§3[1].5 数列的综合应用w

§3.5 数列的综合应用【一线名师精讲】基础知识串讲:(一)数列的综合应用主要体现在以下几个方面：1、数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何的综合题，在知识网络交汇点处命题，是近几年高考考查的热点。

从近几年高考命题变化趋势及近几年强调加强基础，提高能力，注重素质等要求来看，加大了对数学思想方法的考查，对等价转化的要求也较高，综合函数、方程、不等式知识增多，以上成为高考题中的中高档题目。

2、应用问题是选取现实生活和生产中的具体事件作为载体，要求学生能进行科学的抽象，将这些实际问题转化为数学问题求解，数学的应用问题，易成为高考命题的热点，凡涉及利息、产量、价格等与增长率有关的实际问题，均可转化成相应的数列问题，利用数列的有关知识和方法解决。

(二) 数列的综合应用的主要思想方法：用函数的思想研究数列问题是最基本的思路；利用转化法，将一般数列转化为等差数列或等比数列是学习本章的基本方法．诸如数形结合的思想，分类讨论的思想，利用方程求解的思想、归纳猜测的思想在数列综合题中都有较好的体现基本题型指要函数与数列的有机结合，函数中有数列、有不等式；不等式中有函数、有数列；数列中有函数，有不等式,三者相互为用.由于用函数定义数列的通项公式或前n 项和，或用函数给出某些量的关系，使函数与数列更为有机地紧密联系在了一起，因此也更便于运用函数的关系与性质来研究数列．更有一些含有参数的数列综合题，看清各量具有显现的关系，挖掘隐含条件，运用函数与方程的知识解决问题体现了较强的分析、解决问题的能力．【例1】 知数列{}n a 的前n 项和n S 满足 1,)1(2≥-+=n a S n n n(1)写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ； (2)求数列{}n a 的通项公式；证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a 解析:（Ⅰ）由.1,121111=-==a a S a 得 由.0,)1(2222221=-+==+a a S a a 得 由.2,)1(23333321=-+==++a a S a a a 得 （Ⅱ）当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- ,)1(2211---⨯+=n n n a a ,)1(22221----⨯+=n n n a a…… .2212-=a a所以122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证1a 也满足上式，所以 .1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n （Ⅲ）证明：由通项公式得.24=a 当3≥n 且n 为奇数时，]121121[2311121-++=+--+n n n n a a ).2121(232222312222223123221213221----------+=+⨯<--++⨯=n n n n n n n n n n 当m m 且4>为偶数时，m a a a 11154+++ )212121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=m m m a a a a a.878321)211(4123214=+<-⨯⨯+=-m 当m m 且4>为奇数时，.87111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a 所以对任意整数m>4，有.8711154<+++m a a a 点评：本题将数列与不等式的知识联系起来，从运算到推理，都要有很强的思维判断力和熟练的解题技能。

合理运用放缩法，能使解题简洁、运算简单，节约大量的解题时间，反之，则会因运算繁杂而不断出错而无法进行下去。

思维水平较高者因善于运用思维而赢得时间，是高层次的解决问题能力的标志。

【例2】 已知函数x b a x f ⋅=)(的图象)41,4(A和)1,5(B ，（1）求函数)(x f 的解析式；n n S n n f a 是正整数，，）记（)(log 22=是数列的前n 项和，解关于n 的不等式：；0≤n n S a则说明理由。

相应的项数；若不是，中的项？若是，则求出是否是数列，整数与）中的）对于（（}{1023 4n n n n S a S a 思路：(1)把点B A ,的坐标代入x b a x f ⋅=)(即可确定b a ,的值；(2)先判断{}n a 的类型，确定求n S 的方法。

(3)判断410是否为{}n n S a 中的项，一般看410=n n S a 有无正整数解，但此题出现三次方程，不易求解，故此法不行。

观察)9)(5(2--=n n n S a n n 的特点，可知4≤n 时较小，当95≤≤n 时，100≥≤n S a n n ，时，n n S a 是关于n 的函数，可估算接近410的值。

解析：⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=410241141154b a b a b a ，得）由（x x f 410241)(⋅=∴ 102)410241(log 22-=⋅=n a n n ）由题意（ )9()(21-=+=n n a a nS n n)9)(5(2--=⋅n n n S a n n950≤≤≤n S a n n 得由98765，，，，故=n40728464344332211====S a S a S a S a ，，，）（ ；时，当095≤≤≤n n S a n422221097242210<=≤≤≤S a S a n n n 时，当 42323101159223>=≥≥S a S a n n n 时，当中的项不是数列因此，}{104n n S a点评：本题主要考查等差数列、不等式、函数的基础知识，考查学生分析问题、解决问题的能力。

（3）的解法中有一种估算法，它是函数单调性的一个应用，它体现了特殊化思想，这是一种探索问题的有效方法。

【例3】如图，直线≠≠-+=k k k kx y l ,0(1:1)21±与2121:2+=x y l 相交于点P 。

直线1l 与x轴交于点P 1，过点P 1作x 轴的垂线交直线2l 于点Q 1，过点Q 1作y 轴的垂线交直线1l 于点P 2，过点P 2作x 轴的垂线交直线2l 于点Q 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P 1，Q 1，P 2，Q 2，…。

点P n （n=1,2,…）的横坐标构成数列{}n x 。

(Ⅰ)证明;),1(2111*+∈-=-N n x kx n n (Ⅱ)求数列{}n x 的通项公式； (Ⅲ)比较22nPP 与54212+PP k 的大小。

思路：过n P 作X 轴的垂线交2l 于n Q ，再过n Q 作X 轴的平行线交1l 于1+n P ，从中寻求n x 与1+n x 的关系。

解析：(Ⅰ)证明 设点n P 的坐标是).,(n n y x 由已知条件得点1,+n n P Q 的坐标分别是： ).2121,(),2121,(1+++n n n n x x x x 由1+n P 在直线1l 上，得k kx x n n -+=++121211 所以),1()1(211-=-+n n x k x 即.),1(2111*+∈-=-N n x kx n n (Ⅱ)解 由题设知 ,011,1111≠-=--=k x k x 又由（Ⅰ）知.),1(2111*+∈-=-N n x kx n n 所以 数列{}1-n x 是首项为x 1—1 ,公比为k21的等比数列。

从而,)21(111-⨯-=-n n kk x 即nn kx )21(21⨯-=，*∈N n 。

(Ⅲ) 解 由⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=,1,2121k kx y x y 得点P 的坐标为（1，1）。

所以,)21(2)21(8)11(2)1(22222222-+⨯=--++-=n n n n nkk k kx x PP .945])10()111[(4542222212+=+-+--=+k kk PP k （)i 当21〉k ，即21-<k 或21>k 时，.109154212=+>+PP k 而此时,1210<<k 所以.1021822=+⨯<nPP 故.5422122+<PP k PP n)(ii 当,21210<<k 即)21,0()0,21( -∈k 时，.109154212=+<+PP k而此时,121>k 所以.1021822=+⨯>nPP故.5422122+>PP k PP n点评：该题入手比较容易，只需正确计算出点的坐标，便可顺势导出正确结果，但对运算能力和处理能力有较高的要求，有效考查应变能力，这体现了“以能力立意”的命题要求。

【例4】某地区由于各种原因林地面积不断减少，已知1996年年底的林地面积为100万公顷，从1997年起该林区进行开荒造林，每年年底的统计结果如下：试根据此表所给数据进行预测（表中数据可以按精确到0.1万公顷考虑）（1）如果不进行从1997年开始的开荒造林，那么到2010年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为多少万公顷？（2）如果从1997年开始一直坚持开荒造林，那么到那一年年底该林区的林地总面积达102万公顷？思路：根据表中所给数据可以发现，该林区原有林地面积基本成等差数列递减，公差约－0.2，每年开荒造林面积基本是常数0.3，题中两问都可以用等差数列通项公式求解．解析：（1）记1997年该林区原有林地面积为a 1，到2010年年底该林区原有林地减少后的面积大约变为a 14，从表中看出｛a n ｝是等差数列，公差d 约－0.2，故a 14=a 1＋（n －1）d=99.8＋（14－1）(－0.2)=77.2 所以到2010年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为77.2万公顷．（2） 根据表中所给数据，该林区每年开荒造林面积基本是常数0.3万公顷，设1997年起，n 年后林地总面积达102万公顷，结合（1）可知：99.8＋(n －1)(－0.2)＋n ×0.3≥102 n ≥20即2016年年底，该林区的林地总面积达102万公顷．点评：本题文字语言图表语言相结合，表达形式复杂，数学化之后，只保留数字特征规律，实质是在a n =a 1＋（n －1）d 中，已知a 1、n 、d 求a n及已知a1、d、a n求n的问题．【例5】如图1是一个计算机装置示意图，J1，J2是数据入口处，C是计算机结果的出口，计算过程是由J1，J2分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数由C输出．此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：①若J1，J2分别输入1，则输出结果为1；②若J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍．试问：（1）若J1输入1，J2输入自然数n，输出结果为多少？（2）若J2输入1，J1输入自然数m，输出结果为多少？（3）若J1输入自然数m，J2输入自然数n，输出结果为多少？思路：本题的信息语言含逻辑推理成分，粗看不知如何入手．若细品装置的作用，发现可以把条件写成二元函数式，将逻辑推理符号化，并能抽象出等比数列或等差数列的模型．解析：设f(m，n)=k，由题意，f (1，1)=1，f (m，n+1)=f(m，n)+2，f(m+1，1)=2f(m，1)．（1）在f(m，n+1)=f(m，n)+2中，令m=1，则f(1，n+1)=f(1，n)+2，由此可知：f(1，1)，f(1，2)，f(1，3)，…，f(1，n)，…，组成以f(1，1)为首项，2为公差的等差数列，所以有f(1，n)=f(1，1)+2(n-1)=2n-1．（2）因为f (m+1，1)=2f (m，1)，于是f (1，1)，f (2，1)，…，f (m，1) ，…，组成以f (1，1)为首项，2为公比的等比数列，所以有 f (m，1)=f (1，1)·2m-1=2m-1．（3）因为f(m，n+1)=f(m，n)+2，所以f(m，1)，f(m，2)，f(m，3)，…，f(m，n)，…，组成以f(m，1)为首项，2为公差的等差数列，所以有f(m，n)=f(m，1)+2(n-1)= 2m-1+2n-2．点评：解题关键点首先要读懂题目，理解题意，要充满信心．这种给出陌生的背景（问题的情景），文字叙述比较长的题目，其实所涉及数学知识往往比较简单，剔除伪装并符号化，就是我们熟悉的问题．【阅卷老师评题】【例1】(2002全国高考)设数列}{na满足：121+-=+nnnnaaa,3,2,1=n（I）当21=a时，求432,,aaa并由此猜测na的一个通项公式；（II）当31≥a时，证明对所的1≥n，有（i）2+≥nan（ii）2111111111321≤++++++++n aaaa命题目的：本题主要考查数列和不等式知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力。