上海民办协和双语学校数学轴对称解答题单元测试卷(含答案解析)

上海民办协和双语学校数学轴对称解答题单元测试卷（含答案解析）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．

（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；

（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；

（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．

【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．

【解析】

【分析】

（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；

（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；

（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．

【详解】

解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，

由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5

（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．

②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．

③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．

（3）不存在这样的点P．

作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，

作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，

由图可以看出两线交于第一象限．

∴不存在这样的点P．

【点睛】

本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．

2．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】

【分析】

（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；

（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．

【详解】

（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，

∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.

∵MD=ME，

∴∠MAD=∠MAE，

∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，

即∠BAM=∠CAM.

在△ABM和△ACM中，

AB=AC，

∠BAM=∠CAM，

AM=AM，

∴△ABM≌△ACM（SAS），

∴MB=MC.

（2）MB=MC．

理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.

∵CE∥BD，

∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.

∵M是ED的中点，

∴MD=ME.

在△MCE和△MFD中，

∠MCE=∠MFD，

∠MEC=∠MDF，

MD=ME，

∴△MCE≌△MFD（AAS）.

∴MF=MC.

∴在△MFB和△MCG中，

MF=MC，

∠FMB=∠CMG，

BM=MG，

∴△MFB≌△MCG（SAS）.

∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，

∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.∴∠GCB=90°.

在△FBC和△GCB中，

FB=GC，

∠FBC=∠GCB，

BC=CB，

∴△FBC≌△GCB（SAS）.

∴FC=GB.

∴MB=1

2GB=

1

2

FC=MC.

（3）MB=MC还成立．

如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.

∵CE ∥BD ，

∴∠MDB =∠MEF ，∠MBD =∠MFE .

又∵M 是DE 的中点，

∴MD =ME .

在△MDB 和△MEF 中，

∠MDB =∠MEF ，

∠MBD =∠MFE ，

MD =ME ，

∴△MDB ≌△MEF （AAS ），

∴MB =MF .

∵CE ∥BD ，

∴∠FCM =∠BGM .

在△FCM 和△BGM 中，

CM =MG ，

∠CMF =∠GMB ，

MF =MB ，

∴△FCM ≌△BGM （SAS ）.

∴CF =BG ，∠FCM =∠BGM .

∴CF //BG ，即D 、B 、G 在同一条直线上.

在△CFB 和△BGC 中，

CF =BG ，

∠FCB =∠GBC ，

CB =BC ，

∴△CFB ≌△BGC （SAS ）.

∴BF =CG .

∴MC =

12CG =12

BF =MB ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．

3．如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 为AC 边上一点，连接BD ，点E 为BD 上一点，连接CE ，CED ABD ∠=∠，过点A 作AG CE ⊥，垂足为G ，交ED 于点