指数及指数幂的运算
指数与指数幂的运算
在经济学中，指数函数和指数幂运算可以用于描 述商品价格和需求量之间的关系。
人口增长
在研究人口增长时，指数函数和指数幂运算可以 用于描述人口随时间的变化趋势。
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指数与指数幂的运算
$number {01} 汇报人：
2023-12-28
目录
• 指数幂的定义与性质 • 指数的性质与运算 • 指数幂的运算 • 复合指数幂的运算 • 指数与指数幂的应用
01
指数幂的定义与性质
定义
指数幂的定义
指数幂是一种数学运算方式，表示一 个数以另一个数为底数的幂次方。例 如，a^b表示a的b次方。
详细描述
在复合指数幂的运算中，需要遵循幂的乘法法则、除法法则、乘方和开方等基本 运算规则。例如，a^(m^n) = (a^m)^n，a^(mn) = (a^m)^n 等。
复合指数幂的简化
总结词
简化复合指数幂的过程主要是通过提 取公因子、合并同类项和化简表达式 等方式。
详细描述
在简化复合指数幂时，可以提取公因 子，将同类项合并，化简表达式，使 其更易于理解和计算。例如， a^(m+n) = a^m * a^n，a^(m-n) = a^m / a^n 等。
指数幂的性质
指数幂具有一些基本性质，如 a^(m+n)=a^m×a^n，a^(mn)=（ a^m）^n等。
性质
1 3
非零数的0次幂为1
对于任何非零数a，有a^0=1。
任何数的1次幂等于它本身
2
对于任何数a，有a^1=a。
负数的偶次幂为正，奇次幂为负
对于任何负数a，有a^(2n)=（a^2）^n＞0，a^(2n+1)=（a^2）^n＜0（n为自然数）。
认识简单的指数和幂运算
认识简单的指数和幂运算指数和幂运算是数学中常见的运算方式。
它们在各个领域都有着广泛的应用，例如在科学、工程、经济等等。
了解并掌握简单的指数和幂运算是数学学习的基础，本文将简要介绍指数和幂运算的概念、性质以及应用。
一、指数运算指数运算是指以一个数为底数，另一个数为指数，进行运算的方式。
一般用如下的形式表示：a^n，其中a为底数，n为指数。
指数运算具有以下几个特点：1. 正整数指数：当指数为正整数时，如a^2，表示将底数a连乘两次，即a^2 = a × a。
2. 零指数：当指数为0时，a^0=1。
任何数的零次幂都等于1。
3. 负整数指数：当指数为负整数时，如a^(-2)，表示将底数a连乘两次，再取倒数，即a^(-2) = 1 / (a × a)。
4. 分数指数：当指数为分数时，如a^(1/2)，表示将底数a开平方根，即a^(1/2) = √a。
指数运算有一些简单的性质，如乘法法则、幂的幂法则等。
利用这些性质，我们可以简化复杂的指数运算。
二、幂运算幂运算是指将一个数连乘若干次，即数的幂是相同因子连乘的结果。
用如下形式表示：a^n，其中a为底数，n为幂。
幂运算也有以下几个特点：1. 正整数幂：当幂为正整数时，如2^3，表示将底数2连乘3次，即2^3 = 2 × 2 × 2。
2. 零幂：任何数的零次幂都等于1，即a^0 = 1。
3. 负整数幂：当幂为负整数时，如2^(-2)，表示将底数2连乘2次，再取倒数，即2^(-2) = 1 / (2 × 2)。
4. 分数幂：当幂为分数时，如2^(1/2)，表示将底数2开平方根，即2^(1/2) = √2。
幂运算也有一些性质，如乘法法则、幂的幂法则等。
这些性质的应用使得幂运算更加简便。
三、应用举例指数和幂运算在很多领域都有重要的应用。
1. 自然科学：在物理学、化学等领域，指数和幂运算常常被用于描述物质的变化、放射性衰变、电路中的电流电压关系等。
指数运算 幂运算
指数运算幂运算
（原创版）
目录
1.指数运算和幂运算的定义
2.指数运算和幂运算的例子
3.指数运算和幂运算的性质
4.指数运算和幂运算的应用
正文
指数运算和幂运算是数学中的基本概念，广泛应用于各种数学领域。
1.指数运算和幂运算的定义
指数运算是指在数学中，将一个数 (称为底数) 连乘若干次，得到另一个数 (称为指数) 的运算。
例如，2 的 3 次方 (2^3) 等于 2 乘以 2 乘以 2，即 8。
幂运算则是将一个数的指数设置为另一个数，例如，2 的
3 次幂 (2^3) 等于 8。
2.指数运算和幂运算的例子
例如，假设我们有两个数字，分别是 2 和 3，我们可以使用指数运
算来计算它们的幂。
具体来说，2 的 3 次方等于 2 乘以 2 乘以 2，即8，而 3 的 2 次方等于 3 乘以 3，即 9。
3.指数运算和幂运算的性质
指数运算和幂运算有一些基本的性质，例如，对于任意的数字 a 和 b，有 a^0=1 和 b^0=1，即任何数字的 0 次方都等于 1。
另外，对于任意
的数字 a 和 b，有 a^b = (a^(b/2))^2，即一个数的 b 次方可以表示
为该数的平方的 b/2 次方。
4.指数运算和幂运算的应用
指数运算和幂运算在数学和物理学等领域有广泛的应用。
例如，在计算机科学中，指数运算常常用于表示数据的增长或减小，而在物理学中，指数运算则可以用于描述物体的加速度或减速度。
指数运算和幂运算是数学中的基本概念，具有广泛的应用。
指数与指数幂的运算知识点总结
指数与指数幂的运算知识点总结本节知识点 （1）整数指数幂; （2）根式; （3）分数指数幂; （4）有理数指数幂; （5）无理数指数幂. 知识点一 整数指数幂1.正整数指数幂的定义:,其中N*.an na a a a 个⋅⋅=∈n 2.正整数指数幂的运算法则: （1）(N*);nm nmaa a +=⋅∈n m ,（2）（且N*）;nm nma a a -=÷,,0n m a >≠∈n m ,（3）(N*);()mn nma a=∈n m ,（4）(N*);()mmmb a ab =∈m （5）（N*）.m m mb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛,0≠b ∈m 3.两个规定（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.即.()010≠=a a 零的零次幂没有意义.（2）任何不等于零的数的（为正整数）次幂,等于这个数的次幂的倒数.即:n -n n . ()01≠=-a a a nn 零的负整指数幂没有意义. 知识点二 根式的概念及其性质 1.次方根n （1）定义 一般地,如果（且N*）,那么叫做的次方根. a x n=1>n ∈n x a n （2）性质:①当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次n n n a n方根用表示;na ②当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数,表示为.负数没有偶n n na ±次方根;③0的任何次方根都是0,记作.00=n2.根式的定义 形如（且N*）的式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被na 1>n ∈n n a 开方数.对根式的理解,要注意以下几点: na （1）且N*; 1>n ∈n （2）当为奇数时,R ; n ∈a （3）当为偶数时,≥0.n a 根式（且N*）的符号的确定:由的奇偶性和被开方数的符号共同确定. na 1>n ∈n n a （1）当为奇数时,的符号与的符号相同; n na a （2）当为偶数时,≥0,为非负数. n a na 3.根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn与的联系与区别:()nna nn a （1）对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意义()nna n ∈a n a nn a 的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制. n n （2）当为奇数时,.n ()=nna a a nn =知识点三 分数指数幂1. 规定正数的正分数指数幂的意义是（,N*,且）nm nm a a =0>a ∈n m ,1>n 于是在条件,N*,且下,根式都可以写成分数指数幂的形式.0>a ∈n m ,1>n2. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,规定（,N*,且）nmnm nm aaa11==-0>a ∈n m ,1>n 3. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 对分数指数幂的理解:（1）分数指数幂不能理解为个相乘,它是根式的一种新的写法; nm a nma （2）分数指数不能随意约分. nm如,事实上,,式子是有意义的;而在()()214233-≠-()()424233-=-()3321-=-实数范围内是没有意义的.（3）在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂.如上面提到的,但没有意义.()()424233-=-()()434355-=-所以对于分数指数幂,当≤0时,有时有意义,有时无意义.因此,在规定分数指数幂的nm a a 意义时,要求. 0>a 知识点四 有理数指数幂规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用: （1）（Q ）;sr sra a a +=⋅,0>a s r ,∈（2）（Q ）;()rs sra a=,0>a s r ,∈（3）（Q ）.()rrrb a ab =0,0>>b a r ∈有理数指数幂的运算还有如下性质: （4）（Q ）;sr sraa a -=÷,0>a s r ,∈（5）（Q ）.r r rb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛0,0>>b a r ∈常用结论:（1）当时,; 0>a 0>ba （2）若则;,0≠a 10=a（3）若（,且）,则; sr a a =0>a 1≠a s r =（4）乘法公式适用于分数指数幂.如（）.b a b a b a b a -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+221221212121210,0>>b a 知识点五 无理数指数幂一般地,无理数指数幂（,是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性αa 0>a α质同样适用于无理数指数幂.知识点六 运用公式进行指数幂的运算（条件求值） 常用公式:（1）平方差公式 .()()b a b a b a -+=-22（2）完全平方公式 .()()2222222,2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+（3）立方和公式 . ()()2233bab a b a b a +-+=+（4）立方差公式 .()()2233bab a b a b a ++-=-（5）完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+（6）完全立方差公式 .()3223333b ab b a a b a -+-=-常用公式变形:（1）,.()ab b a b a 2222-+=+()ab b a b a 2222+-=+（2）,.211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x 211222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+x x x x 或者写成,.()22122-+=+--x x xx ()22122+-=+--x x x x （3）;⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b b a a b a b a b a 212121213213212323.⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b b a a b a b a b a 212121213213212323例题讲解例1. 已知,求的值.32121=+-x x 32222323++++--x x x x 分析:采用整体思想方法,对所求式子进行合理变形,然后把条件整体代入求值.本题用到的公式和结论有:;()22122-+=+--x x x x . ()()1112121121213213212323-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+------x x x x x x x x x x xx 解:∵32121=+-xx ∴,∴. 92122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x 71=+-x x ∴.()4727222122=-=-+=+--x x x x ()()181731121213213212323=-⨯=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+----x x x x x x xx ∴.52502034721832222323==++=++++--x x x x 例2. 已知,求下列各式的值:22121=+-a a （1）; （2）; （3）.1-+a a 22-+a a 22--a a 分析:在求的值时,直接入手比较困难,我们可以先求出的值,然22--a a ()222--a a 后在进行开平方运算. 解:（1）∵22121=+-aa ∴,∴; 42122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 21=+-a a （2）;()222222122=-=-+=+--a a a a （3）∵()()04242222222=-=-+=---a a a a ∴. 022=--a a例3. 已知,其中,求的值.41=+-x x 10<<x xx x x 122+--分析:要学会根式与分数指数幂的相互转化,在转化时要注意:根指数是分数指数的分母,被开方数（或式）的指数是分数指数的分子.解:∵41=+-x x ∴,∴,∴. 4222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 62121=+-x x()1424222122=-=-+=+--x x x x ∴()()19241442222222=-=-+=---x x x x ∵,∴,∴.10<<x 22-<x x 3819222-=-=--x x ∴. 24638121212222-=-=+-=+----x x x x x x x x 例4. （1）已知,求的值;42121=+-aa 21212323----aa a a （2）已知,且,求的值;9,12==+xy y x y x <21212121yx y x +-解:（1）∵42121=+-aa ∴,∴. 212212142=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 142161=-=+-a a ∴; ()15114111212112121212132132121212323=+=++=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------a a a a a a a a a a a a aa a a （2）∵9,12==+xy y x ∴ ()()3192129212222221212212122121221212121=+-=++-+=++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-xy y x xy y x xy y x xy y x y x y x y x y x∵,∴,∴y x <2121y x <021212121<+-yx y x ∴. 333121212121-=-=+-yx y x 例5. 已知,求的值.3232+=a 31311--++aa a a 分析:借助于分式的性质. 解:∵ 3232+=a ∴,.3232113232-=+==-a a()34732223234+=+=⎪⎭⎫⎝⎛=a a ∴()132323431313113131311++=⎪⎭⎫⎝⎛++=++-----a aa a a a a a a aa aa .()3333333333913232347=++=++=++-++=解法二:∵3232+=a ∴113232313132323131313133133131311-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++--------a a a a a a a a a a a a aa a a .313232132132113232=--++=-+++=-+=aa 例6. （1）当时,求的值;22,22-=+=y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----323132343132y y x x y x （2）若,求的值. 122-=xaxx xx aa a a --++33分析: 结论 对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数. 本题中,,被开方数不是完全平方数,所以不能化简,当确有22+=x 22+x.()222222+=+=x 解:（1）∵22,22-=+=y x ∴12331332323132343132------=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y x y y x x y x ; ()22122222221222+=+-+=--+=（2）∵122-=x a ∴ ()()()()1122223333-+=++-+=++=++--------xx xx x x x x x x x x x x x x a a aa a a a a a a a a a a a a . 1121121122--+-=-+=xx a a 12211212-=-++-=另解:解例5的解法一.题型一 整数指数幂的运算例7. 已知（为常数,且Z ）,求的值.a x x =+-22a ∈x x x -+88分析:因为,所以先由条()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+件求出的值.a x x =+-22x x 2222-+完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+解法一:∵a x x =+-22∴()2222222222-=-+=+--a x x x x ∴()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+.()()a a a a a a 3312322-=-=--=解法二:（完全立方和公式） ∵a x x =+-22∴,展开得:.()3322a x x =+-()()()()3322322232232a x x x x x x =+⨯⨯+⨯⨯+---整理得:,∴. ()382238a x x x x =+++--3838a a x x =++-∴.a a x x 3883-=+-例8. 已知,则_________. 3101=+-x x =--22x x 解:∵ 3101=+-x x ∴ ()9822310222122=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=+--x x xx ∴ ()()816400498242222222=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x x x ∴. 98081640022±=±=--x x 解法二分析:使用平方差公式得. ()()1122----+=-x x x x x x 解法二:∵ 3101=+-x x ∴ ()()9644310422121=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x xx ∴. 389641±=±=--x x ∴. ()()980383101122±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⨯=-+=----x x x x x x 例9. 若,求的值. 31=+-x x 2323-+x x 解:∵（这里）31=+-x x 0>x ∴,∴. 3222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 522121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵,∴.02121>+-x x 52121=+-xx ∴ ()1212132132123231----+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x x x x x xx . ()52135=-⨯=解法二:∵31=+-x x ∴()723222122=-=-+=+--x x x x∴ ()()()202173122213322323=+-⨯=+-+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+----x x x x x x x x ∴.52202323==+-xx 例10. 已知,则【 】41=+-x x =+-2121x x （A ）2 （B ）2或 2-（C ）（D ）或666-分析:题目的隐含条件为. 0>x 解:∵41=+-x x ∴,∴ 42221211=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--x x x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵02121>+-x x ∴.选择【 C 】.62121=+-x x例11. 已知,则【 】212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ()=+1x f （A ） （B ）42-x ()21+x （C ）（D ）()()2111-+++-x x 322-+x x 解:（换元法）设,则有t xx =+-2121∴222221211-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--t x x x x ∴,∴. ()2222t t t f =+-=()2x x f =∴.选择【 B 】.()()211+=+x x f 解法二（凑整法）:∵212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ∴,∴.2212122121212122⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x f ()2x x f =∴.()()211+=+x x f题型二 根式的化简在进行根式的化简时,主要用到的是根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn注意 对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意()nna n ∈a n a nn a 义的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制.n n 例12. 化简下列各式: （1）;()()222535-+-（2）（≥1）.()()2231x x -+-x 解:（1）原式;125532535=-+-=-+-=（2）.()()x x x x -+-=-+-313122∵≥1x ∴当1≤≤3时,原式; x 231=-+-=x x 当时,原式. 3>x 4231-=-+-=x x x 例13. 化简: （1）; （2）（≤）.()nnx π-62144+-a a a 21分析:对于（1）,要对的奇偶性进行分类讨论. n 解:（1）当为奇数时,;n ()ππ-=-x x nn 当为偶数时,; n ()()()⎩⎨⎧<-≥-=-=-ππππππx x x x x x nn（2）.()()()33162626221212112144a a a a a a -=-=-=-=+-注意:当底数为正数时,其分数指数可以约分.例14. 求下列各式的值: （1）;223223-++（2）.347246625-+--+分析: 结论 对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数.根据此结论,可知,,均可以化为完全平方的形式. 625+246-347-解:（1）原式;()()221212*********2=-++=-++=-++=（2）原式()()()222322232-+--+=.22322232322232=-++-+=-+--+=总结 形如（）的双重二次根式的化简,一般是将其化为n m 2±0,0>>n m 的形式,然后再化简.由得:()2ba ±()ab b a ba n m 222±+=±=± ⎩⎨⎧==+nab mb a 所以是一元二次方程的两个实数根.b a ,02=+-n mx x 例15. 化简. 32-解:. ()()226213213222132324322-=-=-=-=-=-例16. 计算:.()()4123323-+-解:原式.()[]()58323233443=+-=-+-=-+-=注意 在利用根式的性质进行的化简时,一定要注意当为偶数时,底数的符号.nna n a 例17. 化简下列各式: （1）（）;()()665544b a b a a -+++0<<b a （2）（）. 1212----+x x x x 21<<x 解:（1）∵0<<b a ∴原式; ()a b a b b a a b a b a a -=-+++-=-+++=2（2）∵,∴ 21<<x 110<-<x ∴原式()()1111111122---+-=---+-=x x x x. ()1211111111-=-+-+-=---+-=x x x x x 例18. 求值_________. =-++335252解:令,则有y x =-=+3352,52,.4525233=-++=+y x 1-=xy ∴,∴()()422=+-+y xy x y x ()()[]432=-++xy y x y x 设,则,有t y x =+0>t ,∴,()432=+t t 0433=-+t t 01333=--+t t ∴()()0412=++-t t t ∵,∴,∴. 042>++t t 01=-t 1=t ∴. 1525233=-++解法二:设,则有=x 335252-++,∴()x x 3452523333-=-++=0432=-+x x∴, ()()03313=-+-x x ()()0412=++-x x x ∵,∴,∴ 042>++x x 01=-x 1=x ∴. 1525233=-++例19. 根据已知条件求值: （1）已知,求的值;32,21==y x yx y x yx y x +---+（2）已知是方程的两根,且,求的值.b a ,0462=+-x x 0>>b a ba b a +-解:（1）∵ 32,21==y x ∴原式()()()()()()yx yx yx yx yx yx -+--+-+=22yx xyy x y x xy y x --+--++=22; 383221322144-=-⨯⨯=-=yx xy（2）∵是方程的两根 b a ,0462=+-x x ∴4,6==+ab b a ∴()()204464222=⨯-=-+=-ab b a b a ∵,∴ 0>>b a 0>-b a ∴. 5220==-b a ∴. ()()()55515242622==-=--+=-+-=+-b a ab b a ba ba ba ba b a （2）解法二:∵是方程的两根,∴b a ,0462=+-x x 4,6==+ab b a ∴. ()()5110242642622222==+-=++-+=+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-abb a ab b a b a b a b a b a ∵,∴,∴0>>b a b a >0>+-ba b a ∴. 5551==+-ba b a 例20. 已知,N*,求的值.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nn x 115521∈n ()n x x 21++解:∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n nx 115521∴.n n n n n n x 222221125215525411552111---++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+2115541⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-n nx 11255211∴.()55552155211111112=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++--nn n nn n n nx x例21. 已知函数,.()53131--=x x x f ()53131-+=x x x g （1）证明:在上是增函数（已知在R 上是增函数）;()x f ()+∞,031x y =（2）分别计算和的值,由此概括出函数和()()()2254g f f -()()()3359g f f -()x f 对所有不等于0的实数都成立的一个等式,并加以证明.()x g x （1）证明:任取,且()+∞∈,0,21x x 21x x <∴ ()()55531131231231131231231131121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=-----x x x x x x x x x f x f ∵,且,在R 上是增函数 ()+∞∈,0,21x x 21x x <31x y =∴312311312311,--><x x x x ∴,∴ ()()021<-x f x f ()()21x f x f <∴在上是增函数; ()x f ()+∞,0（2）解:()()()2254g f f -.0522522552222554432323232313131313131=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----同样求得. ()()()03359=-g f f 猜想:. ()()()052=-x g x f x f 证明:()()()x g x f x f 52-.055555532323232313131313232=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----x x x x x x x x xx 例22. 当,且时,求的值.0,0>>y x ()()y x y y x x 53+⋅=+yxy x y xy x -+++32解:∵,且0,0>>y x ()()y x y y x x53+⋅=+∴, y xy xy x 153+=+0152=--y xy x ∴()()053=-+y x yx ∴,. 05=-y x y x y x 25,5==∴.22958525355032==-+++=-+++yyy y y y y y yxy x y xy x 题型三 根式与分数指数幂的互化在进行根式与分数指数幂的互化时要注意两个对应: （1）根指数对应分数指数的分母;（2）被开方数（或式）的指数对应分数指数的分子. 当出现多重根号时,应从里向外化简.例23. 用根式或分数指数幂表示下列各式:,,,;.51a ()043>a a 36a ()013>a a()0>a a a 解:;551a a =;()43430a a a =>;23636a a a ==;()23233101-==>a aa a.()4323210a a a a a a a ==⋅=>例24. 将根式化为分数指数幂是【 】 53-a （A ） （B ）（C ）（D ）53-a 53a 53a -35a -解:选择【 A 】. 例25. 化简:_________.（用分数指数幂表示）()()=⋅÷⋅109532a a a a 解:由题意可知:.0>a ∴原式.561012101451310921532a a a a a a a a ==÷=⎪⎭⎫⎝⎛⋅÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=例26. 设,化简:.0>a 434334aa a a -解:∵0>a ∴.611616653163254343234434334---===⋅⋅=aaa aa a a aa aa aa例27. 下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是【 】 （A ）（B ）()()0414>-=-x x x )0551≠-=-x x x（C ） （D ）()0,4343≠⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y y x 4182y y =解:（A ）,故（A ）错;()0414>-=-x x x （B ）,故（B ）错; ()0155151≠==--x xx x（D ）,故（D ）错. 选择【 C 】. 4182y y =例28. 下列各式正确的是【 】 （A ）;（B ）35531aa=-2332x x =（C ）（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=814121814121aaa a x x x x 412212323131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---解:（A ）,故（A ）错;53535311aaa ==-（B ）,故（B ）错; 3232x x =（C ）,故（C ）错. 选择【 D 】.85814121814121a aaa a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-题型四 根式和分数指数幂有意义的条件1.对于次根式,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0. n na n ∈a n a 2.0的0次幂和负实数幂都没有意义.例29. 若有意义,则的取值范围是__________.()4321--x x解:∵()()()43434321121121x x x -=-=--∴,解之得:. 021>-x 21<x 即的取值范围是.x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,例30. 函数的定义域是【 】()()2125--+-=x x y （A ） （B ）{}2,5≠≠x x x {}2>x x （C ） （D ）{}5>x x {}552><<x x x 或解:∵()()()()()215215250210210-+-=-+-=-+-=-x x x x x x y ∴,解之得:且.⎩⎨⎧>-≠-0205x x 2>x 5≠x ∴该函数的定义域为.选择【 D 】.()()+∞,55,2 题型五 幂的运算目前,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂的运算.运算的结果可以化成根式形式或者保留分数指数幂的形式,但不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数幂.（1）（R ）; s r s r a a a +=⋅∈>s r a ,,0（2）（R ）;()rs sr a a =∈>s r a ,,0（3）（R ）.()r r rb a ab =∈>>r b a ,0,0例31. 计算下列各式（式中的字母均为正数）: （1）;()()()c b a b a b a 24132124-----÷-⋅（2）. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----------212121211122b a b a b a b a 解:（1）原式;()ca ac cb a b a 33112412423-=-=÷-=-----（2）原式 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--------21212121112121b a b a b a b a ()()()bb b a b a b a ba b a b a221111111111111==+-+=----+=-------------例32. 化简下列各式: （1）;212121211111aaa a a++------（2）.111113131313132---+++++-x xx x x x x x 解:（1）原式; ()()011112121212121211=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=-----a a a a a a a a a （2）原式 11111131323131333131323331-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x 31323132313131313131313231313231323111111111111xx x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.31x -=例33. 化简:. ()()()()()1421443333211--------++-++-+aa a a a a a a a a a a解:原式 ()()()()()()1221442212212111---------+-+-++++-+-+=a a a a a a a a a a a a a aa a ()[]()[]()()1214412222111--------++++++-+=aa a a a a a a a a a a()()aa a a a aa a a a a a a 21111144144=-++=-++++++=------例34. 化简下列各式:（1）;（2）.436532yx xy⋅1111212331++-+++a a a a a 解:（1）原式;1212143653231--==yx yx y x （2）原式 111111111121212131313231213321313331++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a a a a a a a a a21313221313211aa a a a a +-=-++-=例35. 【 】 ()=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--21212001.04122532（A ）（B ） （C ）（D ）0151630173658-解:. ()21212001.04122532-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--1516101324111001491411=-⨯+=-⨯+=选择【 A 】.例36. 化简:_________.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅⋅----321132132a b b a bab a 解:原式.656161673223236167322121131212132--------=÷=⎪⎭⎫⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=b a ab b a b a b a b a ba b a b a 例37._________. =⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---442102324953121解:原式. 22322322232491112=-++=-++-+=例38. 已知,则的值是_________. 3,2==n m 32432332⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅----m n nm m n n m 解:∵3,2==n m ∴原式 32325343322534312322332⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=--------mn n m n m n m n m mn n m n m . 27232333131=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛=---mn n m 例39. 已知函数,则_________.()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=1,351,312x x x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321353f f 解: ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛---4343213533353f f f f . 33939335353331243=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯=-题型六 解含幂的方程例40. 解下列方程:（1）;（2）.2291381+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯x x0123222=-⨯++x x 解:（1）,()2224333+-=⨯x x 424233--+=x x ∴,解之得:;4242--=+x x 2-=x （2）,设,则()0123242=-⨯+⨯x x t x =20>t ∴, 01342=-+t t ()()0114=+-t t 解之得:（舍去）. 1,241221-===-t t ∴,∴.222-=x 2-=x 结论 若（,且）,则sra a =0>a 1≠a s r =题型七 指数幂等式的证明 设参数法例41. 设都是正数,且,求证:. c b a ,,c b a 643==ba c 122+=证明:设,则有. t cba===643cbat t t 12116,2,3===∵ 236⨯=∴,∴ba bacttt t 2112111+=⋅=ba c 2111+=等式两边同时乘以2得:. b a c 122+=例42. 设,且,则_________.m b a ==52211=+ba =m 分析:这是指数幂的连等式,参数已经给出. 解:∵,∴. m ba==52bam m 115,2==∵211=+ba ∴,∴,.2111152m m m m ba ba==⋅=⨯102=m 10±=m ∵,∴. 0>m 10=m 例43. 已知,且. 333cz by ax ==1111=++zy x 求证:.()31313131222c b a czby ax ++=++证明:设,则. t cz by ax ===333zt cz y t by x t ax ===222,,∴.⎪⎭⎫⎝⎛++=++z y x t cz by ax 111222∵,∴ 1111=++z y x t z y x t =⎪⎭⎫⎝⎛++111∴,t cz by ax =++222()3131222t czby ax =++∵3131313313313313131111t z y x t z t y t x t c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++∴.()31313131222c b a czby ax ++=++例44. 对于正整数（≤≤）和非零实数,若c b a ,,a b c ω,,,z y x ,ω70===z y x c b a ,求的值. zy x 1111++=ωc b a ,,解:设,则有.k c b a zyx====ω70ω111170,,,k k c k b k a zyx====∴zy x k abc 111=∵,∴. zy x 1111++=ω70=abc ∵为正整数,且≤≤ c b a ,,a b c ∴ 752107170⨯⨯=⨯⨯==abc ∴或10,7,1===c b a 7,5,2===c b a 当时,,不符合题意,舍去. 10,7,1===c b a 0===ωz y ∴.7,5,2===c b a 本节易错题例45. 计算_________.()()=-++44332121分析 对于对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn解:原式.2212212121=-++=-++=例46. 化简_________. ()()=-⋅-43111a a 分析:题目的隐含条件为. 1>a 解:原式.()()()()()()()414343431111111--=-⋅--=-⋅-=-⋅-=---a a a a a a a 例47. 已知,N*,化简.1,0><<n b a ∈n ()()nn nnb a b a ++-解:当为奇数时,原式; n a b a b a 2=++-=当为偶数时,原式.n b a b a ++-=∵,∴原式. 0<<b a a b a a b 2-=---=其它例48. 已知函数,则_________. ()⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=0,210,21x x x x f x ()=-)4(f f 解:∵ ()1621121444=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=--f ∴.()()4161616)4(21====-f f f 例49. 已知集合,,且,则_______.{}4,,2a a A -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=b a aa B 2,,33B A ==+b a 解:{}{}4,,4,,2a a a a A -=-=根据集合元素的互异性,,∴a a -≠0>a ∴{}b b a a aa B 2,1,2,,33-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∴,解之得:.⎩⎨⎧==421b a ⎩⎨⎧==21b a ∴ 3.=+b a 例50. 设,若,则()244+=x xx f 10<<x _________. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f 解:∵()244+=x x x f ∴()()=+++=+++=+++=-+--2422444444244244244111x x x x x x x x x x x x f x f 12424=++x x ∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f.500111100150110015001001100010011=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= f f f f。
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；
指数公式运算法则
指数公式运算法则
指数运算法则：
1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
2.幂的乘方，底数不变，指数相乘：
3.分式乘方，分子分母各自乘方，等.
指数运算法则
乘法
1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
2.幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
4.分式乘方，分子分母各自乘方.
除法
1.同底数幂相除，底数不变，指数相减.
2.规定：(1)任何不等于零的数的零次幂都等于1.
(2)任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.。
(绝对经典)指数与指数幂的运算
2
3 a2 a 3 (a 0),
1
b b 2 (b 0),
5
4 c5 c 4 (c 0).
我们规定正数的正指数分数幂
的意义是:
m
a n n am (a 0, m, n N *,且n 1).
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对 于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
4. (a b)2 (a b).
4. (a b)2 (a b).
三、分数指数幂 探究:
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a4 )3 a3 a 4 (a 0).
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有
解：a3
a
a3
1
a2
3 1
a2
7
a2;
a2 3
a2
a2
2
a3
2 2
a 3
8
a3;
3 )2 (a 3 )2 a 3.
四、无理指数幂
探究:
在前面的学习中，我们已经把指数由正整数推广到 了有理数，那么，能不能继续推广到实数范围呢？
a＞0，p是一个无理数时，ap的值就可以用两个指数为 p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而 得到(这个近似结果的极限值就等于ap)，故ap是一个确定 的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂 也适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围.
五、强化练习
练习1:比较 5, 3 11, 6 123的大小.
一、知识回顾
在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个 a的连乘积，即
数学指数幂的运算
数学中，指数幂的运算是一种重要的运算方式。
指数幂运算包括幂的乘法、幂的除法以及幂的幂等运算。
1. 幂的乘法：
对于相同的底数，幂的乘法规则是，将底数保持不变，指数相加。
例如：a^m * a^n = a^(m+n)
2. 幂的除法：
对于相同的底数，幂的除法规则是，将底数保持不变，指数相减。
例如：a^m / a^n = a^(m-n)
3. 幂的幂：
幂的幂运算规则是，将底数保持不变，指数相乘。
例如：(a^m)^n = a^(m*n)
需要注意的是，这些运算规则只适用于相同底数的情况。
如果底数不同，指数幂的运算则不一定遵循上述规则。
另外，还有一些特殊的指数幂运算规则，如：
- 0的正整数次幂为1，即0^n = 1（其中n为正整数）。
- 0的0次幂未定义，即0^0 没有确定的值。
- 任何数的0次幂都为1，即a^0 = 1（其中a不等于0）。
运用这些指数幂运算规则，我们可以简化和计算复杂的幂运算，从而在数学问题中做出更简洁和准确的推导和计算。
2.1.1 指数幂及其运算
先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性
质进行化简.
11
11
7
【解析】(1)原式＝a3 ·a4 ＝a3 ＋4 ＝a12 .
111
111
7
(2)原式＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 .
23
23
13
(3)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 .
1
1
2 13
213
73
了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条
件.
1
【正解】由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14 .
【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无
隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是
(1)4 2＋1·23－2 2·64－3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a21 ·b2
a2 ＋b2
a2 －b2
【解析】(1)原式＝22 2＋2·23－2 2·2－4＝21＝2.
1
1
1
1
1
1
(2)原式＝a2
＋b2 ·a2 a21＋b12
－b2
－a21 a2
－b2
1
－b2
2
1
＝a2
1
－b2
－ a 1 2
方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
指数与指数幂的运算必修一
(ab)n=an⋅bn(n是正整 数)
a^mn=(am)^n(m,n都 是正整数)
指数幂的运算规则
运算顺序
先乘方、再乘除、最后加减， 如果有括号则先进行括号内的
运算。
同底数幂的乘法规则
同底数幂相乘时，底数不变， 指数相加。
同底数幂的除法规则
同底数幂相除时，底数不变， 指数相减。
幂的乘方规则
幂的乘方时，底数不变，指数 相乘。
通过综合实例解析，学生可以 更好地掌握指数法则的应用， 提高解决实际问题的能力。
05
总结与回顾
本章重点回顾
指数幂的定义与性质
指数幂是数学中的一种运算方式，表示一个数自乘若干次。 例如，a^n表示a自乘n次。指数幂具有一些基本性质，如 a^(m+n)=a^m×a^n，(a^m)^n=a^(m×n)等。
学习目标
掌握指数与指数幂的 基本运算规则和性质。
理解指数与指数幂运 算在数学和科学领域 中的应用。
能够运用指数与指数 幂运算解决实际问题。
02
指数幂的定义与性质
指数幂的定义
指数幂的定义
对于任意实数a和正整数n，an表示a 自乘n次，即an=a×a×...×a（n个a相 乘）。
零指数幂的定义
负整数指数幂的定义
指数法则的应用
指数法则的应用包括解决实际问题、 简化复杂数学表达式以及在科学、工 程和经济学等领域中的计算。
通过应用指数法则，可以大大简化复 杂的数学运算，提高计算效率和准确 性。
综合实例解析
通过综合实例解析，可以更好 地理解指数法则的应用和实际 意义。
综合实例包括解决实际问题的 数学模型、复杂数学表达式的 简化以及数学竞赛中的题目解 析等。
指数和指数幂的运算
n
4 9 16 -1 -8
; ;
①
22
2
2
;
2
② (2) 2 ③
3
; 3 ;
; ;
4
4
;
;
33
3
3
④ 3 (3)3
4 ( 1) ⑤ 4
－3 1
3
3
;
n 当 n 为奇数时 , 公式2：
a a
a, a 0 | a | a , a 0
n
当n为偶数时, n a n
例1: 求下列各式的值
(1) (8)
3 4
3 4
(2) (10)
2 2
(3) (3 )
5 10
(4) a (a 0)
练习: 求下列各式的值:
(6) 4 a12
(2)
(1)
3
-8;
2
(3) ( 2 - 3) ; (4) 3 5 2.已知 x , 化简： 2 2
大家能指出右边各式的数学含义吗？
6000 5730
根
a 4 9 0 －4
式
a
相信你们还没忘 记！
1.平方根 若x2=a， 则 x 叫做 a 的平方根（a≥0 ) 2.立方根 若x3=a， 则 x 叫做 a 的立方根
a的平方 根 a的立方 根
±2 ±3 0
无
(2) 4
2
－8
-2 -1 0 2
(2)3 8 (1)3 1 03 0
2 2
4
1 (3a - 1) (a ). 3
4
(-2);
4
4x 12 x 9 4x 20 x 25
指数幂运算
指数幂运算
指数幂的运算法则如下：
1、指数加始篇减底不变，同底数幂相乘除。
2、指数相乘底不变，幂的乘方要清畜川楚。
3、积商乘方原指数，换底乘方再乘除。
4、非零数的零次幂，常值为1不糊涂。
5、负整数的指数幂，指数转正求倒数。
6、看到分数指数幂，想到底数必非负。
7、乘方指数是分子，根指数要当分母。
在数学上我们把n个相同的因数a相乘的积记做a^n 。
这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在a^n中,a叫做底数,n叫做指数。
a^n读作“a的n次方”或“a的n次幂“。
一个数可以看做这个数本身的一次方。
例如，5就是5^1，指数1通常省略不写。
二次方也叫做平方，如5^2通常读做”5的平方“；三次方也叫做立方，如5^3可读做”5的立方“。
正整数指数幂的运算性质如下：
1、am·an=am+n（m，n是正整数）。
2、（am）n=amn（m，n是正整数）。
3、（ab）n=anbn（n是正整数）。
4、am÷an=am-n（a≠0，m，n是正整数，m>n）。
5、a0=1（a≠0）。
指数加减乘除公式
指数加减乘除公式1. 同底数幂的乘法公式。
- 对于同底数幂a^m和a^n（a≠0，m、n为有理数），同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a^m· a^n = a^m + n。
- 例如：2^3×2^4 = 2^3+4=2^7 = 128。
2. 同底数幂的除法公式。
- 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
对于a^m÷ a^n（a≠0，m、n为有理数且m>n），a^m÷ a^n=a^m - n。
- 例如：3^5÷3^2 = 3^5 - 2=3^3 = 27。
3. 幂的乘方公式。
- 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n=a^mn（a≠0，m、n为有理数）。
- 例如：(2^3)^4 = 2^3×4=2^12=4096。
4. 积的乘方公式。
- 积的乘方等于乘方的积，(ab)^n=a^n b^n（a、b为实数，n为有理数）。
- 例如：(2×3)^2 = 2^2×3^2=4×9 = 36。
5. 指数的加法和减法。
- 在同底数幂的情况下，如前面所述，乘法对应指数加法a^m· a^n = a^m + n，除法对应指数减法a^m÷ a^n=a^m - n。
- 不同底数幂的指数相加或相减没有直接的通用公式，一般需要先将底数化为相同或者通过对数等其他方法来处理。
例如2^3+3^2，不能直接对指数进行运算，2^3 = 8，3^2 = 9，结果为8 + 9=17。
6. 指数的乘除混合运算。
- 遵循先乘方、再乘除的顺序。
例如计算2^3×3^2÷2^2：- 先计算乘方：2^3 = 8，3^2 = 9，2^2 = 4。
- 再进行乘除运算：8×9÷4=(8×9)÷4 = 72÷4 = 18。
- 如果是同底数幂的乘除混合运算，则按照同底数幂的乘除规则进行，如a^m· a^n÷ a^p=a^m + n-p（a≠0，m、n、p为有理数）。
指数运算基本公式
指数运算基本公式指数运算是数学中常用的运算方法之一，表示为a^a，其中a称为底数，a称为指数。
指数运算有一些基本的公式，用于简化复杂的指数表达式或者进行指数运算。
下面是一些指数运算的基本公式：1.乘法公式：对于同一个底数的指数运算，底数相同，指数相加。
例如：a^a×a^a=a^(a+a)例如：2^3×2^2=2^(3+2)=2^52.除法公式：对于同一个底数的指数运算，底数相同，指数相减。
例如：a^a÷a^a=a^(a-a)例如：3^5÷3^2=3^(5-2)=3^33.幂的乘幂公式：对于同一个底数的指数运算，指数相乘。
例如：(a^a)^a=a^(a×a)例如：(4^3)^2=4^(3×2)=4^64.幂的除幂公式：对于同一个底数的指数运算，指数相除。
例如：(a^a)^a=a^(a/a)例如：(5^6)^2=5^(6/2)=5^35.指数乘法公式：不同底数的指数运算，指数相同，底数相乘。
例如：a^a×a^a=(a×a)^a例如：2^3×3^3=(2×3)^3=6^36.指数除法公式：不同底数的指数运算，指数相同，底数相除。
例如：a^a÷a^a=(a÷a)^a例如：5^4÷2^4=(5÷2)^4=(2.5)^47.指数零次幂公式：任何数的零次幂等于1例如：a^0=1例如：4^0=18.指数一次幂公式：任何数的一次幂等于其本身。
例如：a^1=a例如：6^1=69.非零数的负指数公式：任何非零数的负指数等于其倒数的正指数。
例如：a^(-a)=1/a^a例如：2^(-3)=1/2^3=1/8这些公式是指数运算中常用的基本公式，可以通过这些公式简化指数表达式、进行指数运算，从而方便计算和求解问题。
同时，这些公式也是指数运算的基础，可以用于推导其他复杂的指数运算公式。
指数运算在数学中具有广泛的应用，例如在代数、几何、物理等领域中都会涉及到指数运算。
指数及其运算
(4) n a n a
(当n为奇数时);
n
an
m
a
a a a a
0 (当n为偶数时)
0
(5) a n n am a 0，m, n Z *，且n 1
(6)a
m n
1
m
a
0，m, n
Z *，且nBiblioteka 1an指数幂的运算性质广：
aman amn (a 0, m、n为实数) (am )n amn (a 0, m、n为实数) (ab)m ambm (a 0, b 0, m、n为实数)
1 3
(2)(m4 n 8 )8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25
a2
(2)
(a 0)
a 3 a2
三、无理数指数幂
小结：
一、根式的概念; 二、幂的运算及性质
(1)负数没有偶次方根;
(2)零的任何次方根都是零且零的零次幂,负指数次幂无意义;
(3) n a n a
m
规定:（1）a n
1
m
(a
0, m, n
N *,且n
1)
an
（2）0的正分数指数幂等于0;0的负分数指
数幂没意义.
运算性质：(整数指数幂的运算性质对于有理 指数幂也同样适用）
aras ars (a 0, r, s Q) (a r )s a rs (a 0, r, s Q) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q)
(a 0) (a 0)
例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）
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那么这个数叫做a的n次方根。
即如果xn=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N+。
２、n次方根的表示符号：n a 或－ n a
（1）当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的
n次方根为负数；如：3 27 3,5 32 2,3 a6 a2
2 于是规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am a 0, m, n N *,且n 1
３、正数的负分数指数幂的意义是：
m
a n
1
m
a 0, m, n N *, 且n 1
an
４、０的正分数指数幂等于０，０的负分数指数幂
没有意义,为什么?
练习: 用根式的形式表示下列各式
5
1 5 2 2
(∨);2 4 (-2)4 2
4
3 4 2 2
(×);413 513 5
(×); ( ∨);
5 b 2n 2n b (×);6 4 b8 b2 (∨);
7 ( n a )n 总有意义
(×);8 n an
总有意义（
∨
）
例题分析2: 求值
2
(1) 83
-1
(2) 25 2
指数及指数幂的运算
教学目标及重点：
１、理解根式的概念，掌握n次方根的表示及计算； ２、掌握分数指数幂的意义及运算
教学难点：。
分数指数幂的运算应用
复习回顾：
１、整数指数幂：an=a·a·a···a (n∈N+) a0=1(a≠0); a-n=1/an(a≠0, n∈N+)
2、整数指数幂有下面运算性质：
(2) (-10)2
(3) 4(3 -π)4 (4) (a - b)2 (a b)
分数指数幂：
1 问题探究:当根式有意义时,根式能否写成分数指数幂 的形式？，如：（设a>0,b>0,c>0)
5 a10
a2
10
a5
2
3 a2 a3
3 a12 a4 1
12
a3
b b2
5
4 c5 c4
即:当根式有意义时,根式都可以用正分数的指数幂表示
思考：
（1）当n为奇数时，负数的n次方根是否有意义？
（2）当n为偶数时，负数的n次是否有意义？
(3) 等式n an = a一定成立吗?何时成立?
试举例说明.
小结 : (1)当n为奇数时,n an a
(2)当n为偶数时,n
an
=
a
=
a -a
a0 a<0
５、例题分析1：求下列各式的值。
(1) 3 -8
(1)am an amn (m, n Z ) (2)am an amn (m, n Z)
(3)(am )n amn (m, n Z)
(5)( a )n b
an bn
(n
Z)
(4)(a b)n an bn (n Z )
根式的概念
引入：4的2次方根有几个？如何表示？ 27的三次方根呢？
ar as ars ; (ar )s ars ; (ab)r arbr
作业
作业设置: 1 书面:课本P59练习 2;P65 A :1, 2 2课外 : 学案P34 :1 5
（2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个
数互为相反数；这时，正的n次方根用符号 n a 表示，
负的n次方根用符号－ n a 表示，正的n次方根和负的
n次方根可合并为± n a(a>0)
（3）0的任何次方根都是０，记作 n 0 0
如:4 16 2, 4 16 2即 4 16 2
(4)式子 n a叫根式, 其中n叫根指数, a叫被开方数
1
(1) a 2
3
(2) a 4
-3
(3) a 5
-2
(4) a 3
５，整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用。
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0, r,∈Q).
练一练：判断下列命题是否正确：
(2) (a - b)4 (4) m4
n2 m
小结
1.根式的意义
当n为奇数时,n an a
当n为偶数时,n an a 2.分数指数幂的意义
a, a 0 a, a 0
m
a n n am
m
an
1
m
an
1 n am
(分数指数幂与根式的互化)
3.5
(4)
(
16
-
)
3 4
2
81
例题分析3:用分数指数幂的形式表示
下列各式(其中a,m,n > 0)
(1) a3 a
(2) a2 3 a2
(3) a 3 a
(4) 3 m2 + n2
(5) a a a a
练习: 用分数指数幂的形式表示下列各式
(1) x4y3(y > 0) (3) 4 (a - b)3(a - b > 0)