时间内，质点所受的合外力的冲量等动量的增量。于在这段时间内质点动量的增量于在这段时间内质点动量的增量。几点说明：几点说明： (1)冲量的方向： (1)冲量的方向：冲量的方向 v v 的方向，冲量 I 的方向一般不是某一瞬时力 Fi 的方向，而是所
F合 = −cρAV 2 = ma 水中
dV − cρAV = m V dx x V m dV ∫0 dx = ∫V0 − cρA V m V0 x= ln cρA V

《大学物理AI》作业 No.03 角动量、角动量守恒(参考解答)

5.力对时间的累积效应称为（冲量），力矩对时间的累积效应称为（角冲量）；前者的效果在于改变系
统的（动量），后者的效果在于改变系统的（角动量）。
6.一质量为
m
的质点沿着一条空间曲线运动，其运动方程为
r

a
cos
ti

b
sin

tj
b、
均为常数，则此质点所受的对原点的力距
M

（0）
，此质点对原点的角动量
J
[112 m
2l
2
m
l 2
2 ]

7 12
ml2
L dx x
棒与支点
O
碰撞满足角动量守恒条件，因此
L

L，即 1 2
mv0l

7 12
ml 2
A v0 x
6v0 由此得： 7l
计算题 4 图
5
1、理解质点、质点系、定轴转动刚体的角动量的定义及其物理意义； 2、理解转动惯量、力矩的概念，会进行相关计算； 3、熟练掌握刚体定轴转动定律，会计算涉及转动的力学问题； 4、理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴转动刚体的角动量定理，熟练进行有关计算； 5、掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
1
12 rad s1
1

第03章角动量定理和刚体的转动习题解

第3章角动量定理和刚体的转动

3.1 一发动机的转轴在7s 内由200r/min 匀速增加到3000r/min. 求：（1）这段时间内的初末角速度和角加速度. （2）这段时间内转过的角度和圈数. （3）轴上有一半径为2.0=r m 的飞轮, 求它边缘上一点在7s 末的切向加速度、法向加速度和总加速度.

解：（1）这段时间初的角速度

200

2220.9/60

f rad s ωππ

==≈ 这段时间末的角速度

3000

22314/60

f rad s ωππ

==≈ 角加速度

231420.9

41.9/7

rad s t ωβ∆-=

=≈∆

（2）转过的角度为

3020.9314

7 1.17102

t rad ωω

θ-+=

⨯=⨯ 转过的角度为 ()3

1.171018622 3.14

N θπ⨯==≈⨯圈

（3）切向加速度

241.90.28.38/a r m s τβ==⨯=

法向加速度为

22423140.2 1.9710/n a r m s ω==⨯=⨯

总的加速度为

421.9710/a m s ===⨯

总的加速度与切向的夹角

01.9710arctan 89598.37

θ⨯'==

3.3一人手握哑铃站在转盘上, 两臂伸开时整个系统的转动惯量为2kgm 2

. 推动后, 系统以15r/min 的转速

转动. 当人的手臂收回时, 系统的转动惯量为0.8kgm 2

. 求此时的转速. 解：由刚体定轴转动的角动量守恒定律

12I I ωω=１２

1122.2.2I n I n ππ=

121

1537.5/min 0.8

I n n r I ==⨯= 3.5发动机带动一个转动惯量为50kgm 2

第04章__动量和角动量补充汇总

1、如图所示，一个小物体，位于光滑的水平桌面上，与一绳的

角速度在半径为R的圆周上绕O旋转，今将绳从小孔缓慢往

下拉．则物体

(A) 动能不变，动量改变．

(B) 动量不变，动能改变．

(D) 角动量改变，动量改变．

(E) 角动量不变，动能、动量都改变．［ E ］

难度：易

2、一人造地球卫星到地球中心O的最大距离和最小距离分别是R A和R B．设卫星对应的角动量分别是L A、L B，动能分别是E KA、E KB，则应有

(A) L B > L A，E KA > E KB．

(B) L B > L A，E KA = E KB．

(D) L B < L A，E KA = E KB．

(E) L B = L A，E KA < E KB．

［ E ］

难度：中

3、假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的

(A) 角动量守恒，动能也守恒．

(B) 角动量守恒，动能不守恒．

(D) 角动量不守恒，动量也不守恒．

(E) 角动量守恒，动量也守恒．

［ A ］

难度：易

4、若作用于一力学系统上外力的合力为零，则这种情况下一定守恒的物理量是：

(A) 动量．

(B) 角动量．

［ A ］

难度：易

5、在水平面内作匀速圆周运动的物体，下列各种论述中正确的是：

(A) 在圆轨道的各点上它的速度相等．

(B ) 在圆轨道的各点上它受的力相等．

w第03章动量和角动量.ppt

三、计算题一链条总长为l ，质量为m 。放在桌面上并使其一部分下垂，下垂的长度为a ，设链条与桌面的
滑动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则: (1)
到链条离开桌面时，摩擦力对链条做了多少功？(2) 链条离开桌面时的速率是多少？
解：(1) 建立坐标系如图所示
f mg(l x) / l
l-a
O
r dI
r Fdt
dpr
微分形式
t2
I合外力 t1 F合外dt p2 p1 mv2 mv1 积分形式
合力的冲量
动量的增量
t2
分 I x t1 Fxdt mv 2x mv1x
量式
t2
I y t1 Fydt mv 2y mv1y
t2
I z t1 Fzdt mv 2z mv1z
质心系是固结在质心上的平动参考系。
y
即质心在其中静止的平动参考系质心系不一定是惯性系。质点系的复杂运动通常可视为：
mi
m1 c
0 m2
x
质点系整体随质心的平动；
z
各质点相对于质心的运动 ---- 在质心系中考察质点系的运动。
对于质心参考系，
质点系的总动量
pvrvc
0
mivvvvci
0
mvvc
质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不
计，绳子不可伸长，m1与平面之间的摩擦也

《大学物理AI》作业 No.03 角动量、角动量守恒定律

mR 2 ⎛ v ⎞ ，逆时针 ⎜ ⎟ J + mR 2 ⎝ R ⎠ 解：以地为参考系，平台和人组成的系统对轴的角动量守恒（设逆地针转动为正）：
(C) ω = (D) ω =
mR 2 J + mR 2
⎛ v ⎞ ，顺时针 ⎜ ⎟ ⎝R⎠
mvR + Jω = 0 mvR mR 2 ⎛ v ⎞ ω =− =− ⎜ ⎟ ，负号表示顺时针。 J J ⎝R⎠
1 Ml 2 ，开始时杆竖直下垂，如图所示。有一质量为 m 的子弹以水平 3
O
2l 3
v 2 速度 v0 射入杆上 A 点，并嵌在杆中，OA＝ l ，则子弹射入后瞬间杆
3
的角速度 ω = 。
v v0
A
m
解：子弹射入杆中的过程系统所受合外力矩为零，对过 O 固定轴角动量守恒：
2 ⎡1 2 2l ⎛ 2l ⎞ ⎤ mv0 = ⎢ Ml + m⎜ ⎟ ⎥ω 3 ⎝3⎠ ⎦ ⎢3 ⎥ ⎣
选A
v
R
m
O
J
4．一水平圆盘可绕通过其中心的固定铅直轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处于静止状态，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，则此系统 [ ] (A) 动量守恒 (B) 机械能守恒 (C) 对转轴的角动量守恒 (D) 动量、机械能和角动量都守恒 (E) 动量、机械能和角动量都不守恒解：此系统所受的合外力矩为零，故对转轴的角动量守恒。选C 5．关于力矩有以下几种说法： (1) 对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量 (2) 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零 (3) 质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等在上述说法中， [ ] (A) 只有(2)是正确的 (B) (1)、(2)是正确的 (C) (2)、(3)是正确的 (D) (1)、(2)、(3)都是正确的解：内力成对出现，对同一轴，一对内力的力矩大小相等，方向相反，内力矩之和为零，不会改变刚体的角动量。质量相等，形状和大小不同的两个物体，转动惯量不同，在相同力矩作用下，角加速度大小不等。选B 二、填空题 1．如图所示，一轻绳绕于半径为 r 的飞轮边缘，并以质量为 m 的物体

03第三章动量与角动量作业答案

第三次作业（第三章动量与角动量）

一、选择题

［A］1.（基础训练2）一质量为m0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图3-11

(A) 保持静止．(B) 向右加速运动．

【提示】设m0相对于地面以V运动。依题意，m静止于斜面上，跟着

m0一起运动。根据水平方向动量守恒，得：

m V mV

+=所以0

V=，

斜面保持静止。

［C］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率

为v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大

小为

(A) 2m v．(B) 2

(

)

2(v

v R

mπ

Rmg

π(D) 0．

【提示】

I mgdt mg

==⨯

⎰

，而

π2

［C ］3．（自测提高1）质量为m的质点，以不变速率v沿图3-16

正三角形ABC的水平光滑轨道运动。质点越过A

点的冲量的大小为

(A) m v．(B) ．(C) ．(D) 2m v．

【提示】根据动量定理

I fdt mv mv

==-

⎰

，如图。

得：

I mv mv

∴=-=

[ B] 4.（自测提高2）质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图

3-17所示的方向射入一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度

不可伸缩。子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为

(A) 2 m/s．(B) 4 m/s．(C) 7 m/s ．(D) 8 m/s．

【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒：

sin30()

mv l M m lV

张三慧《大学物理学：力学、电磁学》(第3版)(B版)(名校考研真题动量与角动量)【圣才出品】

第3章　动量与角动量

一、选择题

若以、分别表示两刚性球作弹性对心碰撞过程中的接近速度和分离速度。则

0v ∆1v ∆与之间的关系为（）。[郑州大学2006研]

0v ∆1v ∆A ．＜

0v ∆1v ∆B ．＞ 0v ∆1v ∆C ．＝ 0v ∆1v ∆D ．无法确定【答案】C

二、填空题

1．哈雷慧星绕太阳的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆。它离太阳最近的距离是r 1＝8.75×1010m ，此时它的速率是v 1＝5.46×104m ／s 。它离太阳最远时的速率是v 2＝9.08×102m ／s ，这时它离太阳的距离是r 2＝______。[华南理工大学2011研]

【答案】122

5.2610=⨯r m

【解析】由于彗星受到的力均指向太阳，所以彗星和太阳组成的系统角动量守恒。满足，所以11

22=mv r mv r 122 5.2610=⨯r m

2．如图3-1所示，钢球A 和B 质量相等，正被绳牵着以ω0＝4rad/s 的角速度绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为r 1＝15cm 。现在把轴上环C 下移，使得两球离轴的距离缩减为r 2＝

5cm 。则钢球的角速度ω＝______。[华南理工大学2010研]

图3-1

【答案】36/rad s

【解析】将两小球和杆看做一系统，则系统角动量守恒。因此，由

可得，

220122m 2r m r ωω=。

1022

36/r rad s r ωω==3．如图3-2两块并排的木块A 和B ，质量分别为m l 和m 2，静止地放置在光滑的水平面上，一子弹水平地穿过两木块，设子弹穿过两木块所用的时间分别为△t l 和△t 2，木块对子弹的阻力为恒力F ，则子弹穿出后，木块A 的速度大小为______，木块B

第3章动量角动量

k
z ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k Fz
3 4 3 例3-5 质量为1.0kg 的质点沿着由 r 2t i (t 3t ) j m 决定的曲线运动。求此质点在 t 1.0s时所受的相对于坐标原点的力矩。 3 4 3 解 r 2t i (t 3t ) j m
3 2 4 3
t =1.0s时
M O (F ) 12k N m
二、质点的角动量(动量矩)
质点的角动量
L r p r (m )
说明：
L
p
r
(1)角动量是矢量
、p 所构成的平面，满足右手螺旋关系方向垂直于 r 大小 L rm sin :为 r 和之间的夹角
远大于系统所受外力，认为动量守恒，
三块碎片的动量之和仍为零。
由于 1 、 2 和 3 共面，且 1 和 2 相互垂直
(m33 ) 2 (m11 ) 2 (m22 ) 2
m11 m22 m33 0
考虑到 m1 m2 m 解得 3
t1 t1 t1
i 1
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的方向来确定,而不管在这一过程中动量变化的细节如何
y

清华出版社《大学物理》专项练习及解析 03动量与角动量

清华出版社专项练习

动量与角动量

一、选择题 1、（0063A15）

质量为m 的质点，以不变速率v 沿图中正三角形ABC 的水平光

滑轨道运动．质点越过A 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为

(A) m v ． (B) 2m v ． (C) 3m v ． (D) 2m v ．［］ 2、（0067B30）

两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上运动．第一次实

验，B 静止，A 以0.5 m/s 的速率向右与B 碰撞，其结果A

以 0.1 m/s 的速率弹回，B 以0.3 m/s 的速率向右运动；第二次实验，B 仍静止，A 装上1 kg 的物体后仍以0.5 m/s

的速率与B 碰撞，结果A 静止，B 以0.5 m/s 的速率向右运

动，如图．则A 和B 的质量分别为

(A) m A ＝2 kg , m B ＝1 kg (B) m A ＝1 kg , m B ＝2 kg (C) m A ＝3 kg , m B ＝4 kg (D) m A ＝4 kg, m B ＝3 kg ［］

3、（0367A10）

质量为20 g 的子弹沿X 轴正向以 500 m/s 的速率射入

一木块后，与木块一起仍沿X 轴正向以50 m/s 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为

(A) 9 N·s . (B) －9 N·s ．

动量与角动量一解答

动量与角动量（一）
第三章动量守恒定律与能量守恒
2．质量分别为mA和mB (mA>mB)、速度分别为和 (v A> vB) 的两质点A和B，受到相同的冲量作用，则
(A) A的动量增量的绝对值比B的小．
(B) A的动量增量的绝对值比B的大．
(C) A、B的动量增量相等．
(D) A、B的速度增量相等．
由动量定理，物体所受的冲量等于动量的增量
动量与角动量（一）
第三章动量守恒定律与能量守恒
解：（1）小球动量的增量的大小等于0。
（2）所受重力的冲量的大小等于：
Ig
mgt
mg 2
2m g
ห้องสมุดไป่ตู้
（3）所受绳子张力的冲量的大小等于：
IT
2mg
动量与角动量（一）
第三章动量守恒定律与能量守恒
4．有一质量为M（含炮弹）的炮车，在一倾角为的光滑
y
y0 m v 0 1 2 y0
O
1 2
v
0
x
动量与角动量（一）
第三章动量守恒定律与能量守恒
取向下为正方向:
竖直方向冲量为：I y
p
' y
py
m
gy0 m
2gy0
m gy0 (1 2)
y
水平方向冲量为： I x px' px

练习03(三) 刚体力学和角动量守恒

练习（三）刚体力学和角动量守恒

1．地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的角动量大小为

（A ）R

GMm R G Mm R GMm GMR m 2 (D) (C) (B) （）

2．用一根穿过竖直空管的轻绳系一小物体m ，一只手握住管子，另一只手拉绳子的一端，使物体以角速度1ω作半径为1r 的水平圆周运动，然后拉紧绳子使轨道半径缩小到2r ，则这时的角速度2ω与原角速度1ω的关系为

（A ）21212211(/) (B) (/)r r r r ωωωω==

（C ）1212212212)/( (D) )/(ωωωωr r r r == （）

3．有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B ，A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀，它们对通过环心与环面垂直的轴的转动惯量分别为A J 、B J ，则

（A ）B A B A J J J J (B)

（C ）B A J J = （D ）不能确定A J 、B J 哪个大（）

4．两个匀质圆盘A 和B 的质量密度分别为B A ρρ和，若B A ρρ ，但两盘的质量和厚度相同，如两圆盘对通过盘心垂直盘面的轴的转动惯量各为B A J J 和，则

（A ）B A B A J J J J (B)

（C ）B A J J = （D ）不能确定哪个大（）

5．一金属链条与一半径为5.0cm 、转速为2.5 rev/s 的齿轮啮合，则此链条在1分钟内运动的直线距离为：

（A ）m m m rad π300 (D) 4700 (C) 1.47 (B)

03 力学：第三章动量与角动量-课堂练习及部分习题解答

•解：以地面为参照系，人的前进方向为坐标轴的正方向。系统水平方向动量守恒。
Δx1 Δx2 +M =0 mv + MV = 0 ⇒ m Δt Δt
⇒ mΔx1 + M Δx2 = 0 ⇒ m(3.2 + Δx2 ) + M Δx2 = 0
3.2m ⇒ Δx2 = = −0.8( m) M +m
练习册·第三章动量和角动量·第8题
1 ⎡ F cos 30 − μ ( mg + F sin 30 ) ⎤ dt = 28.8 ( m/s ) vx = ∫ ax dt = ∫ ⎣ ⎦ m 0.2559 0.2559
练习册·第三章动量和角动量·第4题
Zhang Shihui
题.以速度v0前进的炮车，向后发射一炮弹，已知炮弹仰角为θ，炮弹与炮车质量分别为m和M，炮弹相对于炮筒出口速度为v，如图所示，求炮车的反冲速度是多大？解：炮弹发射瞬间，内力无穷大，炮弹的重力有限，相对可忽略；但是，火炮对地面的压力及地面对火炮的支持力与系统内力相当，因此地面对火炮支持力不为零的方向，动量不守恒。水平方向动量守恒令水平向左为正方向，设炮车反冲速度是v，则
v dm
x
dp vdm v ( λ dx ) = λ v 2 其中 v = 2 gx = F= = dt dt dt
⇒ F = 2(λ x) g ⇒ N 0 + F = 3(λ x) g

动量和角动量例题和练习

u
600
u
v人
v
v人x = ucos 600 + v v人y = usin600 (m2 + m1 )v0 = m1v + m2v人x (m2 + m1 )v0 = m1v + m2 (v + ucos 600 ) m2ucos 600 v = v0 − = 2.5m/ s m1 + m2
以人为研究对象，Ｙ方向上受到车作用力的冲量为Ｉ以人为研究对象，Ｙ方向上受到车作用力的冲量为Ｉy ，Ｙ方向上受到车作用力的冲量为则
θ
α
Ｘ
3mvt
3vt = vB sinα + vc sinθ − vc cosθ + vB cosα = 0 又 vt = v0 − gt
解上述方程得：解上述方程得：
α =θ
3m t v 3m(v0 − gt ) v1 = = 2sinα 2sinα
例：哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，它离太阳哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆， 10 v1 = 5.46×104 m/ s 最近的距离为 r = 8.75 ×10 m ，时 1 它距离太阳最远时，它距离太阳最远时， v2 = 9.08×102 m/ s ，这时 r2 = ?
例：光滑水平铁轨上，一辆质量为m1=20kg 无动力检光滑水平铁轨上，一辆质量为修车正以Ｖ的速度前进，修车正以Ｖ０＝３m/s的速度前进，车上站立一质量为的速度前进 m2=50kｇ的人，此人向着与铁轨成度角的侧前方以ｇ的人，此人向着与铁轨成60度角的侧前方以相对于车的速度u=5m/s 跳下，求跳下车后，检修车的跳下，求跳下车后，相对于车的速度速度和跳车过程中铁轨受到的侧向冲量。速度和跳车过程中铁轨受到的侧向冲量。解：如图以人和车为研究系统则水平方向的合外力为零，统则水平方向的合外力为零，因此水平方向动量守恒，因此水平方向动量守恒，设人跳车后相以地面的速度为 v人，车相对地面的速度为 v 则： v人 = u + v