2014高考数学三轮冲刺 解三角形课时提升训练(1)
高考数学三轮冲刺 解析几何专项模拟试卷(含解析)
【课堂新坐标】2014年高考数学三轮冲刺解析几何专项模拟试卷（含解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·济南模拟)若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点() A．(1，－2)B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)【解析】依题意，k＋b＝－2，∴b＝－2－k，∴y＝kx＋b＝k(x－1)－2，∴直线y＝k(x－1)－2必过定点(1，－2)．【答案】 A2．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．【答案】 A3．(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22【解析】A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，真命题；B，z1＝z2⇒z1＝z2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·z1＝z2·z2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z21＝1，z22＝－1，即z21≠z22，假命题．【答案】 D4．若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5【解析】 设圆心为(a,0)(a <0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，所以，所求圆的方程为：(x ＋5)2＋y 2＝5，故选D.【答案】 D5．(2013·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x【解析】 ∵e ＝3，∴ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1， ∴渐近线方程为y ＝±2x . 【答案】 B6．(2013·课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x【解析】 设M (x 0，y 0)，A (0,2)，MF 的中点为N . 由y 2＝2px ，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∴N 点的坐标为x 0＋p22，y 02.由抛物线的定义知，x 0＋p2＝5，∴x 0＝5－p2.∴y 0＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2. ∵|AN |＝|MF |2＝52，∴|AN |2＝254.∴x 0＋p 222＋y 02－22＝254.即⎝⎛⎭⎫5－p 2＋p 224＋2p ⎝⎛⎭⎫5－p 22－22＝254.∴2p ⎝⎛⎭⎫5－p 22－2＝0.整理得p 2－10p ＋16＝0.解得p ＝2或p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 【答案】 C7．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2C.83D.1623【解析】 由C ：x 2＝4y ，知焦点P (0,1)． 直线l 的方程为y ＝1. 所求面积S ＝⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3122－2＝83. 【答案】 C8．(2013·杭州质检)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3 【解析】 根据已知条件c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2.【答案】 B第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)9．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为________．【解析】 因为直线过椭圆的左焦点(－3，0)，所以△ABM 的周长为|AB |＋|AM |＋|BM |＝4a ＝8.【答案】 810．(2013·皖南八校联考)双曲线x 2m －y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4mx 的焦点重合，则n 的值为________．【解析】 抛物线焦点F (m,0)为双曲线的一个焦点， ∴m ＋n ＝m 2.又双曲线离心率为2， ∴1＋nm＝4，即n ＝3m .所以4m ＝m 2，可得m ＝4，n ＝12. 【答案】 1211．l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．【解析】 当AB ⊥l 1，且AB ⊥l 2时，l 1与l 2间的距离最大． 又k AB ＝－1－10－1＝2，∴直线l 1的斜率k ＝－12，则l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.【答案】 x ＋2y －3＝012．(2013·福建高考改编)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【解析】 由x 24－y 2＝1知顶点(2,0)，渐近线x ±2y ＝0，∴顶点到渐近线的距离d ＝25＝255.【答案】25513．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．图1【解析】 i ＝1，s ＝1→s ＝1，i ＝2→s ＝2，i ＝3→s ＝4，i ＝4→s ＝7，i ＝5结束． 【答案】 714．三角形ABC 中，已知AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－6，且角C 为直角，则角C 的对边c 的长为__________．【解析】 由AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－6， 得AB →·(BC →＋CA →)＋BC →·CA →＝－6， 即AB →·BA →＋BC →·CA →＝－6， ∵C ＝90°，∴－c 2＝－6，c ＝ 6. 【答案】6三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2mx －2y ＋4m －4＝0(m ∈R )． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(1，－2)的直线方程． 【解】 圆C 的方程：(x －m )2＋(y －1)2＝(m －2)2＋1. (1)当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． (2)当m ＝2时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 设所求的直线方程为y ＋2＝k (x －1)， 即kx －y －k －2＝0，由直线与圆相切，得|2k －1－k －2|k 2＋1＝1，k ＝43，所以切线方程为y ＋2＝43(x －1)，即4x －3y －10＝0，又因为过点(1，－2)且与x 轴垂直的直线x ＝1与圆也相切， 所以所求的切线方程为x ＝1或4x －3y －10＝0.16．(本小题满分12分)(2013·山东高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上的两点，△AOB 的面积为64.若A 、B 两点关于x 轴对称，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .如果OP →＝tOE →，求实数t 的值．【解】 (1)设椭圆C 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于A 、B 两点关于x 轴对称，可设直线AB 的方程为x ＝m (－2＜x ＜2，且m ≠0)． 将x ＝m 代入椭圆方程得|y |＝2－m 22， 所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64. 解得m 2＝32或m 2＝12.①又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (2m,0)＝(mt,0)，又点P 在椭圆上，所以(mt )22＝1.②由①②得t 2＝4或t 2＝43.又因为t＞0，所以t＝2或t＝233.17．(本小题满分14分)如图2，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2.图2(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【解】(1)证明法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB＝AA1＝2，∴OA＝OB＝OA1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1,1,1)．∵A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→＝(－1,0,1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD ∩BB 1＝B ，A 1C ⊄平面BB 1D 1D ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD .又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C . 又OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C . 又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵OC →＝(－1,0,0)，OB 1→＝(－1,1,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z . 取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，A 1C →＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝12×2＝12. 又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3.18．(本小题满分14分)(2013·广东高考)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.【解】 (1)证明：由4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，得4S 1＝a 22－4－1， 即4a 1＝a 22－4－1，所以a 22＝4a 1＋5.因为a n >0，所以a 2＝4a 1＋5.(2)因为4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，①所以当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，②由①－②得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2(n ≥2)．因为a n >0，所以a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)． 因为a 2，a 5，a 14成等比数列，所以a 25＝a 2a 14， 即(a 2＋3×2)2＝a 2(a 2＋12×2)，解得a 2＝3.又由(1)知a 2＝4a 1＋5，所以a 1＝1，所以a 2－a 1＝2. 综上知a n ＋1－a n ＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)证明：由(2)知1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝12－14n ＋2<12. 19．(本小题满分14分)(2013·安徽高考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c ，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．20．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)依题意知F (0，p 2)，圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y ＝p4上，因为抛物线C 的准线方程为y ＝－p2，所以3p 4＝34，即p ＝1.因此抛物线C 的方程为x 2＝2y .11 (2)假设存在点M (x 0，x 202)(x 0>0)满足条件，抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′|x ＝x 0＝(x 22)′|x ＝x 0＝x 0，所以直线MQ 的方程为y －x 202＝x 0(x －x 0)．令y ＝14得x Q ＝x 02＋14x 0，所以Q (x 02＋14x 0，14)．又|QM |＝|OQ |，故(14x 0－x02)2＋(14－x 202)2＝(14x 0＋x 02)2＋116，因此(14－x 202)2＝916.又x 0>0，所以x 0＝2，此时M (2，1)．故存在点M (2，1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M .。
高考数学三轮冲刺 三角函数与解三角形精练试题 理 新人教A版(1)
（拣分必备）2014届高考数学三轮冲刺 三角函数与解三角形精练试题 理 新人教A 版1.(济南一模)已知α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．－43[答案] D[解析] 由任意角的三角函数的定义可知xx 2＋16＝15x ，解得x ＝3(舍去)或x ＝－3，所以tan α＝－43，故选D.2.（北京大兴区一模）函数21cos ()cos xf x x-=（ ）A ．在ππ(,)22-上递增 B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减 C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增【答案】D 因为sin ()cos x f x x =，当sin 0x ≥时，sin ()tan cos x f x x x ==。
当sin 0x <时，sin ()tan cos xf x x x==-，即当02x π<<时，函数递增。
当02x π-<<时，函数递减，选D.3.(安阳模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( ) A.14 .24 C ．－14．－24解析：依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A c os(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14，选C.答案：C4．(江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝( ) A.π6 .π4 C.π2.π3解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2.设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43×sin 30°＝12×2x 2sin 60°，解得x ＝6，所以AB ＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：C5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形 解析：依题意得a sin A ＝bsin B，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58，12<58<32，因此30°<B <60°，或120°<B <150°.若30°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，选C. 答案：C。
高考数学三轮冲刺 解三角形课时提升训练(2)
2014高考数学三轮冲刺解三角形课时提升训练（2）1、已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则等于（）A． B．C．2 D．2、中,三边之比，则最大角的余弦值等于 A. B.C． D.3、在△ABC中，，则三角形ABC的形状一定是 ( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4、已知△ABC的三个顶点的A、B、C及平面内一点P满足，下列结论中正确的是（） A．P 在△ABC内部 B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上 D．P是AC边的一个三等分点5、已知中，，，的对边分别为三角形的重心为.，则（）6、△ABC中，已知：，且，则的值是( ) Ａ.2 Ｂ.Ｃ.－2 Ｄ.7、中,三边之比，则等于A. B.2 C . D.8、在锐角中，若，则的范围（）A． B．C． D．9、的外接圆半径和的面积都等于1，则（）A．B．C．D．10、已知中，，点为边所在直线上的一个动点，则满足（）A.最大值为16B.为定值8C.最小值为4D.与的位置有关11、已知中，，点为边的中点，点为边所在直线上的一个动点，则满足（）A.最大值为8 B.为定值4 C.最小值为2 D.与的位置有关12、等腰直角三角形ABC中，A=，AB=AC=2，M是BC的中点，P点在ABC内部或其边界上运动，则即·的取值范围是 A．[-l，0] B．[1，2] C．[-2，-1] D．[-2，0]13、若函数 , 则=A、 B、 C、 D、14、在△ABC中，a,b,c分别为∠A，∠B，∠C所对应三角形的边长，若，则cosB ＝15、在边长为1的正三角形ABC中，，，则的最大值为（）A． B． C． D．16、设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝，λ2＝，λ3＝，定义,若G是△ABC的重心，f（Q）＝（，，），则A．点Q在△GAB内 B．点Q在△GBC内C．点Q在△GCA内 D．点Q与点G重合17、在△中，三个内角，，所对的边分别为，，，若,则= .18、在中，内角所对的边长分别为，已知角为锐角,且，则实数范围为19、下列说法：①“若，则是锐角三角形”是真命题；②“若，则”的逆命题为真命题；③；④函数的最小正周期是；⑤在△ABC中，是的充要条件；其中错误的是．20、在中，分别是角的对边，已知，，的面积为，则的值为21、已知点为等边三角形的中心,,直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为 .22、理科做）已知ΔABC中，A:B:C=1:2:3，a=1，则=23、在中，已知，给出以下四个论断：①；②；③；④其中正确的序号是____________24、已知中,,,分别为内角,,的对边，且,．在线段上取一点，使，则的面积是 .25、已知，则= ．26、设a，b，c依次是的角A、B、C所对的边，若，且，则m=________________.27、在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b=28、在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则+= ．29、已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）．若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝_______30、如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ 的面积之比为．31、已知是锐角的外接圆圆心，，若，则。
高考数学三轮冲刺解三角形课时提升训练(1).docx
解三角形课时提升训练（1）1、已知三个内角A，B，C所对的边，若且的面积，则三角形的形状是（）A、等腰三角形B、等边三角形C、等腰直角三角形D、有一个为的等腰三角形2、在中，分别是角所对边的边长，若，则的值是（）A．B．C．D．3、在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ΔABC的形状是( ) A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形4、若，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．5、在ABC中，，，面积为，则的值为（）A．1 B．2 C．D．6、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则△ABC是（）A.正三角形B.等腰三角形 C .直角三角形 D.等腰直角三角形7、8、在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形9、、的内角所对的边分别为且则（）A．B．C． D．10、给出以下命题①若则；②已知直线与函数，的图象分别交于两点，则的最大值为；③若是△的两内角，如果，则；④若是锐角△的两内角，则。
其中正确的有（）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 411、已知中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若的面积为S，且等于A. B. C. D.12、已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，则的值=（）.A. B. C.D.13、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A． B． C．或 D．或14、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能15、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果，那么三边长a、b、c之间满足的关系是（） A．B． C．D．16、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（） A．B． C． D．17、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1B．2 C．3 D．418、在∆ABC中, “sin A>cos B”是“A+B>”成立的( )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件19、9. 在△中，是边中点，角的对边分别是，若，则△的形状为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.20、的内角满足条件：且，则角的取值范围是（）A、 B、C、 D、21、已知的外接圆半径和的面积都等于1，则=（）.A． B． C． D．22、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形23、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( )（） A． B． C． D．24、△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C－sinBsinC,则A的取值范围是A. B. C.D.25、在中，，若点为的内心，则的值为（）A．2 B． C．3 D．26、已知的三个内角满足：，则的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形27、四个分别满足下列条件（1）；（2）；（3），；（4）则其中是锐角三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个28、在中，角A,B,C,所对的边分别为a, b, c.若，则（）(A)- (B) (C) -1 (D) 129、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin2 B＋sin2 C－sin2A＋sin B sin C＝0，则tan A 的值是(A) (B) － (C) (D) －30、已知非零向量满足，且，则的形状为【】.A.等腰非等边三角形B.等边三角形C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形31、设为所在平面内一点，且，则的面积与的面积之比为（）A． B． C． D．32、在中，若，则A的取值范围是（）A．B． C． D．33、在中，角的对边分别为，则且，则等于（）（A）（B）（C）4 （D）34、在△ABC中，，若三角形有解，则的取值范围是（）A． B． C．D．35、在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是（） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D ．等腰直角三角形36、在锐角三角形中，，则的取值范围是（）A． B． C． D．37、中，角所对的边，，则（）A．- B． C． -1 D．138、在中，若对任意，有，则一定是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定39、在△ABC中，角A、 B、 C所对的边分别为若，则-的取值范围是（）A． B． C． D．40、已知向量,的夹角为60°，||=||=2，若=2+,则△ABC为A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形1、由知中的平分线垂直边BC，所以，再由，2、B3、．B4、B5、B6、A7、C8、解：∵在△ABC中，sin（A+B）=sinC，∴sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAccosB+cosAsinB，∴cosAsinB=0，又sinB≠0，∴cosA=0，∴在△ABC中，A为直角．∴△ABC为直角三角形．故选D．9、B 10、D11、【答案】C由得，即,所以，又，所以，即,所以,即,选C.12、D13、D 14、 15、B 16、 A 17、B 18、A 19、9. C 由题意知，∴，∴，又、不共线，∴，∴20、C 21、B 22、A 23、 D 24、C 25、D 26、B 27、Ｂ 28、Ｄ 29、D 30、A 31、A 32、C 33、A34、B 35、C 36、A 37、D 38、A 39、C 40、C。
高考数学三轮冲刺解三角形课时提升训练(3)
解三角形课时提升训练（3）
1、如图，已知中，，，，、、分别是边、、上的点，是内接正三角形，则的边长的取值范围
是．
2、已知分别是的三个内角所对的边，若且是与的等差中项，则= 。
3、在△中，为边上一点，，，＝2．若△的面积为，则∠＝________．
4、在中，且．．所对边分别为，若，则实数的取值范围为．
5、在中有如下结论：“若点M为的重心，则”,设分别为的内角的对边，点M为的重心.如果,则内角的大小为
6、在△ABC中，是角所对的边，已知，，P是△ABC的内切圆上一点，则
的最大值为
7、给出下列命题：（1）在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数y=sin2x的图象；
（3）在△ABC中, 若AB=2,AC=3,∠ABC=,则△ABC必为锐角三角形;
（4）在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；其中正确命题的序号
是 (写出所有正确命题的序号)。
2024数学高考前冲刺题《解三角形》含答案
黄金冲刺大题01 解三角形（精选30题）1．（2024·江苏·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1c B a+=.(1)证明：2B A =；(2)若sin A b ==，求ABC 的周长.2．（2024·湖南常德·三模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B A B C ++=．(1)求角C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且ABC ABC 的周长．3．（2024·江苏·一模）在ABC 中，()sin sin B A A C -=．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2BC CM = ．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小．4．（2024·浙江温州·二模）记ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin c B =．(1)求C ；(2)若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC 的面积．5．（2024·浙江嘉兴·二模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos 3cos23A A -=.(1)求cos A 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，23b c =，求sin C 的值.6．（2023·福建福州·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin sin ,3a C c B C π==．(1)求B ；(2)若ABC BC 边上中线的长．7．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC 中，2,3BAC BAC π∠=∠的角平分线交 BC 于P 点，2AP =.(1)若8BC =，求△ABC 的面积;(2)若4CP =，求BP 的长.8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，4AB AD ==，6BC =．(1)若2π3A =，π3C =，求sin BDC ∠的值；(2)若2CD =，cos 3cos A C =，求四边形ABCD 的面积．9．（2024·浙江·一模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2222sin sin c Cb c a B=+-．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =ABC AD 的长．10．（2024·湖北·一模）在ABC 中，已知π4AB AC C ===．(1)求B 的大小；(2)若BC AC >，求函数()()()sin 2sin 2f x x B x A C =--++在[]π,π-上的单调递增区间．11．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABC 的面积为S ，三个内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin SC c b =-.(1)证明：ABC 是倍角三角形；(2)若9c =，当S 取最大值时，求tan B .12．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，π2DAB ∠=，π6B =，且ABC 的外接圆半径为4.(1)若BC =AD =ACD 的面积；(2)若2π3D =，求BC AD -的最大值.13．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.(1)若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小；(2)若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值.14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角ABC 的三内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222(cos cos )b c b C c B bc +-⋅+⋅=，(1)求角A 的大小；(2)bc 的取值范围．15．（2024·湖南邵阳·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC 的周长为sin sin sin sin a BA B C+-．(1)求C ；(2)若2a =，4b =，D 为边AB 上一点，π6BCD ∠=，求BCD △的面积．16．（2024·广东梅州·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ⊥，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC 的面积ABC S ．17．（2024·广东广州·一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .已知222)S a c b =+-.(1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且π2ABD ∠=，22AD DC ==，求ABC 的周长.18．（2024·广东佛山·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中1a =，21cos 2c A b-=．(1)求角B 的大小；(2)如图，D 为ABC 外一点，AB BD =，ABC ABD ∠=∠，求sin sin CABCDB∠∠的最大值．19．（2024·河北石家庄·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量(2sin )m A A A =，π2π(cos ,cos sin ),(),,63n A A A f A m n A ⎡⎤=-=⋅∈⎢⎥⎣⎦.(1)求函数()f A 的最大值;(2)若()0,sin f A a B C ==+=ABC 的面积.20．（2024·广东·一模）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos b c A a B C -=．(1)求cos B ；(2)若点D 在AC 上（与,A C 不重合），且π,24C ADB CBD =∠=∠，求CDAD 的值．21．（2024·辽宁·二模）在ABC 中，D 为BC 边上一点，1DC CA ==，且ACD 面积是ABD △面积的2倍．(1)若AB =，求AB 的长；(2)求sin sin ADBB∠的取值范围．22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π,4cos 24B bC a ==+.(1)求tan C ；(2)若ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.23．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m ）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上，从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角，16.5MCE ∠=︒（点E 在线段MO 上）．他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点，此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角48.5MDE ∠=︒，楼尖MN 的视角 3.5MDN ∠=︒（N 是楼尖底部，在线段MO 上）．(1)求楼高MO 和楼尖MN ；(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时，测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO ．参考数据：sin16.5sin48.52sin325︒︒≈︒，8tan16.527︒≈，8tan48.57︒≈37.4,≈24．（2024·重庆·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．(1)求角A 的大小；(2)若BP PC =，且2b c +=，求AP 的最小值．25．（2024·山西朔州·一模）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m a b c n A C A B =+=-- ，且//m n ．(1)求B ；(2)求222b a c+的最小值．26．（2024·河南开封·二模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin b A B =．(1)求sin A ；(2)若a =①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求ABC 的面积．条件① ：=b ；条件② ：b =③ ：1sin 3C =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．27．（2024·河南·一模） ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足22b a ac -=.(1)求证：2B A =；(2)若ABC 为锐角三角形，求sin()sin sin C A BA--的取值范围.28．（2023·河南·三模）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2222a abc c b +-=，且a c ≠．(1)求证：2B C =；(2)若ABC ∠的平分线交AC 于D ，且12a =，求线段BD 的长度的取值范围．29．（2024·湖北·二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，()c a b <，2cos cos cos 2c a A B b A =-．(1)求A ；(2)者13BD BC =，2AD = ，求b c +的取值范围．30．（2024·河北·二模）若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，则称点P 为ABC 的布洛卡点，θ为ABC 的布洛卡角．如图，已知ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，点P 为的布洛卡点，θ为ABC的布洛卡角．(1)若b c =，且满足PBPA=ABC ∠的大小．(2)若ABC 为锐角三角形．（ⅰ）证明：1111tan tan tan tan BAC ABC ACBθ=++∠∠∠．（ⅱ）若PB 平分ABC ∠，证明：2b ac =．黄金冲刺大题01 解三角形（精选30题）1．（2024·江苏·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1c B a+=.(1)证明：2B A =；(2)若sin A b ==，求ABC 的周长.【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；（2）利用倍角公式求得sin C ，然后利用正弦定理可得【详解】（1）()()2cos 1sin sin sin sin cos cos sin B A C A B A B A B+==+=+()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ⇒=-=-因为()(),0,π,π,πA B B A ∈∴-∈-A B A ∴=-或()πA B A +-=（舍），2B A ∴=.（2）由sin A =1）知()30,πA B A +=∈，则π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得cos A ===sin sin22sin cos 2B A A A ====，213cos cos212sin 1284B A A ==-=-⨯=，()3sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B ∴=+=+===由正弦定理得25sin sin sin a a b c c A B C =⎧==⇒==⇒⎨=⎩ABC ∴的周长为7a b c ++=2．（2024·湖南常德·三模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B A B C ++=．(1)求角C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且ABC ABC 的周长．【答案】(1)2π3(2)15【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出222a b ab c ++=；再结合余弦定理得出1cos 2C =-即可求解.（2先根据a ，b ，c 成等差数列得出2a c b +=；再利用三角形的面积公式得出15ab =；最后结合(1)中的222a b ab c ++=，求出a ，b ，c 即可解答.【详解】（1）因为222sin sin sin sin sin A B A B C ++=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得：222a b ab c ++=.由余弦定理可得：2222222()1cos 222a b c a b a b ab C ab ab +-+-++===-.又因为(0,π)C ∈，所以2π3C =.（2）由a ,b ,c 成等差数列可得：2a c b +=①.因为三角形ABC ，2π3C =，1sin 2ab C ∴=15ab =②.由(1)知：222a b ab c ++=③由①②③解得：3,5,7a b c ===.15a b c ∴++=，故三角形ABC 的周长为15.3．（2024·江苏·一模）在ABC 中，()sin sin B A A C -=．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2BC CM = ．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小．【答案】(1)π4B =；(2)π12BAC ∠=或5π12．【分析】（1）由()sin sin C A B =+，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cos B =B 的大小；（2）设BC x =，BAC θ∠=，在ABC 和ACM △中，由正弦定理表示边角关系，化简求BAC ∠的大小.【详解】（1）在ABC 中，A B C π++=，所以()sin sin C A B =+．因为()sin sin B A A C -=，所以()()sin sin B A A A B -=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A A B A B A -=+2cos sin A B A =．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，cos B =因为0πB <<，所以π4B =．（2）法1：设BC x =，BAC θ∠=，则2CM x =．由（1）知π4B =，又π4CAM ∠=，所以在ABM 中，π2AMC θ∠=-．在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B=∠，即πsin sin 4x ACθ=①．在ACM △中，由正弦定理得sin sin CM ACCAM M =∠，即2ππsin sin 42x ACθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭②．①÷②=12sin cos 2θθ=，所以1sin 22θ=．因为3π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π20,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26θ=或5π6，故π12θ=或5π12．法2：设BC x =，则2CM x =，3BM x =．因为π4CAM B ∠==，所以ACM BAM △△∽，因此AM CMBM AM=，所以226AM BM CM x =⋅=，AM =．在ABM 中，由正弦定理得sin sin =∠BM AM BAM B，即3sin x BAM =∠化简得sin BAM ∠=因为30,4BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π3BAM ∠=或2π3，π4BAC BAM ∠=∠-，故π12BAC ∠=或5π12．4．（2024·浙江温州·二模）记ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知2sin c B =．(1)求C ；(2)若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC 的面积．【答案】(1)π4C =或3π4(2)43【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得sin C ，从而确定角C .（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.【详解】（1）由2sin c B得2sin sin C B B =，而B 为三角形内角，故sin B >0,得sin C =C 为三角形内角，∴π4C =或3π4（2）由()tan tan tan tan A B C B C =-+=+得tan tan tan tan 1tan tan B CB C B C+-=+-，又tan tan 0B C +≠，∴tan tan 2B C =， ，故π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）得tan 1C =，故tan 2B =，∴tan tan tan 3A B C =+=，而A 为三角形内角，∴sin A =又sin sin a c A C ==⇒c =又tan 2B =，而B为三角形内角，故sin B =114sin 2223S ac B ∴==⨯=.5．（2024·浙江嘉兴·二模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos 3cos23A A -=.(1)求cos A 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，23b c =，求sin C 的值.【答案】(1)1cos 3A =或cos 0A =；.【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；（2）解法一，由23b c =，利用正弦定理边化角得2sin 3sin B C =，结合()sin sin A C B +=和1cos 3A =，化简运算并结合平方关系求得答案；解法二，根据条件利用余弦定理可得23c a =，再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.【详解】（1）由题可得()22cos 32cos 13A A --=，即23cos cos 0A A -=，解得1cos 3A =或cos 0A =.（2）解法一：因为23b c =，由正弦定理得2sin 3sin B C =，即()2sin 3sin A C C +=，即2sin cos 2sin cos 3sin A C C A C +=，因为1cos 3A =，所以sin A =2sin 3sin 3C C C +=，又22sin cos 1C C +=，且ABC为锐角三角形，解得sin C =.解法二：由余弦定理得2221cos 23b c a A bc +-==，因为23b c =，所以222291433c c a c +-=，即2249c a =，所以23c a =，所以2sin sin 3C A =，又1cos 3A =，所以sin A =，所以2sin sin 3C A ==.6．（2023·福建福州·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin sin ,3a C c B C π==．(1)求B ；(2)若ABCBC 边上中线的长．【答案】(1)π6B =【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角B ；（2）根据A B =，得a b =，结合三角形面积公式即可得到a b ==c ，以及2AD AB AC =+，即可得到答案．【详解】（1）sin sin a C c B = ，由正弦定理边化角得sin sin sin sin A C C B =，sin 0C ≠ ，sin sin A B ∴=，A B ∴=或πA B +=（舍），又 2π3C =，∴π6B =；（2） π6B =，2π3C =，π6A =，a b ∴=，∴1sin 2ABC S ab C =212a =a b ==由正弦定理sin sin a cA C=，得sin 3sin a Cc A==，设BC 边的中点为D ，连接AD ，如下图：2AD AB AC =+ ，即22(2)()AD AB AC =+，即22242cos 9323AD c b bc A =++=++解得AD 7．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC 中，2,3BAC BAC π∠=∠的角平分线交 BC 于P 点，2AP =.(1)若8BC =，求△ABC 的面积;(2)若4CP =，求BP 的长.【答案】【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；（2）首先利用余弦定理求出1AC =，再利用正弦定理求出sin C ，再根据三角恒变换求出sin B ，最后再根据正弦定理即可.【详解】（1）ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-⋅⋅∠，即2264c b b c =++⋅①因ABC MBP MCP S S S =+，即22222bc c b =整理得22b c b c ⋅=+②①②解得2b c ⋅=+所以1sin 2ABC S bc BAC =∠=（2）因为π2,4,3AP CP PAC ==∠=，所以在APC △中由余弦定理可得2222cos CP AP AC AP AC CAP =+-⋅⋅∠，所以21642AC AC =+-解得1AC =，由正弦定理得sin sin AP PCC CAP=∠，即2sin Csin C =所以cos C ==，sin sin()sin cos cos sin B BAC C BAC C BAC C =∠+=∠+∠=ABC 中由正弦定理得sin sin AC BC B BAC=∠=解得BC所以4PB BC PC =-==8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，4AB AD ==，6BC =．(1)若2π3A =，π3C =，求sin BDC ∠的值；(2)若2CD =，cos 3cos A C =，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)34【分析】（1）ABD △中求出BD ，在BCD △中，由正弦定理求出sin BDC ∠的值；（2）ABD △和BCD △中，由余弦定理求出cos A 和cos C ，得sin A 和sin C ，进而可求四边形ABCD 的面积．【详解】（1）在ABD △中，4AB AD ==，2π3A =，则π6ADB ∠=，π2cos 24cos 6BD AD ADB =∠=⨯⨯=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC BDBDC C=∠，sin 3sin 4BC C BDC BD ∠===.（2）在ABD △和BCD △中，由余弦定理得222222cos 44244cos 3232cos BD AB AD AB AD A A A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=-，222222cos 62262cos 4024cos BD CB CD CB CD C C C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=-，得4cos 3cos 1A C -=-，又cos 3cos A C =，得11cos ,cos 39A C =-=-，则sin A =sin C =四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A CB CD C =+=⋅⋅+⋅⋅11446222=⨯⨯⨯⨯9．（2024·浙江·一模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2222sin sin c Cb c a B=+-．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =ABC AD 的长．【答案】(1)π3A =【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到222b c a bc +-=，再结合余弦定理即可求出角A ；（2）根据三角形面积公式得到3bc =和2210b c +=，再结合中线向量公式计算即可.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得，sin sin C cB b=，因为2222sin sin c Cb c a B =+-，所以2222c c b c a b =+-，化简得，222b c a bc +-=，在ABC 中，由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==，又因为0πA <<，所以π3A =（2）由1sin 2ABC S bc A ===△3bc =，由2222cos a b c bc A =+-，得2273b c =+-，所以2210b c +=．又因为边BC 的中点为D ，所以()12AD AB AC =+，所以12AD ====10．（2024·湖北·一模）在ABC 中，已知π4AB AC C ===．(1)求B 的大小；(2)若BC AC >，求函数()()()sin 2sin 2f x x B x A C =--++在[]π,π-上的单调递增区间．【答案】(1)π3B =或2π3B =(2)7ππ5π11ππ,,,,,π12121212⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin AB ACC B==sin B =又0πB <<，故π3B =或2π3B =．（2）由BC AC >，可得A B >，故π2π,33B AC =+=.()π2πππsin 2sin 2sin 2sin 2π3333f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈,解得π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈，.由于[]π,π∈-x ，取1k =-，得7ππ12x -≤≤-；取0k =，得π51212πx -≤≤；取1k =，得11ππ12x ≤≤，故()f x 在[]π,π-上的单调递增区间为7ππ5π11ππ,,,,,π12121212⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．11．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABC 的面积为S ，三个内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin SC c b =-.(1)证明：ABC 是倍角三角形；(2)若9c =，当S 取最大值时，求tan B .【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；（2）由正弦定理结合题中条件得到9sin 3sin 2B a B=，结合三角形面积公式1sin 2S ac B =⨯化为关于tan B 的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.【详解】（1）因为22222212sin 2sin 2sin ab CS ab C C c b c b c b ⨯===---，又sin 0C ≠,所以221abc b =-，则22b c ab =-，又由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，故可得2cos c B a b =+，由正弦定理，2sin cos sin sin C B A B =+,又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,代入上式可得sin cos sin cos sin C B B C B =+,即sin cos sin cos sin C B B C B -=，()sin sin C B B -=，则有,2C B B C B -==,故ABC 是倍角三角形.（2）因为2C B =，所以ππ30A B C B =--=->,故π03B <<，则(tan B ∈，又9c =，又sin sin a c A C =，则()9sin π39sin 9sin 3sin sin 2sin 2B A Ba C B B-===,则19sin sin 22S ac B a B=⨯=99sin 381sin 3sin 2sin 24cos B B B B B =⨯⨯=⋅,81sin 2cos cos 2sin 4cos B B B B B +=⋅()81sin 2cos 2tan 4B B B =⨯+222812tan 1tan tan 41tan 1tan B BB B B ⎛⎫-=+⋅ ⎪++⎝⎭32813tan tan 41tan B B B-=⨯+设(tan x B =∈，()3231x x f x x -=+，则()()()()()22322331321x x x x x f x x -+--⋅+'=()4222631x x x --+=+令()0f x '=得23x =-或者23x =-（舍），且当203x <<时，()0f x '>，当233x <<时，()0f x '<，则()f x 在(上单调递增，在上单调递减，故当x =()f x 取最大值，此时S 也取最大值，故tan B =.12．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，π2DAB ∠=，π6B =，且ABC 的外接圆半径为4.(1)若BC =AD =ACD 的面积；(2)若2π3D =，求BC AD -的最大值.【答案】(1)4；.【分析】（1）在三角形ABC 中，根据正弦定理求得,AC CAB ∠，再在三角形ADC 中，利用三角形面积公式即可求得结果；（2）设DAC ∠θ=，在三角形,ADC ABC 中分别用正弦定理表示,BC AD ，从而建立BC AD -关于θ的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【详解】（1）因为π6B =，ABC 的外接圆半径为4，所以8sin ACB=，解得4AC =.在ABC 中，BC =8sin BC CAB ==∠，解得sin CAB ∠又π0,2CAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π4CAB ∠=；在ACD 中，4AC =，ππ24DAC CAB ∠=-∠=，AD =所以1442ACD S ∆=⨯⨯=.（2）设DAC ∠θ=，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.又2π3D =，所以π3ACD θ∠=-.因为π2DAB ∠=，所以π2CAB θ∠=-.在DAC △中，4AC =，由正弦定理得sin sin AC ADD ACD=∠，πsin 3ADθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得π1sin 32AD θθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭4cos θθ=.在ABC 中，4AC =，由正弦定理得sin sin AC BCB CAB=∠，即41πsin 22BC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得π8sin 8cos 2BC θθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以4cos BC AD θθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.又π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ32θ+=，即π6θ=时，πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，所以BC AD -.13．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.(1)若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小；(2)若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(1)=45ADC ∠︒2【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理可得AC =30BCA ∠=︒，然后在ADC △中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得BD =BCD ABD S S + 即可求解.【详解】（1）在ABC 中，AB BC ==120θ=°，所以30BCA ∠=︒，由余弦定理可得，2221262AC ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即AC =又BC CD ⊥，所以60ACD ∠=︒，在ADC △中，由正弦定理可得3sin 60=︒sin ADC ∠=因为AC AD <，所以060ADC ︒<∠<︒，所以=45ADC ∠︒.（2）在Rt BCD 中，BC CD ==BD =，所以，四边形ABCD 的面积1122BCD ABD S S S ABD=+=∠2sin ABD =∠，当90ABD Ð=°时，max 2S =，即四边形ABCD 2.14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角ABC 的三内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222(cos cos )b c b C c B bc +-⋅+⋅=，(1)求角A 的大小；(2)bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)(]6,9【分析】（1）由余弦定理将cos ,cos B C 化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；（2）利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.【详解】（1）()222cos cos b c b C c B bc +-+=Q ，由余弦定理可得22222222222a b c a c b b c b c bc ab ac ⎛⎫+-+-+-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，化简整理得222b c a bc +-=，又2222cos b c a bc A +-=，1cos 2A ∴=，又π02A <<，所以π3A =.（2）因为三角形外接圆半径为R b B =，c C =，12sin sin bc B C ∴=，由（1）得2π3B C +=，所以2π112sin sin 12sin sin 12sin sin 32bc B C B B B B B ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()2cos 6sin 231cos 2B B B B B =+=+-162cos 232B B ⎫=-+⎪⎪⎭π6sin 236B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ABC 是锐角三角形，且2π3B C +=，所以ππ62B <<，ππ5π2666B ∴<-<，1πsin 2126B ⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭，π66sin 2396B ⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎝⎭，即69bc <≤.所以bc 的取值范围为(]6,9.15．（2024·湖南邵阳·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC 的周长为sin sin sin sin a BA B C+-．(1)求C ；(2)若2a =，4b =，D 为边AB 上一点，π6BCD ∠=，求BCD △的面积．【答案】(1)2π3C =；【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出CD ，再求出BCD △的面积.【详解】（1）在ABC 中，sin sin sin sin a B A B C a b c +=-++，由正弦定理得aba b c a b c++=+-，整理得222a b c ab +-=-，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-，而0πC <<，所以2π3C =.（2）由D 为边AB 上一点，π6BCD ∠=及（1）得π2ACD ∠=，且+= ACD BCD ABC S S S ，即有1π1π12πsin sin sin 222623b CD a CD ab ⋅+⋅=，则4CD CD +=，解得CD =所以BCD △的面积1π1sin 2264BCD S a CD =⋅=⨯=16．（2024·广东梅州·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ⊥，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC 的面积ABC S ．【答案】(1)2π3A =(2)AC =ABC S 【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A 的值，结合(0,)A π∈即可求解A 的值；（2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得cos AB AD ABC ABC C BD BD ∠=∠===正弦定理即可求解.（Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．【详解】（1）cos sin B b A -=，cos sin sin A B B A C -=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin sin sin B A A B -=，因为B 为三角形内角，sin 0B >，所以sin A A -=，可得tan A =因为(0,π)A ∈，所以2π3A =；（2）（Ⅰ）此时22AB AD ==，AD AB ⊥，所以D B ==2π1cos sin 32AB AD ABC ABC C B BD BD ⎛⎫⎛⎫∠=∠===+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在ABC中，由正弦定理可得sin sin sin sin AC AB AB ABCAC ABC C C∠=⇒==∠=（Ⅱ）设CAD α∠=，由ABC BAD CAD S S S =+ ，2π2sin()sin 3b αα=-+2πsin 2sin()3b αα-=-有2,2πsin sin sin sin()3b CD BD ADC ADB αα==∠∠-，由于2BD DC =，所以sin sin 12πsin 22sin()3b ADB ADC αα∠⨯=∠-，所以2πsin()13sin sin 2b ααα-==⇒b =则1sin 2ABC S bc A ==17．（2024·广东广州·一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .已知222)S a c b =+-.(1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且π2ABD ∠=，22AD DC ==，求ABC 的周长.【答案】(1)2π3；(2)3+【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合B 的范围，即可求得结果；（2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得,AB BC ，即可求得三角形周长.【详解】（1）由222)S a c b =+-，则1sin 2cos 2ac B ac B ⋅=⋅，tan B =又()0,πB ∈，故2π3B =.（2）由（1）可知，2π3B =，又π2ABD ∠=，则π6CBD ∠=；由题可知，22AD DC ==，故()11213333BD BC CD BC CA BC BA BC BC BA =+=+=+-=+，所以2211103333BA BD BA BC BA c ac ⎛⎫⋅=⋅+=-= ⎪⎝⎭ ，因为0c ≠，所以a c =，π6A C ==，在Rt △ABD中，πcos6c AD =⋅=，故ABC的周长为33AB BC AC ++=+=+18．（2024·广东佛山·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中1a =，21cos 2c A b-=．(1)求角B 的大小；(2)如图，D 为ABC 外一点，AB BD =，ABC ABD ∠=∠，求sin sin CABCDB∠∠的最大值．【答案】(1)π3B =【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦定理可得sin sin CAB CDCDB AC∠=∠，再由余弦定理分别得到22,AC CD ，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为1a =，所以2cos 2c aA b-=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，可得2sin sin cos 2sin C A A B-=，整理可得2sin cos 2sin sin B A C A =-，又因为()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，化简可得sin 2sin cos A A B =，而sin 0A ≠，则1cos 2B =，又()0,πB ∈，则π3B =（2）在BCD △中，由sin sin BC CD CDB CBD=∠∠可得2sin 3sin CDB CD π∠=，在ABC 中，由sin sin BC AC CAB ABC=∠∠可得sin3sin CAB ACπ∠=，所以sin sin CAB CDCDB AC∠=∠，设()0AB BD t t ==>，由余弦定理2222cos CD BA BC BA BC CBD =+-⋅⋅∠，2222cos AC BA BC BA BC CBA =+-⋅⋅∠，可得221CD t t =++，221AC t t =+-，因此222221211311CD t t tAC t t t t++==+≤=+-+-，当且仅当1t t =时，即1t =等号成立，所以sin sin CABCDB∠∠1AB BD ==.19．（2024·河北石家庄·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，设向量(2sin )m A A A =，π2π(cos ,cos sin ),(),,63n A A A f A m n A ⎡⎤=-=⋅∈⎢⎥⎣⎦.(1)求函数()f A 的最大值;(2)若()0,sin f A a B C ==+=ABC 的面积.【答案】(2)ABC S !【分析】（1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得π()2sin(23f x A =+，再结合三角函数的值域计算即可求得；（2）由题中条件计算可得π3A =，再由正弦定理得b c +=，由余弦定理可得1bc =，再由三角形的面积公式计算即可求得．【详解】（1）()2sin cos )(cos sin )f x m n A A A A A A =⋅=+-22πsin 2sin )sin 222sin(2)3A A A A A A =-=+=+因为π2π,63A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π5π2,333A ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π233A +=，即π6A =时，()f x有最大值2=；（2）因为()0f A =，所以π2sin(2)03A +=，所以π2π,Z 3A k k +=∈，因为π2[,]63A A ∈，所以π3A =，由正弦定理得：22sin a R A===，所以sin 22b bB R ==，sin 22c c C R ==，又因为sin sin B C +=22b c +=所以b c +=，由余弦定理有：2222cos a b c bc A =+-，即23()3b c bc =+-，所以1bc =，所以11sin 122ABC S bc A ==⨯=△20．（2024·广东·一模）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos b c A a B C -=．(1)求cos B ；(2)若点D 在AC 上（与,A C 不重合），且π,24C ADB CBD =∠=∠，求CDAD 的值．【答案】(1)12(2)2【分析】（1）根据条件，边转角得到sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，再利用sin sin cos cos sin B A C A C =+即可求出结果；（2）根据题设得到π4DBC C ∠==，进而可求得5π12A =，π12ABD ∠=，再利用BCD ABD S CD AD S = ，即可求出结果.【详解】（1）由cos 2cos cos b c A a B C -=，得到sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，又sin sin(π)sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =--=+=+，所以cos sin 2sin cos cos C A A B C =，又三角形ABC 为锐角三角形，所以sin 0,cos 0A C ≠≠，得到12cos B =，即1cos 2B =.（2）因为2ADB CBD ∠=∠，又ADB ACB CBD ∠=∠+∠，所以ACB CBD ∠=∠，则BD CD =，所以π4DBC C ∠==，由（1）知，π3B =，则ππ5ππ3412A =--=，π5πππ21212ABD ∠=--=，则1ππ5πππsin sin sin sin sin cos1244124121ππππππsin sin sin sin sin sin tan 212124121212BCDABDBC BD A S CD AD S AB BD C ⋅⋅⋅======⋅⋅⋅ ，又πππtan tan(1243=-=2CD AD ==21．（2024·辽宁·二模）在ABC 中，D 为BC 边上一点，1DC CA ==，且ACD 面积是ABD △面积的2倍．(1)若AB =，求AB的长；(2)求sin sin ADBB∠的取值范围．【答案】(1)1(2)5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出,AB AD 的表达式，最后根据正弦定理求出sin sin ADBB∠的表达式，利用余弦函数的最值性质进行求解即可.【详解】（1）设BC 边上的高为AE ，垂足为E ，因为ACD 面积是ABD △面积的2倍，所以有113221222ACD ABDCD AES BD BC S BD AE ⋅==⇒=⇒=⋅ ，设AB x AD ==⇒=，由余弦定理可知：222222229111142cos 322211212x x AC BC AB AC DC AD C AC BC AC DC +-+-+-+-==⇒=⋅⋅⨯⨯⨯⨯，解得1x =或=1x -舍去，即1AB =；（2）由（1）可知13,22BD BC ==，设ADC θ∠=，由π2DC CA DAC ADC C θθ=⇒∠=∠=⇒=-且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：AD ==2cos θ==，AB ====，在ABD △中，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以由正弦定理可知：sin sin sin sin AB AD ADB ABADB B B AD∠=⇒=∠1144==，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()22211cos 0,1cos 0,1124255cos cos θθθθ∈⇒∈⇒>⇒+>⇒>，于是有sin 5sin 4ADB B ∠>，因此sin sin ADBB ∠的取值范围为5,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭..22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知π,4cos 24B bC a ==+.(1)求tan C ；(2)若ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.【答案】(1)1tan 2C =.【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得tan C .（2）根据三角形ABC 的面积求得ac ，根据同角三角函数的基本关系式求得sin ,cos A A ，利用正弦定理、向量数量积运算来求得BC 边上的中线长.【详解】（1）由正弦定理可得sin sin c bC B=，所以4sin cos 2sin B C C A =+，即2sin C C A +，又πA B C ++=，所以π2sin 4C C C C C ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，C C =，解得1tan 2C =；（2）依题意，113sin 222ac B ac ==，解得ac =又3π1tan tan tan 341tan CA C C--⎛⎫=-==- ⎪-⎝⎭，所以A 为钝角，所以由22sin 3cos sin cos 1AAA A ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩,解得sin A A ==由正弦定理可得sin sin c C a A ===，又ac =所以sin 3,sin c Ba cb C=====设BC 的中点为D ，则()12AD AB AC =+，所以222212cos 5()444b c bc A AD AB AC ++=+===，所以BC23．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m ）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上，从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角，16.5MCE ∠=︒（点E 在线段MO 上）．他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点，此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角48.5MDE ∠=︒，楼尖MN 的视角 3.5MDN ∠=︒（N 是楼尖底部，在线段MO 上）．(1)求楼高MO 和楼尖MN ；(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时，测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO．参考数据：sin16.5sin48.52sin325︒︒≈︒，8tan16.527︒≈，8tan48.57︒≈37.4,≈【答案】(1)41.7m ，5m (2)FO 为37．4m【分析】（1）法一：在CDM V 中，由正弦定理得，可得100sin 48.5sin 32CM ︒=︒，进而求得ME ，MO ，进而求得CE ，计算可求得楼离MO 和楼尖MN ；法二：利用tan ME CE MCE=∠，tan MEDE MDE =∠，可求得ME ，进而计算可求得楼离MO 和楼尖MN ；（2）设m FO x =，40tan MGE x∠=，35tan NGE x ∠=，进而可得()tan tan MGN MGE NGE ∠=∠-∠403540351x x x x -=+⋅，利用基本不等式可求得楼尖MN 的视角最大时x 的值．【详解】（1）法一：16.5MCE ∠=︒，48.5MDE ∠=︒，∴32DMC ∠=︒．在CDM V 中，由正弦定理得，sin sin CD CDMCM DMC∠=∠，又100m CD =，∴()100sin 18048.5100sin 48.5sin 32sin 32CM ︒-︒︒==︒︒．∴100sin 48.5sin16.5sin 40m sin 32ME CM MCE ︒︒=∠==︒，∴40m 1.7m 41.7m MO ME EO =+=+=．40401358tan tan16.527ME CE MCE ====∠︒（m ）．∴35m DE CE CD =-=．∵45NDE MDE MDN ∠=∠-∠=︒，∴35m NE DE ==，5m MN ME NE =-=．法二：tan ME CE MCE=∠，tan MEDE MDE =∠，∴100tan tan ME MECE DE MCE MDE-=-=∠∠，即27710088ME ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，∴40m ME =，∴40m 1.7m 41.7m MO ME EO =+=+=．40401358tan tan16.527ME CE MCE ====∠︒m ．∴35m DE CE CD =-=．∵45NDE MDE MDN ∠=∠-∠=︒，∴35m NE DE ==，5m MN ME NE =-=．（2）设m FO x =，40tan MGE x∠=，35tan NGE x ∠=，∴()tan tan tan tan 1tan tan MGE NGEMGN MGE NGE MGE NGE∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠40355403540351x x x x x x -==≤=⨯+⋅+当且仅当4035x x⨯=，即37.4x ≈时，等号成立．∴测角仪底到楼底的距离FO 为37．4m 处时，测得楼尖MN 的视角最大．24．（2024·重庆·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．(1)求角A 的大小；(2)若BP PC =，且2b c +=，求AP 的最小值．【答案】(1)π3A =；【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin a B b A =又由2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦知2π2sin cos 2cos 122122B B A a b ⎡⎤⎛⎫=⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即πsin cos 6a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得πsin cos 6b A b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得π1sin cos sin 62A A A A ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，得1sin 2A A =，所以tan A =又因为()0,πA ∈，所以π3A =．（2）由BP PC =，得1122AP AB AC =+ ，所以22221111122442AP AB AC AB AC AB AC⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭ 2222111111cos 442444c b bc A c b bc =++=++()()()22221133442164b c b c bc b c b c ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤=+-≥+-=+=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当2b c b c =⎧⎨+=⎩，即1b c ==时等号成立，故AP25．（2024·山西朔州·一模）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m a b c n A C A B =+=-- ，且//m n．(1)求B ；(2)求222b a c +的最小值．【答案】(1)π3B =(2)12【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可得222a c b ac +-=，结合余弦定理可求B ；（2）利用基本不等式可求最小值.【详解】（1）因为//m n ，所以()()()sin sin sin sin a b A B c A C +-=-，由正弦定理可得()()()a b a b c a c +-=-即222a b ac c -=-，故222a cb ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，而B 为三角形内角，故π3B =.（2）结合（1）可得：2222222221ac b a c ca c c c a a a +==+--++,2211111222c a c a a c c a -≥-=-=+，当且仅当a c =时等号成立，故222b a c+的最小值为12.26．（2024·河南开封·二模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos sin b A B =．(1)求sin A ；(2)若a =①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求ABC 的面积．条件①：=b ；条件②：b =③ ：1sin 3C =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)sin A =；(2)答案见解析.【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.（2）选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角形不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.【详解】（1）由cos sin b A B =得：sin cos sin B A A B =，而sin 0B ≠，则cos 0A A =>，A 为锐角，又22sin cos 1A A +=，解得sin A =所以sin A =且A 为锐角.（2）若选条件①，由sin A =A为锐角，得cos A =由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，又=b ，则222364c c c =+-，解得1,c b ABC ==唯一确定，所以1sin 2ABC S bc A ==.若选条件②，由正弦定理得sin sin a b A B=，则sin 1B =<，由b a =>=B A >，因此角B 有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.若选条件③，由sin A =，A为锐角，得cos A又1sin sin 3A C =>=，得a c >，A C >，则cos C =，因此sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ABC =+=+=唯一确定，由正弦定理得sin sin a cA C=，则1c ==，所以1sin 2ABC S ac B ==△。
2014高考数学三轮冲刺 三角函数课时提升训练(4)
2014高考数学三轮冲刺三角函数课时提升训练（4）一、填空题（每空？分，共？分）1、给出下列命题：①存在实数α，使sinαcosα=1成立；②存在实数α，使sinα+cosα=成立；③函数是偶函数；④方程是函数的图象的一条对称轴方程；⑤若α．β是第一象限角，且α>β，则tgα>tgβ。
其中正确命题的序号是__________________2、设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数中，所有正确结论的编号为3、函数有最大值，最小值，则实数的值为____4、若，则的最大值为_______．5、下列命题中：（1）的充分不必要条件；（2）函数的最小正周期是；（3）中，若，则为钝角三角形；（4）若，则函数的图像的一条对称轴方程为；其中是真命题的为6、已知函数，.设是函数图象的一条对称轴，则的值等于．7、函数f（x）= 2sin（2x+)-cos(－2x)+ cos（2x+)，给出下列4个命题，其中正确命题的序号是。
①直线x=是函数图像的一条对称轴；②函数f（x）的图像可由函数y=sin2x的图像向左平移个单位而得到；③在区间[，]上是减函数；④若，则是的整数倍；8、设函数，若是奇函数，则的一个可能值是．9、已知，，则等于▲ .10、设函数，其中，将的最小值记为的单调递增区间为▲ .11、设的内角所对的边长分别为，且，则_______二、简答题（每空？分，共？分）12、已知函数（,,）的图像与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和（1）求函数的解析式；（2）若锐角满足，求的值．13、设函数，它的一个最高点为以及相邻的一个零点是。
（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求的值域14、已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)若存在，使不等式成立，求实数m的取值范围.15、已知函数，若对恒成立，且。
（1）求的解析式；（2）当时，求的单调区间。
高考数学三轮冲刺 基本初等函数课时提升训练(3)(1)
2014高考数学三轮冲刺基本初等函数课时提升训练（3）2、已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3），其中0＜a＜1，记函数f（x）的定义域为D．（1）求函数f（x）的定义域D；（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值；（3）若对于D内的任意实数x，不等式﹣x2+2mx﹣m2+2m＜1恒成立，求实数m的取值范围．5、设，，Q=；若将，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列的前三项.（1）试比较M、P、Q的大小; （2）求的值及的通项；（3）记函数的图象在轴上截得的线段长为，设，求，并证明.6、已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”.(1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;(2)求函数图像对称中心的坐标;7、设集合A为函数y ＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋的值域，集合C为不等式(ax－)(x ＋4)≤0的解集． (1) 求A∩B； (2) 若，求a的取值范围．8、已知函数(a、b是常数且a>0，a≠1)在区间[－，0]上有y max=3，y min=，试求a和b的值.10、已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a＞1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．11、设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．14、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．⑴试规定的值，并解释其实际意义；⑵试根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质；⑶设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用那种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．17、函数的反函数________________．19、设a=log32，b=ln2，c=，则a，b，c的大小关系为．20、函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是．23、27、已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则在直角坐标系中函数g（x）=的图象为（）28、设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（），31、对于a＞0，a≠1，下列说法中正确的是 ( )①若M＝N，则log a M＝log a N；②若log a M＝log a N，则M＝N；③若log a M 2＝log a N 2，则M＝N；④若M＝N，则log a M 2＝log a N 2.A．①②③④ B．①③ C．②④ D．②32、已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．33、函数的图象必经过点（）A. (0,1)B. (1,1)C. (2,0)D. (2,2)34、设函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1），给出下述命题：①函数f（x）的值域为R；②函数f（x）有最小值；③当a=0时，函数f（x）为偶函数；④若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围a≥﹣4．正确的命题是（）36、设p：f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的（）37、给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）39、下列不等式对任意的恒成立的是（）A． B． C． D．40、已知偶函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R），（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．2、解：（1）要使函数有意义：则有，解得﹣3＜x＜1∴函数的定义域D为（﹣3，1）…（2分）（2）f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）=log a（1﹣x）•（x+3）=log a[﹣（x+1）2+4]，∵x∈（﹣3，1）∴0＜﹣（x+1）2+4≤4∵0＜a＜1∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，f（x）的最小值为log a4，∴log a4=﹣4，即a=（3）由题知﹣x2+2mx﹣m2+2m＜1在x∈（﹣3，1）上恒成立，⇔x2﹣2mx+m2﹣2m+1＞0在x∈（﹣3，1）上恒成立，…（8分）令g（x）=x2﹣2mx+m2﹣2m+1，x∈（﹣3，1），配方得g（x）=（x﹣m）2﹣2m+1，其对称轴为x=m，①当m≤﹣3时，g（x）在（﹣3，1）为增函数，∴g（﹣3）=（﹣3﹣m）2﹣2m+1=m2+4m+10≥0，而m2+4m+10≥0对任意实数m恒成立，∴m≤﹣3．…（10分）②当﹣3＜m＜1时，函数g（x）在（﹣3，﹣1）为减函数，在（﹣1，1）为增函数，∴g（m）=﹣2m+1＞0，解得m＜．∴﹣3＜m＜…（12分）③当m≥1时，函数g（x）在（﹣3，1）为减函数，∴g（1）=（1﹣m）2﹣2m+1=m2﹣4m+2≥0，解得m≥或m≤，∴﹣3＜m＜…（14分）综上可得，实数m的取值范围是（﹣∞，）∪[，+∞）…（15分）点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的定义域及求法，函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．5、解析：（1）由……1分得……2分3分…4分，又当时，，当时，即，则 5分当时，，则当时，，则……6分（2）当时，即解得，从而…7分当时，即 , 无解. …8分（3）设与轴交点为，当=0时有…9分又，……10分…11分…14分6、(1)平移后图像对应的函数解析式为, 整理得,由于函数是奇函数, 由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是.(2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数.设则,即.由不等式的解集关于原点对称,得. 此时.任取,由,得, 所以函数图像对称中心的坐标是. 7、解：(1)由－x2－2x＋8>0，解得A＝(－4,2)，又y＝x＋＝(x＋1)＋－1，所以B＝(－∞，－3]∪ [1，＋∞)．所以A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)因为∁R A＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)．由(x＋4)≤0，知a ≠0.①当a>0时，由(x＋4)≤0，得C＝，不满足C⊆∁R A；②当a<0时，由(x＋4)≥0，得C＝(－∞，－4)∪，欲使C⊆∁R A，则≥2，解得－≤a<0或0<a≤.又a<0，所以－≤a<0.综上所述，所求a的取值范围是.8、解：令u=x2+2x=(x+1)2－1 x∈[－，0] ∴当x=－1时，u min=－1 当x=0时，u max=010、解（1）∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．（2分）化简此式，得（m2﹣1）x2﹣（2m﹣1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），必有，解得m=1．（4分）∴．（5分）（2）当a＞1时，函数上是单调减函数．理由：令．易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小，（6分）故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小．（8分）于是，当a＞1时，函数上是单调减函数．（10分）（3）∵A=[a，b）⊆D，∴0＜a＜1，a＜b≤1．（11分）∴依据（2）的道理，当0＜a＜1时，函数上是增函数，（12分）即，解得．（14分）若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1）∴必有b=1．（16分）因此，所求实数a、b的值是．11、解：==2+令g（x）=（x∈[﹣π，π]），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g （x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：414、 15、16、解：由题知：log2（x﹣1）≠0，且x﹣1＞0，解得x＞1且x≠2，又因为|x﹣2|﹣1≥0，解得：x≥3或x ≤1，所以x≥3．故答案为：{x|x≥3}．17、 18、19、解：∵a=log32=＜ln2b=In2＜lne=1且b=In2＞ln=c==＜∴c＜a＜b20、解：要使函数的解析有有意义则2x+1＞0故函数的定义域为（﹣，+∞）由于内函数u=2x+1为增函数，外函数y=log5u也为增函数故函数f（x）=log5（2x+1）在区间（﹣，+∞）单调递增故函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）22、．－18 23、 26、B27、解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）=x﹣4+=x+1+=1当且仅当x+1=即x=2时取等号，此时函数有最小值1∴a=2，b=1，此时g（x）==，此函数可以看着函数y=的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知B正确28、解：∵当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，∴当x∈（0，2]时，﹣x∈[﹣2，0），∴f（﹣x）=﹣1=﹣1，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=﹣1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4+x）=f（﹣x）=f（x），∴f （x）是以4为周期的函数，∵在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，令h（x）=log a（x+2），即f（x）=h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内有有4个交点，在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，∴0＜log a（6+2）＜1，∴a＞8．故选D．30、B 31、D 32、C 33、D34、解：∵u=x2+ax﹣a﹣1的最小值为﹣（a2+4a+4）≤0∴①函数f（x）的值域为R为真命题；但函数f（x）无最小值，故②错误；当a=0时，易得f（﹣x）=f（x），即③函数f（x）为偶函数正确；若f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，则解得a＞﹣3，故④错误；故选A36、解：若f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，则f′（x）=+4x+m≥0在（0，+∞）上恒成立即m≥﹣（+4x）在（0，+∞）上恒成立∵﹣（+4x）≤﹣2=﹣4∴m≥﹣4，∵{m|m≥﹣4}⊆{m|m≥﹣5}∴p是q的充分不必要条件故选A37、解：f（x）=3x是指数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B38、B 39、A40、解：（Ⅰ）由f（x）=f（﹣x）得到：f（﹣1）=f（1）⇒log4（4﹣1+1）﹣k=log4（4+1）+k，∴．（Ⅱ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点即方程有且只有一个实根化简得：方程有且只有一个实根令t=2x＞0，则方程有且只有一个正根①，不合题意；②或﹣3若，不合题意；若③若一个正根和一个负根，则，即a＞1时，满足题意．所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=﹣3}。
高三数学补差提高班(解三角形)
【考点1】利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos2=C ，1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BC D．2．（2017新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )B A C C +- 0=，2a =，c =C =A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π3．（2016山东）中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知，则A = A ．B ．C ．D ．4．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为A ．3 B ．6 C ．3 D ．65.（2017新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 2cos cos cos b B a C c A =+，则B = 6．（2016全国Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，若， ，，则_____． 7．(2015新课标1)在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是_______．8．（2011新课标）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB+2BC 的最大值为____．ABC △22,2(1sin )b c a b A ==-3π4π3π4π6C4cos 5A =5cos 13C =1a =b =【考点2】利用正余弦定理求三角形面积1．(2018全国卷Ⅲ)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π2．(2014新课标2)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC AC =A ．5BC ．2D ．13．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若2c =2()6a b -+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 4．(2018全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知 sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为__．5．(2018北京)若ABC △的面积为222()4a cb +-，且C ∠为钝角，则B ∠= ；c a 的取值范围是 ．6．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．7．（2017浙江）已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =． 点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则BDC ∆的面积是_______，cos BDC ∠=_______． 8．（2015天津）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为 ．【考点3】正余弦定理的综合应用1．（2018天津）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-．(1)求角B 的大小；(2)设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．2．（2017新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ；(2)若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长．3．（2017新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =2b =． (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求ABD ∆的面积．4．（2015新课标2）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．(Ⅰ)求sin sin BC； (Ⅱ) 若AD =1，DC，求BD 和AC 的长．5．（2015新课标1）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（Ⅰ）若a b =，求cos ;B （Ⅱ）若90B =，且a =ABC ∆的面积．6．（2013新课标1）如图，在ABC ∆中，∠ABC ＝90°，ABBC =1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°． （Ⅰ）若PB =12，求P A ； （Ⅱ）若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．7．（2013新课标2）ABC ∆在内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求△面积的最大值．【考点1】利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长 1．A,,A B C ,,a b c cos sin a b C c B =+B 2b =ABC2．B 【解析】由sin sin (sin cos )B A C C +-0=，得s i n ()s i n (s i n c o s )0A C A C C ++-=，即sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，所以sin (sin cos )0C A A +=，因为C 为三角形的内角，所以sin 0C ≠，故sin cos 0A A +=，即tan 1A =-，所以34A π=．由正弦定理sin sin a c A C =得，1sin 2C =，由C 为锐角，所以6C π=，选B ．3．C 【解析】由余弦定理得222222cos 22cos a b c bc A b b A =+-=-，所以222(1sin )2(1cos )b A b A -=-，所以sin cos A A =，即t a n 1A =，又0A π<<，所以4A π=．4．D 【解析】设AB c =，则AD c =，BD =，BC =ΔABD 中，由余弦定得2222413cos 23c c c A c +-==，则sin 3A =，在ΔABC 中，由正弦定理得sin sin c BC C A ==解得sin 6C =． 5．3π 6．2113【解析】∵4cos 5A =，5cos 13C =，所以3sin 5A =，12sin 13C =，所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A=解得2113b =． 7．【解析】如图作PBC ∆，使75B C ∠=∠=，2BC =，作出直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点（不与端点重合），且使75BAD ∠=，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形，过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在PBC ∆中，可求得BP =，在QBC ∆中，可求得BQ =AB的取值范围为．8．【解析】在ABC ∆中，根据sin sin sin AB AC BC C B A ==，得s i n n 2s i n s i n AC AB C C C B =⋅=，2sin BC A =， 22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+ 【考点2】利用正余弦定理求三角形面积 1．C 2．B 3．C 4．sin sin 4sin sin b C c B a B C +=得，sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，因为s i n s i n 0B C ≠，所以1s i n 2A =，因为2228b c a +-=，222cos 02b c a A bc +-=>，所以cos A =所以bc =，所以111sin 222ABC S bc A ∆===．5．60(2,)︒+∞【解析】ABC △的面积2221sin )2cos 2S ac B a c b ac B =+-=，tan B = 0180A <∠<， 60B ∠=．因为C ∠为钝角，所以030A <∠<，所以0tan A <<，222sin()sin cos cos sin sin 13332sin sin sin 2A A Ac Ca AA A πππ--====>，故ca的取值范围为(2,)+∞． 6．9【解析】因为120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，所以60ABD CBD ∠=∠=，由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+，化简得ac a c =+，又0a >，0c >，所以111a c +=，则1144(4)()552c a a c a c a c a c+=++=+++≥，当且仅当2c a =时取等号，故4a c +的最小值为9．7由余弦定理可得，2222224241cos 22424AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=所以sin 4ABC ∠===， 1sin 2BDC S BD BC DBC ∆=⨯⨯∠11sin()sin 22BD BC ABC BD BC ABC π=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=．因为B D B =，所以D B C ∠=∠，所以2A B C D B C D D ∠=∠+∠=∠，cos cos 2ABC BDC∠∠== 8．8 【解析】因为0A π<<，所以sin A ==，又1sin 2ABCS bc A ∆===24bc ∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩，得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =． 【考点3】正余弦定理的综合应用 1.【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B =，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πs i nc o s ()6a B a B =-，即πs i n c o s ()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πs i nc o s ()6b A a B =-，可得sin A =．因为a c <，故c o s A =．因此sin 22sin cos A A A ==，21cos 22cos 17A A =-=． sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-= 2．【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A =由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =．故2s i n s i n 3B C =．（2）由题设及（1）得121c o s ()c o s c o s s i n s i n 632B C B C B C +=-=-=-所以2π3B C +=，故π3A =．由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =．由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c b c +-=，得b c +=ABC △的周长为3 3．【解析】（1）由已知得tan A =23A π=．在ABC ∆中，由余弦定理得222844cos3c c π=+-，即2+224=0c c -．解得6c =-（舍去），4c = （2）有题设可得2CAD π∠=，所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=．故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin 26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅．又ABC∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=ABD ∆4．【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠因为2AB DA D CS S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠． (Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD 在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．5．【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得22b ac =．又a b =，可得2b c =，2a c =，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知22b ac =．因为90B =，由勾股定理得222a c b +=．故222a c ac +=，得c a =．所以ABC ∆的面积为1．6．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC =，∴∠PBA =30o ，在△PBA 中，由余弦定理得==，∴P A =；（Ⅱ）设∠PBA =，由已知得，PB =，在△PBA 中，由正弦定理得，，化简得，，∴=，∴=． 7．【解析】（Ⅰ）因为cos sin a b C c B =+，所以由正弦定理得sin sin cos sin sin A B C C B =+所以s i n ()s i n c o s s i n B C B C C B +=+，即c o s s i n s i ns i B C C B =，因为sin C 0，所以，解得B =；（Ⅱ）由余弦定理得：，即，由不等式得：，当且仅当时，取等号，所以，解得所以△ABC 的面积为，所以△面积的最．o602PA o 1132cos3042+-742αsin αosin sin(30)α=-4sin αα=tan α4tan PBA ∠4≠tan 1B =4π2222cos4b ac ac π=+-224a c =+222a c ac +≥a c =4(2ac ≥4ac ≤+1sin 24ac π(4≤+1ABC 1。
高考数学三轮冲刺 三角函数课时提升训练(1) (2)
2014高考数学三轮冲刺三角函数课时提升训练（1）1、A．B． C． D．2、函数是（）A．周期为π的偶函数 B．周期为2π的偶函数 C．周期为π的奇函数 D．周期为2π的奇函数3、设，则有 ( )A．O>b>c B．O<b<c C．O<c<6 D．6<c<O4、已知的值为 ( )A. B. C. D.5、已知函数f（x）=asinx+acosx（a＜0）的定义域为[0，π]，最大值为4，则a的值为（）A．﹣B．﹣2C．﹣D．﹣46、将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（）A. B. C.0D.7、函数（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到的图象，则只要将的图象( )A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8、的值为A. B. C.D. ．9、已知函数的最大值为，最小值为，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，则符合条件的解析式为A .B.C. D.10、如图为函数（其中）的部分图象，其中两点之间的距离为，那么( )A． B．C ． D． 111、若，是第三象限的角，则等于( ) A． B.C. -2D. 212、设函数，其中为已知实数，，则下列各命题中错误的是…（）．若，则对任意实数恒成立; ．若，则函数为奇函数; ．若，则函数为偶函数; ．当时，若，则13、已知，函数在单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D ．14、函数的部分图象如图所示，则函数表达式（）A． B．C． D．15、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是 A.①② B.①④ C.②③ D.③④16、若且则的可能取值是（）A. BC. D.17、已知，且在第三象限，则的值为 A. B.C. D.18、设函数f(x)＝sin(w x＋)＋sin(w x－)(w＞0)的最小正周期为π，则A．f(x)在(0, )上单调递增 B．f(x)在(0, )上单调递减 C．f(x)在(0, )上单调递增 D．f(x)在(0, )上单调递减19、已知，，那么的值是（）A． B． C． D．20、已知，，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．21、若直线与函数的图像不相交,则 A. B.C. 或D. 或22、等于( )A. B. C. D.23、已知f（x）＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤｜f（）｜对一切x∈R恒成立，且f（）＞0，则f（x）的单调递增区间是 A．[kπ－，kπ＋]（k∈Z） B．[k π＋，kπ＋]（k∈Z）C．[kπ，kπ＋]（k∈Z） D．[kπ－，kπ]（k∈Z）24、给出下列命题，其中正确的有（）①存在实数，使得；②若，则是第一象限角或第四象限角；③函数是偶函数；④若是第二象限角，且是终边上异于坐标原点的一点，则．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个25、函数的值域是：(A) (B) (C)(D)26、设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)27、已知函数y=sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．928、已知函数，则A．函数的周期为 B．函数在区间上单调递增C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称29、设函数为（） A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数30、已知锐角θ的终边上有一点，则锐角θ= A．85° B．65° C．10° D．5°31、有四个关于三角函数的命题：其中真命题的是 A． B． C．D．32、对于函数，则下列说法正确的是A．该函数的值域是 B．当且仅当时，C．当且仅当时，该函数取得最大值1D．该函数是以为最小正周期的周期函数33、若（为常数）的最大值是，最小值是，则的值为（）A．B．或C．D．34、的值为（）A.B. C.D.35、已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为（）A．B．C．D．36、若函数，则是（）A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为2的偶函数 D．最小正周期为的奇函数37、函数y=的图象的一条对称轴为( ) A．B．C．D．38、设函数，对任意，若，则下列式子成立的是A． B． C． D．39、= （） A．4 B．2C． D．40、已知函数的图象过点，若有4个不同的正数满足，且，则等于（）A．12 B．20 C．12或20 D．无法确定1、B2、D3、C4、A5、D6、B7、B8、C9、A 10、C11、A 12、D【解析】试题分析：由函数，可化简得：，则，，则在中，若，则，即正确; 在中，若，则函数，有是奇函数，即正确; 在中，若，则函数，有是偶函数，即正确;在中，由知不同时为，则函数的最小正周期为，若，则，即错误．13、A 14、D 15、 D 16、A17、A 18、B 19、B 20、C 21、C 22、B 23、B 24、A25、B 26、A 27、C解答：解：函数y=sin的周期T=6，则≤t，∴t≥，∴t min=8．故选C．28、C29、A 30、A 31、B 32、B【解析】由图象知，函数值域为，A错；当且仅当时，该函数取得最大值，C错；最小正周期为，D错．故选B．33、B 34、B 35、B 36、D 37、 C 38、B 39、D 40、C。
高一数学解三角形提升训练
高一数学解三角形提升训练 １、正弦定理(1）B A b a sin sin =;（2)A R a sin 2=;(３)Ra A 2sin = 例题:（２０10·重庆文科）设△AB Ｃ中，．(1）求的值.(2）求AC B A 2cos 14sin 4sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ的值． 解:(1)由余弦定理得:222cos 2b c a A bc +-=, 又因为22233342b c a bc +-=，所以222423bc b c a +-=, 所以42223cos 23A bc ==, 因为0A π<<，所以22221sin 1cos 1()33A A =-=-=，即sin A 的值是13;(第2题答案少了个负号） (2）2sin()sin()441cos 2ABC A ππ+++-2sin()sin()44=1cos 2A A Aπππ+-+- 22sin()sin()442sin A A Aππ+-=22222)()22222sin A A A A A +-= 2(sin cos )(sin cos )2sin A A A A A +-=222sin cos 2sin A A A -=5.3-= 2、三角形面积问题。
掌握基本公式B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21=== 例题:在锐角三角形中,边a 、b 是方程0232=+-x x 的两根，角A 、B 满足２()B A +sin －3=0,求角C 的度数，边c 的长度及△AB Ｃ的面积。
解:由2()B A +sin －3=０,()23sin =+B A 所以23sin =C ,故3π=C 或32π=C 又△ABC 为锐角三角形,故3π=C由余弦定理得：C ab b a c cos 2222-+=()C ab ab b a cos 222--+=又边a 、b 是方程0232=+-x x 的两根,故2,3==+ab b a从而33cos 2222322=⨯⨯-⨯-=πc ，即3=c 故23sin 21==C ab S ３、实际应用问题例题:某观察站Ｃ在A 城的南偏西20°方向，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东４0°，距C 处３１千米的公路上的B 处有一人正沿公路向Ａ城走去,走了20千米后到达D 处， 此时ＣD 距离为21千米,问人还需走多少千米才能到达A 城? 解: 设A Ｄ＝x ,AC=ｙ，2222040602cos6021,BAC ACD x y xy ∠=︒+︒=︒∴∆+-︒=在中有44122=-+xy y x 即 ①而在△A ＢC 中, ,3160cos )20(2)20(222=︒+-++y x y x即561204022=-+-+y x xy y x ②②—①得62-=x y ,代入①得013562=--x x 得)(15km x =,即此人还需走１5km 才能到达A 城. 4、判断三角形形状例题：在ABC ∆中,，试判断ABC ∆的形状。
高考数学三轮冲刺 集合与函数课时提升训练(1)
集合与函数（1）1、已知定义在R上的函数满足：①②当时，；③对于任意的实数均有。
则．2、定义域为R的函数的值域为，则m+n=__________．3、已知定义在R上的函数=__________．4、已知定义在R上的奇函数，且在区间上是增函数，若方程=________．5、若函数的定义域为，则的取值范围为_______.6、设函数，则实数a的取值范围为。
7、设定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，。
则___________.8、已知集合,且若则集合最多会有_ __个子集.9、设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时且，则不等式的解集为10、设是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C.１ D.３11、已知上的减函数，那么a的取值范围是（）A． B． C．（0，1） D．12、已知是（）上是增函数，那么实数的取值范围是A.(1,+)B.C.D.(1,3)13、已知函数是奇函数，是偶函数，且=A.-2B.0C.2D.314、函数的图象关于（）A．y轴对称 B．直线对称 C．点（1，0）对称 D．原点对称15、定义行列式运算：所得图象对应的函数是偶函数，的最小值是（） A． B．1 C． D．216、用表示以两数中的最小数。
若的图象关于直线对称，则t的值为（）A．—2 B．2 C．—1 D．117、若函数分别是R上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A．B．C．D．18、已知函数，则下列四个命题中错误的是（）A．该函数图象关于点（1，1）对称；B．该函数的图象关于直线y=2-x对称；C．该函数在定义域内单调递减；D．将该函数图象向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度后与函数的图象重合19、已知=tan-sin+4(其中、为常数且0),如果,则(2010-3)的值为 ( )A.-3B. -5C. 3D.520、如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（）21、已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a3＞0，则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值( )A．恒为正数 B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负22、f（x）是定义域为R的增函数，且值域为R＋，则下列函数中为减函数的是（）A．f（x）+ f（－x） B．f（x）－f（－x） C．f（x）·f（－x） D．23、若非空集合S{1,2,3,4,5}，且若a∈S，则必有6－a∈S，则所有满足上述条件的集合S共有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个24、已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．925、设则的值为（）26、若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（）27、若函数, 则该函数在上是( )单调递减无最小值单调递减有最小值单调递增无最大值单调递增有最大值28、设函数是定义在R上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围是（）A． B．（1，+∞） C． D．（-1，+∞）29、已知二次函数满足条件：①对任意x∈R,均有②函数的图像与y=x相切．(1)求的解析式；(2) 若函数，是否存在常数t (t≥0)，当x∈[t,10]时，的值域为区间D，且D的长度为12－t，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由(注：的区间长度为)．30、设函数f（x）＝ka x－a－x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．⑴若f（1）＞0，试求不等式f（x2＋2x）＋f（x－4）＞0的解集；⑵若f（1）＝，且g（x）＝a2x＋a－2x－2mf（x）在[1，＋∞）上的最小值为－2，求m的值．31、已知函数为偶函数．(1)求的值;(2)若方程有且只有一个根, 求实数的取值范围．32、已知函数，（为正常数），且函数与的图象在轴上的截距相等。
高考数学三轮冲刺三角函数课时提升训练(2).docx
三角函数课时提升训练（2）1、如图所示，M，N是函数y＝2sin（wx＋）（ω＞0）图像与x轴的交点，点P在M，N之间的图像上运动，当△MPN面积最大时·＝0，则ω＝（）A． B． C．D．82、若对任意实数都有,且,则实数的值等于( )（A）（B）（C）－3或1 （D）－1或33、给定命题：函数和函数的图象关于原点对称；命题：当时，函数取得极小值．下列说法正确的是（） A.是假命题 B.是假命题C.是真命题D.是真命题4、函数f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx﹣cosπx|对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为（）A．B．1 C．2 D．45、设A，B，C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2﹣5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上均有可能6、函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．x=1 D．x=27、在同一平面直角坐标系中，画出三个函数，，的部分图象（如图），则（）A．a为f（x），b为g（x），c为h（x）B．a为h（x），b为f（x），c为g（x）C．a为g（x），b为f（x），c为h（x）D．a为h（x），b为g（x），c为f（x）8、式子满足，则称为轮换对称式．给出如下三个式子：①；②；③是的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（）A． B. C. D.9、设且，则（）A． B. C. D.10、设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a、b、α、β均为非零实数，若f（1988）=3，则f （2013）的值为（）A．1 B．5 C．3 D．不确定11、已知sinθ=，cosθ=，其中θ∈[]，则下列结论正确的是（）A．m∈[3，9] B．m∈（﹣∞，5）∪[3，C．m=0或m=8 D．m=8+∞）12、函数y=sin（3x+）•cos（x ﹣）+cos（3x+）•cos（x+）的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=13、已知f（1+cosx）=cos2x，则f（x）的图象是下图的（）A ．B．C．D．14、已知下列四个命题:①把y=2cos(3x+)的图象上每点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍,再把图象向右平移单位,所得图象解析式为y=2sin(2x )②若m∥,n ∥,⊥,则m⊥n③在△ABC 中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM 上且满足等于.④函数=xsinx 在区间上单调递增,在区间函数f上单调递减.其中是真命题的是( )A.①②④ B.①③④ C.③④ D.①③15、使得函数既是奇函数又是偶函数的实数的值是（）A． B． C． D．不存在的16、设向量，定义一运算：.已知的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是A. B. C. D.17、将函数的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为( )A． B. C． D．18、已知函数，则( )A. B. C.D.19、中，三内角成等差数列，则的最大值为( )A．B． C．D．20、直线与的图象在轴右侧从左至右的第个交点的横坐标记为，若数列为等差数列，则( )A． B． C．或D．或．21、6.函数的部分图象如图所示，设为坐标原点，是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（A）（B）（C）（D）22、已知，，则的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．或Ｄ．或23、函数的图象大致是24、已知平面上三点共线，且,则对于函数，下列结论中错误的是（）A.周期是 B.最大值是2C.是函数的一个对称点 D.函数在区间上单调递增25、已知则的值（）A．随着k的增大而增大 B．有时随着k的增大而增大,有时随着k的增大而减小C．随着k的增大而减小 D．是一个与k无关的常数26、已知函数，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为（）A．B．C．D．27、函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为A. B. C.D.28、已知函数的图像如左图所示，则函数的图像可能是（）29、函数在坐标原点附近的图象可能是（）30、设函数．(1)当≤≤时，用表示的最大值；（2）当时，求的值，并对此值求的最小值；（3）问取何值时，方程=在上有两解？31、已知函数，如图，函数上的图象与轴的交点从左到右分别为M，N，图象的最高点为P，则的夹角的余弦值是（）A．B． C．D．32、下图是函数的图象的一部分,则函数的解析式以及的值分别为【】.A.,B.,C.,D.,33、已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（）A ． B. C. D．34、设偶函数（的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL＝1，则的值为（）(A)(B) (C) (D)35、定义行列式运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得函数的表达式是（）A ．B ．C ．D ．36、函数的图象为，如下结论中正确的是①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象（A）①②③（B）②③④（C）①③④（D）①②③④37、已知函数为偶函数，其图像与直线某两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，则该函数在区间（）上是增函数．A ．B ．C ．D ．38、函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为（A ）（B ）（C）（D）39、某同学对函数进行研究后，得出以下五个结论：①函数的图象是中心对称图形；②对任意实数，均成立；③函数的图象与轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数的图象与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；⑤当常数满足时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点。
2014年高考数学三轮专项模拟三角函数、解三角形与平面向量试卷理
三角函数、解三角形与平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么∁U P ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 ∵x 2≤1⇔－1≤x ≤1， ∴∁U P ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】 D2．(2013·江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1] 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0x ≥0得，函数定义域为[0,1)．【答案】 B3．(2012·重庆高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件【解析】 ①∵f (x )在R 上是偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称． ∵f (x )为[0,1]上的增函数，∴f (x )为[－1,0]上的减函数．又∵f (x )的周期为2，∴f (x )为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数． ②∵f (x )为[3,4]上的减函数，且f (x )的周期为2， ∴f (x )为[－1,0]上的减函数．又∵f (x )在R 上是偶函数，∴f (x )为[0,1]上的增函数．由①②知“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的充要条件． 【答案】 D4．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1【解析】 f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x 2， ∴a ＝12＋sin (2lg 5)2，b ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2lg 152＝12－sin (2lg 5)2. 因此，a ＋b ＝1. 【答案】 C5．(2013·重庆高考)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0【解析】 因为“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，綈p (x )”，故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 20<0”．【答案】 D6．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定【解析】 由正弦定理，得a 2＋b 2<c 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，则C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C7．(2013·福建高考)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π6 【解析】 ∵P ⎝⎛⎭⎫0，32在f (x )的图象上， ∴f (0)＝sin θ＝32.∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴θ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3. ∵g (0)＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 验证，φ＝56π时，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－53π＝sin ⎝⎛⎭⎫－43π＝32成立． 【答案】 B8．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0【解析】 若c ＝0，则有f (0)＝0，所以A 正确．由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 得f (x )－c ＝x 3＋ax 2＋bx ，因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的对称中心为(0,0)，所以f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(0，c )，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若x 0是f (x )的极小值点，则极大值点在x 0的左侧，所以函数在区间(－∞，x 0)单调递减是错误的，D 正确．【答案】 C第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)9．(2013·安徽高考改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.【解析】 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.【答案】2π310．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝0， ∴2a ·b ＋b 2＝0， ∴a ·b ＝－12b 2，设a 与b 的夹角为θ，又|a |＝|b |， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12b 2|a ||b |＝－12，∴θ＝120°. 【答案】 120°11．(2013·天津高考改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为________．【解析】 可行域如图阴影部分(含边界)．令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7. 【答案】 －712．(2013·江西高考)设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由于f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，则|f (x )|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6≤2，要使|f (x )|≤a 恒成立，则a ≥2. 【答案】 [2，＋∞)13．设e 1，e 2为单位向量， 且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b方向上的射影为________．【解析】 由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5， 所以a 在b 方向上的射影为|a |·cos<a ，b >＝a·b |b |＝52.【答案】 5214．(2013·北京高考)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．【解析】 设P (x ，y )，且AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)． ∴OP →＝OA →＋AP →＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2λ＋μ，y ＝－1＋λ＋2μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3μ＝2y －x ＋3，3λ＝2x －y －3， 又1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x －2y ≤3，6≤2x －y ≤9表示的可行域是平行四边形及内部． 如图，点B (3,0)到直线x －2y ＝0的距离d ＝355.又|BN |＝ 5.∴区域D 的面积S ＝355×5＝3.【答案】 315．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.【解析】 因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63. 【答案】63三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，∴sin(α－π6)＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.17．(本小题满分12分)(2013·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解】 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋ cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.18．(本小题满分12分)(2013·广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3. 【解】 (1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝2×22＝1. (2)因为θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，cos θ＝35， 所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫352－1＝－725， sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫22cos 2θ－22sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝⎛⎭⎫－2425＝1725. 19．(本小题满分13分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(－sin x 2，－cos x2)，其中x ∈[π2，π]． (1)若|a ＋b |＝3，求x 的值；(2)函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |2，若c >f (x )恒成立，求实数c 的取值范围． 【解】 (1)∵a ＋b ＝(cos 3x 2－sin x 2，sin 3x 2－cos x2)， ∴|a ＋b |＝(cos3x 2－sin x 2)2＋(sin 3x 2－cos x2)2＝2－2sin 2x ， 由|a ＋b |＝3，得2－2sin 2x ＝3，即sin 2x ＝－12.∵x ∈[π2，π]，∴π≤2x ≤2π.因此2x ＝π＋π6或2x ＝2π－π6，即x ＝7π12或x ＝11π12.(2)∵a·b ＝－cos3x 2sin x 2－sin 3x 2cos x2＝－sin 2x ， ∴f (x )＝a·b ＋|c ＋b |2＝2－3sin 2x ， ∵π≤2x ≤2π，∴－1≤sin 2x ≤0， ∴2≤f (x )＝2－3sin 2x ≤5，∴[f (x )]max ＝5. 又c >f (x )恒成立， 因此c >[f (x )]max ，则c >5.∴实数c 的取值范围为(5，＋∞)．20．(本小题满分13分)(2013·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 【解】 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0. 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝57.21．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． 【解】 (1)∵曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)， ∴b ＝d ＝2.∵f ′(x )＝2x ＋a ，故f ′(0)＝a ＝4. ∵g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )， ∴g ′(0)＝2＋c ＝4，故c ＝2. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2. (2)令F (x )＝kg (x )－f (x )， 则F ′(x )＝(k e x －1)(2x ＋4)，由题设可得F(0)≥0，故k≥1，令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，从而当x∈[－2，x1)时，F′(x)＜0，当x∈(x1＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；②若k＝e2，F′(x)＝(e x＋2－1)(2x＋4)，故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增，因为F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，从而当x∈[－2，＋∞)时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述k的取值范围为[1，e2]．。
【创优导学案】高考数学总复习第四章三角函数与解三角形课后巩固提升(含解析)新人教A版
v【创优导学案】2014届高考数学总复习第四章三角函数与解三角形 4-3课后巩固提升（含解析）新人教A版(对应学生用书P325解析为教师用书独有)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．设非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与a＋b的夹角为( ) A．30° B.60°C．90° D.120°解析 B 由三角形法则可知，a，b，a＋b可构成正三角形，故夹角为60°.2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( ) A．(－15,12) B.0C．－3 D.－11解析 C (a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.3．(2013·绵阳模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x的值为( ) A．－7 B.9C．4 D.－4解析 B 因为a－b＝(1－x,4)，所以a·(a－b)＝1－x＋8＝0，解得x＝9.4．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝( ) A．－3 B.－1C．1 D.3解析 D ∵a＋b＝(3,1＋n)，∴|a＋b|＝9＋1＋n2.又∵a·b＝1×2＋1×n＝2＋n，∴9＋1＋n2＝2＋n，解得n＝3.5．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则角A的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析 B ∵m⊥n，∴m·n＝0，即(b－c)b＋(c－a)(c＋a)＝0，b2－bc＋c2－a2＝0，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3.6．△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →，则△ABC 一定是 A ．钝角三角形 B.直角三角形 C ．等边三角形D.等腰三角形解析 D ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为重心， ∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·AC →＝0，即OB ⊥AC ， ∴BA ＝BC ，故△ABC 是等腰三角形．二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．若向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＋b·b 的值为________．解析 a·b ＋b·b ＝|a||b|cos 60°＋|b |2＝1×2×12＋4＝5.【答案】 58．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解析 由题意知：a ·b ＝(e 1－2e 2)(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.【答案】 549．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值为________．解析 如图所示，设AO ＝x ， OM ＝2－x ，所以OA →·(OB →＋OC →) ＝OA →·2OM →＝－2x (2－x ) ＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2，故当x ＝1时，OA →·(OB →＋OC →)取最小值－2. 【答案】 －2三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)(2013·杭州模拟)已知平面内A 、B 、C 三点在同一条直线上，OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m 、n 的值．解析 由于A 、B 、C 三点在同一条直线上， 则AC →∥AB →，而AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m )， AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2，1－m )， ∴7(1－m )－(－1－m )(n ＋2)＝0， 即mn ＋n －5m ＋9＝0， ① 又∵OA →⊥OB →，∴－2n ＋m ＝0.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32.11．(12分)已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解析 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c|＝25可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a·b －2b 2＝0. ∴2|a|2＋3a·b －2|b|2＝0,2×5＋3a·b －2×54＝0，∴a·b ＝－52，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－525×52＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.12．(16分)已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，求使向量(2a ＋λb )与(λa－3b )的夹角是锐角的λ的取值范围．解析 由|a|＝2，|b|＝1，a 与b 的夹角为45°， 则a·b ＝|a||b|cos 45°＝2×1×22＝1， 而(2a ＋λb )·(λa －3b )＝2λa 2－6a·b ＋λ2a·b －3λb 2＝λ2＋λ－6.设向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角为θ， 则cos θ＝2a ＋λb ·λa －3b|2a ＋λb ||λa －3b |>0，且cos θ≠1，∴(2a ＋λb )·(λa －3b )>0，得λ2＋λ－6>0， ∴λ>2或λ<－3.假设cos θ＝1，则2a ＋λb ＝k (λa －3b )(k >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，λ＝－3k ，解得k 2＝－23，k 不存在．故使向量2a ＋λb 和λa －3b 夹角为0的λ不存在．∴当λ>2或λ<－3时，向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角．。
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2014高考数学三轮冲刺解三角形课时提升训练（1）
1、已知三个内角A，B，C所对的边，若且的面积
，则三角形的形状是（）
A、等腰三角形
B、等边三角形
C、等腰直角三角形
D、有一个为的等腰三角形
2、在中，分别是角所对边的边长，若，
则的值是（）
A．B．C．D．
3、在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ΔABC的形状是( ) A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
4、若，且，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
5、在ABC中，，，面积为，则的值为（）
A．1 B．2 C．D．
6、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则△ABC是（）
A.正三角形
B.等腰三角形 C .直角三角形 D.等腰直角三角形
7、
8、在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC的形状是（）
9、、的内角所对的边分别为且
则（）A．B．C． D．
10、给出以下命题①若则；②已知直线与函数，
的图象分别交于两点，则的最大值为；
③若是△的两内角，如果，则；④若是锐角△的两内角，则。
其中正确的有（）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11、已知中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若的面积为S，且
等于
A. B. C. D.
12、已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，则的值=（）.
A. B. C.
D.
13、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）
A． B． C．或 D．或
14、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能
15、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果，那么三边长a、b、c之间满足的关系是
（） A．B． C．D．
16、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量
，，若，则角的大小为
（） A．
B． C． D．
17、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；
（3）在中，若，，，则为锐角三角形；
（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；
其中正确命题的个数
是（） A．1
B．2 C．3 D．4
18、在∆ABC中, “sin A>cos B”是“A+B>”成立的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条
件D．既非充分又非必要条件
19、9. 在△中，是边中点，角的对边分别是，若
，则△的形状为
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角
形 D.等腰三角形但不是等边三角形.
20、的内角满足条件：且，则角的取值范围是（）
A、 B、C、 D、
21、已知的外接圆半径和的面积都等于1，则=
（）.A． B． C． D．
22、在中,若,且,则是( )
A.等边三角形
B.等腰三角形,但不是等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形,但不是等腰三角形
23、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是
( )
（） A． B． C． D．
24、△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C－sinBsinC,则A的取值范围是A. B. C.
D.
25、在中，，若点为的内心，则的值为（）
A．2 B． C．3 D．
26、已知的三个内角满足：，则的形状为（）
A．正三角形 B．直角三角
形 C．等腰直角三角
形 D．等腰三角形或直角三角形
27、四个分别满足下列条件（1）；（2）
；
（3），；（4）
则其中是锐角三角形有（） A．1个 B．2个 C．3
个 D．4个
28、在中，角A,B,C,所对的边分别为a, b, c.若，则
（）
(A)- (B) (C) -1 (D) 1
29、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin2 B＋sin2 C－sin2A＋sin B sin C＝0，则tan A 的值是
(A) (B) － (C) (D) －
30、已知非零向量满足，且，则的形状为【】.
A.等腰非等边三角形
B.等边三角形C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形
31、设为所在平面内一点，且，则的面积与的面积之比
为（）
A． B． C． D．
32、在中，若，则A的取值范围是（）
A．B． C． D．
33、在中，角的对边分别为，则且，则等于（）（A）（B）（C）4 （D）
34、在△ABC中，，若三角形有解，则的取值范围
是（）
A． B． C．
D．
35、在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是（） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角
形 D ．等腰直角三角形
36、在锐角三角形中，，则的取值范围
是（）
A． B． C．
D．
37、中，角所对的边，，则（）
A．- B． C． -1 D．1
38、在中，若对任意，有，则一定是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定
39、在△ABC中，角A、 B、 C所对的边分别为若，则-的取值范围
是（）
A． B． C． D．
40、已知向量,的夹角为60°，||=||=2，若=2+,则△ABC为
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
1、由知中的平分线垂直边BC，所以，再由
，
2、B
3、．B
4、B
5、B
6、A
7、C
8、解：∵在△ABC中，sin（A+B）=sinC，∴sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAccosB+cosAsinB，
∴cosAsinB=0，又sinB≠0，∴cosA=0，∴在△ABC中，A为直角．∴△ABC为直角三角形．故选D．
9、B 10、D11、【答案】C由得，即,所以，又，所以
，即,所以,即,选C.12、
D
13、D 14、 15、B 16、 A 17、B 18、A 19、9. C 由题意知
，
∴，∴，又、不共线，∴，∴
20、C 21、B 22、A 23、 D 24、C 25、D 26、B 27、Ｂ 28、Ｄ 29、D 30、A 31、A 32、C 33、
A
34、B 35、C 36、A 37、D 38、A 39、C 40、C。