高考数学坐标系与参数方程专项练习题
高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)
高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。
高考数学《坐标系与参数方程》专项练习(含答案)
《坐标系与参数方程》专项练习一、知识梳理． 1．极坐标与直角坐标的互化．设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：（1）x y cos sin， 2 x2 y2（2） tany x2．参数方程x y f g(t) (t)(t为参数)化为普通方程的常用方法．（1）代入法/加减法消参． （2）借助三角恒等式 sin2θ＋cos2θ＝1（θ 为参数）消参．3．直角坐标方程，极坐标方程和参数方程的转化关系．y Mρ θy O x Ax极坐标方程 (ρ，θ)⇔直角坐标方程(普通方程) (x，y)⇔参数方程 (t 为参数)二、练习专项． 【题型 1】①极坐标方程 ⇔ 直角坐标方程．②参数方程 ⇔ 直角坐标方程．1．（2016全国Ⅲ卷，文科23，10分）在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x 3 cosy sin（α 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ＋ )＝2 2 ．4（Ⅰ）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求∣PQ∣的最小值及此时 P 的直角坐标．解：（Ⅰ）由x y 3 cos sin消去参数α得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得 x 3 cos y sin x2两边平方，得 3 cos2 ①y2 sin2 ②①＋②，得 x2 ＋y2＝13C1 的普通方程为 x2 ＋y2＝1……………………2 分3∵ρsin(θ＋ )＝2 24∴ρ(sinθcos ＋cosθsin )＝2 2 ……………………3 分44ρ( 2 sinθ＋ 2 cosθ)＝2 2222 ρsinθ＋ 2 ρcosθ＝2 222ρsinθ＋ρcosθ＝4……………………4 分∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y1 / 13∴x＋y＝4……………………5 分 （Ⅱ）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos,sin ) ……………………6 分∵C2 是直线 ∴ | PQ | 的最小值即为 P 到 C2 的距离 d ( ) 的最小值d ( ) | 3 cos sin 4 | 2 | sin( ) 2 | ………………8 分23当且仅当 2k (k Z ) 时， d ( ) 取得最小值，最小值为 2 ………………9 分6此时 P 的直角坐标为 ( 3 , 1) ………………10 分 222．（2009全国卷，文/理23，10分）已知曲线C1：x y 4 3scos intt（t为参数），C2： x y 8cos 3sin（θ为参数）．（Ⅰ）化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1 上的点P对应的参数为t＝ 2，Q为C2 上的动点，求PQ中点M到直线C3：x y 3 2t 2 t（t 为参数）距离的最小值．解：（Ⅰ）由C1：x y 4 3scost int消去参数t得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得x y 4 3 cost sint两边平方，得( (x y 4) 3) cos2 t 2 sin2 t① ②①＋②，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1∴C1 的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1……………………2 分 ∴C1 为圆心是(－4，3)，半径是 1 的圆由C2：x y 8cos 3sin消去参数θ得……………………1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得 x 8 y 3 co s sin两边平方，得 x2 64 y2 9 cos2 sin2 ① ② ①＋②，得 x2 ＋ y2 ＝1 64 9∴C2 的普通方程为 x2 ＋ y2 ＝1……………………2 分64 9∴C2 为焦点在 x 轴上的椭圆（Ⅱ）当 t 时， P(4, 4) ， Q(8cos,3sin )2故 M (2 4 cos , 2 3 sin ) 2C3 为直线 x 2y 7 02 / 13M 到 C3 的距离 d 5 | 4cos 3sin 13 | 5从而当 cos 4 ,sin 3 时， d 取得最小值 8 5555【题型 2】①直角坐标方程 ⇔ 极坐标方程． ②直角坐标方程 ⇔ 参数方程．3．（2016 全国Ⅱ卷，文科 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x＋6)2＋y2＝25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是x y t tcos sin(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10 ．求 l 的斜率．解：（Ⅰ）由圆 C 的方程 x 62 y2 25可得……………………1 分x2＋12x＋36＋y2＝25 x2＋y2＋12x＋11＝0……………………2 分 把 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ 代入上式得……………………3 分 ρ2＋12ρcosθ＋11＝0……………………4 分 ∴圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋12cosθ＋11＝0……………………5 分（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R) 由 A，B 所对应的极径分别为 ρ1，ρ2……………………8 分 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcosα＋11＝0……………………7 分于是 1 2 12cos, 12 11,| AB || 1 2 | (1 2 )2 412 144 cos2 44, ……………………8 分由|AB|＝ 10 得cos2 3 , tan 15 ……………………9 分83∴l 的斜率为 15 或 15 ……………………10 分334．（2015 全国Ⅰ卷，文/理 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2 ＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求 C1，C2 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积．解：（Ⅰ）把 x＝ρcosθ 代入 C1：x＝－2 得 ρcosθ＝－2……………………1 分 ∴C1 的极坐标方程为 ρcosθ＝－2………………2 分 由 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1 得 (x2－2x＋1)＋(y2－4y＋4)＝1 x2＋y2－2x－4y＋1＋4＝1 x2＋y2－2x－4y＋4＝0………………3 分 把 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入上式得………………4 分 C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0………………5 分（Ⅱ）将 θ＝ 代入 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得3 / 13ρ2－3 ρ＋4＝0………………6 分 解得 ρ1＝2 ，ρ2＝ ………………7 分 故 ρ1－ρ2＝ ，即|MN|＝ ………………8 分 由于 C2 的半径为 1∴△C2MN 的面积为 ………………10 分5．（2014全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C：x2 4y2 9 1，直线l：x y 2 2 t 2t(t为参数)．（Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．解：（Ⅰ）∵曲线 C： ＝1∴ ( x)2 ( y)2 1 23又∵sin2θ＋cos2θ＝1∴ x ＝cosθ， y ＝sinθ23∴x＝2cosθ，y＝3sinθ曲线C的参数方程为x y 2 cos 3sin(θ为参数)．由直线 l：消去参数 t 得（此处为消参的计算过程，可省略） 把③代入②，得y＝2－2(x－2)由①得 t＝x－2 ③整理得 2x＋y－6＝0直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0．（Ⅱ）曲线 C 上任意一点 P(2cosθ，3sinθ)到 l 的距离为d＝ |4cosθ＋3sinθ－6|则|PA|＝|5sin(θ＋α)－6|，其中 α 为锐角，且 tanα＝当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为6．（2014 全国Ⅱ卷，文/理 23，10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ，θ∈[0， ]． 2 （Ⅰ）求 C 的参数方程； （Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y＝ 3 x＋2 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的 参数方程，确定 D 的坐标．解：（Ⅰ）∵ρ＝2cosθ4 / 13∴ρ2＝2ρcosθ 把 x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ 代入上式得5 / 13x2＋y2＝2x ∴C 的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1) ∴半圆 C 的圆心为(1，0)，半径为 1可得 C 的参数方程为(t 为参数，0≤t≤π)（Ⅱ）设 D(1＋cost，sint)由(Ⅰ)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆∵C 在点 D 处的切线与 l 垂直∴直线 GD 与 l 的斜率相同．tant＝ ，t＝故 D 的直角坐标为，即【题型 3】极坐标方程 ⇔ 参数方程．7．（2016全国Ⅰ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x y a 1cos t asint（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C3 的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0 满足 tanα0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a．解：（Ⅰ）解法一：C1 是圆的方程…………1 分由x y a 1cos t asint消去参数t得…………2分（此处为消参的计算过程，可省略）移项，得x y a cost 1 a sint即x 2 ( y a2 1) 2cos2 a2t sin2t① ②①＋②，得两边平方，得x 2 ( y (a 1) 2cost)2 (a sint)2x2＋(y－1)2＝a2cos2t＋a2sin2t x2＋(y－1)2＝a2(cos2t＋sin2t) x2＋(y－1)2＝a2x2 y 12 a2 ①整理得 x2 y2 2y 1 a2 0 …………3 分∴把 x2 y2 2 ，y sin 代入上式得…………4 分2 2 sin 1 a2 0∴ C1 的极坐标方程为 2 2 sin 1 a2 0 …………5 分 （Ⅱ）由 C2：ρ＝4cosθ 得两边同乘 ρ 得 ρ2＝4ρcosθ ∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝xx2 y2 4x …………6 分即 x 22 y2 4 ②…………7 分C3：化为普通方程为 y 2x …………8 分由题意： C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3 ①－②得： 4x 2y 1 a2 0 ，即为 C3 …………9 分5 / 13∴1 a2 0 6 / 13∴ a 1 …………10 分8．（2013全国Ⅰ卷，文/理23，10分）已知曲线C1的参数方程为x y 4 5 5 cos t 5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ．（Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．解：（Ⅰ）将x y 4 5 5 cos t 5sint消去参数t得C1 的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0将x y cos sin代入上式得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0∴C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0 （Ⅱ）∵C2 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ∴C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0由x x2 2 y2 y28x 10y 16 0 2y 0① ②（此处为解方程的过程，可省略）提取 x，得 x(x－1)＝0②－①，得 8x＋8y－16＝0∴x＝0 或 x－1＝0整理，得 y＝2－x③解得 x＝0 或 x＝1把③代入②，得把 x＝0 代入③，得 y＝2x2＋(2－x)2－2(2－x)＝0把 x＝1 代入③，得 y＝1整理，得 x2－x＝0(特别注意，x 是未知数，不能约去的)解得x y 0 2或x y 1 1C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(0，2)，(1，1)对于点(0，2)有：ρ＝ x2 y2 ＝ 02 22 ＝2，θ＝ 2对于点(1，1)有：ρ＝ x2 y2 ＝ 12 12 ＝ 2 ，tanθ＝ y ＝1，θ＝ x4∴C1 与 C2 交点的极坐标分别为(2， )，( 2 ， )24【题型 4】其它题型：．求交点坐标，求点的坐标，求轨迹方程等．9．（2015全国Ⅱ卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1： x y t tcos sin(t为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π．在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2 3 cosθ． （Ⅰ）求 C2 与 C3 交点的直角坐标； （Ⅱ）若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值． 解：（Ⅰ）∵C2：ρ＝2sinθ6 / 13∴ρ2＝2ρsinθ 把 ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ 代入上式得 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0 ①………………1 分∵C3：ρ＝2 cosθ∴ρ2＝2 ρcosθ 把 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ 代入上式得曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3 x＝0 ②………………2 分联立①②得x 2x 2 y2 y22y 0 2 3x 0① ………………3 分②（此处为解方程的过程，可省略）提取 x，得 x(2x－ 3 )＝0①－②，得 －2y＋2 3 x＝0∴x＝0 或 2x－ 3 ＝0整理，得 y＝ 3 x③ 把③代入①，得 x2＋3x2－2 整理，得 2x2－ 3 x＝03 x＝0解得 x＝0 或 x＝ 32把 x＝0 代入③，得 y＝0(特别注意，x 是未知数，不能约去的) 把 x＝ 3 代入③，得 y＝ 322解得x y 0或 0x y 3 2 3 2………………4分∴C2 与 C3 交点的直角坐标为(0，0)和………………5 分（Ⅱ）曲线 C1 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α<π因此 A 的极坐标为(2sinα，α)，B 的极坐标为(2 cosα，α)∴|AB|＝|2sinα－2 cosα|＝4 当 α＝ 时，|AB|取得最大值，最大值为 410．（2013全国Ⅱ卷，文/理23，10分）已知动点P，Q都在曲线C：x y 2 cos t 2sint(t为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0＜α＜2π)，M 为 PQ 的中点．（Ⅰ）求 M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．解：（Ⅰ）∵动点 P，Q 都在曲线 C：(t 为参数)上∴P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)∵M 为 PQ 的中点∴xM＝ 2cos 2cos2 ＝cosα＋cos2α 2yM＝ 2sin 2sin2 ＝sinα＋sin2α 2∴M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．∴M 的轨迹的参数方程为(α 为参数，0<α<2π)． 7 / 13（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离 d＝(0<α<2π)．8 / 13当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点11．（2012全国卷，文/理23，10分）已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，3π)． （Ⅰ）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标； （Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解：（Ⅰ）∵点A 的极坐标为 ∴点B 的极坐标为点C 的极坐标为点D 的极坐标为∴x A ＝＝1，y A ＝＝ x B ＝2cos ＝－，y B ＝2sin＝1 x C ＝2cos ＋π＝－1，y C ＝2sin ＋π＝－x D ＝2cos ＝，y D ＝2sin ＝－1即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)（Ⅱ）设P(2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ∵0≤sin 2φ≤1∴S 的取值范围是[32，52]12．（2011全国卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x (α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2． （Ⅰ）求C 2的方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝3π与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |．解：（Ⅰ）设P (x ，y )，则由条件知M (2x ，2y )． 由于M 点在C 1上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin 222cos 22y x 即⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x (α为参数)（Ⅱ）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ射线θ＝3π与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin 3π 射线θ＝3π与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin 3π ∴|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2313．（2010全国卷，文/理23，10分）已知直线C 1：⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （t 为参数），圆C 2：⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数)． （Ⅰ）当α＝3π时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：（Ⅰ）当α＝3π时 C 1的普通方程为1)y x -C 2的普通方程为221x y += 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)1(322y x x y 解得C 1与C 2的交点为（1，0），1(,2 （Ⅱ）C 1的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.A 点坐标为2(sin ,cos sin )a a a -，故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x a y a a ==-⎧⎨⎩（a 为参数） P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+= 故P 点是圆心为1(,0)4，半径为14的圆（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
2020年高考数学 选修4-4：坐标系与参数方程 解答题专练(含答案)
2020年高考数学选修4-4：坐标系与参数方程解答题专练1.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线，曲线（φ为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为.（1）求直线l1和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与,C的公共点分别为A,B，且，求MOB的面积．2.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是设点P(-1,2)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于M,N两点，求的值．3.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(-2,0)(1)若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求的值.4.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线（φ为参数）相交于不同的两点A,B．（1）若，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程；（2）若直线的斜率为，点，求的值．5.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．6.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P(-1,0)，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．7.【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求．8.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．10.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|=4，求△MAB面积的最大值与最小值。
坐标系与参数方程高考真题汇总
坐标系与参数方程高考真题汇总1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．[选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l 被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA 为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB=．最后根据直角三角形OBA求弦长.详解：因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为，则直线l过A（4，0），倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，所以．因此，直线l被曲线C截得的弦长为．点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.2．（题文）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.详解：（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.3．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．详解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.4．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点，且倾斜角为的直线与交于，两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得。
高中数学《坐标系与参数方程》练习题(含详解)
数学选修 4-4 坐标系与参数方程[ 基础训练 A 组 ]一、选择题1 ．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A ．B ．C ．D ．2 ．下列在曲线上的点是（）A ．B ．C ．D ．3 ．将参数方程化为普通方程为（）A ．B ．C ．D ．4 ．化极坐标方程为直角坐标方程为（）A ．B ．C ．D ．5 ．点的直角坐标是，则点的极坐标为（）A ．B ．C ．D ．6 ．极坐标方程表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1 ．直线的斜率为 ______________________ 。
2 ．参数方程的普通方程为 __________________ 。
3 ．已知直线与直线相交于点，又点，则_______________ 。
4 ．直线被圆截得的弦长为 ______________ 。
5 ．直线的极坐标方程为 ____________________ 。
三、解答题1 ．已知点是圆上的动点，（ 1 ）求的取值范围；（ 2 ）若恒成立，求实数的取值范围。
2 ．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。
3 ．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。
一、选择题1 ．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A ．B ．C ．D ．2 ．参数方程为表示的曲线是（）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线3 ．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A ．B ．C ．D ．4 ．圆的圆心坐标是（）A ．B ．C ．D ．5 ．与参数方程为等价的普通方程为（）A ．B ．C ．D ．6 ．直线被圆所截得的弦长为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题1 ．曲线的参数方程是，则它的普通方程为__________________ 。
2 ．直线过定点 _____________ 。
3 ．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为 ___________ 。
高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解.doc
高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解一、选择题x=一1 ~t1.极坐标方程P = g胡和参数方程（/为参数）所表示的图形分别是（）3=2 + /A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线［答案］D［解析］由p=cosO得p2=pcos<9, Ax2 +/-x=0.此方程所表示的图形是圆.X= — 1 —I消去方程中的参数/可得，x+y-l=o,此方程所表示的图形是直线.ly=2+t2.下列参数方程（f为参数）屮，与方程/ = x表示同一曲线的是（）{x=t［x=taiFfB.v=tan/x=tan/2l=tarT7［答案］B［解析］将/=x代入y=r得，y=x29故A错，将tant=y代入x=tan2Z中得，x=y2,［点评］平方得y2=\x\. 限定了x的取VtanzeR,故B正确，C、D容易判断都是错的.值必须非负, /•K=x,但白于y=y［\x\9故它必须满足尹20,而y2=x中的yWR.注意C中消去（得y=y［\x\9x=1+2/ [y=}-2t （/为参数）被圆x=3cosaj^=3sina（a为参数）截得的眩长为（4. 直线）C. 4^/7D. 2［答案］A兀=l+2f［解析］将直线 宀 化为普通方程得x+y=2,［y=\-2tx=3cosa r 入 将圆 r • 化为普通方程得X 2+/ = 9.丿=3sina 圆心O到直线的距离宀眾， 所以弦长1=2,段一孑=2护.二、填空题7.在极坐标系中，过圆p = 6cos&的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为［答案］”cos 〃=3［解析］解法一：圆p=6cos&的圆心极坐标（3,0）, ・•・直线/方程为〃cos0=3.解法二：由 p 2 = 6pcos6> 得 #+夕2=&,圆心 C （3,0）,・•・过圆心垂直于极轴（即x 轴）的直线方程为兀=3,其极坐标方程为〃cos 〃=3. ［点评］1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形 式是基本方法，故应熟记互化公式.2.掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要.长度是8.x= 1 +3cos&（，为参数）被曲线J+3讪 （0为参数）所截,则截得的弦的［答案］华兀=—1 +2f［解析］直线 化为兀+2y+3=0；|x=l+3cos0圆仁l+3sin& 化为(Ll)+kl) =9,圆心C(l,l)到直线x+2y+3 = 0距离d=洋,半径r=3, 弦长为2寸/_护=弓^.x=cos611 .在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是 .zil (加是常数,0丘(一y=sm"十加兀，兀］是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则加= ______ .［答案］±1［解析］VOC ： x 2+(y~m)2=\ 与 x 轴相切， ・・加=± 1.x=3cos012.椭圆 4 .八的离心率是 ______________ ・歹=4sin&［答案］普2 2［解析］由已知可得椭圆的普通方程为等+話=1,tz =4, b=3, c =y ［l , e=：= 4 •与C2的位置关系为 _______ •［答案］相离［解析］圆 Cl ： (x-3)2+(y-2)2=4 的圆心 0(3,2)到直线 C 2： 4x+3y-7 = 0 的距离 d =¥>2,・・・0与C2相离.14. _______________________________________________________________ 在极坐标系中，过点(2迈，目作圆p=4sin^的切线，则切线的极坐标方程为 _________________［答案］“cos 〃=2 的直角坐标x=2迈cos 扌=2,尹=2迈sin 》=2,圆〃=4sim9化为直角坐标方程为x 2+y 2=4y 9即x 2+ (y-2)2=49则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x=2,即pcos013.兀=3+2cos 〃已知曲线G ：仁2 + 2畑(&为参数)'x=l+3/曲线C 2：4（/为参数），则Gb=i —4/［解析］=2.三、解答题15.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），己知点/的直角坐标为（一2, 6）,点3的极坐标为（4,号），直线/过点力且倾斜角为务圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线/的参数方程和圆C的极坐标方程.JT［解析］・・•直线/过点（-2,6）,倾斜角为才，r ―返X=—2+ 2 z・•・直线/的参数方程为｛厂（/为参数），1円+务又圆心3的直角坐标为（0,4）,半径为4,・・・圆C的直角坐标方程为,+e—4）2=16,将x=p・cos0, y=0sin0代入化简得圆C的极坐标方程为“ = 8・sin&.16.在极坐标系中，直线/的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的x=2cosa正半轴建立平而直角坐标系，曲线C的参数方程为_ c @为参数），求直线/与曲y= 1 十cos2a线C的交点P的直角坐标.［解析］因为直线/的极坐标方程为0=¥（pWR）所以直线/的普通方程为y=©c,又因为曲线C的参数方程为x=2cosa”—-（«为参数）y= 1 + cos2a所以曲线C的直角坐标方程为尸护（冃―2,2］）,x=0 解箒仁。
坐标系与参数方程午练专题练习(一)含答案新高考高中数学
高中数学专题复习
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．设曲线C 的参数方程为23c o s 13s i n x y θθ=+⎧⎨=-+⎩
（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 距离为71010
的点的个数为 A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分 二、填空题
2．在极坐标系中，曲线23sin ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是 ．。
全国卷高考选做题——坐标系与全参数方程专题
将 ， ， 代入曲线 的方程
，得 ，
即 ．设 ， 得曲线 的参数方程： （ 为参数）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线 是经过点 的直线，曲线 是以 为圆心半径为 的圆．∵ ，∴点 在曲线 内，∴曲线 和曲线 相交．
2．（Ⅰ） （Ⅱ）
解：（Ⅰ）设 ，则由条件知 。因为点 在曲线 上，所以 ，即 。化为普通方程为 ，即为曲线 的普通方程。
（Ⅰ）求曲线 的普通方程；
（Ⅱ）求线段 的长。
3．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，在极坐标系中,曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）设 与 相交于 两点，求 的长．
4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C1的极坐标方程为 ，直线l的极坐标方程为 。
（Ⅱ）将 代入 ，得 ，解得 = ， = ，|MN|= － = ，
因为 的半径为1，则 的面积 = .
7．（1） ；（2）18.
解析：（1）∵ ，∴ ，∴ ，故它的直角坐标方程为 ；
（2）直线 ： （t为参数），普通方程为 ， 在直线 上，过点M作圆的切线，切点为T，则 ，由切割线定理，可得 ．
8．（1） ， ；（2）2．
解析：解： （Ⅰ） ，
（Ⅱ）设 ，则点 到直线 的距离
当且仅当 ，即 （ ）时，Q点到直线l距离的最小值为 。
5．（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
试题解析：（Ⅰ）由 ，得 ，从而有
所以 （Ⅱ）设 ，又 ，
则 ，故当 时， 取得最小值，
此时 点的坐标为 .
6．（Ⅰ） , （Ⅱ）
试题解析：（Ⅰ）因为 ，
∴ 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .……5分
高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》技巧及练习题含答案
【最新】高考数学《坐标系与参数方程》练习题(1)一、131．设椭圆C ：2211612x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，则122d d +的最小值（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】设()4P cos θθ，02θπ≤<，由题意可得：1222484d d cos θθ+=-+-，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结论． 【详解】解：设()4P cos θθ，02θπ≤<， 由题意可得：122248416416816886d d cos cos sin πθθθθθ⎛⎫+=-+-=--=-+≥-= ⎪⎝⎭．当且仅当816sin πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时取等号． 122d d ∴+的最小值为8．故选：D 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e＝4. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=3．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．4．221x y +=经过伸缩变换23x xy y''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4 D ．6【答案】A 【解析】 【分析】用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22 149x y ''+=，∴椭圆的焦距为=A ．【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．5．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出的面积。
高考复习：坐标系与参数方程专题训练
坐标系与参数方程专题训练1、在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为，（t 为参数），直线2l 的参数方程为，（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：02)sin (cos =-+θθρ，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．2．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为（2，），点B 在曲线2C 上，求△OAB 面积的最大值．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin cos 3⎩⎨⎧==θθy x （θ为参数），直线l 的参数方程为,14⎩⎨⎧-=+=ty ta x （t 为参数）． （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为，求a ．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C 的参数方程为（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(02，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,4x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1,2x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率．7.在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.8、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ+=． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．9. 在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.10.在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.11、已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程。
高考数学训练含答案解析——坐标系与参数方程
课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·沈阳市模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解析：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得，曲线C ：y 2＝2ax ，由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l ：x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t 代入y 2＝2ax 得，t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M (－2＋22t 1，22t 1)，N (－2＋22t 2，22t 2)，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ，∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， ∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|， ∴(22a )2－4×8a ＝8a ， ∴a ＝5.2．(2018·长沙市模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4，(t 为参数)，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2cos 2 θ4＋ρ2sin 2θ＝1. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解析：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程是x 24＋y 2＝1. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4代入x 24＋y 2＝1得，52t 2＋6t －1＝0，Δ＝(6)2－4×52×(－1)＝16>0.设方程的两根是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－265，t 1t 2＝－25， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－265)2－4×(－25)＝6425＝85.3．(2018·太原市模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R)，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |＝42，求实数α的值．解析：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ，可得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为 x 2＋(y －2)2＝4.(2)由(1)得曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4，其极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由题意设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则|AB |＝|ρ1－ρ2|＝4|sin α－cos α|＝42|sin(α－π4)|＝42， ∴sin(α－π4)＝±1， ∴α－π4＝π2＋k π(k ∈Z)， ∵0<α<π，∴α＝3π4.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝ 3.(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 解析：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝3， 所以ρ(12cos θ－32sin θ)＝3， 即x －3y －23＝0.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，(α为参数)，利用同角三角函数的基本关系消去α，可得x 29＋y 23＝1.(2)设点P (3cos α，3sin α)为曲线C 上任意一点，则点P 到直线l 的距离 d ＝|3cos α－3sin α－23|2＝|32cos (α＋π4)－23|2，故当cos(α＋π4)＝－1时，d 取得最大值，为32＋232.B 组——能力提升练1．(2018·南昌市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若曲线C 向左平移一个单位长度，再经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，得到曲线C ′，设M (x ，y )为曲线C ′上任意一点，求x 24－3xy －y 2的最小值，并求相应点M 的直角坐标．解析：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，向左平移一个单位长度再经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，得到曲线C ′的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1，设M (2cos α，sin α)，则x 24－3xy －y 2＝cos 2α－23sin αcos α－sin 2α＝cos 2α－3sin 2α＝2cos(2α＋π3)，当α＝k π＋π3时，x 24－3xy －y 2的最小值为－2， 此时点M 的坐标为(1，32)或(－1，－32)．2．(2018·太原模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上． (1)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的值； (2)求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．解析：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，左焦点F (－22，0)代入直线AB的参数方程，得m ＝－22，直线AB 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋22t ，y ＝22t(t 为参数)代入椭圆方程得t 2－2t －2＝0，所以t 1·t 2＝－2，所以|F A |·|FB |＝2.(2)椭圆x 212＋y 24＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ，根据椭圆和矩形的对称性可设椭圆C 的内接矩形的顶点为(23cos θ，2sin θ)，(－23cos θ，2sin θ)，(23cos θ，－2sin θ)，(－23cos θ，－2sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，所以椭圆C 的内接矩形的周长为83cos θ＋8sin θ＝16sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，当θ＋π3＝π2时，即θ＝π6时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值16.3．(2018·石家庄模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a (a ＞0)，Q 为l 上一点，以OQ 为边作等边三角形OPQ ，且O ，P ，Q 三点按逆时针方向排列． (1)当点Q 在l 上运动时，求点P 运动轨迹的直角坐标方程；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝a 2，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x y ′＝y得到曲线C ′，试判断点P的轨迹与曲线C ′是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由．解析：(1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)， 则由题意可得点Q 的极坐标为(ρ，θ＋π3)，再由点Q 的直角坐标中的横坐标等于 a ，a ＞0， 可得ρcos (θ＋π3)＝a ，可得12ρcos θ－32 ρsin θ＝a ，化为直角坐标方程为12x －32y ＝a . 故当点Q 在l 上运动时，点P 的直角坐标方程为x －3y －2a ＝0.(2)曲线C ：x 2＋y 2＝a 2， ⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入，得x ′24＋y ′2＝a 2，即x 24＋y 2＝a 2.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y 2＝a 2，x －3y －2a ＝0，消去x ，得7y 2＋43ay ＝0，解得y 1＝0，y 2＝－437a ，所以点P 的轨迹与曲线C ′有交点，交点的直角坐标分别为(27a ，－437a )，(2a,0)．。
高中数学专题31_坐标系与参数方程(有答案)
专题31 坐标系与参数方程一、解答题。
1. （广东华南师大附中测试三）已知直线l 的参数方程为{x =−1+t cos αt =1+t sin α’（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=ρcos θ+2．写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的直角坐标方程；若α=π4，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．2. （河南适应性测试）在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1:{x =t cos α，y =t sin α（t 为参数），l 2:{x =t cos (α+π4),y =t sin (α+π4)（t 为参数），其中α∈(0,3π4)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cos θ=0． 写出直线l 1,l 2的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；设直线l 1,l 2分别与曲线C 交于点A ，B （非坐标原点），求|AB|的值．3. （郑州一次质测）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=8cos θ1−cos 2θ．写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；若α=π4，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．4. （河北衡水中学九模）在直角坐标系xOy 中，直线l 过M (2,0)，倾斜角为α(α≠0)．直线C 1:√3x +y −4=0，曲线C 2:{x =cos φ,y =1+sin φ（φ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． 求C 1,C 2的极坐标方程；若曲线C 3的极坐标方程为θ=α(ρ>0,0<α<π2)，且曲线C 3分别交C 1,C 2于点A ，B 两点，求|OB||OA|的最大值．5. （福建厦门一次质检）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−2√3+t cos α，t =−1+t sin α（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(1+sin 2θ)=8．若曲线C 上一点Q 的极坐标为(ρ0,π2)，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；设点P(−2√3,−1)，l 与C 的交点为A ，B ，求1|PA|+1|PB|的最大值．6. （合肥二次质检）已知过点P (0,−1)的直线l 的参数方程为{x =12t,y =−1+√32t（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2a sin θ−ρcos 2θ=0(a >0)． 求曲线C 的直角坐标方程；若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．7. （长春质测二）已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cos θ,y =sin θ（θ为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ．求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；若过点F (1,0)的直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，与曲线C 2交于M ，N 两点，求|FA||FB||FM||FN|的取值范围．8. （甘肃二诊）在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cos α，y =2sin α（α为参数）经伸缩变换{x ′=x,y ′=y 2后得到曲线C 2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． 求曲线C 2的参数方程；若A ，B 是直线l:θ=π4与曲线C 1的两个交点，P 为曲线C 2上一点，且PA ⊥PB ，求点P 的坐标．参考答案与试题解析专题31 坐标系与参数方程一、解答题。
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坐标系与参数方程
（2017·22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
（2016·
23）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB ，求l 的斜率.
（2015·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数，t ≠0）其中0απ≤<，在以O 为
极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:2sin ρθ=，C 3:ρθ=.
（Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.
（2014·23）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为
2cos ρθ=，[0,]2
πθ∈. （Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
（2013·23）已知动点P ，Q 都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩
（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2(02)t ααπ=<<，M 为PQ 的中点.
（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.
（2012·23）已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3
,2(π.
（Ⅰ）点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|P A |2 + |PB |2 + |PC |2 + |PD |2的取值范围. （2011·23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα
=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，
P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线C 2.
（Ⅰ）求C 2的方程；
（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，
与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.。