人教版初三数学上册作业.2降次——解一元二次方程(1)

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数学：人教版九年级上-.-降次解一元二次方程(疑难解析)

例2.解下列方程
(1) (2)
解:(1) ,
( 2)因式分解,得
于是得或
评注：掌握好一元二次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键.因式分解法求根,解答过程较简单,但并不具有普遍意义 .解一元二次方程具有普遍意义的是一元二次方程的求根公式.
例题选讲
例1．用配方法解下列方程：
（1）（2）
解:(1 )移项，得
配方
由此可得
.
(2)移项，得
二次项系数化为1,得
配方即
∴ ∴
评注：运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数项移到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“1”的形式,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程化为的形式,再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程的两边同时加上一ห้องสมุดไป่ตู้项系数一半的平方.
22.2降次——解一元二次方程
疑难分析
1．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.可以看出,配方是为了降次 ,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解 .
2.一元二次方程的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,当 ,将a,b,c代入式子就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
3.用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0.从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.
4. 配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式;因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各个一次式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.

降次--解一元二次方程(初中数学九年级)

降次--解一元二次方程(初中数学九年级) 学情分析:在学习本节之前，学生对一元一次方程及一元一次方程的解的有关知识有一定的了解，并且九年级的学生有一定的数学思维基础，分析和概括能力相对于八年级学生有很大的提高，容易开发学生的主观能动性，适合有特殊到一般的探究方式教学内容分析:本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标:1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。

2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。

3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。

教学难点分析：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．教学课时： 1课时教学过程：一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x 2-6x+5=0 （2）2x 2-7x+3=0（学生扳演，教师点评）二、自主学习：〈一〉自学课本Ｐ40---P 41思考下列问题：1、结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？2、配方时，方程两边同时加是什么？3、教材中方程②()224422a acb a b x -=+能不能直接开平方求解吗？为什么？4、什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。

关键感受推导过程。

在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。

三、例题学习：例1（教材P 41例2）解下列方程：（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5x=-3 x（3）x 2-x 2= -21（4）4x 2-3x+2=0解：将方程化成一般形式解：a=4, b= -3， c=2.x 2-x 2+21=0 b 2-4ac=（-3）2-4×4×2=9-32=-23＜0a=1, b= -2， c=21 因为在实数范围负数不能开平方，所以方b 2-4ac=(-2)2-4×1×21=0 程无实数根。

九年级数学人教版(上册)小专题1 一元二次方程的解法

17 .
综上所述，原方程的解为
x1
＝
－1＋ 2
5
，x2＝
－1－ 2
5，x3＝
－1＋ 2
17，x4＝－1－2
17 .
(2)已知实数 a，b 满足(a2＋b2)2－3(a2＋b2)－10＝0，试求 a2＋b2 的值．
解：设 x＝a2＋b2，则 x2－3x－10＝0，且 x>0. ∴(x－5)(x＋2)＝0. 解得 x1＝5，x2＝－2(舍去)．故 a2＋b2＝5.
(1)解方程：(x2＋x)2－5(x2＋x)＋4＝0. 解：设 y＝x2＋x，则原方程整理为 y2－5y＋4＝0， ∴(y－1)(y－4)＝0.
解得 y1＝1，y2＝4.
当 y＝x2＋x＝1，即 x2＋x－1＝0 时，
解得 xБайду номын сангаас－12±
5 .
当 y＝x2＋x＝4，即 x2＋x－4＝0 时，
解得 x＝－1±2
(3)(3x－1)2＝(x－1)2. 解：3x－1＝x－1 或 3x－1＝1－x. ∴x1＝0，x2＝12.
(4)(2x＋1)(2x－1)＝2 2x. 解：原方程可化为 4x2－2 2x－1＝0，
a＝4，b＝－2 2，c＝－1，
Δ＝b2－4ac＝8－4×4×(－1)＝24>0，
∴x＝－b± 2ba2－4ac＝2
第二十一章一元二次方程
小专题1 一元二次方程的解法
1．用合适的方法解一元二次方程： (1)x2－6x－9 991＝0. 解：x2－6x＝9 991. x2－6x＋9＝10 000. (x－3)2＝10 000. x－3＝±100. x1＝103，x2＝－97.
(2)x(x＋1)－3x－3＝0. 解：x(x＋1)－3(x＋1)＝0， (x＋1)(x－3)＝0， ∴x＋1＝0 或 x－3＝0. ∴x1＝－1，x2＝3.

九年级数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版知识精讲

初三数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：用因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．体会解决问题方法的多样性．二. 知识要点： 1. 因式分解法解方程x 2－x ＝0．方程左边x 2－x 可以分解因式：x 2－x ＝x （x －1），于是： x ＝0或x －1＝0．所以x 1＝0，x 2＝1．上述解法过程中，不是不用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法． 2. 因式分解法解一元二次方程的主要步骤：（1）将方程化成右边等于0的形式；（2）将方程左边分解因式（两个一次因式的积），方程化成（ax ＋m ）（bx ＋n ）＝0的形式；（3）由ax ＋m ＝0或bx ＋n ＝0得出方程的根．3. 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的对比形如x 2＝a （a ≥0）或（ax ＋b ）2＝c （c ≥0）的用直接开方法解．因为一元二次方程的求根公式是由配方法推导出来的，对一般形式的一元二次方程一般不用配方法求根，可考虑因式分解法或公式法．三. 重点难点：因式分解法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了“降次”的思想，这种思想不但是本节的重点，而且在以后处理其他方程时也是非常重要的．【典型例题】例1. 用因式分解法解下列方程：（1）5x 2＋3x ＝0；（2）7x （3－x ）＝4（x －3）；（3）9（x －2）2＝4（x ＋1）2．分析：（1）左边＝x （5x ＋3），右边＝0；（2）先把右边化为0，7x （3－x ）－4（x －3）＝0，找出（3－x ）与（x －3）的关系；（3）应用平方差公式．解：（1）因式分解，得x （5x ＋3）＝0，于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35；（2）原方程化为7x （3－x ）－4（x －3）＝0，因式分解，得（x －3）（－7x －4）＝0，于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47；（3）原方程化为9（x －2）2－4（x ＋1）2＝0，因式分解，得[3（x －2）＋2（x ＋1）][3（x －2）－2（x ＋1）]＝0，即（5x －4）（x －8）＝0，于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8．评析：（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．例2. 选择合适的方法解下列方程．（1）2x 2－5x ＋2＝0；（2）（1－x ）（x ＋4）＝（x －1）（1－2x ）；（3）3（x －2）2＝x 2－2x ．分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1－x ）与（x －1）的关系用因式分解法；（3）题中x 2－2x ＝x ·（x －2）用因式分解法．解：（1）a ＝2，b ＝－5，c ＝2， b 2－4ac ＝（－5）2－4×2×2＝9＞0， x ＝－（－5）±92×2＝5±34，x 1＝2，x 2＝12；（2）原方程化为（1－x ）（x ＋4）＋（1－x ）（1－2x ）＝0，因式分解，得（1－x ）（5－x ）＝0，即（x －1）（x －5）＝0， x －1＝0或x －5＝0， x 1＝1，x 2＝5；（3）原方程变形为3（x －2）2－x （x －2）＝0，因式分解，得（x －2）（2x －6）＝0， x －2＝0或2x －6＝0， x 1＝2，x 2＝3．评析：（1）解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑公式法，而配方法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．例3. 已知（a 2＋b 2）2－（a 2＋b 2）－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把（a 2＋b 2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a 2＋b 2）为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0．a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×（－6）×1＝25＞0， x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2．即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2， ∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3．评析：（1）本题求的是a 2＋b 2，而题中条件是关于a 2＋b 2的，把a 2＋b 2看成一个整体是一个朴素的数学思想，能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．（2）根据非负数的性质有a 2＋b 2≥0，在做题时要注意隐含条件．例4. （1）当代数式x 2＋7x ＋6的值与x ＋1的值相同时，x 的值为多少？（2）方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为几？分析：（1）两个代数式值相等，即x 2＋7x ＋6＝x ＋1，解这个方程可得x 的值；（2）先解出方程的两个根再看其中的正整数根．解：（1）x 2＋7x ＋6＝x ＋1， x 2＋6x ＋5＝0，a ＝1，b ＝6，c ＝5，b 2－4ac ＝16＞0．所以x ＝－6±162，x 1＝－1，x 2＝－5，所以x 的值为－1或－5．（2）解方程x 2＋2x －8＝0， a ＝1，b ＝2，c ＝－8，b 2－4ac ＝22－4×1×（－8）＝36＞0， x ＝－2±362＝－1±3， x 1＝2，x 2＝－4．所以方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为2．评析：（1）题中涉及代数式的值的问题，实质上方程就是表示含有未知数的两个代数式的值相等的式子；（2）题中方程用了公式法，用因式分解法也很方便．例5. 用一根长40cm 的铁丝围成一个面积为91cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？分析：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由相等关系长×宽＝面积列出方程．解：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由矩形面积等于91cm 2，得x ·（402－x ）＝91，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13．当x ＝7cm 时，402－x ＝20－7＝13（cm ）（舍去）；当x ＝13cm 时，402－x ＝20－13＝7（cm ）．当围成正方形时，它的边长为404＝10（cm ），面积为102＝100（cm 2）．答：矩形的长为13cm ，若围成正方形，则这个正方形的面积为100cm 2．评析：有一些几何面积问题用到一元二次方程，解这类题时要注意一些条件，如习惯上矩形中较长的边称为长，而较短的边称为宽，故本题中取长为13cm ，宽为7cm 较合适．例6. 解方程2（12－x ）2－（x －12）－1＝0．分析：因为（12－x ）2＝（x －12）2，如果把（x －12）看成一个整体，并设x －12＝y ，则原方程化为2y 2－y －1＝0，先求出y 的值，再反过来求x 的值．解：设x －12＝y ，原方程化为2y 2－y －1＝0，a ＝2，b ＝－1，c ＝－1，b 2－4ac ＝9＞0，y ＝－（－1）±92×2＝1±34．y 1＝1，y 2＝－12．当y ＝1时，x －12＝1，x ＝32；当y ＝－12时，x －12＝－12，x ＝0．所以原方程的解是x 1＝32，x 2＝0．评析：本题如果化成一般形式再求解可能要麻烦些，这里使用了把x －12设为y 的做法，回避了很多计算，这种方法叫做换元法．【方法总结】1. 对某些方程而言因式分解法比较快捷，一般选择方法时应先考虑因式分解法，不适合因式分解法的再考虑其它方法．2. 注意体验类比、转化、降次的数学思想方法．解一元一次方程的基本思路是整理后把未知数的系数化成1；解一元二次方程的基本思路是通过开平方或因式分解把一元二次方程降次、转化成一元一次方程．【预习导学案】（实际问题与一元二次方程）一. 预习前知1. 两个数的差等于3，积等于18，则这两个数是__________．2. 三个连奇数的平方和等于155，则这三个数是__________．3. 矩形的长比宽大4厘米，面积等于60厘米2，则它的周长为__________．4. 经实验，某物体运动规律满足等式s ＝40t －5t 2，问t ＝__________时，s ＝60．二. 预习导学1. 两个数的和为2，且积为－15，那么求其中一个数x ，列方程为（）A ．x 2－2x －15＝0B ．x 2＋2x ＋15＝0C ．x 2－2x ＋15＝0D ．x 2＋2x －15＝02. 某厂2008年总产值达1493万元，比2007年增长11.8%，下列说法： ①2007年总产值为1493（1－11.8%）万元； ②2007年总产值为1493÷（1－11.8%）万元； ③2007年总产值为1493÷（1＋11.8%）万元；④若按11.8%的年增长率计算，2010年总产值预计为1493（1＋11.8%）万元．其中正确的是（） A ．③④ B ．②④ C ．①④ D ．①②③3. 在一块长12m ，宽10m 的长方形平地中央划出一块地，砌成面积为48m 2的长方形花台，使花台四周的空地的宽度一样，①则花台面积占长方形平地面积的__________；②空地面积与花台面积的比是__________；③如果求花台四周空地的宽度x ，则所列方程为__________．反思：（1）列一元二次方程解实际问题的一般步骤是怎样的？（2）用一元二次方程解实际问题应该注意什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 方程x （x －1）＝0的根是（） A. 0 B. 1 C. 0，－1 D. 0，12. 方程9（x ＋1）2－4（x －1）2＝0的正确解法是（） A. 直接开方得3（x ＋1）＝2（x －1）B. 化为一般形式13x 2＋5＝0C. 分解因式得[3（x ＋1）＋2（x －1）][3（x ＋1）－2（x －1）]＝0D. 直接得x ＋1＝0或x －1＝03. 解方程（5x －1）2＝3（5x －1）的适当方法是（） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 4. 若实数x 、y 满足（x ＋y ＋2）（x ＋y －1）＝0，则x ＋y 的值为（） A. 1 B. －2 C. 2或－1 D. －2或1 5. 方程3x （x －2）＝0的解是（）A. x 1＝3，x 2＝2B. x 1＝0，x 2＝2C. x 1＝13，x 2＝2 D. x 1＝0，x 2＝－2*6. 若a 使得x 2＋4x ＋a ＝（x ＋2）2－1成立，则a 的值为（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2*7. 如果x 2＋x －1＝0，那么代数式x 3＋2x 2－7的值是（） A. 6 B. 8 C. －6 D. －8 **8. 已知（x ＋y ）（1－x －y ）＋6＝0，则x ＋y 的值为（） A. 2 B. －3 C. －2或3 D. 2或－3二. 填空题1. 一元二次方程x 2－2x ＝0的根是__________． 2. 方程（x －1）（x ＋2）＝2（x ＋2）的根是__________． *3. 方程（x －1）（x ＋2）（x －3）＝0的根是__________． 4. 方程x （2x －1）＝3（2x －1）的根是__________．*5. 使代数式x 2＋x －2的值为0的x 的值是__________．6. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是__________．**7. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x 2－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是__________．*8. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，若b ＝a ＋c ，则这个方程必有一根为__________．三. 解答题1. 用因式分解法解下列方程：（1）（x －2）2－9＝0；（2）3y 2＋y ＝0；（3）2x （3x ＋2）＝9x ＋6；（4）（3x －1）2＝4（x ＋2）2．2. 用适当的方法解下列方程：（1）（5－8x ）2＝2；（2）x 2＋8x ＝20；（3）3x 2＋2x －3＝0；（4）（x －1）（x ＋2）＝70．3. 试求使代数式（x －7）（x ＋3）的值比（x ＋5）大10的x 的值．4. 审查下面解方程（x －1）2＝2（x －1）的过程回答问题．方程两边都除以（x －1）得x －1＝2， ∴x ＝3．上述过程对不对，为什么？*5. 直角三角形的三边长是三个连续整数，求这个直角三角形的斜边的长．试题答案一. 选择题1. D2. C3. D4. D5. B6. C7. C8. C二. 填空题1. x 1＝0，x 2＝22. x 1＝－2，x 2＝33. x 1＝1，x 2＝－2，x 3＝34. x 1＝12，x 2＝3 5. x 1＝－2，x 2＝1 6. 0或72 7. 24 提示：方程的解为2或10，当x ＝2时，与另两边8和6不能组成三角形应舍去．所以x ＝10，三角形周长为24． 8. x ＝－1三. 解答题1. （1）x 1＝－1，x 2＝5；（2）y 1＝0，y 2＝－33；（3）x 1＝32，x 2＝－23；（4）x 1＝5，x 2＝－35． 2. （1）x 1＝5－28，x 2＝5＋28；（2）x 1＝2，x 2＝－10；（3）x 1＝－1＋103，x 2＝；（4）x 1＝8，x 2＝－9．3. 根据题意（x －7）（x ＋3）－（x ＋5）＝10，解得x 1＝9，x 2＝－4．4. 不对．当x －1＝0时，原方程成立，此时x ＝1；当x －1≠0时，两边同除以x －1得x －1＝2．即x ＝3．所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝3．5. 设斜边长为x ，则两直角边分别为x －2，x －1．根据题意可得（x －2）2＋（x －1）2＝x 2，解得x 1＝1，x 2＝5．当x ＝1时x －2＝－1，x －1＝0，不符合题意舍去；当x ＝5时x －2＝3，x －1＝4，所以三角形的斜边长为5．。

人教版九年级数学上册一元二次方程的定义与解法(1)

(4)
y2
1 2
y
（_14_）_2 _
( y_1__)2 4
它们之间有什么关系?
总结归律:
p 2
p
x px ____ ( x __) 2 方像程这（样m的－等1号)x两2＋边m都x是＋整1=式0为，关只于含x有的一一个元未二知次数方（程一则元m）的2，值为（
）
10×6x2=1500
22
课堂检测
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
1 5x2 1 4x； 24x2 81；
1 5x2 1 4x
一般式：5x2 4x 1 0.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 81
一般式：4x2 81 0.
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
x2－75x+350=0 ②
x2 x 56 ③
（１）这些方程的两边都是整式（２）方程中只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
知识归纳
一元二次方程的概念 • 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未
x3 5 ， x3 5
或
解一次方程
x1 3 5 ，x2 3 5
新知探究
【例2】用配方法解方程：3x2+8x-3=0
解：两边除以3，
x2 8 x 1 0
3
得：
分析：配方法解一元二次方
移项，得： x2 8 x 1
程的一般步骤：
3
（1）把二次项的系数化为1；（2）把常数项移到等号的右边；

人教版九年级数学上册降次解一元二次方程同步练习题 (2)

人教版九年级数学试题22．2降次--解一元二次方程（第二课时）22.2.1 配方法(2)◆随堂检测1、将二次三项式x 2-4x+1配方后得（）A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-3 2、已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（） A 、x 2-8x+42=31 B 、x 2-8x+42=1 C 、x 2+8x+42=1 D 、x 2-4x+4=-113、代数式2221x x x ---的值为0，求x 的值．4、解下列方程：（1）x 2+6x+5=0；（2）2x 2+6x-2=0；（3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0. 点拨：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得 x=p mx+n=p （p ≥0）.◆典例分析用配方法解方程222300x x -=，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．解：方程两边都除以2并移项，得2215x =，配方，得22211()1524x x +=+，即2161()24x -=，解得1612x -=，即12161161x x +-==．分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。

本题中一次项系数是2-，因此，等式两边应同时加上22()或22()才对解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得22221158x x +=+，即22121(8x -=，解得211244x -=±，即125232,2x x ==-． ◆课下作业●拓展提高 1、配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（） A 、（x-13）2=89 B 、（x-23）2=0 C 、（x-13）2=89 D 、（x-13）2=1092、用配方法解方程x 2-23x+1=0正确的解法是（） A 、（x-13）2=89，x=13±23 B 、（x-13）2=-89，原方程无解C 、（x-23）2=59，x 1=235，x 225- D 、（x-23）2=1，x 1=53，x 2=-133、无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数． 4、如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 5、用配方法解下列方程：（1）x 2+4x+1=0；（2）2x 2-4x-1=0；（3）9y 2-18y-4=0；（4）x 236、如果a 、b 34a +2-12b+36=0，求ab 的值．●体验中考1、（2009年山西太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=2、（2009年湖北仙桃）解方程：2420x x ++=．3、（2008年，陕西）方程2(2)9x -=的解是（） A ．125,1x x ==- B ．125,1x x =-= C ．1211,7x x ==- D ．1211,7x x =-=4、（2008年，青岛）用配方法解一元二次方程：2220x x --=.参考答案： ◆随堂检测 1、B. 2、B.3、解:依题意,得222010x x x ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩,解得2x =．4、解：（1）移项，得x 2+6x=-5，配方，得x 2+6x+32=-5+32，即（x+3）2=4，由此可得：x+3=±2，∴x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得2x 2+6x=-2，二次项系数化为1，得x 2+3x=-1，配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2，即（x+32）2=54，由此可得x+32=5∴x 1532，x 2532（3）去括号整理，得x 2+4x-1=0，移项，得x 2+4x=1，配方，得（x+2）2=5，由此可得x+2=5，∴x 15，x 25◆课下作业 ●拓展提高 1、D. 2、B.3、正 ()222224161(2)11110x y x y x y +--+=-+-+≥>.4、x-y=54 原方程可化为[]24()50x y -+=，∴x-y=54.5、解：（1）x 1=3-2，x 2=-3-2；（2）x 1=1+62，x 2=1-62；（3）y 1=133+1，y 2=1-133；（4）x 1=x 2=3.6、解：原等式可化为234(6)0a b ++-=，∴34060a b +=⎧⎨-=⎩，∴43a =-，6b =，∴8ab =-. ●体验中考1、 B.分析：本题考查配方，2250x x --=，22151x x -+=+，()216x -=，故选B ． 2、解：242x x +=-∴1222,2 2.x x =-3、A ∵2(2)9x -=，∴23x -=±,∴125,1x x ==-.故选A.4、解得1213,13x x ==习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。

新人教版九年级上册降次—解一元二次方程(配方法)优秀教学设计及反思

新人教版九年级（上册）降次—解一元二次方程(配方法)优秀教学设计及反思教材分析方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并通过解方程来解决实际问题是培养学生实践能力的关键。

本节课是课标人教版九年级上册第二十二章第二节第一课时的内容，是本章的难点之一。

它是在学生学会了估算方程的解之后给出的一种求方程精解的方法。

它不仅是解一元二次方程的基本方法，是后续内容推导求根公式的依据，而且还是以后学好二次函数知识的前提和基础，所以这节课既能起到了桥梁和杠杆的作用，又能在探究学习过程中让学生进一步体会方程模型的实际意义、体会转化的数学思想方法。

一元二次方程的解法是在学生掌握了一元二次方程概念之后提出的，“配方法”则是学生接触到的第一种解一元二次方程的方法，它对后续解法的学习有着指导和铺垫的作用，在“配方法”的探索过程中体现了“化未知为已知”的数学转化思想，这为今后学习高次方程、函数等知识奠定了基础，具有很好的导向作用。

学情分析九年级学生已有一定的解方程基础知识，能够对“二元一次方程”方面的知识进行理解与运用。

但学生抽象思维还不成熟，在学习过程仍需一些感性认识作为依托，加上本节之前学生学习了完全平方公式关于对配方法的知识，学生会充分利用已有知识来学习配方法解二元一次方程。

教学目标1、会用开平方法解形如的一元二次方程，能理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；1、理解用配方法将方程变形的过程，体会等价转化的数学思想方法；培养学生主动探究与积极参与的意识，增强学生学好数学的自信心，体会用数学知识去解决实际问题的过程与乐趣。

教学重点和难点重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

难点：通过平方根的意义解形如的方程，而后迁移到形如的方程求解。

教学过程教材分析方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并通过解方程来解决实际问题是培养学生实践能力的关键。

人教版初三数学上册作业.2降次——解一元二次方程(5)

22.2降次——解一元二次方程（5）同步练习双基演练1．分解因式：（1）x2-4x=_________；（2）x-2-x（x-2）=________（3）m2-9=________；（4）（x+1）2-16=________2．方程（2x+1）（x-5）=0的解是_________3．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是___________4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1·x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于_______5．已知y=x2+x-6，当x=________时，y的值为0；当x=________时，y的值等于24．6．方程x2+2ax-b2+a2=0的解为__________．7．若（2x+3y）2+3（2x+3y）-4=0，则2x+3y的值为_________．8．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（）A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，29．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（）A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=010．已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）A．只有一个根x=34B．只有一个根x=0C．有两个根x1=0，x2=34D．有两个根x1=0，x2=-3411．解方程2（5x-1）2=3（5x-1）的最适当的方法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．分解因式法12．方程（x+4）（x-5）=1的根为（）A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对13．用适当的方法解下列方程．（1）x2-2x-2=0 （2）（y-5）(y+7）=0（3）x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）（4）（x-1）2-2（x2-1）=0（5）2x2（6）2（t-1）2+t=1● 能力提升14．（x 2+y 2-1）2=4，则x 2+y 2=_______．15．方程x 2=│x │的根是__________．16．方程2x （x-3）=7（3-x ）的根是（）A ．x=3B ．x=72C ．x 1=3，x 2=72D ．x 1=3，x 2=-7217．实数a 、b 满足（a+b ）2+a+b-2=0，则（a+b ）2的值为（）A ．4B ．1C ．-2或1D ．4或118．阅读下题的解答过程，请判断是否有错，•若有错误请你在其右边写出正确的解答．已知：m 是关于x 的方程mx-2x+m=0的一个根，求m 的值．解：把x=m 代入原方程，•化简得m 3=m ，两边同除以m ，得m 2=1，∴m=1，把m=1代入原方程检验可知：m=1符合题意．•答：m 的值是1．19．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b=4ab ，例如2※6=4•×2•×6=48（1）求3※5的值；（2）求x ※x+2※x-2※4=0中x 的值；（3）若无论x 是什么数，总有a ※x=x ，求a 的值．作用．● 聚焦中考20、（2006．南宁）方程20x x -=的解为．21、（2006．内江）方程x （x+1）=3（x+1）的解的情况是（）A ．x=-1 B.x=3 C.3,121=-=x x D.以上答案都不对22、（2006．兰州）在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为22b a b a -=＊，根据这个规则，方程05)2(=+＊x 的解为。

初三数学降次——解一元二次方程试题

初三数学降次——解一元二次方程试题1.方程的根是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】x2-4=0变形得：x2=4，开方得：x1=2，x2=-2，则方程的根为2或-2．故选C考点: 解一元二次方程-直接开平方法．2.在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是-9和-1.你能找出正确的原方程吗?若能,请你用配方法求出这个方程的根.【答案】x2-10x+9=0；x1=9,x2=1【解析】本题主要考查了根与系数的关系及用配方法解一元二次方程. 先设这个方程的两根是α、β，由于乙把一次项系数看错了，而解得方程的两根为-9和-1，则有αβ==9，甲把常数项看错了，解得两根为8和2，则有α+β=-=10，令a=1，那么关于α、β的一元二次方程即为所求．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β=-=10，αβ==9，令a=1，那么关于α、β的一元二次方程是x2-10x+9=0．x2-10x+9=（x-5）2-25+9=0，故（x-5）2=16，解得：x=9或x=1，故方程两根为：9，1．3.方程x2=6x的根是( )A．x1=0,x2=-6B．x1=0,x2="6"C．x=6D．x=0【答案】B【解析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程. 先把方程变形为x2-5x=0，把方程左边因式分解得x（x-5）=0，则有x=0或x-5=0，然后解一元一次方程即可．解：x2=6x，∴x（x-6）=0，∴x=0或x-6=0，∴x1=0，x2=6．故选B4.方程2x2-3x+1=0经过配方化为(x+a)2=b的形式,正确的是( )A．;B．;C．;D．以上都不对【答案】C【解析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．解：移项得2x2-3x=-1，把二次项系数化为1，x2-x=-，配方得x2-x+=-+即（x-）2=，故选C．5.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.【答案】因式分解法【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．此题通过观察可知等式的右边可提出公因式2，变为2（x-2），移项后可把（x-2）看作是公因式，用提公因式的方法把左边分解因式，从而解出方程，所以用因式分解法比较简便．解：由方程3（x-2）2=2x-4知：两边有公因式x-2，∴用因式分解法解方程3（x-2）2=2x-4比较简便．6.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.【答案】1或【解析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.根据条件把题转化为求一元二次方程的解的问题，然后用因式分解法求解比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．解：∵2x2+1与4x2-2x-5互为相反数，∴2x2+1+4x2-2x-5=0，⇒3x2-x-2=0，∴（x-1）（3x+2）=0，解得x1=1，x2=-．7.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)="6-2x;" (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)【答案】（1）3，；（2）；（3）1，2a-1【解析】本题主要考查了解一元二次方程. （1）、（2）根据求根公式求解；（3）直接开平方解一元二次方程．解：（1）由原方程，得5x2-13x-6=0，根据求根公式解得，∴x1=3，x2=（2）由原方程，得3y2-2y+1=0，根据求根公式，得，即x=（3）由原方程，得（x-a）2=（1-a）2，∴x-a=±（1-a），即x=±（1-a）+a，∴原方程的根是x1=1，x2=2a-1．8.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?【答案】m=-6,n=8【解析】本题考查的是一元二次方程的解. 先解方程（x+4）2-52=3x，有一个正根和一个负根，其中正根是方程x2+mx+n=0的解，把这个节和2代入方程x2+mx+n=0，就可以求出m，n的值．解：解方程（x+4）2-52=3x，x2+8x+16-52-3x=0x2+5x-36=0，（x+9）（x-4）=0∴x1=-9，x2=4，所以方程x2+mx+n=0的另一个根是4，把2和4代入方程x2+mx+n=0，得：4+2m+n=0 ①，16+4m+n=0 ②解得：m=-6，n=8．9.解下面方程：（1）（2）（3），较适当的方法分别为（）A．（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法B．（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法C．（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法D．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法【答案】D【解析】本题考查了根据所给方程，选择适当的方法解方程，在选择方法时，应首选因式分解法，当用因式分解法不能解答时，再根据系数特点，选择配方法或公式法．（1）所给出的方程，符合用直接开平方法解的方程的结构特点，应用直接开平方法．（2）所给出的方程，系数较小，是整数，且左边不能进行因式分解，因此应用公式法．（3）给出的方程，左边可以进行因式分解，应用因式分解法．解：根据所给方程的系数特点，（1）应用直接开平方法；（2）应用公式法；（3）应用因式分解法．故选D．10.解方程（每题6分，共48分）；①（直接开平方法）②（用配方法）③（用因式分解法）④.⑤⑥.⑦.⑧.x－2）（x－5）=－2【答案】①x1=2,x2=－1②x1="1," x2=－4③x1=－2, x2=4④x1=－4，x2=1⑤x1=x2=1⑥x1="1," x2=－2⑦x1= x2=⑧x1="3," x2=4【解析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．①、2x-1=±3,∴x1=2,x2=－1；②、，∴x+=±,∴x1="1," x2=－4③ (x+2)(x-4)=0,∴x1=－2, x2=4;④∴x1=－4，x2=1⑤、x2+2x+1-4x=0 x2-2x+1=0 (x-1)2=0 ∴x1=x2=1⑥、x2+x-2=0 (x-1)(x+2)=0 ∴x1="1," x2=－2⑦,2x2-10x-3=0 ∴x1= x2=⑧x2-7x+12="0,(x-3)(x-4)=0," ∴x1="3," x2=4。

九年级数学上册同步练习22.2降次解一元二次方程()

(1)5x(x-3)=6-2x;
(2)3y2+1= 2 3y ;
(3)(x-a)2 =1-2a+a2(a是常数)
18.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-
52 =3x的解,你ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求出m和n的值吗?
1 19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-2kx+ 2 k2-2=0.
(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.
四、列方程解应用题
20. 某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相
同,求这个百分数.
21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管
5.方2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是( )
D.x=0
A.
x
3 2
2
16
;
B.
2
x
3 4
2
1 16
;
C.
x
3 4
2
1 16
;
D.以上都不对
6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )
A.11
B.15
C.-15
D.±15
7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )
C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
二、填空题：

人教版九年级上册数学 21.2 降次--解一元二次方程测试题

人教版九年级上册数学21.2 降次--解一元二次方程因式分解法测试题随堂检测1、下面一元二次方程的解法中，正确的是（）A ．x 2=x 两边同除以x ，得x=1B ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2C ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7D ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=，x 2=352、用因式分解法解方程:（1）2(2)24x x -=-；（2）2411x x =． 3、x 2-5x 因式分解结果为_______；2x （x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．基础题：1、二次三项式x 2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x 2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．2、下列命题:①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x 2=1是同解方程；③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、我们知道2()()()x a b x ab x a x b -++=--，那么2()0x a b x ab -++=就可转化为()()0x a x b --=，请你用上面的方法解下列方程：（1）2340x x --=；（2）2450x x +-=；（3）2760x x -+=. 4、已知22940a b -=，求代数式22a b a b b a ab +--的值． 5、已知()(2)80x y x y +++-=，求x y +的值.6、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b --的值.拓展培优题：1、琪琪在解一元二次方程240x x -=时，只得出一个根是4x =，则被他漏掉的一个根是________.2、方程2x x =的解是（）A ．1x =B ．0x =C ．11x =，20x =D ．11x =-，20x =。

九年级数学上册22.2《降次—解一元二次方程》习题精选新人教版

22.2 降次——解一元二次方程直接开平方法1．假如 (x－2) 2=9，则 x＝．2．方程 (2y－ 1)2－ 4=0 的根是．3．方程 (x+m) 2＝ 72 有解的条件是．4．方程 3(4x－ 1)2=48 的解是．配方法5．化以下各式为( x+m)2+n 的形式．(1)x2－2x－ 3=0．(2) x22x 1 0．6．以下各式是完整平方式的是()A ． x2+7 n=7B．n2－ 4n－ 4C．x21x1 216D． y2－ 2y+27．用配方法解方程时，下边配方错误的选项是() A ． x2+2 x－ 99=0 化为 (x+1) 2=0B．t 2－ 7t－ 4=0 化为(t7 )26524C．x2+8x+9=0 化为 ( x+4) 2=25D． 3x2－ 4x－ 2=0 化为( x2) 210398．配方法解方程．(1)x2 +4x=－ 3(2)2x 2+x=0因式分解法9．方程 (x+1)2 =x+1 的正确解法是()A ．化为 x+1=0B．x+1＝ 1C．化为 (x+1)( x+l －1) ＝0D．化为 x2+3x+2＝ 010．方程 9(x+1) 2－4(x－ 1)2=0 正确解法是 ()A ．直接开方得3(x+1)=2( x－ 1)B．化为一般形式13x2+5＝ 0C．分解因式得 [3( x+1)+2( x－1)][3( x+1) － 2(x— 1)]=0D．直接得 x+1＝ 0 或 x－ l＝ 011． (1)方程 x(x+2)=2( z+2)的根是．(2)方程 x2－ 2x－ 3=0 的根是．2a3b．12．假如 a2－ 5ab－14b2=0，则=5b公式法13．一元二次方程ax2+bx+c＝ 0(a≠0)的求根公式是，此中b2—4ac．14．方程 (2x+1)( x+2)=6化为一般形式是，b2—4ac，用求根公式求得x1=，x2=，x1+x2=，x1x2，15．用公式法解以下方程．(1)(x+1)( x+3) ＝ 6x+4．(2) x22( 3 1)x 2 3 0．(3) x2－(2m+1) x+m＝ 0．16．已知 x2－ 7xy+12y2＝ 0(y≠ 0)求 x： y 的值．综合题17．三角形两边的长是3， 8，第三边是方程x2—17x+66＝ 0 的根，求此三角形的周长．18．对于 x 的二次三项式：x2+2rnx+4－ m2是一个完整平方式，求m 的值．19．利用配方求2x2－ x+2 的最小值．20． x2+ax+6 分解因式的结果是( x－1)( x+2) ，则方程x2+ax+b＝ 0 的二根分别是什么?21． a 是方程 x2－ 3x+1=0 的根，试求的值．22．m 是非负整数，方程 m2x2－(3m 2— 8m)x+2m 2－ 13m+15=0 起码有一个整数根，求m 的值．23．利用配方法证明朝数式－10x2+7x－ 4 的值恒小于0．由上述结论，你可否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、 2、 3．24．解方程(1)(x 2+x) · (x2+x － 2)=24；(2) x2x 6025．方程 x2－ 6x－k＝ 1 与 x2－kx－7=0 有相同的根，求k 值及相同的根．26．张先生将进价为40 元的商品以50 元销售时，能卖500 个，若每涨价 1 元，就少卖10 个，为了赚8 000 元收益，售价应为多少?这时，应进货多少?27．两个不一样的一元二次方程x2+ax+b=0 与 x2+ax+a=0 只有一个公共根，则()A ． a=bB．a－ b=lC．a+b=－ 1D．非上述答案28．在一个 50 米长 30 米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．29．海洲市出租车收费标准以下里程 x( km)0＜ x≤ 33＜ x≤ 6x＞ 6单价 y(元 )N2225N N(规定：四舍五入，精准到元，N ≤15)N 是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11 公里，应收29． 1 元，你能依照以上信息，计算出起步价N的值吗?30．方程 (x－ 1)(x+2)( x－ 3)＝0 的根是．31．一元二次方程x2— 2x＝ 0的解是 ()A ． 0B． 2C．0，－ 2D．0，232．方程 x2+kx— 6=0 的一根是 2，试求另一个根及k 的值．33．方程(m 2) x m3mx 10 是一元二次方程，则这方程的根是什么?12是方程2— 3x— 6=0 的二根，求过 A( x1 2l234． x、x2x+x ，0)B(0 ，x ·x )两点的直线分析式．35． a、 b、 c 都是实数，知足(2 a) 2a2b c c c 80， ax2+bx+c＝0，求代数式 x2+2x+1 的值．36． a 、 b 、 c 知足方程组求方程a b848 c 2的解。

人教版九年级数学上 22.2 降次解一元二次方程(同步练习)

2 2.2降次——解一元二次方程一、选择题：1.下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+22.下列方程:①x 2=0,② 21x -2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x -=0,⑤32x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=04.方程x 2=6x 的根是( )A.x 1=0,x 2=-6B.x 1=0,x 2=6C.x=6D.x=05.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )A.11B.15C.-15D.±157.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1B.4x 2+4x+5420x -= D.(x+2)(x-3)== -5 8.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题： 9.方程2(1)5322x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______. 10.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________.11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________. 13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.14.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.15.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k的取值范围是_______.16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________.三、解答题17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数) 18.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-2kx+12k2-2=0.(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.四、列方程解应用题20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.参考答案一、DAABC,DBD二、9.x 2+4x-4=0,4 10. 240b c -≥ 11.因式分解法 12．1或23 13．2 14．18 15．115k >≠且k 16．30%三、17．（1）3，25-；（2（3）1，2a-1 18.m=-6,n=819.(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2) k =四、20．20% 21．20%。

人教版九年级上册21.2降次--解一元二次方程(第1课时)同步作业

人教版九年级上册21.2降次--解一元二次方程（第1课时）同步作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程32x +9=0的根为（）A ．3B ．－3C ．±3D ．无实数根2．下列方程中，一定有实数根的是（）A.210x += B ．2(21)0x += C ．2(21)30x ++= D ．212x a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3．若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（）A ．p=4，q=2B ．p=4，q=－2C ．p=－4，q=2D ．p=－4，q=－2 4．方程2()x a b -=（b ＞0）的根是（）A ．a ±B ．(a ±+C ．a ±D ．a ±-5．用配方法解方程x 2﹣2x ﹣5＝0时，原方程应变形为（）A ．（x +1）2＝6B ．（x +2）2＝9C ．（x ﹣1）2＝6D ．（x ﹣2）2＝9二、填空题6．若28160x -=，则x 的值是_________．7．已知一元二次方程230x c +=，若方程有解，则c ________．8．填空（1）x 2－8x+______=（x －______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）29．若22(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于________．10．一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=则另一个一次方程是_____________.三、解答题11．解一元二次方程是22(3)72x -=．12．解关于x 的方程（x+m ）2=n ．13．已知：x 2+4x+y 2－6y+13=0，求222x y x y -+的值． 14．解下列方程：（1）(1+x)2－2=0；(2)9(x －1)2－4=0．参考答案1．D【解析】原方程可化为：23x =-，∵负数没有平方根，∴原方程无实数根.故选D.2．B【解析】将210x +=，2(21)30x ++=变形，得21x =-，2(21)=3x +-，因为任何实数的平方大于或等于0，故选项A,C 错误；选项B 中，当12x =-时，2(21)0x +=，故B 正确；选项D 中，当0a <时，方程无实数根，故选项D 错误.3．B【解析】∵原式可化为：22242x x p x qx q -+=++，∴224q p q =-⎧⎨=⎩ ，解得：42p q =⎧⎨=-⎩，故选B.4．A【解析】∵在方程2()x a b -=中，0b >，∴x a -=∴x a =故选：A.5．C【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：由原方程移项，得x 2﹣2x ＝5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x 2﹣2x +1＝6∴（x ﹣1）2＝6．故选：C ．【点睛】此题考查利用配方法将一元二次方程变形，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键.6．【解析】∵28160x -=，∴22x =，∴x =7．0≤【解析】 ∵原方程可化为：23c x =-， ∴要使原方程有解，c 的取值需满足：03c -≥，由此解得：0c ≤，即：若原方程有解，则0c ≤.8．16 4 4 2【解析】（1）22816(4)x x x -+=-；（2）229124(32)x x x ++=+；即：（1）小题两空依次填：16和4；（2）小题两空依次填：4和2.9．10或－4【解析】若x 2-2（m-3）x+16是关于x 的完全平方式可得：当2(m-3)=8 此时解得：m=7；当2(m-3)=-8 此时解得：m=-1；故答案是7或-1．10．6x +=【解析】∵()265x += ，∴6x +=∴另一个一次方程是6x +=11．129,3x x ==-【解析】试题分析：根据本题方程的特点，用“直接开平方法”解此方程即可.试题解析：原方程可化为：()2336x -=，∴36x -=±，∴129,3x x ==-．12．当n <0时，方程无解；当n ≥0时，x 1=√n −m ，x 2=−√n −m .【解析】试题分析：由于题目中没有告诉“n ”的取值范围，所以分“n ≥0”和“n<0”进行解答即可.试题解析：（1）当n≥0时，x+m =±√n ，∴ x 1=√n －m ，x 2=－√n －m ．（2）当n<0时，方程无解．点睛：本题中没有指明字母“n ”的取值范围，因此解题时，需分情况讨论.13．813-【解析】试题分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x 、y 的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零的情形，从而可求得： x=－2和y=3，从而可求出后面代数式的值.试题解析：原方程可化为:（x+2）2+（y －3）2=0，∴（x+2）2=0，且（y －3）2=0，∴x=－2，且y=3， ∴2222681313x y x y ---==-+．14．（1）121,1x x =；（2）1251,33x x ==．【解析】试题分析：（1）先移项，再用“直接开平方法”解方程即可；（2）先移项，再把二次项系数化为1，然后用“直接开平方法”解方程即可.试题解析：（1）移项得：2(1)2x +=，∴1x +=∴1211x x ==，.（2）原方程可化为：24(1)9x -=， ∴213x -=±， ∴125133x x ==，.。

人教版-数学-九年级上册- 名校人教版九年级第22章第2节降次解一元二次方程(1) 作业

人教版九年级第22章第2节降次解一元二次方程(1) 作业一．积累·整合1. 方程 0)2)(1(=+-x x 的根是 ;2. 22____)(_____4+=++x x x3. 用配方法解下列方程,其中应在左右两边同时加上16的是（）A 、982=+x x ；B 、2245x x -=；C 、245x x +=；D 、225x x +=4. 已知a 、b 、c 均为实数且0)2(44422=-++++-c b a a ，求方程02=++c bx ax 的根；二．拓展·应用5. 设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且20)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为；6.方程)0(3)(222>=--b b b a x 的根是( ) A b a ± B )(b a +± C a b +±2 D b a ±±7.0362=+-x x (配方法) 1)4(2=+x x (配方法)8.若两个连续奇数的积是63,则它们的和是 ( )A 、±16B 、15C 、-15D 、119.用适当的方法解方程16)23(6)23(2=---x x三、探索·创新10．有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。

11.已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝1，b 2＋c 2＝2，c 2＋a 2＝2，则ab ＋bc ＋ca 的最小值为（A ）52 (B )12+(C ) 12- (D ) 12-答案：1. .2,121-==x x2. 4，23．A4．;6,1,1-=-==c b a .3,221=-=x x5．26.C7.略8. A9.略10.53或3511．D。

9年级数学上册(人教版)达标训练(22.2 降次——解一元二次方程)

达标训练基础·巩固·达标 1．将下列方程各根分别填在后面的横线上：（1）x 2=169, x 1= ，x 2= ;（2）45-5x 2=0, x 1= ，x 2= .提示：利用直接开平方法解题，其中方程（2）化为x 2=9.答案：（1）13-13 （2）3 -32.填空：（1）x 2+6x +（）＝（x + ）2；（2）x 2-8x +（）＝（x -）2；（3）x 2+23x +（）＝（x + ）2. 提示：本题思考的方法有两点：其一，看二次项系数是否为1，若是1，配方时，只需加上一次项系数一半的平方即可，如（1）左边加9，配成 x 与3和的完全平方；其二，若二次项系数不是1 时，为便于配方，要先提取二次项系数，使括号内首项为1.答案：（1）9 3 （2）16 4 （3）169 433.方程x 2+6x -5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A.（x +3）2=14B.(x -3)2=14C.(x +6)2=12D.以上答案都不对提示：配方法解一元二次方程时，为便于配方，要化二次项系数为1；同时两边各加上一次项系数一半的平方，注意勿忘加上右边的项.移项，得x 2+6x=5 ，两边各加上9，得x 2+6x+9=5+9.即（x+3）2=14.答案：A4.用配方法解下列方程，配方错误的是（）A.x 2+2x -99=0，化为（x +1）2=100B.t 2-7t -4=0，化为 (t -27)2=465 C.x 2+8x +9=0，化为（x +4）2=25D.3x 2-4x -2=0，化为(x -32)2=910提示：A ：移项，得x 2+2x=99.配方，得x 2+x+12=99+12，即（x+1）2=100.所以A 项正确.B ：移项，得t 2-7t=4.配方，得t 2-7t+(27)2=4+(27)2，即(t-27)2=465.所以B 项正确.C ：移项，得x 2+9x=-9.配方，得x 2+8x+42=-9+42，即（x+4）2=7.所以C 项错误.D ：移项，得3x 2-4x=2.二次项系数化为1，得x 2-34x=32.配方，得x 2-34x+(32)2=32+(32)2，即(x-32)2=910.所以D 项正确.答案： C5.方程2x 2-8x -1=0 应用配方法时，配方所得方程为 .提示：配方前，必须先把二次项系数化为1，同时两边各加上一次项系数一半的平方，整理即可得到所得的方程.答案：（x+2）2=296.如果x 2-2(m +1)x +m 2+5=0是一个完全平方公式，则m . 提示：根据完全平方式的特点可知：二次项系数为1时，常数项应是一次项系数一半的平方，因此m 2+5= (m+1)2 ，解得m=2. 答案：=27.当m 为时，关于x 的方程(x -p )2+m =0有实数解.提示：方程(x-p)2+m=0可变形为(x-p)2=-m.由平方根的定义可知，当-m ≥0，即m ≤0时原方程有实数解.答案：小于等于08.解下列方程：（1）9x 2=8；（2）9(x +31)2=4；（3）4x 2+4x +1=25. 提示：根据方程的特点可以选用直接开平方法解方程. 解：（1）x 2=98,x=±322,x 1=322,x 2=-322. （2）（x+31）2=94，1,31,323121-==±=+x x x . （3）(2x+1)2=25，2x+1=±5，x 1=2，x 2=-3.综合·应用·创新9．用配方法解下列方程：（1）x 2+x -1=0；（2）2x 2-5x +2=0；（3）2x 2-4x +1=0.提示：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：（1）移项：使方程左边是二次项和一次项，右边是常数项；（2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；（3）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值的一半的平方，把原方程化为（mx+n ）2=p 的形式；（4）当p ≥0时，用直接开平方法解变形后的方程.解：（1）移项，得x 2+x=1.配方，得x 2+x+⎪⎭⎫ ⎝⎛212=1+41，即(x+21)2=45 . .251,251.252121--=+-±=+x x x .（2）移项，得2x 2-5x=-2. 二次项系数化为1，得x 2- 25x=-1.配方，得x 2-25x+⎪⎭⎫ ⎝⎛452=-1+⎪⎭⎫ ⎝⎛452，即169452=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x .222,222,434521-=+=±=-x x x .（3）移项，得2x 2-4x=-1. 二次项系数化为1，得x 2-2x=- 12.配方，x 2-2x+12=-21+12,即(x-1)2=21. 222,222,22121-==±=-x x x .10．（1）用配方法证明2x 2-4x +7恒大于零；（2）由第（1）题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.（1）可用配方法将2x2-4x+7配成一个完全平方式与某个正数的和的形式；（2）此题答案有很多，只要是一个完全平方式加上一个正数得到的二次三项式均符合题意.证明：（1）2x2-4x+7=2（x2-2x）+7=2（x2-2x+1-1）+7=2（x-1）2-2+7=2（x-1）2+5.因为2（x-1）2≥0，所以2（x-1）2+5≥5，即2x2-4x+7≥5，故2x2-4x+7恒大于零.（2）x2-2x+3；2x2-2x+5；3x2+6x+8等.回顾热身展望11．山东济南模拟解一元二次方程：（x-1）2=4.提示：据方程特点选择直接开平方法解方程比较简便.解：x-1=±2，x-1=2或x-1=-2，所以x1=3，x2= -1.12．北京模拟用配方法解方程：x2-4x+1=0.提示：根据配方法的步骤先配方再解方程.解：移项，得x2-4x= -1.配方，x2-4x+22= -1+22，（x -2）2=3.由此可得x -2=± 3,x1=2+3,x2=2-3.试题使用说明各位使用者:本试题均是经过精心收集整理，目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便！附：如何养成良好的数学学习习惯“习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶．伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸．”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝．良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯．一、课堂学习的习惯课堂学习是学习活动的主要阵地．课堂学习习惯主要表现为：会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作．1．会笔记上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写，而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理．做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼．要经常翻阅笔记，加强理解，巩固记忆．另外，做笔记还能使你的注意力集中，学习效率更高．2．会比较在学习基础知识（如概念、定义、法则、定理等）时，要运用对比、类比、举反例等思维方式，理解它们的内涵和外延，将类似的、易混淆的基础知识加以区分．如找出“同类项”和“同类二次根式”，“正比例函数”和“一次函数”，“轴对称图形”和“中心对称图形”，“平方根”和“立方根”，“半径”和“直径”，等概念的异同点，达到合理运用的目的．3．会质疑“学者要会疑”，要善于发现和寻找自己的思维误区，向老师或同学提问．积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径，同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑，锻炼自己的批判性思维．学习中哪怕有一点点的问题，也要大胆提问，不能留下知识上的“死角”，否则问题就会积少成多，为后续学习设置障碍．4．会分析一是要认真审题：先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题，把一些已知条件填在图形上，并将一些关键词做好标记，达到显露已知条件，同时又挖掘隐含条件的目的．如做几何体时，将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记，避免忘记．再如做应用题时，象“不超过”“不足”等字眼，就暗示着存在不等量关系．只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题；二是要认真思索：依据题目中题设和结论，寻找它们的内在联系，由题设探求结论，即“由因求果”，或从结论入手，根据问题的条件找到解决问题的方法，即“由果索因”，或将两种方法结合起来，需找解题方法．要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等，拓展思路，训练自己的求异思维．5．会合作英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果，我给你一个苹果，我们每人只有一个苹果；你给我一个思想，我给你一个思想，我们每人就有两个思想了”，这足以说明合作、交流的学习方式的重要性．我们主要的学习方式是自主学习，在独立思考的基础上，要适时地和同桌交流意见．在小组学习期间，要积极发表自己的观点和见解，倾听他人的发言，并作出合理的评判，以锻炼自己的表达能力和鉴别能力．二、课外作业的习惯课外作业是数学学习活动的一个组成部分，它包括：复习、作业等．1．复习及时复习当天学过的数学知识，弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容．首先凭大脑的追忆，想不起来再阅读课本及笔记．在最短的时间内进行复习，对知识的理解和运用的效果才能最好，相隔时间长了去复习，其效果不明显，“学而时习之”就是这个道理．同时，要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习，使复习层层递进、环环紧扣，这样才能在正确理解知识的基础上，熟练地运用知识．2．作业会学习的同学都是当天作业当天完成，先复习，后做作业．一定要独立完成，决不能依赖别人．书写一定要整洁，逻辑一定要条理．对作业要自我检查，及时改正存在的错误，三、测试、检查的习惯1．认真总结测试、检查前，可以借助于笔记，把某一阶段的知识加以系统化、深化，弥补知识的缺陷，进一步掌握所学知识．2．认真反思测试、检查后，通过回顾反思，查清知识缺陷和薄弱环节，寻找失误的原因，改进学习方法，明确努力方向，使以后的测试、检查取得成功．良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素，但必须持之以恒．。

【新】人教版九年级数学上册21.2降次--解一元二次方程(第一课时)同步测试题及答案

22．2降次--解一元二次方程（第一课时）22.2.1 配方法(1)◆随堂检测1、方程32x +9=0的根为（）A 、3B 、-3C 、±3D 、无实数根2、下列方程中，一定有实数解的是（）A 、210x +=B 、2(21)0x +=C 、2(21)30x ++=D 、21()2x a a -= 3、若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（）A 、p=4，q=2B 、p=4，q=-2C 、p=-4，q=2D 、p=-4，q=-24、若28160x -=，则x 的值是_________．5、解一元二次方程是22(3)72x -=．6、解关于x 的方程（x+m ）2=n ． ◆典例分析已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值．分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x 、y 的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零，可以挖掘出隐含条件x=-2和y=3，从而使问题顺利解决．解：原方程可化为（x+2）2+（y-3）2=0，∴（x+2）2=0，且（y-3）2=0，∴x=-2，且y=3，∴原式=2681313--=-． ◆课下作业●拓展提高1、已知一元二次方程032=+c x ，若方程有解，则c ________．2、方程b a x =-2)(（b ＞0）的根是（）A 、b a ±B 、)(b a +±C 、b a +±D 、b a -±3、填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）24、若22(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于________．5、解下列方程：（1）(1+x)2-2=0；(2)9(x-1)2-4=0．6、如果x 2-4x+y 2，求()zxy 的值． ●体验中考1、（2008年，丽水）一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=_____________.2、（2009年，太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．2(1)6x +=B ．2(1)6x -=C ．2(2)9x +=D ．2(2)9x -=参考答案：◆随堂检测1、D 依据方程的根的定义可判断此方程无实数根，故选D ．2、B D 选项中当0a <时方程无实数根，只有B 正确．3、B 依据完全平方公式可得B 正确．4．5、解：方程两边同除以2，得2(3)36x -=，∴36x -=±，∴129,3x x ==-．6、解：当n ≥0时，x+m=，∴x 1，x 2-m ．当n<0时，方程无解．◆课下作业●拓展提高1、0≤ 原方程可化为23c x =-，∴0c ≤．2、A 原方程可化为x a -=x a =±．3、根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2．4、10或-4 若22(3)49x m x +-+是完全平方式，则37m -=±，∴1210,4m m ==-．5、（1）121,1x x ==；（2）1251,33x x ==．6、解：原方程可化为（x-2）2+（y+3）2=0，∴x=2，y=-3，z=-2，∴2()(6)z xy -=-=136． ●体验中考1、6x +=原方程可化为6x +=6x +=2、B 原方程可化为22160x x -+-=，∴2(1)6x -=.故选B.。