苏教版数学高一-【金识源】必修2教案平面的基本性质(2)

合集下载

苏教版高中数学必修二教学案第九章平面的基本性质二

平面的基本性质（二）平面的基本性质是立体几何中演绎推理的逻辑依据．以平面的基本性质证明诸点共线、诸线共点、诸点共面是立体几何中最基础的问题，既加深了对平面基本性质的理解，又是今后解决较复杂立体几何问题的基础．一、素质教育目标（一）知识教学点掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法．1．证明若干点或直线共面通常有两种思路（1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合，如例1之①；（2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内，如例1之②．2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内，如例2．3．证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点，如练习．（二）能力训练点通过严格的推理论证，培养逻辑思维能力，发展空间想象能力．（三）德育渗透点通过对解题方法和规律的概括，了解个性与共性．特殊与一般间的关系，培养辩证唯物主义观点，又从有理有据的论证过程中培养严谨的学风．二、教学重点、难点、疑问及解决办法1．教学重点（1）证明点或线共面，三点共线或三线共点问题．（2）证明过程的书写格式与规则．2．教学难点（1）画出符合题意的图形．（2）选择恰当的公理或推论作为论据．3．解决办法（1）教师完整板书有代表性的题目的证明过程，规范学生的证明格式．（2）利用实物，摆放成符合题意的位置．三、学生活动设计动手画图并证明．四、教学步骤（一）明确目标1．学会审题，根据题意画出图形，并写“已知、求证”．2．论据正确，论证严谨，书写规范．3．掌握基本方法：反证法和同一法，学习分类讨论．（二）整体感知立体几何教学中，对学生进行推理论证训练是发展学生逻辑思维能力的有效手段．首先应指导学生学会审题，包括根据题意画出图形，并写出已知、求证．其次，推理的依据是平面的基本性质，要引导学生确定平面．由于学生对立体几何中的推理颇不熟练，因此宜采用以启发为主，边讲边练的教学方式．教师在讲解时，应充分展开思维过程，培养学生分析空间问题的能力，在板书时，应复诵公理或推论的内容，加深对平面基本性质的理解．（三）重点、难点的学习与目标完成过程A．复习与讲评师：我们已学习了平面的基本性质，那么具备哪些条件时，直线在平面内？（生回答公理1，教师板画图1－20示意．）师：具备哪些条件可以确定一个平面？（生4人回答，教师板画图1－21示意．）师：上一节课后布置思考证明推论3，现在请同学们共同讨论这个证明过程．已知：直线a∥b．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．∵a∥b，∴a、b在同一平面α内（平行线的定义）．“唯一性”——在直线a上作一点A．假设过a和b还有一个平面β，则A∈β．那么过b和b外一点A有两个平面α和β．这与推论1矛盾．注：证唯一性，用了“反证法”．B．例题与练习师：先看怎样证几条线共面．例1求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于点O．求证：a、b、c、d共面．证明：∵d∩a＝P，∴过d、a确定一个平面α（推论2）．同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．注：本题的方法是“同一法”．（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a ∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．求证：a、b、c、d共面证明：∵d∩a＝P，∴d和a确定一个平面α（推论2）．∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．∴a、b、c、d四线共面．注：①让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系．②分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏．③结合本例，说明证诸线共面的常用方法．例2如图1－25，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P．求证：P在直线BD上．分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点．已知：EF∩GH＝P， E∈AB、 F∈AD， G∈BC， H∈CD，求证：B、D、P三点共线．证明：∵AB∩BD＝B，∴AB和BD确定平面ABD（推论2）．∵A∈AB，D∈BD，∵E∈AB，F∈AD，∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面BCD．∴平面ABD∩平面BCD＝BD．∴P∈BD即B、D、P三点共线．注：结合本例，说明证三点共线的常规思路．练习：两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．分析：虽说是证三线共点问题，但与例2有异曲同工之处，都是要证点P是两平面的公共点．已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．求证：p∈a．证明：∵b∩c＝p，∴p∈b．∵β∩γ＝b，∴p∈β．同理，p∈α．又∵α∩β=a，∴p∈a．师：以上例、习题分别证明了四线共面．三点共线和三线共点问题，这只是证明这类问题中的个例，根据不同的条件有不同的分析问题和解决问题的过程，但也具有一般的思路和方法．除了例1、例2两类问题的常用方法外，本练习是证三线共点问题，也有常用证法（将知识教学点中所列三条用幻灯显示）．（四）总结、扩展本课以练习为主，学习了线共面、点共线，线共点的一般证明方法和分类讨论的思想．证明依据是平面的基本性质，数学方法有反证法和同一法，这也是这一单元的主要证明方法．在证明的书写中，要求推论有据，书写规范．五、布置作业1．课本习题（略）．2．求证：两两相交的三条直线必在同一个平面内．3．已知：△ABC在平面α外，三角形三边AB、AC、BC所在直线分别交α于M、N、R，求证：M、N、R三点共线．4．如图1－27，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，求证：点D1、E1、F1、B共面．（提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上．）六、板书设计。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.1 平面的基本性质》

课题：平面一、教学目标1联系实际了解平面的3个公理，能用文字、图形、符号三种语言进行描述；2通过直观感知、操作确认、归纳总结加深对公理的认识；3初步培养学生的空间想象能力。

二．教学重点、难点教学重点：正确理解3个公理。

教学难点：用符号语言表达点、线、面的位置关系。

三、教学过程课题性问题：上一节我们已经对简单几何体有了直观的认识。

简单几何体是由空间的点、线、面所构成的，本节我们将对点、线、面的位置关系进行讨论。

空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系？如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？初中我们已经学习了点和直线的概念，本节课我们将学习平面概念及平面的相关性质。

问题1：如何理解平面及其表示？先行组织者：什么是数学？恩格斯说：数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的一门科学。

〔1〕数学首先具有高度的抽象性。

物理、化学、生物等学科，都有具体的物质和具体的物质运动形态作为自己的研究对象。

而数学的研究对象是从众多的物质和物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。

〔如何理解平面？〕〔2〕数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言。

数学语言往往需要依靠符号来表达，而世界各国又采用相同的数学符号，使得数学语言成为人类文明的共同语言。

如等任何一个民族、任何一个地域的人都能明白。

〔符号语言〕数学语言是宇宙文明的共同语言，202170年代，美国发射一艘宇宙飞船，目的是与可能存在的“外星人〞取得联系。

为了让星外文明了解地球文明，这艘飞船带去了地球上山川、河流、白云、海洋的照片，地球上动物、植物、微生物的照片，各种年龄、性别、民族的人的照片，还带去了许多声音，如狂风暴雨、森林中的鸟鸣声、大海的浪涛声，以及不同民族的人类叫“妈妈〞的声音，同时还带去了刻有黄金制作的图板，如下图：〔图形语言〕伽利略认为：“数学是上帝用来书写宇宙的文字。

〞数学语言最明晰、严谨、简洁、标准、通用。

综上，数学语言包括：文字语言、图形语言、符号语言。

苏教版高中数学必修二1.2.2 平面的基本性质教案3

平面的基本性质（2）教学目标：掌握三个公理及三个推论并了解它的作用；能应用公理及推论判定直线在平面内、两平面相交、确定平面；掌握直线共面的证明。

教学过程：一．复习回顾公理1：公理2：公理3：二、基础训练1．点P 在直线l 上，而直线l 在平面α内，用符号表示为（） A ．P l α⊂⊂ B ．P l α∈∈ C ．P l α⊂∈ D ．P l α∈⊂ 2．下列推理，错误的是（） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C ．,l A l A αα⊄∈⇒∉D ．,,,,,,,,A B C A B C A B C αβαβ∈∈⇒且不共线与重合3．下面是四个命题的叙述语（其中A 、B 表示点，a 表示直线，α表示平面） ①,A B AB ααα⊂⊂∴⊂ ②,A B AB ααα∈∈∴∈ ③,A a a A αα∉⊂∴∉ ④,A a A a αα∉⊂∴∉其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________．4．如图，点A ∉平面BCD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、DA 上的点，若EH 与FG 交K 求证：K 在直线BD 上．ABCDEH KGF三、建构数学公理的三个推论1.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 图形语言：符号语言：已知：点A ∉a . 求证：过点A 和直线a 可以确定一个平面. 证明：（1）存在性.因为A ∉a ，在a 上任取两点B ，C.所以过不共线的三点A ，B ，C 有一个平面a .（公理3）因为B ∈α，C ∈α，所以a ∈a .（公理1）故经过点A 和直线a 有一个平面a . （2）唯一性.如果经过点A 和直线a 的平面还有一个平面b ，那么A ∈b ，a ⊂ b . 因为B ∈a ， C ∈a ，所以B ∈b ，C ∈b .（公理1）故不共线的三点A ，B ，C 既在平面a 内又在平面b 内.所以平面a 和平面b 重合.（公理3）所以经过点A 和直线a 有且只有一个平面 2.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 图形语言：符号语言：已知：直线 a ，b 且P b a = .求证：过 a ，b 有且只有一个平面. 证明：在a 上取不同于点P 的点Ab A ∉ ，∴过直线 b 和点 A 只有一个平面，ααα⊂∴∈∈AP P A ,, ，即α⊂a∴过a ，b 只有一个平面，即：过 a ，b 有且只有一个平面．3.推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面. 图形语言：符号语言：已知：直线 a ，b 且b a //.求证：过 a ，b 有且只有一个平面．证明：由平行线的定义知a ，b 在同一平面内.b a ,∴有平面α.设点A 为直线a 上任一点，则点A 在直线b 外，∴点A 和直线b 在过a ，b 的平面α内，又由推论1，过点A 和直线b 的平面只有一个，∴过 a ，b 有且只有一个平面．,,A l A l ααα∉⇒∈⊂有且只有一个平面使,,a b P a b ααα=⇒⊂⊂有且只有一个平面使//,,a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面使四、应用举例例1.已知:,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线AD ，BD ，CD 共面。

苏教版高中数学必修二1.2.2 平面的基本性质教案2

平面的基本性质（1）教学目标：掌握平面的表示方法，理解平面的基本性质。

掌握立体几何的符号语言。

教学过程：一.平面1.平面的概念；平面是一个不加定义的概念，具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点.2.平面的特征；“平”、“无限延展”、“无厚薄”3.平面的画法；通常我们画出直线的一部分来表示直线；同样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.通常画平行四边形来表示平面.在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°，横边画成邻边的两倍. 如果是非水平平面，只要画成平行四边形.如果几个平面画在一起，当一个平面有一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画. 4.平面的表示方法。

⑴在一个希腊字母γβα,,等的前面加“平面” 二字，如平面α，平面β，平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内. ⑵用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC.⑶用三角形表示平面，用三角形三个顶点的字母来表示，如平面ABC. 5.用符号语言表示：空间图形的基本元素是点、直线、平面，从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合.因此，它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可以借用集合中的符号语言来表示. （1）点在直线上、点在直线外；（2）点在平面内、点在平面外；（3）直线在平面内、直线在平面外、直线与平面相交二.平面的基本性质请大家拿出你的一把尺，如果把桌面看作一个平面，把你的尺看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使你的尺所代表的直线上的所有点都能在桌面上？1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.图形语言：符号语言：公理1的应用：⑴判定直线或点是否在平面内；⑵检验平面.请大家拿起一本书，把这本书的一个角放在桌面上，如果我们分别把这本书和桌面都看作一个平面的话，试问这两个平面是否就只有这一个公共点，如果还有其他公共点的话，它们和这个公共点有什么关系？2.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.图形语言：符号语言：公理2的应用：⑴判断两个平面是否相交；⑵判定点是否在直线上.如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.为什么当一个人在学会走路之前总会有一段爬行的人生经历，同时也有一段拄着拐杖的人生历程？在爬行与拄拐杖这两件事情中是否隐含着什么数学理论呢？3.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 图形语言：符号语言：如何理解公理3中的“有且只有一个”？“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一.公理3的应用：⑴确定平面；⑵证明两个平面重合. 三.应用举例例1.已知命题：①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚； ②有一个平面的长是50m ，宽是20m ； ③黑板面是平面；④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念. 其中正确命题的序号是________.例2.一条直线经过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点？为什么？A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭直线 P l P lP ααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭且,,,,A B C A B C αααα⇒∈∈∈三点不共线有且只有一个平面，使例3.已知:AB C ∆在平面α外,Q BC R AC P AB =⋂=⋂=⋂ααα,,,求证:P ，Q ，R 三点共线.总结：要证明空间诸点共线，通常证明这些点 . 例4.为什么用两个合页和一把锁就可以固定一扇门，有的自行车旁只安装一只撑脚呢？例5.如图，M 是正方体1111D C B A ABCD -棱1BB 的中点. ⑴作出由M C A ,,11三点所确定的平面与正方体表面的交线； ⑵试作出平面M C A 11与平面ABCD 的交线．作业：1.若点M 在直线a 上，a 在平面α内，则M ，a ，α A ．M ∈a ，a ∈α B ．M ∈a ，a ⊂α C ．M ⊂α，a ⊂α D ．M ⊂α，a ∈α2.用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是（）.A. α∉∈l l A ,B. α⊄∈l l A ,C. α⊄⊂l l A ,D. α∉⊂l l A , 3.下列叙述中，正确的是（）.A.因为 αα∈⊂A a , ，所以α⊂AB.因为 αα∈⊂A a , ，所以α∉AC.因为 l A A =⋂∈∈βαβα,, ，所以l A ∈D.因为α⊂∉l l A ,，所以α∉A 4.下列叙述中，正确的是（）A ．ααα∈∴∈∈PQ Q P ,, C ．αα∈∴∈∈⊂CD AB D ABC AB ,,,B ．PQ Q P =⋂∴∈∈βαβα,,D ．AB AB AB =⋂∴⊂⊂βαβα,, 5.下列命题正确的个数是（）⑴如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；⑵过一条直线的平面有无数个； ⑶两个平面的交线可能是一条线段。

苏教版数学高一-【金识源】必修2教案 1.2.4平面与平面的位置关系(2)

1.2.4平面与平面的位置关系（2）教学目标1．理解和掌握二面角及二面角的平面角；2．理解和掌握直二面角的概念；3．会求二面角的大小；4．理解和掌握面面垂直的判定和性质定理．教材分析及教材内容的定位空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透．因此本节课具有承上启下的作用．教学重点二面角及二面角的平面角的概念及求法．面面垂直的判定和性质定理．教学难点如何度量二面角的大小．教学方法通过直观观察，猜想，研究面面垂直的判定和性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力．教学过程一、问题情境1．复习两平面平行的定义、判定、性质；2．复习两平行平面间的距离；3．情境问题：两平面相交也是生产和生活中常见的现象，如发射人造地球卫星时，要使卫星的轨道平面和地球赤道平面形成一定的角度．笔记本电脑使用时，也需要展开一定的角度等等，那么我们如何来刻画这种两个平面所成的“角”呢？二、学生活动自由发言，通过回忆（异面直线所成的角，直线和平面所成的角），思考类比．三、建构数学1．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．每个半平面叫做二面角的面．二面角的表示：α—l —β． 2．二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的平面角的三个特征：1．点在棱上；2．线在面内；3．与棱垂直．二面角的平面角的范围：0180θ︒︒≤≤ （平面角是直角的二面角叫作直二面角）二面角的平面角的作法：1．定义法；2．作垂面． 3．两平面垂直定义一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．记作：αβ⊥．为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？如何判断两个平面垂直？ 4．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直．符号语言：}l l ααββ⊥⇒⊥⊂ 图形语言：简记为：线面垂直⇒面面垂直四、数学运用1．例题．例1 如图所示：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中：（1）求二面角D 1-AB-D 的大小；αββlαAA 1CD B 1D 1C 1l（2）求二面角A 1-AB-D 的大小．例2 如图，将等腰直角△ABC 沿中线AD 折成二面角B －AD －C ，使 BC ＝AB ，求二面角B －AD －C 的大小．例3 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1C 1CA ⊥平面B 1D 1DB ．分析：根据两个平面垂直的判定定理，要证平面A 1C 1CA ⊥平面B 1D 1DB ，只需在其中的一个平面内找一条直线垂直于另一个平面即可．练习：1．判断下列说法是否正确：（1）过平面外一条直线一定可以做一个平面与已知平面平行；（2）过平面外一条直线一定可以做一个平面与已知平面垂直；（3）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（4）两平面垂直，其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． 2．判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．（2）若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β．（3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β，则α1⊥β1．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．判断两平面垂直的方法有哪些？（1）定义：两平面所成的二面角是直二面角；（2）判定定理：线面垂直⇒面面垂直；2．解题时要注重线线、线面、面面垂直的相互关系；AA 1BCDB 1D 1C 1AD3．理解数学的化归思想．。

苏教版必修2《平面的基本性质》教案及教学反思

苏教版必修2《平面的基本性质》教案及教学反思教学目标本节课程的教学目标主要包括以下几个方面：1.能够了解平面的基本性质，如平行、垂直、相交等概念的定义；2.能够熟练掌握平行线的判定方法和垂直线的判定方法；3.能够运用所学知识解决平面几何中的常见问题，如求两条平行线的距离、求一条直线在平面内的垂线等；4.能够发现问题、分析问题、解决问题的能力。

授课方法本节课程采用“启发式教学法”，主要方法包括：1.通过讲解二维平面几何的实际例子，激发学生的学习兴趣和求知欲；2.依托视觉教学，使用简单易懂的图片和图表，让学生更加直观地理解概念和知识点；3.通过问题解决的方法，引导学生发现问题、分析问题、解决问题的思维方式，培养学生的思维能力。

课程设计导入环节通过导入环节，让学生感受到二维平面几何与自己生活息息相关，从而激发学生的学习兴趣和探究欲望。

具体内容如下：•引导学生回顾日常生活中有哪些与平面几何有关的现象；•提出问题：如何判断两条线是平行的？如何判断两条线是垂直的？•通过讨论，引导学生自主探究平行、垂直的定义和判定方式。

拓展环节在学生掌握基本知识的基础上，通过拓展问题，巩固已掌握的知识，同时培养学生的分析和推理能力。

具体内容如下：•针对判定平行、垂直线的方法，让学生自主设计问题，探究知识的灵活应用；•引导学生在实践中发现不同问题的共性和差异；•演示实际应用场景，让学生认识到数学知识与生活实际的紧密联系。

总结环节通过总结环节，让学生掌握知识点，并加深对问题解决思路的理解。

具体内容如下：•小结当天学习内容，梳理概念和知识；•回顾实践环节中的问题解决思路，强化学生的思维方式；•通过讨论，进一步提高学生的思维能力和解决问题的能力。

教学反思通过本节课程的教学，我认为可以对教学内容和方法进行以下反思和改进：1.授课方法需要更加多样化，可以不仅仅使用视觉教学，通过实物教学、实践操作等多种方式，激发学生的学习兴趣和求知欲；2.需要更加注重巩固性的教学环节，通过拓展问题、练习题等方式，全面提高学生的应用和掌握能力；3.需要更加注重个性化的教学，根据学生的差异性，采用不同的教学策略和手段，实现教学效果的最大化。

苏教版高中数学必修教案立体几何初步平面的基本性质(二)

第6课时平面的基本性质（二）教学目标：使学生进一步掌握平面的画法、表示方法；会用集合符号语言推证简单命题；掌握确定平面的依据。

教学重点：公理的理解与运用。

教学难点：用符号语言推证简单命题。

教学过程：一、复习巩固：1、复习公理1、2；2、将下列命题改写成语言叙述，并判断它们是否正确：⑴当A∈α，B∉α时，线段AB⊂α；⑵A∈α，B∈α，C∈AB，则C∈α；⑶A∈α，A∈β，A∈а，则а=α∩β。

3、如图，△ABC的两边AB、AC分别与平面α交于点D、E，R若直线BC与平面α交于点F，请画出F的位置。

二、新课讲解：1、公理3及三个推论：（1）问题：经过一点有几个平面？经过二点、三点、四点？……。

（注意“经过”的意思），四边形一定是平面图形吗？（2）由上述讨论，归纳出公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（或叙述为：不共线的三点确定一个平面）。

强调：⑴“不共线”，⑵这个公理是确定一个平面的依据。

过A、B、C三点的平面又可记为“平面ABC”。

（3）推论：推论一：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。

从“存在性”和“唯一性”两方面口述证明本推理的正确性，以及和公理3的关系。

证明：（1）存在性点A是直线a外的一点，在a上任取两点B、C，根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有一个平面，设为平面α。

因为点B、C都在平面α内，所以根据公理1，直线a在平面α内，即平面α是经过直线a和点A的平面。

（2）唯一性（反证法）假设过直线a和点A还有另一个平面β，因为点B、C在直线a上，所以点B、C在平面β内，即不共线的三点A、B、C在平面β内，这样过不共线的三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾，所以过直线a和点A只有一个平面。

由（1）、（2）可知，命题成立。

说明：唯一性问题一般可以用反证法。

推论二：两条相交直线确定一个平面；推论三：两条平行直线确定一个平面。

（直接提出即可，也可证明）说明：在立体几何中，平面几何中的定义、公理、定理等，对于同一个平面内的图形仍然成立。

2019-2020年高中数学平面的基本性质(二)教学案苏教版必修2

2019-2020年高中数学平面的基本性质（二）教学案苏教版必修2总课题点、线、面之间的位置关系总课时第5课时分课题平面的基本性质（二）分课时第2课时教学目标了解平面基本性质的个推论，了解它们各自的作用；能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．重点难点个推论，平面与平面之间的交线．它的作用是：3．公理的内容是：（文字语言、图形语言、符号语言都写出来）．它的作用是：判断下列命题是否正确，正确的在括号内划“√”，错误的划“×”。

⑴平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点； ( ) ⑵经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； ( ) ⑶经过两条相交直线，有且只有一个平面； ( ) ⑷如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合。

( ) 4．推论：5．推论：6．推论：例题剖析如图，已知l D l C l B l A ∉∈∈∈，，，，求证：直线共面．如图，在长方体中，为棱的中点．（1）画出由三点所确定的平面与长方体表面的交线；例1 A B DC lABDD 1 1B 1 A 1例2（2）画出平面与平面的交线．例3．求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面．巩固练习1．指出下列说法是否正确，并说明理由：（1）空间三点确定一个平面；（2）如果平面与平面有公共点，那么公共点就不止一个；2．下列推理错误的是（）A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ，，，B ．AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα，，，C ．D ．βα∈∈C B A C B A 、、，、、，且不共线重合课堂小结掌握个推论及其作用，掌握平面与平面之间的交线及其作法．平面的基本性质（二）课后训练班级姓名等第日期1．判断下列命题是否正确：（1）空间四点共面，则其中必有三点共线。

（）（2）空间四点不共面，则其中任何三点不共线。

（）（3）空间四点中有三点共线，则此四点共面。

1.2.1平面的基本性质教案2 高中数学必修二苏教版 Word版

1.2.1平面的基本性质从容说课立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法.通过立体几何的教学，可以使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据.平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻画的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升到分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间.本课是以平面的概念和三条公理为主要内容，前面已经对空间几何体有了一定的了解，教学时可以借助棱柱、圆柱等几何模型通过实物操作，以类比的方式抽象出“平面”的概念，并运用正迁移规律，将直线的无限延伸性类比于平面的无限延展性，突破教学难点.对于用字母表示点、直线、平面三者间的关系的教学，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用.对于平面基本性质的三条公理的教学，因为其是“公理”，无需证明，教学中可以以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证.其中对于公理1的教学应以直线的“直”和“无限延伸”来刻画平面的“平”和“无限延展”，同时应该明确它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法;对于公理2的教学要抓住平面在空间的无限延展特征来讲，同时应该明确公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法;对于公理3的教学应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”.通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解，同时应该明确公理3是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.对于公理中的“有且只有一个”的含义要分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.另外，也可从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解，并通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用.教学重点1.空间点、直线、平面间的位置关系的文字、图形、符号语言表示.2.平面的基本性质的三条公理及其作用.3.公理3中“有且只有一个”的含义的理解.教学难点1.平面的无限延展性的理解.2.符号语言的正确使用.3.对于公理3中“有且只有一个”语句的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、棱柱、圆柱等几何模型、打印好的作业.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.了解平面的概念,会用符号语言、图形语言表示空间中点、直线、平面的位置关系.2.了解平面的基本性质的三条公理，并能用其解释一些生活中的具体问题.3.通过由模型示范抽象出“平面”概念以及到三条公理的文字叙述培养学生观察能力与空间想象能力.4.通过对三个公理的文字语言、图形语言和符号语言的互译，培养语言转换能力提高学生的几何语言水平.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生习惯于共同思考、观察和实验.2.通过通俗意义上的平面到数学意义上的平面的学习，了解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，由点、直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辩证观点.三、情感态度与价值观借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想.教学过程导入新课(多媒体播放平静的湖面、广阔的草原、大漠袅袅炊烟升起的画面，两个合页和一把锁就固定一扇门的图片、车旁只安装一只撑脚停放的图片，组织学生欣赏，并显示如下问题) 问题1:平静的湖面、广阔的草原、大漠袅袅炊烟升起的画面会给你留下怎样的印象?问题2:用两个合页和一把锁就可以固定一扇门、有的自行车旁只安装一只撑脚等生活现象的理论依据是什么?问题3:如何形象直观地在纸上表示平面?如何表示点与直线、直线与平面的位置关系?(组织学生思考)师要解决以上问题，需要掌握一定的立体几何知识，这就是我们后面将要学习的知识——空间点、线、面的位置关系，我们先来研究它们的基础知识.(引入新课，书写课题——平面的基本性质)推进新课(一)平面的概念、记法及表示师在刚才欣赏的图片中，我们发现平静的湖面、广阔的草原、大漠袅袅炊烟升起的画面这些生活画面都会给我们以平面的形象.我们可以从中抽象出一个几何概念，那就是——平面.(师介绍平面的概念、表示、以及记法)1.平面的概念:平面是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念.2.平面的图形表示通常画平行四边形来表示平面〔如图(1)〕，并把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长.当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画〔如图(2)〕，也可用其他平面图形(例如三角形、圆等)表示平面.(1) (2)(师投影显示以上图形，并演示画法，生同步训练，培养学生的作图基本功)师我们已经明确了平面的概念，也能很容易地画平面的图形，那么如何用符号语言来表示它们呢?(生思考，师介绍平面的符号表示)3.平面的符号表示平面通常用希腊字母α、β、γ、…来表示,也可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来表示.师我们知道，从集合的角度来说，直线可以看作是点的集合，平面可以看作是一系列直线的集合，那么，在空间点、线、面的位置关系如何用符号语言和图形语言来表示呢?(生思考，师生共同探究空间点、线、面的位置关系的符号、图形表示)师如何用符号语言和图形语言来表示空间点、线、面的位置关系?(师展示长方体模型，组织学生观察、探究空间点、线、面的位置关系)师请同学们观察右图所示的长方体，完成如下表格.(师生共同讨论完成)空间中点、直线、平面的位置关系的符号表示:【例1】已知命题:①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚;②有一个平面的长是50 M，宽是20 M;③黑板面是平面;④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确的命题是_________.(师多媒体显示，生讨论完成)师命题①:平面是没有厚度，当两个平面重合时只能看作是一个平面;命题②:平面是无限延展的，因此平面没有长和宽;命题③:黑板只是平面的一部分，不能认为它就是数学中所研究的平面;命题④所描述的正是我们数学中所研究的平面的概念.故正确的命题只有④.师直线是没有长短、粗细且无限延伸的;平面是没有边界，没有厚薄之分，没有质量，没有任何物理的、化学的属性的抽象的概念.它是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在空间问题中平面化的过程具有重要的桥梁作用.【例2】 (1)一条直线可以将平面分成两个部分，那么一个平面可以将空间分成几个部分呢?(2)两个平面可以将空间分成几个部分呢?(多媒体显示，师组织学生思考完成，并分别用图形表示)(二)平面的三个基本性质师平面都有哪些基本性质呢?我们就来通过生活实例来探究一下平面的基本性质.请同学们拿出你的一枝笔，如果把桌面看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使你的笔所代表的直线上所有点都能在桌面上?(生尝试探究，讨论交流，抽象出公理1)公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(师组织学生将公理1分别用符号语言和图形语言表示出来)如图,a AB a B a A ⊂⇒⎭⎬⎫∈∈直线.合作探究:公理1说明了什么?它可以帮助我们解决哪些几何问题?(师生共同探究交流得出如下结论)知识拓展:公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法.师请同学们拿起一本书，把书本的一个角放在桌面上，如果我们分别把书本和桌面都看作一个平面的话，试问这两个平面是否就只有这一个公共点，如果还有其他公共点的话，它们和这个公共点有什么关系?(生讨论交流，师结合学生的讨论及时归纳总结抽象出公理2)公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.师请用图形语言和符号语言表示公理2，并在教室内寻找符合公理2的空间模型. (生讨论完成，师板书公理2的符号语言表示式)l P l P P ∈⋂⇒⎭⎬⎫∈∈且＝βαβα. 师公理2说明了空间中的什么问题?它可以帮助我们解决哪些几何问题?(生思考，师适当提示)师公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了在空间确定两个平面交线的一种方法. 师为什么当一个人在学会走路之前总会有一段爬行的人生经历，同时也有一段拄着拐杖的人生历程?在爬行与拄拐杖这两件事情中是否隐含着什么数学理论呢?(生思考，师解释，激发学生的学习积极性，并由此抽象出公理3)师由于小孩小的时候，小脑还没有发育好，身体平衡能力还很差，不能很平稳的用双脚直立并行走，所以借助于一只手和两个膝盖来确定一个平面或用两只手和一个膝盖来支撑一个平面，来使身体在爬行过程中保持平衡.在老了的时候，身体的平衡能力也会下降，借助于拐杖来支起一个平面保持身体在行走过程中的平衡，这和自行车要装一个撑脚的道理一样，你能说出其中的道理吗?生可以，那就是三点确定一个平面.师回答得很好，你对你的回答还有要补充的吗?(生思考)师不知同学们有没有留意，自行车的撑脚一般都安装在自行车的什么地方?生安装在自行车的侧面.师为什么不安装在与自行车的后轮在同一直线的某一个地方呢?生那样自行车就撑不起来了.师那么我们应该怎样完善刚才的结论呢?(生交流，抽象出公理3并用图形语言和符号语言来表示公理3，强调公理中的“不在同一条直线上”)公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.师1.如何理解公理3中的“有且只有一个”?2.公理3总结了空间中怎样的规律?它可以帮助我们解决哪些问题?(师生讨论交流，得出如下结论)师对于公理3中“有且只有一个”的含义:“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一.不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达出存在性的含义.公理3提供了空间确定平面的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要途径，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分利用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.【例3】下列叙述中正确的是()A.因为P∈α, Q∈α,所以PQ∈αB.因为P∈α, Q∈β,所以α∩β=PQC.因为AB⊂α, C∈AB,D∈AB,所以CD∈αD.因为AB⊂α, AB⊂β,所以A∈(α∩β)且B∈(α∩β)(多媒体显示，生讨论完成)师直线可以看作是点的集合,平面可以看作是直线的集合，故点和直线之间只能用“∈、∉”表示，而不能用“⊂、⊄”表示，直线和平面之间只能用“⊂、⊄”表示，而不能用“∈、∉”表示.解析:本题主要考查点与直线的关系、点与平面的关系、直线与平面的关系的符号表示以及对公理1、公理2的理解情况.命题A:PQ∈α表示错误，直线和平面之间只能用“⊂、⊄”表示，而不能用“∈、∉”表示.命题B:线段PQ也可以只是两个端点分别在两个平面内，其余的点均不在这两个平面内.命题C:CD∈α表示错误.直线和平面之间只能用“⊂、⊄”表示，而不能用“∈、∉”表示.命题D:符合公理2,所以正确.(三)目标检测课本第23页练习.课堂小结(师组织学生围绕以下三个问题对本课进行总结)1.平面的概念、表示及记法.2.空间中点、线、面位置关系的图形及符号表示.3.平面的三条性质及用途.公理1为证明直线在平面内提供了依据.没有特别说明的“两个平面”，以后均指不重合的两个平面.两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.公理2为证明若干点共线提供了一条新的途径.公理3中，“有且只有一个”的含义:“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一.不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达出存在性的含义.布置作业课本第28页习题1.2(1)第1、2、3题.板书设计1.2.1平面的基本性质平面的图形表示和符号表示平面的三条性质例题解析与学生训练课堂小结与布置作业活动与探究1.空间的三个平面可以将空间分成几部分?四个平面呢?试分别制作模型加以说明.2.列举、搜集生活中与平面的三条性质有关的实际问题并用三个公理加以解释.参考答案:1.当三个平面平行时可以将空间分成四部分；当其中两个平面平行第三个平面和它们都相交时可以将空间分成六部分；当三个平面两两相交且只有一条交线时也可以将空间分成六部分；当三个平面两两相交且有三条交线时可以将空间分成七部分或八部分．（图略）2.略.习题详解课本第28页习题1.2(1)解答1.当它们不交于同一点时，共面;当它们交于同一点时，可能共面也可能不共面.2.不一定.当四个交点不共面时，所得图形就不是平面图形.3.略.4.空间不共面的四个点能确定四个平面.5.由这三条直线中的任意两条所确定的平面共有2个.6.不能.因为AD1和BB1是异面直线.7.如图，在线段AD上取一点M，使A M=A1E1,在线段AB上取一点N，使A N=A1F1,连结M E1、N F1,则四边形AA1E1M、A N F1A1均为平行四边形.∴M E1AA1,N F1AA1.∴M E1N F1，从而四边形MN F1E1为平行四边∴MN E1F1.又∵A M=CE,CF=A N,∴Rt△A MN≌Rt△CEF.∴MN =EF.同理可证M E=N F,∴四边形MN FE 为平行四边形.∴MN ??EF.∴E 1F 1EF.8.解:如图，连结BD,B 1D 1.∵E、F 分别是CD 、BC 的中点，∴可得EF∥BD.又∵BD∥B 1D 1,∴EF∥B 1D 1.则∠AD 1B 1就是异面直线AD 1和EF 所成的角.又∵AB 1=B 1D 1=AD 1,∴△AB 1D 1是等边三角形.∴异面直线AD 1和EF 所成的角为60°.9.AC 、BD 一定是异面直线.若AC 、BD 可以确定一个平面，则AB 、CD 共面，与已知矛盾.10.延长C 1M 和CB 交于P ，延长A 1M 和AB 交于Q ，则直线PQ 就是平面A 1C 1M 与平面ABCD 的交线.11.不一定是异面直线，可以借助于正方体的棱长来解释.12.(1)由E 、F 分别是AB 、BC 的中点，得EF∥AC，且EF=21AC,同理GH∥AC，且GH=21AC ，EF GH,即四边形为平行四边形.(2)由已知得EH=21BD,EF=21AC,BD=AC,所以EH=EF.由(1)得四边形是平行四边形，所以四边形是菱形.(3)当AC 和BD 垂直，且AC=BD 时,四边形EFGH 是正方形.13.如图,三棱锥A —BCD 中，E 、G 分别是BC 、AB 的中点,F 在CD 上,H 在AD 上,且有32==FC DF HA DH .求证:EF 、GH 、BD 交于一点.分析:要证明EF 、GH 、BD 交于一点，可以先证明EF 和BD 交于一点，再证明EF 和BD 的交点在GH 上，或证明GH 过EF 和BD 的交点.证明:连结FH 、EG ，∵32==FC DF HA DH , ∴FH∥AC，且FH=52AC. 又E 、G 分别是BC 、AB 的中点, ∴GE∥AC,GE=21AC. 于是GE∥HF 且GE≠HF.∴四边形EGHF 是梯形.∴GH 与EF 延长线必相交，记其交点为P .∵P ∈GH,GH 平面ABD,∴P ∈平面ABD.同理可证P ∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴P ∈BD.∴EF、GH 、BD 交于一点.点评:本题在证明过程中，先运用题中已知条件证明GH 、EF 相交于点P ，再找出两个分别过这两条直线且交线为BD 的相交平面，进而证明该点在交线上.这是我们证明线共点问题的常用策略.证明点共线问题时，可以先确定其中两条直线交于一点，再证明其他直线过该点或该点在其他直线上。

高中数学第一章立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质(2)教案苏教版必修2(2021年整理)

江苏省丹阳市高中数学第一章立体几何初步1.2.1 平面的基本性质（2）教案苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省丹阳市高中数学第一章立体几何初步1.2.1 平面的基本性质（2）教案苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省丹阳市高中数学第一章立体几何初步1.2.1 平面的基本性质（2）教案苏教版必修2的全部内容。

1。

2。

1 平面的基本性质（2)【教学目标】1．进一步理解平面的基本性质和三个公理；2．掌握公理3的三个推论,能用图形和符号语言表示三个推论,并能用三个推论解决一些实际问题；3．学会用反证法证明简单问题．【教学重点】1．公理3的三个推论及其应用;2．共面类问题的证明．【教学难点】对公理3的推论“存在”和“唯一”性两方面证明的必要性的理解．【过程方法】1．通过师生之间、同学之间的互相交流，培养学生合作性学习的习惯；2．通过平面概念的学习，掌握点、线、面之间的内在联系．【教学过程】一、复习：1．平面的概念；2．公理1-3．二、新授：1．推论1．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．2．推论2．经过两条相交直线，有且只有一个平面．3．推论3三、例题选讲1．如图，直线AB ，BC ，CA 两两相交,交点分别为A ，B ，C ，证明这三直线共面．2．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 是棱BB 1的中点，画出由A 1，C 1，P 三点确定的平面α与长方体表面的交线．3．已知一条直线与三条平行直线分别相交，证明这四条直线共面．四、方法总结1．证明点线共面的基本方法:⑴有公理3及推论，有其中的某些点、或线确定一个平面，再证其他元素在此平面内; ⑵先由其中某些点或线确定一个平面α,再由另外一些元素组成另一平面β，最后用公理3或其推论证明平面α，β重合． 2．多点共线问题的证明方法：常用方法是先证明这些元素均是两个平面的公共点，然后根据公理2得到他们都在两平面的交线上．3．多线共点的问题的证明：先证两条直线交于一点，再证这个交点也在其他直线上．它一般依据两平面的交线有且仅有一条这一公理，进而需要证明这些点是两平面的公共点，而直线是这两个平面的交线．【课后作业】 1．判断题：⑴两条直线确定一个平面；( )d⑵若三条直线两两相交，那么三条直线在同一个平面内；（）⑶空间中，不在同一平面内的四点,一共可以确定四个平面;( ）⑷如果平面α，β有三个公共点，则平面α，β重合；（ )⑸一条线段在平面内，这条线段的延长线也在这个平面内；（ )⑹点A在直线a上，也在平面α内,则直线a在平面α内；（）⑺首尾相接四条线段可以确定一个或两个平面．( )2．⑴空间三个平面之间交线条数可能有；⑵空间三个平面把空间分成个部分；⑶空间三条直线a,b，c互相平行，但不共面,它们能确定个平面，把空间分成个部分．3．给出下列命题:⑴和直线α都相交的两条直线在同一个平面内;⑵三条两两相交的直线在同一个平面内;⑶有三个不同公共点的两个平面重合;⑷两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确的命题的个数有个．4．下列说法正确的是．⑴三点确定一个平面;⑵四边形一定是平面图形;⑶梯形一定是平面图形；⑷对边相等的四边形一定是平面图形．5．正方体各个面所在的平面将空间分成了个部分．6．三个平面两两相交,有三条交线，其中两条相交于一点，证明三条交线交于同一点．7．已知三条直线相交于P点，第四条直线与前三条直线分别相交于A，B，C,证明：这四条直线共面．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.1 平面的基本性质》2

§平面的基本性质丹阳市第六中学张丽一、教材分析和学情分析1教材地位及作用本节课选自苏教版《数学》必修二的平面的基本性质第一课时，主要内容是平面的概念及三个公理。

平面的基本性质虽然在高考中一般以填空题型为主，但是它是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据。

这节内容是学生已有的平面几何观念的拓展，帮助学生观念逐步从平面转向空间。

因此，掌握平面的三条基本性质至关重要。

2 学情分析学生已经掌握了平面内点和直线的概念和性质，可以通过类比进行顺应性的建构；但由于学生想象能力、思维能力较弱，一旦涉及到抽象的总结归纳，难免会束手无策。

二、定位和设计1教学目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标：【知识与技能】（1）通过列举实例，类比直线，准确抽象出平面的特点；（2）通过观察、联想，快速地用图形和符号语言表示平面并进一步表示空间中点、直线线和平面的位置关系；（3）通过操作、实验，准确理解并表述平面的三个基本性质；【过程与方法】（1）通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力；（2）通过对生活中平面及其性质的举例、分析、解释过程，培养学生逻辑思维能力。

【情感态度与价值观】通过学生的观察、实验、操作和思维辩证，培养学生勇于批判、敢于创新的科学精神以及“数学重点难点根据教材和学生的需要，确定本节课的重难点：【重点】准确理解平面的特点和基本性质。

因为研究立体几何时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决，所以要求学生对平面的基本性质有较深刻的理解。

【难点】空间点、线、面位置关系的符号表示和平面的基本性质的掌握与运用。

因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。

三、教学策略1、教法——启发式教法通过两个生活中的实例，引出课题——平面的基本性质，引起学生的注意和兴趣。

高中数学第6课时平面的基本性质(2)导学案苏教版必修2-苏教版高一必修2数学学案

第6课时：平面的基本性质（2）【学习目标】1.在实验、观察的基础上掌握公里3、4及其推论.2.用运用平面的基本性质解决一些简单问题.【问题情景】1.测量仪的脚为什么只需要三个脚?2.观察下列问题，你能得到什么结论？【合作探究】1.探究一：经过一点有几个平面？经过二点、三点、四点？……2．探究二：经过一条直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线有几个平面？3.知识建构（1）公理三：经过不在同一直线上的____________，有且只有_____________.图形语言：符号语言：思考1：如何理解公理3中的“有且只有一个”？思考2：公理3可以帮助我们解决哪些几何问题？（2）推论1：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 符号表示：（3）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面符号表示：（3）推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面符号表示：4.概念巩固“平面的基本性质”小结：名称公理应用公理一公理二公理三以及三个推论【展示点拨】例1：已知:,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉(如图所示) 求证：直线AD ，BD ，CD 共面.例2：两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面ABCaAB CABC D lα内.例3：在正方体1111ABCD A B C D 中，画出过M 、N 、P 三点的截面。

例4、如图，已知△ABC 的各顶点都在平面a 外，直线AB 、AC 、BC 分别交平面a 于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.A C 1MD【展示点拨】1、判断下列命题是否正确(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面. (2)经过一点的两条直线确定一个平面． (3)经过一点的三条直线确定一个平面． (4)平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C.2．空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线，则下列结论成立的是（）A ．四点中必有三点共线．B ．四点中必有三点不共线．C ．AB 、BC 、CD 、DA 四条直线中总有两条平行． D ．直线AB 与CD 必相交． 3．下列命题中，①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶点在同一平面内；③三条互相平行的直线必共面；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题个数是___________4．直线12//l l ，在1l 上取三点，在2l 上取两点，由这五个点能确______个平面． 5. 空间四个平面两两相交，其交线条数为 _______ . 6. 空间四个平面把空间最多分为 _______部分．7. 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，直线AB 、BC 、CD 、DA 分别与平面α交于点E 、G 、F 、H ，那么一定有G ____ 直线EF ，H ______ 直线EF.8.已知////,,,,a b c l a A l b B l c C ⋂=⋂=⋂= 求证：,,,a b c l 四条直线共面α C BA b c αl第6课时：平面的基本性质（2）同步训练【基础训练】1．两个合页和门闩可以将门固定在门框上，这是因为． 2．木匠师傅通常在四条桌腿的端点上拉起两条对角线看是否相交，由此来判断桌腿底端是否共面，这是因为． 3．三条直线两两平行，它们能确定个平面．4．三条直线两两相交可以确定平面的个． 5．一条直线和直线外三点最多可以确定平面的个数是． 6．一个实心橡皮球，切一刀能把它分成两块，切三刀最多能把它切成块，最少能把它切成块．【思考应用】 7．下列所说的图形：①对角线互相平分的四边形； ②两组对边分别平行的四边形； ③两组对边分别相等的四边形； ④一组对边平行且相等的四边形．其中能判断四边形是平行四边形的是． 8．如果两个平面同时都具备下列条件：①有三个公共点； ②有无数个公共点； ③存在不共线的三个公共点； ④有相同的两条相交直线； ⑤有相同的一条直线和直线外一点；能判断两个平面重合的条件有．9．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，M 、N 分别是棱AA 1、CC 1的中点，试画出面D 1MN 与平面ABCD 的交线．第9题图ABCD A 1B 1C 1D 1MN10．已知α∩β=l ，A 、B α∈，C 、D β∈，AD ∥BC 且AD>BC 求证：直线AB ，CD ，l 交于一点．．11．空间不共面的三线段AA 1、BB 1、CC 1两两平行且互不相等，求证：直线AB 与直线A 1B 1，直线BC 与B 1C 1，直线 AC 与直线A 1C 1分别相交，且三交点共线．第11题图DABCβα第10题图l12.△ABC的三边和△DEF三边互不相等，且AB∥DE，BC∥EF，CA∥FD，求证：直线DA、EB、FC交于一点．第6课时：平面的基本性质（2）同步训练答案1．不共线的三点确定一个平面.2．两条相交直线确定一个平面.3．一个或三个.4．一个或三个.5．四个.6．八块；四块.7．①②④.8．③④⑤。

高一数学苏教版必修2教学案：第1章4平面的基本性质(2)

高一数学教学案(121)必修 2 平面的基本性质(2)班级姓名目标要求1、了解公理3及推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象； 2、初步学习立体几何中的证明．重点难点公理3及三个推论的理解和运用．典例剖析例1、已知：,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，（如图），求证：直线,,AD BD CD 共面．例2、求证：两两相交且不过同一点的三条直线在同一个平面内．例3、如图,在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 、11C D 的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线11A B 交于点P ，求线段1PB 的长．例4、如图，正方体1111ABCD A B C D 中，P ,,M N 分别为CD ,111,A B CC 的中点。

（1）求作直线PN 与平面1111A B C D 交点；（2）过三点P 、M 、N 的平面与平面1111A B C D 交线.学习反思1、公理3：；推论1______________________________________________________；推论2：；推论3：2、证明点线共面问题的基本方法是：由公理3及三个推论直接得出其中一部分点线确定一个平面，由公理１证明其余的点线也在该平面内．3、平面是立体几何中的基本要素之一，公理3及三个推论是判断平面存在性和唯一性的方法．课堂练习1、指出下列说法是否正确，并说明理由．(1)四条线段顺次首尾相连接，所得的图形是平面图形； (2)空间三个点确定一个平面；N M11C 1(3)平面α和平面β若有公共点，就不止一个；(4)因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交．2、下列判断中，正确的是 . A 、四边形是平面图形 B 、两个平面有三个公共点，它们必然重合 C 、三条直线两两相交，它们必在同一平面内D 、一条直线与两条平行直线相交，这三条直线必定在同一个平面内3、空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为 .4、画一个＂三个平面两两相交＂的直观图．高一数学作业(121)班级姓名得分1、已知,,A B C 表示不同的点，,,a l m 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，下面推理不正确的是 . A 、若A l ∈，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂ B 、若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=C 、若,,a l m 两两相交，则,,a l m 一定在同一平面内D 、若,,A B C α∈，,,A B C β∈，且,,A B C 不共线，则,αβ重合2、下列判断中不正确的是 . A 、经过空间任意三点有且只有一个平面 B 、过两条相交直线的平面有且只有一个 C 、若两个平面相交，则它们有且只有一条公共直线 D 、过两条平行直线的平面有且只有一个3、在正方体1111ABCD A B C D -中有下列两个判断：（1）由11A C B 、、确定的平面是11ADC B ；（2）由11A C B 、、确定的平面与由1A C D 、、确定平面DO 1O1C 1B 1ABCA 1是同一平面．其中 .A 、（1）正确（2）正确B 、（1）正确（2）错误C 、（1）错误（2）正确D 、（1）错误（2）错误4、已知正方体1111ABCD A B C D -中，,,P Q R 分别是11,,AB AD B C 的中点，那么正方体的过,,P Q R 的截面图形是 .5、给出下列四个命题：（1）圆心和圆上两点可确定一个平面；（2）经过一点的三条直线可以确定一个平面；（3）点A 在平面α内，也在直线a 上，则直线a 在平面α内；（4）平面α与平面β有不在同一条直线上的三个公共点，则平面α与平面β重合；其中正确的序号是．6、如图，若直线l 与四边形ABCD 的三条边,,AB AD CD 分别交于点,,E F G ，求证ABCD 为平面四边形．7、证明空间无三线共点且两两相交的四条直线在同一平面内．8、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,A B CC 的中点，画出过,,D M N 三点的平面与平面1BC ，平面1AB 的交线．DFG ACEBlNC 19、已知直线////a b c ，直线d 与a,b,c 分别相交于点Ａ，Ｂ，Ｃ，求证：,,,a b c d 四条直线共面．高一数学教学案(133)必修 2 平面与平面的位置关系（5）班级姓名目标要求1、进一步掌握面面垂直的判定定理及其应用；2、理解两平面垂直的性质定理；3、线面平行、垂直关系的综合应用．重点难点重点：两平面垂直的性质定理及应用；难点：线面平行、垂直关系的相互转化．典例剖析例1、求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．CB A cb ad例2、如图，已知平面α平面β＝l ，,αβ同垂直于平面γ．求证：l γ⊥．例3、如图，已知PA ⊥平面,ABCD ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点．（1）求证：MN AB ⊥；（2）若平面PDC 与平面ABCD 成045角，求证：平面MND ⊥平面PDC ．学习反思1、两平面垂直的性质定理是 , 其实质是．2、领悟转化思想：线⊥线线⊥面面⊥面．γβlα_ M_ E _ P_ N_ D _ C_ B _ A课堂练习1、已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的真命题的序号是__________________.(1) 若//a b ，则//αβ (2) 若αβ⊥，则a b ⊥ (3) 若,a b 相交，则,αβ相交 (4) 若,αβ相交，则,a b 相交 2、设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥ ； ③若//m α，//n α，则//m n ； ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ．其中正确命题的序号是__________________．3、E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点，EF 、BD 相交于O , 以EF 为棱将正方形折成直角二面角，则BOD ∠= ．4、如图,αβ⊥ ，l αβ=，,,,,AB AB l BC DE BC DE αββ⊂⊥⊂⊂⊥ ．求证：AC DE ⊥．高一数学作业(133)班级姓名得分1、l 、m 、n 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题中正确的序号是________________. (1)若//,,,//l n l n αβαβ⊂⊂则 (2)若,,l l αβαβ⊥⊂⊥则 (3)若,,//l n m n l m ⊥⊥则 (4)若,//,l l αβαβ⊥⊥则2、m 、n 表示直线，,,αβγ表示平面，给出下列四个命题 ①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②若αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥ ；③若αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；αl A B ECDβ④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥则αβ⊥．其中正确命题为．3、ABCD 是正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A BD C --, E 为CD 的中点，则AED ∠的大小为________．4、三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，点P 到三个面的距离分别是3，4， 5，则OP 的长为．5、,αβ是两个不同的平面，,m n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：① m n ⊥；②αβ⊥； ③n β⊥； ④m α⊥ ．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：． 6、在直二面角l αβ--内放置木棒AB ,,A B αβ∈∈．如果AB 与平面β成045的角，AB 在平面β内的射影与棱l 成045的角，求AB 与平面α所成的角．7、如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，090ABC ∠=,AE CD ⊥,AF DB ⊥．求证：（1）EF DC ⊥；（2）平面DBC ⊥平面AEF ．BAαlβDFECBA8、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把BCD ∆折起，使C 移到1C 点，且1C 在平面ABD 上的射影O 恰好在AB 上．（1）求证：1AD BC ⊥；（2）求证：面1ADC ⊥面1BDC ．c 1ODCBA。

高中数学第06课时平面的基本性质2教学案苏教版必修2

总课题点、线、面之间的位置关系总课时第6课时分课题平面的基本性质（二）分课时第2课时教学目标了解平面基本性质的3个推论，了解它们各自的作用；能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．重点难点3个推论，平面与平面之间的交线．引入新课1．公理1的内容是：（文字语言、图形语言、符号语言都写出来）．它的作用是：2．公理2的内容是：（文字语言、图形语言、符号语言都写出来）．它的作用是：3．公理3的内容是：（文字语言、图形语言、符号语言都写出来）．它的作用是：4．推论1：5．推论2：6．推论3：例题剖析如图，已知l D l C l B l A ∉∈∈∈，，，，求证：直线CD BD AD 、、共面．例 2 求证：两两相交但不过同一点的四条直线相交．如图，在长方体1111D C B A A B C D -中，P 为棱1BB 的中点．（1）画出由P C A ，，11三点所确定的平面α与长方体表面的交线；（2）画出平面α与平面ABCD 的交线．巩固练习1．指出下列说法是否正确，并说明理由：（1）空间三点确定一个平面；（2）如果平面与平面有公共点，那么公共点就不止一个；（3）因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交．2．下列推理错误的是（）A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ，，，B ．AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα，，，C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ，D ．βα∈∈C B A C B A 、、，、、，且C B A 、、不共线βα、⇒⇒重合课堂小结例1 A B DC l α ACDB 1A 1例3掌握3个推论及其作用，掌握平面与平面之间的交线及其作法．班级：高一（）班姓名：____________一基础题1．空间四边形的对角线相等，顺次连接它各边中点所构成的四边形形状是．2．下列命题中，正确的是（） A ．四边形是平面图形B ．两个平面有三个公共点，它们必然重合C ．三条直线两两相交，它们必在同一平面内D ．一条直线与两条平行直线相交，这三条直线必在同一平面内3．正方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ，，分别是11C B AD AB ，，的中点，那么正方体的过R Q P ，，的截面图形是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形4．若l B l A B A ∈∈∉∈，，，αα，那么直线l 与平面α有多少个公共点？二提高题5．证明：若两条平行直线都和第三条直线相交，则这三条直线共面．6．已知ABC ∆的顶点C 在平面α内，画出平面ABC 与平面α的交线．ABC7．正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为1111C B C D 、的中点，P BD AC =⋂，Q EF C A =⋂11．求证：（1）E F B D 、、、四点共面；（2）若C A 1交平面DBFE 于R 点，则R Q P 、、8．已知三棱锥BCD A -中，F E ，是BC AB ，的中点，AD H CD C ∈∈，1，且3:1:3:1:11==HA DH C C DC ，，求证：BD EH FC ，，1三线共点．A 11D。

苏教版数学高一-【金识源】 必修2教案 平面的基本性质(2)

苏教版高中数学必修二教学案第九章平面的基本性质二

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.1 平面的基本性质》

苏教版高中数学必修二1.2.2 平面的基本性质 教案3

苏教版高中数学必修二1.2.2 平面的基本性质 教案2

苏教版数学高一-【金识源】 必修2教案 1.2.4平面与平面的位置关系(2)