等差数列的函数特性及其性质 第二课时

解:(1)设等差数列{an}的通项公式为 an=dn+b, 由(2,1),(4,5)是等差数列图像上的两点,可得
2d b 1, b 3, 解得 ∴a =2n-3. 4d b 5, d 2,
n
(2)由 2n-3=17,得 n=10∈N*, ∴(10,17)是{an}图像上的点.
a1 r s 1, d 1,
∴an=r+s-1+(n-1)×(-1)=-n+r+s. ∴ar+s=-(r+s)+r+s=0.
等差数列的实际应用
【例 3】 甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡业规 模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调 查表明:从第 1 年每个养鸡场出产 1 万只鸡上升到第 6 年平均每个养鸡场出产 2 万只鸡.乙调查表明:由 第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年 10 个.
(2)若{an}是有穷等差数列,则与首尾两项等距离 的两项之和之间有什么关系?
(都相等,且等于首尾两项之和,即 a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…)
试一试 2:(2012 年高考辽宁卷)在等差数列{an}中, 已知 a4+a8=16,则 a2+a10 等于( ) (A)12 (B)16 (C)20 (D)24
解析:(1)若公差大于零,则一定是递增数列, 若公差小于零,则一定是递减数列,所以公差 非零的等差数列一定是单调数列.故选 C. (2)由公差的几何意义知,d 等于直线 y=5-4x 的斜率-4. 答案:(1)C (2)-4
等差数列的性质
2:若{an}是公差为 d 的等差数列,数列 {an+c}(c 为常数),{λ an}(λ 为常数),{λ an+c} (λ 、c 为常数)是不是等差数列?
*
sr d= =-1,设等差数列{a }通项公式为 rs
n
an=-n+b,将点(r,s)代入得 b=s+r,则等差 数列的通项公式为 an=-n+(s+r). 当 n=r+s 时,ar+s=0.
法二 设等差数列首项为 a1,公差为 d,
a1 r 1 d s, 则 解得 a s 1 d r , 1
*
an am d= nm
(n,m∈N*且 n≠m))
(3)判断等差数列单调性的方法有哪 些?(主要有两种,一公差法:d>0 递增;d<0 递减;d=0 不单调.二图像法:图像上升递增; 下降递减;图像不上升也不下降,不单调)
跟踪训练 2-1:在等差数列{an}中 ar=s,as=r(r≠s,s、r∈N ),求 ar+s. 解:法一 由公差 d 的几何意义知
.运用性质解题的优点是过程简洁且
跟踪训练 1-1:(1)如果等差数列{an} 中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7 等于( (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 (2)已知{an}、{bn}是两个等差数列,其中 a1=3,b1=-3,且 a20-b20=6,那么 a10-b10 的值 为( ) (A)-6 (B)6 (C)0 (D)10 )
上述解法用了等差数列的哪些性质? 与运用通项公式的通性通法对比有何优缺点?(① 若 m+n=p+q=2w,则 am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w∈N+); ②等差数列中,序号成等差数列的项按原次序构 成的新数列仍成等差数列;③an=am+(n-m)d,
an am d= nm
运算量小)
解析:由等差数列的性质,得 a2+a10=a4+a8=16. 故选 B.
等差数列性质的应用
【例 1】 (1)在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,求 a2+a8; (2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求 a75; (3)数列{an}为等差数列,已知 a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求 an.
等差数列的函数特性
1:观察上述等差数列的图像,它们 有什么共同特征?有什么差异? (它们的图像都是呈直线状的一群孤立的点. 当 d>0 时图像上升,d<0 时图像下降,d=0 时图 像不变化)
1:由等差数列{an}的通项公式 an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图像 是直线 y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点, 这些点的横坐标是正整数,其中公差 d 是该 直线的斜率. 当 d>0 时,{an}为递增数列; 当 d<0 时,{an}为递减数列; 当 d=0 时,{an}为常数列.
解析:(1)∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12, 则 a4=4, 又 a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4, 故 a1+a2+…+a7=7a4=28.故选 C. (2)由于{an}、{bn}都是等差数列, 所以{an-bn}也是等差数列,而 a1-b1=6,a20-b20=6, 所以{an-bn}是常数列,故 a10-b10=6. 故选 B.
得 b2=26. 所以 c2=a2b2=1.2×26=31.2.
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(2)c6=a6b6=2×10=20<c1=a1b1=30,所以到第 6 年这个县的养鸡业规模比第 1 年缩小了. (3)∵an=1+(n-1)×0.2 =0.2n+0.8,bn=30+(n-1)×(-4) =-4n+34(1≤n≤6,n∈N*), ∴cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34) =-0.8n +3.6n+27.2(1≤n≤6,n∈N ).
请根据提供的信息说明,求 (1)第 2 年养鸡场的个数及全县出产鸡的 总只数; (2)到第 6 年这个县的养鸡业规模比第 1 年是扩大了还是缩小了?请说明理由. (3)哪一年的规模最大?请说明理由.
名师导引:(1)根据题目的信息,应怎样解决 该问题?(建立等差数列模型求解) (2)要求第 2 年养鸡场个数及出产的总只数, 需知道哪些量?(求第 2 年鸡场产鸡平均只数 和第 2 年的鸡场个数) (3)怎样才能解决题目(2)中的问题?(把第 6 年产鸡总只数与第 1 年产鸡总只数比较) (4)要求哪一年规模最大,应怎么求解?(函 数思想求解)
(是等差数列)
2:若{an}是公差为 d 的等差数 列,则:{an+c}(c 为常数)是公差为 d 的等 差数列;{λ ·an}(λ 为常数)是公差为λ d 的等差数列;{λ an+c}(λ ,c 为常数)是公 差为λ d 的等差数列.
质疑探究 2:(1)若{an},{bn}分别是公差为 d1、 d2 的等差数列且λ 、μ 为常数,数列{λ an+μ bn}是等差数列吗? (数列{λan+μbn}是以公差为λd1+μd2 的等 差数列) (2)若{an}是公差为 d 的等差数列,数列 * am,am+l,am+2l,am+3l…(m,l∈N )是等差数列吗? (am,am+l,am+2l,am+3l,…,是首项为 am,公差为 ld 的等差数列)
(3)∵a2+a8=2a5,∴3a5=9,a5=3, ∴a2+a8=a3+a7=6①, 又 a3a5a7=-21,∴a3a7=-7②, 由①、②解得 a3=-1,a7=7 或 a3=7,a7=-1,
a7 a3 当 a =-1,a =7 时,d= =2, 73
3 7
∴an=a3+(n-3)d=2n-7, 当 a3=7,a7=-1 时,同理可得 an=-2n+13, 故 an=2n-7 或 an=-2n+13.
第二课时 等差数列的函数 特性及其性质
【课标要求】
1.了解等差数列与一次函数的关系. 2.理解等差数列的有关性质. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系, 并能用有关知识解决相应的问题.
课前预习
栏 目 导 航
课堂探究
【实例】 (1)首项为-1,公差为 1 的等差数列 -1,0,1,2,3,4,5…的图像如图(1)所示. (2)首项为 3,公差为-1 的等差数列 3,2,1,0,-1,-2,-3…的图像如图(2)所示. (3)首项为 2,公差为 0 的等差数列(常数列) 2,2,2,2…的图像如图(3)所示.
(3)由 d=2>0,知数列{an}为递增数列.
3 由 2n-3>0,得 n> 2
,即 n≥2.
所以数列{an}的最小正数项为 a2=1.
(1)根据等差数列图像上的两点 求通项公式的一般方法是什么?(设出 an=dn+b,将 图像上的点代入,求 d,b,可得出等差数列的通项 公式) (2)若已知等差数列的任两项 an,am(n,m∈N 且 n≠m),如何确定公差 d?(由公差 d 的几何意义知
(2)判定数列是等差数列的方法有哪些? (定义法:an-an-1=d(常数)(n≥2)⇔数列{an} 为等差数列;等差中项法:2an=an+1+an-1 (n≥2)⇔数列{an}为等差数列;一次函数 法:an=kn+b,其中 k,b 为常数⇔数列{an}是 以 k 为公差的等差数列)
试一试 1:(1)若一个数列是公差不为零的等差数 列,则该数列一定是( C ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)单调数列 (D)常数列 (2)若公差为 d 的等差数列的图像恰好被函数 f(x)=5-4x 的图像覆盖,则 d= .
等差数列的图像与性质
【例 2】 已知(2,1),(4,5)是等差数列{an}图像 上的两点. (1)求这个数列的通项公式; (2)判断(n,17)是否是{an}图像上的点,若是,求 出 n 的值,若不是,说明理由. (3)判断这个数列的单调性,并求其最小正 数项.
名师导引:(1)已知等差数列{an}图像上两点 (2,1),(4,5)怎样确定通项公式?(设通项公 式为 an=dn+b,用待定系数法,求出 d,b 即可) (2)若判断(n,17)是{an}图像上的点,则满足 什么条件?(满足 17=dn+b) (3)从哪里入手判断这个数列的单调 性?(d>0 递增;d<0 递减;d=0 无单调性)
解:(1)∵a3+a7=a4+a6=2a5, ∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90. 又∵a2+a8=2a5,∴a2+a8=180. (2)∵{an}为等差数列, ∴a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列,设其公差 为 d,a15 为首项,则 a60 为其第 4 项, ∴a60=a15+3d,得 d=4,∴a75=a60+d=24.
质疑探究 1:(1)已知一个等差数列的任意两项, 这个数列的通项公式是否可以确定?请从几何 意义上给出解释.
(由公差 d 的几何意义,“等差数列的图像上任意
an a1 两点连线的斜率”知,d=k= n 1
an am = nm
(m≠n 且 n>1)得:an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,所以已 知一个等差数列的任意两项,这个数列的通项公 式可确定)
a1 1, (1)由 a =1,a =2,得 a1 5d1 2,
1 6
a1 1, ∴ d1 0.2,
得 a2=1.2;
b1 30, 由 b =30,b =10,得 b1 5d 2 10,
1 6
b1 30, ∴ d 2 4,
解:由题干图可知,从第 1 年到第 6 年平均每 个鸡场出产的鸡数成等差数列,记为{an},公 差为 d1,且 a1=1,a6=2;从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列,记为{bn},公差为 d2, 且 b1=30,b6=10; 从第 1 年到第 6 年全县出产鸡的总只数记为 数列{cn}, 则 cn=anbn.
3:观察实例中的三个数列,a1+a7 与 a2+a6 有什么关系? (a1+a7=a2+a6)
3:在等差数列{an}中,若 m+n=p+q, 则 am+an=ap+aq.特别地当 p=q,即 m+n=2p 时,有 am+an=2ap(m,n,p,q∈N ).
*
质疑探究 3:(1)如何证明上述结论? (证明:左边=2a1+(m+n-2)d,右边=2a1+(p+q-2)d. ∵m+n=p+q, ∴左边=右边,即 am+an=ap+aq. 同理,当 m+n=2p 时有 am+an=2ap)