第5章作业题解

辛钦 大数 定律
设是相互独立同分布的随机变量序列，，则 对于任意的正数ε有
列维 －林 德伯 格定 理
设随机变量相互独立，服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差：，则随机变量 的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
棣莫 弗－ 拉普 拉斯 定理
设随机变量为具有参数n, p(0<p<1)的二项分 布，则对于任意实数x,有
因为 ，， 所以 ， 由中心极限定理知，近似服从 故
一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们是相互独立的随机变量，并且都
服从区间上的均匀分布。记，求的近似值。
解：，由定理1，得
即有
5.5 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成, 在整个运行期间 每个部件损坏的概率为0.1, 为了使整个系统起作用, 至少要有85个部件 正常工作. 求整个系统起作用的概率 解：设正常工作的部件数为X，因为部件正常工作的概率为， 所以 ，有，
解：因为，所以。 故由切比雪夫不等式，得 不等式得证.
5.3 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量, 期望是10千克, 方 差是0.1千克2. 求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率. 解：设第i袋大米的重量为Xi，(i =1,2,…,100)，则100袋大米的总重量 为。
， 由中心极限定理知，近似服从
又设要准备现金x元，则满足兑换的概率为 依题意，要满足 ，即要
解之得 故应准备234000元的现金。
第五章《大数定律和中心极限定理》定义、定
理、公式小结及补充：
切比 雪夫 不等 式
设随机变量有期望和方差,则对于任给, 有.
（1）大数定 律
（2）中心极 限定理
（3）二项定 理 （4）泊松定 理
若当，则
超几何分布的极限分布为二项分布。 若当，则
其中k=0，1，2，…，n，…。 二项分布的极限分布为泊松分布。
切比 雪夫 大数 定律
设随机变量相互独立，均具有有限方差，且 被同一常数C所界：(),则对于任意的正数 ε，有
特殊情形：若具有相同的数学期望，则上 式成为
伯努 利大 数定 律
设μ是n次独立试验中事件A发生的次数， p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于 任意的正数ε，有
伯努利大数定律说明，当试验次数n很大 时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可 能性很小，即 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定 性。
第五章作业题解
5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差 是700. 使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间 的概率.
解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，， 由切比雪夫不等式，得
.
5.2 设随机变量服从参数为的泊松分布, 使用切比雪夫不等式证明 .
由 银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金. 这批债券共发放了 500 张, 每张债券 到期之日需付本息1000元. 若持券人(一人一张) 于债券到期之日到银行 领取本息的概率为0.4,问银行于该日应至少准备多少现金才能以99.9% 的把握满足持券人的兑换? 解：设领取本息的人数为X，则。有