类比在中学数学教学中的应用

ｎ
!ｋ＝１
（ｘｋ＋
１ ｘｋ
）ｎ≥ｎ（ｎ＋ １ ｎ
）ｎ
例 ３ 在讲四面体余弦定理时可利用中的余弦定理
利用二项式定理和均值不等式可证得多元形式
ｃ２＝ａ２＋ｂ２－ ２ａｂｃｏｓＣ
确实成立。
类比引出，将三角形与四面体类比，是否有类似的
例 ５ （８７ 年上海赛题）Ｔ 是锐角三角形，矩形
结论呢？于是学生猜测有：
ｃｏｓＢ＝
１ ｃ
（ａ－
ｂｃｏｓＣ），ｃｏｓＡ＝
１ ｃ
（ｂ－ ａｃｏｓＣ）．
Ａ（Ｒ）＋Ａ（Ｓ） 的最大值。 Ａ（Ｔ） 对此问题的解答并不难， 如能及时引导学生进行
引伸探究将得出一些有趣的结果． 首先将题中的锐角 三角形换成一般的三角形， 矩形换成平行四边形且增 加平行四边形的个数，将会得到如下的更深刻的结果：
有些数学问题与其它学科有深密联系，因此，要
善于观察问题的特点，建立相应的模型，从中寻求解
题途径。
例 ６ 设 Ｄ、Ｅ、Ｆ 分别是△ＡＢＣ 三边上的定点，满
足条件 ＢＤ ＝ ｃ ， ＣＥ ＝ ａ ， ＡＦ ＝ ｂ （ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０），则 ＤＣ ａ ＥＡ ｃ ＦＢ ａ
ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ 交于一点 Ｏ．
下有趣的结果：
结论 ２ 设四面体内部有两个重叠的平行六面体
Ｒ、Ｓ， 且 Ｓ 的一面在底面三角形 ＡＢＣ 上， 设 Ｖｘ 表 ｘ 的
体积，则：ＶＲ＋ＶＳ≤
１８ ７１
Ｖ 四面体
证明 如图，设平行六面体的高分别为 ｈＲ，ｈＳ，且设 两平行六面体平行于底面的面截四面体所得三角形
分别记为△Ｒ， △Ｓ，且记其面积为 Ｓ△Ｒ，Ｓ△Ｓ，△Ｓ 到顶 点 Ｖ 的距离为 ｈ０，底面△ＡＢＣ 的面积记为 Ｓ，四面体 的高为 Ｈ（底面△ＡＢＣ 的），于是有
余弦定理．
又如棱锥体积公式 Ｖ＝ １ Ｓｈ 可类比为球的体积公 ３
ｎ
ｎ
! ! 式：Ｖ＝ １
３
（４πＲ２）Ｒ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
级数的有限和性质｜
ａｉ｜≤
ｉ＝１
｜ａｉ｜
ｉ＝１
∞
∞
可类比为级数的无限和性质｜!ａｉ｜≤!｜ａｉ｜等等．
ｉ＝１
ｉ＝１
三、运用类比进行推广与引伸
例 ４ ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ＋ｂ＝１， 则
到空间问题会得出如
两部份． 设ｎ条直线分平面为 ｇ（ｎ）部分． 再添一条直
线， 与前ｎ条直线相交， 由 ｆ（ｎ）＝ｎ＋１ 知要增加 ｎ＋１ 部
分，所以 ｇ（ｎ＋１）＝ｇ（ｎ）＋ｎ＋１，ｇ（１）＝２，于是 ｇ（ｎ＋１）－ ｇ（ｎ）＝ｎ＋１，
ｇ（ｎ）＝ｇ（１）＋［ｇ（２）－ ｇ（１）］＋［ｇ（３）－ ｇ（２）］＋…［ｇ（ｎ）－ ｇ（ｎ－ １）］
＝ １ （ｎ２＋ｎ＋２） ２
再考虑空间问题， 设 ｎ 个平面分空间为 ｈ（ｎ）部分，
再添一个平面则与前 ｎ 个平面相交， 由 ｇ（ｎ）知要增加
１ （ｎ２＋ｎ＋２）部分． 所以 ｈ（ｎ＋１）＝ｈ（ｎ）＋ １ （ｎ２＋ｎ＋２），ｈ（１）＝２，
２
２
于是 ｈ（ｎ＋１）－ ｈ（ｎ）＝ １ （ｎ２＋ｎ＋２），从而 ２
同理可得，三质点系重心在 ＣＦ 和 ＢＥ 上，从而 Ｏ
也在 ＣＦ 和 ＢＥ 上。即 ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ 交于一点 Ｏ，有关类 似的问题还有很多，例如：有关路线最短问题可当物 理学中光学原则进行类比。
类比实际上是从特殊到特殊的推理，它是创造性 比较强而可靠性比较弱的一种思维方法，因此，即使 类比对象有某些相同或相似的属性，由类比所得的结 论也还只是一种猜测，还需通过论证加之肯定或否 定，因此，从本质上说，类比是一种发现的方法，是一 种创造性思维，而不能简单地说是一种论证的方法， 或者说是一种模仿方法，类比在数学研究及数学教学 中都有其重要作用，在解决数学问题上，不论是对命 题本身或解题的思路与方法，它都是启迪思维，产生 猜测，获得命题的推广和引伸的原动力，因此类比的 思维方法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的 有效方法。在教学中注重运用类比方法对培养学生能 力是大有好处的．
Ｌｈ０＝２ｈ０ｈＲ＋２（ｈ０＋ｈＲ）ｈＳ＋λ＝０ ＬｈＲ＝ｈ０２＋２（ｈ０＋ｈＲ）ｈＳ＋λ＝０ ＬｈＳ＝ｈ０２＋２（ｈ０＋ｈＲ）ｈＳ＋λ＝０
③ ④ ⑤，
第 ４ 卷第 ２ 期
陈质坚 类比在中学数学教学中的应用
１１７
由③④得：ｈＲ＝
ｈ０ ２
；由④⑤得
ｈＳ＝
５ １２
ｈ０
再由 ｈ０＋ｈＲ＋ｈＳ＝Ｈ 得
ｈ０＝
一、运用类比寻求解题思路 高维空间中比较复杂的问题，很多情况下可以通 过类比到低维空间中的问题，通过对低维空间的问题 分析求得解题思路，然后类比到高维空间中的问题求 得解题思路。 例 １ 立体几何中有这样一道题：平面 α和空间 两点 Ａ、Ｂ、在平面 α内找一点 Ｃ，使 ＡＣ＋ＢＣ 最小。 分析 先将问题类比到平面问题：“已知直线 Ｌ 和 两点 Ａ、Ｂ，在直线 Ｌ 上找一点 Ｃ，使 ＡＣ＋ＢＣ 最小。”而 此问题可分四种不同的位置关系：①Ａ、Ｂ 在 Ｌ 上； ②一点在 Ｌ 上， 一点在 Ｌ 外；③在 Ｌ 的不同的两侧； ④在 Ｌ 的同侧分别找出所求的 Ｃ 点，此方法可完全类 比到空间中的问题，从而可得出解题思路。 例 ２ 空间有 ｎ 个平面， 每两个平面都相交， 但 无三面共点． 试问：这些平面将空间分成几部份？
结论 １ 设△ＡＢＣ 中有几个一组对边顺次相接且
再代入 ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ，
此组对边平行于底边 ＢＣ 的平行四边形，
整理即得 ｃ２＝ａ２＋ｂ２－ ２ａｂｃｏｓＣ． 类似地在四面体 Ｏ－ ＡＢＣ 中， 应用空间射影定理，有
记 Ｓｉ 为第 ｉ 个平行四边形的面积， 则
ｎ
%ｉ ＝ １
Ｓｉ≤
ｎ ｎ＋１
ｈ（ｎ）＝ｈ（１）＋［ｈ（２）－ ｈ（１）］＋［ｈ（３）－ ｈ（２）］＋…＋［ｈ（ｎ）－ ｈ（ｎ－ １）］
ｎ－ １
ｎ－ １
ｎ－ １ ｎ－ １
＝２＋!［ｈ（ｉ＋１）－ ｈ（ｉ）］＝２＋ １ !ｉ２＋ １ !ｉ＋!１
ｉ＝１
２ ｉ＝１
２ ｉ＝１ ｉ＝１
＝ １ （ｎ３＋５ｎ＋６） ６
此问题一步一步地类比到最简单的问题， 从而寻
Ｓ△ＡＢＣ
Ｓｏ＝Ｓａｃｏｓθａｏ＋Ｓｂｃｏｓθｂｏ＋Ｓｃｃｏｓθｃｏ （１）
此结论运用排序原理易证明．
Ｓａ＝Ｓｂｃｏｓθｂａ＋Ｓｃｃｏｓθｃａ＋Ｓｏｃｏｓθｏａ （２）
其次， 将 ｎ＝２ 时类比
其中 θａｏ 表平面 Ｓａ 与 Ｓｏ 的夹角．由（２）式可得
ｃｏｓθａｏ＝
１ Ｓｏ
［Ｓｂｃｏｓθｂａ＋Ｓｃｃｏｓθｃａ］，
收稿日期：２００８－ ０５－ ２６ 作者简介：陈质坚， （ １９６５－ ） 男， 湖南平江人， 平江一中一级教师，主要研究方向为中学数学教学。
湖南民族职业学院学报
１１６
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＵＮＡＮ ＶＯＣＡＴＩＯＮＡＬ ＣＯＬＬＥＧＥ ＦＯＲ ＮＡＴＩＯＮＡＬＩＴＩＥＳ
２００８ 年 ６ 月
求到解题思路． 二、运用类比引出新知识
（ａ＋ １ ）３＋（ｂ＋ １ ）３＋（ｃ＋ １ ）３≥ １０００ ，
ａ
ｂ
ｃ
９
两式从其结构上看类似，于是引导学生猜测有多
元形式：
ｎ
% 设 ｘｋ∈Ｒ＋（ｋ＝１，２，３，…，ｎ）， ｘｋ＝１，则 ｋ＝１
于是问题转化为：在条件
ｈ０＋ｈＲ＋ｈＳ＝Ｈ 下，求函数 ｆ（ｈ０，ｈＲ，ｈＳ）＝ｈ０２ｈＲ＋（ｈ０＋ｈＲ）２ｈＳ 的最大值．作拉格朗日函数 Ｌ＝ｈ０２ｈＲ＋（ｈ０＋ｈＲ）２ｈＳ＋λ（ｈ０＋ｈＲ＋ｈＳ－ Ｈ）， 令 Ｌ 关于各变元的偏导数为零得：
类比推理是科学研究的重要思维形式，是创新的 源泉之一，具有重要的思维训练价值和应用价值。在 数学学科中，类比可用于研究两类对象，已知其中一 类具有属性 ｐ１，ｐ２，…，ｐｎ 和 ｐ，若另一类有类似的属性 ｐ１’，ｐ２’，…，ｐｎ’，则猜测有与 ｐ 相当的属性 ｐ’。类比思维的 认识依据是客观事物或对象之间存在的普遍联系—— — 相似性。在教学中，可通过类比引入概念，导出公式，帮 助解题，培养学生探究发现的能力，在数学竞赛中，类 比可拓宽思路，触发灵感，帮助寻求解题方法．本文对数 学教学中常采用的几种类比方法作一些探讨。
（责任编辑：萧振纲）
Ａｎａｌｏｇｙ ｉｎ Ｍｉｄｄｌｅ Ｓｃｈｏｏｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ
ＣＨＥＮ Ｚｈｉ－ ｊｉａｎ
（Ｐｉｎｇｊｉａｎｇ Ｎｏ．１ Ｍｉｄｄｌｅ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ， Ｐｉｎｇｊｉａｎｇ， Ｈｕｎａｎ ４１４０００， Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ａｎａｌｏｇｙ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ， ｓｅｅｋｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ－ ｓｏｌｖｉｎｇ ｉｄｅａｓ， ｌｅａｄｉｎｇ ｔｏ ｎｅｗ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ， ｔｈｅ ｐｒｏｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｂｌｅｍｓ， ａｎｄ ｎｕｒｔｕｒｉｎｇ ｓｔｕｄｅｎｔ ａｂｉｌｉｔｙ ｂｙ ａｎａｌｏｇｙ ｗｉｔｈ ｏｔｈｅｒ ｓｕｂｊｅｃｔｓ ｃａｎ ｇｅｔ ａｃｒｏｓｓ ｔｈｅ ｆｏｏｔｌｉｇｈｔｓ ｉｎ ｔｅａｃｈｉｎｇ．
Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： Ａｎａｌｏｇｙ； Ａｎａｌｏｇｙ Ｔｅａｃｈｉｎｇ
Ｒ、Ｓ的一部分内接于 Ｔ，设 Ａ （ｘ） 表图形 ｘ 的面积，求
Ｓｏ２＝Ｓａ２＋Ｓｂ２＋Ｓｃ２ － ？ （Ｓｏ 表与 Ｏ 相对的三角形的面积）．但形式一时很难 具体写出，于是引导学生对其推导过程进行类比． 先
看余弦定理的证明：
由射影定理，有 ａ＝ｃｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＣ，ｂ＝ｃｃｏｓＡ＋ａｃｏｓＣ，
所以
第 ４ 卷第 ２ 期
陈质坚 类比在中学数学教学中的应用
１１５
类比在中学数学教学中的应用
陈质坚
（湖南平江一中 湖南 平江 ４１４０００）
摘要： 在数学教学中运用类比来寻求解题思路，引出新知识，对问题进行推广与引伸，及通过与其它学科问 题类比来培养学生能力，都能产生良好的教学效果。
关键词：类比；类比教学
同理
ｃｏｓθａｂ＝
１ Ｓｏ
［Ｓｂ－
（Ｓａｃｏｓθａｂ＋Ｓｃｃｏｓθｃｂ）］，
ｃｏｓθｏｃ＝
１ Ｓｏ
［Ｓｃ－
（Ｓａｃｏｓθａｃ＋Ｓｂｃｏｓθｂｃ）］
将这三式代入（１）式， 整理即得
ＳＯ２＝ Ｓａ２＋ Ｓｂ２＋ Ｓｃ２－ ２（ＳａＳｂｃｏｓθａｂ＋ＳｂＳｃｃｏｓθｂｃ＋ＳｃＳａｃｏｓθｃａ）
这样， 我们通过推导过程的类比寻找到了四面体
１２ ２３
Ｈ；
ｈＲ＝
６ ２３
Ｈ；
ｈＳ＝
５ ２３
Ｈ．
⑥
根据问题的实际意义知函数 ｆ 必然存在最大值，
且必在条件⑥取得，将⑥代入②得
Ｖ≤ ５４ ５２９
ＳＨ＝ １６２ ５２９
Ｖ四面体．
由于②与⑥取等号可同时满足，
故
Ｖ≤
５４ ５２９
ＳＨ＝
１６２ ５２９
Ｖ四面体．且
Ｖｍａｘ＝
１６２ ５２９
Ｖ四面体．
四、与其它学科问题类比， 拓宽思路．
Ｓ△Ｒ ｈ０２
＝
Ｓ△Ｓ （ｈ０＋ｈＲ）２
＝
Ｓ Ｈ２
所以，①
由引理易知两平行六面体体积之和
Ｖ＝ＶＲ＋ＶＳ≤
１ ２
Ｓ△Ｒ·ｈＲ＋
１ ２
Ｓ△Ｓ·ｈＳ
＝
Ｓ ２Ｈ２
［ｈ０２ｈＲ＋（ｈ０＋ｈＲ）２ｈＳ］
②
（ａ＋ １ ）２＋（ｂ＋ １ ）２≥ ２５ ，
ａ
ｂ２
对于三元形式有如下命题 ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，ａ＋ｂ＋ｃ＝１，则
分析 此问题一下难以找到答案， 于是将问题类
比成平面问题： 平面内有 ｎ 条直线， 每两条直线交于
一点， 无三条直线共点， 问： 这些直线将平面分成几
部份？
再类比到一维空间： 直线上有 ｎ 个点， 问： 这 ｎ
个点将直线分成几部份？
这时容易找到答案，ｎ 个点将直线分成 ｎ＋１ 部份，
记为 ｆ（ｎ）＝ｎ＋１． 再考虑平面问题， 一条直线分平面为
分析 如图示：如从纯数学角度证此题，则颇费功
夫，因此题与物理学关系密切，故可考虑通过建立物
理模型加以解决，把 Ａ、Ｂ、Ｃ 看成三个质点，重量分别
为 ａ、ｂ、ｃ，则 ＢＤ ＝ ｃ ，所以 ｂ·ＢＤ＝ｃ·ＤＣ，这说明 Ｄ 是 ＤＣ ｂ
两质点 Ｂ、Ｃ 的重心，因 Ａ、Ｄ 的重心在线段 ＡＤ 上，故
三质点系 Ａ、Ｂ、Ｃ 的重心在 ＡＤ 上，设为 Ｏ．
参考文献
１． 周春荔．数学观与方法论［Ｍ］． 北京： 首都师范大学出版 社，１９９６
２． 常庚哲．李炯生，高中数学竞赛教程［Ｍ］．南京： 江苏教育 出版社，１９９１
３． 汪江松．高中数学解题与技巧［Ｍ］． 武汉： 湖北教育出版 社，１９９５
４． 陈质坚．一道极值问题的探讨．数学竞赛（１９）［Ａ］．长沙： 湖 南教育出版社，１９９３